Modelos de Superficie de

Respuesta (MSR)

Medina Romero Pedro

Islas Arbeu Edgar Alberto

Introducción (MSR)

Los Modelos de Superficie de Respuesta (RSM) es un conjunto de técnicas matemáticas utilizadas en el tratamiento de problemas en los que una respuesta de interés está influida por varios factores de carácter cuantitativo.

El propósito inicial es diseñar un experimento que proporcione valores razonables de la variable respuesta y determinar el modelo matemático que mejor se ajusta a los datos obtenidos.

El objetivo es establecer los valores de los factores que optimizan el valor de la variable respuesta.

**Estrategia que permite conocer el funcionamiento de un sistema o proceso y encontrar las condiciones optimas de funcionamiento, permitiendo mejorar los resultados en cuanto a costo, tiempo, eficiencia, productividad y /o calidad.

Conjunto de técnicas

matemáticas y estadísticas .

Construir un MODELO

Datos experimentales DISEÑO DE EXPERIMENTOS

Analizar el comportamiento de

una RESPUESTA

Cuando el valor real esperado (η) que toma la variable de interés considerada está influido por los niveles de k factores cuantitativos, X1, X2, ..., Xk, esto significa que existe alguna función de X1, X2, ..., Xk que proporciona el correspondiente valor d η para alguna combinación dada de niveles.

Factores. Son las condiciones del proceso que influencian la variable de respuesta. Estos pueden ser cuantitativos o cualitativos.

Respuesta. Es una cantidad medible cuyo valor se ve afectado al cambiar los niveles de los factores. El interés principal es optimizar dicho valor.

La relación η = f (X1, X2, ..., Xk) existente entre η y los niveles de los k factores puede representarse a través de una hipersuperficie a la que llamaremos superficie de respuesta.

Para el valor real

de la RESPUESTA

Cuando existe una función continua

Función real desconocida

Modelo que estima la Respuesta

Donde ε es el error observado en la respuesta.

Niveles de los

FACTORES

Función de respuesta.

Cuando un valor de respuesta Y depende de los niveles x1, x2, ... xk de k factores, ξ1, ξ2,... ξk

Existe una función matemática de x1, x2, ... xk cuyo valor para una combinación dada de los niveles de los factores corresponde a Y

Y=f(x1, x2, ... xk).

Función de respuesta predicha.

Puede ser representada con una ecuación polinomial.

El éxito en una investigación de una superficie de respuesta depende de que la respuesta se pueda ajustar a un polinomio de primer o segundo grado. Supongamos que la función de respuesta para los niveles de dos factores se puede expresar utilizando un polinomio de primer grado:

donde , , son los coeficientes de regresión a estimar, x1 y x2 representan los niveles de x1 y x2 respectivamente. Suponiendo que se dispone de N≥3 valores de respuesta (Y), con los estimadores b0, b1 y b2 se obtienen respectivamente. Al remplazar los coeficientes de regresión por sus estimadores obtenemos:

donde denota el valor estimado de Y dado por x1 y x2.

Superficie de respuesta.

La relación entre Y y los niveles de los k factores x1, x2, ... xk representa una superficie.

Y=f(x1, x2, ... xk)

Con k factores la superficie está en k+1 dimensiones.

Por ejemplo cuando se tiene Y=f(x1) la superficie esta en dos dimensiones, mientras que si tenemos Y=f(x1, x2) la superficie está en tres dimensiones

Representación grafica del Modelo

Gráfica de contornos.

Una técnica para visualizar la forma que puede tener una superficie de respuesta tridimensional consiste en representar la gráfica de contornos de la superficie.

Son curvas correspondientes a valores constantes de la respuesta sobre el plano X1X2 (plano cuyos ejes coordenados vienen dados por los niveles x1, x2 de los factores).

Resulta útil para estudiar los niveles de los factores en los que se da un cambio en la forma o altura de la superficie de respuesta. 

Ejemplo Un agricultor quiere maximizar su producción de almendras

(medida en Kg./Ha.) en función de las cantidades (medidas en Kg./Ha.) de dos tipos de fertilizante, A y B, que utiliza. Una superficie de respuesta para la producción de almendras viene dada por la gráfica siguiente:

Para generar la gráfica de contornos correspondiente se secciona la superficie de respuesta usando planos paralelos al X1X2

en ciertos valores de respuesta considerados, por ejemplo:

Cada línea de contorno esta formada por todaslas combinaciones de los factores que producen una misma respuesta.

MSR y Optimización.

Creación de un Diseño de Experimentos

Conjunto de experimentos planificados con valores determinados de las variables. Ajuste de un Modelo

Ecuación matemática que relaciona la respuesta con los factores estudiados. Se obtiene por Regresión Lineal Múltiple Utilización de una Técnica de Optimización

Explorar el modelo para obtener información sobre el óptimo

Diseño

Modelo

Re-Diseño

Punto Optimo Es el punto del espacio de los factores en el cual el

plano tangente a la superficie tiene pendiente igual a cero y es un “candidato al optimo”

Punto de respuesta máxima

Punto de respuesta mínima Punto silla

Loma Valle Silla

Pasos para la optimización

4.-Seleccionar un Entorno Experimental

Definir la región del espacio de los factores en donde vamos a planear los experimentos.

3.-Establecer la Región de OperabilidadConsiderar todas las posibilidades y la información sobre el sistema

2.-Seleccionar los factores que resultan significativosUtilizar diseño de selección de factores o basarse en conocimientos previos. Incluir factores

numéricos.

1.-Definir los objetivos de la optimizaciónPlantear el PROBLEMA a resolver y seleccionar la RESPUESTA a evaluar.

8.-Verificar experimentalmente

Confirmar el valor de la respuesta utilizando los niveles óptimos de los factores.

7.-Localizar el Optimo buscado para la RespuestaUtilizar herramientas gráficas y/o matemáticas para predecirlo.

6.-Elaborar un Modelo MatemáticoGraficar la SUPERFICIE DE RESPUESTA y evaluar resultados

5.-Construir un Diseño Experimental de OptimizaciónRecabar datos experimentales.

Repetir los pasos 4 , 5 y 6 si fuera necesario

Algunas consideraciones sobre los modelos

Deben construirse a partir de datos experimentales confiables Deben incluir los factores cuyos efectos resultan significativos

en la respuesta. Deben contemplar las interacciones que existen entre los

factores y la curvatura del sistema. Deben ajustarse para minimizar el error y evaluarse

estadísticamente. Pueden predecir el valor de la respuesta en un punto no

estudiado del sistema. Pueden utilizarse para localizar el valor optimo de la respuesta.

Modelos matemáticos

MODELO LINEAL o de PRIMER ORDEN MODELO LINEAL CON INTERACCION MODELO CUADRATICO o de SEGUNDO ORDEN MODELO CUBICO (requiere mas experimentos) MODELO con TRANSFORMACIONES (ln, log,

raiz, etc) * Respuesta transformada * Variables transformadas

MODELO NO LINEAL

MODELO LINEAL o de PRIMER ORDEN

El comportamiento de la respuesta se explica por los efectos principales de los factores significativos.

Hiperplano

MODELO LINEAL CON INTERACCION

El comportamiento de la respuesta se explica por los efectos principales y una o varias interacciones de los factores significativos.

Hiperboloide o hiperelipsoide

MODELO CUADRATICO o de SEGUNDO ORDEN El comportamiento de la respuesta se explica por

los efectos principales, una o varias interacciones y uno o varios términos cuadráticos de los factores significativos

PASOS ESTÁNDAR DE LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIES DE RESPUESTAS

1.-Inicio: Determine las variables naturales ξj

Determinar los niveles de ξj

Codificar las variables naturales (equidistantes).

S es la desviación entre la variable y su media ξ.

2.-Ajuste de un polinomio de primer grado:

Diseño experimental fraccionado de resolución III (menor numero de corridas).

3.-Determine la Adecuación del Modelo de Primer Orden:

El diseño utilizado no sea saturado y que se hayan realizado replicas genuinas con la finalidad de determinar el error puro.

A través del ANOVA, se determina si el comportamiento de la respuesta en la región de interés, presenta interacción y/o curvatura que refleje falta de ajuste del modelo.

Si el modelo no muestra falta de ajuste, pero los coeficientes estimados son cercanos a cero (no hay dirección de mejoramiento en ese punto), el proceso de optimización deberá de iniciarse una vez más en el paso 1.

Falta de ajuste debida solo a la interacción entre los factores y no a curvatura pura, la varianza entre los niveles de los factores deberá de ser reducida y otro diseño experimental deberá de llevarse acabo.

Inadecuación del modelo dada por los términos de interacción y cuadráticos puros son significantes, pase al paso 6.

4.-Resuelva la Inadecuación del Modelo:

Si la falta de ajuste es solo significante para los términos de interacción, la varianza de las variables naturales ( S ) , deben de ser reducida.

Minimizar la región de exploración. El modelo lineal proporcionara un buen ajuste.

5.-Aplique el Método de Ascenso Acelerado para Acceder a las cercanías del Óptimo:

Aplique el proceso iterativo del MAA al polinomio para acceder a las cercanías del óptimo.

Avanzando en la dirección dada por el signo de los coeficientes de regresión (Si es descendente, los signos se tomaran opuestos), con incrementos proporcionales a la magnitud de los coeficientes.

El nuevo punto es tomado como el punto central del diseño en 1n+ iteración

El procedimiento iterativo termina cuando la falta de ajuste es significativa.

Cuando en dos iteraciones consecutivas, el mejoramiento en la variable de respuesta es mínimo, comparado con un límite pre-establecido por el investigador.

i) Cuando en la aplicación iterativa del MAA, la falta de ajuste del modelo de primer orden sea significante, se deberá utilizar un diseño central compuesto para ajustar un modelo completo de segundo orden (determinando su adecuación a través del ANOVA).

ii) Si el modelo completo de segundo orden proporciona un buen ajuste, pero los términos de segundo orden, son pequeños comparados con los de primer orden, se deberá de aplicar el MAA hasta que los términos de segundo orden sean potencialmente importantes.

6.-Aproxime la Superficie a través de un Modelo Completo de Segundo Orden: Modelo de segundo orden del tipo:

Determine la constante de proporcionalidad K.

7.-Determine la Adecuación del Modelo Polinomial de Segundo Orden.

Como en el caso del modelo de primer orden, la inadecuación del modelo, es determinada a través del ANOVA.

8.-Resuelva la Inadecuación del Modelo Polinomial de Segundo Orden.

Si el modelo no es el correcto para representar la superficie en esa región, es necesario reducir la región de experimentación, reduciendo la varianza ( S ) de los factores.

9.-Realice el Análisis Canónico de la Superficie.

Una vez que el modelo completo de segundo orden es adecuado, se determina el polinomio canónico para la optimización de la superficie, explorando y determinando la localización y naturaleza del punto estacionario.

La forma matricial del modelo completo de segundo orden a ajustar es:

Donde:

El procedimiento para obtener el polinomio canónico del modelo consiste en:

Diferenciar este polinomio con respecto a tX y establecer la derivada igual a cero para obtener la solución del punto estacionario como:

Determinar si el punto estacionario definido es el óptimo del sistema cuadrático. Si todos son positivos, xs es un minino, si todos son negativos, xs es un máximo y si al menos uno es de diferente signo, xs es un punto de silla.

i) Si el punto estacionario xs es un punto de silla o si cae fuera de la región de experimentación, no se deberá de tomar como el nuevo punto central para el análisis y optimización de la superficie. Se deberá de ajustarse un polinomio canónico en su forma A, para determinar la nueva dirección de búsqueda del óptimo a través de la aplicación del MAA a este polinomio.

ii) Si el punto estacionario xs encontrado, está dentro de la región de experimentación, y no representa un punto de silla, deberá de ajustarse un polinomio canónico en su forma B para realizar la exploración en las fronteras de xs, tomándolo como el punto central del diseño central compuesto realizado.

10.-Después de Aceptar el Punto Estacionario.

Una vez que el punto estacionario es aceptado,

este deberá de tomarse como centro del diseño y deberá de realizarse la caracterización del sistema que ese punto representa.

11.-Criterio de Parar.

La búsqueda iterativa del óptimo, generalmente se detiene después de haber ajustado solo un modelo polinomial de segundo orden.

i) El valor de la respuesta estimada en la iteración n+1 no mejore sustancialmente la respuesta.

ii) La región de interés sea demasiado pequeña. iii) Cuando existan restricciones de capital o de

proceso.

12.- Determine el Nivel Óptimo de los Factores.

Tomar como nivel óptimo de los factores, las coordenadas de Xs encontradas en el paso 11 y determine la respuesta óptima esperada. Estos niveles de los parámetros, son los parámetros bajo los cuales el proceso deberá de estar trabajando.

Bibliografía:

Khuri, André I., Cornell, John A., 1978. Response surfaces. design and analyses. Statistics: Textbooks and monographs. New York. Marcel Dekker, 1987.

Kuehl, Robert. 2001. Diseño de experimentos. Mexico : Thomson Learning, 2001.

Montgomery D. C., Peck E. A. y Vining G. G. 2002. Introducción al Análisis de Regresión Lineal, México: Editorial Continental. Tercera edición, 2002.

Statistica Release 7 for Windows. Statsoft. Inc. 2300. East 14th Street, Tulsa, OK, 74104, USA, 2011