4.4 Métodos de integración de la ecuación dinámica.

Para el cálculo de perfiles de flujo gradualmente variado se utiliza la ecuación

(4.4a y/o 4.12) que no tiene solución explícita puesto que ni la pendiente de

fricción en flujos reales ni el número de Froude son conocidos, por lo que hay que

recurrir a métodos numéricos que tratan de aproximar una solución. Se deben

hacer algunas suposiciones, entre ellas:

Se consideran sub-tramos de análisis relativamente pequeños, de tal forma que se

pueda considerar flujo uniforme y así determinar la pendiente de fricción utilizando

una ecuación de resistencia al flujo, usualmente Manning.

La pendiente del canal es pequeña, por ende la profundidad del flujo medida

verticalmente es aproximadamente igual a la profundidad medida

perpendicularmente al fondo, es decir que no se requiere corregir la profundidad

de flujo por la pendiente.

El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante hidráulico y constante en

todo el tramo en consideración. Para conocer la variación de la profundidad del

flujo gradualmente variado en relación con la longitud del canal ya sea hacia

aguas arriba o aguas debajo de la sección de control, se emplean métodos

teóricos aproximados entre los cuales los más usados son:

El método de integración directa, método de integración grafica, método del paso

estándar, método del paso directo.

Independientemente del método de cálculo seleccionado es importante resaltar

que para los cómputos se debe considerar el tipo de flujo, ya sea subcrítico o

supercrítico, crítico, o con pendiente horizontal o adversa y definir el tipo de perfil

de flujo: M, S, C H o A, respectivamente. También, se deben localizar los

respectivos controles al flujo, puesto que en flujo subcrítico el cálculo se hace

desde aguas abajo y en flujo supercrítico desde aguas arriba.

La pendiente de fricción se debe determinar a partir de alguna ecuación de

resistencia al flujo, por ejemplo la de Manning.

El proceso de cálculo es usualmente el siguiente:

1. Determinar parámetros básicos de diseño: topografía, suelos, caudal, etc.

2. Diseñar completamente el canal por tramos y conocer todos los elementos.

3. Determinar el tipo de pendiente del canal: subcrítica, supercrítica, crítico,

horizontal o adversa.

4. Identificar los controles del flujo: compuertas, presas, vertederos, cambios de

pendiente y caídas.

5. Determinar los elementos hidráulicos en la sección de control.

6. Analizar los perfiles de flujo que se presentan aguas arriba y aguas abajo del

control: M, S, C, H,A.

7. Calcular los perfiles de flujo a partir de la sección de control.

En general, existen dos casos de cálculo:

a) Solución directa.

Se conoce la variación de profundidades del agua dy y el problema es encontrar la

distancia entre ellas (dx).

b) Solución por iteraciones.

Se desconoce la variación de profundidades del agua (dy) y se conoce la distancia

entre ellas (dx). Como tanto Sf como FR son funciones de y; y ésta solo se conoce

en la sección de control, la profundidad del agua en la siguiente sección debe

encontrarse por aproximaciones sucesivas.

4.5 Método de Integración Directa.

La ecuación diferencial de flujo gradualmente variado no puede expresarse

explícitamente en términos de “d” para todos los tipos de secciones transversales

del canal; por consiguiente una integración directa y exacta de la ecuación

dinámica del flujo gradualmente variado es casi imposible. Inicialmente solo se

aplico a determinadas secciones del canal, pero luego se generalizó. El método

descrito aquí es el resultado de un estudio sobre muchos de los métodos

existentes. Mediante este método, los exponentes hidráulicos para el flujo crítico y

normal, M y N, son las constantes.

Este método realiza una integración directa y exacta de la Ecuación del flujo

gradualmente variado, considerando que los exponentes hidráulicos para flujo

crítico y normal, M y N, son constantes:

La ecuación del flujo gradualmente variado es:

Sustituyendo estos valores del flujo crítico y normal en la ecuación del flujo

gradualmente variado (4.16) donde C1, C2 son coeficientes se tiene:

Esta ecuación puede integrarse para la longitud L del perfil, considerando que N y

M son constantes, porque al integrarse a la expresión (4.17):

Donde:

Cuando se calcula un perfil de flujo, por este método, primero se analiza el flujo en

el canal y luego se divide el canal en tramos. Después se determina la longitud de

cada tramo mediante la ecuación (4.24) a partir de profundidades conocidas o

supuestas en los extremos de cada tramo.

El procedimiento del cálculo es como sigue:

1. Calcule el tirante normal del canal (dn) y el tirante crítico (dc) a partir de los

datos proporcionados Q, S0, n y talud (si el canal es trapecial).

2. Determine los exponentes hidráulicos N y M para una profundidad del flujo

promedio estimado en cada tramo auxiliándose de la figura 6.2 (Curvas de valores

de N) que varia dentro de un rango de 2.0 a 5.3, entrando con el valor obtenido de

la relación dn/d y el valor del talud del canal se determina el valor de N. Para

encontrar el valor de M, se utilizara la figura 4.2 (Curvas de valores de M) entrando

con el valor de N y el talud del canal.

5. A partir de la función de flujo variado dada en la tabla del apéndice D, encuentre

los valores a F (u,N) y F(v,J).

6. Calcule la longitud del tramo a partir de la ecuación (4.24).

4.6 Método de Integración Gráfica.

Este método tiene como objetivo integrar la ecuación dinámica de flujo

gradualmente variado mediante un procedimiento grafico. Consideremos dos

secciones de canal (fig. 4.9a) localizada a unas distancias x1 y x2 respectivamente

desde un origen seleccionado y con los tirantes de agua d1 y d2 correspondientes.

La distancia a lo largo del canal es:

Supongamos varios valores de “d” y calcule los valores correspondientes de dx/dd,

el cuales el recíproco del lado derecho de la ecuación de flujo gradualmente

variado, es decir de la ecuación (4.12). Luego se construye una curva de d contra

dx/dy (fig. 4.9b). De acuerdo con la ecuación (4.25), es claro que el valor de x es el

área sombreada formada por la curva el eje “y” y las ordenadas de dx/dd

correspondientes a d1 y d1. Luego puede medirse esta área y determinarse el

valor de x. El valor de dx/dd será:

Este método tiene una aplicación muy amplia. Se aplica al flujo de canales

prismáticos y no prismáticos de cualquier forma y pendiente. El procedimiento es

sencillo y fácil de seguir. Sin embargo puede volverse muy complejo cuando se

aplica a problemas reales, para facilitar el cálculo de la longitud del perfil se

recomienda llenar la tabla 4.2 de cálculo de la longitud del perfil y para dibujar

dicho perfil.

El valor de para casos prácticos se desprecia y vale la unidad, para casos teóricos

el valor de alfa puede valer 1.10 o más.