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Transformada de Laplace Gúıa de estudio

Carlos Cruz

April 18, 2016

Ejercicios Usando la denici´on de transformada de Laplace calcule L {f (t )}

1. f (t) =t si 0 ≤ t < t 02t 0 −t si t0 ≤ t ≤ 2t 00 si t > 2t 0

2. f (t) =t + t0 si 0 ≤ t < t 0t 0 −t si t0 ≤ t ≤ t 00 si t > t 0

3. f (t ) =t si 0 ≤ t < t 02t 0 −2t si t0 ≤ t ≤ 2t 00 si t > 2t 0

4. f (t ) =t si 0 ≤ t < t 0t 0 −t si t0 ≤ t ≤ 2t 0t 0 si t > 2t 0

Calcule las siguientes transformadas de Laplace.(Usando tablas de transformadas)

1. f (t) = (1 + t)2

2. f (t) = sin(2 t + π2

)

3. f (t) = e3 t

4. f (t) = ( e2 t + e− 2 t )2

5. f (t) = 2 + t2

3

6. f (t) = t + e2 t

7. f (t) = (t 2 + t)2

t

8. f (t) = t 2 + et + 1

9. f (t) = 1 + 1e t

2

10. f (t) = cos(2 t)sin t cos t

11. f (t) = cos(2 t)sin t12. f (t) = 3 t 3 + cos( √ 2t)13. f (t) =

12

t 2 −t + 114. f (t) = 2 t + 1 −e2 t

15. f (t ) = e4 t +1

16. f (t ) = et + e− t

2

17. f (t ) = 1e2 t

+ 1et

18. f (t ) = sin(2 t ) cos(3 t)

19. f (t ) = sin 4 t

20. f (t ) = sin 3 (4t )

21. f (t ) = cos 3 (2t)

Una denici ón de la funci ón gamma esta dada por la integral impropia Γ( α ) = ∞

0tα − 1 e− t dt , α > 0, usando

integraci ón por partes muestre y la denici´ on de la transformada de Laplace muestre que:

1. Γ(α + 1) = α Γ(α ) 2. L

{tα

} =

Γ(α + 1)

s α +1 , α >

−1

Usando el ejercicio anterior calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones,

Use el hecho que Γ12

= √ π :1. f (t) =

1t 1 / 2

2. f (t) = t 1 / 2

3. f (t) = t 2 + t1 / 2

4. f (t) = t 3 / 2

5. f (t) = t + t1 / 2

t 3 / 2

6. f (t) = t + 2

t 1 / 2

1


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Transformadas Inversas: Calcule las siguientes transformadas inversas L − 1 {F (s )}de las siguientes funciones enmuchos de los ejercicios necesitara utilizar fracciones parciales para resolverlos

1. L − 1 4s 2

2. L − 1(s 2 + 3) 2

s 5

3. L − 1 2s + 3s 2 + 4

4. L − 12s 2 + 2 s + 3

s (s 2 + 4)

5. L − 1 1

s (s 2 + 1)

6. L − 1 s + 1s (s + 2)

7. L − 1 s2 + 1

(s 2 + 4)( s 2 + 16)

8. L − 1 s + 13s 2 + 1

9. L − 1s 2 + 3 s + 1

s 3 + s

10. L − 1 1

s (s −1)11. L − 1 s + 2

s 2 (s −1)12. L − 1

s 2 + 2 s + 3s (s 2 + 1)

13. L − 1 6s + 3

s 4 + 5 s 2 + 4

14. L − 1 2s −4

(s 2 + s)( s 2 + 1)

15. L − 1 s

(s + 2)( s 2 + 4)

16. L − 1 s2 + 1

s (s −1)(s + 1)( s −2)

17. L − 1 s

(s −2)(s −3)(s −6)

18. L − 1 2s + 1

s 2 + s

−20

19. L − 1 2s − 1 e− 3 s

20. L − 110s −325 −s 2

21. L − 1 9 + s4 −s 2

22. L − 15 −3ss 2 + 9

Propiedades Operacionales I: Calcule las siguientes transformadas usando las propiedades operacionales(traslacionesen el eje s)

1. L sin2 (3t)e4 t

2. L sin3 (3t)e5 t

3. L (t + 1)2

e4 t

4. L (1 + et + 3 e3 t ) cos(4t )

5. L sin(3 t) cos(2 t)e2 t

6. L cos(2t) sin(2 t)e5 t

7. L t 4 e4 t

8. L t + 1t 1 / 2

e5 t

9. L √ te2 t +3

10. L et + e3 t t 2

11. L (2 −t + et )e4 t− 1

12. L t 3 / 2 e2 t

13. L (t 2 + t)e− 2 t

14. L t 2 + t√ t e

t

15. L t 3 + 2 t 2

t 2 e t

16. L (t + et )2 e− 2 t

17. L (1 −t)e2 t

18. L t 2 e3 t

Propiedades Operacionales I: Calcule las siguientes transformadas inversas

1. L − 1 2s + 1s 2 −6s + 1

2. L − 1 s3 + s(s −1)4

3. L − 1 s −5

s 2 + 2 s + 10

4. L − 1 3s + 4

s 2 + 6 s + 34

5. L − 1s 2 + 3 s + 5

(s + 1) 3

6. L − 1 4s + 3s 2 (s −3)2

7. L − 1 2s + 1

s 2 (s + 1) 2

8. L − 1 s + 3

s 2 + 4 s + 7

9. L − 1 s −3

s (s 2 + 4 s + 7)

10. L − 1 s + 4

(s −1)( s + 2) 2

11. L − 1 s 2 + 3 s + 1s 2 (s + 2)

12. L − 1 3s 2 + 2 s + 4

(s −1)2 (s 2 + 2 s + 2)13. L − 1

1√ s −1

14. L − 1 2

(s −π )3 / 2

15. L − 1 1

3

(s −3)( s −3)

2


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Propiedades Operacionales II: Calcule las siguientes transformadas usando las propiedades operacionales(traslacionesen el eje t )

1. L cos(3t) sin(2 t)e4 t U (t −π )

2. L e t sin t U t − π2

3. L cos3 (2t)U t − π2

4. L t + t2 U (t −2)

5. L sin(2 t )U t − π2

6. L e2 t + t sin t U (t −π )

7. L t 1 / 2 U (t −π )

8. L t 2 e5 t U (t −1)

9. L t sin(at )ekt U (t −k)

Propiedades Operacionales II: Calcule las siguientes transformadas inversas

1. L − 1e− 2 s

s 4

2. L − 1e− πs

s 3 / 2

3. L − 1(e− πs + e− 2 πs )2

s 2 + 2 s + 5

4. L − 1s√ e− πss 2 + 1

5. L − 11 + e− 2 s

2

s 2 −16. L − 1

s2 + s + 2e3 s s (s 2 + 4 s + 5)

7. L − 1 e− 2 s

s 2

−4

8. L − 1 e− πs

s 2 + 2 s + 10

9. L − 1s 2 + 4 s + 1es s 3 (s −1)

10. L − 1 e− πs

√ s −π11. L − 1

e− 2 πs

(s 2 + 1) 2

12. L − 1 2ks e − πk

(s 2 + k2 )2

Derivadas de Transformadas: Usando el teorema de derivadas de transformadas calcule:

1. L t 2 e3 t

2. L t 3 sin2 (3t)

3. L t cos(2t) sin(4 t)

4. L t 3 ekt

5. L t 5 / 2

6. L t 2 ekt f (t )U (t −a )

Convoluci´ on: Usando la denici ón de convolucion,

f ∗g = t

0f (τ )g(t −τ )d τ

calcule las siguientes siguientes convoluciones

1. t∗et

2. sin t∗sint

3. t2∗e3 t

4. et∗sint

5. cos t∗sint

6. et∗t 2

Transformadas de integrales: Calcule las transformadas de Laplace de las siguientes convoluciones, de dos formas:

a) Calculando las convoluciones, luego las transformadas

b) Usando el teorema de transformadas de integrales

1. L t∗et

2. L sin t∗sint

3. L t 2∗e3 t

4. L et∗sint

5. L cos t∗sint

6. L et∗t 2

Transformadas de Integrales: Calcule la transformada de Laplace(NO resuelva la integral):

1. L t

0eτ dτ

2. L t

0τe τ dτ

3. L t

0(t −τ )2 e2 τ dτ

4. L t

0τ (t −τ )d τ

5. L t

0sin( t −τ )eτ dτ

6. L t

0sin(τ )cos( t −τ )d τ

7. L t 2 t

0sin τ dτ

8. L t 2 e3 t t

0et − τ dτ

9. L te kt t

0sin(kτ )dτ

3


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Transformadas Inversas Usando el teorema de convoluci´on calcule las transformadas inversas

1. L − 1 1

(s 2 + k2 )2

2. L − 1 1

s 2 (s −k), k ∈R

3. L − 1

1s 2 (s −k)2 , k ∈

R

4. L − 1 k

s 2 (s 2 + 1)

5. L − 1 1

s 3 (s 2 + 1)

6. L − 1

s

(s 2 + 1) 2

7. L − 1 8k 3 s

(s 2 + k2 )3, k ∈R

8. L − 1 1

s (s −k)2, k ∈R

9. L − 1

1(s −2)(s −4)

Ecuaciones Integrales e integro-diferenciales: Use la transformada de Laplace para resolver las ecuacionesintegrales o integro-diferenciales

1. f (t) + t

0(t −τ )f (τ )d τ = t

2. f (t) = 2 t −4 t

0sin τ f (t −τ )dτ

3. f (t) = te t +

t

0

τ f (t

−τ )dτ

4. f (t) + 2 t

0f (τ )cos( t −τ )dτ = 4 e

− t + sin t

5. f (t) + t

0f (τ )d τ = 1

6. f (t ) = cos t + t

0e− τ f (t −τ )dτ

7. f (t ) = 1 + t − 83

t

0(t −τ )3 f (τ )dτ

8. t −2f (t) =

t

0(eτ −e

− τ )f (t −τ )

9. y (t) = 1 −sin t − t

0y(τ )d τ , y (0) = 0

10. 0.1didt

+ 2 i + 10 t

0i(τ )dτ = 120 t −120tU (t −1),

i(0) = 0

Aplicaciones de ecuaciones integro-diferenciales: En una sola malla o circuito en serie, la segunda ley deKirchhoff establece que las sumas de las cáıdas de voltaje en un inductor, resistor y capacitor es igual al voltajeaplicado E (t). Ahora se sabe que las cáıdas de voltaje en un inductor, resistor y un capacitor son, respectivamente

Ldidt , Ri (t),

1C

t

0 i(τ )dτ

Donde i(t ) es la corriente y L, R y C son constantes. Sededuce que la corriente en el circuito, esta gobernada porla ecuaci ón integro-diferencial

Ldidt

+ Ri (t) + 1C

t

0i(τ )d τ = E (t)

Determine la corriente i (t) y ademas utilice un programa para dibujar la gr´ aca de la soluci ón para el circuito de unasola malla RLC cuando:

1. L = 0 .1h , R = 2Ω, C = 0 .1f ,i(0) = 0 yE (t) = 120 t −120tU (t −1)

2. L = 0 .1h , R = 3Ω, C = 0 .05f ,i(0) = 0 yE (t ) = 100 [U (t −1) −U (t −2)]

3. L = 0 .005h , R = 1Ω,C = 0 .02f , i (0) = 0 yE (t) = 100[ t −(t −1)U (t −1)]

4


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Aplicaciones de sistemas de ecuaciones diferenciales(Redes):

La ecuaci ón diferencial para la red se modela por el sis-

tema de ecuaciones diferenciales

Ldi 1dt

+ Ri 2 = E (t)

RC di 2dt

+ i2 −i 1 = 0i 1 (0) = 0 , i 2 (0) = 0

Resuelva el sistema con los siguientes datos:

1. R = 50Ω, L = 1 h, C = 10 − 4 f , E = 60V , i2 (0) = 0 , i 3 (0) = 0

2. R = 50Ω, L = 0 .5 h, C = 10 − 4 f , E = 60V , i 2 (0) = 0 , i 3 (0) = 0

3. R = 50Ω, L = 2 h, C = 10 − 4 f , E = 60V , i2 (0) = 0 , i 3 (0) = 0

La ecuaci ón diferencial para la red se modela por el sistema

de ecuaciones diferenciales

L 1di 2dt + Ri 2 + Ri 3 = E (t )

L 2di 3dt

+ Ri 2 + Ri 3 = E (t )

i 2 (0) = 0 , i 3 (0) = 0


1. R = 5Ω, L 1 = 0 .01 h , L 2 = 0 .0125 h, E = 100V , i 2 (0) = 0 , i 3 (0) = 0

La ecuaci ón diferencial para la red se mod-ela por el sistema de ecuaciones diferenciales

Ldi 2dt

+ Ldi 3dt

+ R 1 i 2 = E (t)

−R 1di 2dt

+ R 2di 3dt

+ 1C

i 3 = 0

i 2 (0) = 0 , i 3 (0) = 0


1. R 1 = 10Ω, R 2 = 5 Ω, L1 h, C = 0 .2 f , E (t) = 120 −120U (t −2), i2 (0) = 0 , i 3 (0) = 0

La ecuaci ón diferencial para la red se mod-ela por el sistema de ecuaciones diferenciales

R 1dq dt

+ 1C

q + R 1 i 3 = E (t)

Ldi 3dt

+ R 2 i 3 − 1C

q = 0

i 3 (0) = 0 , q (0) = 0

Determine la carga en el capacitor cuando :

1. L = 1 h , R 1 = 1 Ω, R 2 = 1Ω, C = 1 f , E (t) = 50 e− t U (t −1), i3 (0) = 0 , q (0) = 0

5


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Resoluci´ on de ecuaciones diferenciales

1.y −7y + 6 y = e t + δ (t −2) + δ (t −4)y(0) = 1 , y (0) = 0

2.y + 4 y + 13 y = δ (t −π ) + δ (t −3π )

y(0) = 1 , y (0) = 0

3.y + y = sin t

y(0) = 1 , y (0) = −1

4.y + 9 y = cos(3 t)

y(0) = 2 , y (0) = 5

5.y + 4 y + 3 y = t −U (t −2) −U (t −4)y(0) = 1 , y (0) = 0

6.y −5y + 6 y = 1 + U (t −1)y(0) = 0 , y (0) = 1

7.y + 4 y = sin tU (t −2π )

y(0) = 1 , y (0) = 0

8.y + 4 y + 3 y = U (t −1) + δ (t −2)y(0) = 1 , y (0) = 0

9.y −7y + 6 y = et + U (t −1) + δ (t −2)y(0) = 1 , y (0) = 0

10.y −4y = 6 e3 t −3e

− t

y(0) = 1 , y (0) =

−1

SELECCION MULTIPLE: Elegir la opcion que corresponde la transformada de Laplace de las siguientes funciones

1. f (t) = cos 2 (2t)

(a) F (s ) = 1s

+ s

s 2 + 16

(b) F (s ) = 1s

+ s

s 2 + 4

(c) F (s ) = s2 + 2s (s 2 + 4)

(d) F (s ) = s2 + 8s (s 2 + 16)

2. f (t) = (sin t + cos t)2

(a) F (s ) = 1s 2 + 1

+ ss 2 + 1

2

(b) F (s ) = 2

s 2 + 4

(c) F (s ) = s2

+ 2 s + 4s (s 2 + 4)

(d) F (s ) = s2 + 2s (s 2 + 4)

3. f (t) = 1 + e− t et

(a) F (s ) = 2s + 1s (s + 1)

(b) F (s ) = 2s −1s (s −1)

(c) F (s ) = 2s + 1

s + 1

(d) F (s ) = 2s −1

s −14. f (t) = e− 2 t (3 cos(6 t ) −5 sin(6t ))

(a) F (s ) = 3s −24

s 2 + 4 s + 40

(b) F (s ) = −30s 2 + 4 s + 40

(c) F (s ) = 8 −5s

s 2 + 4 s + 40

(d) F (s ) = 3s + 2

s 2 + 4 s + 40

5. f (t) = sin t cos t

(a) F (s ) = 1

s 2 + 2

(b) F (s ) = 1

2(s2

+ 4)

(c) F (s ) = 2

s 2 + 4

(d) F (s ) = 1

s 2 + 4

6


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6. f (t) = cos t cos(2t)

(a) F (s ) = 13

3s 2 + 9 −

1s 2 + 1

(b) F (s ) = 12

3s 2 + 9 −

1s 2 + 1

(c) F (s ) = 13

1s 2 + 9 −

1s 2 + 1

(d) F (s ) = 12

2s 2 + 9 −

1s 2 + 1

7. f (t) = e− t sin2 t

(a) F (s ) = 1

(s + 1)( s 2 + 2 s + 5)

(b) F (s ) = 3

(s + 1)( s 2 + 2 s + 5)

(c) F (s ) = 2

(s −1)( s 2 + 2 s + 5)(d) F (s ) =

2(s + 1)( s 2 + 2 s + 5)

8. f (t) = t 2 cos(ωt ), ω ∈R

(a) F (s ) = 2s 2 + 6 sω 2

(s 2 + ω2 )3

(b) F (s ) = 2s 2 −6sω 2(s 2 + ω2 )2

(c) F (s ) = s2 + 6 sω 2

(s 2 + ω2 )3

(d) F (s ) = 2s 2 −6sω 2(s 2 + ω2 )3

9. f (t) = e− t∗et cos t

(a) F (s ) = 2s −1

5 [(s −1)2 + 1](b) F (s ) =

2s −15(s −1)2 + 1

(c) F (s ) = 2s + 1

5(s −1)2 + 1(d) F (s ) =

2s −1(s −1)2 + 5

10. La transformada de la funci´ on periodicat si 0 < t < 3

3 si 3 < t < 6es:

(a) F (s ) = s −3se 6 s −e− 3 ss (1 −e− 6 s )(b) F (s ) =

s + 3 se − 6 s −e− 3 ss (1 −e− 6 s )

(c) F (s ) = s −3se − 6 s −e− 3 ss (1 −e6 s )(d) F (s ) =

s −3se − 6 s −e− 3 ss (1 −e− 6 s )

Transformadas de funciones periodicas: Calcule las transformadas de las siguientes funciones periodicas

1. f (t) =1 si 0 < t < 1

−1 si 1 < t < 2

2. f (t) =1 si 0 < t < 1

0 si 1 < t < 2

3. f (t) =0 si 0 < t < 1

t si 1 < t < 2

4. f (t ) =2t si 0 < t < 2

4 si 2 < t < 4

5. f (t ) =sin t si 0 < t < π

0 si π < t < 2π

6. f (t ) =0 si 0 < t < 2π

cos t si 2π < t < 4π

7


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Ejercicios Teoricos: Calcule la transformada de las siguientes funciones

1. f (t) = t para t ≥ 02. Muestre que L

sin(3 t)t

= π2 −tan

− 1 s3

3. Muestre que L − 1 lns + as + b

= e− bt −e− at

t

4. Muestre que L sinh t

t= ln s + 1s −1

5. Muestre que ∞

0

e− 3 t −e− 6 tt

dt usando transformada de Laplace

6. Muestre que L cos(at ) −cos(bt)

t= ln s 2 + b2s 2 + a2

7. Muestre que ∞

0

cos(6t) −cos(4t)t

dt = ln23

8. Muestre que ∞

0

sin tt

dt = π2

9. Muestre que L sin(at )

t=

π2 −tan

− 1 sa

8

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