Resumen: E-018

UN I V ER S I D AD N AC I O N AL D E L N O RDES T E C om u n i c a c i o n e s C i e n t f i c a s y T e c n o l g i c a s 2 0 0 4

Solucin numrica al problema transferencia de calor en pozo intercambiador de calor vertical en el subsuelo

Cabral, G. - Torazza, A. - Busso, A.

Dpto. de Fsica Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UNNE.

Campus Libertad Av. Libertad 5600 3400 Corrientes Argentina.

Tel. 03783 473931 ext 129 Fax. 03783 473930 e-mail: ajbusso@exa.unne.edu.ar.

Introduccion

El inters por el almacenamiento de energa directamente en forma de calor sensible o latente es relativamente

nuevo. Su comienzo se remonta a la primera crisis del petrleo de 1973-1974. En este contexto, el almacenamiento

subterrneo de energa trmica (UTES Underground Thermal Energy Storage) a tenido en los ltimos aos un empuje

particular (IEA, 1995; ASHRAE, 1998).

Un sistema UTES (Underground Termal Energy Storage) consiste en una serie de pozos intercambiadores de

calor (BHE Borehole Heat Exchanger) interconectados por los que circula un fluido caloportador. La Fig.1 muestra

uno de tales pozos intercambiadores.

Debido a la inversin requerida para poner en prctica este tipo de sistemas, es de suma importancia desarrollar

mtodos que permitan su diseo y optimizacin antes de encarar su construccin. Una de las maneras de lograr este

objetivo es mediante clculo y simulacin. As, la conductividad trmica, , del subsuelo y la resistencia trmica, Rb, entre el fluido caloportador y la pared del pozo, son dos parmetros que afectan la eficiencia del depsito de calor y es

por ende deseable su determinacin. A tal fin, el ERT (Ensayo de Respuesta Trmica) es un procedimiento

experimental que permite determinar in situ tanto como Rb. Este ensayo, consiste en hacer circular durante varios das un fluido caloportador a travs del pozo/s intercambiador/res de calor manteniendo constante la inyeccin de potencia,

monitoreando la temperatura de entrada y salida del sistema. Estos datos son luego analizados mediante modelos

matemticos que describen la fsica del problema, siendo el ms popular el mtodo grfico convencional de

determinacin de la pendiente. Este se basa en una aproximacin de la solucin analtica del problema de fuente de

calor lineal, cuya principal suposicin es que durante el experimento la potencia de inyeccin o extraccin de calor se

mantiene constante y conocida (Hellstrom G., 1991). Esta condicin es difcil de lograr en la prctica debido a

diversos factores (Busso, et al, 2003), por tanto el mtodo requiere de la aplicacin de criterios de seleccin y

discriminacin de datos lo que implica cierta experiencia por parte del evaluador (Busso et al, 2000, 2001).

El presente escrito expone los resultados obtenidos resolviendo numricamente el problema de transferencia de

calor unidimensional correspondiente a un pozo intercambiador. La principal ventaja de la solucin numrica es que

contempla las variaciones en la potencia de inyeccin/extraccin reproduciendo as con mayor detalle la realidad fsica

del experimento.

Modelo Matemtico Para modelizar el pozo intercambiador se hacen ciertas suposiciones bsicas:

El calor se propaga en el subsuelo slo por conduccin. La propagacin es unidimensional en la direccin radial. El circuito de tubo en U se reemplaza por un solo tubo de radio equivalente determinado por:

r0

rp

2 n..

con rp = radio interior de los tubos (m) y n = nmero de circuitos U en muestro borehole (Ver Fig.2)

La temperatura del campo lejano se mantiene constante. La distancia de este campo lejano viene dada por:

drp

2 s

. t.

con s = difusividad del subsuelo (m2/s).

La segunda suposicin hace que la ecuacin de calor en coordenadas cilndricas se reduzca a:

c.

tT r t,( )d

d

. 1

r rr k.

rT r t,( )d

d

.dd

.

con = densidad del medio (kg/m3) ; k = conductividad (W/m-K) ; T(r,t) = temperatura en funcin del la distancia radial y el tiempo.

Para la discretizacin del problema se utiliza el mtodo de los volmenes de control. Debido a la simetra

angular existente modelizar uno de los retculos en direccin radial es suficiente, pues todos ellos son equivalentes.

[1]

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Integrando la ec.[1]

t

t t+

t

s

n

r ctT r t,( )d

d

d

d

t

t t+

t

s

n

r1

r rr k

rT r t,( )d

d

d

d

d

d

Figura 1.- Detalle de sistema de pozos intercambiadores de calor

(BHE- Borehole Heat Exchanger) Figura 2.- Modelo reducido del circuito

intercambiador en U

el miembro izquierdo puede expresarse como:

t

t t

t

s

n

r c. r.tT r t,( )d

d

. d d c. Tp

Tp0

.rn

2

2

rs

2

2

.

c. T

pTp0

.rn

2

2

rs

2

2

. c. Tp

Tp0

.rn

rs

2

. rn

rs

.

El primer subndice se refiere a la variable espacial y el segundo a la temporal. Por ejemplo Tp0 se refiere a la

temperatura en el nodo p en el tiempo presente, Tp1 es la temperatura del nodo p en el instante siguiente.

Integrando ahora el miembro derecho de [2] y usando el mtodo implcito de integracin obtenemos:

t

t t

t

s

n

rrr k.

rT r t,( )d

d

.dd

d d

t

t t

tr k.rT r t,( )d

dn

. r k.rT r t,( )d

ds

. d

discretizando los elementos diferenciales del segundo miembro obtenemos:

t

t t

tk rn

.Tn

Ts

x. k r

s.

Tp

Ts

x. d

Aqu es posible seguir tres posibles caminos para la integracin en el tiempo. Usar el mtodo explcito, el

implcito o el de Crank-Nicholson. Por la simplicidad y fiabilidad elegimos el mtodo implcito en el cual:

t

t ttTd T t.

as, la discretizacin de la ec.[5] queda:

k rn

.

xTN

.k r

s.

xTS

. Tp

k rn

.

x

k rs

.

x. t.

agrupando las ec.[4] y [7] y reordenamos trminos:

c. Tp

Tp0

.rn

rs

2

. rn

rs

.k r

n.

xTN

.k r

s.

xTS

. Tp

k rn

.

x

k rs

.

x. t.

Si el espacio entre volmenes de control es constante y los nodos estn en el centro entonces:

rn

rs

2rp

rn

rs

x

definiendo:

an

k rn

.

xas

k rs

.

x

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[2]

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la ec.[8] queda expresada como:

c. Tp

Tp0

. rp

. x

t. a

nTn

asTs

. Tp

an

as

.

definiendo ahora:

V x rp

. ap0

c. V

t. a

pan

as

ap0

entonces la discretizacin queda finalmente como:

Tpap

. anTn

. asTs

. ap0

Tp0

.

Este sistema de ecuaciones lineales se resuelve mediante el algoritmo de la matriz tridiagonal hasta T2.

Dado que se considera que se est inyectando el calor a travs de un nodo borde, la temperatura de ese nodo

borde representa la temperatura media del fluido caloportador. As, el calor inyectado es:

q kT

x.

para T1 se integra la ecuacin [5] junto con la condicin anterior obteniendo la ecuacin:

T1ap

. anT2

. rbq. a

p0T10

.

donde rb es la distancia del nodo borde, la que para nuestro modelo es rb = r0 y ap es

ap

ap0

an

discretizando la ecuacin [11] se obtiene:

q kT1

TB

x

2

.

reordenando miembros resulta que la temperatura en el nodo borde y por tanto la temperatura del fluido es:

TB

T1

q x

2 k..

Anlisis De Datos

El algoritmo se implemento en Visual. El programa permite al usuario ingresar parmetros caractersticos al

ensayo en cuestin, determinar las temperaturas predichas por el algoritmo numrico y por el modelo analtico

aproximado (LSM) calculando los errores y el ndice de mejora. Los datos son presentados en pantalla en tiempo real de

clculo y guardados en un archivo para posterior anlisis. La Fig.4.- muestra la ventana de clculo desarrollada.

Se analizaron series de datos de ensayos de respuesta trmica realizados en Chile y diferentes localidades de

Alemania. Dado que estos datos fueron previamente evaluados siguiendo el mtodo convencional de determinacin de

la pendiente (LSM), los valores de y Rb eran conocidos y fueron utilizados en las simulaciones. Por otro lado, la mezcla de bentonita utilizada como material de relleno en el pozo intercambiador posee una conductividad en un rango

de (k del relleno) 0.7 - 1.5 W/mK y una capacidad calorfica volumtrica (C del relleno) entre 2.0 3.5 MJ/m3-K,

pudiendo estos parmetros ser utilizados como variables de ajuste a la hora de aplicar el algoritmo de clculo.

A los efectos de comparar los resultados de ambos modelos, se define el ndice de mejora Km, como el error

porcentual entre los errores cuadrticos acumulados tomando como base de clculo el modelo LSM, esto es:

100*2

2mod

2

LSM

LSMelo

mE

EEK

=

con el error cuadrtico acumulado expresado por: =t

TTE 2exp2 )(

La Fig.5 presenta la evolucin temporal de la temperatura media experimental del fluido y las predichas por el

modelo numrico y por el LSM. Superpuestas se presentan adems las curvas de error porcentual de cada modelo. Se

aprecia que en ambos casos el modelo numrico lleva a una reduccin del error reproduciendo con mayor detalle las

caractersticas de la curva experimental.

No obstante la mejora en la prediccin de la temperatura, se puede apreciar de las curvas de error, que la

solucin an es insuficiente para reproducir en forma eficaz efectos iniciales durante las primeras horas del ensayo. Esta

desviacin puede explicarse en gran parte por el hecho que ambos modelos (LSM y numrico) suponen al pozo

intercambiador como una fuente lineal de calor, suposicin inicial que se aparta de la realidad fsica del problema. El

LSM parte de la solucin analtica al problema y la aproxima para tiempos grandes, por lo que intrnsecamente no

contempla efectos iniciales en el proceso de transferencia trmica. Por otro lado, el algoritmo presentado resuelve en

forma numrica la ecuacin diferencial de transferencia de calor de una fuente lineal, con lo que es de esperarse una

mayor precisin, hecho este que queda verificado por el menor valor de los errores porcentuales respectivos. No

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[10]

[11]

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obstante cave mencionar que, desde el punto de vista fsico al sistema le toma un tiempo comportarse como una fuente

lineal, tiempo este durante el cual el modelo se aparta de los resultados experimentales.

La Tabla 1.- presenta el ndice de mejora Km obtenido para las distintas series de datos analizadas. Se observa

que en todos los casos el modelo numrico reproduce con menor error el proceso trmico ya que, por la naturaleza del

mismo, tiene en cuenta las variaciones que puedan existir en la potencia de inyeccin. Para el caso particular de

Attenkirchen A, el valor tan bajo obtenido para el coeficiente de mejora (Km = 10) se debe a que la potencia de

inyeccin de calor mostr una gran estabilidad (principal suposicin del modelo LSM), haciendo que, a excepcin de

los efectos iniciales, haya mayor convergencia entre ambos modelos para el resto del tiempo.

Figura 4.- Ventana de clculo del programa para evaluacin de

datos por ajuste con parmetros variables. Figura 5.- Evolucin temporal de temperaturas y errores

para Mannheim (Alemania)

Tabla 1.- Series analizadas y resultados obtenidos.

Datos Ao de realizacin Km (%)

Nekarsulm (Alemania) 2001 60

Markdorf (Alemania) 2002 55

Mannheim (Alemania) 2002 67

Heilbronn (Alemania) 2003 77

Gelnhausenn (Alemania) 2003 52

Quilpue (Chile) 2003 42

Attenkirchen A (Alemania) 2004 10

Attenkirchen B (Alemania) 2004 62

Conclusiones Del anlisis realizado y los resultados obtenidos hasta el momento se pueden extraer las siguientes conclusiones:

La solucin numrica del problema de transferencia de calor unidimensional de una fuente lineal proporciona una herramienta simple que permite predicciones del comportamiento del intercambiador de calor con menor

error que las obtenidas con el modelo LSM.

El coeficiente de mejora Km es de orden variable y depende de las condiciones con que fueron realizadas las experiencias, especialmente, con la constancia en la potencia de inyeccin.

Este algoritmo puede ser usado para la evaluacin de datos de ensayos de respuesta trmica del subsuelo mediante la incorporacin de un algoritmo de ajuste con parmetros variables.

Ya que el algoritmo presentado es bsicamente la solucin al problema de fuente lineal, el mismo no resulta an adecuado para reproducir los fenmenos iniciales del ensayo, ya que toma un cierto tiempo al sistema

fsico comportarse como una fuente lineal, tiempo durante el cual se evidencias las desviaciones encontradas.

Referencias ASHRAE (1998), Operating Experiences with Commercial Vertical Borehole Groundloop Heat Pump Installation, Vol. 1, N8. Busso A., Reuss M., Mller J., Sograri N. (2000). Almacenamiento Subterrneo de Energa Trmica: Resultados de un Ensayo de

Respuesta Trmica del Subsuelo. Avances en Energas Renovables y Medio Ambiente, Vol. 4, N 1.

Busso A., Reuss M.. (2001), Ensayo De Respuesta Termica Del Subsuelo: Mtodo Grafico De La Pendiente Vs. Ajuste Con Dos

Parmetros Variables. Reunin de Comunicaciones Cientficas y Tecnolgicas. SeCyT UNNE. T.54.

Busso, M. Reuss. (2003). Almacenamiento Trmico Subterrneo: Acoplamiento Trmico Ambiental en Ensayos de Respuesta

Trmica. A. Memoria de la XXVII Semana Nacional de Energa Solar. AQC16-01: Mxico.

Helltrom G. (1991) Ground Heat Storage Thermal Analyses of Duct Storage Systems, Dep. of Mathmatics, University of Lund,

Sweeden.

IEA (1995), Implementing Agreement on Energy Conservation Through Energy Storage, Annex 8,4th.

Agradecimiento Queremos agradecer a la SECyT de la UNNE por financiar el proyecto.

Adems, nuestro agradecimiento especial al Dr. Luis Cardon, del INENCO UNSa, por su asistencia, apoyo y

predisposicin durante el desarrollo del modelo matemtico presentado en este trabajo.