METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema...
Transcript of METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema...
![Page 1: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/1.jpg)
METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA
Parte 4: Metodología de la superficie de respuesta (RSM)
Héctor Goicoechea E-mail: [email protected]
http://www.fbcb.unl.edu.ar/laboratorios/ladaq/
![Page 2: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/2.jpg)
Conocer el funcionamiento de un sistema o
proceso.
Encontrar las condiciones óptimas de
funcionamiento.
Mejoras en costo, tiempo, eficiencia,
productividad y /o calidad.
Metodología de la superficie
de respuesta (RSM)
Objetivos
![Page 3: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/3.jpg)
• Desarrollo teórico y primeras aplicaciones (década del 90) o Box y Draper (1987)
o Cornell (1991)
o Montgomery y Myers (1996)
o Araujo y Brereton (1996)
• Aplicaciones en expansión.
Aparición de programas comerciales o Procesos de fabricación industrial
oQuímica
oFarmacéutica
oBiotecnologica
JMP-IN
MINITAB
STATISTICA
STATGRAPHICS
UNSCRUMBLER
R - MATLAB
DESIGN-EXPERT oAlimenticia
oMetalúrgica
oElectrónica
• Originada por el trabajo de Box y Wilson (1951) Box, G. E. P., Wilson, K. G. (1951),“On the experimental attainment of optimum
conditions”, Journal of the Royal Statistical Society, B 13, 1-45
Metodología de la superficie de
respuesta (RSM)
![Page 4: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/4.jpg)
),( 21 xxfy
respuesta
Analizar el
comportamiento
de una
Conjunto de técnicas
matemáticas y estadísticas
modelo
Construir un
Datos
experimentales
Niveles de las
variables
Optimizar Diseño de
experimentos
Metodología de la superficie de
respuesta
![Page 5: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/5.jpg)
Encontrar el
Óptimo
Representación gráfica del modelo
),( 21 xxfy
Metodología de la superficie de
respuesta
![Page 6: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/6.jpg)
Graficas de contorno y superficie de respuesta
Pro
du
cció
n d
e alm
en
dra
s
Gráficos
![Page 7: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/7.jpg)
Pro
du
cció
n d
e alm
end
ras
Cada línea de contorno está formada por todas las
combinaciones de los factores que producen una misma
respuesta: líneas de isorespuesta
Gráficos
Graficas de contorno y superficie de respuesta
![Page 8: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/8.jpg)
Design-Expert® Software
RendimientoDesign Points55.1
20.6
X1 = A: TemperaturaX2 = B: Tiempo
20.00 27.50 35.00 42.50 50.00
24.00
30.00
36.00
42.00
48.00
Rendimiento
A: Temperatura
B: T
iem
po
26.6
32.5
38.4 44.3
44.3
50.2
54.6
56.1
Gráfica de contorno
Gráficos
![Page 9: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/9.jpg)
Gráfica de contornos
Superficie de respuesta
Líneas de isorespuesta
Óptimo de la respuesta
Niveles óptimos
de las variables
Gráficos
![Page 10: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/10.jpg)
Producción
Surfactante
Factores significativos
1 Temperatura 20- 60 ºC
2 Tiempo de incubación 24-48 hs
¡Optimizar el rendimiento!
Rangos
Experimentos exploratorios
Selección de factores
Buscando las mejores condiciones… Experimento parecido a lo que vimos en la competencia
organizada por el rey
![Page 11: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/11.jpg)
T (°C) Tpo Hs) R (g/L)
20 24 20.6
24 24 26.1
28 24 32.0
32 24 36.3
36 24 39.2
40 24 42.0
44 24 42.9
48 24 43.8
52 24 42.5
56 24 41.2
Variaciones de temperatura
Condiciones óptimas de
temperatura
T= 48° R= 43.8 g/L
Temperatura (ºC)
Ren
dim
iento
Grafica de respuesta univariada
Valor óptimo de
temperatura
Sección transversal de la
superficie de respuesta
Estrategia “OVAT”
Optimización univariada
![Page 12: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/12.jpg)
T (°C) Tpo
(Hs)
R (g/L)
48 24 43.8
48 28 47.8
48 32 50.6
48 36 50.8
48 40 49.2
48 44 45.6
Variaciones de tiempo
R= 50.8 g/L
Condiciones óptimas de
tiempo a 48ºC
Tpo= 36 hs Tiempo (horas)
Ren
dim
iento
Grafica de respuesta univariada
Valor óptimo de
tiempo
Estrategia “OVAT”
Sección transversal de
la superficie de
respuesta
Optimización univariada
![Page 13: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/13.jpg)
Variaciones simultáneas de tiempo y
temperatura con un diseño experimental
estadístico
Experimento
(combinación)
Temp.
(°C)
Tiempo
(horas)
Respuesta
(g/L)
1 20 24 20.6
2 20 36 44.9
3 20 48 51.0
4 35 24 36.9
5 35 36 54.9
6 35 48 52.1
7 50 24 43.0
8 50 36 49.1
9 50 48 37.0
![Page 14: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/14.jpg)
Predicción del óptimo por modelado:
Rendimiento = 56.2 g/L Temp.= 34°C, Tiempo= 40 hs
Ren
dim
iento
Valor óptimo de
tiempo y temperatura
9 experimentos
menor trabajo
Variaciones simultáneas de tiempo y
temperatura con un diseño experimental
estadístico: RSM
![Page 15: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/15.jpg)
Design-Expert® Software
RendimientoDesign Points55.1
20.6
X1 = A: TemperaturaX2 = B: Tiempo
20.00 27.50 35.00 42.50 50.00
24.00
30.00
36.00
42.00
48.00
Rendimiento
A: Temperatura
B: T
iem
po
26.6
32.5
38.4 44.3
44.3
50.2
54.6
56.1
mínimo
máximo
Design-Expert® Softw are
Area NAPRO
2.17954E+006
1.18672E+006
X1 = A: pH muestra
X2 = B: Stirring rate
Actual Factor
C: adición sal = 0.94
2.00 3.25 4.50 5.75 7.00
900.00
1000.00
1100.00
1200.00
1300.00Area NAPRO
1.25639E+006
1.25639E+006
1.5569E+006
1.5569E+006
1.85741E+006
1.85741E+006
2.15791E+006
2.45842E+006
1.62857E+006
1.62857E+006
1.72323E+006
1.72323E+006
1.41702E+006
1.41702E+006
Tie
mp
o (h
ora
s)
Grafica de contorno
Temperatura (ºC)
![Page 16: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/16.jpg)
Design-Expert® Software
T (A)1.51
0.77
X1 = B: pHX2 = C: Temp
Actual FactorsA: Apareante = 15.00D: Acetato = 60.00
3.000
3.250
3.500
3.750
4.000
25.00
28.75
32.50
36.25
40.00
1.090
1.123
1.155
1.188
1.220
R
esp
ue
sta
X2 X1
Optimización univariada Sólo llegaría al óptimo si la relación es lineal sin
interacciones
![Page 17: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/17.jpg)
X 1 X 3
X 2
X 1 constante
X 1 X 2
X 3
X 2 constante X 3 constante
),....,( 1 kxxfy
Una misma respuesta puede depender de más de dos
factores
Técnicas de optimización
¿Cuál es el óptimo?
RSM y optimización
![Page 18: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/18.jpg)
Design-Expert® Softw are
Area SUL
513107
333539
X1 = B: Stirring rate
X2 = C: adición sal
Actual Factor
A: pH muestra = 7.00
900.00 1000.00 1100.00 1200.00 1300.00
0.18
0.63
1.09
1.55
2.00Area SUL
320153
369177
418200
467223
516246
10.965
15.847
9.732
7.921
5.396
Design-Expert® Softw are
Area CBZ
Design Points
205584
153080
X1 = A: pH muestra
X2 = B: Stirring rate
Actual Factor
C: adición sal = 1.66
1.00 2.75 4.50 6.25 8.00
800.00
950.00
1100.00
1250.00
1400.00
187103
190356
193610
196863
20011680.61
60.20
45.89
30.94
15.53
Design-Expert® Softw are
Area PIR
239736
163579
X1 = A: pH muestra
X2 = C: adición sal
Actual Factor
B: Stirring rate = 1116.22
2.00 3.25 4.50 5.75 7.00
0.18
0.63
1.09
1.55
2.00Area PIR
168276
183461
198646
213831
229016160.09
120.74
89.61
59.75
30.84
El comportamiento óptimo de un sistema puede
depender de más de una respuesta
Respuesta 1 Respuesta 3 Respuesta 2
Técnicas de optimización de respuestas múltiples
¿Cuál es el óptimo global?
![Page 19: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/19.jpg)
Requerimientos y
pasos para la
aplicación
![Page 20: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/20.jpg)
• Creación de un diseño de experimentos
• Ajuste de un modelo
• Utilización de una técnica de optimización
Explorar el modelo para obtener información
sobre el óptimo
Requerimientos de la RSM
![Page 21: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/21.jpg)
No se le puede exigir al diseño más información de la que puede brindar
• Para construir un modelo se necesitan como mínimo la misma cantidad de
puntos experimentales diferentes que coeficientes a estimar.
• Para evaluar la falta de ajuste se deben incluir repeticiones de un punto
del diseño
22 121222110 xxxy
22 + pcentral
22 + pcentral +
paxiales
curvaturaxxxy 121222110
2
222
2
111121222110 xxxxxy
? o ¿ 2
222
2
111 xx
Diseños y modelos matemáticos
usados
![Page 22: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/22.jpg)
CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO
Experimentos para optimizar la extracción de un alcaloide
pH (X1)
Temperatura (X2)
mg/g (y)
0 -1 43
-1 1 65
1 0 49
0 1 69
-1 -1 21
1 -1 43
1 1 62
-1 0 45
0 0 57
0 0 54
0 0 61
0 0 57
Lineal y= 52.2 + 3.8 x1
+ 14.8 x2
Lineal con Interacción y= 52.2 + 3.8 x1
+ 14.8 x2
- 6.2 x1 x2
Cuadrático y= 56.9 + 3.8 x1
+ 14.8 x2
- 6.2 x1 x2
- 9.2 (x1)2
- 0.2 (x2)2
Construcción del modelo
![Page 23: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/23.jpg)
Modelo SC gl MC F0 p (Ft >F0) R2aj
LINEAL 0.70
Regresión 1408 2 704.2 13.6 0.001 significativa
Error Residual 465.3 9 51.7
FAj 440.6 6 73.4 8.9 0.039 significativa
INTERACCION 0.77
Regresión 1565 3 521.5 13.5 0.002 significativa
Error Residual 309.1 8 38.6
FAj 284.3 5 56.87 6.8 0.070 en el límite
CUADRATICO 0.95
Regresión 1826 5 365.2 46.0 <0.001 significativa
Error Residual 47.9 6 7.9
FAj 22.8 3 761 0.91 0.526 no significativa
Error Puro 24.8 3 8.2
Elegir Modelo: mayor F0 de regresión menor F0 de Falta Ajuste mayor R2
aj
Evaluación del modelo (ANOVA)
![Page 24: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/24.jpg)
Pruebas de hipótesis para los coeficientes del modelo
Modelo cuadrático completo
y = 56.9 + 3.8 x1
+ 14.8 x2
- 6.2 x1 x2
- 9.2 (x1)2
- 0.2 (x2)2
¿Son significativos todos los
términos?
Las hipótesis que hay que probar son: 0 i 1 iH : 0 H : 0
i
0 0.05,k,n k 1
E
CMF F
CM
Significancia del coeficiente:
Evaluación de los coeficientes
![Page 25: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/25.jpg)
Modelo completo
Utilizar el modelo más
simple que describa el
comportamiento del sistema
MODELO CUADRÁTICO
SC gl MC F0 p (Ft >F0)
Regresión 1826 5 365.2 46.0 <0.001
x1 88.2 1 88.2 11.1 0.016
x2 1320 1 1320 166 <0.001
x1 x2 156 1 156 19.7 0.004
(x1)2 228 1 228 28.8 0.002
(x2)2 0.17 1 0.17 0.02 0.889
Residual 47.9 6 7.9
LOF 22.8 3 761 0.91 0.526
Error Puro 24.8 3 8.2
Variable no
significativa
Eliminar del
modelo
Evaluación del los coeficientes
Principio de parsimonia
![Page 26: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/26.jpg)
• Manual
• Eliminación backward:
Modelo completo Modelo depurado
• Adición forward:
Modelo reducido Modelo depurado
Técnicas para depurar los modelos
![Page 27: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/27.jpg)
y = 56.9 + 3.8 x1
+ 14.8 x2
- 6.2 x1 x2
- 9.2 (x1)2
- 0.2 (x2)2
CATEGORÍA DE LOS MODELOS
Modelo completo Modelo jerárquico Modelo reducido
y = 56.9 + 3.8 x1
+ 14.8 x2
- 6.2 x1 x2
- 9.2 (x1)2
y = 38.9 + 13.3 x1
- 0.3 x2
+ 0.1 x1 x2
- 9.2 (x1)2
- 1.2 (x2)2
y = 38.9 + 13.3 x1
- 9.2 (x1)2
- 1.2 (x2)2
y = 38.9 + 13.3 x1
- 0.3 x2
- 9.2 (x1)2 - 1.2 (x2)2
Modelo jerárquico: contiene todos los términos más
simples que componen los términos de mayor orden que
están en el modelo. Comportamiento más estable
Se conserva el
término de
primer orden
Categoría de los modelos
![Page 28: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/28.jpg)
00
k
i ii
y x
Modelo lineal o de primer orden Design-Expert® Software
T (A)1.51
0.77
X1 = B: pHX2 = C: Temp
Actual FactorsA: Apareante = 15.00D: Acetato = 60.00
3.000
3.250
3.500
3.750
4.000
25.00
28.75
32.50
36.25
40.00
1.090
1.123
1.155
1.188
1.220
R
esp
ue
sta
X2 X1
Para dos factores
este modelo tiene 3
términos
Modelos matemáticos para la RSM
Puede verse como X2 tiene igual
comportamiento según X1 (líneas
paralelas)
![Page 29: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/29.jpg)
00
k
i i ij i ji i j
y x x x
Modelo lineal con interacción
Para dos factores
este modelo tiene 4
términos
Design-Expert® Software
R (A)13.232
0.985
X1 = A: ApareanteX2 = D: Acetato
Actual FactorsB: pH = 3.500C: Temp = 32.50
12.00
16.50
21.00
25.50
30.00
20.00
52.50
85.00
117.5
150.0
0.0000
6.250
12.50
18.75
25.00
R
esp
ue
sta
X2 X1
Puede verse como X2
tiene distinto
comportamiento según
X1
Modelos matemáticos para la MSR
![Page 30: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/30.jpg)
2
00 1
k k
i i ii i ij i ji i i j
y x x x x
Modelo cuadrático o de segundo orden
Para dos factores
este modelo tiene 6
términos
Design-Expert® Software
Dureza5.56
2.09
X1 = A: % ManitolX2 = B: %Camphor
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
-1.00 -0.50
0.00 0.50
1.00
2
2.925
3.85
4.775
5.7
D
ure
za
A: % Manitol
B: %Camphor
Modelos matemáticos para la MSR
![Page 31: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/31.jpg)
Modelo cúbico o de tercer orden
Para dos factores
este modelo tiene 10
términos
Design-Expert® Software
R382
1.33
X1 = A: AX2 = B: B
Actual FactorC: C = 0.00
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
-8
10.75
29.5
48.25
67
R
3
A: A B: B
1
2
22212
2
1112
3
2222
3
1111
2
222
2
111211222110
xxxx
xxxxxxxxy
Modelos matemáticos para la MSR
![Page 32: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/32.jpg)
1 Definir los objetivos de la optimización.
2 Seleccionar los factores que resultan significativos.
Plantear adecuadamente el PROBLEMA a resolver y seleccionar la
RESPUESTA a evaluar.
3 Establecer la región de operabilidad.
Considerar las posibilidades instrumentales y la información sobre el
sistema.
4 Seleccionar un entorno experimental. Definir la región del espacio de los factores en donde vamos a planear los
experimentos.
Pasos seguidos para aplicar la RSM
![Page 33: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/33.jpg)
6 Elaborar un modelo matemático.
Obtener la SUPERFICIE DE RESPUESTA y evaluar resultados.
7 Localizar el óptimo (punto o región) buscado para la
respuesta.
Utilizar herramientas gráficas y/o matemáticas para predecirlo.
8 Verificar experimentalmente. Confirmar el valor de la respuesta utilizando los niveles óptimos de los
factores.
5 Construir un diseño experimental de optimización.
Medir datos experimentales.
Repetir los pasos 4 , 5 y 6 si fuera necesario.
Pasos seguidos para aplicar la RSM
![Page 34: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/34.jpg)
Si conocemos poco del sistema, el punto óptimo puede
encontrarse fuera del entorno experimental inicial.
Región de operabilidad
Condiciones en donde el
proceso o equipo puede ser
operado
Entorno experimental
Limitado por los niveles
seleccionados para los factores
X1
X2
X3
El entorno experimental debe moverse hacia la localización del
óptimo.
Región de operabilidad y entorno
experimental
![Page 35: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/35.jpg)
Aproximación al
óptimo con diseños de
primer orden
![Page 36: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/36.jpg)
Aplicar experimentos que permitan moverse rápidamente a las
proximidades del óptimo buscado para la respuesta.
Técnica de
escalamiento ascendente o descendente
Aproximación al óptimo: cuando no se conoce
a priori en que zona se encuentra el óptimo
Modelos de primer orden
![Page 37: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/37.jpg)
Simplex: figura geométrica con
k + 1 vértices (k: nº de factores)
Diseño SIMPLEX
factor 1
fact
or
2
factor 1
fact
or
2
factor 1
fact
or
2
Factorial en dos niveles: se
estudian todas las combinaciones
de los factores en +1 y -1
factor 1
fact
or
2
Diseños para superficie de respuesta
de primer orden
![Page 38: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/38.jpg)
Diseño SIMPLEX
Paso 1
Simplex Inicial: experimentos 1, 2 y 3
La peor respuesta es la del experimento 3 Buscar un opuesto
Método de escalamiento ascendente
sin ajustar modelo: Simplex
![Page 39: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/39.jpg)
Paso 2
Segundo Simplex : experimentos 1, 2 y 4
La peor respuesta es la del experimento 2 Buscar un opuesto
Método de escalamiento ascendente
sin ajustar modelo
![Page 40: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/40.jpg)
Paso 3
Tercer Simplex : experimentos 1, 4 y 5
La peor respuesta es la del experimento 1 Buscar un opuesto
Método de escalamiento ascendente
sin ajustar modelo
![Page 41: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/41.jpg)
Paso 4
Cuarto Simplex : experimentos 4, 5 y 6
Las peores respuestas son las 4 y 5
Método de escalamiento ascendente
sin ajustar modelo
Buscar opuestos
![Page 42: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/42.jpg)
Paso 5
Quinto Simplex : experimentos 5, 6 y 7
Sexto Simplex : experimentos 4, 6 y 8
Método de escalamiento ascendente
sin ajustar modelo
Mejor respuesta: 6
![Page 43: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/43.jpg)
Seleccionar un entorno experimental para un
diseño de segundo orden que permita
localizar el óptimo
Método de escalamiento ascendente
sin ajustar modelo
Paso 6
![Page 44: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/44.jpg)
Se recorre secuencialmente una trayectoria en
sentido de su máxima pendiente, es decir, del mayor
incremento o decremento de la respuesta
ascenso
descenso
00
k
i ii
y x
Superficie ajustada con un modelo de
primer orden
Método de la máxima pendiente
![Page 45: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/45.jpg)
Un interesante y simple ejemplo de literatura
![Page 46: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/46.jpg)
Un interesante y simple ejemplo de literatura
Factores con efecto significativo sobre 2-CP removal:
Glucose concentration (0.0189), Yeast extract (0.0013)
and spore inoculum size (0.0476)
![Page 47: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/47.jpg)
Punto central de los factores que influyen usando modelo de
primer orden
Gradiente considerando ascenso (coeficiente positivo) o
descenso (coeficiente negativo)
Zona de máxima predicción (podría contener al óptimo)
Zona seleccionada para construir un modelo más complejo
![Page 48: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/48.jpg)
Diseños de segundo
orden
![Page 49: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/49.jpg)
1- Proporcionar una distribución razonable de puntos
de datos en el entorno experimental.
N min= 1 + 2k + k (k-1)/2
2- Generar datos que permitan el ajuste de un
modelo matemático de segundo orden:
• Estudiar cada factor en al menos tres niveles para análisis
de curvatura.
• Tener una cantidad de puntos que permitan estimar todos
los términos del modelo cuadrático.
Diseños experimentales para modelos
de segundo orden: Objetivos
![Page 50: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/50.jpg)
k = 3 (tres variables o factores)
• Factores principales: x1 x2 x3
• Interacciones dobles: x1x2 x1x3 x2 x3
• Interacción triple: x1x2x3
• Cuadraturas: x12 x2
2 x32
N min= 1 + 2k + k (k-1)/2 = 1 + 2×3 + 3×(3-1)/2 = 10
Cálculo de número mínimo de
experimentos para 3 factores
![Page 51: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/51.jpg)
3- Posibilitar el estudio de la idoneidad del
modelo y la falta de ajuste.
Repeticiones del punto central o de otro punto (4-6).
N = N min + Co
4- Ser eficiente para el cumplir con el objetivo
propuesto sin requerir demasiados puntos
experimentales.
Diseños experimentales para modelos
de segundo orden: Objetivos
![Page 52: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/52.jpg)
5- Minimizar la varianza de los coeficientes de
regresión del modelo: Ortogonalidad
A B A x B
1 1 1
-1 1 -1
1 -1 -1
-1 -1 1
A con B:
[1×1]+[(-1) ×1]+[1× (-1)]+(-1) ×(-1) = 0
Diseños experimentales para modelos
de segundo orden: Objetivos
![Page 53: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/53.jpg)
6- Posibilitar la realización de experimentos en
bloques:
• Cuando es necesario bloquear el diseño, es
importante mantener la ortogonalidad de los
bloques.
• El punto central debe distribuirse por igual entre los
bloques.
Diseños experimentales para modelos
de segundo orden: Objetivos
![Page 54: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/54.jpg)
0.437
0.437
Error estándar del modelo: leverage
7- Proporcionar un error de predicción estable en
el entorno experimental: Rotabilidad
Diseños experimentales para modelos
de segundo orden: Objetivos
![Page 55: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/55.jpg)
8- Permitir la creación secuencial a partir de diseños
de primer orden:
9- Posibilitar la obtención de diseños aumentados: 2k 3k
3k D-Optimal
Diseños experimentales para modelos
de segundo orden: Objetivos
![Page 56: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/56.jpg)
Diseños
simétricos
![Page 57: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/57.jpg)
Dos factores Tres factores
Punto central
• Combinaciones de todos los niveles de los factores.
• Número de experimentos (N= 3k ).
• El número de experimentos crece rápidamente con el
número de factores.
3 niveles por factor (-1, 0 , +1)
Diseño factorial completo a 3 niveles
![Page 58: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/58.jpg)
Diseño cúbico, que responde al diseño factorial completo 2k
Punto central
Diseño estrella, a una distancia del centro.
Compuesto por:
5 niveles por factor (-α, -1, 0, +1, +α)
• Número de experimentos
(N = 2k +2k + C0)
Diseño central compuesto
![Page 59: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/59.jpg)
Puede generarse a partir de un diseño factorial de
primer orden anterior cuando se observa curvatura y
quiere estudiarse mejor esta región del espacio
experimental.
Diseño inicial Aumento del diseño
curvatura
Factorial en dos niveles: 2k + Co Estrella: 2k+ Co
Bloque 2 Bloque 1
Diseño central compuesto
![Page 60: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/60.jpg)
•Centrado en las caras
•Circunscripto
o Rotable
o Esférico
o Práctico
Los puntos estrella o puntos axiales pueden tomar
distintas ubicaciones en el entorno experimental, a una
distancia α del centro del diseño.
4factn
1
1
k
4 k
Entorno experimental
esférico
Puntos axiales posibles
experimentalmente
Cuasi-Rotables
5k
Diseño central compuesto
![Page 61: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/61.jpg)
Diseño central compuesto centrado
en las caras
α = 1.0 Se transforma en un
diseño de tres niveles.
El entorno experimental
es más acotado.
Es útil cuando en la
práctica no se pueden
modificar fácilmente los
niveles de los factores.
![Page 62: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/62.jpg)
Diseño esférico Diseño rotable Diseño práctico
k Valor de alfa
2 1.414 1.414 1.189
3 1.732 1.682 1.316
4 2.000 2.000 1.414
5 2.236 2.378 1.495
Diseño central compuesto
![Page 63: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/63.jpg)
Diseño central compuesto: tabla
![Page 64: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/64.jpg)
Punto central
• Combinación de diseños factoriales a dos niveles
con diseños de bloques incompletos.
• Número de experimentos: N = 2k (k−1) + C0 )
• Puede aplicarse sólo si k ≥ 3
Tres factores
3 niveles por factor (-1, 0 , +1)
Diseño Box-Behnken
![Page 65: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/65.jpg)
Diseño Box-Behnken: tabla
![Page 66: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/66.jpg)
• Los puntos experimentales son equidistantes entre si.
• Los factores varían en diferente número de niveles
cada uno. Para un diseño de 3 factores: 3, 5 y 7.
x2
• Número de experimentos: N= k2+k+Co)
0 0.5 -0.5 1.0 -1.0
0
1.0
-1.0
x1
Matriz de Doherlet
![Page 67: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/67.jpg)
Central compuesto (CC)
N = 2k +2k + C0
Factorial completo (FC)
N = 3k
2
3
4
5
6
7
Box-Behnken (BB)
N = 2k (k−1) + C0
Diseño más eficiente
Factores Coeficientes Puntos experimentales (N) Eficiencia (E) (modelo cuadrático) (1 punto central)
6
10
15
21
28
36
9
15
25
43
77
143
9
27
81
243
729
2187
-
13
25
41
49
57
0.67
0.67
0.60
0.49
0.36
0.25
-
0.77
0.60
0.51
0.57
0.63
BB CC FC BB CC FC
0.67
0.37
0.18
0.08
0.04
0.02
Cociente entre el número de coeficientes estimados por
el modelo y el numero total de puntos experimentales.
Eficiencia de los diseños
![Page 68: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/68.jpg)
Diseños no simétricos:
D-optimal
![Page 69: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/69.jpg)
Son diseños NO simétricos, logrados mediante
algoritmos computacionales cuyo fin es satisfacer
condiciones establecidas por el operador, tales
como:
• Cantidad de puntos experimentales.
• Tipo de modelo a ajustar.
• Rangos de las variables.
• Regiones no posibles de ensayo.
Diseños optimal
![Page 70: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/70.jpg)
1- Región experimental irregular.
2- Falta de ajuste de modelo cuadrático.
3- Necesidad de reducir la cantidad de puntos
experimentales.
• Se dividen en distintos tipos, nombrados por las
letras del alfabeto.
• El tipo de diseño óptimo se refiere a la
propiedad o criterio que se pondera en el diseño.
Diseños optimal
![Page 71: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/71.jpg)
Es un diseño basado en el criterio de proporcionar una
buena estimación de los parámetros de regresión para
el modelo seleccionado.
11 Puntos Experimentales distintos
Se pierde rotabilidad
Diseño D-optimal
![Page 72: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/72.jpg)
Se crean ecuaciones para
restringir el área donde el
sistema genera
combinaciones no favorables.
Región de alta presión
1.0 2.0
20.0
40.0
Flujo (mL/min)
%
Met
OH
Región
favorable
Se seleccionan puntos
experimentales con una
distribución óptima desde el
punto de vista estadístico.
Diseño D-optimal con restricciones
![Page 73: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/73.jpg)
Puntos seleccionados
Determinante de
XTX máximo
Selección de puntos experimentales en
dominio asimétrico
Buena estimación de
coeficientes y error
de predicción más o
menos estable.
Diseño D-optimal con restricciones
![Page 74: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/74.jpg)
Zonas restringidas: efecto en el error
estándar en un diseño central compuesto
![Page 75: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/75.jpg)
Zonas restringidas: efecto en el error
estándar en un diseño central compuesto
![Page 76: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/76.jpg)
Zonas restringidas: efecto en el error
estándar en un diseño D-optimal
![Page 77: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/77.jpg)
Localización del
óptimo
![Page 78: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/78.jpg)
• Localización del punto estacionario o
región óptima de trabajo (robustez).
• Diseños experimentales de segundo
orden.
• Modelo de segundo orden con buen
ajuste y R2aj mayor a 70%
• Hacer las predicciones con ese modelo.
La optimización implica tener:
![Page 79: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/79.jpg)
Es el punto del espacio de los factores en el cual el plano
tangente a la superficie tiene pendiente igual a cero y es
un “candidato al óptimo”
Punto estacionario
Punto de respuesta
máxima Punto de respuesta
mínima
Punto silla
Loma Valle Silla de montar
![Page 80: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/80.jpg)
0ˆ......ˆˆ21 kxyxyxy
2
00 1
k k
i i ii i ij i ji i i j
y x x x x
Paso 1 Ajustar un modelo de segundo orden con niveles
codificados:
Paso 2 Verificar el tipo de superficie de respuesta obtenida
Análisis gráfico
Análisis canónico
Paso 3 Obtener el punto estacionario
Punto estacionario
![Page 81: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/81.jpg)
Bxx bxTT
0ˆˆ y
En donde:
ˆ
ˆ
ˆ
b
x
1
2
k
1
2
k
x
x
x
β
β
β
Es el vector que
contiene un valor
dado de los
factores
Es el vector
conteniendo los
coeficientes de
regresión de primer
orden
Es una matriz simétrica cuya
diagonal principal está formada
por los coeficientes de los
términos cuadráticos puros
B =
Punto estacionario
![Page 82: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/82.jpg)
La derivada de la función respecto al vector x igualada
a cero es:
02ˆ
Bx b
x
y
bBx -1
02
1-
de donde puede calcularse el punto estacionario:
La respuesta predicha para el punto estacionario estará
dada por:
0 o
1ˆy2
ox b
¿Qué tipo de punto
estacionario es?
¿Es el óptimo que buscamos?
Punto estacionario
![Page 83: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/83.jpg)
Design-Expert® Software
R155.1
20.6
X1 = A: AX2 = B: B
-0.50 0.13 0.75 1.38 2.00
-1.50
-1.13
-0.75
-0.38
0.00
R1
A: AB
: B
22.2
28.828.835.4
42
48.6
Design-Expert® Software
R155.1
20.6
X1 = A: AX2 = B: B
-0.50
0.13
0.75
1.38
2.00
-1.50
-1.13
-0.75
-0.38
0.00
0
14
28
42
56
R
1
A: A B: B
Loma ascendente
¿Qué hacemos en este caso?
Seguimos experimentando en el sentido del óptimo,
siempre que lo permitan las condiciones de operación
del sistema.
![Page 84: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/84.jpg)
Design-Expert® Software
R110
3
X1 = A: AX2 = B: B
-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00
-1.50
-0.75
0.00
0.75
1.50
R1
A: A
B: B
2.42
2.42
3.94
3.94
5.45
5.45
6.97
6.97
8.48
8.48
Design-Expert® Software
R110
3
X1 = A: AX2 = B: B
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
-1.50
-0.75
0.00
0.75
1.50
0
2.5
5
7.5
10
R
1
A: A B: B
Cordillera estacionaria
¿Qué hacemos en este caso?
Podemos seleccionar el mejor punto desde el punto de
vista operacional que de una respuesta satisfactoria.
Habrá muchas soluciones posibles al problema y
podemos decidir sobre la conveniencia del nivel de los
factores.
![Page 85: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/85.jpg)
• El error de predicción de la respuesta es
función del modelo postulado, el
diseño y ubicación del punto.
• Para estar seguros de haber
encontrado un óptimo confiable para
nuestro sistema debemos tener en
cuenta el error en la predicción.
Error de predicción
![Page 86: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/86.jpg)
• Está dado por el producto del Leverage en ese
punto de la superficie, multiplicado por la
variancia experimental.
expˆ VxLyV
• El intervalo de confianza para la respuesta
predicha puede calcularse a partir de su
desviación estándar.
yy stICˆ)05.0(ˆ
Error de predicción
![Page 87: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/87.jpg)
¿Como es una salida de D Expert?
Error de predicción
![Page 88: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/88.jpg)
Error de predicción
![Page 89: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/89.jpg)
LsVxLys
VxLyV
expexp
exp
ˆ
ˆ
yy stICˆ)05.0(ˆ
Error de predicción
![Page 90: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/90.jpg)
Design-Expert® Software
StdErr of Design1.5
0.5
X1 = A: AX2 = B: B
Actual FactorC: C = 0.00
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
0.000
0.250
0.500
0.750
1.000
S
tdE
rr o
f D
esi
gn
A: A B: B
Leverage: función del diseño y del modelo ajustado
Design-Expert® SoftwareR1
Color points by value ofR1:
795.8
1
Run Number
Le
vera
ge
Leverage vs. Run
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17
Design-Expert® SoftwareR1
Color points by value ofR1:
795.8
1
Run Number
Le
vera
ge
Leverage vs. Run
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17
DCC
Modelo Lineal Modelo Cuadrático
puntos centrales
puntos axiales
Error de predicción
![Page 91: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/91.jpg)
Con las repeticiones del punto central se puede
calcular la variancia experimental:
Sexp = 0.57, Vexp = 0.32
Error de predicción: ejemplo
![Page 92: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/92.jpg)
• Con las repeticiones se puede calcular la varianza
experimental:
Sexp = 0.57, Vexp = 0.32
• El leverage en el punto de predicción es
aproximadamente igual a 0.4 (se puede ver la gráfica)
Vypred = L ×Vexp = 0.13
sypred = 0.36
IC = t(0.05, 19) × sypred = 1.73 × 0.36 = 0.62
• Intervalo: 2.57 - 0.62 = 1.95 (D.Expert: 1.73)
2.57 + 0.62 = 3.19 (D.Expert: 3.42)
Error de predicción: ejemplo
![Page 93: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/93.jpg)
Diseños
de mezclas
![Page 94: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/94.jpg)
• En los casos estudiados hasta ahora
se trabajó con variables
independientes.
• Cada variable podía tomar cualquier
valor dentro de su rango,
independientemente del valor
tomado por las otras variables.
Diseños de mezclas
![Page 95: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/95.jpg)
• En una mezcla se tiene una
restricción: la suma de todos los
componentes debe ser igual a 1
(100%).
• Es decir, no pueden ser variados
independientemente, ya que al
hacerlo se puede pasar el porcentaje
de 100.
1
1
0
0 S = 0
S = 1
S = 1
S = 2
S = 1
Diseños de mezclas
![Page 96: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/96.jpg)
Consecuencia:
No es posible aplicar los
diseños vistos a los problemas
de mezclas.
![Page 97: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/97.jpg)
¿Cuando es necesario realizar diseños de
mezclas? Ejemplos:
• Composición de azúcares (u otro nutriente) de un
medio de cultivo que exige que se cumpla cierto valor
de osmolaridad.
• Mezcla de solventes en un proceso extractivo
(diferentes polaridades para diferentes compuestos a
extraer).
• Composición de fases en cromatografía.
• Diferentes ligandos de un comprimido farmacéutico.
• Constituyentes de un alimento.
• Otros.
![Page 98: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/98.jpg)
• El espacio experimental es una figura que tiene
tantos vértices como componentes, en un espacio
cuya dimensionalidad es igual al número de
componentes menos uno.
• La respuesta es una función de las proporciones
de los componentes.
Diseños de mezclas
![Page 99: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/99.jpg)
Tres componentes
• Espacio experimental: triángulo
(cada vértice corresponde a un
componente puro).
• Dimensionalidad: 2
0 x1
1
0
x
2
1
X1+x2 = 1 Dos componentes
• Espacio experimental: segmento
de recta (cada extremo corresponde
a 100 % un componente).
• Dimensionalidad: 1
Diseños de mezclas
![Page 100: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/100.jpg)
1
0.5
0.33
0
Diseños de mezclas
![Page 101: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/101.jpg)
Cuatro componentes
• Espacio experimental: pirámide
(cada vértice corresponde a un
componente)
• Dimensionalidad: 3
Diseños de mezclas
![Page 102: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/102.jpg)
Modelo clásico para un sistema lineal de 2
componentes:
y = b0 + b1 x1 + b2 x2
y = X b + e = ypred + e
=
(XTX)-1XT y = (XTX)-1XTX b
b = (XTX)-1XT y b = [b0 b1 b2 ]
Modelo clásico
![Page 103: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/103.jpg)
ypred = X (XTX)-1XT y ypred = H y (H es conocida como matriz “hat” por sombrero)
Xb = X(XTX)-1XT y
Pero XTX es singular en un diseño de
mezclas
ya que x1+ x2 = 1
Modelo clásico
![Page 104: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/104.jpg)
y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + e
Si (x1+ x2= 1), podemos hacer:
ypred = b0 (x1+ x2)+ b1 x1 + b2 x2 (la suma no se altera)
ypred = (b0 + b1) x1 + (b0 + b2) x2
ypred = b1* x1 + b2* x2
Si x1 = 1, x2 = 0, entonces y = b1*
Si x2 = 1, x1 = 0, entonces y = b2*
Con sólo dos experimentos se pueden calcular fácilmente los
coeficientes del “modelo lineal para dos componentes”
Diseños de mezclas: modelo
![Page 105: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/105.jpg)
Reemplazando: x12 = x1 (1- x2 ) y x2
2 = x2 (1- x1 ), se llega a :
ypred = b1* x1 + b2* x2 + b1-2* x1 x2
Modelo cuadrático para dos componentes
De manera similar se puede llegar a:
ypred = b1* x1 + b2* x2 + b3* x3 + b1-2* x1 x2 + b1-3* x1 x3 +
+ b2-3* x2 x3
Modelo cuadrático para tres componentes
ypred = b1* x1 + b2* x2 + b3* x3 + b1-2* x1 x2 + b1-3* x1 x3 +
+ b2-3* x2 x3 + b1-2-3* x1 x2 x3
Modelo cúbico especial para tres componentes
Diseños de mezclas: modelo
![Page 106: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/106.jpg)
Modelo cuadrático clásico:
yi = o + 1 x1 + 2 x2 + 1-2 x1 x2 + 1-1 x12 + 2-2 x2
2 + i
q
i
q
kji
kjiijkjiijii xxxxxxy1
Modelo de Scheffé:
Henry Scheffé (1907-1977)
Diseños de mezclas: modelo
![Page 107: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/107.jpg)
Simplex lattice Simplex centroid
D-optimal
Diseños utilizados
Diseños de mezclas
![Page 108: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/108.jpg)
Ejemplo # 1 Formulación del un comprimido
en que se busca la mejor mezcla de los tres
ligandos (90.8% del total):
Alfa-lactosa monohidratada (x1), beta-lactosa anhidra
(x2) y almidón de arroz modificado (x3).
Respuestas: fuerza que hay que hacer para romper la
tableta (y1), y la velocidad de disolución (y2).
R. Leardi / Analytica Chimica Acta 652 (2009) 161–172
Diseños de mezclas
![Page 109: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/109.jpg)
Diseños de mezclas. Ejemplo # 1
![Page 110: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/110.jpg)
• Los coeficientes de los términos lineales
corresponden a la respuesta obtenida
con el componente puro.
Modelo obtenido para la primer respuesta:
Si X2 y X3 = 0 → X1 = 1
Diseños de mezclas. Ejemplo # 1
![Page 111: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/111.jpg)
• Los coeficientes de las interacciones dobles
indican el efecto sinérgico. En el ejemplo, si no
hubiera interacción, el valor debería ser el promedio de los
coeficientes para X1 y X2, es decir 72 [(31+113)/2]. Pero
es 120/4 (así se calcula el efecto en las interacciones
dobles, dividiendo por cuatro), es decir 30, o sea 42
unidades menos.
• Los coeficientes de las interacciones triples se
calculan dividiendo por 27
Diseños de mezclas. Ejemplo # 1
![Page 112: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/112.jpg)
• En la figura puede verse que X2 tiene el mayor efecto sobre
Y1 y éste es positivo (pasa de 39 a 113).
• X1 tiene menor efecto, pero negativo (pasa de 70 a 31).
• X3 es el componente con menor efecto (pasa de 42 a 38).
¡Observar que estos efectos no se corresponden con los
valores de los coeficientes como en los modelos clásicos!
Y1 = 39 (X2 = 0)
Y1 = 113
(X2 = 100%) Y1 = 70 (X1 = 0)
Y1 = 31
(X1 = 100%)
Y1 = 42 (X3 = 0)
Y1 = 38
(X3 = 100%)
Diseños de mezclas. Ejemplo # 1
![Page 113: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/113.jpg)
Modelo obtenido para la segunda respuesta:
Mayor
respuesta para
la combinación
de ambos
factores
Diseños de mezclas. Ejemplo # 1
![Page 114: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/114.jpg)
Diseños de mezclas. Ejemplo # 2
Formulación de un comprimido
en el cual hay 20% de droga y el resto
corresponde a una mezcla de 3
excipientes:
1- Lactosa
2- Avicel PH 101 (una celulosa microcristalina)
3- Hidroximetilpropilcelulosa (HMPC)
Comprehensive Chemometrics. Vol 1, página 431
![Page 115: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/115.jpg)
Se mide una propiedad:
Fuerza de rotura (kg) <1.30
Diseños de mezclas. Ejemplo # 2
![Page 116: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/116.jpg)
Se quiere ajustar un modelo
cúbico especial
Diseños de mezclas. Ejemplo # 2
![Page 117: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/117.jpg)
Diseños de mezclas. Ejemplo # 2
![Page 118: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/118.jpg)
Ajuste de la respuesta Fuerza de rotura
Diseños de mezclas. Ejemplo # 2
![Page 119: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/119.jpg)
Diseños de mezclas. Ejemplo # 2
![Page 120: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/120.jpg)
La ‘interacción’ BC se debe mantener para que el
modelo sea jerárquico
Diseños de mezclas. Ejemplo # 2
![Page 121: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/121.jpg)
Gráfica de trazas: “Trace”
• Es una especie de silueta de la superficie de respuesta.
• Representa el efecto de cambiar cada componente en una línea imaginaria a
partir de una mezcla referencia (el centroide)
![Page 122: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/122.jpg)
Gráfica de trazas para el ejemplo # 1
(Leardi)
Es un análisis similar al realizado anteriormente
![Page 123: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/123.jpg)
Diseños de mezclas: uso de restricciones
Ejemplo: es necesario
que los tres
componentes estén
siempre
![Page 124: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/124.jpg)
Diseños de mezclas: a veces es necesario
que nunca estén en forma pura
![Page 125: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/125.jpg)
Diseños de mezclas: Ejemplo # 3
Formulación de un detergente
midiendo dos respuestas:
viscosidad y turbidez
Restricciones:
• 3% ≤ A (agua) ≤ 8%
•2% ≤ B (alcohol) ≤ 4%
•2% ≤ C (urea) ≤ 4%
A+B+C=9%
Tutorial Design Expert
![Page 126: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/126.jpg)
Diseños de mezclas. Ejemplo # 3
![Page 127: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/127.jpg)
Propiedades del diseño
Diseños de mezclas. Ejemplo # 2
![Page 128: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/128.jpg)
Los vértices ya no son puros
Diseños de mezclas. Ejemplo # 2
![Page 129: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/129.jpg)
Efluente de la
industria lechera
Efluente de la
industria
cervecera
Efluente de la
industria
azucarera
Optimization of the Bacillus thuringiensis var. kurstaki HD-1 d-endotoxins production by using experimental mixture design
and artificial neural networks. GA Moreira, GA Micheloud, AJ Beccaria, HC Goicoechea, Biochem. Eng. J., 2007, 35, 48-55.
Diseños de mezclas: Ejemplo # 4
Uso de efluentes industriales para un
medio de cultivo
![Page 130: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/130.jpg)
Modelos mixtos
Mezcla-Proceso Mezcla-Mezcla
x1
x2
x3 x1
x2
x3
x1
x2
x3
x1
x2
x3 x1
x2
x3
z1
z2
x1
x2
x3
z1
z2
z3
z1
z2
z3
z1
z2
z3 z1
z2
z3
![Page 131: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/131.jpg)
Modelo mixto
Lineal x Lineal
Cuadrático x Cuadrático
![Page 132: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/132.jpg)
y = f (x) x g (z)
y = (f1 x1 + f2 x2 + f3 x3) x (g1 z1 + g2 z2 + g3 z3)
y = (f1 x1 + f2 x2 + f3 x3) x g1 z1 + (f1 x1 + f2 x2 + f3 x3) x g2 z2 + (f1 x1 +
f2 x2 + f3 x3) x g3 z3
y = f1 x1 g1 z1 + f2 x2 g1 z1 + f3 x3 g1 z1 + f1 x1 g2 z2 + f2 x2 g2 z2 + f3 x3
g3 z3 + f1 x1 g3 z3 + f2 x2 g3 z3 + f3 x3 g3 z3
33
3
332
3
231
3
1
23
2
322
2
221
2
113
1
312
1
211
1
1
zxbzxbzxb
zxbzxbzxbzxbzxbzxby
Modelo lineal mixto de mezclas
cruzadas para tres componentes
![Page 133: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/133.jpg)
Ejemplo # 5: optimización de un medio de cultivo
para la producción de una proteína recombinante
C. Didier, M. Etcheverrigaray, R. Kratjie, H.C. Goicoechea, Chemom. Intell. Laborat. Syst. 86 (2007) 1
Modelo mixto Mezcla-Mezcla
![Page 134: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/134.jpg)
N sources C sources
Constrains
Modelo mixto Mezcla-Mezcla
![Page 135: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/135.jpg)
Optimización por
sectores
Modelo mixto Mezcla-Mezcla
![Page 136: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/136.jpg)
Commercial product
of high price
Developed product of
low price
Response Modelo F p Adj. R2 p-LOF
IVC QxQ 6.46 < 0.0001 0.722 0.307
qprot QxQ 8.39 < 0.0001 0.781 0.013
BA QxQ 11.04 < 0.0001 0.832 0.052
qlact QxQ 5.46 < 0.0001 0.679 0.233
qamo QxQ 2.85 0.0055 0.500 0.005
Modelo mixto Mezcla-Mezcla
![Page 137: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/137.jpg)
RSM
• Técnica versátil que permite usar
diferentes diseños experimentales y
herramientas estadísticas para optimizar
procesos.
• Puede aplicarse a una o a de varias
respuestas simultáneamente.
Conclusiones
![Page 138: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/138.jpg)
RSM
• Requiere buen criterio del operador y el
correcto uso de la metodología.
• Importante realizar la confirmación
experimental.
Conclusiones
![Page 139: METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA · simple que describa el comportamiento del sistema MODELO CUADRÁTICO SC gl MC F 0 p (F t >F 0) Regresión 1826 5 365.2 46.0](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042213/5eb6d62ef95b830d694f688b/html5/thumbnails/139.jpg)
140