Modelación matemática de una carburización de piezas cilíndricas

Modelación matemática de carburización

de piezas cilíndricas

Datos. Realizado en: Universidad Nacional

Autónoma de México, Facultad de Química, Departamento de Ingeniería Metalúrgica.

Realizado por: Roberto Cruces R. Asesor: Dr. José A. Barrera Godínez.

Metas y objetivos del modeloMetas Instruir a una computadora las rutinas adecuadas para

simular un proceso de carburización. Que al validar el modelo realizado, éste describa con

gran precisión lo que ocurre en un proceso real. Realizar un modelo que sirva como herramienta para

optimizar eventualmente un proceso a nivel industrial.

Objetivos Simular el perfil de concentración en función de las

condiciones térmicas y del tiempo durante el proceso de carburización de una pieza cilíndrica.

Observar el efecto de la concentración sobre el coeficiente de difusión del carbono disuelto en el acero.

¿Qué es la carburización?

La carburización en particular, es un proceso de difusión de carbono que se da a causa de la diferencia de concentración entre la atmósfera y el metal cuando este último se expone a alta temperatura a una atmósfera que proporciona carbono.

¿Qué es la carburización?

El objetivo de la carburización es endurecer superficialmente una pieza sin modificar su núcleo, originando así un acero que en el núcleo (con bajo índice de carbono) es tenaz y resistente a la fatiga, y en la superficie (con una mayor concentración de carbono) es más duro, resistente al desgaste y a las deformaciones

Micrografía óptica de la sección transversal de un acero con 0.12% de carbono, carburizado a 925°C durante 10 horas y templado a una amplificación de 100x.

¿Porqué realizar un modelo de carburización?

A pesar de su aplicación en todo el mundo, este tratamiento se enfrenta a ciertos retos en el control del proceso. El rendimiento de la carburización del acero se ve influida por el diseño del horno, los parámetros del proceso (la composición de la atmósfera gaseosa, la temperatura de carburización, el tiempo, etc.), y por la composición del acero.

¿Qué se ha reportado en la literatura?Algunos investigadores enfocan sus trabajos a la obtención de parámetros como el coeficiente de difusión o el coeficiente de transferencia de masa cuando el objeto de estudio se centra que sucede en la atmósfera gaseosa del proceso.Otros le dan especial importancia a las transformaciones de fase.Algunos más extienden sus trabajos considerando procesos en los que se difunden varias especies químicas.

¿Qué se ha reportado en la literatura?Todas y cada una de las aportaciones que se realizan pueden parecer en algunos casos copia de algún trabajo previo, sin embargos todas tienen un fin común: controlar, cuantificar y eventualmente optimizar las condiciones del proceso de carburización

Mecanismos controlantes del proceso

Esquema representativo de un proceso de difusión en atmósfera gaseosa con una probeta cilíndrica de acero en dirección radial y en dirección axial.

Transporte de materia

Para que se lleve a cabo el proceso, es necesario la presencia de una atmósfera carburante; que al tener una mayor concentración de carbono que la pieza de acero, permita que este se desplace a la pieza y eventualmente difunda superficialmente en el sólido.


Con el análisis de los mecanismos de transporte de masa involucrados se puede suponer que el proceso consta de las siguientes etapas: Transporte de C del seno de la

solución a la intercara de reacción.

Reacción de adsorción del C. Transporte del [C] en el metal. Reacción de precipitación de

carburos.

Perfil de concentraciones cualitativo considerando transporte de materia en dos dimensiones en una probeta cilíndrica de acero.


Transporte de Energía

Se puede observar cómo se lleva a cabo el intercambio de calor dentro del sistema de interés. En particular para la carburización este sistema consiste en: el horno de tratamiento, la atmósfera en el interior y el material que se va a carburizar. Esquema representativo de los

mecanismos de transporte de energía térmica en una probeta cilíndrica de acero.

Mecanismos controlantes del procesoTransporte de Energía El principal efecto de la transferencia de energía que

impacta sobre la transferencia de materia, es el efecto de la temperatura sobre la difusión en sólidos. El coeficiente de difusión es una función notable de la temperatura, en diversos trabajos de experimentación se ha encontrado que la dependencia de la temperatura de la velocidad de la difusión de muchos sistemas puede ser expresada por el siguiente tipo de ecuación de Arrhenius:

Ecuaciones de fenómenos de transporte aplicables al proceso

Para el mecanismo convectivo de transporte de materia, se considera el transporte entre una superficie límite (en este caso particular sólida) y un fluido en movimiento, la expresión simplificada para describir la convección desde el punto de vista de transporte de materia es:

Dónde:A=Carbono en forma de CO/CO2.

NA= Flux molar de C, que se mide en relación a un conjunto de ejes fijos en el espacio.CA,s= Concentración de C en la intercara.

CAb = Concentración de C en un punto definido arbitrariamente en el seno del

fluido.kc= El coeficiente de transferencia de masa coeficiente, que es una función de la geometría del sistema y la velocidad y las propiedades del fluido.


La ecuación diferencial que describe lo que sucede en la probeta cilíndrica considerando el mecanismo de difusión en el sólido es la siguiente:

Desarrollando el operador nabla para coordenadas cilíndricas:


Aplicando la primera ley de Fick a la ecuación anterior, ésta se expresa como:

Dónde:

A= Carbono disuelto en el acero.CA= Concentración molar de la especie de carbono.

DA= Coeficiente de difusión de carbono en el acero.

RA= Rapidez de generación o consumo de carbono.

=Rapidez de acumulación de C.r= Coordenada radial.z= Coordenada axial.Θ= Coordenada angular.


Para el transporte de energía por convección la expresión que describe el problema involucra la ecuación general de energía, la ecuación de movimiento y la ecuación de continuidad del fluido; una expresión simplificada que describe el fenómeno es:

Dónde:= Coeficiente de transferencia de calor promedio.= Diferencia de temperatura entre la superficie del cuerpo y la temperatura del fluido lejos del cuerpo.


Para el transporte de radiación térmica:

Dónde:= Constante de Stefan-Boltzmann.T1

4= Temperatura de la pared del horno.

T24= Temperatura de la probeta.


La ecuación que describe la conducción de calor en el sólido es:

Desarrollando el operador nabla para coordenadas cilíndricas:


Aplicando la ley de Fourier a la ecuación anterior, ésta se expresa como:

Dónde:

= Rapidez de generación de energía térmica dentro del sistema.= Rapidez de acumulación de energía térmica en el sistema.k= Conductividad térmica del acero.= Densidad del acero.

Propuesta de modeloLa transferencia de masa durante la carburación es un fenómeno que consiste en tres etapas distintas: 1) el transporte de carbono desde la

atmósfera a la superficie de acero, 2) las reacciones de química de la

superficie, y 3) difusión de los átomos de carbono que

absorben a la mayor parte del acero por el gradiente de potencial químico.

Propuesta de modeloLa probeta propuesta es de geometría cilíndrica cuyas dimensiones (diámetro y altura) sean prácticamente iguales; el material de la probeta se propone sea un acero con un contenido bajo de carbono.

SimplificacionesAlgunas de las simplificaciones y restricciones que se proponen aplicar para reducir la complejidad del modelo son:

Estado no estacionario; al ser un proceso en el que la concentración cambia en una región durante un tiempo del proceso, existe una rapidez de acumulación de carbono en el acero.

Etapa Controlante: Difusión de carbono en el acero; debido a que esta etapa presenta una mayor resistencia al transporte y constituye entonces, la etapa que limita la velocidad global del proceso (mecanismo controlante).

Coordenadas cilíndricas, es la geometría propuesta para las probetas de acero.

Flujo bidimensional (r, z); considerando que la relación H/D es muy cercana a 1.

Coeficiente de difusión variable con la temperatura y la concentración de C en el acero.

Esquema representativo del transporte de materia por difusión en 2D en una porción de la probeta cilíndrica, donde A representa al carbono disuelto en el acero.

Esquema representativo del transporte de materia por convección en el gas carburante y por difusión en una porción de la probeta cilíndrica.

Solución de las ecuaciones


Esquema representativo de la discretización para un sistema en coordenadas cilíndricas en dirección radial .

Solución de las ecuacionesCálculo para las Áreas de tapa, Áreas laterales y volúmenes de los elementos de control.

Para los nodos esquina de simetría:

Solución de las ecuacionesNODO ESQUINA DE SIMETRÍA (1,1)

Aplicando la ecuación general de balance al nodo:


La expresión anterior se multiplica por Δt y se divide entre el volumen V:

Se agrupan y factorizan los términos que tienen como factor común la expresión :

Solución de las ecuacionesCon los términos entre llaves se calcula el criterio de estabilidad para aplicar el MEDF:

Factorizando Δt y despejando la desigualdad:

Validación del ModeloDespués de resolver el modelo matemático es extremadamente importante validar la solución es decir, revisar la solución cuidadosamente para ver que los valores obtenidos tienen sentido.

Para efectuar la validación del modelo realizado, se extrajeron los resultados publicados por S. Sarkar and G.S. Gupta en el artículo “Two-Dimensional Mathematical Modeling of the Pack Carburizing Process”.

Validación del modelo

Tabla 1. Datos iniciales para la simulación Valor de M (nodos en r) 15Valor de N (nodos en z) 15

Radio, r (m) 0.0127Longitud, z (m) 0.14

Densidad del acero, ro (Kg/m3) 7850Temperatura del proceso, T (°C) 900

Escriba el coeficiente local de transferencia de masa, Kc (m/s)

0.0000002

Constante de reacción homogénea, Kr (m/s) 0Constante de reacción heterogénea, Ks (m/s) 0

Composición de CO de la atmosfera gaseosa, CCO (%vol)

60

Composición de CO2 de la atmosfera gaseosa, CCO2

(%vol)40

Concentración inicial de carbono en el acero, Ci (%wt) 0.20Intervalo de tiempo (s) 100

La simulación del proceso considera una muestra cilíndrica con un diámetro de 1 pulgada (2.54 cm) y longitud de 5.5 pulgadas (14 cm). El contenido previo de carbono en el acero es de 0.20% wt; la temperatura a la cual se llevó a cabo la simulación, es de 900°C.

Validación del Modelo

Variación en la distribución de carbono en la muestra con el tiempo a lo largo de la dirección radial.


Perfiles de concentración en dirección radial a distintos intervalos de tiempo con los datos reportados en la literatura.

0.0090 0.0095 0.0100 0.0105 0.0110 0.0115 0.0120 0.01250.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

7200 se-gundos

14400 se-gundos

21600 se-gundos

Distance in radial direction (m)

Carb

on

Con

cen

trati

on

(w

t%)

Validación del ModeloSe realizó un análisis estadístico empleando el método de distribución de Fisher. Debido a que la variabilidad de la simulación puede verse afectada por el tiempo y por las posiciones en la probeta, ambos parámetros se consideraron en este análisis.


0.0090 0.0095 0.0100 0.0105 0.0110 0.0115 0.0120 0.01250.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

18 hrs, calculado

18 hrs, literatura

Distance in radial direction (m)

Carb

on C

oncentr

ati

on (

wt%

)

Comparación del perfil de concentración calculado con los datos de la literatura después de 18 h de carburación.

La hipótesis nula: No existe evidencia significativa entre los resultados del modelo realizado y los resultados del modelo reportado en la literatura.La hipótesis alterna: Existe evidencia significativa entre los resultados del modelo realizado y los resultados del modelo reportado en la literatura.Matemáticamente ambas hipótesis se expresan como:

Posición(m)

7200 s 14400 s 21600 s 28800 s 51400 s 64800 s

ART SIM ART SIM ART SIM ART SIM ART SIM ART SIM S2art S2

sim Fcalculada

0.00870.20

00.20

00.20

00.20

00.20

00.20

00.20

00.20

00.20

50.20

70.20

80.219

1.22E-05

5.94E-05

4.88

0.00930.20

00.20

00.20

00.20

00.20

10.20

00.22

40.20

30.20

50.22

70.23

00.260

1.80E-04

5.94E-04

3.30

0.01000.20

00.20

00.20

10.20

10.21

70.20

70.20

60.21

80.22

50.29

10.27

70.359

8.47E-04

4.28E-03

5.05

0.01070.20

20.20

10.21

60.21

40.22

30.24

20.22

90.28

50.27

40.44

70.36

70.544

3.77E-03

1.98E-02

5.25

0.01130.22

00.22

30.27

00.29

80.28

10.39

70.29

70.49

50.55

40.71

10.71

70.806

3.95E-02

5.30E-02

1.34

0.01200.24

00.42

80.43

70.65

00.44

50.79

20.79

40.88

51.18

51.04

71.28

91.110

1.86E-01

6.47E-02

0.35

0.0121.60

01.22

41.60

01.28

61.60

01.32

91.60

11.35

71.69

41.40

71.69

81.428

2.45E-03

5.81E-03

2.37

S20.27

60.14

50.26

60.16

70.26

40.18

50.27

80.19

70.35

00.21

20.34

90.212

Fcalculada 0.524 0.629 0.704 0.711 0.607 0.607

Desviación estándar y Fcalculada para la simulación y el modelo reportado en el artículo

De una tabla de distribución de Fisher, para un nivel de confianza del 95 % se obtiene la Ftablas para una muestra de n valores (6 y 7 respectivamente) los valores correspondientes son:

Respecto al factor tiempo la Fcalculada es menor a la Ftablas por lo tanto la hipótesis nula se acepta lo que nos indica que no existe evidencia significativa entre los resultados del modelo realizado y los resultados del modelo reportado en la literatura.

Respecto a la posición únicamente un valor (0.0107 m) muestra diferencia significativa con respecto al modelo reportado en la literatura con un nivel de confianza del 95%.

Análisis de sensibilidadSe analizaron los efectos que tienen los datos de entrada en la técnica de solución.

0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0.0100 0.0110 0.01200.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.802 hrs, D=f( C ), 900°C2 hrs, D=cte, 900°C18hrs, D=f( C ) , 900°C18 hrs, D=cte, 900°C

Distance to radial direction (m)

Carb

on C

once

ntra

tion

(wt%

)

Análisis de sensibilidad

0.0090 0.0095 0.0100 0.0105 0.0110 0.0115 0.0120 0.01250.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

12 hrs, Kc=0.0000001 m/s

12 hrs, Kc=0.0000002 m/s

12 hrs, Kc=0.0000009 m/s

Distance to radial direction (m)

Carb

on C

once

ntra

tion

(wt%

)

Análisis de sensibilidad El modelo presenta sensibilidad a los cambios

de temperatura. El modelo es sensible a los cambios en el

coeficiente de transporte de masa. El modelo presenta una sensibilidad

significativa a los cambios en la longitud axial. El modelo no presenta sensibilidad si se

introduce un coeficiente de difusión constante. El modelo no presenta sensibilidad a un

cambio de en el valor de la densidad del acero.

Conclusiones

Del trabajo bibliográfico y computacional realizado se concluye que se cumplieron satisfactoriamente los objetivos planteados al inicio del semestre:

Se desarrolló un modelo matemático 2D para predecir los perfiles de concentración en una pieza cilíndrica de acero; los resultados obtenidos de la simulación se compararon con datos experimentales disponibles en la literatura. Obteniendo que los datos calculados y los datos reportados no presentan diferencia significativa.

Conclusiones Se encontró que el efecto de considerar

una segunda dimensión en el proceso de carburización es significativo; especialmente en la predicción de la profundidad alcanzada por el carbono en las zonas cercanas a las esquinas de la muestra. Dejar de lado la segunda dimensión en el modelado y el análisis posterior puede proporcionar la interpretación errónea de los resultados y por lo tanto afectaría la vida útil de la muestra.

Conclusiones El modelo desarrollado en este estudio

es relativamente fácil de programar y se puede aplicar a distintos tipos de aleación y tratamientos de carburación; permitiendo así reducir significativamente la cantidad de ensayos ”prueba y error” asociados con el diseño de la etapa de procesamiento.

La bibliografía consultada trató de abarcar varios periodos de tiempo; desde hace 35 años, cuando comenzaron a aparecer reportes de modelos de carburización en la literatura, hasta nuestros días donde los experimentos para realizar las validaciones emplean equipos sofisticados.

Dentro de las citas bibliográficas, podemos encontrar artículos con fecha de 1978, hasta el año 2009. En estas referencias se aborda la manera en cómo han sido resuelto problemas similares, hasta los últimos avances en materia de la solución numérica.

Referencias Bibliográficas

J. I. Goldstein y A. E. Moren (1978) Diffusion Modeling of the Carburization Process, Metallurgical and Materials Transactions A Volume 9-A. pp. 1515-1525.

Olga Karabelchtchikova and Richard D. Sisson, Jr. Carbon (2001) Diffusion in Steels A Numerical Analysis Based on Direct Integration of the Flux.

R. Mukai, T. Matsumoto, T. Suzuki, H. Saito (2006). Modeling of numerical simulation and experimental verification for carburizing-nitriding quenching process. Transactions of Nonferrous Metals Society of China.

S. Sarkar y G.S. Gupta (2008). Two-Dimensional Mathematical Modeling of the Pack Carburizing Process. The Minerals, Metals & Materials Society and ASM International.

Referencias Bibliográficas

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