Modelado estadistico (1)

7/22/2019 Modelado estadistico (1)

1/68

MODELADO ESTADSTICO

06/03/2014 1

Por modelado estadstico se entiendeestablecer qu tipo de distribucin deprobabilidad sigue una variable aleatoriaque se quiere caracterizar:Distribucin de tiempo entre llegadas de lasllamadas o del servicio.


2/68

Teora de Trfico. Henry Lamos Diaz.UIS-UNAB

2


3/68

Distribucin probabilstica binomial

La distribucin binomialtiene lassiguientes caractersticas: un resultado de un experimento se clasifica en una de

dos categoras mutuamente excluyentes -xito ofracaso.

los datos recolectados son resultados de contar.

la probabilidad de xito es la misma para cada ensayo.

los ensayos son independientes.

6-18

06/03/2014 3


4/68


5/68

Distribucin probabilstica binomial

La frmula para la distribucin deprobabilidad binomial es:

P xn

x n xx n x( )

!

!( )!( )

1

6-20

06/03/2014 5


6/68

EJEMPLO 3

La UIS reporta que 20% de los egresados estndesempleados. De una muestra de 14egresados, calcule la probabilidad de

encontrar tres desempleados :

tres estn desempleados: P(x=3)=.250

6-21

06/03/2014 6


7/68

EJEMPLO 3 continuacin

Nota:stos tambin son ejemplos dedistribuciones probabilsticas acumulativas:

tres o ms estn desempleados:

P(x3)=.250 +.172 +.086 +.032+.009 +.002=.551

al menos un egresado est desempleado: P(x1) = 1 - P(x=0) =1 - .044 = .956

a lo ms dos egresados estn desem-pleados:P(x 2)=.044 +.154 +.250

=.448

6-22

06/03/2014 7


8/68

Media y varianza de la distribucinbinomial

La mediaest dada por:

La varianzaest dada por:

n

2 1 n ( )

6-23

06/03/2014 8


9/68

Distribucin binomial para nigual a 3 y 20,donde =.50

7-20

n=3

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 1 2 3

nmero de eventos

P(x)

n=20

0

0,05

0,1

0,15

0,2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

n m e r o d e e v e n t o s

P

(x)

06/03/2014 9


10/68

Distribucin binomial negativa

En relacin con ensayos de Bernoullirepetidos, nos interesa el nmero deensayos en el cual ocurre el k-simo exito: La probabilidad de que el dcimo nio expuesto a una

enfermedad ser el tercero en contagiarse.

la probabilidad de que la quinta persona en escuchar unrumor ser la primera en creerlo.

La probabilidad de sorprender un ladrn por segundavez en su octavo robo.

6-18

06/03/2014 10


11/68


Si el ksimo xito va a ocurrir en el ensayoxsimo, debe haber k-1 xitos en los primerox-1 ensayos, y la probabilidad para esto es

Para elaborar una distribucin binomial, sea

kx1k

)1(1k

1x

);1x;1k(b

6-19

06/03/2014 11


12/68


La probabilidad de un xito en el xsimoensayo es , y la probabilidad de que elksimo xito ocurra en el ensayo xsimo es,

por consiguiente:

6-20

06/03/2014 12

kxk

)1(1k

1x

);1x;1k(b.


13/68

6 20


14/68

Ejemplo

Si la probabilidad es 0.40 de que un nioexpuesto a una enfermedad contagiosa lacontraiga, cul es la probabilidad de que el

dcimo nio expuesto a la enfermedad ser eltercero en contrarela?

6-20

06/03/2014 14

0645.0)4.01(4.02

9

)4.0,3,10(b

73*

6 20


15/68


La media y la varianza de

6-20

06/03/2014 15

)11(k,k 2

6 20


16/68

Una binomial negativa constituye unasuma de variables aleatorias geomtricas

Suponga que una secuencia de ocho ensayosde Bernoulli independientes, cada uno conprobabilidad de xito , aparece de la

siguiente manera FFSFSFFS. Si X es el nmero de ensayos incluyendo al

tercer xito, entonces

6-20

06/03/2014 16

),8,3(*bX


17/68

06/03/2014 17

Modelo Poisson

Los eventos de llegadasse modelan como

independientes, dichoseventos son producidos

por un gran # de clientes

Hay nico parmetro de ( velocidad media )

Correlaciones son fugaces y los bursts son limitados

La agregacin de trfico tiende a suavizarserpidamente

Esto implica (Si asumimosun modelo de Poisson):


18/68

PROCESO DE POISSONSe diceque el

procesode conteoX(t) es

unproceso

dePoisson

si

1. El nmerode

ocurrencias

duranteintervalos detiempos

disjuntos sonvariablesaleatorias

independientes.

2. Procesotiene

incrementosindependient

es.

3. Si h es unintervalo de

tiempo

suficientementepequeo,entonces la

probabilidad deque ocurra unallegada en este

intervalo esproporcional a h.

( h + o(h))

4. Laprobabilidadde obtenerdos o ms

ocurrencia enel intervalode tiempo h

esdespreciable.


19/68

19

06/03/2014

Tipos de procesos

Incrementos independientes: los cambios en elvalor del proceso en intervalos de tiempo disjuntos,

son independientes.

),()(

),()(

),()(

discretosestadosdeespaciode),(

1

12

1

nn

o

tXtX

tXtX

tXtX

TttX

SON VARIABLES

INDEPENDIENTES


20/68

20

Funcin densidad de probabilidad, PDF (Probability density

function )

Poisson esta categorizado, por un parmetro . La agregacin de trfico de Poisson es tambin Poisson

Poisson

Pn(t) = et

(t)n

n!

Poisson

PoissonPoisson

Poisson

=> Poisson

06/03/2014


21/68

21

t)[0,peridoeldurantellegadasdeNmero

t

2tt

2t

t

X

XEXEXVar

t)X(E

m]XE[)XVar(Burstiness

t

t

06/03/2014


22/68

APLICACIONES

La distribucin de Poisson es un buenmodelo para representar el nmero deveces que un evento sucede, por unidad detiempo o espacio.

Nmero de clientes que llegan a unaestacin de servicio, durante un minuto.

Nmero de reclamaciones contra unacompaa de seguros, durante una semanadeterminada.

06/03/2014 22


23/68

06/03/2014 2323

Proceso de tiempo entre

llegadas, caso discreto.

Proceso de Bernoulli Para un proceso de Bernoulli de modelacin

de llegadas durante un slot (tiempo) se tiene

0llegada)1(Prob

1llegadas)0(Prob

llegada)1(Prob

,...,....,X

0

1

21

pp

pp

XX n


24/68

06/03/2014 2424

)()|(

,yracualesquiepositivosenterosdosParaTeorema.

,)(,1

)(

,..2,1,)(

Adeocurrenciaprimeralaincluirhasta

necesariasesrepeticiondenmero

2

1

tTPsTtsTP

ts

p

qTVar

pTE

kpqkTP

T

k

La Distribucin Geomtrica. Suponga que se efecta un

experimento y se esta interesado slo en la ocurrencia o

no ocurrencia de algn evento A.


25/68

06/03/2014 2525

Interpretacin.

No hay memoria, esto si el evento A no haocurrido durante las primeras repeticionesdel experimento, entonces la probabilidad de

no ocurra durante las prximas t repeticioneses la misma que la probabilidad de no ocurradurante las primeras t repeticiones. En otraspalabras, la informacin de ningn xito esolvidada en lo que se refiere a clculossubsecuentes.

6-26


26/68

Distribucin hipergeomtrica

Frmula:

donde Nes el tamao de la poblacin, Ses el nmero de xitos en la poblacin,x

es el nmero de xitos de inters, nes eltamao de la muestra, y Ces unacombinacin.

P xC C

C

S x N S n x

N n

( )( )( )

6 26

6-27


27/68

Distribucin hipergeomtrica

Use la distribucin hipergeomtricaparaencontrar la probabilidad de un nmeroespecfico de xitos o fracasos si:

la muestra se selecciona de una poblacinfinita sin reemplazo (recuerde que un criteriopara la distribucin binomial es que laprobabilidad de xito es la misma de un ensayoa otro).

el tamao de la muestra nes mayor que5% del tamao de la poblacin N.

6 27

6-28


28/68

EJEMPLO 5

Aerocivil tiene una lista de 10 violaciones a laseguridad reportadas por ValueJet. Suponga

que slo 4 de ellas son en realidad violacionesy que el Safety Board slo podr investigarcinco de las violaciones. Cul es la

probabilidad de que tres de las cincoviolaciones seleccionadas al azar parainvestigarlas sean en realidad violaciones?

6-29


29/68


PC C

C

( )* *

.34 15

252

2384 3 6 2

10 5

N=10

S=4x=3n=5


30/68

Distribucin multinomial

06/03/2014 30

1nxin,..,1,0x

x..x,..x,x

n

),..,,;x,..x,x(f

k

1i

i

k

1i

ii

x

k

x

2

x

1

k21

k21k21 k21

ydonde,cadaparacadapara

Las variables aleatorias X1, X2,..Xk tienen una distribucinmultinomial y se conocen como variables aleatorias multinomiales

si y slo si du distribucin de probabilidad conjunta esta dada por


31/68

MODELADO MEDIANTE VARIABLESALEATORIAS CONTINUAS

06/03/2014 31


32/68

06/03/2014 32

proceso?este

tieneadprobabiliddendistribuciQugadas.

lleentretiempoelejemplo,porsucesivos,eventosentretiempoelcomoaleatoriavariableuna

definimospoisson;deprocesounaAsociado


33/68

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Si un proceso de llegada a un sistema sepuede modelar mediante un proceso de

Poisson, entonces el tiempo entre llegadas

se modela mediante una variable aleatoriallamada exponencial. En otras palabras, si

es el nmero promedio de eventos

independientes de Poisson que ocurren por

unidad de tiempo, entonces 1/ es el tiempo

promedio entre dos eventos sucesivos.

3306/03/2014


34/68

34

0,0

0,)(

Taleatoriavariable

ladeprobilidaddedensidaddefuncinLa

t

tetf

t

El valor esperado y varianza son

2

1)var(,

1)( XXE Burstiness?

06/03/2014


35/68

3535

t

t

to

etfetTtF

etptT

ttNtT

)(1)Pr()(

)()Pr(

tiempoelenllegadashayno0)(

1

1

1

2deprobabdendistribucilaDeducirEjercicio. X11 tT

12112 || tttTT

t

06/03/2014


36/68

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

La distribucin exponencial es til para

modelar el tiempo que transcurre entredos ocurrencias consecutivas de un

evento.

Tiempo entre dos fallas sucesivas deun componente electrnico.

Tiempo entre dos llegadas sucesivasde clientes a una estacin de servicio.

06/03/2014 36


37/68

06/03/2014 373737

PROCESO SIN MEMORIA

T es una variable aleatoria con distribucin exponencial,con parmetro, entonces

Es decir, T pierde la memoria.

En trminos del proceso de llegadas Poisson la propiedad sin

memoria significa que la distribucin del tiempo hasta lasiguiente llegada es la misma no importa cual es el punto enque nosotros nos encontramos

),()|( 11 tTPtTttTP oo


38/68

A la propiedad de ladistribucin exponencial se

le llama prd id a de memoria,es decir, lo que ocurra deaqu en adelante, no esafectado por lo que haocurrido hasta ahora.

La distribucin exponencial

es la nica distribucincontinua que posee estapropiedad.

06/03/2014 38


39/68

RELACIN ENTRE POISSONY EXPONENCIAL

Si el nmero de ocurrencias de un eventoobedece una distribucin de Poisson con

parmetro , entonces el tiempo entre dosllegadas sucesivas del evento obedece unadistribucin exponencial con parmetro y

viceversa.

06/03/2014 39


40/68

06/03/2014

jR

,3

4)(

o

j

m

j

p

jj

RRRRE

,18

))(()(

)(

2 m

j

o

j

p

j

m

j

p

j

o

j

j

RRRRRR

RVar

VARIABLE ALEATORIA TRIANGULAR

40


41/68

06/03/2014

x

xxn -para,

2

1exp

2

1),;(

2

VARIABLE ALEATORIA NORMAL

Una variable aleatoria tiene una distribucin normal

y se conoce como una variable aleatoria normal

si y slo si su densidad de probabilidad esta dada por:

41

7-3


42/68

Caractersticas de una v.a normal

La curva normal tieneforma de campanacon un solopico justo en el centro de la distribucin.

La media, mediana y moda de la distribucinaritmtica son iguales y se localizan en el pico.

La mitad del rea bajo la curva est a la derecha delpico, y la otra mitad est a la izquierda.

06/03/2014 42

7-4


43/68

Cont.

La distribucin normal es simtrica respecto a sumedia.

La distribucin normal es asinttica- la curva seacerca cada vez ms al ejexpero en realidad nunca

llega a tocarlo.

06/03/2014 43

r

a l

i

t

r b u i

o n :

= 0

2 = 1


44/68

- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

x

f

(

x

r a l i t r b u i o n : = 0 , = 1

Caractersticas de una distribucin normal

La media, mediana y

moda son iguales

La curva

normal es

simtrica

En teora,

la curva se

extiende hasta

infinito

a

06/03/2014 44

7-6


45/68

V.a normal estndar

Una distribucin normal que tiene media igual a 0 ydesvicin estndar igual a 1 se denominadistribucin normal estndar.

Valor z:la distancia entre un valor seleccionado,designado comoX, y la poblacin media , divididaentre la desviacin estndar de la poblacin ,

X

z

06/03/2014 45

7-7


46/68

EJEMPLO 1

El ingreso mensual que una corporacin grande ofrecea los recin graduados en Ing Financiera tiene unadistribucin normal con media de $2000 y desviacinestndar de $200. Cul es el valor zpara un ingreso

de $2200? y cul para uno de $1700? ParaX = $2200, z= (2200 - 2000) /200

= 1.

06/03/2014 46

7-8


47/68


ParaX = $1700, z= (1700 - 2000) /200= - 1.5

Un valorzigual a 1 indica que el valor de $2200 esmayor que la desviacin estndar de la media de

$2000, as como elvalor zigual a -1.5 indica que elvalor de $1700 es menor que la desviciacin estndarde la media de $2000.

06/03/2014 47

7-9


48/68

reas bajo la curva normal

Cerca de 68% del rea bajo la curva normal est amenos de una desviacin estndar respecto a lamedia.

Alrededor de 95% est a menos de dos desviacionesestndar de la media.

99.74% est a menos de tres desviaciones estndar dela media.

1

2

3

06/03/2014 48

r

a l

i

t

r

b u i

o n :

= 0 ,

2 = 1


49/68

- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

x

f

(

x


1

2

3 1

2

3

Entre:

1.68.26%2.95.44%

3.99.74%

06/03/2014 49

7-11


50/68

EJEMPLO 2

El consumo de agua diario por persona en

Bucaramanga tiene una distribucin normal conmedia de 20 galones y desviacin estndar de 5galones.

Cerca de 68% del consumo de agua diario porpersona en Bucaramanga est entre cules dosvalores.

Esto es, cerca de 68% del consumo diario de agua

est entre 15 y 25 galones.

).5(1201

06/03/2014 50

7-12


51/68

Cul es la probabilidad de que una persona deBucaramanga seleccionada al azar use menos de 20galones por da?

El valor zasociado es z = (20 - 20) /5 = 0. As, P(X


52/68

Ejemplo Usted tiene la oportunidad de comprar un proyecto que

produce al final de los aos 1 a 5 los siguientes flujosde efectivo (aleatorios): El flujo de efectivo al final del

ao 1 es normal con media 1 000 y desviacin estndar

200. Calcular la probabilidad de que el flujo del primer

ao sea mayor a 1200. Calcular la probabilidad que elflujo este entre 850 y 1450.

Calcular la probabilidad que el flujo sea mayor a 1980.

Cul es el valor zpara un flujo 1000? y cul para unode $1700?

06/03/2014 52


53/68

06/03/2014 53

7-9


54/68


Cerca de 68% del rea bajo la curva normal est amenos de una desviacin estndar respecto a lamedia.

Alrededor de 95% est a menos de dos desviacionesestndar de la media.

99.74% est a menos de tres desviaciones estndar dela media.

1

2

3

06/03/2014 54


55/68

Aproximacin normal a la binomial

06/03/2014 55

)p1(np

npXZ

Sea X una variable aleatoria binomial; l a forma limitante dela distribucin de

Conforme n tiende a infinito es la distribucin normal

estndar.


56/68

Distribucin gamma

06/03/2014 56

)!1n()n(

nx

0x,dueu)x( u1x0

entoncespositivoenterounSi

La funcin gamma se define


57/68

Distribucin gamma

06/03/2014 57

0,

0x,ex)(

1)x(f /x1

Cuando

La variable aleatoria continua X tiene una distribucingamma, con parmetros y , si su funcin de densidad est

dada por


58/68

Forma - Alpha=3, Escala -beta=1

06/03/2014 58


59/68

Media y varianza de X gamma

06/03/2014 59

22

La variable aleatoria continua X tiene una distribucingamma, con parmetros y , si su funcin de densidad est

dada por


60/68

Distribucin ji cuadrada

06/03/2014 60

La variable aleatoria continua X tiene una distribucin jicuadrada, con parmetros y , si su funcin de densidad

est dada por

libertaddegradosllamado

positivo,enterounesCuando

0x,ex)2/(2

1)x(f

2,2/

2/x12/

2/


61/68

Distribucin lognormal

06/03/2014 61

2

2

2

2

varianzaymedia

connormalesentonces,,yparmetros

connormalndistribuciunatienesiqueObservey

parmetrosconlognormalndistribucitiene

aleatoriavariablelaentonces,varianzaymediaconnormalaleatoriavariableunaXSea

YlnX

Y

.

eY

,

X


62/68

Parmetros

06/03/2014 62

)1e(e)Yvar(

e)Y(E22

2

2

2/

Observe el pico al principio y

la larga cola. Por lo tanto, unhistograma con esta

apariencia de un conjunto de

datos empricos se podra

modelar as.


63/68

Ejemplo

06/03/2014 63

Los precios de las acciones u otros instrumentosfinancieros con frecuencia se modelan como unadistribucin lognormal. Un inversionista estconsiderando comprar acciones en una de dos

compaas, A o B. Hoy el precio de una accin enambas compaas es de un dlar. Para la A, el valor dela accin en un ao a partir de ahora se modela comouna lognormal con parmetros miu=0.05 y sigma=0.1.Para la B, el valor de la accin en un ao a partir deahora se modela como una lognormal con parmetrosmiu=0.02 y sigma=0.2.


64/68

Ejemplo

06/03/2014 64

a. Determine la media del precio de una accin de la compaaA en un ao a partir de ahora.

b. Determine la probabilidad de que el precio de una accin de

la compaa A en un ao a partir de ahora sea mayor a $1,20

c. Determine la media del precio de una accin de la compaaB en un ao a partir de ahora.

d. Determine la probabilidad de que el precio de una accin de

la compaa B en un ao a partir de ahora sea mayor a $1,20


65/68

Media geomtrica

06/03/2014 65

variable.ladevaloreslosdelogaritmoslosdearitmtica

medialaaigualesgeomtricamedialadelogaritmoEl

entonces

nmeroslos

todosdeproductodelsima-nrazlaes(n)nmerosdearbitrariacantidadunadegeomtricamediaLa

3xxxx9x,3x,1x

,x..xxx

3321321

n

n21

Datos Ln(x)

1 0

3 1,09861229

9 2,19722458

1,09861229

Relacin con media y desviacin


66/68

Relacin con media y desviacinestndar geomtrica

06/03/2014 66

La distribucin log-normal, la media geomtrica y la

desviacin estndar estn relacionadas. En este caso, la media

geomtrica es igual a

exp(esgeomtricaestndardesviacinlayexp(

))

Estimacin de los parmetros de una


67/68

Estimacin de los parmetros de unadistribucin lognormal

06/03/2014 67

nn22

11

n2

YlnX,..YlnX

,YlnX

Y,..Y,Y

.Yln,

YlnX

Y

alogartmicescala

laaaetransformsprimerolognormal,poblacinuna

dealeatoriamuestraunaessitanto,Por

devarianzaymedia

connormalesentonces,,yparmetros

connormalndistribuciunatieneSi

1

2

2

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV


68/68

06/03/2014

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV.

Sea X una v.a con xXE )( y sea c un nmero real cualquiera. Entonces,si 2)( cXE es finita y es cualquier nmero positivo, tenemos

2

2)(

1]|[( | cXEcXP

o bien :

2

2)(

11]|[( | cXEcXP

al elegir c obtenemos

)(1]|[( | 2 XVarXP

al elegir ,c y k 2]|[(| kkXP

Modelado estadistico (1)

Documents

Transcript of Modelado estadistico (1)