Mtodos de Investigacin 2Qu es la Lgica?

Para qu sirve y quin la usa?

DefinicinLa lgica es una ciencia formal, que estudia las estructuras lgicas del pensamiento y el lenguaje que se utiliza para expresar dicho pensamiento.

Una definicin formal : ciencia que estudia las formas de los pensamientos como medio para lograr la correccin y verdad de los mismos.

Qu lenguaje usa la lgica?El lenguaje de la lgica puede ser natural o simblico (aunque la naturaleza del lenguaje sea precisamente ser una forma simblica de referirnos a los objetos).

En Mtodos 2 se estudia el concepto y sus operaciones para determinar su importancia lgico-metodolgica en la construccin y formalizacin de los conceptos necesarios en la elaboracin de una investigacin

En el estudio de la Lgica se trata de aprender el uso del lenguaje simblico (es decir, de la manera de representar lingsticamente a los objetos).

La finalidad es que comprendas la intencionalidad de las expresiones lingsticas y puedas determinar las relaciones lgicas que subyacen en el lenguaje natural o cotidiano.

ObjetivosSe trata de conocer las aplicaciones metodolgicas del razonamiento y su vinculacin con los diferentes mtodos utilizados en la investigacin cientfica.

Para evitar la ambigedad e imprecisin que a veces puede resultar del modo de organizar y argumentar nuestras ideas, es necesario estructurarlas de forma lgica y precisa para comunicar con exactitud lo que pensamos a nuestros semejantes.

Orgenes de la lgicaLos sofistas (grupo de filsofos anteriores y/o contemporneos a Scrates) van a convertir la Retrica en una tcnica argumentativa realizando investigaciones lingsticas, a tal grado que crean la Gramtica y la Sintaxis; pero como la Retrica implicaba el arte de la oratoria, tuvieron que esbozar una doctrina sobre el arte de probar y refutar las argumentaciones.

Aristteles estableci los principios lgicos de identidad, de no contradiccin y de tercero excluido; propuso la teora del concepto, del juicio, del razonamiento, de la argumentacin, de la probabilidad, de la verdad, y trat el problema de las ciencias deductivas y de las ciencias experimentales.

No fue Aristteles (384- 322 A. C.) quien le puso nombre a esta ciencia de la Lgica, sino sus discpulos, los cuales al darse cuenta de que los apuntes tomados en las clases de su maestro continuamente se referan a la razn, decidieron darle el nombre de Lgica (logik), que significa lo relativo a la razn.Posteriormente Francis Bacon (1561-1626) realiz uno de los primeros intentos de sistematizacin de la induccin en la poca moderna con la creacin de las tablas inductivas que permitan el manejo de una variable como causa directa del fenmeno

Las Tablas Inductivas de Bacon

Tablas CausalesDescripcinDe PresenciaLa presencia de la causa originaba el efecto, por lo que en ella se registraban todos los casos diferentes en los que ocurra el mismo fenmeno. De AusenciaDonde se aseguraba que si se quitaba la causa, el efecto desapareca. En ella se anotaban los casos en los que el fenmeno no ocurra a pesar de que se presentaban las mismas circunstancias en las que sola ocurrir el fenmeno. De GradosDonde se supona que la variacin de la causa ocasionaba la variacin del efecto. El registro que en ella se haca era sobre las variaciones que presentaban los diferentes casos analizados del fenmeno.

Otros filsofos que desarrollaron la lgica como cienciaSon interesantes tambin los avances aportados por Galileo Galilei, John Stuart Mill, G. W. F. Hegel, Johann Heinrich Lambert, George Boole, F. L. G. Frege, y a los considerados como los grandes sistematizadores de la Lgica Matemtica Clsica: Bertrand Russel y Alfred North Whitehead, autores de la famosa obra Principia Mathematica, publicada entre 1910 y 1913Esta lgica matemtica se convierte en una ciencia particular, independiente de la filosofa, y se distingue de la Lgica Tradicional Aristotlica, entre otras cosas, por el tipo de estudio que realiza de las estructuras del pensamiento, mediante un lenguaje simblico riguroso y formalmente constitudo.

Ahora se estudian dos tipos de lgica al menos:

Tipo de LgicaDescripcinLgica FormalEstudia las condiciones para que un pensamiento pueda considerarse correcto. Se subdivide en el estudio del concepto, del juicio y del raciocinio. Dentro de este tipo de lgica est la Aristotlica y la Simblica o MatemticaSe considera correcto al pensamiento que est de acuerdo con su propia estructura, con las leyes de la razn y es congruente consigo mismo. No quiere decir que dicho pensamiento sea verdadero fcticamente.Lgica MaterialEstudia las condiciones para llegar a un pensamiento verdadero. Se subdivide en el estudio de la verdad, la certeza, la ciencia y sus mtodos.En cuanto pensamiento verdadero, se entiende correspondiente y objetivo con la realidad.

Lgica Proposicional, simblica o matemtica (dentro de la lgica formal)Qu es una proposicin? En lgica se entiende que una proposicin es una oracin o enunciado declarativo afirmativo o negativo:

La ventana es rectangularEl disco es redondoEl agua contiene dos elementos qumicos diferentesLa tierra es un planeta que gira alrededor del sol, etctera

Hay dos tipos de proposicionesSimples o Atmicas: Son aquellas que constan de slo una proposicin, como las mencionadas anteriormente:La ventana es rectangular, el disco es redondo, etc.Compuestas o Moleculares: Son aquellas que constan de dos o ms proposiciones, unidas mediante las llamadas conectivas lgicas: la conjuncin, la disyuncin, la condicional y la bicondicional:La ventana es rectangular y el marco es de maderaSi hoy es lunes entonces maana es martes

Tabla de simbolizacinElementos naturales:Simbolizacin:Proposiciones simples:

La ventana es de cristalEl marco es de madera

El agua contiene oxgenoEl agua contiene hidrgeno

PQ

RSConectivas Lgicas:ConjuncinDisyuncinCondicionalBicondicional

Negacin

V

~Proposiciones compuestas:La ventana es de cristal y el marco es de madera

Si el agua contiene oxgeno entonces el agua contiene tambin hidrgenoP Q

R S

Tablas de verdadEn estas tablas de lo que se trata es de establecer la validez formal de una proposicin. En ese sentido se trata de establecer cundo una proposicin es vlida (independientemente de su veracidad objetiva).

Para realizar estas tablas es necesario conocer y aplicar las reglas de las tablas de verdad de cada conectiva que se usa

Cada proposicin, hipotticamente, puede ser verdadera o falsa, por lo que las tablas de verdad, en cada proposicin, examinan ambas posibilidades:Cuando tenemos una proposicin compuesta por dos o ms proposiciones, se tiene que considerar la combinacin total de los valores hipotticos, de acuerdo con el nmero de proposiciones o con la frmula 2n donde el 2 es el nmero de valores (veradero y falso) y n es el nmero de proposiciones. Dicha frmula se usa para determinar el nmero de combinaciones probables en una proposicin compuesta o molecular.

PVF

QVF

RVF

~ P~ Q~ RFFFVVV

Para resolver una tabla de verdad, primero se asignan los valores combinados de verdad y falsedad, de acuerdo al nmero de proposiciones que hay: en este caso 3, es decir 23 lo que nos da un resultado de 8 combinaciones:En este caso, a P le ponemos la mitad de 8 como verdaderos y la otra mitad falsos, a Q la mitad de la mitad (2, 2, 2, 2) y a R una y una.

{ P( Q R ) }VVVVVFVFVVFFFVVFVFFFVFFF

Una vez que tememos hecha la asignacin de la combinacin de los valores, examinamos los signos de agrupacin para aplicar la regla correspondiente:Lo primero que tenemos que resolver es el parntesis que agrupa a Q con R a travs de la condicional, cuya regla dice: la condicional es verdadera en todos los casos, excepto cuando el antecedente (Q) es verdadero y el consecuente (R) es falso. Esto ocurre en la combinacin 2 y 6. Todos los dems casos son verdaderos

{ P( Q R ) }Nmero de combinacionesVVVV1VVFF2VFVV3VFVF4FVVV5FVFF6FFVV7FFVF8

Una vez que tenemos los valores de la condicional entre Q y R, con esos valores obtenemos los de la conjuncin que une a P con la proposicin dentro del parntesis:Para resolver esta conjuncin, se toman los valores de P y los de la condicional que acabamos de obtener. La regla de la conjuncin dice que es verdadera slo si ambas proposiciones son verdaderas. Tal es el caso en las combinaciones 1, 3 y 4.

{ P( Q R ) }Nmero de combinacionesVVV1VFF2VVV3VVV4FFV5FFF6FFV7FFV8

Reglas de implicacin o inferenciaSon proposiciones simbolizadas que, a travs de premisas (generalmente dos) nos permiten realizar u obtener conclusiones a partir de ellas.

Sirven para mostrar la forma en la que vlidamente se pueden obtener conclusiones.

Principales reglas de inferencia

Reglas que funcionan exclusivamente con condicionalSimbolizacin(de dos premisas obtenemos una tercera)EjemplificacinModus Ponendo Ponens MPP (Modo Afirmar Afirmando)

En una proposicin, si afirmamos el antecedente, tenemos que afirmar el consecuenteP QP (por lo tanto)3) QSi la tierra es un planeta, entonces gira alrededor del solLa tierra es un planeta (por lo tanto)3) Gira alrededor del solModus Tollendo TollensMTT (Modo Negar Negando)En una proposicin, si negamos el consecuente, entonces la regla nos permite negar el antecedenteP Q~ Q3) ~ PSi el agua es un metal, entonces su estado permanente es slidoSu estado permanente no es slido3) El agua no es un metal

Modus Tollendo Ponens MTP(funciona exclusivamente con la disyuncin)Si negamos una parte de una disyuncin, entonces afirmamos la otra.P V Q~ P3) QO este animal es vertebrado o es invertebradoEste animal no es vertebrado3) Es invertebradoSimplificacinLSSi tenemos una conjuncin, esta regla nos permite dejar sola a alguna de las dos proposicionesP Q2) P (o Q)Las flores son amarillas y el cielo es azul2) Las flores son amarillas

AdicinAdSi tenemos una proposicin simple, la podemos unir a otra con la disyuncinP2) P V QEl oxgeno es un gas2) El oxgeno es un gas o es un lquidoConjuncinConjSi tenemos dos proposiciones simples o compuestas separadas, entonces las podemos unir mediante la conjuncinPQ3) P QEl hierro es un metalEl oxgeno es un gas3) El hierro es un metal y el oxgeno es un gas

Silogismo hipotticoSHFunciona como una cadena de condicionales: unimos condicionalmente el antecedente de la primera condicional con el consecuente de la segunda condicional.1) P Q2) Q R3) P RSi mezclo dos tomos de hidrgeno y uno de oxgeno entonces obtengo aguaSi obtengo agua entonces puedo experimentar sus tres estados fsicos3) Si mezclo dos tomos de hidrgeno y uno de oxgeno entonces puedo experimentar sus tres estadosDilema ConstructivoDCSi tenemos en una premisa la unin conjuntiva de dos condicionales, y en otra premisa la unin disyuntiva de los antecedentes de esas dos condicionales, entonces podemos obtener como conclusin la unin disyuntiva de los consecuentes de esas dos condicionales(pq) (r s)(p V r)3) (q V s)Si la Tierra es un planeta entonces el sol es una estrella, y si la Tierra gira alrededor del sol, entonces el sol es su centro de gravedadLa Tierra es un planeta o gira alrededor del sol3) El sol es una estrella o el sol es centro de gravedadDilema DestructivoDDSi tenemos en una premisa la unin conjuntiva de dos condicionales y en otra premisa la unin de los consecuentes negados de esas condicionales, entonces podemos concluir con la unin disyuntiva de los antencedentes negados de esas condiconales(p q) (r s)(~q V ~s)3) (~p V ~r)Si la tierra es un planeta entonces el sol es una estrella, y si la Tierra gira alrededor del sol, entonces el sol es su centro de gravedadEl sol no es una estrella o el sol no es su centro de gravedad3) La Tierra no es un planeta o la Tierra no gira alrededor del sol

El concepto libro cuenta con mayor extensin (porque se habla de un libro cualquiera) pero tan pronto comenzamos a definirlo como de matemticas y su grado, su extensin es menor pero su contenido es mayor.

ExtensinEjemploContenido

+

A mayor extensin, menor contenido del concepto

-

Libro

Libro de matemticas

Libro de matemticas 1 grado

Libro de matemticas 1 grado para Bachilleres

-

A menor extensin mayor contenido

+

Ejercicios con reglas de implicacinVeamos estos ejercicios y su solucin:

1. q ~ (s V p)2. q

\ ~ (s V p)

A:

1. (r V q)2. (r t) (q s) \ 3. (t V s)

B:

1. ~ (q s) V f2. ~ f \ 3. ~ (q s)

C:

1. (t V p) s2. r (t V p)\

3. r sD:

1. ~ m t2. ~ t\

3. m

Por dnde comenzar?1. q ~ pp2. r p p3. q s p \ ~ r s 4.La premisa 3 es una conjuncin, y la conclusin a la que tenemos que demostrar tambin es una conjuncin

1. q ~ p p2. r p p3. q s p \ ~ r s (esto es lo que hay que demostrar) 4. q Simpl. en 3

Si simplificamos q de la premisa 3, que es una conjuncin entonces obtenemos el antecedente de la condicional de la premisa 1: qTenemos que justificar la premisa 4 sealando de dnde sali y con qu regla

1. q ~ p p2. r p p3. q s p \ ~ r s 4. q Simpl. en 35. ~ p MPP en 1 y 4

La premisa 5 es el resultado de la 1 y de la 4, las cuales ponemos aqu as para que se vea que entre ellas se aplica un MPP:1. q ~ p4. q5. ~ p

1. q ~ p p2. r p p3. q s p \ ~ r s 4. q Simpl. en 35. ~ p MPP en 1 y 46. ~ r MTT en 2 y 5

La premisa 6, del mismo modo, es resultado de un MTT aplicado en las premisas 2 y 5:2. r p5. ~ p6. ~ r

1. q ~ p p2. r p p3. q s p \ ~ r s 4. q Simpl. en 35. ~ p MPP en 1 y 46. ~ r MTT en 2 y 57. s Simpl. en 3

La premisa 7 es resultado de volver a aplicar la regla de la simplificacin en la premisa 3, pero ahora simplificando s:7. s

1. q ~ p p2. r p p3. q s p \ ~ r s 4. q Simpl. en 35. ~ p MPP en 1 y 46. ~ r MTT en 2 y 57. s Simpl. en 38. ~ r s Conj. en 6 y 7

La premisa 8, que es finalmente la demostracin de la conclusin que se peda, es resultado de una unin conjuntiva de las premisas 6 y 7:6. ~ r 7. s 8. ~ r s

El siguiente ejercicio consta de 4 premisas:

1. (r s) (p t) p2. (s V t) q p3. r p 4. f x\ q x (conclusin que hay que demostrar)

1. (r s) (p t) 2. (s V t) q 3. r 4. f x \ t s

4. r s simpl. 1

Podemos arrancar de la conjuncin en la premisa 1, lo cual nos permite simplificar cualquiera de las condicionales. En este caso tal vez nos convenga iniciar con r s porque en la premisa 3 tenemos r, el cual es su antecedente y prefigura un MPP

1. (r s) (p t) 2. (s V t) q 3. r 4. f x\ q x

5. r s simpl. 16. s MPP en 5 y 3

Con la simplificacin de esa conjuncin en la premisa 1 que nos permite separar la primera condicional, y con r en la premisa 3 obtenemos s:5. r s 3. r6. s Por un MPP

1. (r s) (p t) 2. (s V t) q 3. r 4. f x\ q x

5. r s simpl. 16. s MPP en 5 y 37. s V t Ad. en 6

Una vez que tenemos s, le podemos aadir mediante la disyuncin de la ley de adicin cualquier otra proposicin, y en este caso nos conviene adicionar t, con el fin de formar el antecedente de la condicional de la segunda premisa:7. s V t

El siguiente paso es aplicar un MPP en las premisas 2 y la 8, puesto que s V t es el antecedente de esa condicional de la premisa 2:2. (s V t) q7. s V t8. q1. (r s) (p t) 2. (s V t) q 3. r 4. f x\ q x

5. r s simpl. 16. s MPP en 5 y 37. s V t Ad. en 68. q MPP en 2 y 8

Ya tenemos q, que es una parte de la proposicin que como conclusin se tiene que demostrar (q x), y ahora nos falta la otra parte que es x, la cual est unida conjuntivamente en la premisa 4, por lo que es necesario simplificarla:

9. x por simplificacin en 41. (r s) (p t) 2. (s V t) q 3. r 4. f x\ q x

5. r s Simpl. 16. s MPP en 5 y 37. s V t Ad. en 68. q MPP en 2 y 89. x Simpl. en 4

1. (r s) (p t) 2. (s V t) q 3. r 4. f x\ q x

5. r s Simpl. 16. s MPP en 5 y 37. s V t Ad. en 68. q MPP en 2 y 89. x Simpl. en 410. q x Conj. en 8 y 9

El ltimo paso es unir, mediante la regla de la conjuncin, dos premisas que ya tenemos (q y x) en las premisas 8 y 9:

8. q9. x10. q x

Reglas de Equivalencia

NombreAbreviaturaFrmulaDoble NegacinD N~~ P PConmutacinConm. (p q) (q p)(p V q) (q V p)De Morgan D M~(p q) (~p) V (~q)~(p V q) (~p) (~q)AsociacinAsoc.[(p q) r] [ p (q r)][(p V q) V r] [ p V (q V r)]DistribucinDistr.[p (q V r)] [(p q) V (p r)][p V (q r)] [(p V q) (p V r)]ContraposicinContr.(p q) (~q ~p)Importacin-ExportacinImp.-exp.[(p q) r] [p (q r)]

Ejercicio de equivalenciaTomemos este ejercicio, que consta de 4 premisas y la conclusin a demostrar, la cual es ~(r V t).De inmediato podemos notar que se puede aplicar un MTP en 1 y 41. ~ p V q 2. r (p V q) 3. t p 4. ~ q \ ~(r V t)

Aplicamos as el MTP y de inmediato podemos aplicar un MTT en 3 y 5 para obtener la negacin de t1. ~ p V q 2. r (p V q) 3. t p 4. ~ q \ ~(r V t)5. ~ p MTP en 1 y 46. ~ t MTT en 3 y 5

1. ~ p V q 2. r (p V q) 3. t p 4. ~ q \ ~(r V t)5. ~ p MTP en 1 y 46. ~ t MTT en 3 y 57. ~p ~q Conj. 5 y 4

Podemos unir conjuntivamente a ~p (premisa 5) con ~q (premisa 4). Esa conjuncin nos servir para aplicar una Ley de Morgan.

1. ~ p V q 2. r (p V q) 3. t p 4. ~ q \ ~(r V t)5. ~ p MTP en 1 y 46. ~ t MTT en 3 y 57. ~p ~q Conj. 5 y 48. ~(p V q) D M, 7

Aplicamos la Ley de Morgan en la premisa 7 y obtenemos 7. ~p ~q 8. ~(p V q) D M, 7 Con lo cual podemos aplicar un MTT en 2 y 8

1. ~ p V q 2. r (p V q) 3. t p 4. ~ q \ ~(r V t)5. ~ p MTP en 1 y 46. ~ t MTT en 3 y 57. ~p ~q Conj. 5 y 48. ~(p V q) D M, 79. ~r MTT, 2, 8

Al aplicar el MTT en las premisas 2 y 8 obtenemos la negacin del antecedente , o sea 2. r (p V q)8. ~ (p Vq)9. ~ r Por el mencionado MTT

Ahora unimos conjuntivamente las premisas 9 y 6 para luego aplicar la regla De Morgan y obtener as aquello que estbamos demostrando1. ~ p V q 2. r (p V q) 3. t p 4. ~ q \ ~(r V t)5. ~ p MTP en 1 y 46. ~ t MTT en 3 y 57. ~p ~q Conj. 5 y 48. ~(p V q) D M, 79. ~r MTT, 2, 810. ~r ~t Conj. 9, 6

El paso final es aplicar a la premisa 10 la Ley de Morgan y obtenemos as la unin disyuntiva de r y t, pero negada. Y eso es todo, pues hemos llegado a la demostracin que se solicit.1. ~ p V q 2. r (p V q) 3. t p 4. ~ q \ ~(r V t)5. ~ p MTP en 1 y 46. ~ t MTT en 3 y 57. ~p ~q Conj. 5 y 48. ~(p V q) D M, 79. ~r MTT, 2, 810. ~r ~t Conj. 9, 611. ~(r V t) D M, 10

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