Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

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1 Introducci´ on 3 1.1 Notaci´ on utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 son muy comunes en todas las aplicaciones del calculo vectorial y tensorial (en particular en el estudio del movimiento de los medios deformables) y pueden ser representadas con ventaja si se simpliÞca la notaci´ on dejando impl´ õcita la sumatoria P y el valor de n. Se adopta entonces los s´ õmbolos La convenci´ on de supresi´ on del s´ õmbolo P se aplica tambi´ en en el siguiente caso:

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  • Modelado y Analisis de la Localizacionde Deformaciones Plasticas en Solidos

    Matias Gabriel Zielonka

    Tesis de Ingeniera MecanicaFacultad de Ingeniera

    Universidad de Buenos Aires

    Septiembre de 1997

  • Tema: Modelado y analisis de la localizacion de deformacionesplasticas en solidos

    Alumno: Matias G. Zielonka

    Padron: 69.650

    Director del trabajo: Dr. Ing. Eduardo N. Dvorkin

    Fecha de iniciacion: Agosto de 1996

    Fecha de Finalizacion: Septiembre de 1997

    Informe nal aprobado por:

  • Resumen

    Al deformarse plasticamente una piezas metalica frecuentemente se observaque la deformacion no se distribuye uniformemente dentro de la pieza sino quese concentra en bandas angostas (zonas pequenas de deformacion muy intensa)mientras el resto del material practicamente no experimenta deformacion alguna.Este fenomeno se conoce como localizacion de las deformaciones plasticas. Eneste trabajo se estudia un modelo matematico y numerico capaz de reproducireste fenomeno y de identicar los factores que inuyen en la maniestacion delmismo. El enfoque de analisis utilizado para ello es el denominado formulacion deujo que se caracteriza por suponer despreciable la parte elastica de las deforma-ciones y describir el comportamiento inelastico en terminos de la viscoplasticidad,lo que permite estudiar la deformacion del solido como si fuera el ujo de unuido viscoso incompresible no newtoniano, es decir, utilizando el punto de vistaeuleriano (de relativamente facil implementacion numerica). Para resolver lasecuaciones que se derivan de este modelo matematico (ecuaciones de Stokes) seutiliza el metodo de los elementos nitos. Como la formulacion estandard de estemetodo (la formulacion basada en interpolacion exclusiva del campo de veloci-dades) es inecaz para representar ujos incompresibles, es necesario recurrir aformulaciones alternativas capaces de aproximar adecuadamente esta condicion.En este trabajo se exploran algunas de estas alternativas (el metodo de los mul-tiplicadores de lagrange, el metodo de penalizacion y el metodo de los elementosnitos) y se analizan sus alcances y limitaciones y las formas de superarlas.

  • Agradecimientos

    Quiero agradecerles al Dr. Eduardo Dvorkin, a mis companeros de trabajo (An-drea, Marcela, Pablo, Rita, Miguel, Silvina, Marisol, Victor y Javier), a mis padresEleonora y Salvatore, a mis hermanos Liliana y Ezequiel y a mi novia Alejandrapor la conanza, el aliento y la ayuda que me brindaron y la paciencia que metuvieron desde que empece este trabajo y sin la que me hubiese sido dicil termi-narlo. A todos ellos les dedico esta y todas sus paginas.

  • Contenido

    1 Introduccion 31.1 Notacion utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2 Ecuaciones del movimiento 102.1 Condicion de incompresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Conservacion de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . 12

    2.2.1 Ecuacion del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Ecuacion del movimiento para ujos incompresibles . . . . 142.2.3 Principio de las Potencias Virtuales . . . . . . . . . . . . . 15

    3 Relaciones constitutivas para metales 193.1 Plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.1.1 Condicion de uencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.2 Ley de endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.3 Ley de ujo Asociada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.4 Tension equivalente y Deformacion plastica equivalente . . 393.1.5 Relaciones Tension-Deformacion completas para la plasticidad 42

    3.2 Viscoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.1 Relacion constitutiva para la viscoplasticidad . . . . . . . 473.2.2 Relacion constitutiva para la viscoplasticidad asociada con

    la ley de uencia de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4 Formulacion de ujo 534.1 Ecuacion del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Relacion constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Planteo diferencial del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    5 Modelado de ujos incompresibles bidimensionales con el metodode los elementos nitos 595.1 Principio de los potencias virtuales para un estado plano de

    velocidades de deformacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Discretizacion con el metodo de los elementos nitos: sus limitaciones 64

    1

  • 5.2.1 Imposicion de la condicion de incompresibilidad: el prob-lema del bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    5.3 Metodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 815.3.1 Interpretacion geometrica del metodo de los multiplicadores

    de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3.2 Eleccion del espacio Qh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3.3 Forma matricial de la formulacion con multiplicadores de

    Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3.4 Existencia de la solucion: modos de presion . . . . . . . . 955.3.5 Preltrado de los modos de presion . . . . . . . . . . . . . 100

    5.4 Metodo de penalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4.1 Forma matricial del metodo de penalizacion . . . . . . . . 1095.4.2 Metodo de penalizacion formulado en terminos exclusivos

    de las velocidades: integracion reducida . . . . . . . . . . . 1105.4.3 Convergencia de la solucion para . . . . . . . . . . 111

    5.5 Procedimientos iterativos para mejorar la solucion: Metodo dellagrangeano aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.5.1 Lagrangeano aumentado con preltrado o rigidizacion de

    los modos de presion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.6 Conclusiones acerca del comportamiento de las tecnicas numericas

    utilizadas para imponer la condicion de incompresibilidad uti-lizando el elemento mixto Q1-P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    6 Analisis de la localizacion de la deformacion plastica 1316.1 Formulacion de ujo para un estado plano de deformacion . . . . 1316.2 Existencia de soluciones discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3 Ejemplo: Localizacion de la deformacion plastica en una probeta

    compacta sometida a una traccion pura . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3.1 Solucion analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3.2 Solucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    7 Conclusiones 167

    2

  • 1. Introduccion

    El proceso de conformado de piezas por deformacion plastica es una delas herramientas mas utilizadas en la fabricacion de productos metalicos debidoa su gran versatilidad y menor costo que otros procesos alternativos. Sinembargo presenta algunas limitaciones que dicultan su utilizacion. Una deellas es el fenomeno de localizacion de las deformaciones plasticas que aparecemuy frecuentemente durante el proceso de conformado de metales muy ductiles.Este fenomeno consiste en lo siguiente: cuando se deforma un metal ductil,primero las deformaciones se distribuyen en forma aproximadamente homogenea,es decir, resulta un estado de deformacion continuo que vara suavemente dentrodel material. Sin embargo cuando se alcanza un determinado nivel de carga,este patron de deformacion continuo cambia en forma mas o menos abrupta aun patron localizado en el que las deformaciones se concentran en ciertas zonas(en general bandas angostas) mientras el resto del material practicamente nocontinua deformandose (ver gura (1.1)); dentro de estas bandas se producendeformaciones intensas, predominantemente de corte tangenciales a la interfaceque separa a la banda del material adyacente (ver gura (1.2)), mientras que fuerade ellas las deformaciones son pequenas, es decir, aparece una discontinuidad delestado de deformacion a traves de ciertas superces (las interfaces banda-materialadyacente). Cuando se produce este cambio repentino del patron de deformacionse dice que la deformacion se ha localizado en bandas de corte (shear band).La localizacion de la deformacion plastica cambia totalmente el compor-

    tamiento macroscopico del material. Una vez que se inicia se convierte en elmecanismo predominante en toda la deformacion plastica subsecuente y si per-siste puede precipitar una fractura por corte. En circunstancia menos extremas,representa un factor perjudicial en la respuesta en servicio y la vida util de laspiezas metalicas conformadas por deformacion plastica; cuando se maniesta, laspropiedades mecanicas del material resultan mucho mas pobres que las esperadas.Es importante entonces evitar que este mecanismo de deformacion se maniestey conocer cuales son los factores que favorecen o perjudican su manifestacion.El estudio de la deformacion de solidos que experimentan grandes deforma-

    ciones inelasticas (y en particular el estudio del mecanismo de localizacion) sepuede abordar mediante dos formulaciones alternativas: la primera, denominada

    3

  • Figura 1.1: Banda de corte obtenida en el ensayo de traccion de una probetaplana (sacado de la referencia [16])

    Figura 1.2: Banda de corte (sacado de la referencia [7]).

    4

  • Formulacion de Deformacion se caracteriza por utilizar el enfoque lagrangeanopara la descripcion del movimiento del solido y relaciones constitutivas elasto-plasticas para la caracterizacion del comportamiento del material. El segundo,denominado Formulacion de Flujo, propone describir el comportamiento del ma-terial mediante una relacion constitutiva rgido-viscoplastica, y en consecuencia,estudiar su movimiento utilizando el punto de vista euleriano. Es decir, con-sidera despreciable la parte elastica de las deformaciones frente a las inelasticas(hipotesis abalada por el hecho que en los procesos