Mo Estatcos, Inercia y Volumenes

1

BUSQUEDA DE LOS MOMENTOS ESTATICOS

El momento estatico nos permite conocer la posicion del baricentro de una figura como en el casode una linea de agua o de flotacion o de una ordenada del plano de construccionSi como estas figuras son siempre simet ricas respecto al Plano Diametral o de Crujia en e sto modoel baricentro se encontraragrave siempre sobre la traza del plano diametral o de crujia

Considerada el area ABCD1 adoptando el metodo de los trapecios o de Bezout

El momento estatico respecto al eje yo seragrave dado de la suma de los momentos estaticos de lossingulos trapecios respecto al mismo eje yo

Para el trapecio ndeg 1 limitado por las ordenadas yo y1 el Momento Estatico seragraveMy1= yo + y1 )2 d1

Donde d es la distancia del baricentro al eje yo

d1 = yo + 2y1)( yo + y1) que deriva de la formula del baricentro de los trapeciosSostituyendo se obtieneMy1= yo + y1 )2 yo + 2y1)( yo + y1)SemplificandoMy1= yo + 13 y1)Para el segundo trapecio seragraveMy2 = y1 + y2 ) [y1 + 2y2) (y1 + y2)]

x x x x xx

d0

d1

d2

d3

d n - 1

d n

l

y

x

y0 y1 y2 y3 y4y n - 1

y n

2

My2 = y1 + 56 y2 ]Para el tercero y cuarto trapecioMy3 = y2 + 86 y3 ]My4 = y3 + 116 y4 ]Sumando algebricamente resultaragraveMy = My1 + My2 + My3 + My4 + hellip + Myn

My = y0 + 1 y1 + 2y2 + 3y3 + (4 - 13) 12 y4 ]Al final tendremos queMy = y0 + 1 y1 + 2y2 + 3y3 + (4 - 13) 12 y4 + + (n -1) yn -1 + (n -13) 12 yn]

2 Razonando con Simpson

El Momento Estatico de la superficie ABCD respecto al eje y es dadoMy = int x y dx osea de la integracion de la funcion variable xy al varair de xEn este modo las diferentes ordenadas del area y o y1 y2 y3 pueden considerarse como elproducto del valor de ellas mismas por la s respectivas distancias de ellas respecto al eje yAhora los valores x y representan los momentos estaticos de las areas infinitesimas en las que sepuede imaginar dividida el area respecto al eje yo y por lo tanto la integral representa el MomentoEstatico del area

Entonces adoptando el metodo de Simpson se tendragrave

Para la ordenada yo xo yo = 0 yo = 0 ldquo ldquo ldquo y1 x1 y1 = 1 y1 = 1 y1

ldquo ldquo ldquo y2 x2 y2 = 2 y2 = 2 y2


ldquo ldquo ldquo yn-1 xn-1 yn-1 = (n-1) y(n-1) = (n-1) y(n-1)

ldquo ldquo ldquo yn xn yn = n yn = n yn

x

y

x

0 1 dx 2 3 4

y

3

Sostituyendo estos valores en la formulaA = yo + 4 y1 + 2 y2 + + 4 yn-1 + 1 yn ]Tendremos queMy = [ 0 yo + 4 1 y1 + 2 2 y2 + + 4 (n-1) y n-1 + 1 n yn ]Poniendo en evidencia ldquordquoMy = 0 yo + 4 1 y1 + 2 2y2 + + 4 (n-1)y n-1 + 1 n yn

Dondek = 13 o = 0 12n-1n n = 1 nEscribiendo la formula en forma reducida

My = k l2 sumi ai y

BUSQUEDA DE LOS MOMENTOS DE INERCIA

El Momento de Inercia debe ser recabado ya sea r especto al eje ldquoyrdquo que respecto al eje ldquoxrdquoSe tendragrave un Momento de Inercia longitudinal cuando esso es tomado respecto al eje ldquoyrdquoSe tendragrave un Momento de Inercia transversal cuando es tomado respecto al eje ldquoxrdquoPodemos aplicar el mismo razonamiento hecho anteriormente para encontrar el Momento Estaticocon el metodo de los trapecios osea que el Momento de Inercia de cada trapecio elementar respectoal eje que se considera

CALCULO DE LOS MOMENTOS ESTATICOS Y DE LOS MOM ENTOS DE INERCIACON EL METODO DE INTEGRACION APROXIMADA

y

y

xx

dx

dy

Iy = int x2 middot y middot dxIx = int y2 middot x middot dy

4

Sabemos queA = into

1

y dx

1 Aplicando BezoutA = yo2 + y1 + + yn-1 + yn2]

EntoncesA = into

1

y dx = yo2 + y1 + + yn-1 + yn2] = k sumyDonde

k = coeficiente de = factores de y

Por ejemplo k = 1 nn = 12

1 Aplicando Simpson ( I regla)A = into

1

y dx = yo + 4 y1 + 2 y2 + + 2 yn-2 + 4 yn-1 + yn] = k sumyDonde

k = 13 o = 1 12n-2n-1n = 1O tambien

k = 23 o = 12 12n-2n-1n = 12

Para los momentos estaticos se observa queMyy = into

1

x y dxSi en lugar de x y se sostituye y habremos

Myy = into1

y dxpodemos ver que esta formula es analoga a aquella del area y va resuelta con el Metodo deIntegracion Aproximada

Myy = krsquo sumy ( krsquo = k )Aplicando Simpson

yny n - 1y1y0

x

y

5

Myy = xyo + 4 x1 y1 + 2 x2 y2 + + 4 x n-1 yn-1 + x n yn]De notar que las abscisas ldquoxrdquo se pueden expresar en funciones de oseaMyy = yy1 + + 4 (n-1) y n-1 + n y n]Myy = k sumyDondek = 13 o = 0 1 12n-2nn-1nn = 1 n

Aplicando Bezout se optiene Myy = into

1

x y dx = into1

y dx ( x y = y )Myy = xyo)2 + x1 y1 + + x n-2 yn-2 + x n-1 yn-1 + (x n yn)2 ]

Siempre poniendo x rarr en f (tendremos queMyy = yy1 + + (n-2) y n-2 + (n-1) y n-1 + n y n2 ]Poniendo en evidencia ldquordquoMyy = yy1 + + (n-2) y n-2 + (n-1) y n-1 + n y n ]Dondek = 1 o = 0 12 12n-2nn-1nn = 12 n

Para los Momentos de Inercia referidos al eje ldquoxrdquo se recuerda queIxx = into

1

y33 dx = 13 into1

y3 dx poniendo y3 = ySe tendragrave

Ixx = 13 into1

y dx formula analoga a aquella de las areas

Metodo SimpsonIxx = k sumy = k sumy3 = 13 yo

3 + 4 y13 + 2 y23 + + 4 yn-1

3 + yn3]

Dondek = 19 o = 1 12n-2n-1n = 1

Bezoutk = 13 o = 12 12n-1n = 12

En el caso del Momento de Inercia respecto al eje ldquoyrdquoIyy = into

1

x2 y dx = into1

y dx donde y = x2 y

Aplicando el Metodo de SimpsonIyy = yy1 + 2 y2

+ + 2 y n-2 + 4y n-1 + yn ]

SostituyendoIyy = x yx y1 + 2 x

y2 + + 2 x2n-2 y n-2 + 4 x2

n-1y n-1 + x2 yn ]Poniendo x en f (tendremos queSiendo xo = 0 x1x2xn-1 (n-1)xn = n SostituyendoIyy = 0 )2 yo + 4 (1 y1 + 2 (2 y2 + + 4 ((n-1) y n-1 + (n yn]Iyy = 02 yo + 4 1 y1 + 2 2 y2 + + 4 (n-1)y n-1 + nyn]Iyy = 02 yo + 4 1 y1 + 2 2 y2 + + 4 (n-1)y n-1 + nyn]Dondek = 13 o = 0 2 1 12n-1nn = n2 1

Aplicando el Metodo de BezoutIyy = xyo + x1

2 y1 + x22 y2 + + x2

n-1 yn-1 + x2n yn ]

6

Iyy = yo+ y1 + y2 + + (n-1)2 yn-1 + n2 yn ]Iyy = 12 0 2 yo + 1 1 y1 + 1 2 y2 + + 1 (n-1)y n-1 + 1 nyn]Dondek = 1 o = 0 2 12 12n-1nn = n2 1Porque normalmente nos interesa el Momento de Inercia respecto al eje baricentrico y G se recurreal Teorema de la Transposicion

I yG yG = Iy plusmn A xG2

Donde xG = Myy A

EN EL CASO DE APENDICES DE AREAS CA LCULADAS

1 Entonces hay que calcular los Momentos Estaticos de las apendices y sumarlos con elproprio signo al Momento Estatico en la partes fundamentales

2 En el caso de apendices separados los Momentos de Inercia de las apendices van sumadosal Momento de Inercia total y se el Momento de Inercia proprio de la apendice es pequentildeose suma solo la parte relativa de la Trasposicion

3 Si las apendices estan incorporadas los Momentos Estaticos y los Momentos de Inerciaresulta del calculo conjunto

Mxx = M A - 0 + M 0 ndash 20 + M 20 - D

Ixx = Ixx A - 0 + Ixx 0 ndash 20 + Ixx 20 ndash D

yG

yG

x

y

A B 0 20 C D

7

BUSQUEDA DE LOS MOMENTOS DEL PRIMERO E SECUNDO ORDINE MEDIANTEINTEGRACION GRAFICA ndash BUSQUEDA DEL BARICENTRO

y

x

y y1

dx

y = f (x)I

A = intoL y dx

0

y

xx

int y dx

y1

y dx

L

L - x

II

y1 = intoL y dx

dM ord fin = y dx ( L ndash x )

0

8

y2

intint y dx

Lx

yy2 = My1 = into

L y dx ( L ndash x )

0

III

y

xL0

intintint y dx

y3 = 12 y1 = intoL y dx (L ndash x) 2 2

9


El Momento de Inercia se obtendragrave respecto al eje ldquoyrdquo que al eje ldquoxrdquo osea- un Momento de Inercia transversal cuando es tomado respecto al eje ldquoxrdquo- un Momento de Inercia longitudinal cuando es tomado respecto al eje ldquoyrdquoTambien para estos Momentos de Inercia se podria hacer el razonamiento hecho par a la busquadade lo Momento Estatico con el Metodo de los Trapecios osea que el Momento de Inercia es igual ala suma de los Momentos de Inercia de cada trapecio elementar respecto al eje que se consideraAsigrave en el caso del Momento de Inercia longitudina l de un trapecio cualquiera ABCD baricentricon-n aumentado del producto de la su area por el cuadrado de la distancia d de su baricentro del ejey

Pero operando en este modo el calculo resultaria muy complicadoAnalogamente sucede en la busqueda de los Momentos de Inercia respecto al eje ldquoxrdquo osea porquegravelas areas son de dimensiones definidas y de una determinada grandezaConviene asigrave referirse a elementos infinitesimos de area ydx y por lo tanto el Momento de Inerciade estas areas infinitesimas respecto al eje ldquoyrdquo seran

d Iy = x2 y dxPuesto que el Momento de Inercia baricentrico puede ser ignorados por lo tanto las ordenadas de lafigura pueden asumir los siguientes valoresyorsquo = ( 0 yo = 0y1rsquo = ( 1 ) y1 = 12 y1

y2rsquo = ( 2 y2 = 4 y2y3rsquo = ( 3 y3 = 9 y3

y4rsquo = ( 4 y4 = 16 y4

d

d c

ba

x

y

m

n

Iy = IyG + d2 middot A trapecio

10

ynrsquo = ( n yn = n2 yn

Ahora sostituyendo estos valores en la formula de Bezout se habragraveA = yo 2 + y1 2 ] + y1 2 + y2 2 ] = yo 2 + y1 + y2 2 ]

M = yo 2 + y1 2 ] d1 d1 = 3 (yo + 2 y1) (yo + y1)M = [ yo + y1] 3 (yo + 2 y1) (yo + y1)[ yo + 2 y1] = yo y1]My = [ 13 yo + 1 y1 + 2 y2 + 3 y3 + (4 13) 12 y4]My = [ 13 yo + 1 y1 + 2 y2 + 3 y3 + + ( n - 1 ) y nndash 1 + ( n -13 ) 12 yn]Iy = [ 0 yo + 1 2 y1 + 4 2 y2 + 9 2 y3 + 16 2 12 y4]Iy = [ 0 + 12 y1 + 22 y2 + 32 y3 + 42 12 y4]Y en forma generica

Iy = [ 0 + 12 y1 + 22 y2 + 32 y3 + + ( nndash 1 )2 yn ndash 1 + n2 12 yn]Dondeo = 0 12 123n-1nn = n2 12

BezoutIyy = sumi 1 y1

Y con el Metodo de SimpsonA = [ yo + 4 y1 + yo + 2 y2 + + 4 yn ndash 1 + 1 yn ]Iy = [0 2 yo + 4 12 2 y1 + 2 4 2 y2 + 4 9 y3 + 2 16 y4 + + 4 (n ndash 1)2

yn ndash 1 + 1 n2 yn ]Iy = 0 yo + 4 12 y1 + 2 22 y2 + 4 32 y3 + 2 42 y4 + + 4 (nndash1)2 yn ndash 1 + 1 n2 yn ]O tambienIy = 0 + 4 12 y1 + 2 22 y2 + 4 32 y3 + 2 42 y4 + + 4 (nndash1)2 yn ndash 1 + 1 n2 yn ]In otros terminos para el calculo con la formula de Simpson el Momento de Inercia es dado delproducto del intervalo entre las ordenadas elevados al cubo () dividido por tres (k= 13)multiplicado por la suma de las ordenadas (sumi i yi) a excepcion de la primera(o = 10 2) quetiene cada uno ademas del coeficiente que le corresponde para la formula normal de cuadratura uncoeficiente correspondiente a los cuadrados de los numeros 1 2 3 4 5 Coeficientesk= 13 o = 1 0 2 123n-1nn = 1 n2

Iyy = k sumi i y i

El Momento de Inercia respecto al eje ldquoxrdquo evidentemente seragrave dado de la suma de los Momentos deInercia de cada una de las areas infinitesimas y dx respecto al mismo eje dado que este Momentode Inercia es dado por

d Ix = 13 y3 dxAsigrave las singulas ordenadas del area deberan ser sostituydas de valores correspondentes al cubo de laordenada misma dividida por tresPor lo tanto para la formula de Bezout se tendragrave que

Ix = yo3 + y1

33 + y233 + y4

33 + 12 y533 ]

Ahora poniendo en evidencia 13 se habragrave en formula genericaIx = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + 12 y5

3 ]Ix = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + y5

3 + + yn -13 + 12 yn

3]Dondek= 13 o = 12 12n-1n = 12

Con la formula de Simpson se habragrave

11

A = yo + 4 y1 + y2]I xx = int 13 y3 dx = k sumy1

3 Poniendo y3 = yIx = yo

33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)En general los Momentos de Inercia que hacen falta en los calculos de Teoria del Buque deben serreferidos a los ejes pasantes por lo baricentro de las figuras que se considera n

Calculado por ejemplo el Momento de Inercia Iy de la figura arriba ilustradab de una linea drsquoaguarespecto al la PpAD de la cual figura se ha ya calculado area Momento Estatico y Momento deInercia respecto a la misma perpendicular el Momento de Inercia respecto al eje baricentrico m-nseragrave igual

Imn = Iy ndash A x2 donde x = My A Osea se recurre a la costumbre formula de tra nsposicion de los Momentos de Inercia Esto valor seragrave redoblado por tener cuenta de la entera linea de aguaEl Momento de Inercia respecto al eje baricentrico longitud inal seragrave dado de 2 I x porquegrave en lafigura que se considera siendo simetrica respecto al eje ldquoxrdquo el baricentro esta en este eje por tantoel Momento de Inercia calculado seragrave el Momento de Inercia baricentrico y esto seragrave calculado pormedia linea de aguaMuchas veces y lo veremo despues ocurriragrave busquar el Momento de Inercia tambien respecto a uneje ss diverso da los ejes ldquoxrdquo y ldquoyrdquo ahora referindose a lo decido antes sobre la Elipse Central deInercia seragrave suficiente construirse esta elipse

x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12

Tal construcion es facil porquegrave hemos visto que los radios principal es de Inercia son dados de laraiz cuadrata del proporcion entre el maximo y lo minimo Momento de Inercia y lrsquoarea de la figuraLlamandox = AG y = BG

tal radios ellos seran dadosx = radic ( Iy A) y = radic ( Ix A)

y porquegrave estos radios principales de Inercia corresponden a los semidiametros de la elipse laconstrucion de la elipse puede es hecha como sigue

Entonces queriendo el Momento de Inercia de la figura de flotacion respecto a un eje ss pasante porel suyo baricentro y el angulo φ con al eje x el Momento de Inercia respecto a este eje ss resultaI y = A ds2

Donde ldquodsrdquo representa la distancia entre ss y la tangente a el elipse a ello paralela

CALCULO DE LA CARENAS DERECHAS (spa)1) Se toman las lineas de flotacion una por una segun el intervalo tomado(Fig)2) En la tasta de cada linea de flotacion aparecen ordenadas 2 ndash 20semimangas yi

factores fi ki

(tab)3) Las ordenadas comienzan desde donde existe una semimanga ver fig Ej la linea de

flotacion 0(fig)Osea comenzamos a llenar la tasla desde la ordenada 12 hasta la ordenada 20 del seguientemodo

CALCULO DE LAS CARENAS DERECHAS

y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13

Cuando se ejecuta el proyecto de una nave y se ha disentildeado el plano de construcion es necesarioproceder al calculo de los volumens de las carenas derechas limitadas da diferentes flotacionsincluidos entre acuel de nave descargada y acuel de maximam imersion que la nave puede soportarsin que las sus propriedad de estabilidad y de seguridad sean comprometides(fig)Determinado el volumen de las diferentes carenas que en esto caso son carenas isoclinas esnecesario definir la posicion del centro de carena de cada una de ellas y por fin determinar losradios metacentrico correspondenteYa que el casco de una nave como es sido dicho antes no es un solido geometrico definido porcalcular el su volumen es necesario recurrir a un calculo aproximado empleando uno de los usualesmetodos de cuadraturaEntonces por calcular el volumen se imagina el casco seccionado en muchos planos paralelos a elplano de flotacion normal los cuales delimitan las zonas de carena que por sus pequentildea altura yporquegrave las variaciones de las bandas de lo casco correspondentes a dechas zonas se alejan de pocode la andadura rectilinea pueden ser retenudas como muchos paralelepipedos o piramidestruncadas y entonces el volumen total de carena seragrave dado da la suma de los volumen de las zonasen los cuales ella es sida dividida(fig)Esto procedimiento se indica como ldquocalculo para linea de aguardquo en lo cuanto los planos que se sontrazados paralelos a la flotacion intersecan su la superficie de carena de las lineas curvas querapresentan las lineas de agua y com unmente se considera acuellas del plano dre construcion(fig)Se puede tambien proceder al calculo del volumen sacionando el casco con de los planos verticalestransversales y normales al plano diametral y considerar los volumen de los trachos incluidos entretal secciones Ya que estes secciones determinan su las superficies de carena lineas curvassimetricas respecto al plano diamtral esto metodo de calculo coge el nombre de ldquocalculo parordenadasrdquo dado que las dichas lineas curvas pueden ser represen tades de las ordenadas del planode construcion(fig)Como control de la correccion de los calculos por una dada flotacion lo volumen de la carenacalculado par lineas de agua debe resultar igual a acuello calculado por ordenadas

PROCEDIMIENTOS DE CALCULO POR LAS CARENAS DERECHAS

Si la superficie de lo casco fosse delimitada o definida mediante una ecuacion el calculo de loselementos podria ser hecho por via analiticaPuesto que tal hecho generalmente no sucede adopteremo tres procedimentos

1 numericos2 planimetricos3 graficos y mecanicos

1 ndash Procedimientos numericosGeneralidads Por el calculo de una carena se referise normalmente a las trazas y a las lineasdisentildeadas an al plano de construcion(fig)In esto plano de construcion se siga el plano de flotacion normal y acuello de llena carga(fig)La immersion correspondente hasta la linea de construcion es dividida in intervalos iguales por loscuales se traza los planos paralelos horizontales que det erminan cada linea de agua [ L A](fig)

14

En genere se trazan 21 planos de ordenadas a distancia igual comprendindo en estas los planos quepasan por la PpAV y por la PpAD en tal modo la longitud de lo casco ven dividida en 20 trachos Alas trazas de este secciones se asigna un numero progresiv o iniciando de cero a partir da la PpAD

yendo hacia adelante (proa)El mayor o monor numero de ordenadas que se traza da la mayor o minor aproximacion que sedesea en lo calulo y asigrave tambien para las lineas de agua los cuales intervalos se debe mantener almaximo poco mas de un metro en la realidadDespuessea l = Lm la igual distancia entrelas ordenadassea lrsquo = Tm la igual distancia de la LAsuponendo m = 2 k rarr l = L 2 ksi k = 10 rarr m = 20si k = 5 rarr m = 10si k = 25 rarr m = 5en general m = 20 ndash 10 5 segundo la longitud de la carenaAlgunas vezes en lugar de la Lpp se asume la L WL (Lgg)Por cuanto concerne n rarr asume los valores tales de dar lrsquo asymp 1 mPor la parte baja de la carena se puede asumir por intervalo una fraccion de lrsquo y ocurri a veces queaumentando el denominador de tal fraccion el volumen medido aumentaLas lineas de agua ven ademas calculadas por toda la parte estanca de la nave y toman el nombre deldquoL A auxiliariasrdquo puede resultar util en caso de ldquorecuperacion de grietardquoPor las L A auxiliarias se puede asumir por inetrvalo un multiplo de lrsquo (numerosas veces pormayor aproximacion se interponen en las zonas bajas del baricentro algunas L A inetrma dias)Asigrave tambien por las extremidad de proa y de popa es ben interponer ordenadas intermediasPor las naves con popa a crucero donde por la Pp AD se indica lrsquoeje del timon a acullo correspondela ordenada 0 se debe antildeadir hacia la extrema popa otras ord enadas eventualmente con intervalosde minor longitudEstas ordenadas auxiliarias toman un numero negativo progresivo por ejemplo -12 - 1 - 1 12 (fig)Porquegrave la nave es simetrica respecto al plano diametral los calculos se referise a medio ca sco y seduplica por haber los valores totalPor ejecutar tal calculos sea por ldquolinea de aguardquo que por ldquoordenadasrdquo se debe registrar lassemimangas de cada una ordenada correspondentemente a cada L A de el plano vertical deconstrucionLas semimangas y por cascos metalici ven tomado por cascos en madero por cascos acorazados (fig)

Los calculos comprenden1) cuadro de las semimangas2) cuadros de las L A3) cuadro por el calculo de los volumen4) cuadro por el calculo de las abscisas de los centros de carena5) cuadro por el calculo de las ordenadas de los centros de carena6) cuadro o graficos por el calculo de los radios metacentricos de flotacion7) cuadro sintetico8) cuadro por el calculo de las areas de las diferentes ordenadas9) cuadro por el calculo de los volumen con areas de ordenadas

Cuadro de las semimangas

15

En tal cuadro ven referidas en sentido vertical las lineas de agua y en senso horizontal las apendicesde popa las semimangas relativa s a las ordenadas y las apendices de proa En bajo la longitud entrelas perpendiculars la inmersion media y el valor de l y lrsquoLas apendices ven indicadas con esbozos por hacer comprender la forma Si la apendice es muylarga puede convenir trazar una semimanga intermedia

Semimangas de el casco su las ordenadasL A Apendicede popa 0 1 2 3 16 17 18 19 20

Apendice de proa

87654321

120

Apendices inferioreslongitud entre las perpendiculars Lpp = inmersion media Tm =equiistancia entre las ordenadas l = Lm = L2 k equidistancia entre las L A lrsquo = Tn asymp 1m

16

A 0 ndash 20 = l3 [y0 + 4y1 + 2y2 + + 2y18 + 4y19 + y20]A A ndash 0 = l13 [yA + 4yC + y0] = l13 l l [yA + 4yC + y0] = k1 l 3 [yA + 4yC + y0]A 20 ndash D = l23 [y20 + 4yE + yD] = l2 3 l l [y20 + 4yE + yD] = k2 middot l3 [y20 + 4yE + yD]A A ndash D = l3 [k1 yA + 4 k1 yc + k1 y0 + y0 + 4 y1 + 2 y2 + + 2y18 + 4 y19 + y20 + k2 middot y2 0 + 4k2 yE

+ k2 yD ]

A A ndash D = l3 [k1 yA + 4 k1 yc + y0 (k1 + 1) + 4 y1 + 2 y2 + + 2y18 + 4 y19 + y20 (k2 + 1) + 4k2 yE

+ k2 yD ]

Cuadro de las lineas de aguaTal cuadro compriende la busqueda de la area de la L A de el suo Momento Estatico la respectivaabscisa baricentrica y los dos Momentos de Inercia respecto a los ejes baricentriciPor ejemplosuponemo de haber una L A (ver fig)- limitada a proa de el punto B entro lrsquoordenada 19 y la 20- limitada a popa de el punto A situado a izquierda de la ordenada 0- donde la apendice de proa 19 ndash B l2 = 035 l- la apendice de popa A ndash 0 2l1 = A ndash 0 = 088 l

l1 = 044 lla area de la L A A A ndash B = A A ndash 0 + A 0 ndash 18 + A 18 ndash 19 + A 19 ndash B

A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17

k1 = l1 l = 044 l l = 044k2 = l2 l = 035 l l = 035[Simpson] A A ndash 0 = l13 [yA + 4yC + y0] = l13 l l [yA + 4yC + y0] = k1 l 3 [yA + 4yC + y0][Simpson] A 0 ndash 18 = l3 [y0 + 4y1 + 2y2 + + 2y16 + 4y17 + y18][Bezout] A 18 ndash 19 = l2 [y18 + y19] = l 2 3 3 [y18 + y19] = l 3 [1 5 y18 + 1 5 y19][Bezout] A 19 ndash B = l22 [y19 + yB] = l 2 3l 3l [y19 + yB] = l 3 [1 5 k2 y19 + 1 5 k2 yB]A A ndash B = l3 [k1 yA + 4 k1 yc + k1 y0 + y0 + 4 y1 + 2 y2 + + 4 y17 + y18 + 15 y18 + 15 y19 + 15

k2 yB]A A ndash B = l3 [k1 yA + 4 k1 yc + (k1+ 1) y0 + 4 y1 + 2 y2 + + 4 y17 + 25 y18 + (15 + 15 k2) y19 + 15 k2 yB]

A A ndash B = l3 [044 yA + 176 yc + 144 y0 + 4 y1 + 2 y2 + + 4 y17 + 25 y18 + 2025 y19 + 0525 yB]A A ndash B = l3 sum i yi

k = 13 A = 044 C012 = 2 31718 =2519B =0525Se puede escribirATOT = 2 l3 sum i yi

A A ndash B = 2 l3 [022 yA + 088 yc + 072 y0 + 2 y1 + y2 + + 2 y17 + 125 y18 + 1013 y19 + 0263 yB]

ORD Semimanga

s

factor producto f p f p cubosde smang

f p

18

yi fi fi yi firsquo firsquo fi yi firsquo2 firsquo2 (fiyi)

yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2

(-088)2middot044 middot

yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3

0 y0 144 144 y0 0 0 (144 y0) 02 02middot144 middot

y0

y03 144 144 middot

y03

1 y1 4 4 y1 1 1 (4 y1) 12 12middot 4 middoty1

y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172

102middot 2middot y10


y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3

sum i middot yi plusmnsumai middotarsquoi middot yi sumai middot arsquoi2 middot yi sumai middot yi

3

A = 2 middot k middot l middot sum middot i middot yi

M = 2 middot k middot l2 middot sum middot irsquo middot yi rarr xG = MAIy = 2 middot k middot l3 middot suma middotarsquoi

2 middot yi

IyG = Iy ndash A middot xG2

IxG = 2 middot k middot l suma middot yi3 (k = 19)

Cuadro por el calculo de los volumen

Suponiendo que el volumen calculado de el integral seaV = intz1

z2 A middot dzy que las areas A0 A1 A2 A3 A4 AI4 sean notorias segun e l esquema indicado se calcula

19

V 0-6 = h 3 [ A0 + 4 A1 + 2 A2 + 4 A3 + 2 A4 + 4 A5 + A6]V 0-5 = 0divide2 + 2divide4 + 4divide5

0divide2 = h 3 [ A2 + 4 A1 + A2]2divide4 = h 3 [ A2 + 4 A3 + A4]4divide6 = h 2 [ A4 + A5]

0 -1 + 1 -3 + 3 -5

5divide3 = h 3 [ A5 + 4 A4 + A3]0divide3 = 0 -5 - 5 -3

3divide1 = h 3 [ A3 + 4A2 + A1]0divide1 = 0 -3 - 3-1

A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20

V 0-14= h3 [A0 + 4 A1 + 2 A2 + +4 A13 + A14]donde OB = BAV 0-A=OB3 [AA + 4 AB + A0]A -14 = OB3 [AA + 4 AB + A0] + h3 [A0 + 4 A1 + 2 A2 + +4 A13 + A14]si no por evitar pasajes y calculos0 ndashA = OB3 [AA + 4 AB + A0]0 ndash2 = h3 [A0 + 4 A1 + A2]2 ndash6 = 2h3 [A2 + 4 A4 + A6]

A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21

6 ndash10 = 2h3 [A6 + 4 A8 + A10]10 ndash14 = 2h3 [A10 + 4 A12 + A14]10 ndash14 = 2h3 [A10 + 4 A12 + A14]

0 ndashA = OB3 [AA + 4 AB + A0]0 ndash4 = 2h3 [A0 + 4 A2 + A4]4 ndash8 = 2h3 [A4 + 4 A6 + A8]8 ndash12 = 2h3 [A8 + 4 A10 + A12]12 ndash14 = h2 [A12 + A14]

0 ndash2 = h3 [A0 + 4 A1 + A2]2 ndash4 = h3 [A2 + 4 A1 + A4]4 ndash5 = h2 [A4 + A5]

0 divide5 = 0 divide 4 - 4 divide5

= h3 [A0 + 4 A1 + 2 A2 + 4 A3 + A4] + h2 [A4 + A5] middot 33 = h3 [(A0 + 4 A1 + 2 A2 + 4 A3 + A4 + 32 A4 + 32 A5)] = h3 [(A0 + 4 A1 + 2 A2 + 4 A3 + A4) + (15 A4 + 15 A5)] = h3 [A0 + 4 A1 + 2 A2 + 4 A3 + 25 A4 + 15 A5]



(tab)

volumen

productos sumasparcialas

factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen

4 ndash5 h3 middot 15(A4 +A5)

15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22

Cuadro por las absisas de los centros de carenaPor el calculo de la absisa de los centros de carena se recurre a la relacion

xB = xC = 1V intz1z2 A middot xG middot dz

(fig)

donde V representa el volumen de carena ya calculadoLa funcion de integrar A middot xG es el Momento Estatico de la L A [M] y tal valor se encontra en locuadro de las lineas de agua Se reduz el calculo al integral

xB = xC = 1V intz1z2 M middot dz

Tal integral es analogo a acuello relativo al calculo de los volumen basta sostituir al valor de A elvalor de MDa esto resulta que las miamas operaciones se r ipeteran sostituyndo M a A El cuadro por tantoresulta identico Puesto que el integral considerado dagrave el Momento Estatico basteragrave dividir el M porel V y se obteragrave la absisa que se busca

(tab)

Cuadro par las ordenadas de los centros de carena

Por el calculo de las ordenadas del centro de carena se ricorre a la formula integralzC = zB = 1 intz1

z2 A middot z middot dz

(fig)

Se serviremo de un cuadro analogo al prece dente donde en lugar de los momentos M sostituiremoslos valores de los momentos Mrsquo = A middot zTal momentos no son mas que el producto de las areas de flotacion par las inmersiones a ellascorrespondientas

momentos fS Mx =AWLmiddot zi

fS volumeni

zB = Mi middotc

M 0divide5 M 4divide5 15 A5 middot zG5 1 M 5divide3 0divide5

M 0divide4 M 4divide5

M 2divide4

151

A4 middot zG4 4 M 5divide3 0divide4

M 0divide3 M 2divide4 4 A3 middot zG3 11

M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11



M 0 M 0divide2 1 A0 middot zG0 0 x

= l3 sum AWLi middot fS

M = l23 sum AWLi middot fS middot u

(tab)

23

Cuadro por el calculo de las areas de las diferentes ordenadas

Por esto calculo se recurre a la formulaB = intz1

z2 y middot dzTal integral difiere da acuello de los volumen solamente por la funcion integrada

V = 2 intz1z2 A middot dz

(fig)Basteragrave por tanto por cada volumen de las ordenadas crear un cuadro identico a acuello de losvolumen

Cuadro por el calculo de los volumen de carena mediante los valores de las areas de las ordenadas

Determinemo los valores de las areas B Se puede usar las formulasV = intz1

z2 B middot dzxB = xC = 1V intz1

z2 B middot x middot dzse puede calcular los volumen y las absisas de los centros de carenaPor calcular en el mismo modo las ordenadas de los centros de carena se d ebe recurrir a la formula

zB = zC = 1 intz1z2 B middot zG middot dx

la cual exige el conocimento de los volumen de las ordenadas respecto a la xLa determinacion de estos momentos no se ejecuta en general en los calculos de las carenasderechasPor el calculo de lo volumen se puede hacer un cuadro analogo a acuello de las areas de las L Asostituyendo a las semimangas el volumen de las areas de las ordenadas

CARENAS DERECHAS1 volumen de carena (f middot 0) m 3

2 Δ desplazamiento (f middot f) t Δ = iquest middot middot m3 middot t m2 = t3 r = BMt radio metacentrico transversal [m]4 R = BMl radio metacentrico longitudinal [m]5 xf = xG absisa del centro de la fig De flotacion (respecto ala Pp AM) (m)6 xB = xC absisa del centro de carena (respec to ala PpAM) (m)7 zB = zC ordenada del centro de carena (respecto ala iquest) (m)8 Δ u desplazamiento unitario [t middot cm]9 M u momento unitario de actitud [tm ndash cm]10 CB CP CWL Cx

24

GM = r - a = BM ndash BG = Zn - ZG

PROCEDIMIENTO DE CALCULO1 levantamientos dal plano de construccion de las semimangas por cada LA2 calculo del area M Xf = Mx A I xg xg I yg yg por cada LA3 - calculo de los volumen utilizando el sistema ya visto (integracion vertical de l as areas de

las LA)- calculo del M (integracion vertical de los productos A middot XG ) XC = M - calculo del MLC (integracion vertical de los productos A middot Z G ) ZB = MLC

4 calculo del BMt = I xg xg 5 calculo del BM l = I yg yg 6 calculo del Δ u = AWL middot iquest 1007 calculo del M u = Δ middot R 100 middot LWL

8 calculo de los coeficientes CB = LWL BWL Tn CP = A BWL CWL = AWL LWL BWL

Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

2

My2 = y1 + 56 y2 ]Para el tercero y cuarto trapecioMy3 = y2 + 86 y3 ]My4 = y3 + 116 y4 ]Sumando algebricamente resultaragraveMy = My1 + My2 + My3 + My4 + hellip + Myn

My = y0 + 1 y1 + 2y2 + 3y3 + (4 - 13) 12 y4 ]Al final tendremos queMy = y0 + 1 y1 + 2y2 + 3y3 + (4 - 13) 12 y4 + + (n -1) yn -1 + (n -13) 12 yn]

2 Razonando con Simpson

El Momento Estatico de la superficie ABCD respecto al eje y es dadoMy = int x y dx osea de la integracion de la funcion variable xy al varair de xEn este modo las diferentes ordenadas del area y o y1 y2 y3 pueden considerarse como elproducto del valor de ellas mismas por la s respectivas distancias de ellas respecto al eje yAhora los valores x y representan los momentos estaticos de las areas infinitesimas en las que sepuede imaginar dividida el area respecto al eje yo y por lo tanto la integral representa el MomentoEstatico del area

Entonces adoptando el metodo de Simpson se tendragrave

Para la ordenada yo xo yo = 0 yo = 0 ldquo ldquo ldquo y1 x1 y1 = 1 y1 = 1 y1



ldquo ldquo ldquo yn-1 xn-1 yn-1 = (n-1) y(n-1) = (n-1) y(n-1)

ldquo ldquo ldquo yn xn yn = n yn = n yn

x

y

x

0 1 dx 2 3 4

y

3



My = k l2 sumi ai y




y

y

xx

dx

dy


4

Sabemos queA = into

1

y dx


EntoncesA = into

1





1


k = 13 o = 1 12n-2n-1n = 1O tambien

k = 23 o = 12 12n-2n-1n = 12


1


Myy = into1



yny n - 1y1y0

x

y

5



1

x y dx = into1




1

y33 dx = 13 into1


Ixx = 13 into1



3 + 4 y13 + 2 y23 + + 4 yn-1

3 + yn3]

Dondek = 19 o = 1 12n-2n-1n = 1

Bezoutk = 13 o = 12 12n-1n = 12


1

x2 y dx = into1

y dx donde y = x2 y


+ + 2 y n-2 + 4y n-1 + yn ]


y2 + + 2 x2n-2 y n-2 + 4 x2



2 y1 + x22 y2 + + x2

n-1 yn-1 + x2n yn ]

6



Donde xG = Myy A





Mxx = M A - 0 + M 0 ndash 20 + M 20 - D


yG

yG

x

y

A B 0 20 C D

7


y

x

y y1

dx

y = f (x)I

A = intoL y dx

0

y

xx

int y dx

y1

y dx

L

L - x

II

y1 = intoL y dx


0

8

y2

intint y dx

Lx

yy2 = My1 = into


0

III

y

xL0

intintint y dx


9






y4rsquo = ( 4 y4 = 16 y4

d

d c

ba

x

y

m

n


10








Iyy = k sumi i y i



Ix = yo3 + y1

33 + y233 + y4

33 + 12 y533 ]


3 + y13 + y2

3 + y43 + 12 y5

3 ]Ix = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + y5

3 + + yn -13 + 12 yn

3]Dondek= 13 o = 12 12n-1n = 12


11



33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n




x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

3



My = k l2 sumi ai y




y

y

xx

dx

dy


4

Sabemos queA = into

1

y dx


EntoncesA = into

1





1


k = 13 o = 1 12n-2n-1n = 1O tambien

k = 23 o = 12 12n-2n-1n = 12


1


Myy = into1



yny n - 1y1y0

x

y

5



1

x y dx = into1




1

y33 dx = 13 into1


Ixx = 13 into1



3 + 4 y13 + 2 y23 + + 4 yn-1

3 + yn3]

Dondek = 19 o = 1 12n-2n-1n = 1

Bezoutk = 13 o = 12 12n-1n = 12


1

x2 y dx = into1

y dx donde y = x2 y


+ + 2 y n-2 + 4y n-1 + yn ]


y2 + + 2 x2n-2 y n-2 + 4 x2



2 y1 + x22 y2 + + x2

n-1 yn-1 + x2n yn ]

6



Donde xG = Myy A





Mxx = M A - 0 + M 0 ndash 20 + M 20 - D


yG

yG

x

y

A B 0 20 C D

7


y

x

y y1

dx

y = f (x)I

A = intoL y dx

0

y

xx

int y dx

y1

y dx

L

L - x

II

y1 = intoL y dx


0

8

y2

intint y dx

Lx

yy2 = My1 = into


0

III

y

xL0

intintint y dx


9






y4rsquo = ( 4 y4 = 16 y4

d

d c

ba

x

y

m

n


10








Iyy = k sumi i y i



Ix = yo3 + y1

33 + y233 + y4

33 + 12 y533 ]


3 + y13 + y2

3 + y43 + 12 y5

3 ]Ix = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + y5

3 + + yn -13 + 12 yn

3]Dondek= 13 o = 12 12n-1n = 12


11



33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n




x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

4

Sabemos queA = into

1

y dx


EntoncesA = into

1





1


k = 13 o = 1 12n-2n-1n = 1O tambien

k = 23 o = 12 12n-2n-1n = 12


1


Myy = into1



yny n - 1y1y0

x

y

5



1

x y dx = into1




1

y33 dx = 13 into1


Ixx = 13 into1



3 + 4 y13 + 2 y23 + + 4 yn-1

3 + yn3]

Dondek = 19 o = 1 12n-2n-1n = 1

Bezoutk = 13 o = 12 12n-1n = 12


1

x2 y dx = into1

y dx donde y = x2 y


+ + 2 y n-2 + 4y n-1 + yn ]


y2 + + 2 x2n-2 y n-2 + 4 x2



2 y1 + x22 y2 + + x2

n-1 yn-1 + x2n yn ]

6



Donde xG = Myy A





Mxx = M A - 0 + M 0 ndash 20 + M 20 - D


yG

yG

x

y

A B 0 20 C D

7


y

x

y y1

dx

y = f (x)I

A = intoL y dx

0

y

xx

int y dx

y1

y dx

L

L - x

II

y1 = intoL y dx


0

8

y2

intint y dx

Lx

yy2 = My1 = into


0

III

y

xL0

intintint y dx


9






y4rsquo = ( 4 y4 = 16 y4

d

d c

ba

x

y

m

n


10








Iyy = k sumi i y i



Ix = yo3 + y1

33 + y233 + y4

33 + 12 y533 ]


3 + y13 + y2

3 + y43 + 12 y5

3 ]Ix = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + y5

3 + + yn -13 + 12 yn

3]Dondek= 13 o = 12 12n-1n = 12


11



33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n




x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

5



1

x y dx = into1




1

y33 dx = 13 into1


Ixx = 13 into1



3 + 4 y13 + 2 y23 + + 4 yn-1

3 + yn3]

Dondek = 19 o = 1 12n-2n-1n = 1

Bezoutk = 13 o = 12 12n-1n = 12


1

x2 y dx = into1

y dx donde y = x2 y


+ + 2 y n-2 + 4y n-1 + yn ]


y2 + + 2 x2n-2 y n-2 + 4 x2



2 y1 + x22 y2 + + x2

n-1 yn-1 + x2n yn ]

6



Donde xG = Myy A





Mxx = M A - 0 + M 0 ndash 20 + M 20 - D


yG

yG

x

y

A B 0 20 C D

7


y

x

y y1

dx

y = f (x)I

A = intoL y dx

0

y

xx

int y dx

y1

y dx

L

L - x

II

y1 = intoL y dx


0

8

y2

intint y dx

Lx

yy2 = My1 = into


0

III

y

xL0

intintint y dx


9






y4rsquo = ( 4 y4 = 16 y4

d

d c

ba

x

y

m

n


10








Iyy = k sumi i y i



Ix = yo3 + y1

33 + y233 + y4

33 + 12 y533 ]


3 + y13 + y2

3 + y43 + 12 y5

3 ]Ix = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + y5

3 + + yn -13 + 12 yn

3]Dondek= 13 o = 12 12n-1n = 12


11



33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n




x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

6



Donde xG = Myy A





Mxx = M A - 0 + M 0 ndash 20 + M 20 - D


yG

yG

x

y

A B 0 20 C D

7


y

x

y y1

dx

y = f (x)I

A = intoL y dx

0

y

xx

int y dx

y1

y dx

L

L - x

II

y1 = intoL y dx


0

8

y2

intint y dx

Lx

yy2 = My1 = into


0

III

y

xL0

intintint y dx


9






y4rsquo = ( 4 y4 = 16 y4

d

d c

ba

x

y

m

n


10








Iyy = k sumi i y i



Ix = yo3 + y1

33 + y233 + y4

33 + 12 y533 ]


3 + y13 + y2

3 + y43 + 12 y5

3 ]Ix = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + y5

3 + + yn -13 + 12 yn

3]Dondek= 13 o = 12 12n-1n = 12


11



33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n




x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

7


y

x

y y1

dx

y = f (x)I

A = intoL y dx

0

y

xx

int y dx

y1

y dx

L

L - x

II

y1 = intoL y dx


0

8

y2

intint y dx

Lx

yy2 = My1 = into


0

III

y

xL0

intintint y dx


9






y4rsquo = ( 4 y4 = 16 y4

d

d c

ba

x

y

m

n


10








Iyy = k sumi i y i



Ix = yo3 + y1

33 + y233 + y4

33 + 12 y533 ]


3 + y13 + y2

3 + y43 + 12 y5

3 ]Ix = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + y5

3 + + yn -13 + 12 yn

3]Dondek= 13 o = 12 12n-1n = 12


11



33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n




x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

8

y2

intint y dx

Lx

yy2 = My1 = into


0

III

y

xL0

intintint y dx


9






y4rsquo = ( 4 y4 = 16 y4

d

d c

ba

x

y

m

n


10








Iyy = k sumi i y i



Ix = yo3 + y1

33 + y233 + y4

33 + 12 y533 ]


3 + y13 + y2

3 + y43 + 12 y5

3 ]Ix = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + y5

3 + + yn -13 + 12 yn

3]Dondek= 13 o = 12 12n-1n = 12


11



33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n




x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

9






y4rsquo = ( 4 y4 = 16 y4

d

d c

ba

x

y

m

n


10








Iyy = k sumi i y i



Ix = yo3 + y1

33 + y233 + y4

33 + 12 y533 ]


3 + y13 + y2

3 + y43 + 12 y5

3 ]Ix = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + y5

3 + + yn -13 + 12 yn

3]Dondek= 13 o = 12 12n-1n = 12


11



33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n




x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

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A9

A10

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A12

A13

A14

h

h

0

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2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

10








Iyy = k sumi i y i



Ix = yo3 + y1

33 + y233 + y4

33 + 12 y533 ]


3 + y13 + y2

3 + y43 + 12 y5

3 ]Ix = yo

3 + y13 + y2

3 + y43 + y5

3 + + yn -13 + 12 yn

3]Dondek= 13 o = 12 12n-1n = 12


11



33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n




x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

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h

h

0

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2

3

4

5

6

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8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

11



33 + 4 y133 + 2 y2

33 + 4 y333 + 4 y5

33 + y633)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n

3)

Ix = yo3 + 4 y1

3 + 2 y23 + 4 y3

3 + + 4 y n -13 + y n




x

m

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

PpAD PpAVPpM

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

12







factores fi ki




y

y

xx

dS

ds

S

t

t

S

φ

φ

x

y

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

13






14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

14





15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

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8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

15



Apendice de proa

87654321

120


16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

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9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

16


+ k2 yD ]


+ k2 yD ]



A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 12 14 16 18 20 E D

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

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2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

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A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

17






ORD Semimanga

s


f p

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

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2

3

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5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

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A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

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5

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8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

18


yi3 fi fi yi

3

A yA 044 044 yA -088 -088 (044 yA) (-088

)2


yA

yA3 044 044 middot

yA3

C yC 176 176 yC -044 -044 (176 yC) (-044

)2


yC

yC3 176 176 middot

yC3


y0

y03 144 144 middot

y03


y13 4 4 y1

3


y23 2 2 middot y2

3


y33 4 4 middot y3

3


y43 2 2 y4

3


y53 4 4 middot y5

3


y63 2 2

1017

y10

y17

2

4

2 y10

4 y17

10

17

10 (2 y10)

17 (4 y17)

102

172



y103

y173

2

4

2 middot y103

4 middot y173


y18

y183 25 25

y183


y193 2025 2025

y193

B yB 0525 0525 yB 1935 1935 (0525 yB)

(1935)2

(1935)2middot

0525 middotyB

yB3 0525 0525

yB3


3



2 middot yi






19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

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A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

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8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

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A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

19



0 -1 + 1 -3 + 3 -5



A6

A5

A4

A3

A2

A11

2

3

4

5

6

0

h

h

h

x

y

20


A0

A1

A2

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A4

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A9

A10

A11

A12

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A14

h

h

0

1

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5

6

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9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

20


A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

A14

h

h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

B

A

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

21








(tab)

volumen


factoresfi

areasAWL

factoresfi

sumasparcialas

productos volumen


15 (A4

+ A5)15 A5 1

2 ndash4 h3 (A2

+ 4 A3 +A4)

A2 + 4A3 + A4

151

A4 4

4 A3 11

A5 + 4A4 + A3

h 3 [ A5

+ 4 A4 +A3]

5divide3

0 ndash2 h3 (A0

+ 4 A1 +A2)

A0 + 4A1 + A2

11

A2 4

4 A1 1 A3 +4A2 +

A1

h 3 ( A3

+ 4A2 +A1)

3divide1

1 A0 0

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

22



(fig)




(tab)




(fig)



fS volumeni

zB = Mi middotc



M 2divide4

151



M 5divide3

M 3divide1

0divide3


M 0divide2

11






(tab)

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

23














24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

24






Cx = A T middot TWL

G

B

M

Zn

ZG

r

ZB

a

Mo Estatcos, Inercia y Volumenes

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