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Método Montecarlo utilizado en proyectos

William Antonio Xil Barrios

Guatemala, 03 de abril de 2014

M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s

INDICE

INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 1

1. MÉTODO MONTECARLO APLICADO A PROYECTOS .................................. 2

1.1. Definiciones ............................................................................................... 2

1.2. Cómo funciona el método Montecarlo........................................................ 5

1.2.1. Descripción de variables matemáticas ................................................ 5

1.2.2. Pasos básicos para generar una simulación Montecarlo .................... 6

1.2.3. Aplicabilidad a proyectos de las distribuciones de probabilidad con el

método Montecarlo ........................................................................................... 7

1.3. Campos de aplicación ................................................................................ 8

1.4. Ejemplos de aplicación a los proyectos del método ................................... 9

1.5. Ventajas y desventajas del método Montecarlo ....................................... 10

CONCLUSIONES ................................................................................................. 12

BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................... 13

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INTRODUCCIÓN

Debido a la complejidad de muchos sistemas, se hace necesario hacer

aproximaciones numéricas para determinar muestras de variables aleatorias.

Estas estimaciones podrían llevarse a cabo manualmente, con el gasto asociado

de recursos.

Es allí en donde nace la necesidad de realizar simulaciones para aproximar

el comportamiento de una o diversas variables aleatorias. En este ensayo se

presentarán las principales características del método de simulación de

Montecarlo, su argumento matemático, aplicaciones y ventajas y desventajas. Y

más importante, sus principales aplicaciones en proyectos, tanto de investigación

como de inversión.

Es importante hacer notar que las aplicaciones mencionadas incluyen

amplia variedad de campos del conocimiento, no solamente los proyectos de

inversión.

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1. MÉTODO MONTECARLO APLICADO A PROYECTOS

1.1. Definiciones

En proyectos se hace necesario conocer las características de la población a

la que se dirige el mismo, y esto se realiza mediante la elaboración de muestreos,

sin embargo algunas veces las variables son aleatorias y determinar las

características de la población requeriría grandes esfuerzos para realizar

muestreos. Por lo tanto, se hace necesario simular dichas muestras. Entonces

surge la interrogante de que es la simulación.

Hay distintos tipos de simulación, la cual puede definirse como un proceso

que permite entender el comportamiento de un sistema o evaluar varias

estrategias con las cuales operar el sistema, mediante el uso de un modelo

computarizado. Se pueden mencionar los siguientes métodos de simulación:

estadística o Montecarlo, continua, por eventos discretos y por autómatas

celulares (Universidad Nacional del Centro de la Pcia de Buenos Aires, 2005).

En este caso se prestará especial atención a la simulación estadística o

Montecarlo, y su aplicación a los proyectos.

Como se mencionó anteriormente, en proyectos se hace necesario realizar

muestreos para determinar características de la población, utilizando diferentes

técnicas, entre los que se pueden mencionar: el aleatorio simple, el sistemático, el

estratificado y por conglomerados.

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Los métodos mencionados anteriormente se llevan a cabo cuando no se

conoce la distribución de probabilidad de la población, sin embargo para el caso

contrario se utiliza el Método Montecarlo, el cual es un procedimiento general

para la selección de muestras aleatorias de una población dado que se conoce su

distribución de probabilidad y se ha generado previamente una muestra de

números aleatorios (Sarabia Alegría & Pascual Saez, 2005).

Otra definición del método Montecarlo es la que presentan (Périssé & Pepe,

2006): “El Método Monte Carlo es una herramienta de investigación y

planeamiento; básicamente es una técnica de muestreo artificial, empleada para

operar numéricamente sistemas complejos que tengan componentes aleatorios.”

Por lo tanto, el método Monte Carlo es una herramienta que permite

manejar de una forma “artificial” procesos que contienen variables aleatorias, que

se pueden modelar según una distribución de probabilidad, es decir, simular

procesos. Surge ahora la interrogante de cuál es la diferencia entre una variable

aleatoria y un muestreo aleatorio.

Según (Lind, Marchal, & Wathen, 2012) una variable aleatoria es una

“cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes

valores”. Y además, éstas pueden ser aleatorias discretas o aleatorias continuas.

Para el primer caso los datos asumen valores enteros claramente diferenciados, y

para el segundo los valores pueden ser cualquier número real. Por otro lado, si se

ordenan los resultados de una variable aleatoria se obtiene como al final una

distribución de probabilidad. Esto es bastante útil porque despliega un conjunto de

resultados a diferencia de un valor puntual de la variable aleatoria.

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Dado que una variable aleatoria puede adoptar diferentes valores, un

muestreo aleatorio es aquel en donde se escoge una muestra en donde cada

elemento o individuo de la población tenga las mismas posibilidades de que se le

incluya (Lind, Marchal, & Wathen, 2012).

Surge la interrogante ahora de cómo hacer un muestreo aleatorio. Esto

puede realizarse convenientemente asignando un número de identificación a cada

individuo de la población y generando una tabla de números aleatorios para

escoger la muestra. Los números aleatorios deben cumplir con tres

características: deben tener igual posibilidad de salir elegidos, no debe existir

correlación serial y se generan por tablas o dispositivos especiales.

Lo anterior lleva a pensar que realizar un muestreo para conocer una

característica de la población conlleva un gasto de recursos que podrían reducirse

al realizar simulación de las muestras. Y es ahí en donde el método Montecarlo

toma singular importancia, porque permite realizar no solamente un muestreo sino

que simula varios escenarios para determinar la mejor decisión. De aquí que la

simulación Monte Carlo proporcione una serie de ventajas sobre el análisis

determinista o “estimación de un solo punto” (Palisade Corporation, 2014).

En el caso del caudal disponible un pozo de agua subterránea, por ejemplo,

las condiciones que gobiernan la calidad de la misma suelen ser aleatorias y

realizar muestreos todos los días sería poco práctico y requeriría una gran

cantidad de recursos, por lo que se hace necesario estimar valores a partir de

simulaciones, dados los parámetros necesarios que permiten encontrar una

distribución de probabilidad.

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1.2. Cómo funciona el método Montecarlo

Se establece a continuación la forma en que funciona el método Montecarlo,

las variables matemáticas y los pasos a seguir para realizar la simulación.

1.2.1. Descripción de variables matemáticas

Es claro que este método no provee una solución esperada exacta, sino una

aproximación. Y para lograr esto es necesario que se ingresen ciertos parámetros

al modelo de simulación, que permitan calcular los diferentes escenarios.

El (Departamento de Investigación Operativa, Universidad de la República,

2010) considera que los parámetros necesarios utilizados para la simulación son

los siguientes:

: variable aleatoria (discreta o continua)

: es la distribución de probabilidad de X

: esperanza o valor esperado de la variable aleatoria (X), es el valor

que se desea calcular a través de la simulación y se denota como

o Si la variable aleatoria es continua ∫

, es decir la

distribución de probabilidad en el tiempo

o Si la variable aleatoria es discreta y toma valores en un conjunto C,

tal que ∑

: Varianza de la variable aleatoria X;

: Desviación estándar de la variable aleatoria X

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: Coeficiente de variación de la variable aleatoria X.

Esta es una medida de la dispersión de una distribución de probabilidad

normalizada, tomando en cuenta el valor esperado E(X).

: Vector aleatorio de dimensión m, compuesto por m

variables aleatorias distintas, dependientes o independientes.

: muestra de n variables aleatorias independientes con

la misma distribución de X

1.2.2. Pasos básicos para generar una simulación Montecarlo

La (Universidad Nacional del Centro de la Pcia de Buenos Aires, 2005)

propone que para desarrollar este proceso de simulación se deben llevar a cabo

los siguientes pasos:

Definir y establecer el problema. Plan.

Formular el modelo.

Programar

Verificar y validar el modelo

Diseñar los experimentos y plan de corridas

Analizar los resultados

Sin embargo, los lineamientos anteriores no establecen claramente el

proceso matemático para generar el modelo. El (Departamento de Investigación

Operativa, Universidad de la República, 2010) sugiere un esquema básico, pero

más específico de cómo generar una simulación por el método Montecarlo,

tomando en cuenta que se desea calcular cierto valor , y dado que se conoce la

variable aleatoria X con su distribución de probabilidad Fx tal que = E(X).

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El método Montecarlo en su versión básica consiste en:

Generar aleatoriamente valores para un conjunto , de

variables aleatorias a X, en base a Fx (distribución de probabilidad de X)

Calcular la suma de los valores generados,

Calcular el estimador del valor esperado,

Calcular la varianza del estimador del valor esperado, ∑( )

Notas aclaratorias:

n representa el tamaño de la muestra, o también llamado número de

replicaciones.

El conjunto replicaciones de X, se llama muestra.

Dado que en algunos casos no se conoce Var(X) entonces se calcula la

varianza del estimador , y se identifica como .

En los pasos anteriores no se ha explicado la manera de seleccionar la

distribución de probabilidad Fx, y dado que es determinante, se explican a

continuación los parámetros requeridos por cada una de las distribuciones más

utilizadas.

1.2.3. Aplicabilidad a proyectos de las distribuciones de probabilidad

con el método Montecarlo

Dado que mediante el uso de distribuciones específicas de probabilidad se

obtienen diferentes posibilidades para las variables aleatorias, se hace necesario

describir entonces cuales son los parámetros necesarios para cada distribución de

probabilidad. (Palisade Corporation, 2014)

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Distribución Normal: Se definirá la media (o valor esperado) y una

desviación estándar para describir la variación respecto a la media.

Ejemplos de variables que se pueden describir mediante esta distribución

son los índices de inflación y los precios de energía.

Log-Normal: se utiliza para representar variables aleatorias cuyos

valores son superiores a cero, es decir, tienen un potencial positivo

elevado. Ejemplos de variables que se pueden describir mediante esta

distribución son los valores de las propiedades inmobiliarias y bienes

raíces, los precios de las acciones en la bolsa y las reservas de petróleo.

Uniforme: Se definirá el mínimo y máximo para la variable aleatoria, en

esta distribución todos los valores tienen la misma posibilidad de

producirse. Ejemplos de variables que se pueden describir mediante esta

distribución son los costos de manufacturación y los ingresos por ventas

futuras de un producto nuevo.

En general, es de vital importancia que la persona encargada de modelar un

proceso que contiene variables aleatorias tenga en cuenta las características de la

misma para seleccionar la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a su

proyecto.

1.3. Campos de aplicación

La aplicación del método Montecarlo es de gran importancia en los

proyectos, tanto de investigación como de inversión. Para (Rodríguez Aragón,

2011) “la simulación tiene una gran importancia en nuestro mundo actual”, esto es:

Modelos a escala

Túneles de viento

Canales de agua

Emergencia o catástrofes, entre otros.

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Es clara la aplicación del método a las diferentes áreas del conocimiento, sin

embargo para (Molina Cordovez, 2011) este método es indispensable para los

escenarios que involucren incertidumbre. En ese contexto se puede mencionar un

ejemplo en el que la incertidumbre es inevitable y los muestreos son inviables:

estos son los sistemas moleculares, en los cuales se pueden simular: la

distribución de cargas moleculares, constantes cinéticas de reacción, energías

libres, coeficientes de compresibilidad, capacidades caloríficas, entre otros

(Laboratorio de Química Computacional, 2014).

Es fácil entonces comprender la clasificación de campos de aplicación que

propone (Umrigar, 2010). Para él hay cuatro grandes áreas principales de

aplicación del método, estas son: la física cuántica, química, ingeniería y finanzas

y análisis de riesgo.

Lo anterior da una idea de que la aplicación del método va desde lo

infinitesimal a lo general, es decir, de lo poco tangible hasta las situaciones que

gobiernan la vida actual. Para (Saavedra Barrera & Ibarra Mercado, 2009) la

aplicación en las finanzas es muy importante, porque buena parte de las opciones

de valuación y el cálculo de coberturas no pueden realizarse en forma exacta, hay

que aproximarlas por método numéricos, y para ellos el más popular es el método

Montecarlo.

1.4. Ejemplos de aplicación a los proyectos del método

Se puede mencionar una variedad de proyectos en los cuales se ha utilizado

el método para simular procesos, algunos ejemplos de ellos son:

Simulación Monte Carlo de adsorción de nitrógeno en un modelo molecular

de carbón activado y su comparación (AG Albesca, 2010)

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Cálculo del comportamiento de una línea de transmisión frente al flameo

inverso basado en el método Montecarlo (Yugcha Guevara, 2010)

Simulación Monte Carlo de Películas Delgadas Ferromagnéticas (Cossio,

Mazo-Zuluaga, & Restrepo, 2006)

La valoración de las opciones reales mediante la simulación de Monte

Carlo. El caso de la inversión de Endessa en Latinoamérica (Bonis, 2007)

Es evidente que el campo de aplicación del método abarca muchas ramas del

conocimiento, sin embargo para algunas se ha de ajustar mejor su estructura que

para otras. En todo caso, no puede negarse que la aplicación depende de la

capacidad del investigador de establecer sus variables y conocer su distribución

de probabilidad para aplicar correctamente el método.

1.5. Ventajas y desventajas del método Montecarlo

Dado que hay varias maneras de resolver un problema, cada una de las

soluciones presenta ventajas y desventajas, es probable que un método se ajuste

mejor a la resolución de un problema, pero no a otro. Por lo que a continuación se

presentan las ventajas y desventajas del método de simulación Montecarlo.

Según (Rodríguez Aragón, 2011) algunas ventajas y desventajas son las

siguientes:

Ventajas

o Cuando el modelo matemático es demasiado complicado la

simulación permite obtener una aproximación.

o La simulación nos permite formular condiciones extremas con

riesgos nulos.

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o La simulación no interfiere con el mundo real. Permite experimentar.

o Permite estudiar la interacción entre las diferentes variables del

problema

o Entre otras

Desventajas

o Una buena simulación puede resultar muy complicada, gran número

de variables.

o La simulación no genera soluciones Óptimas globales.

o No proporciona la decisión a tomar, sino que resuelve el problema

mediante aproximación para unas condiciones iniciales.

o Cada simulación es única, interviene el azar.

Así, la decisión recae siempre sobre el proyectista, estudiante o

investigador. El método se ajusta bien en la medida que se aplique de una manera

correcta, y que se conozcan las ventajas y desventajas del método.

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CONCLUSIONES

1. Los métodos de simulación se utilizan por la necesidad de conocer las

características de una variable aleatoria.

2. El método Montecarlo es útil para simular el comportamiento de muestras

aleatorias, y su importancia radica en que sus resultados son una

distribución, y no solamente un resultado puntual.

3. La aplicación del método Montecarlo abarca una variedad de áreas del

conocimiento que incluyen desde la física cuántica hasta el análisis de

riesgos en las finanzas.

4. Como todo método de simulación, el Montecarlo tiene ventajas y

desventajas, y depende del investigador, inversionista o proyectista

determinar las mejores condiciones para aplicarlo.

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BIBLIOGRAFÍA

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