UNIDAD II. MTODOS DE SOLUCIN DE

ECUACIONES

2.1 Mtodos de intervalo.

Antes de la llegada de las computadoras digitales se dispona de una serie de mtodos para encontrar las races de ecuaciones algebraicas y trascendentes. En algunos casos estas races se obtenan con mtodos directos, como la formula general. Sin embargo existen ecuaciones en que los mtodos directos no se resuelven directamente y

algunas veces no es posible encontrar la solucin. Como la funcin que no se pueden resolver de forma analtica. En tales casos, la nica alternativa es una tcnica de solucin aproximada. Aunque los mtodos grficos son tiles en la obtencin de estimaciones de las races, tienen el inconveniente de que son poco precisos. Sin embargo, los mtodos grficos se utilizan para obtener aproximaciones de la raz. Dichas aproximaciones s epueden usar como valores iniciales en los mtodos numricos.

Mtodo grfico

Este mtodo sirve para identificar el intervalo mximo donde existen las races de un polinomio o funcin racional. Es un mtodo simple para obtener una aproximacin a la

raz de la ecuacin consiste en graficar la funcin y observar donde cruza el eje x. este punto, que representa el valor de x para el cual , ofrece una aproximacin inicial de la raz. Ejemplo 1. Encontrar el intervalo donde existen races positivas de la funcin siguiente, use el programa de Excel para la grafica.

Analizando la grafica se observa que el intervalo donde existen las races positivas es:

Tarea 1. Encontrar el intervalo donde existen races positivas de la funcin siguiente, use el programa de Excel para la grafica.

Analizando la grafica se observa que el intervalo donde existen las races positivas es:

Y las races negativas de , en esta unidad solo se vern races positivas.

Mtodo de Bsqueda

Este mtodo sirve para dividir en N subintervalos, el intervalo Mximo (Xrmax) donde existen todas las races positivas (N es un valor arbitrario) y utilizar el cambio de signo sirve para identificar el intervalo de la raz.

2

Ejemplo 2. Encontrar los intervalos donde existe una raz positiva del polinomio. Si consideramos N=16, aplicar el mtodo de bsqueda.

2.2 Mtodo de Biseccin

El mtodo de biseccin es un mtodo cerrado, que usa intervalos para encontrar las races. Estos mtodos empiezan con intervalos que encierran o contienen a la raz, y despus reducen sistemticamente el tamao del intervalo. Dichos valores iniciales deben encerrar, o estar a ambos lados de la raz. Se parte del hecho de que las races cambian de signo en la vecindad de una raz. Ya que el intervalo que contiene la raz ha sido localizado por la tcnica de bsqueda este puede aun subdividirse reiteradamente para encerrar aun mas a la raz. Este proceso se continua hasta que el subintervalos sea tan pequeo que la raz ser determinada. El proceso es el siguiente:

0 -320

1.0625 -172.773193

2.125 -74.7949219

3.1875 -18.8684082 Hay Raz Hay Raz

4.25 2.203125

5.3125 -4.38354492

6.375 -31.4316406

7.4375 -71.7443848

8.5 -118.125

9.5625 -163.376709

10.625 -200.302734

11.6875 -221.706299

12.75 -220.390625

13.8125 -189.158936

14.875 -120.814453

15.9375 -8.16040039 Hay Raz

17 156

Paso 1. Elija valores iniciales inferior , y superior que encierran la raz, de forma tal que la funcin cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que .

Paso 2. Una aproximacin de la raz se determina mediante:

Paso 3. Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo esta la raz:

a) Si , entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto haga y vuelva al paso 2.

b) Si , entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto haga y vuelva al paso 2.

c) El proceso termina hasta que la raz es localizada con la precisin deseada; usando la condicin de:

Ejemplo 3. Por el mtodo de Biseccin. Determinar la raz del polinomio dado en el

intervalo con una convergencia de Ep=0.001. Para el polinomio:

1 3.1875 3.71875 4.25 -18.8684082 -4.42556763 2.203125 0.265625 NO

2 3.71875 3.984375 4.25 -4.425567627 -0.19067764 2.203125 0.1328125 NO

3 3.984375 4.1171875 4.25 -0.190677643 1.229331493 2.203125 0.06640625 NO

4 3.984375 4.05078125 4.1171875 -0.190677643 0.575982392 1.229331493 0.03320313 NO

5 3.984375 4.01757813 4.05078125 -0.190677643 0.206926055 0.575982392 0.01660156 NO

6 3.984375 4.00097656 4.01757813 -0.190677643 0.011706353 0.206926055 0.00830078 NO

7 3.984375 3.99267578 4.00097656 -0.190677643 -0.08858839 0.011706353 0.00415039 NO

8 3.99267578 3.99682617 4.00097656 -0.088588392 -0.03821692 0.011706353 0.0020752 NO

9 3.99682617 3.99890137 4.00097656 -0.038216921 -0.01319929 0.011706353 0.0010376 NO

10 3.99890137 3.99993896 4.00097656 -0.013199286 -0.00073247 0.011706353 0.0005188 SI

La solucin es con un Error permisible es de .

Tarea 1. Determinar la raz del polinomio dado en el intervalo y con una convergencia de Ep=0.001. Para el polinomio:

2.3 Mtodo de aproximaciones sucesivas.

En los mtodos cerrados del tema anterior la raz se encuentra dentro de un intervalo predeterminado por un lmite inferior y otro superior. La aplicacin repetida de estos mtodos siempre genera aproximaciones cada vez ms cercanas a la raz. Se dice que tales mtodos son convergentes por que se acercan progresivamente a la raz a medida que se avanza en el clculo. A diferencia de los mtodos abiertos, estos se basan en formulas que requieren nicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raz. Estos, algunas veces divergen o se alejan de la raz verdadera a medida que se avanza en el clculo. Sin embargo, cuando los mtodos abiertos convergen, en general lo hacen mucho ms rpido que los mtodos cerrados.

Mtodo de Newton-Raphson

La formula de Newton-Raphson es la mas ampliamente utilizada en la localizacion de

las races. Si el valor inicial para la raiz es , entones se puede trazar una tangente desde el punto de la curva. Por lo comun, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa una aproximacion mejorada de la raiz.

El metodo de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretacion geometrica. Y usando la aproximacion de que la primera derivada en x de una funcion es la pendiente:

Al despejar el siguiente valor , se tiene una formula para determinar el valor futuro de x.

Se compara el Error aproximado con la siguiente funcion para definir el error permisible.

Desventajas: Si la derivada es difcil de calcular, no se recomienda. Si la derivada es aproximadamente cero, este mtodo no intersecta al eje de las x, por

lo que se recomienda cambiar el punto

Ejemplo 4. Por el mtodo e Newton-Raphson. Determinar la raz del polinomio dado en

el intervalo , con una convergencia de Ep=0.001. Utilice los dos valores limite. Para el polinomio:

La derivada: .

1 3.1875 -18.8684082 35.1054688 -0.537477746 3.724977746 0.14429019 NO

2 3.72497775 -4.3043531 19.3774903 -0.222131609 3.947109354 0.05627703 NO

3 3.94710935 -0.67120217 13.383549 -0.050151284 3.997260638 0.01254641 NO

4 3.99726064 -0.03296991 12.0712459 -0.002731277 3.999991915 0.00068282 SI

Para , la solucin es con un Error permisible es de .

1 4.25 2.203125 5.6875 0.387362637 3.862637363 0.1002845 NO

2 3.86263736 -1.8962339 15.6280341 -0.121335409 3.983972771 0.03045588 NO

3 3.98397277 -0.1956702 12.4174786 -0.015757643 3.999730415 0.00393968 NO

4 3.99973041 -0.00323597 12.0070094 -0.000269507 3.999999921 0.00006738 SI

Para , la solucin es con un Error permisible es de .

Mtodo de la Secante

Un problema potencial en la implementacion del metodo e Newton-Raphson es la evaluacion de la derivada, y se vuelve complejo para funciones muy dificiles de calcular. En dichos casos, la derivada se aproxima mediante una diferencia finita dividida hacia atrs.

Sustituyendo el nuevo en la ecuacion de Newton-Raphson, se tiene:

Formula del Mtodo de la Secante para determinar el valor futuro de x.

Se compara el Error aproximado con la siguiente funcion para definir el error permisible.

Ejemplo 5. Por el mtodo de la Secante. Determinar la raz del polinomio dado en el

intervalo con una convergencia de Ep=0.001. Para el polinomio:

Valor inicial.

1 3.1875 3.71875 -18.8684082 -4.425567627 -0.69403535 3.88153535 0.17880433 NO

2 3.88153535 3.1875 -1.60567873 -18.8684082 -0.06455513 3.94609048 0.01635926 NO

3 3.94609048 3.88153535 -0.684852 -1.60567873 -0.04801198 3.99410246 0.01202072 NO

4 3.99410246 3.94609048 -0.07122289 -0.684852002 -0.00557267 3.99967512 0.00139328 NO

5 3.99967512 3.99410246 -0.00389988 -0.071222886 -0.00032281 3.99999794 0.00008070 SI

Para , la solucin es con un Error permisible es de .

1 4.25 3.71875 2.203125 -4.425567627 0.17656727 4.07343273 0.04334606 NO

2 4.07343273 4.25 0.81148799 2.203125 0.10295948 3.97047325 0.02593129 NO

3 3.97047325 4.07343273 -0.36568046 0.811487987 -0.03198376 4.00245701 0.00799103 NO

4 4.00245701 3.97047325 0.02940566 -0.365680462 0.00238050 4.00007651 0.00059511 SI

Para , la solucin es con un Error permisible es de .

2.4 Mtodos de interpolacin.

Mtodo de Falsa Posicin

Un inconveniente del mtodo de biseccin es que al dividir el intervalo de a en mitades iguales, no se toman en consideracin las magnitudes de y . Por ejemplo si esta mucho ms cercano a cero que . Es lgico que la raz se encuentre ms cerca de que de . Un mtodo alternativo que aprovecha esta visualizacin grafica consiste en unir y con una lnea recta. La interseccin de esta lnea con el eje de las representa una mejor aproximacin de la raz. El hecho de que se reemplace la curva por una lnea recta da una "falsa posicin" de la raz, de aqu el nombre. Tambin se le conoce como mtodo de interpolacin lineal.

Usando tringulos semejantes y , la interseccin de la lnea recta con el eje de las se estima mediante, .

El proceso es el siguiente:

Paso 1. Elija valores iniciales inferior , y superior que encierran la raz, de forma tal que la funcin cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que .

Paso 2. Una aproximacin de la raz se determina mediante,

Siendo:

y

Paso 3. Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo est la raz:

a) Si , entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto haga y vuelva al paso 2.

b) Si , entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto haga y vuelva al paso 2.

c) El proceso termina hasta que la raz es localizada con la precisin deseada; usando la condicin de:

a. Si

b. Si

Ejemplo 4. Por el mtodo de Falsa Posicin. Determinar la raz del polinomio dado en el

intervalo , con una convergencia de Ep=0.001. Para el polinomio:

1 3.1875 4.25 -18.8684082 2.203125 0.95141077 4.13891077 1.4187591 0.02684021 --- NO

2 3.1875 4.13891077 -18.8684082 1.4187591 0.88487498 4.07237498 0.80078313 0.01633833 --- NO

3 3.1875 4.07237498 -18.8684082 0.80078313 0.84884946 4.03634946 0.41906485 0.00892527 --- NO

4 3.1875 4.03634946 -18.8684082 0.41906485 0.83040625 4.01790625 0.21071246 0.00459025 --- NO

5 3.1875 4.01790625 -18.8684082 0.21071246 0.82123512 4.00873512 0.10383023 0.00228778 --- NO

6 3.1875 4.00873512 -18.8684082 0.10383023 0.81674071 4.00424071 0.05065485 0.00112241 --- NO

7 3.1875 4.00424071 -18.8684082 0.05065485 0.81455393 4.00205393 0.02459234 0.00054642 --- SI

La solucin es con un Error permisible es de

2.5 Aplicaciones.

La finalidad de esta seccin es usar los procedimientos numricos analizados en esta unidad para resolver problemas de ingeniera reales. Las tcnicas numricas son importantes en aplicaciones prcticas, ya que con frecuencia los ingenieros encuentran problemas que no es posible resolver usando tcnicas analticas. En esta situacin, es conveniente implementar una solucin numrica en una computadora. Aplicando el mtodo de la secante.

Formula del Mtodo de la Secante para determinar el valor futuro de x, para un valor desplazado en h.

Se compara el Error aproximado con la siguiente funcion para definir el error permisible.

Ejemplo 1. Usando el mtodo de la Secante. Un abrevadero de longitud tiene una seccin transversal en forma de semiciclo con radio . Cuando se llena de agua una distancia de la parte superior, el volumen de agua es:

Suponga que es e Determine la profundidad del agua en el

abrevadero cuando se tenga un Volumen de es . Para un error permisible de Ep=0.001. Use y .

1 0.9 0.55 0.58725907 5.29091529 0.87898841 0.02101159 41.8335128 NO

2 0.02101159 0.9 15.2877625 0.58725907 -0.17266822 0.19367981 0.89151381 NO

3 0.19367981 0.02101159 11.8587229 15.2877625 0.02725584 0.16642397 0.16377352 NO

4 0.16642397 0.19367981 12.3949132 11.8587229 0.00025857 0.16616539 0.00155613 NO

5 0.16616539 0.16642397 12.4000127 12.3949132 -0.00000064 0.16616603 0.00000387 SI