Métodos de Conteo Teoría de Probabilidades Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero...

Métodos de Conteo

Teoría de Probabilidades

Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

¿Qué son los métodos de conteo? Son diferentes estrategias para determinar el total

de posibilidades que existen para formar subconjuntos finitos que poseen características preestablecidas de un conjunto mayor que los contiene.

Son utilizados para establecer las posibles salidas de un experimento.

Permiten calcular las probabilidades de eventos aleatorios.

Las técnicas fundamentales de los métodos de conteo consisten en: Diagramas de conteo, principio de adición, principio de multiplicación, combinaciones, permutaciones.


Notación Ω = es un conjunto no vacío cuyos

elementos , se interpretan como casos que se excluyen mutuamente del fenómento aleatorio en cuestión.

es un conjunto vacío.


Diagrama de Árbol/Conteo Es una representación gráfica exhaustiva de

todos los posibles resultados de el experimento de conformación de un subconjunto finito sobre un conjunto mayor que lo contiene.

Parte de las posibilidades del primero “paso” del experimento y se procede a desglosar las posibles opciones para cada una de las opciones elegidas según el paso anterior.

Permite una representación visual y sencilla para problemas que resultan difíciles de formular.


Ejemplo Lanzamiento de una moneda

Lanzamiento de una moneda dos veces

CaraSello

CaraSello

Cara

Sello

Partida

Cara

Sello

Partida


Ejercicio Una persona puede trasladarse de la ciudad A, a la

ciudad B y visceversa a través de 3 diferentes medios de transporte: Avión, Taxi, Bus; los cuales respectivamente tienen el siguiente costo: 5,3,1 unidades monetarias. De cuantas formas diferentes puede realizar el viaje redondo si sólo dispone de 7 unidades monetarias?

Un proceso de elaboración de un producto consta de 4 etapas en las que la etapa 3 debe realizarse inmediatamente después de la 2. Sin embargo, las demás etapas pueden ser realizadas en cualquier orden. ¿De cuántas formas puede elaborarse el producto?


Principio de Adición Si una acción puede realizarse de n formas y una

segunda acción puede realizarse de m formas, pero no es posible realizar la acción conjuntamente (Mutuamente Excluyentes), entonces la unión de estas actividades pueden realizarse de n+m formas.

El principio de adición debe emplearse cuando se tienen diferentes alternativas para una sola etapa.


Ejemplo Un estudiante al momento de inscribir la

asignatura de probabilidad tiene la opción de elegir al profesor de un total de 4 opciones, y a su vez, cada profesor cuenta con 3 horarios diferentes. ¿Cuántas opciones tiene el Estudiante?


Ejercicio Una persona desea comprar un vehículo y

éste piensa decidir entre las tres siguientes marcas: Mazda, Renault, Kia, más aún, de la primera marca sólo está interesado en el Mazda 6 y Mazda 3, de la segunda sólo está interesado en: Renault Scala, Renault Fluence, y de la tercera sólo en el Kia Río. ¿Cuántas opciones totales de compra tiene?


Principio de Multiplicación El realizar una actividad de r etapas en donde

cada una de ellas puede realizarse de n maneras, entonces el total de formas que se puede realizar la actividad es r*n.

No es necesario que el número de maneras de realizar cada etapa sea homogéneo.

Es de gran importancia analizar la totalidad de etapas necesarias para realizar la actividad.

El principio de multiplicación es ampliamente utilizado en combinación con otros diferentes métodos de conteo.


Ejemplo Cuántas maneras de vestirse existen si una

persona posee 5 pantalones, 4 camisas, 5 chaquetas, 3 pares de zapatos?

Y si se tiene en cuenta la diferencia entre chaqueta abierta y cerrada?


Ejercicio La configuración de un producto depende

básicamente de su color (Blanco, Azul, Negro), su tamaño (Grande, Mediano, Pequeño), su alimentación (Pilas, Batería) y por último de se empaque (Estándar, Especial). ¿Cuántas diferentes opciones de productos dispone el cliente?


Permutaciones sin repetición Una permutación es una arreglo de conjuntos

en el cual se diferencia el orden de sus elementos.

Una alteración en el orden de conjunto se considera una salida diferente.

Se implementan usualmente para obtener el total de formas al combinar letras, personas en filas, posiciones de llegada, etc.

Los arreglos tienen en cuenta el orden de sus elementos.

Cada elemento se puede repetir una sola vez.


Ejemplo De cuántas maneras se puede reordenar la

palabra roca? De cuántas maneras puede resultar el “top 3”

de jugadores de atletismo si entran a la competencia 10 personas?.


Fórmulas Permutaciones sin repetición

!)...3)(2)(1(* nnnnnPn

Con límite de objetos

)!(

!

nm

mmPn

Ejercicio


Sea una fila de hombres y mujeres que consta respectivamente de 8 y 9 personas, ¿Cuántas configuraciones distintas se pueden formar?, Si deben estar ordenadas por sexo, ¿Cuántas configuraciones distintas se pueden formar?

Se tiene una fila con 10 personas. ¿De cuántas formas se puede organizar la fila si Pedro y Pablo deben quedar juntos?

Permutación con Repetición La repetición indica que se pueden

seleccionar más de un elemento de cada clase.

Puede existir un límite de elementos a repetir


Ejemplo Cuántas diferentes configuraciones de placas

existen en Colombia? Cuántas palabras de 10 letras se pueden

formar con las letras Ω=a,a,b,b,b,c,c,d,d,d?


Fórmulas Con repetición:

Con repetición con grupos de objetos iguales:

!!...!!!

!

4321 nn nnnnn

nP

nnr mP

Ejercicio Se está haciendo el plan de producción de un

artículo que sólo se diferencia por su color (Blanco, Negro, Azul). Cuántas configuraciones distintas puede tener el plan de producción si se planean hacer 5 Blancos, 4 Negros y 2 Azules.

Cuántos líneas telefónicas tiene a disposición la compañía de telefonía colombiana Tigo?

¿Cuántas placas de vehículos existen si Sólo pueden haber números pares. Sólo pueden haber vocales y múltiplos de 3.


Combinaciones Son los distintos grupos que se pueden formar al

escoger n elementos sobre un total de m posibilidades.

Una combinación es diferente de otra sólo si tienen elementos diferentes entre sí, en este caso el orden no influye.

Es frecuentemente usado para la conformación de grupos de personas, diferentes posibilidades de experimentos, entre otros.

La obtención de las combinaciones se realiza a través de las ordenaciones de r objetos entre n posibles y dividiendo entre el total de permutaciones de los r objetos.


Ejemplo Un estudiante de ingeniería debe de inscribir

un total de 5 asignaturas sobre 20 asignaturas posibles. ¿Cuántos configuraciones diferentes de asignaturas se pueden formar?

¿Qué relación existe entre las permutaciones y las combinaciones?

¿Cuántas formas diferentes de jugar el Baloto existen?


Fórmulas

!)!(!nnm

mmCn

Consideraciones Cabe señalar, sin embargo, que el uso de las

fórmulas no se debe hacer en forma indiscriminada, tratando de adivinar cuál de todas será la que nos permite resolver un problema en particular. Es esencial considerar la formulación del problema, en términos del principio fundamental del conteo, dibujando un diagrama de árbol, identificando cuándo es aplicable el principio multiplicativo y cuándo el aditivo, cuando importa el orden de los resultados y cuándo no, y cuándo es permisible repetir resultados y cuándo no. Más aún, es una gran ayuda el realizar analogías de situaciones reales con los problemas presentados para tener una noción más acertada de la naturaleza del problema.


Ejercicios Adicionales Cuántos equipos diferentes de tenis dobles

mixtos se pueden organizar con 4 hombres y 5 mujeres? Cada equipo de dobles mixto contiene un hombre y una mujer.

¿Cuántos números pares entre 100000 y 1000000 contienen sólo los dígitos 3, 4 y 8 ?

Cuántos conjuntos no vacíos es posible formar a partir de 10 elementos diferentes?

Ejercicios Adicionales Si para fijar una placa se cuenta con 7 tornillos: 2 son de

acero al carbón, 3 son de acero inoxidable y 2 son de bronce. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar tales tornillos, si se distingue el material del que están hechos?

¿De cuántas formas diferentes se pueden seleccionar 5 cartas de una baraja de 52 de tal forma que se pueda obtener dos pares?

Suponga que usted tiene una urna donde hay 15 balotas numeradas del 1 al 15. Asuma que después, se selecciona una muestra de 5 bolas de la urna. ¿De cuantas formas se puede escoger la muestra si usted ordena las balotas en orden ascendente y el número 10 ocupa el tercer lugar?

Ejercicios Adicionales En una empresa se va a configurar un equipo

de trabajo con las áreas de ventas y producción. Cada una de ellas tiene respectivamente 4 y 5 personas. ¿Cuántos grupos se pueden formar si debe haber siempre la misma cantidad de personas de cada área?

¿Cuántos arreglos de tres letras que contengan al menos una vez la letra “e” es posible formar a partir de las letras a, b, c, d, e, f? Se admite repetición


Ejercicios Adicionales Un comité de 3 personas va a ser escogidos de un

grupo de 10 personas. De cuantas formas puede escogerse el comité si:

No hay restricciones A y B no aceptarán trabajar en el comité juntos. C y D sólo formarán parte del comité si los 2 están juntos. Como cambian las 3 respuestas anteriores si se debe escoger

un comité, y a su vez en este se debe escoger el presidente, el tesorero y el secretario

¿Cuántas placas de vehículos existirían en Colombia si Sólo deben existir números pares. Sólo puede haber un número pero puede estar ubicado en

cualquier parte. Los números y letras pueden estar ubicados en cualquier parte.


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