Métodos de Métodos de Investigación 2Investigación 2

¿¿Qué es la Lógica?Qué es la Lógica?

¿Para qué sirve y quién la ¿Para qué sirve y quién la usa?usa?

DefiniciónDefinición

La lógica es una ciencia formal, que La lógica es una ciencia formal, que estudia las estudia las estructuras lógicas del estructuras lógicas del pensamientopensamiento y el lenguajey el lenguaje que se utiliza que se utiliza para expresar dicho pensamiento. para expresar dicho pensamiento.

Una Una definición formaldefinición formal : : ciencia que ciencia que estudia las formas de los pensamientos estudia las formas de los pensamientos como medio para lograr la corrección y como medio para lograr la corrección y verdad de los mismos.verdad de los mismos.

¿Qué lenguaje usa la lógica?¿Qué lenguaje usa la lógica?

El lenguaje de la lógica puede ser El lenguaje de la lógica puede ser natural natural o o simbólicosimbólico (aunque la naturaleza del lenguaje (aunque la naturaleza del lenguaje sea precisamente ser una sea precisamente ser una forma simbólicaforma simbólica de de referirnos a los objetos).referirnos a los objetos).

En Métodos 2 se estudia el En Métodos 2 se estudia el conceptoconcepto y sus y sus operaciones para determinar su importancia operaciones para determinar su importancia lógico-metodológica en la construcción y lógico-metodológica en la construcción y formalización de los conceptos necesarios en la formalización de los conceptos necesarios en la elaboración de una investigaciónelaboración de una investigación

En el estudio de la Lógica se trata de En el estudio de la Lógica se trata de aprender el aprender el uso del lenguaje uso del lenguaje simbólicosimbólico (es decir, de la manera de (es decir, de la manera de representar lingüísticamente a los representar lingüísticamente a los objetos). objetos).

La finalidad es que comprendas la La finalidad es que comprendas la intencionalidad de las expresiones intencionalidad de las expresiones lingüísticas y puedas determinar las lingüísticas y puedas determinar las relaciones lógicas que subyacen en relaciones lógicas que subyacen en el lenguaje natural o cotidiano.el lenguaje natural o cotidiano.

ObjetivosObjetivos

Se trata de conocer las aplicaciones Se trata de conocer las aplicaciones metodológicas del metodológicas del razonamientorazonamiento y su y su vinculación con los diferentes métodos vinculación con los diferentes métodos utilizados en la utilizados en la investigación científicainvestigación científica..

Para evitar la ambigüedad e imprecisión Para evitar la ambigüedad e imprecisión que a veces puede resultar del modo de que a veces puede resultar del modo de organizar y argumentar nuestras ideas, es organizar y argumentar nuestras ideas, es necesario estructurarlas de forma lógica y necesario estructurarlas de forma lógica y precisa para comunicar con exactitud lo precisa para comunicar con exactitud lo que pensamos a nuestros semejantes. que pensamos a nuestros semejantes.

Orígenes de la lógicaOrígenes de la lógica Los sofistas (grupo de filósofos anteriores y/o Los sofistas (grupo de filósofos anteriores y/o

contemporáneos a Sócrates) van a convertir la contemporáneos a Sócrates) van a convertir la Retórica Retórica en una técnica argumentativa en una técnica argumentativa realizando investigaciones lingüísticas, a tal realizando investigaciones lingüísticas, a tal grado que crean la Gramática y la Sintaxis; pero grado que crean la Gramática y la Sintaxis; pero como la Retórica implicaba el arte de la oratoria, como la Retórica implicaba el arte de la oratoria, tuvieron que esbozar una doctrina sobre el arte tuvieron que esbozar una doctrina sobre el arte de probar y refutar las argumentaciones.de probar y refutar las argumentaciones.

Aristóteles estableció los principios lógicos Aristóteles estableció los principios lógicos de identidad, de no contradicción y de de identidad, de no contradicción y de tercero excluidotercero excluido; propuso la teoría del ; propuso la teoría del concepto, del juicio, del razonamiento, de la concepto, del juicio, del razonamiento, de la argumentación, de la probabilidad, de la verdad, argumentación, de la probabilidad, de la verdad, y trató el problema de las ciencias deductivas y y trató el problema de las ciencias deductivas y de las ciencias experimentales.de las ciencias experimentales.

No fue No fue AristótelesAristóteles (384- (384- 322 A. C.) quien le puso 322 A. C.) quien le puso nombre a esta ciencia nombre a esta ciencia de la de la LógicaLógica, sino sus , sino sus discípulos, los cuales al discípulos, los cuales al darse cuenta de que los darse cuenta de que los apuntes tomados en las apuntes tomados en las clases de su maestro clases de su maestro continuamente se continuamente se referían a la razón, referían a la razón, decidieron darle el decidieron darle el nombre de Lógica nombre de Lógica (logiké), que significa (logiké), que significa “lo relativo a la razón”.“lo relativo a la razón”.

Posteriormente Posteriormente Francis Francis BaconBacon (1561-1626) (1561-1626)

realizó uno de los realizó uno de los primeros intentos de primeros intentos de sistematización de la sistematización de la

inducción en la época inducción en la época moderna con la moderna con la

creación de las creación de las tablas tablas inductivasinductivas que que

permitían el manejo de permitían el manejo de una variable como una variable como causa directacausa directa del del

fenómenofenómeno

Las Tablas Inductivas de Las Tablas Inductivas de BaconBacon

Tablas Causales Descripción

De Presencia La presencia de la causa originaba el efecto, por lo que en ella se registraban todos los casos diferentes en los que ocurría el mismo fenómeno.

De Ausencia Donde se aseguraba que si se quitaba la causa, el efecto desaparecía. En ella se anotaban los casos en los que el fenómeno no ocurría a pesar de que se presentaban las mismas circunstancias en las que solía ocurrir el fenómeno.

De Grados Donde se suponía que la variación de la causa ocasionaba la variación del efecto. El registro que en ella se hacía era sobre las variaciones que presentaban los diferentes casos analizados del fenómeno.

Otros filósofos que Otros filósofos que desarrollaron la lógica como desarrollaron la lógica como

cienciaciencia Son interesantes también Son interesantes también

los avances aportados por los avances aportados por Galileo Galilei, John Stuart Galileo Galilei, John Stuart Mill, G. W. F. Hegel, Johann Mill, G. W. F. Hegel, Johann Heinrich Lambert, George Heinrich Lambert, George Boole, F. L. G. Frege, y a Boole, F. L. G. Frege, y a los considerados como los los considerados como los grandes sistematizadores grandes sistematizadores de la de la Lógica Matemática Lógica Matemática ClásicaClásica: : Bertrand Russel Bertrand Russel y Alfred North y Alfred North WhiteheadWhitehead, autores de la , autores de la famosa obra famosa obra Principia Principia Mathematica, Mathematica, publicada publicada entre 1910 y 1913entre 1910 y 1913

Esta lógica matemática Esta lógica matemática se convierte en una se convierte en una ciencia particular, ciencia particular, independiente de la independiente de la filosofía, y se distingue filosofía, y se distingue de la Lógica Tradicional de la Lógica Tradicional Aristotélica, entre otras Aristotélica, entre otras cosas, por el tipo de cosas, por el tipo de estudio que realiza de estudio que realiza de las estructuras del las estructuras del pensamiento, mediante pensamiento, mediante un lenguaje simbólico un lenguaje simbólico riguroso y formalmente riguroso y formalmente constituído.constituído.

Ahora se estudian dos tipos Ahora se estudian dos tipos de lógica al menos:de lógica al menos:

Tipo de Lógica Descripción

Lógica Formal Estudia las condiciones para que un pensamiento pueda considerarse correcto. Se subdivide en el estudio del concepto, del juicio y del raciocinio. Dentro de este tipo de lógica está la Aristotélica y la Simbólica o MatemáticaSe considera correcto al pensamiento que está de acuerdo con su propia estructura, con las leyes de la razón y es congruente consigo mismo. No quiere decir que dicho pensamiento sea verdadero fácticamente.

Lógica Material Estudia las condiciones para llegar a un pensamiento verdadero. Se subdivide en el estudio de la verdad, la certeza, la ciencia y sus métodos.En cuanto pensamiento verdadero, se entiende correspondiente y objetivo con la realidad.

Lógica Proposicional, simbólica Lógica Proposicional, simbólica o matemática (dentro de la o matemática (dentro de la

lógica formal)lógica formal) ¿Qué es una proposición?¿Qué es una proposición? En lógica se En lógica se

entiende que una proposición es una entiende que una proposición es una oración o enunciado declarativo afirmativo oración o enunciado declarativo afirmativo o negativo:o negativo:

““La ventana es rectangular”La ventana es rectangular” ““El disco es redondo”El disco es redondo” ““El agua contiene dos elementos químicos El agua contiene dos elementos químicos

diferentes”diferentes” ““La tierra es un planeta que gira alrededor La tierra es un planeta que gira alrededor

del sol”, etcéteradel sol”, etcétera

Hay dos tipos de

proposiciones

Simples o Atómicas: Son aquellas que constan de sólo una proposición, como las mencionadas anteriormente:“La ventana es rectangular”, “el disco es redondo”, etc.

Compuestas o Moleculares: Son aquellas que constan de dos o más proposiciones, unidas mediante las llamadas conectivas lógicas: la conjunción, la disyunción, la condicional y la bicondicional:“La ventana es rectangular y el marco es de madera”“Si hoy es lunes entonces mañana es martes”

Tabla de simbolizaciónElementos naturales: Simbolización:

Proposiciones simples:

“La ventana es de cristal”“El marco es de madera”

“El agua contiene oxígeno”“El agua contiene hidrógeno”

PQ

RS

Conectivas Lógicas:ConjunciónDisyunciónCondicionalBicondicional

Negación

ɅV→↔

~Proposiciones compuestas:“La ventana es de cristal y el marco es de madera”

“Si el agua contiene oxígeno entonces el agua contiene también hidrógeno”

P Ʌ Q

R → S

Tablas de verdadTablas de verdad

En estas tablas de lo que se trata es de En estas tablas de lo que se trata es de establecer la establecer la validez formal validez formal de una de una proposición. En ese sentido se trata de proposición. En ese sentido se trata de establecer cuándo una proposición es establecer cuándo una proposición es válida (independientemente de su válida (independientemente de su veracidad objetiva).veracidad objetiva).

Para realizar estas tablas es necesario Para realizar estas tablas es necesario conocer y aplicar las reglas de las tablas conocer y aplicar las reglas de las tablas de verdad de cada conectiva que se usade verdad de cada conectiva que se usa

Cada proposición, hipotéticamente, puede ser verdadera o falsa, por lo que las tablas de verdad, en cada proposición, examinan ambas posibilidades:

P

V

F

Q

V

F

R

V

F

~ P ~ Q ~ R

F F F

V V V

Cuando tenemos una proposición compuesta por dos o más proposiciones, se tiene que considerar la combinación total de los valores hipotéticos, de acuerdo con el número de proposiciones o con la fórmula 2n donde el 2 es el número de valores (veradero y falso) y n es el número de proposiciones. Dicha fórmula se usa para determinar el número de combinaciones probables en una proposición compuesta o molecular.

{ P Ʌ ( Q → R ) }

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Para resolver una tabla de verdad, primero se asignan los valores combinados de verdad y falsedad, de acuerdo al número de proposiciones que hay: en este caso 3, es decir 23 lo que nos da un resultado de 8 combinaciones:

En este caso, a P le ponemos la mitad de 8 como verdaderos y la otra mitad falsos, a Q la mitad de la mitad (2, 2, 2, 2) y a R una y una.

{ P Ʌ ( Q → R ) } Número de combinaciones

V V V V 1

V V F F 2

V F V V 3

V F V F 4

F V V V 5

F V F F 6

F F V V 7

F F V F 8

Una vez que tememos hecha la asignación de la combinación de los valores, examinamos los signos de agrupación para aplicar la regla correspondiente:

Lo primero que tenemos que resolver es el paréntesis que agrupa a Q con R a través de la condicional, cuya regla dice: “la condicional es verdadera en todos los casos, excepto cuando el antecedente (Q) es verdadero y el consecuente (R) es falso”. Esto ocurre en la combinación 2 y 6. Todos los demás casos son verdaderos

{ P Ʌ ( Q → R ) } Número de combinaciones

V V V 1

V F F 2

V V V 3

V V V 4

F F V 5

F F F 6

F F V 7

F F V 8

Una vez que tenemos los valores de la condicional entre Q y R, con esos valores obtenemos los de la conjunción que une a P con la proposición dentro del paréntesis:

Para resolver esta conjunción, se toman los valores de P y los de la condicional que acabamos de obtener. La regla de la conjunción dice que es verdadera sólo si ambas proposiciones son verdaderas. Tal es el caso en las combinaciones 1, 3 y 4.

Reglas de implicación o Reglas de implicación o inferenciainferencia

Son proposiciones simbolizadas que, Son proposiciones simbolizadas que, a través de premisas (generalmente a través de premisas (generalmente dos) nos permiten realizar u obtener dos) nos permiten realizar u obtener conclusiones a partir de ellas.conclusiones a partir de ellas.

Sirven para mostrar la forma en la Sirven para mostrar la forma en la que válidamente se pueden obtener que válidamente se pueden obtener conclusiones.conclusiones.

Principales reglas de inferenciaPrincipales reglas de inferenciaReglas que funcionan exclusivamente con condicional

Simbolización(de dos premisas obtenemos una tercera)

Ejemplificación

Modus Ponendo Ponens MPP (Modo Afirmar Afirmando)

En una proposición, si afirmamos el antecedente, tenemos que afirmar el consecuente

1) P → Q2) P» (por lo tanto)3) Q

1) Si la tierra es un planeta, entonces gira alrededor del sol

2) La tierra es un planeta» (por lo tanto)3) Gira alrededor del sol

Modus Tollendo TollensMTT (Modo Negar Negando)En una proposición, si negamos el consecuente, entonces la regla nos permite negar el antecedente

1) P → Q2) ~ Q»3) ~ P

1) Si el agua es un metal, entonces su estado permanente es sólido

2) Su estado permanente no es sólido

»3) El agua no es un

metal

Modus Tollendo Ponens MTP(funciona exclusivamente con la disyunción)Si negamos una parte de una disyunción, entonces afirmamos la otra.

1) P V Q2) ~ P»3) Q

1) O este animal es vertebrado o es invertebrado

2) Este animal no es vertebrado

»3) Es invertebrado

SimplificaciónLSSi tenemos una conjunción, esta regla nos permite dejar sola a alguna de las dos proposiciones

1) P Ʌ Q»2) P (o Q)

1) Las flores son amarillas y el cielo es azul

»2) Las flores son amarillas

AdiciónAdSi tenemos una proposición simple, la podemos unir a otra con la disyunción

1) P»2) P V Q

1) El oxígeno es un gas»2) El oxígeno es un gas o es un

líquido

ConjunciónConjSi tenemos dos proposiciones simples o compuestas separadas, entonces las podemos unir mediante la conjunción

1) P2) Q»3) P Ʌ Q

1) El hierro es un metal2) El oxígeno es un gas»3) El hierro es un metal y el oxígeno

es un gas

Silogismo hipotéticoSHFunciona como una cadena de condicionales: unimos condicionalmente el antecedente de la primera condicional con el consecuente de la segunda condicional.

1) P → Q2) Q→ R»3) P → R

1) Si mezclo dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno entonces obtengo agua

2) Si obtengo agua entonces puedo experimentar sus tres estados físicos

»3) Si mezclo dos átomos de

hidrógeno y uno de oxígeno entonces puedo experimentar sus tres estados

Dilema ConstructivoDCSi tenemos en una premisa la unión conjuntiva de dos condicionales, y en otra premisa la unión disyuntiva de los antecedentes de esas dos condicionales, entonces podemos obtener como conclusión la unión disyuntiva de los consecuentes de esas dos condicionales

1) (p→q) Ʌ (r→ s)2) (p V r)»3) (q V s)

1) Si la Tierra es un planeta entonces el sol es una estrella, y si la Tierra gira alrededor del sol, entonces el sol es su centro de gravedad

2) La Tierra es un planeta o gira alrededor del sol

»3) El sol es una estrella o el sol es centro de

gravedad

Dilema DestructivoDDSi tenemos en una premisa la unión conjuntiva de dos condicionales y en otra premisa la unión de los consecuentes negados de esas condicionales, entonces podemos concluir con la unión disyuntiva de los antencedentes negados de esas condiconales

1) (p→ q) Ʌ (r→ s)2) (~q V ~s)»3) (~p V ~r)

1) Si la tierra es un planeta entonces el sol es una estrella, y si la Tierra gira alrededor del sol, entonces el sol es su centro de gravedad

2) El sol no es una estrella o el sol no es su centro de gravedad

»3) La Tierra no es un planeta o la Tierra no gira

alrededor del sol

Extensión Ejemplo Contenido

+

A mayor extensión, menor contenido del

concepto

-

Libro

Libro de matemáticas

Libro de matemáticas 1° grado

Libro de matemáticas 1° grado para

Bachilleres

-

A menor extensión mayor contenido

+

El concepto “libro” cuenta con mayor extensión (porque se habla de un libro cualquiera) pero tan pronto comenzamos a definirlo como de matemáticas y su grado, su extensión es menor pero su contenido es mayor.

Ejercicios con reglas de Ejercicios con reglas de implicaciónimplicación

Veamos estos Veamos estos ejercicios y su ejercicios y su solución:solución:

1. q 1. q →→ ~ (s V p) ~ (s V p) 2. q2. q

\ ~ (s V p) \ ~ (s V p)

A:A:

1. (r V q)1. (r V q)

2. (r 2. (r →→ t) ˄ (q t) ˄ (q →→ s) s)

\ \

3. (t V s) 3. (t V s)

B:B:

1. ~ (q 1. ~ (q →→ s) V f s) V f

2. ~ f2. ~ f

\ \

3. ~ (q 3. ~ (q →→ s) s)

C:C:

1. (t V p) 1. (t V p) →→ s s

2. r 2. r →→ (t V p) (t V p)

\\

3. r 3. r → s→ s

D:D:

1. ~ m 1. ~ m →→ t t

2. ~ t2. ~ t

\\

3. m3. m

¿Por dónde comenzar?¿Por dónde comenzar?

1. q 1. q →→ ~ p ~ p pp

2. r 2. r →→ p p pp

3. q ˄ s 3. q ˄ s p p

\ ~ r ˄ s\ ~ r ˄ s

├─── ├───

4.4.

La premisa 3 es La premisa 3 es una conjunción, y una conjunción, y la conclusión a la la conclusión a la que tenemos que que tenemos que demostrar también demostrar también es una conjunciónes una conjunción

1. q 1. q →→ ~ p p ~ p p

2. r 2. r →→ p p p p

3. q ˄ s 3. q ˄ s p p

\ ~ r ˄ s \ ~ r ˄ s (esto es lo que hay (esto es lo que hay

que demostrar)que demostrar)

├─── ├───

4. q Simpl. en 34. q Simpl. en 3

Si simplificamos q de Si simplificamos q de la premisa 3, que es la premisa 3, que es una conjunción una conjunción entonces obtenemos entonces obtenemos el antecedente de la el antecedente de la condicional de la condicional de la premisa 1: qpremisa 1: q

Tenemos que justificar Tenemos que justificar la premisa 4 la premisa 4 señalando de dónde señalando de dónde salió y con qué reglasalió y con qué regla

1. q 1. q →→ ~ p p ~ p p

2. r 2. r →→ p p p p

3. q ˄ s 3. q ˄ s p p

\ ~ r ˄ s \ ~ r ˄ s

├─── ├───

4. q Simpl. en 34. q Simpl. en 3

5. ~ p MPP en 1 y 45. ~ p MPP en 1 y 4

La premisa 5 es el La premisa 5 es el resultado de la 1 y resultado de la 1 y de la 4, las cuales de la 4, las cuales ponemos aquí así ponemos aquí así para que se vea que para que se vea que entre ellas se aplica entre ellas se aplica un MPP:un MPP:

1. q 1. q →→ ~ p ~ p 4. q4. q 5. ~ p5. ~ p

1. q 1. q →→ ~ p p ~ p p

2. r 2. r →→ p p p p

3. q ˄ s 3. q ˄ s p p

\ ~ r ˄ s \ ~ r ˄ s

├─── ├───

4. q Simpl. en 34. q Simpl. en 3

5. ~ p MPP en 1 y 45. ~ p MPP en 1 y 4

6. ~ r MTT en 2 y 56. ~ r MTT en 2 y 5

La premisa 6, del La premisa 6, del mismo modo, es mismo modo, es resultado de un resultado de un MTT aplicado en MTT aplicado en las premisas 2 y 5:las premisas 2 y 5:

2. r 2. r →→ p p 5. ~ p5. ~ p 6. ~ r6. ~ r

1. q 1. q →→ ~ p p ~ p p

2. r 2. r →→ p p p p

3. q ˄ s 3. q ˄ s p p

\ ~ r ˄ s \ ~ r ˄ s

├─── ├───

4. q Simpl. en 34. q Simpl. en 3

5. ~ p MPP en 1 y 45. ~ p MPP en 1 y 4

6. ~ r MTT en 2 y 56. ~ r MTT en 2 y 5

7. s Simpl. en 37. s Simpl. en 3

La premisa 7 es La premisa 7 es resultado de volver resultado de volver a aplicar la regla a aplicar la regla de la simplificación de la simplificación en la premisa 3, en la premisa 3, pero ahora pero ahora simplificando s:simplificando s:

7. s7. s

1. q 1. q →→ ~ p p ~ p p

2. r 2. r →→ p p p p

3. q ˄ s 3. q ˄ s p p

\ ~ r ˄ s \ ~ r ˄ s

├─── ├───

4. q Simpl. en 34. q Simpl. en 3

5. ~ p MPP en 1 y 45. ~ p MPP en 1 y 4

6. ~ r MTT en 2 y 56. ~ r MTT en 2 y 5

7. s Simpl. en 37. s Simpl. en 3

8. ~ r ˄ s Conj. en 6 y 8. ~ r ˄ s Conj. en 6 y 77

La premisa 8, que La premisa 8, que es finalmente la es finalmente la demostración de demostración de la conclusión que la conclusión que se pedía, es se pedía, es resultado de una resultado de una unión conjuntiva unión conjuntiva de las premisas 6 de las premisas 6 y 7:y 7:

6. ~ r 6. ~ r

7. s 7. s

8. ~ r ˄ s8. ~ r ˄ s

El siguiente ejercicio consta de 4 premisas:

1. (r → s) ˄ (p → t) p2. (s V t) → q p3. r p 4. f ˄ x\ q ˄ x (conclusión que hay que demostrar)

1. (r 1. (r →→ s) ˄ (p s) ˄ (p → t)→ t)

2. (s V t) 2. (s V t) →→ q q

3. r 3. r

4. f ˄ x 4. f ˄ x

\ t ˄ s\ t ˄ s

4. r 4. r → s simpl. 1→ s simpl. 1

Podemos arrancar Podemos arrancar de la conjunción en de la conjunción en la premisa 1, lo cual la premisa 1, lo cual nos permite nos permite simplificar simplificar cualquiera de las cualquiera de las condicionales. En condicionales. En este caso tal vez nos este caso tal vez nos convenga iniciar con convenga iniciar con

r r → s porque en la → s porque en la premisa 3 tenemos r, el premisa 3 tenemos r, el cual es su antecedente cual es su antecedente y prefigura un MPPy prefigura un MPP

1. (r 1. (r →→ s) ˄ (p s) ˄ (p → t)→ t)

2. (s V t) 2. (s V t) →→ q q

3. r3. r

4. f ˄ x4. f ˄ x

\ q ˄ x\ q ˄ x

5. r 5. r → s simpl. 1→ s simpl. 1

6. s MPP en 5 y 6. s MPP en 5 y 33

Con la simplificación Con la simplificación de esa conjunción de esa conjunción en la premisa 1 que en la premisa 1 que nos permite separar nos permite separar la primera la primera condicional, y con r condicional, y con r en la premisa 3 en la premisa 3 obtenemos s:obtenemos s:

5. 5. r r → s → s 3. r3. r 6. s Por un MPP 6. s Por un MPP

1. (r 1. (r →→ s) ˄ (p s) ˄ (p → t)→ t)

2. (s V t) 2. (s V t) →→ q q

3. r3. r

4. f ˄ x4. f ˄ x

\ q ˄ x\ q ˄ x

5. r 5. r → s simpl. 1→ s simpl. 1

6. s MPP en 5 y 36. s MPP en 5 y 3

7. s V t Ad. en 67. s V t Ad. en 6

Una vez que Una vez que tenemos s, le tenemos s, le podemos añadir podemos añadir mediante la mediante la disyunción de la ley disyunción de la ley de adición cualquier de adición cualquier otra proposición, y otra proposición, y en este caso nos en este caso nos conviene adicionar t, conviene adicionar t, con el fin de formar con el fin de formar el antecedente de la el antecedente de la condicional de la condicional de la segunda premisa:segunda premisa:

7. s V t7. s V t

El siguiente paso El siguiente paso es aplicar un MPP es aplicar un MPP en las premisas 2 y en las premisas 2 y la 8, puesto que s la 8, puesto que s V t es el V t es el antecedente de antecedente de esa condicional de esa condicional de la premisa 2:la premisa 2:

2. (s V t) 2. (s V t) → q→ q 7. s V t7. s V t 8. q8. q

1. (r 1. (r →→ s) ˄ (p s) ˄ (p → t)→ t)

2. (s V t) 2. (s V t) →→ q q

3. r3. r

4. f ˄ x4. f ˄ x

\ q ˄ x\ q ˄ x

5. r 5. r → s simpl. 1→ s simpl. 1

6. s MPP en 5 y 36. s MPP en 5 y 3

7. s V t Ad. en 67. s V t Ad. en 6

8. q MPP en 2 y 88. q MPP en 2 y 8

Ya tenemos q, que es Ya tenemos q, que es una parte de la una parte de la proposición que como proposición que como conclusión se tiene conclusión se tiene que demostrar (q ˄ x), que demostrar (q ˄ x), y ahora nos falta la y ahora nos falta la otra parte que es x, la otra parte que es x, la cual está unida cual está unida conjuntivamente en la conjuntivamente en la premisa 4, por lo que premisa 4, por lo que es necesario es necesario simplificarla:simplificarla:

9. x por 9. x por simplificación en 4simplificación en 4

1. (r 1. (r →→ s) ˄ (p s) ˄ (p → t)→ t)

2. (s V t) 2. (s V t) →→ q q

3. r3. r

4. f ˄ x4. f ˄ x

\ q ˄ x\ q ˄ x

5. r 5. r → s Simpl. 1→ s Simpl. 1

6. s MPP en 5 y 36. s MPP en 5 y 3

7. s V t Ad. en 67. s V t Ad. en 6

8. q MPP en 2 y 88. q MPP en 2 y 8

9. x Simpl. en 49. x Simpl. en 4

1. (r 1. (r →→ s) ˄ (p s) ˄ (p → t)→ t)

2. (s V t) 2. (s V t) →→ q q

3. r3. r

4. f ˄ x4. f ˄ x

\ q ˄ x\ q ˄ x

5. r 5. r → s Simpl. 1→ s Simpl. 1

6. s MPP en 5 y 36. s MPP en 5 y 3

7. s V t Ad. en 67. s V t Ad. en 6

8. q MPP en 2 y 88. q MPP en 2 y 8

9. x Simpl. en 49. x Simpl. en 4

10. q ˄ x Conj. en 8 y 910. q ˄ x Conj. en 8 y 9

El último paso es El último paso es unir, mediante la unir, mediante la regla de la regla de la conjunción, dos conjunción, dos premisas que ya premisas que ya tenemos (q y x) en tenemos (q y x) en las premisas 8 y 9:las premisas 8 y 9:

8. q8. q 9. x9. x 10. q ˄ x 10. q ˄ x

Reglas de EquivalenciaReglas de EquivalenciaNombre Abreviatura Fórmula

Doble Negación D N ~~ P ↔ P

Conmutación Conm. a) (p ˄ q) ↔ (q ˄ p)b) (p V q) ↔ (q V p)

De Morgan D M a) ~(p ˄ q) ↔ (~p) V (~q)b) ~(p V q) ↔ (~p) ˄ (~q)

Asociación Asoc. a) [(p ˄ q) ˄ r] ↔ [ p ˄ (q ˄ r)]b) [(p V q) V r] ↔ [ p V (q V r)]

Distribución Distr. a) [p ˄ (q V r)] ↔ [(p ˄ q) V (p ˄ r)]b) [p V (q ˄ r)] ↔ [(p V q) ˄ (p V r)]

Contraposición Contr. (p → q) ↔ (~q → ~p)

Importación-Exportación

Imp.-exp. [(p ˄ q) → r] ↔ [p → (q→ r)]

Ejercicio de equivalenciaEjercicio de equivalencia

• Tomemos este Tomemos este ejercicio, que consta ejercicio, que consta de 4 premisas y la de 4 premisas y la conclusión a conclusión a demostrar, la cual es demostrar, la cual es ~(r V t).~(r V t).

• De inmediato De inmediato podemos notar que podemos notar que se puede aplicar un se puede aplicar un MTP en 1 y 4MTP en 1 y 4

1. ~ p V q 1. ~ p V q

2. r 2. r →→ (p V q) (p V q)

3. t 3. t →→ p p

4. ~ q 4. ~ q

\ ~(r V t)\ ~(r V t)

Aplicamos así el Aplicamos así el MTP y de MTP y de inmediato inmediato podemos aplicar un podemos aplicar un MTT en 3 y 5 para MTT en 3 y 5 para obtener la obtener la negación de tnegación de t

1. ~ p V q 1. ~ p V q

2. r 2. r →→ (p V q) (p V q)

3. t 3. t →→ p p

4. ~ q 4. ~ q

\ ~(r V t)\ ~(r V t)

5. ~ p MTP en 1 y 45. ~ p MTP en 1 y 4

6. ~ t MTT en 3 y 56. ~ t MTT en 3 y 5

1. ~ p V q 1. ~ p V q

2. r 2. r →→ (p V q) (p V q)

3. t 3. t →→ p p

4. ~ q 4. ~ q

\ ~(r V t)\ ~(r V t)

5. ~ p MTP en 1 y 45. ~ p MTP en 1 y 4

6. ~ t MTT en 3 y 56. ~ t MTT en 3 y 5

7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 47. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4

Podemos unir Podemos unir conjuntivamente conjuntivamente a ~p (premisa 5) a ~p (premisa 5) con ~q (premisa con ~q (premisa 4). Esa conjunción 4). Esa conjunción nos servirá para nos servirá para aplicar una Ley de aplicar una Ley de Morgan.Morgan.

1. ~ p V q 1. ~ p V q

2. r 2. r →→ (p V q) (p V q)

3. t 3. t →→ p p

4. ~ q 4. ~ q

\ ~(r V t)\ ~(r V t)

5. ~ p MTP en 1 y 45. ~ p MTP en 1 y 4

6. ~ t MTT en 3 y 56. ~ t MTT en 3 y 5

7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 47. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4

8. ~(p V q) D M, 78. ~(p V q) D M, 7

Aplicamos la Ley Aplicamos la Ley de Morgan en la de Morgan en la premisa 7 y premisa 7 y obtenemos obtenemos

7. ~p ˄ ~q 7. ~p ˄ ~q

8. ~(p V q) D M, 78. ~(p V q) D M, 7

Con lo cual Con lo cual podemos aplicar un podemos aplicar un MTT en 2 y 8MTT en 2 y 8

1. ~ p V q 1. ~ p V q

2. r 2. r →→ (p V q) (p V q)

3. t 3. t →→ p p

4. ~ q 4. ~ q

\ ~(r V t)\ ~(r V t)

5. ~ p MTP en 1 y 45. ~ p MTP en 1 y 4

6. ~ t MTT en 3 y 56. ~ t MTT en 3 y 5

7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 47. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4

8. ~(p V q) D M, 78. ~(p V q) D M, 7

9. ~r MTT, 2, 89. ~r MTT, 2, 8

Al aplicar el Al aplicar el MTT en las MTT en las premisas 2 y 8 premisas 2 y 8 obtenemos la obtenemos la negación del negación del antecedente , o antecedente , o sea sea

2. r 2. r → (p V q)→ (p V q) 8. ~ (p Vq)8. ~ (p Vq) 9. ~ r Por el 9. ~ r Por el

mencionado MTTmencionado MTT

Ahora unimos Ahora unimos conjuntivamentconjuntivamente las premisas 9 e las premisas 9 y 6 para luego y 6 para luego aplicar la regla aplicar la regla De Morgan y De Morgan y obtener así obtener así aquello que aquello que estábamos estábamos demostrandodemostrando

1. ~ p V q 1. ~ p V q

2. r 2. r →→ (p V q) (p V q)

3. t 3. t →→ p p

4. ~ q 4. ~ q

\ ~(r V t)\ ~(r V t)

5. ~ p MTP en 1 y 45. ~ p MTP en 1 y 4

6. ~ t MTT en 3 y 56. ~ t MTT en 3 y 5

7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 47. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4

8. ~(p V q) D M, 78. ~(p V q) D M, 7

9. ~r MTT, 2, 89. ~r MTT, 2, 8

10. ~r ˄ ~t Conj. 9, 610. ~r ˄ ~t Conj. 9, 6

El paso final es El paso final es aplicar a la aplicar a la premisa 10 la premisa 10 la Ley de Morgan Ley de Morgan y obtenemos así y obtenemos así la unión la unión disyuntiva de r disyuntiva de r y t, pero y t, pero negada. Y eso negada. Y eso es todo, pues es todo, pues hemos llegado a hemos llegado a la demostración la demostración que se solicitó.que se solicitó.

1. ~ p V q 1. ~ p V q

2. r 2. r →→ (p V q) (p V q)

3. t 3. t →→ p p

4. ~ q 4. ~ q

\ ~(r V t)\ ~(r V t)

5. ~ p MTP en 1 y 45. ~ p MTP en 1 y 4

6. ~ t MTT en 3 y 56. ~ t MTT en 3 y 5

7. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 47. ~p ˄ ~q Conj. 5 y 4

8. ~(p V q) D M, 78. ~(p V q) D M, 7

9. ~r MTT, 2, 89. ~r MTT, 2, 8

10. ~r ˄ ~t Conj. 9, 610. ~r ˄ ~t Conj. 9, 6

11. ~(r V t) D M, 1011. ~(r V t) D M, 10