mnjhgftyujkn1)Temario Ana

8/16/2019 mnjhgftyujkn1)Temario Ana

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Colegio Educativo AmericanoQuinto Bachillerato en Ciencias y Letras

Ciclo escolar 2016

Informe de Temario Cientfico

Alumno! Ana Ester A"igail Contreras T#lle$

%echa! Agosto de 2016

Asesores!

&scar &rti$' (usana )om*n' +ugo ,ench-

Lic. /orge ,ario Bocaletti


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TEMARIO CIENTIFICO/CEA/2016/ANA CONTRERAS

ANITA 2


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1 ,atem*ticas..................................................................................................15

1.1 %actori$acin de olinomios......................................................................15

1.1.1 roductos nota"les de "inomios..........................................................16

1.1.2 %actori$acin de trinomios cuadrados erfectos.....................................19

1.1.3 %actori$acin de trinomios de la forma a42 5 "4 5 c................................22

1.1. %actori$acin de trinomios comletando cuadrados................................24

1.1.7 %actori$acin de diferencias de cuadrados............................................25

1.2 Ecuaciones y 8esigualdades.....................................................................27

1.2.2 Ecuaciones lineales con una incgnita.................................................28

1.2.3 Inecuaciones lineales con una incgnita..............................................30

13................................................................................................................31

1.2. Ecuaciones de segundo grado 9ue se resuelven or factori$acin............32

1.2.7 Ecuaciones de segundo grado 9ue se resuelven or forma general..........34

1.3 :eometra lana y del esacio..................................................................37

1.3.1 %iguras geom#tricas..........................................................................37

1.3.2 ;rea de las figuras geom#tricas...........................................................42

1.3.3 ermetro de las figuras geom#tricas...................................................58

1.3.


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2.1 +istoria de la %sica y ersona>es imortantes.............................................94

2.1.1 Conceciones iniciales so"re la forma del universo................................94

2.1.2 %sica Cl*sica...................................................................................96

2.1.3 %sica Cu*ntica.................................................................................97

2.1. :alileo :alilei...................................................................................98

2.1.7 ?icolas Co#rnico.............................................................................992.1.6 /ohannes @eler ...........................................................................100

2.1. Isaac ?eton..................................................................................102

2.1. Al"ert Einstein.................................................................................105

2.1.D ,a4ell.........................................................................................109

2.1.10 Tesla.............................................................................................111

2.2 ,edicin


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3 Qumica! 147

3.1 Estructura' roiedades y fenmenos de la materia...................................147

3.1.1 ;tomo' ,ol#cula.............................................................................147

3.1.2 Comuesto' ,e$cla.........................................................................147

3.1.3 ,ateria' roiedades y cam"ios........................................................147

3.1. Energa y su interrelacin con la materia.............................................1473.2 Los elementos y el *tomo.......................................................................147

3.2.1 ?om"re y sm"olo de los elementos...................................................147

3.2.2 Ta"la eridica de los elementos de ,endeleyev' ,eyer y ,oseley......147

3.2.3 Clasificacin de los elementos 9umicos.............................................147

3.2. 8efinicin y estructura del *tomo.......................................................147

3.2.7 artculas atmicas y su"atmicas....................................................147

3.3 Enlaces y )eacciones 9umicas...............................................................147

3.3.1 Enlace 9umico' inico' covalente y met*lico.......................................1473.3.2 )egla del octeto..............................................................................147

3.3.3 Tios de reacciones 9umicas...........................................................147

3.3.


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.1. C#lula rocariota y Eucariota............................................................148

.2 8ivisin celular ......................................................................................148

.2.1 ,itosis...........................................................................................148

.2.2 ,eiosis..........................................................................................148

.3 )eroduccin........................................................................................148

.3.1 )eroduccin (e4ual.......................................................................148.3.2 )eroduccin Ase4ual......................................................................148

.3.3 Aarato reroductor masculino..........................................................148

.3. Aarato reroductor femenino...........................................................148

.3.7 %ormacin de :ametos....................................................................148

.3.6 Cigoto' Em"rin y %eto.....................................................................148

. :en#tica..............................................................................................148

..1 8iferencia entre genotio y fenotio...................................................148

..2 roceso de relicacin del A8?.........................................................148..3 Cuadros de unett y su alicacin.....................................................148

.7 Biotecnologa........................................................................................148

.7.1 Comaracin entre "iotecnologa tradicional y "iotecnologa moderna....148

.7.2 ,#todos y alicacin a la agricultura' medicina' teraia gen#tica yantroologa forense.....................................................................................148

.7.3..........................................................................................................148

7 Estadstica!.................................................................................................148

7.1 ,#todos estadsticos ara el estudio de ro"lemas....................................148

7.1.1 Estadstica.....................................................................................148

7.1.2 o"lacin.......................................................................................148

7.1.3 ,uestra.........................................................................................148

7.1.


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7.3.2 +istograma de frecuencias...............................................................149

7.3.3 :r*fica de Barras............................................................................149

7.3. C*lculo de medidas de osicin y disersin.......................................149

7.3.7


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Dedicatoria

ANITA 8


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Introducción

ANITA 9


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Objetivos:

ANITA10


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Objetivos

Objetivos Generales:

Objetivos Específcos:

ANITA11


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ANITA12

Colegio Edu!"i#o A$e%i!&oI&'o%$e de Te$!%io

(ui&"o )!*ille%!"o e& Cie&i!+ , -e"%!+Cilo e+ol!% 2014.

%o'e+o% Re#i+o% ugo Me&*%e! M!"e$"i!+

Te$!F!"o%i!i& de oli&o$io+

Su"e$!+

%odu"o+ No"!le+ de i&o$io+

F!"o%i!i& de "%i&o$io+ u!d%!do+ , o"%o+

F!"o%i!i& de di'e%e&i!+ de u!d%!do+

Alu$&o o+ uille%$o :e*

;!%g!+Fe*! de e&"%eg!26 de M!,o

F


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M!"e$"i!

ANITA13


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1.1.1 roductos nota"les de "inomiosProductos notables

(e les llama roductos nota"les a algunos roductos 9ue sigan reglas y 9ue elresultado se ueda ser escrito con tan solo verla' es decir' sin reali$ar lamultilicacin.

El cuadrado de la suma de 2 cantidades

MMCuando se eleva el cuadrado a5" e9uivale a multilicar el "inomio or si mismoy se o"tendr*!

a5"J2H a5"Ja5"J.

a 5 "

a 5 "NN a2 5 a" a" 5 "2

NNNNNNNNNNNNNNNN a2 5 2a" 5 "2 OO1

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadro de la rimeracantidad m*s el do"le de rimera or la segunda m*s el cuadrado de la segundacantidad.

E>ercicio! 2" 5 3cJ2 H " 2 55 12"c 5 Dc2

6d 5 fJ2 H 36d2 5 D6df 5 6f 2

4 5 yJ2 H 42 5 24y 5 y2

7a5 "J2 H 27a 2 5 0a" 5 16" 2

3a 5 c J2 H Da 2 5 a2 c 5 6 c 2

Tam"i#n uede ser 9ue el cuadrado del "inomio se resenta en cuadrado de su

diferencia lo 9ue reresenta' es decir' 9ue ser* solo el signo de suma se cam"iaraor el de resta.

Ejemplo:

1 La Informacin fue o"tenida! alge"ra elemental. 8r. Aurelio Barldor edicin 1D6 *g.D y DJ

ANITA15


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7g K 6hJ2 H27g 2 K 60 gh 5 36h 2

24 P $J2 H 4 2 P 16 4$ 5 16 $ 2

r P DsJ2 H 6r 2 P 1rs 5 D6 s 2

m P nJ2 H m2 P 2mn 5 n 2

1a K 12"J2

H 32a2

P 32 a" 5 2"2

El Cubo de un Binomio

El cu"o de la suma de 2 n-meros es igual al cu"o del rimer n-mero' m*s el triledel roducto or el cuadrado del rimero y or el cuadrado del segundo' m*s eltrile del rimer n-mero or el cuadrado del segundo' m*s el cu"o del segundo.

E>ercicio!aJ 2a 5 6"J3 H a 3 5 32aJ 2 6"J 5 32aJ 6"J 2 5 216" 3

a3 5 2a2" 5 216a"2 5 216"3

"J 45 yJ3 H 43 5 34J2yJ 5 34J yJ2 5 y3

3 5 342y 5 34y2 5y3

cJ 3d57eJ3 H 2d3 5 33dJ27eJ 5 33dJ7eJ2 5 127e3

2d3 5 137d2e 5 227de2 5 127e3

dJ a5"J3 H a3 5 3aJ2"J 5 3aJ"J2 5 "3 a35 3a2" 5 3a"25 "3

eJ 45$J3 H 3343 5 34J2$J 5 34J$J25 712$3

3343 5 1'1642$ 5 1'34$2 5 712$3

Tam"i#n el cu"o de "inomio se uede resentar su diferencia cam"i*ndole elsigno de suma or el de resta.

E>ercicio!

aJ 3K nJ3H 2 K 33J2nJ 5 33JnJ2K n3

2 P 2n 5 Dn2 P n3

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"J 4K 1J3 H 643 P 34J21J 5 34J1J2 P 1 643 P 42 5 124 P 1

cJ 3m P 2nJ3 H 2m3 P 33mJ22nJ 5 33mJ2nJ2K n3

2m3

P7m2

n 5 36mn2

P n3

dJ 6nK DJ3 H 216n3 K 36nJ2DJ 5 36nJDJ2K 2D 216n3 P D2n2 5 1'7n K 2D

eJ a2K 2"J3 H a6 P 3a2J22"J 5 3a2J2"J2 P "3

a6 P 6a" 5 12a2"2 P "3

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1.1.2 %actori$acin de trinomios cuadrados erfectos

MM=na cantidad es un cuadrado erfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad'o sea' cuando es el roducto de dos factores iguales.

As' a2 es cuadrado erfecto or9ue es el cuadrado de 2a

En efecto! 2aJ2H 2a 2aH a2 y 2a' 9ue multilica or si misma da a 2' es decir 9ue la ra$ cuadrada de a2. OO2

La ra$ cuadra de la cantidad ositiva tiene 2 signos 5 y K . En esta e4licacinsolo vemos ra$ ositiva.

Raíz Cuadrada de un Monomio

Cuando se e4trae la ra$ cuadrada de un monomio se de"e e4traer la ra$cuadrada del coeficiente y se divide el e4onente de cada letra or 2.

As' la ra$ cuadrada de 12a2" es 6a"2

La ra$ cuadrada de 646y es 43y

=n trinomio uede ser un cuadrado perfecto cuando es cuadrado de un "inomio'es decir' cuando 2 "inomios son iguales.

As' a2 5 2a" 5 " es cuadrado erfecto or9ue es cuadrado de a5"

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

=n trinomio ordenado con relacin a una letra es cuadrado erfecto cuando elrimero y tercer t#rmino tienen ra$ cuadrada e4acta' ositivos y el segundot#rmino de"e ser el do"le roducto de sus races cuadradas.

Ejemplo:

a2 P a" 5 "2

2 La Informacin fue o"tenida! alge"ra elemental. 8r. Aurelio Barldor edicin 1D6 *g.1D actividad F136J

ANITA18


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)a$ cuadrada de a2 es a

)a$ cuadrada de "2 es 2"

El do"le roducto de estas races! 2 4 a 2" H a"' segundo t#rmino.

Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto(e de"e de e4traer la ra$ cuadrada del rimero y tercer t#rmino del trinomio y sede"en de searar las races de"ido al signo del segundo t#rmino. El "inomio 9ueest* formado' 9ue es la ra$ cuadrada del trinomio se de"e de multilicar or ellamisma y desu#s de de"e de elevar al cuadrado.

E>ercicio!1J MM%actorar m25 2m51 m2 5 2m 5 1 H m51J m51J Hm51J2

2J 8escomoner 42 5 27y2K 204y

rimero ordenar el trinomio.

42K 204y 5 27y2H 7y P 24J 7y P 24J H24K7yJ2

247y

I,&)TA?TE

Cual9uiera de las dos races uede onerse en minuendos. Asi en el e>emloanterior se o"tendr* tam"i#n!

4

2

K 204y 5 27y

2

H 7y P 24J 7y P 24J H24K7yJ

2

24 7y

or9ue desarrollado este "inomio se tiene!7y P 24J2H 27y2 P 204y 5 4OO3

E>ercicio!de Trinomio cuadrado erfecto!

1J

a2

P 2a" 5 "2

H aK"J aK"J H aK"J2

a "

3 La Informacin fue o"tenida! alge"ra elemental. 8r. Aurelio Barldor edicin 1D6*g.170'actividad 10J

ANITA19


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2J a25 2a" 5 "2 H a5"J a5"J H a5"J2

a "

3J 42 P 24 51H 4K1J 4K1J H 4K1J2

4 1

J 36 5 12m25 mH 65m2J 65m2JH m256J

6 m2

7J D"2K 30a2" 5 27a2

27a2 5 30a2" 5 D"2 H 7K3"J 7aK3"JH 7K3"J2

7a 3"

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1.1.3 %actori$acin de trinomios de la forma a42 5 "4 5 c(on trinomios de esta forma! 242 5 114 5 7

3a2 5 P 6

20n2 P n P 2

m2 P 23m 5 6

Este caso se diferencia del anterior or9ue en este el rimer t#rmino tiene uncoeficiente distinto de 1.

escomposición en factores de un trinomio de la forma a!2 " b! " c

#1$%actorar 642K 4 P 3

(e multilica el trinomio or el coeficiente 42 9ue es 6 y de>ando indicado el roducto de 6

or 4 se tiene!3642 P 4 P 3

ero 3642 H 64J2 y 64J H 64J luego odemos escri"ir! 64J2 P 64J P 1.

8escomoniendo el trinomio nos dimos cuenta 9ue el rimero t#rmino de cada factor ser* la ra$ cuadrada de 64J2 o sea 64!64K J 645 J.

8e"emos de "uscar 2 n-meros 9ue multilic*ndolos nos de 1' en este caso D 4 2 H 1.?os 9uedara asi! 64 P DJ 64 5 2J

Ahora de"emos de dividir el trinomio or 6 ara no cam"iarlo y o"tendremos!

64 P DJ 64 5 2J NNNNNNNNNNNNN y como ninguno de los "inomios es divisi"le dentro de 6 de"emos de

6 descomonerlo! 243 y lo dividimos 64 P DJ entre 3 y 64 P 2J entre 2o"tendremos lo siguiente! 64 P DJ 64 5 2J NNNNNNNNNNNNNNH 24K 3J 345 1J

2 4 3642 5 K 4 P 3H 24 P 3J 34 5 1J

E>ercicio!aJ 242 5 34 P 2

ANITA21


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24J25 3424J P

24 5 2J 24 K 2 J H 24 K 2J 24 5 2 J NNNNNNNNNNNNNNNNNH 24 K 1J45 2J

2

"J 342 P 74 P 2

34J2 P 7434J P 6

34 P 3J 34 P 2J H 34 P 3J 34 P 2J NNNNNNNNNNNNNH 34K 1J 4 P 2J

3 4 2J

cJ 2042 5 4 P 6

204J2 5 4204J P 120 204 5 17J 204 P JH 204 5 17J 204 P J NNNNNNNNNNNNNNNNNNH 4 5 3J 74 P 2J 7 4

dJ 1a2 P 13aK 71aJ2 P 13a1aJ P D01a P 1J 1a 5 7J H 1a P 1J 1a 57J

NNNNNNNNNNNNNNNNNN H a P 1J 1a5 7J

1

eJ 20y2 5 y P 1

20yJ2 5 y 20yJ P 20

20y 57 J 20y P J H 20y 57 J 20y P J NNNNNNNNNNNNNNNNN H y 5 1J 7y P 1J

7 4

1.1. %actori$acin de trinomios comletando cuadradosEl rocedimiento de comletar el cuadrado' tam"i#n llamado comletacin decuadrados' es un recurso de *lge"ra elemental ara convertir la e4resin de untrinomio de segundo grado' desde su forma ordinaria!

a425"45c

ANITA22


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a otra e9uivalente de la forma!1

a4 5 hJ2 5 RS' o "inomio de segundo grado en 45hJ. El resultado conlleva elcuadrado de un "inomio en 4 m*s una e4resin indeendiente.

E>emlo!

MM

OO

4 Imagen! htt!.imagenescone>emlosmatematicos.com

ANITA23

http://www.imagenesconejemplosmatematicos.com/http://www.imagenesconejemplosmatematicos.com/http://www.imagenesconejemplosmatematicos.com/


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1.1.7 %actori$acin de diferencias de cuadradosMM(a"emos 9ue! a3 5 "3 a3 P "3

NNNNNNH a2 P a" 5 "2 y NNNNNNNHa2 5 a" 5 "2

a 5 " a P "

y como en toda divisin e4acta el dividendo es igual al roducto del dividendo or el cociente' tendremos

a3 5 "3 H a5 "J a2 P a" 5 "2J

a3 K "3 H aK "J a2 5 a" 5 "2JOO7

%ormulas

MMRegla 1La suma de dos cu"os erfectos se uede descomoner en 2 factores!

rimero! se de"en de sumar las races cu"icas. (egundo! el cuadrado de larimera ra$' el roducto de la suma de las 2 races' m*s el cuadrado de la 2 ra$

Regla 2

La diferencia de dos cu"os erfectos se descomone en dos factores! rimero! ladiferencia de sus races cu"icas. (egundo! El cuadrado de la rimera ra$' m*s elroducto de las dos races' m*s el cuadrado de la segunda ra$. OO6

E>ercicio!

%actorar 43 5 1

La ra$ cu"ica de 43 es 4U y la ra$ cu"ica de 1 es 1es ra$ cu"ica cuando unn-mero se multilica 3 veces or s mismoJ. (eg-n la rimera regla

3 5 1 4 5 1J V42K 4 1J 5 12WH 4 5 1J 42 P 4 5 1J

%actorar a3 P

La ra$ cu"ica de a3 es aU y la ra$ de es de 2. (eg-n la segunda regla.

a3 P a P 2JVa25 2aJ 522WH a K 2J a2 5 2a 5 J5 La Informacin fue o"tenida! alge"ra elemental. 8r. Aurelio Barldor edicin 1D6 *g.16 actividad 17J

6 La Informacin fue o"tenida! alge"ra elemental. 8r. Aurelio Barldor edicin 1D6*g.16J

ANITA24


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E>ercicio!aJ 1 5 a3 H 1 5 aJ V12 Pa1J 5 a2WH 1 5 aJ 1 K a 5 a2J

"J 1 P a3 H 1 P aJ V 12 5 a1J 5 a2W H 1 P a J 1 5 a 5 a2J

cJ 435 y3 H 4 5 yJ V42 P 4yJ 5 y2W H 4 5 yJ 42 P 4y 5 y2J

dJ 2a3 P "3 H 3a P "J V 3a2 5 3a"J 5 "2 W H 3a P "J Da2 5 3a" 5 "2J

eJ m3 P n3 H m P nJ Vm2 5 mnJ 5 nW H m P nJ m2 5 mn 5 n2J

E>ercicio! sin rocedimiento!

fJ 43 P 127 H 24 P 7J 42 5 104 5 27J

gJ 6 5 a6H 5 a2J 1642 K a2 5 aJ

hJ 1 P 216m3 H 1 P 6mJ 1 5 6m 5 36m2J

iJ 43 P 2y3 H 24 P 3yJ 42 5 64y 5 Dy2J

>J 6a3 5 2D H a 5 DJ 16a2 P 36a 5 1J

ANITA25


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1.2 Ecuaciones % esigualdades

=na ecuacin es una igualdad matem*tica entre dos e4resiones matem*ticas'denominadas miembros' en las 9ue aarecen elementos conocidos o datos' yincognitas' relacionados mediante oeraciones matem*ticas. Los valores

conocidos ueden ser n-meros' coeficientes o constantesU tam"i#n varia"les oincluso o">etos comle>os como funciones o vectores' los elementos desconocidosueden ser esta"lecidos mediante otras ecuaciones de un sistema' o alg-n otrorocedimiento de resolucin de ecuaciones.

=na desigualdad es una relacin de orden 9u# se da entre dos valores cuando

#stos son distintos en caso de ser iguales' lo 9ue se tiene es una igualdadJ.

(i los valores en cuestin son elementos de un con>unto ordenado' como

los enteros o los reales' entonces ueden ser comarados.

• La notacin a M b significa a es menor 9ue b

• La notacin a O b significa a es mayor 9ue b

• Ejemplos de ecuaciones:

aJ 24 H 6

4 H 62

4H 3

"J 24 P 3H 5 4

24 P 4 H 3

4H3

E>emlo 8esigualdades!

=na desigualdad es una e4resin matem*tica 9ue contiene un signo dedesigualdad. Los signos de desigualdad son!

ANITA26


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1.2.1.1 X no es igualM menor 9ueO mayor 9ueY menor o igual 9ueZ mayor o igual 9ue

8e la definicin de desigualdad' lo mismo 9ue de la escala de los n-merosalge"raicos' se deducen algunas consecuencias' a sa"er!

1[ Todo n-mero ositivo es mayor 9ue cero

E>emlo!

1.2.1.2 7 O 0 U or9ue 7 P 0 H 7

2[ Todo n-mero negativo es menor 9ue cero

E>emlo!

1.2.1.3 PD M 0 U or9ue PD P0 H PD

3[ (i dos n-meros son negativos' es mayor el 9ue tiene menor valor a"solutoU

E>emlo!

1.2.1. P10 O P30U or9ue K10 P P30J H P10 530 H 20

=na desigualdad 9ue contiene al menos una varia"le se llama inecuacin.

or e>emlo!

1.2.1.7 5 3 M

La unta del signo M siemre se\ala el menorJ

E>emlos!

1.2.1.6 3 M ' O 3

ANITA27


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1.2.2 Ecuaciones lineales con una incgnita==Ecuacin! es una e4resin matem*tica de igualdad. =na ecuacin de"e detener un signo igual HJ y de"e tener un numero o e4resin matem*tica de cada

lado del signo igual. E>emlo de ecuacionesOO

24 5 H K

rocedimiento 9ue se de"e seguir ara resolver ecuaciones con una incgnita.

1. +ay 9ue reducir los mas 9ue se uedan los t#rminos seme>antes.2. (e hace una transicin de t#rmino como! los 9ue tiene la incgnita se asan

al lado i$9uierdo y los 9ue no lo tienen se 9uedan en el derecho. Aislando eltermino de la varia"le de un solo lado

3. (e dese>a la varia"leU los otros t#rminos se tra"a>an y se simlifica el

resultado hasta su mnima e4resin.. ercicio!

aJ 24 5 D H 1

(olucin24 H 1K D24 H 74H 7 29 ?14 R// 14?14

"J K2" 5 H 3" P

7 La Informacin fue o"tenida! li"ro alge"ra intermedia Allen ). Angel editorial earson,#4ico *g. 66 actividad 3J

ANITA28


29/159


(olucin!

K2" 5 H 3" P

5 H 3" 5 2"

17 H 7"

177 H "3H "

cJ 5 H 6

(olucin!

45 H 6

4H 6 P

4 H 2

dJ 4K 7 H 2

(olucin!

4K 7 H 2

4 H 2 57

4 H

cJ 7 NNNNNNNH NNNNNNN

4 P 3 4 P 2

(olucin!

7 NNNNNNNH NNNNNNN KO multilicamos' tendremos!

4 P 3 4 P 2 4 P H 74 P 17

K 5 17 H 74 P 4

H 4

1.2.3 Inecuaciones lineales con una incgnita MMInecuaciones es una igualdad en la 9ue hay una o m*s cantidadesdesconocidas incgnitasJ y 9ue slo se verifica ara determinados valores de lasincgnitas. Las inecuaciones se llaman tam"i#n desigualdades de condicin.

ANITA29


30/159


As' la desigualdad 24 P 3 M 4 5 7 es una inecuacin or9ue tiene la incgnita 4 yslo se verifica ara cual9uier valor de 4 mayor 9ue .

En efecto! ara 4H se convertir en igualdad y ara 4O se convertir* en undesigualdad de signo contrario. OO

Resol&er una 'necuación

Es hallar el resultado de las incgnitas 9ue satisfacen la inecuacin.Principios en (ue se funda la resolución de las inecuaciones.

La resolucin de las inecuaciones se inicia en las roiedades de lasdesigualdades' e4uestas y en las consecuencias 9ue de las mismas se derivan.

Resolución de 'necuaciones

)esolver la inecuacin 24 P 3 O 4 5 7

+acemos un cam"io en la inecuacin' asamos 4 al lugar de 3U y el 3 al segundo.24 P4 O 7 5 3

)educiendo! 4 O . )

es el lmite inferior de 4' la desigualdad dada slo se verifica ara los valores de4 mayores de .

MM+allar el lmite de 4 en P 4 O 74 P 6 2 3

(urimiendo denominadores! 2 P 34 O 104 P 36

Transoniendo! K34 P 104 O K36 P 2

K134 O K

8 La Informacin fue o"tenida! alge"ra elemental. 8r. Aurelio Barldor edicin 1D6 *g.2D actividad 2DJ

ANITA30


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Cam"iando el signo a los dos miem"ros' lo cual hace cam"iar el signo de ladesigualdad' se tiene! 134 M

(e divide 13! 4 M o sea 4 M 6. 13

Es el lmite suerior de 4' es decir' 9ue la desigualdad dada slo se verifica aralos valores de 4 menores 9ue 6. OOD

E>ercicio!1J 4K 7 M 24 P 6

4 P 24 M K6 5 74 O 1

2J 74 P 12O 34 P 74 P 34 O K 5 1224 O H 2]H J O

3J 4 P 6 O 21 P 4

4 5 4 O 21 5 6D4 O2 H D]2 H3J 4 O 3

J 34 P 1 M 4 P 234 P 4 M K2 51K4 O 12 H K ]12H 3J O K3

7J 4 5 3J 4 K1J M 4 P 1J2 5 34425 24 P 3 M 42 P 24 5 1 5 3424 5 24 P 34 M 1 53

4 M

1.2. Ecuaciones de segundo grado 9ue se resuelven or factori$acinLas ecuaciones de segundo grado 9ue se ueden resolver or factori$acin esuna ecuacin de la forma a42 5 "4 5 c H 0 donde a ' " y c se reresentan conn-meros reales y a es un n-mero diferente de cero.

Ejemplos: 42 P D H 0U 42 P 4 P 12 H 0

ara utili$ar este m#todo de"emos de igualar o 9ue tenga igualdad a cero.

8esu#s e4resamos el lado 9ue no es cero como un roducto de factores y de-ltimo se iguala a cero los factores y dese>amos ara la varia"le.

Ejemplos:

9 La Informacin fue o"tenida! alge"ra elemental. 8r. Aurelio Barldor edicin 1D6*g.20J

ANITA31


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1) x 2 – 4x = 0 2) x 2 – 4x = 12 3) 12x 2 – 17x + 6 = 0

La solucin de una ecuacin cuadr*tica a!2 " b! " c ) * con a diferente de ceroest* dada or la frmula cuadr*tica

41H−b+√ b2−4 ac

2a

E>ercicios! de ecuaciones de 2do grado or factori$acin

a. 42 5 74 P 2H0 4 5 J 4 K3JH0

4 5 H 0 4 P 3H0r 41 H K 42 H 3

". 242 5 4 P H02 K1H K1

1 H8

7

24 K1J4 5 JH024K1H0 45H0

41H1

2 42 H K

2

ANITA32


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1.2.7 Ecuaciones de segundo grado 9ue se resuelven or forma general-! eu!i& ge&e%!l de 2@. %!do e+ a42 5 "4 5 c H 0 y sus races

41H −b+√ b2−4 ac

2a y 42H −b−√ b2−4 ac

2 a

MMEstas tienen 2 roiedades!

1J (uma de las races

415 42 H −b+√ b2−4 ac

2a 5−b√ b2−4 ac

2 a

H−b√ b2−4 ac−b−√ b2−4 ac

2 a

La suma de las races es igual al coeficiente del segundo t#rmino de laecuacin con el signo cam"iando artido or el coeficiente del rimer t#rmino.roducto de las races! multilicando las races tenemos

4142 H−b+√ b2−4 ac

2a 4−b√ b2−4 ac

2 a

H −b√ b2−4 ac−b−√ b2−4 ac

2

a

H

b−¿¿

4 ac

√ b2−¿¿¿2¿¿

Hb2−(b2−4 ac )

4 a2 H

b2−b2+4 ac4 a

2 H4 ac

4 a2 Hca OO

10

El roducto de las races es igual al tercer t#rmino de la ecuacin con su roiosigno artido or el coeficiente del rimero.

10 La Informacin fue o"tenida! alge"ra elemental. 8r. Aurelio Barldor edicin 1D6 *g. 6DJ

ANITA33


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La ecuacin a42 5 "4 5 c H 0 uede escri"irse tam"i#n 42 5ba 4 5

ca H 0 y se

dividen todos sus t#rminos or a !

415 42 H−b

a H Kba y 4142 H

ca

MMToda ecuacin de la forma 42 5 m4 5 n H0 en toca ecuacin de segundo gradoen 9ue el coeficiente del rimer t#rmino es 1' la suma de las races es igual alcoeficiente del segundo t#rmino con el signo cam"iado y l roducto de las rices esigual al tercer t#rmino con su roio signo. OO11

11 La Informacin fue o"tenida! alge"ra elemental. 8r. Aurelio Barldor edicin 1D6*g. 6DJ

ANITA34


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ara reali$ar las ecuaciones rimero hay 9ue hacerse 3 reguntas

E>ercicio!%ormula! a42 5 "4 P c H 0 Coeficientes

42 5 34 P 22 H 0

1. ^Cu*nto vale a_ 422. ^Cu*nto vale "_ 343. ^Cu*nto vale c_ P 22

Cuando ya sa"emos todos nuestros datos odemos utili$ar la formula generaly sustituir los valores.

%ormula!

4H−b ±√ b2−4 ac

2 a aJ 4H

−3 ± √ 32−4 (4 )(−22)

2(4) desu#s de

sustituir los valoresodemos reali$ar la ecuacin.

"J 4H−3 ± √ 9+352

8 H−3 ± √ 361

8 sacamos la ra$ de 361 H 1D H

−3 ±198

cJ H−3 ±19

8 de a9u salen 2 soluciones de"ido a esto±

41 H−3+19

8 H16

8 H 2

42H−3−19

8 H−22

8 H−11

4

Ejemplo:

%&),=LA

H−b ±√ b2−4 ac

2 a

ANITA35


36/159


1) 2 P 74 5 6 H 0

5 ±√ 52−4 (1)(6)2

H5 ±√ 25−24

2 H5 ± √ 1

2

H41−5+1

2 H−4

2 H K2

H42−5−1

2 H6

2 H 3

ANITA36


37/159


2) 242 P 4 5 3 H 0

H−7 ±√ 72−4 (2)(3)

4 H−7 ±√ 49−24

2 H H−7 ±√ 25

4 −7 ± 5

4

41 ¿7+5

4 H2

4 H1

2

42H−7−5

4 H−12

4 HK3

3J P42 5 4 P 10 H 0K1J. P42 5 4 P 10 JHK1J. 0 42 5 4 P 10 H 0

4H7 ±√ 72−4(10)

2 H7 ±√ 49−40

2 H7 ± √ 9

2 H7 ±√ 3

2

41H7+3

2=−10

2 HK7

42H7−3

2 ¿

4

2 H 2

J 42 K 24 5 1H 0

4H

2 ±√ 22−4 (1)

2(1) H

2 ±√ 4−4

2 H

2 ± √ 0

2 H

2 ± 0

2

41H2+o

2 H2

2 H 1

7J 42 5 P 4J2 H 2742 5 D P 14 5 42 H 27242 P 14 5 2 H 042 P 4 5 12 H 0

4H 7 ±√

7

2

−4(12)2 H 7 ±√

49−482 H7 ± 1

2

41H7−1

2 H6

2 H 3

ANITA37


38/159


42H7+1

2 H8

2 H

ANITA38


39/159


1.+ ,eometría Plana % del espacioEl rimer conocimiento geom#trico 9ue tuvo el hom"re consista en seguir unas reglasr*cticas. ara 9ue la geometra se le udiera llamar ciencia y ser renocida tuvieron 9ueasar muchos siglos' hasta llegar a los griegos. Es en :recia en donde se ordenaron losconocimientos emricos y estos fueron ad9uirieron or el hom"re a trav#s del tiemo y'como se remla$ la o"servacin y e4eriencia or deduccin racional' aarece la

:eometra al lano rigurosamente cientfico. En Ba"ilonia' Egito y :recia eran loslugares donde m*s se alica"a la geometra en Egito con la construccin de susir*mides' y articiaron muchos filsofos 9ue aorta"an ideas a la :eometra comoit*goras y Tales de ,ileto.

1.3.1 %iguras geom#tricasMM(on figuras tridimensionales limitadas or suerficies lanas o curvas llamadas caras.8esde el unto de vista geom#trico' se clasifican en 2 grandes gruos! oliedros y curosredondos. OO12

Cuadrado )ectangulo Triangulo

entagono Circulo

12 La informacin se o"tuvo de! li"ro de matem*ticas secundaria. Editorial (antillana.+echo en :uatemala*g.21J

ANITA39


40/159


Traecio

+e4agono +etagono

&ct*gono 8ec*gono)om"o

Losango )ect*ngulo aralelogramo

-ipos de Primas

MM

rismas regulares rismas irregulares rimas &"licuos

ANITA40


41/159


araleleedo &rto edros

risma triangular

risma Cuadrangular risma he4agonal OO13

Pir/mides

ir*mide ir*mide ir*mide ir*mide

Triangulas cuadrangular entagonal he4agonal

13 Im*genes! htt!.ditutor.comgeometriaNesaciorisma.html

ANITA41

http://www.ditutor.com/geometria_espacio/prisma.htmlhttp://www.ditutor.com/geometria_espacio/prisma.html


42/159


ir*mide regular ir*mide irregular

ir*mide recta ir*mide o"licua

ir*mide conve4a ir*mide cncava OO1

MMEsferaOO17 MM Cilindro recto Cilindro &"licuoOO16

14 Im*genes! htt!.universoformulas.commatematicasgeometriatiosKiramide

15 Imagen! .universoformulas.com

16 Imagen! htt!.royectosalonhogar.com%isicaElN


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MM&ctaedro 8odecaedro Isoedro

Cono Tronco del Cono ToroOO1

Cu"o

1.3.2 ;rea de las figuras geom#tricasMM(uerficie' la suerficie esa forma de la figura. +ay suerficies rectangulares'cuadradas' circulares' etc.

;rea' es la medida de una suerficie. El *rea se refiere al tama\o.

,edida de una suerficie' ara efectuar la medida de una suerficie se toma comounidad un cuadrado 9ue tenga or lado la unidad de longitud.

17 Im*genes! htt!.universoformulas.commatematicasgeometriacuerosKgeometricos

ANITA43

http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/cuerpos-geometricos/http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/cuerpos-geometricos/


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En la r*ctica el c*lculo del *rea de una figura se efect-a indirectamente' es decir'midiendo la longitud de algunos de los elementos de la figura y reali$ando ciertasoeraciones con dichas medidas.OO 1

0uma % diferencia de /reas

El *rea de una figura 9ue sea la suma de otras dos es igual la suma de las otras

*reas.MME>emlos el *rea' A' del traecio ABC8 9ue es suma de los tri*ngulos ∆ ABC

y ∆ AC8 es igual a la suma de las *reas A1 y A2 de los 2 tri*ngulos

AH A1 5 A2

OO1D

18 La informacin se o"tuvo! geometra lana y del esacio con una introduccin a latrigonometra *g.203J.

19 La informacin se o"tuvo! geometra lana y del esacio con una introduccin a latrigonometra *g. 20J

ANITA44


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Figuras E(ui&alentes

(on las 9ue son iguales o la diferencia de las figuras iguales. Las figurase9uivalentes todas tienen igual *rea. & sea 9ue si dos figuras tiene igual *rea sone9uivalentes.

C 8 CI 8I

A B AI BI

Ejemplo:

(ea A1 el *rea de la suerficie ABC8.(ea A2 el *rea de la figura A`B`C`8`

(i A1H A2 las dos figuras son e9uivalentes.

rea del Rect/ngulo (i dos rect*ngulos son de igual "ase y son igual en altura' 9uiere decir 9ue estos soniguales.

C 8 CI 8I

A B AI BI

MMLlevemos el rect*ngulo A`B`C`8 so"re el rect*ngulo ABC8' de manera tal 9ue A`B`coincida con su igual AB' coincidiendo Acon A y Bcon B.

A8seguir* la direccin de A88concidir* 8.

8C seguir* la direccin de 8C y B`C`(eguir* la direccin de BC.or tanto! C` conincidira con C ABC8 H A`B`C`8` OO 20

(i dos rect*ngulos tienen iguales las "ases sus *reas son roorcionales a lasalturas.

20 La informacin se o"tuvo! geometra lana y del esacio con una introduccin a latrigonometra *g.210J

ANITA45

A2A1


46/159


ABC8 y ÀB`C`8 son rect*ngulos de *reas A y À U "ases AB H A`B` y alturas A8 y A`8`

(i dos rect*ngulos tienen iguales alturas' sus *reas son roorcionales a las"ases.

C 8 CI 8I

AI BI

A B

(i las *reas de 2 rect*ngulos son roorcionales a los roductos de sus "asesor sus alturas.

8 C

8I CI 8I 8II CII

A B AI BI AII BII

MMABC8 y A`B`C`8` son rect*ngulos de *reas A1 y A2' y "ases ABH " y A`B`H "I y A8Hh y À8`HhIOO21


ANITA46

* A1

*I A

*I A2

I


47/159


A1

A Hb h

b' h '

El *rea de un rect*ngulo es igual al resultado de su "ase or su altura.

(ea A el *rea del rect*ngulo ABC8 de "ase " y altura h. AH"h

8 C

8I CI

h

hI

A " B AI "I BI

MMConstruccin au4iliar. Construyendo el cuadro ABC8cuyo lado mide launidad de longitud' es decirU "` H h`H 1. Este cuadro ser* la unidad de *rea A1H1

A A1 H

b h

b' h '

!or"ue las #reas de dos rect#n$ulos son proporcionales a los productos de las

bases por las alturas)

ero A1H 1U "`H1U h`H1 8 C

ANITA47

A

AI

A


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(ustituyendo estos valores en

A1 H

b h1 X 1 AH "h OO

22

A B

Cuadrado El *rea del cuadrado es igual al cuadrado del lado.

ABC es un cuadrado de lado I AHl2

AH l l AHl2

rea del paralelogramo

El *rea de un aralelogramo es igual al resultado d su "ase or la altura.

8 C

A E B %

ABC8 es un aralelogramo

AB H 8CH " H "aseU8E H h H altura

A H " h.


ANITA48


49/159


rea de triangulo. EL *rea de un tri*ngulo es igual a la mitad del resultado de la"ase or su altura.

C % E

∆ ABC es un tri*ngulo de

"ase AB H " y altura C8 H h.

A Hb .h

2

A 8 B

Construccin au4iliar. or el v#rtice C' tracemos una aralela a AB y el or v#rticeB' tracemos una aralela a AC. (ea E el unto en 9ue se cortan dichas aralelas.

(e forma el cuadril*tero ABEC y el ∆ ECB. Tracemos la altura B% del ∆ ECB.

Las *reas de dos tri*ngulos sea roorcionales a los resultados de la la "asa orla altura.

MMLas *reas de los tri*ngulos ∆ ABC y ∆ A`B`C` son!

A1 Hb .h

2 A2 Hb . ' h '

2

8ivido A1 y A2tenemos! A1 A2 H

b h2 H

b h

b' h ' OO

23


ANITA49

*


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b' h'

2

Las *reas de dos tri*ngulo de "ases iguales son roorcionales a sus alturas soniguales' son roorcionales a las "ases.

(i "H "`' de la igualdad!

A1

A2H

b h

b' h '

(e deduce! A1 A2 H

hh' se simlifica

(i h H h`' de la igualdad!

A

1

A2 Hb h

b' h '

(e deduce! A

1

A2 Hb

b' se simlifica

(i dos tri*ngulos tienen igual altura e igual "ase son e9uivalentes'

A1

A2H

b h

b' h '

(i "H "` y h H h` resulta

A1 A2 H 1

A1 H A2

ANITA50


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(i dos tri*ngulos tienen un *ngulo igual' sus *reas son roorcionales a losresultados de los lados 9ue se forman or el *ngulo.

MM OO2

En los tri*ngulos ABC y A`B`C` se verifica 9ue % A H % A`

A A B C

A A' B ' C ' Hb c

b' c '

rea del tri/ngulo en función de sus lados. Formula de 3erón. ;rea de un tri*ngulo en t#rminos de sus lados a " y c' esta resulta de la

frmula! A √ p ( p−a ) ( p−b ) ( p−c ) , donde es como #l se semierimetro del

tri*ngulo.

B

c a

A " 8 C

(ea el ∆ ABC de *rea A

AH √ p ( p−a ) ( p−b ) ( p−c ) ,

8emostracin

AH1

2 " h

ero h2

b H √ p( p−a ) ( p−b ) ( p−c ) ,

24 La informacin se o"tuvo! geometra lana y del esacio con una introduccin a latrigonometra*g. 21J

ANITA51

*


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(ustituimos 2 en 1

AH1

2b

2

b √ p( p−a ) ( p−b ) ( p−c ) ,

AH √ p ( p−a ) ( p−b ) ( p−c ) ,

MM;rea de un tri*ngulo e9uil*tero en funcin del lado. El *rea de un tri*nguloe9uil*tero de la l est* dada or la frmula.OO27

AH l2 √ 3

4

AH √ p ( p−a ) ( p−b ) ( p−c ) ,

ero!a+b+c

2 y aH " H cH l

(ustituyendo 3 en 2' tenemos!

l+l+l2 H

31

2

(ustituimos 3 y en 1 y nos da!

AH √31

2 (312 −l)( 312 −l)( 312 −l),

ero!31

2 P lH31−21

2 H1

2

(ustituyendo 6 en 7 y o"tenemos

25 La informacin se o"tuvo! geometra lana y del esacio con una introduccin a latrigonometra*g.21DJ

ANITA52


53/159


AH √ 31

2 .l2 .

l2 ..

l2 .

AH √31

4

16

AH l2

±√ 34

rea del tri/ngulo en función de sus lados % el radio de la circunferenciainscrita.

El *rea de un tri*ngulo es igual al resultado del semierimetro or el radio de lacircunferencia inscrita.

MM OO26

=samos & de la circunferencia inscrita con los v#rtice A' B y C. El ∆ ABC

9uedara descomuesto en ∆ A&B' ∆ BOC y ∆COA. Tracemos las alturas

&8' &E y &% de estos tres tri*ngulos. A ABC HA A&B 5 ABCB&C5 AC&A se suman las *reas

y &8 H&E H &%H r or ser erendiculares a los lados tangentes

ero!

A A&B H1

2 AB . &8 H1

2 AB . r or *rea del tri*ngulo

AB&CH

1

2 BC . &E H

1

2 BC . r


ANITA53


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AC&AH1

2 CA. &% H1

2 CA . r

(ustituyamos 2 en 1 y o"tendremos!

A ABC H1

2 AB . r 51

2 BC . r 51

2 CA . r

A ABC H1

2 AB 5 BC 5 CAJ r

ero!1

2 AB 5 BC 5 CAJ H

(ustituyendo en 3 o"tendremos! A H . r.

ANITA54


55/159


rea del tri/ngulo en función de sus lados % del radio de la circunferenciacircunscrita.

El *rea de un tri*ngulo es H al resultado de sus lados divididos or el radio de lacircunferencia circunscrita.

(ea el ∆ ABC' ) el radio de la circunferencia

circunscrita y A el *rea del tri*ngulo.

AHabc4 R

Tracemos la altura H h y el di*metro BE'Que asa or B. (ea E el otro unto donde el di*metrocorta a la circunferencia &. =namos A con E. (e forman los tri*ngulos

∆ BAE y ∆ BC8.

AH1

2 " h

ero! en los ∆ B8C y ∆ BAE!

L 8H L A H 1)

L C H L E

∆ BDC

rea del Rombo.

ABC8 es un rom"oU AC H d` diagonales

B8 H d

A Hdd '

2 .

A ABC 5 A AC8 (uma de *reas

ero! A ABCH1

2 AC. &8 ;rea del tri*ngulo

ANITA55


56/159


A AC8H1

2 H AC . &8 ;rea del tri*ngulo

(ustituyendo 2 y 3 en 1

A ABC8H 1

2 AC . B& 51

2 AC . &8

A ABCH1

2 AC .B& 5 &8J sacando factor com-n

b como! ACH d` or hitesis

b B& 5 &8 H d suma de segmentos

(ustituyendo 7 y 6 en

A ABC8H1

2 dd` Hdd '

2

MM OO2

rea del trapecio. MMEl *rea de un traecio es igual a la semisuma de sus "asesmultilicada or su altura.OO2

ABC8 es un traecio de "ase mayor AB H "' "ase menor 8C H "` y altura 8E H h

A H( b+b' ) h

2



ANITA56


57/159


Tracemos la diagonal B8. (e forma el ∆ AB8 de "ase " y altura h y el ∆

8BC de "ase "` y altura h.

A ABC8 H A AB8 5 A8BC suma de *rea

ero! A AB8 H1

2 " . h

;rea del tri*ngulo

b A AB8 H1

2 "`. h

(ustituyendo 2 y 3 en 1!

A AB8 H1

2 " h 51

2 "` h

A AB8 H1

2 h " 5 "`J

AHh(b+

b'

)2

rea de un polígono regular. El *rea de un olgono regular al roducto de susemierimetro or su aotema.

ANITA57


58/159


ABC es un olgono regular de n lagosU

lH ladoU aH aotemaU H semierimetro.

A ABC . a

Tracemos la circunferencia circunscrita al olgono y unamos el centro & con cadauno de los v#rtices. (e formar*n n tri*ngulos de "ase l ladoJ y alturas a

aotemaJ. A ABC. . . H A A&B 5 AB&C 5 . . .

ero! A A&B H1

2l a

AB&CH 1

2l a

b as sucesivamente.

(ustituyendo 2 ' 3 etc. en 1

A A&B . . . H1

2la 5

1

2la 5 . . . n vecesJ suma de *reas.

A ABC H1

2la . n

A A&B . . . Hn12 l a

b como! Hnl2= p or definicin

(ustituyendo 7 en ' tenemos!

AH . a.

El *rea de un crculo es igual al roducto de π or el cuadrado del radio.

(ea la circunferencia de centro & y radio r.

AH π r 2

ANITA58


59/159


MM OO2D


ANITA59


60/159


Inscri"amos en la circunferencia &' de longitud C' un olgono regular ABC. . . (ea H 2 su ermetro y a su aotema.

E>emlo!

AH π . r 2

La rueda de un camin tiene D0 cm de radio. ^Cu*nto ha recorrido el camincuando la rueda ha dado 100 vueltas_

rHD0! 100H 0.Dm

LH 2 4 π 4 0.DH 7.67m

7.67 4 100H 767.

=n faro "arre con su lu$ un *ngulo lano de 12. (i el alcancem*4ima del faro es de mil las ^cu*l es la longitud m*4ima en

metros del arco corresondiente_

1 mil la H 172 m

LcH2 x π x 7 x 128°

360 ° H 17.63 mil las

17.63 4 127 H 2D6.6 m

ANITA60


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8adas dos circunferencias conc#ntricas de radio y 7 cm resectivamente' setra$an los radios &A y &B' 9ue forman un *ngulo de 60. Calcular el *rea deltraecio circular formado.

B

60

A A ¿ π x (82−52 ) x 60

360 H 20.2 cm2

ANITA61

o


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1.3.3 ermetro de las figuras geom#tricasLa frmula del ermetro

El perímetro del tri/ngulo Δ ABC es igual a la suma de las longitudes de

todos sus lados.

%ormula! H a 5 " 5 c

MM OO30

E>ercicio!

H a 5 " 5 c H 10 5 3.1 5 3.1

H D6.3 cm

3.1 cm

10 cm

30 Imagen! htt!es.onlinemschool.commathformulaerimeterh1

ANITA62

http://es.onlinemschool.com/math/formula/perimeter/#h1http://es.onlinemschool.com/math/formula/perimeter/#h1


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Perímetro del cuadrado es cuando se multilica la longitud de su lado or cuatro.

%ormula! H a

Tam"i#n! el ermetro del cuadrado uede ser! a la multilicacin de la longitud desu diagonal or 2 races de 2.

%ormula! 2 √ 2d

H ermetro del cuadrado

aH longitud del lado del cuadrado

dH longitud del diagonal del cuadrado

MM OO31

aJ E>ercicio!"J Calcula el ermetro de un cuadro de lado 1.20 m.

H a H1.20JH .0 m

1.20m


ANITA63



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Perímetro del rect/ngulo ABC8 es la suma dulicada de sus lados 9ueertenecen al mismo *ngulo.

%ormula! H 2a 5 "J

H ermetro del rect*ngulo

a' " H longitud de los lados

MM OO32

E>ercicio!=na taa de $aatos 9ue mide 3 cm de largo or 21cm de ancho.

H 2a 5 "J H 23J 5 221J

H 6 5 2

H 11 cm

21cm

3 cm

32Imagen htt!es.onlinemschool.commathformulaerimeterh1

ANITA64



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Perímetro del paralelogramo ABC8 es la suma dulicada de sus lados 9ue sondel mismo *ngulo.

%ormula! H 2a 5 "J

Hermetro aralelogramo

a'" H longitud de lados

MM OO33

E>ercicio!

Calcula el ermetro del aralelogramo

H 2a 5 "J "H 6 cm

H 27 5 6J

H 22

aH 7 cm aH 7 cm

"H 6 cm

33 I$!ge& htt!es.onlinemschool.commathformulaerimeterh1

ANITA65



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Perímetro del rombo se multilican la longitud de su lado or el cuatro.

%ormula! Ha

H ermetro

aH longitud de los lados

MM OO3

E>ercicio!

Calculas el ermetro de un rom"o y su lado mide 1 cm

Ha 1cm

H 1J H 2


ANITA66



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Perímetro del trapecio es la su a de las longitudes de los lados.

%ormula! H a 5 " 5 c 5 d

H ermetro

a'"H longitudes de las "ases del traecio.

c'"H longitudes de los lados laterales del traecio.

MM OO37

E>ercicio! cm

3cm 3cm

7 cm

H a 5 " 5 c 5 d

H 7 5 53 53

H 17 cm


ANITA67



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Perímetro del círculo.

%ormula! H 2 π r

H 2 π d

H ermetro del circulo

rH radio del circulo

dHdi*metro del circula

2 π 3.117D2 MM

OO36

E>ercicio! H 2 π d H 2 π r

H3.116 4 6 H 23.116J 4 3

H 1.D6 H 6.232 4 3

H 1.D6 cm


ANITA68

6 cm



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1.3.


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4olumen del Prisma se multilica el *rea de la "ase en la altura.

%ormulado! < H A" h

ercicio!

Calcula el volumen de un risma

< H A" h


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4olumen del paralelepípedo! se multilicando del *rea de la "ase or la altura.

%ormula! < H A" 4 h


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4olumen del ortoedro la multilicacin de su longitud' latitud y altura.

%ormula! ercicio!Calcule el volumen del ortoedro sus lados aJ 3cm "J 7cm cJ 3cm


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4olumen del tetraedro

%ormula! V =a

3√ 2

12

ercicio!

Calcula el volumen de un tetraedro de 10cm de arist

V =a

3√ 2

12

V =10

3√ 2

12

< H 11.7 cm3

MM OO2

41 Imagen! htt!es.onlinemschool.commathformulavolume

42 Imagen! htt!.ditutor.comgeometriaNesaciovolumenNtetraedro.html

ANITA73

http://www.ditutor.com/geometria_espacio/volumen_tetraedro.htmlhttp://www.ditutor.com/geometria_espacio/volumen_tetraedro.html


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4olumen del cilindro se multilica el *rea de su "ase or la altura.

%ormula! < ¿π R2

h


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7

4olumen del cono e9uivale a la tercera arte de la multilicacin del *rea de su"ase or la altura.

%ormula! V =1

3π R2 h

V =1

3π A b h

ercicio!

Calcula el volumen del cono

V =1

3π R2 h

¿

V =1

3π ¿ cmJ2cmJ


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4olumen de la esfera e9uivale a cuatro tercios de su radio a la tercera otenciase multilicando or el n-mero i.

%ormula! ! V =

1

3 π R

3

ercicio!

Calcula el radio de la esfera 20 cm

V =1

3π R3

V =1

3π 20

3


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1.3.7 Alicaciones del c*lculo de *rea' ermetro y volumen de figuras El *rea de las figuras geom#tricas se resuelven or medio de formulas

AH f4J d4

ara hallar el *rea seguiremos los siguientes asos!

1 (e calculan los untos de corte con el e>e &' haciendo f4J H 0 y resolviendo la

ecuacin.2 El *rea es igual a la integral definida de la funcin 9ue tiene como lmites deintegracin los untos de corte.

E>emlos! calcula el *rea del recinto limitad or la curva y H 4 P 42 y el e>e o4

El rimer lugar hallamos los untos de corte con el e>e o4 ara reresentar la crvay conoce los lmites de integracin.

0H 4 P 42 4 H 0 4 H

MM OO

En segundo lugar se calcula la integral!

AH ∫0

4

( 4 x− x2 ) dx=⌈ 2 x2− x3

3⌉=32

3u2

48 La informacin la o"tuve! htt!.inetor.comdefinidasintegralNarea.html

ANITA77

http://www.inetor.com/definidas/integral_area.htmlhttp://www.inetor.com/definidas/integral_area.html


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La %uncin es negativa!

MM+allar el *rea l imitada or la curva y H cos 4 y el e>e &4 entre 2 y32.

OOD

Alicaciones r*cticas ermetro!

El ermetro es las magnitudes fundamentales en la determinacin de una figurageom#tricaU se utili$a ara calcular las artes de un o">eto restante tal como unafigura. El *rea se utili$a cuando odemos o"tener la suerficie suerior de unermetro 9ue se desea ocultar con un o">eto.

El ermetro de un olgono se calcula sumando las longitudes de todos sus lados. As ues' la frmula ara tri*ngulos es H a5 "5c' donde a'" y c sn las longitudesde cada lado.

MM

8onde es el n-mero de lados y es la longitud del lado . Es entonces 9ue araun olgono e9uil*tero o regular' siendo 9ue todos los lados son iguales!

OO70

El volumen de figuras se utili$a deendiendo del conte4to o de la finalidad de lamedicin.

49 La informacin la o"tuve! htt!.inetor.comdefinidasintegralNarea.html

50 La informacin la o"tuve! htts!es.iRiedia.orgiRier C3A8metroImagen!a"a>oloschaRas."logsot.com

ANITA78

http://www.inetor.com/definidas/integral_area.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttps://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttp://abajoloschakas.blogspot.com/2014/03/formulas-para-obtener-volumen-el-las.htmlhttp://www.inetor.com/definidas/integral_area.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttps://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttp://abajoloschakas.blogspot.com/2014/03/formulas-para-obtener-volumen-el-las.html


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En los *m"itos acad#micos o t#cnicos se suelen emlear el metro y sus derivados.ara e4resar el volumen de sustancias l9uidas o gaseosas' e incluso aramercancas a granel' se suele recurrir a la caacidad del reciiente 9ue locontiene' medida en litros y sus derivados. En ocasiones' cuando la densidad delmaterial es constante y conocida' se ueden e4resar las cantidades or sue9uivalente en eso en lugar de en volumen.

E>emlos!

MM

OO71

1.7 0istemas de numeración

=n sistema de numeracin es un con>unto de sm"olos y reglas de generacin 9ueermiten construir todos los n-meros v*lidos. =n sistema de numeracin uedereresentarse como!

51

ANITA79


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?H (')J

8onde!

? es el sistema de numeracin considerado .e>. decimal' "inario'he4adecimal' etc.J.

( es el con>unto de sm"olos ermitidos en el sistema. En el caso delsistema decimal son 0'1'...DU en el "inario son 0'1U en el octal son 0'1'...U enel he4adecimal son 0'1'...D'A'B'C'8'E'%.

) son las reglas 9ue nos indican 9u# n-meros y 9u# oeraciones sonv*lidos en el sistema' y cu*les no. En un sistema de numeracin osicional lasreglas son "astante simles' mientras 9ue la numeracin romana re9uiere reglasalgo m*s ela"oradas.

E>emlos!

8ecimales! Estos son los 9ue utili$amos a diario. (olo ueden estar comuestos

or dgitos del 0 al D. E>emlos!D1D7D10D6213DD3163DD726Los n-meros "inarios son los 9ue se utili$an en electrnica cmutoJ. (olo

ueden estar comuestos or los dgitos 0 y 1. E>emlos' 9ue son los e9uivalentesa los anteriores!1001100111110111101101100111000010101100011100100011001011001010100110111110100110011111110

Los n-meros octales solo ueden ser reresentados or dgitos del 0 al y D noe4isten en este sistemaJ. E>emlos' 9ue son los e9uivalentes a los anteriores!11233

ANITA80


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17711602732217227172636Los n-meros he4adecimales ueden ser reresentados or dgitos del 0 al D y las

letras A' B' C' 8' E y %. E>emlos' 9ue son e9uivalentes a los anteriores!D133B682076326712A6%1C%E

1..1 (istema de numeracin decimalEs una serie de sm"olos 9ue' resetando distintas reglas' se emlean ara la

construccin de los n-meros 9ue son considerados v*lidos. En este caso' elsistema toma como "ase al die$.

Esto 9uiere decir 9ue el sistema decimal se encarga de la reresentacin de lascantidades emleando die$ cifras o dgitos diferentes! 0 ceroJ' 1 unoJ' 2 dosJ' 3tresJ' cuatroJ' 7 cincoJ' 6 seisJ' sieteJ' ochoJ y D nueveJ.

ANITA81


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El sistema decimal' como di>imos' aela a die$ dgitos y tiene las otencias deln-mero die$ como "ase. 8e este modo! 10 elevado a 0 es igual a 1U 10 elevado a1 es igual a 10U 10 elevado a 2 es igual a 100U etc.

El n-mero 723'

or e>emlo' tiene tres cifras. En el sistema decimal' se construye de la siguienteforma' resetando las osiciones corresondientes!

7 4 10 elevado a 2J 5 2 4 10 elevado a 1J 5 3 4 10 elevado a 0J

7 4 100J 5 2 4 10J 5 3 4 1J

700 5 20 5 3

723

Imagen de sistema de numeracin decimal.

1..2 (istema de numeracin "inariaEl sistema "inario' es un sistema de numeracin en el 9ue los n-meros sereresentan utili$ando solamente dos cifras! cero y uno 0 y 1J. Es uno de los 9uese utili$an en las comutadoras' de"ido a 9ue estas tra"a>an internamente con dosniveles de volta>e' or lo cual su sistema de numeracin natural es el sistema

"inario encendido 1' aagado 0J.

E>emlos!

ANITA82


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MM OO72

1..3 (istema de numeracin ,aya o vigesimalLos mayas utili$a"an un sistema de numeracin vigesimal de "ase 20J de ra$mi4ta' similar al de otras civili$aciones mesoamericanas.

El sistema de numeracin maya' aun siendo vigesimal' tiene el 7 como "aseau4iliar. La unidad se reresenta or un unto. 8os' tres' y cuatro untos sirvenara 2' 3 y . El 7 era una raya hori$ontal' a la 9ue se a\aden los untosnecesarios ara reresentar 6' ' y D. ara el 10 se usa"an dos rayas' y de la

misma forma se contin-a hasta el 1D con tres rayas y cuatro untosJ 9ue es elm*4imo valor 9ue se uede reresentar en cada nivel del sistema vigesimal. Estesistema de numeracin es aditivo' or9ue se suman los valores de los sm"olos

52 Imagen! htt!.imagenescone>emlosmatematicos.com

ANITA83

http://www.imagenesconejemplosmatematicos.com/http://www.imagenesconejemplosmatematicos.com/


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ara conocer un n-mero. El unto no se reite m*s de veces. (i se necesitan 7untos' entonces se sustituyen or una raya.

E>emlos de sistema de numeracin ,aya o


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MM OO7

1.7.1 Teorema de it*gorasEl teorema de it*goras esta"lece 9ue' en todo tri*ngulo rect*ngulo' el cuadradode la longitud de la hiotenusa es igual a la suma de los cuadrados de lasresectivas longitudes de los catetos. Es la roosicin m*s conocida' entre otras'de las 9ue tienen nom"re roio de la matem*tica.

En todo tri*ngulo rect*ngulo el cuadrado de la hiotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos.

(i un tri*ngulo rect*ngulo tiene catetos de longitudes a S' y " S' y la medida de lahiotenusa es c S' se formula 9ue!

54Imagen!aprender-faval.blogspot.com

ANITA85


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1J c2 H a2 5 "2 S'

8e la ecuacin 1J se deducen f*cilmente tres corolarios de verificacin alge"raicay alicacin r*ctica!

a H c2 P "2 "Hc2Ka2 c Ha2 5 "2

E>emlo!

MM

OO77

1.7.2 )esolucin de tri*ngulos rect*ngulos utili$ando Teorema de it*gorasla relacin o kfrmula del Teorema de it*goras' aclarando 9ue' de acuerdo a laconvencin m*s utili$ada en todo el mundo' estamos sim"oli$ando como ka a lahiotenusa del tri*ngulo rect*ngulo y llamamos k" y kc a los dos catetos!

a2 H "2 5 c2

A artir de ella' uedes dese>ar y o"tener la frmula 9ue te ermitir* calcularcual9uiera de los dos catetos 9ue se te idan. Estas frmulas 9uedar*n as!

"2 H a2 P c2

c2 H a2 P "2

55 Imagen! htt!.aulafacil.com

ANITA86


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ara 9ue te orientes me>or' conviene recordar la siguiente figura!

Teorema de it*goras

MM OO76

rimer caso

Es lo 9ue se llama la alicacin kdirecta del teorema' ya 9ue se te aortan los

datos so"re el valor o la medida de los dos catetos' y se re9uiere 9ue halles lamedida de la hiotenusa.

56 Imagen! htt!.aulafacil.com

ANITA87


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1.7.3 =so de ra$ones trigonom#tricas ara resolver tri*ngulos rect*ngulosMMEn matem*ticas' las funciones trigonom#tricas son las funciones esta"lecidascon el fin de e4tender la definicin de las ra$ones trigonom#tricas a todos losn-meros reales y comle>os.BB57

Las funciones trigonom#tricas se entienden com-nmente como el cociente entredos lados de un tri*ngulo rect*ngulo asociado a sus *ngulos.

Las funciones trigonom#tricas son de gran imortancia en fsica' astronoma'n*utica' telecomunicaciones y cartografa.

==

Todas las funciones trigonom#tricas de un *ngulo ueden ser construidasgeom#tricamente en relacin a una circunferencia de radio unidad decentro &.OO7

57 La informacin fue o"tenida en! htts!es.iRiedia.orgiRi%unciC3B3nNtrigonomC3ADtrica

58 La informacin fue o"tenida en! htts!es.iRiedia.orgiRi%unciC3B3nNtrigonomC3ADtrica

ANITA88

https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica


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Ee$Dlo+

==BB59

59 Imagen! .imagenra$onestrigonometricas.com

ANITA89


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E>ercicio!

(e o"serva un *r"ol de elevacin de 0 desde un unto situado a 20 m de la "ase del*r"ol. ^Cu*l es la altura de la figura del *r"ol_

0

20 m

rimero se necesita encontrar el cateto ouesto del *ngulo 0 y el cateto adyacente del*ngulo.

Tan 0 Hcoca

= a20

=¿20 m tan 40°=a

aH16'm.

La altura del *r"ol es! 16'm.

ANITA90


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1.7. Ley de senos ara tri*ngulos o"licu*ngulos=n tri*ngulo o"licu*ngulo es a9uel 9ue no es recto ninguno de sus *ngulos' or lo9ue no se uede resolver directamente or el teorema de it*goras' el tri*nguloo"licu*ngulo se resuelve or leyes de senos y de cosenos' as como el 9ue lassumas de todos los *ngulos internos de un tri*ngulo suman 10 grados.

9e% de los senos

Es una relacin de 3 igualdades 9ue siemre se cumle en los lados y *ngulos decual9uier triangulo. Tam"i#n uede suceder 9ue haya 9ue resolver e>ercicios contri*ngulos 9ue no son rect*ngulos. La ley de senos es muy conveniente araresolver ro"lemas de tri*ngulos en e l 9ue no hay un tri*ngulo rect*ngulo.

Los lados de un tri*ngulo son roorcionales a los senos de los *ngulos ouestos.

Triangulo Acut*ngulo.

%ormula!

a!"no∝

= b

!"no=

c!"no# H a c

# ∝

&">etivos!

Estudiar y anali$ar la ley de seno.

=na ve$ estudiada la ley de los senos y dados los tri*ngulos seleccionadosmedidas de sus lados y *ngulos.

Lados con *ngulos ouestos menos de D0

;ngulos con *ngulo ouesto a los menores de D0

;ngulos y lados con un *ngulo ouesto mayor de D0

ANITA91


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E4licacin!

)esolver el triangulo si se sa"e 9ue las medidas de los *ngulos son los siguientes!∝: 52 ° ' : 70 ° , y 9ue el lado ouesto al *ngulo de C mide 26.

c

a "

72 ∝ 0

La suma de la medida de los *ngulos interiores de todo tri*ngulo es10.Entonces de"o de hallar el *ngulo de c.

(olucin!

10K ∝+ ¿

10K 7250J

10K 122

# =58 °

Ahora encontraremos todos los lados.

a!"no∝

= c

!"no#

a70 °

=26.758 ° a=

(26.7)(70)58 ° ? 32.22

b52

=26.7

58 a=(26.7)(52)

58 ° ? 23.D3

ANITA92


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ANITA93


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E>ercicio!

∝=42 ° aH_ 75 °

=75 ° "H_

# =$ cH 22cm a cH 22

(acar *ngulo # ∝42°

10K ∝+ ¿

10K 257J

10K 11

# =63 °

Encontrar los lados

a!"no∝

= c

!"no#

a

42°

= 22

63 ° a=

(22)(42°)

63 ° ?1.66b

75 °=

22

63 ° a=(22)(75 °)

63 ° ?26.1D

ANITA94


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1.7.7 Ley de cosenos ara tri*ngulos o"licu*ngulos

9e% de cosenos la utili$amos ara encontrar las artes faltantes de un tri*nguloo"licuo no rect*ngulo ya sea las medidas de dos lados y la medida del *ngulo 9ue

ueden ser! ∝ , % # o las longitudes de los 3 lados 9ue son! a' " y c. En

cual9uiera de estos casos nunca es osi"le usar la ley de senos ya 9ue noodemos esta"lecer una roorcin 9ue ueda resolverse or9ue el tri*ngulo delseno es rect*ngulo y la del coseno no lo es.

La ley de los cosenos esta"le 9ue!

c2 H √ a2+b2 & 2(ab)co!#

Esto es arecido al teorema de it*goras a e4cecin ara el tercer t#rmino y si Ces un *ngulo recto el tercer t#rmino es igual 0 or9ue el coseno de D0 es 0odemos o"tener el teorema de it*goras. As el teorema de it*goras es un caso

esecial de la ley de los cosenos.La ley de los cosenos tam"i#n uede esta"lecer como!

"2H √ a2+c2 & 2(ac)co!

a2H √ b2+c2 & 2(bc)cos∝

Estas identifican la ley de los cosenos.

E>emlo!


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a2H √ b2+c2 & 2(bc)cos∝

a2H √ 942+682 & 2(94 )(68)cos∝ 60

aH √ 8,836+4,624−12784 (0.50)

aH √ 13,460−6,392 H '06

aH √ 7,068

aH.

E>ercicio!

8os vehculos u"icados en diferentes osiciones y so"re rectas diferentes' sedirigen hacia la misma. El *ngulo 9ue forma su trayectoria es de 37. (i losvehculos se encuentran a 27 Rm y 2 Rm de la ciudad A' ^cu*l es la diferencia9ue los seara_

37

42$ 25$

c2 H √ a2+b2 & 2(ab)co!#

c2 H √ 422+252 & 2 (42) (25) co!# 35 °

cH27.6

ANITA96


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2 %sica

2.1 3istoria de la Física % persona:es importantes

2.1.1 Conceciones iniciales so"re la forma del universo

=niverso fsico! la consideracin rigurosamente cientfica del origen del universal9ue es un ro"lema relativamente nuevo. (u incororacin al ensamientohumano uede considerarse como muy antigua. Aun9ue nuestros conocimientosso"re la historia oral y escrita tienen menos de 7'000 a\os' viene de distintosdatos ar9ueolgicos 9ue el hom"re or el mundo en el 9ue vive y formamos ideascomo un todo desde mucho antes.

Cuando el hom"re eme$ con la agricultura necesito estudiar los cielos araregular me>or los eriodos de siem"ra y cosecha y as me>or en el nuevo mundode oder tener una "uena suervivencia. Entonces la o"servacin de la naturale$ay rincialmente el comortamiento en los movimientos de los cielos' esto se

convirti en una tarea imortante. Esto ermiti coleccionar durante un ar demilenios un con>unto de o"servaciones 9ue a las diferentes teoras 9ue desarrolloara e4licarlo.

=niverso est*tico! el rimero modelo relativo 9ue e4isti ara oder redecir losmovimientos celestes es el modelo geoc#ntrico 9ue se asocia al nom"re deClaudio tolomeo I' 9uien recoil muchos datos de siglo anteriores. Este modeloresenta la antigua concecin de un universo con la Tierra su centro y lanesdescri"iendo r"itas so"re un fondo de estrellas 9ue se suonan fi>as. =no delos rimeros ro"lemas 9ue se resolvi fue la descricin del movimientolanetario' incluida la Luna. 8esu#s de cmo se resolvieron los ro"lemas y con

las teoras ya era osi"le comrender y redecir algunos fenmenos como loseclises.

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La forma del universo es un nom"re informal de un tema de investigacin 9ue"usca determinar la morfologa del universo dentro de la cosmologa fsica' 9ue esla ciencia encargada de estudiar el origen' la evolucin y el destino del universo.Los cosmlogos y los astrnomos descri"en la geometra del universo incluyendodos modalidades! la geometra local' es decir' a9uella referida a la forma del

universo o"serva"le' y la geometra glo"al 9ue trata de descri"ir el esacio tiemodel universo comleto.

La geometra local curvatura esacialJ es la 9ue corresonde a la curvatura 9uedescri"e cual9uier unto ar"itrario en el universo o"serva"le hecho un romedioso"re una escala suficientemente grandeJ. ,uchas o"servaciones astronmicas'tales como las de una suernova y las de la radiacin de fondo de microondas'muestran un universo o"serva"le "astante homog#neo e istroo' y se deduce9ue su e4ansin se est* acelerando.

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60 I$!ge&. .google.o$/i$!ge&e+Gu&i#e%+o

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http://www.google.com/imagenes-universohttp://www.google.com/imagenes-universo


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2.1.2 %sica Cl*sica(e denomina fsica cl*sica a la fsica "asada en los rinciios revios a laaaricin de la mec*nica cu*ntica. Incluye el estudio de la mec*nica' latermodin*mica' el electromagnetismo' la tica' la ac-stica' la din*mica de fluidos'entre otras. La fsica cl*sica se considera determinista aun9ue no necesariamentecomuta"le o comutacionalmente redeci"leJ' en el sentido de 9ue el estado deun sistema cerrado en el futuro deende e4clusivamente del estado del sistema enel momento actual.

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61 Imagen! htts!es.iRiedia.orgiRi%C3A8sicaNclC3A1sica

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https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_cl%C3%A1sicahttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_cl%C3%A1sica


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2.1.3 %sica Cu*ntica

(ustentada en la naturale$a dual artculaonda de la materia' la mec*nicacu*ntica descri"e cmo en cual9uier sistema fsico e4iste una multilicidad deestados resultantes de incertidum"re en la esecificacin comleta de magnitudeso"serva"les. Los estados' ha"iendo sido descritos mediante ecuaciones

diferenciales' son denominados estados cu*nticos. 8e esta forma la mec*nicacu*ntica uede e4licar la e4istencia del esectro atmico discreto y revelar losmisterios de la estructura atmica' tal como hoy son descritosU fenmenos como ladifraccin de electrones' 9ue no uede e4licar de"idamente la fsica cl*sica om*s roiamente la mec*nica cl*sica.

La mec*nica cu*ntica roorciona el fundamento de la fenomenologa del *tomo'de su n-cleo y de las artculas elementales lo cual re9uiere necesariamente elenfo9ue relativistaJ. Tam"i#n su imacto en teora de la informacin' critografa y

9umica ha sido decisivo.

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62 Imagen! .omicrono.com

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http://www.omicrono.com/2016/04/afecta-la-fisica-cuantica-a-los-objetos-que-usamos-diariamente/http://www.omicrono.com/2016/04/afecta-la-fisica-cuantica-a-los-objetos-que-usamos-diariamente/


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2.1. :alileo :alilei:alileo :alilei isa' 17 de fe"rero de 176' de enero de 162J fue unastrnomo' filsofo' ingeniero' matem*tico y fsico italiano' relacionadoestrechamente con la revolucin cientfica. Eminente hom"re del )enacimiento'mostr inter#s or casi todas las ciencias y artes m-sica' literatura' inturaJ. (us

logros incluyen la me>ora del telescoio' gran variedad de o"servacionesastronmicas' la rimera ley del movimiento y un aoyo determinante alcoernicanismo. +a sido considerado como el adre de la astronoma moderna'el adre de la fsica moderna y el adre de la ciencia.

(u tra"a>o e4erimental es considerado comlementario a los escritos de %rancisBacon en el esta"lecimiento del moderno m#todo cientfico y su carrera cientficaes comlementaria a la de /ohannes @eler. (u tra"a>o se considera una ruturade las teoras asentadas de la fsica aristot#lica y su enfrentamiento con laIn9uisicin romana de la Iglesia catlica suele resentarse como el me>or e>emlode conflicto entre religin y ciencia en la sociedad occidental.

Aortaciones 9ue :alileo :alilei hi$o a la %sica!

1. ,e>oro el telescoio y lo mismo hi$o con muchos otros instrumentos.2. 8escu"ri los sat#lites de /-iter y con esto logr dar una "ase slida a las

sugerencias de Co#rnico.3. )eali$ las rimeras o"servaciones de las manchas solares y dela

suerficie de la Luna... Esta"leci una clara cone4in del uso de las matem*ticas ara descri"ir

fenmenos naturales.7.7. 8escri"i la resistencia de materiales y la friccin de una manera muy

cercana a la 9ue hoy seguimos utili$ando.6.6. Esta"leci la ley de la inercia y la ley de fuer$as 9ue osteriormente ?etonllev a su mayor altura y son conocidas como la rimera y segunda ley de?eton..

. 8escri"i el movimiento de los cueros de manera recisa... ero lo m*s imortante esta"leci lo 9ue hoy se llama el ,#todo

E4erimental' algo central ara 9ue se desarrollaran todas las ciencias 9uehoy e4isten' en articular la %sica.

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63 Imagen! .astrofisicayfisica.com

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http://www.astrofisicayfisica.com/2009/10/galileo-galilei-y-sus-aportaciones-la.htmlhttp://www.astrofisicayfisica.com/2009/10/galileo-galilei-y-sus-aportaciones-la.html


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2.1.7 ?icolas Co#rnico?icol*s Co#rnico fue un astrnomo del )enacimiento 9ue formul la teorahelioc#ntrica del (istema (olar' conce"ida en rimera instancia or Aristarco de(amos. (u li"ro 8e revolutioni"us or"ium coelestium (o"re las revoluciones delas esferas celestesJ suele ser considerado como el unto inicial o fundador de laastronoma moderna' adem*s de ser una ie$a clave en lo 9ue se llam la)evolucin Cientfica en la #oca del )enacimiento. Co#rnico as cerca deveinticinco a\os tra"a>ando en el desarrollo de su modelo helioc#ntrico deluniverso. En a9uella #oca result difcil 9ue los cientficos lo acetaran' ya 9uesuona una aut#ntica revolucin.

Co#rnico era matem*tico' astrnomo' >urista' fsico' cl#rigo catlico romano'go"ernador' lder militar' dilom*tico y economista. /unto con sus e4tensasresonsa"ilidades' la astronoma figura"a como oco m*s 9ue una distraccin.or su enorme contri"ucin a la astronoma' en 1D37 se dio el nom"reCoernicus a uno de los mayores cr*teres lunares' u"icado en el ,areInsularum.

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64 Imagen! htts!es.iRiedia.orgiRi?icolC3A1sNCoC3ADrnico

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https://es.wikipedia.org/wiki/Nicol%C3%A1s_Cop%C3%A9rnicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Nicol%C3%A1s_Cop%C3%A9rnico


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2.1.6 /ohannes @eler /ohannes @eler peil der (tadt' Alemania' 2 de diciem"re de 171 K )atis"ona'

Alemania' 17 de noviem"re de 1630J' figura clave en la revolucin cientfica'astrnomo y matem*tico alem*nU conocido fundamentalmente or sus leyes so"reel movimiento de los lanetas en su r"ita alrededor del (ol. %ue cola"orador deTycho Brahe' a 9uien sustituy como matem*tico imerial de )odolfo II.

En 1D37 la =AI decidi llamarle en su honor @eler a un astro"lema lunar.@eler se crio en el seno de una familia rotestante luterana' 9ue viva en laciudad de peil der (tadt en BadenKpurtem"erg' Alemania. (u a"uelo ha"a sidoel alcalde de la ciudad' ero cuando naci @eler' la familia se encontra"a endecadencia. (u adre' +einrich @eler' era mercenario en el e>#rcito del 8u9ue depurtem"erg y' siemre en cama\a' raramente esta"a resente en su domicilio.(u madre' @atherina :uldenmann' 9ue lleva"a una casa de hu#sedes' eracurandera y her"orista' y m*s tarde fue acusada de "ru>era.

== BB 65

Las Leyes de @eler fueron enunciadas y reali$adas or /ohannes @eler araoder descri"ir matem*ticamente el movimiento de los lanetas en sus r"itasalrededor del (ol.

El no enunci sus leyes en un orden diferente' en la actualidad las leyes senumeran as!

65 Imagen! es.iRiedia.org

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https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Keplerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler


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rimera Ley 160DJ! Todos los lanetas se desla$an alrededor del (oldescri"iendo r"itas elticas' estando el sol situado en uno de los focos.

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(egunda Ley 160DJ! El radio vector 9ue une un laneta y el (ol "arre *reasiguales en tiemos iguales.

ley de las *reas es e9uivalente a la constancia del momento angular. Es decir'cuando el laneta est* m*s ale>ado de (ol afelioJ su velocidad es menor 9uecuando est* m*s cercano al (ol erihelioJ. En el afelio y en el erihelio' elmomento angulas L es el roducto de la masa del laneta' su velocidad y su

distancia al centro del (ol. MM OO6

Tercera Ley 161J! ara cual9uier laneta' el cuadrado de su erodo or"ital esdirectamente roorcional al cu"o de la longitud del seme>ante mayor c de su r"itaeltica.

8onde T es el eriodo or"ital tiemo 9ue tarde en dar una vuelta alrededor del (olJ' LJ ladistancia media del laneta con el (ol y @ la constante de roorcionalidad.

Estas leyes se alican a otros cueros astronmicos 9ue se encuentra en mutuainfluencia gravitatoria como el sistema formando or la Tierra y la Luna.

66 Imagen! htt!.sc.ehu.ess"e"fisicacelesteRelerReler.htm

67 Imagen! htt!.sc.ehu.ess"e"fisicacelesteRelerReler.htm

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http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler/kepler.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler/kepler.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler/kepler.htm


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2.1. Isaac ?eton%ue un fsico' filsofo' telogo' inventor' al9uimista y matem*tico ingl#s. Es autor de los hilosohiq naturalis rinciia mathematica' m*s conocidos como losrinciia' donde descri"e la ley de la gravitacin universal y esta"leci las "asesde la mec*nica cl*sica mediante las leyes 9ue llevan su nom"re. Entre sus otrosdescu"rimientos cientficos destacan los tra"a>os so"re la naturale$a de la lu$ y la

tica 9ue se resentan rincialmente en su o"ra &ticRsJ y el desarrollo delc*lculo matem*tico.

?eton comarte con :ottfried Lei"ni$ el cr#dito or el desarrollo del c*lculointegral y diferencial' 9ue utili$ ara formular sus

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