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Modelos de PérdidasAgregadas No VidaXXVI Congreso Nacional de Actuarios

Act. Patricio Belaunzarán

Modelo de pérdidas agregadasEl modelo de pérdidas agregadas tiene como objetivo obtener una función dedistribución, la cual incorpore los conceptos de frecuencia y severidad. Bajo elsupuesto de que las severidades son independientes entre sí, y éstas, a su vez,independientes de la frecuencia, se procede al modelado por separado de ambasvariables. La determinación es igual a:

Z = X1 + X2 + X3 + … + XN

dondeZ = Pérdida agregada (siniestralidad anual)N = Número total de siniestros en el periodo (Frec.); y

Xi = Monto de cada siniestro (Sev.)

Ambos son desconocidos por lo que deben ser modelados como variablealeatoria.

La media de Z es igual a la frecuencia media por el monto medio. Es decir,

E(z) = E(N) * E(Xi)

Modelo de pérdidas agregadas

Para obtener la distribución de pérdidas agregadas se realiza lo siguiente:

►Ajuste de la distribución de frecuencia. Se parte de distribuciones probabilísticasdiscretas de conteo entre las que se encuentran las siguientes: Poisson, Binomial,Binomial Negativa y Beta-Binomial.

►Ajuste de la distribución de severidad. Se obtienen los parámetros de lasdistribuciones probabilísticas que mejor ajusten a los datos observados. A priori lasdistribuciones que se proponen son las siguientes: Lognormal, Gamma y ParetoGeneralizada

Ajuste de distribuciones de monto de siniestros

Estimador de Máxima Verosimilitud (EMV)

►

Presentation title

Método de Momentos.

►

Presentation title

Modelos de frecuencia

Modelo Beta Binomial

Modelo de Pérdidas Agregadas

Si disponemos de datos de frecuencias relativos a distribuciones binomiales, de modo que,

donde y . Puesto que representa una proporción, elegimos como distribución a priori una beta de primera especie, con función de densidad;

► Fuente: Documentos fFundación Mapfre

Modelo Beta Binomial


Los parámetros y pueden venir de la historia o de juicio experto.

Se establecemos que y entonces:

La función de verosimilitud basada en una muestra viene dada por,

Haciendo uso del teorema de Bayes, la función de densidad a posteriori es,

► Fuente: Documentos fFundación Mapfre

Construcción del modelo de pérdidas agregadas

Construcción

► La manera de obtener la distribución de pérdidas es a través de métodos numéricos, debido a que en este se necesita obtener convoluciones de la distribución de pérdida que no es tratable desde el punto de vista analítico.

► Métodos recursivos► Métodos de inversión ► Métodos de aproximación ► Métodos de simulación


VaR y TailVaR

Value at Risk (VaR)

►

Presentation title

Tail VaR o Conditional Tail Expectation (CTE)

►

Presentation title

Aplicación a una cartera de Gastos Médicos

DatosFrecuencia


Estimación de parámetros. Beta BinomialCifras al 31 de diciembre del 2012

Qtr4 426 20,039 20,039 1,006 5.02%Qtr1 640 20,928 20,484 1,536 7.50%Qtr2 653 23,408 21,458 2,040 9.51%Qtr3 587 23,904 22,070 2,306 10.45%Qtr4 595 24,282 23,131 2,475 10.70%Qtr1 685 23,467 23,765 2,520 10.60%Qtr2 1,006 24,145 23,950 2,873 12.00%Qtr3 693 25,481 24,344 2,979 12.24%Qtr4 598 27,843 25,234 2,982 11.82%Qtr1 636 28,453 26,480 2,933 11.08%Qtr2 627 28,491 27,567 2,554 9.26%Qtr3 553 29,535 28,580 2,414 8.45%Qtr4 411 31,343 29,455 2,227 7.56%

Total 8,919 331,318 316,557 30,845 9.74%

2009

2010

2011

2012

Número de ExpuestosExpuestos

Promedio ultimos Siniestros Últimos 12

Probabilidad de ocurrenciaAño Trimestre

Número de Siniestros

Expuestos Promedio 33,343

p= 11.7817%Varianza de la p 0.0000851

Parámetros de la Betaalfa= 143.7357614

beta= 1076.254277

Metodología propuesta

El modelo de pérdidas agregadas se obtuvo de la siguiente manera:

1. Obtención de la distribución de pérdidas agregadas.a) Se consideró que la frecuencia se distribuye

beta-binomial (parámetros α=143.735761, β=1076.254277).

a.1) El número de expuestos promedio para 2013 se espera quesea de 33,343 y la probabilidad de que una persona se enferme seestima de 11.78%. Esta información se obtuvo a partir de losexpuestos al 31 de diciembre de 2012, así como de la proyecciónrealizada.

b) Se consideró que el monto de siniestros se distribuye Paretogeneralizada con media $86,182.

DatosSeveridad


Muestra de siniestros

E(x) 86,182.52 Var(x) 50,187,242,761.96

Fórmulas

E(x)= ba(a-1)

Var(x)= b2a(a-1)2(a-2)

Parámetros Pareto Generalizada

k= 0.48275 Parámetro de Forma

σ= 44,577.49 Parámetro de Escala

Histograma Lognormal


Histograma Pareto Generalizada


Histograma Gamma


Resultados de Ajuste


Resultados de ajuste

Posición Distribución Parámetros

1 Gamma a=0.14799 b=5.8234E+5

2Pareto Generalizada

k=0.50971 s=43883.0

m=-3320.3

3 Lognormal s=1.5825 m=10.217

Pruebas de bondad de ajuste

► Prueba de Kolmogorov -SmirnovSea F0(x) la función de distribución teórica parala variable aleatoria X, y representa laprobabilidad de que la variable aleatoria X tomeun valor menor o igual a x (también se interpretacomo la proporción esperada de observacionesque tengan un valor menor o igual a x). Esdecir:Sea Sn (x) la función de distribución empírica,calculada con base en los valores observadosde la muestra n observaciones. Sn (x)representa la proporción de valores observadosque son menores o iguales a x, y está definidacomo:

Sn (x) = P ( X £ x/ dados los resultadosmuestrales) = m/n

Donde m es el número de valores observadosque son menores o iguales a x.

En la prueba de Kolmogorov-Smirnov- se estáinteresado en la mayor desviación entre la funciónde distribución teórica y la empírica, es decir entreF0 (x) y Sn(x), para todo el rango de valores de x.Bajo la hipótesis nula se espera que estasdesviaciones sean pequeñas y estén dentro de loslímites de errores aleatorios. Por lo tanto, en laprueba S-K se calcula la mayor desviaciónexistente entre F0 (x) y Sn(x), denotada porDmax(x) y está dada por:

Dmax(x) = Max | FX (x) - Sn (x) |

La distribución de Dmax(x) es conocida y dependedel número de observaciones n. Se acepta lahipótesis nula de que no existe diferenciasignificativa entre las distribuciones teóricas yempíricas si el valor de Dmax(x) es menor o igualque el valor crítico Dmaxp(a,n).

Esta prueba se puede realizar para valoresagrupados en intervalos de clase y también paravalores sin agrupar.


► Prueba Anderson-Darling (A-D)

La última estadística de adaptación que se puede usar con datos de muestra continuos es la Anderson-Darling, que se define como Como la estadística K-S, la A-D no requiere el establecimiento de compartimentos. Pero a diferencia de la estadística K-S, que se enfoque en el medio de la distribución, la estadística A-D destaca las diferencias entre los extremos de la distribución adaptada y los datos de entrada. El test Anderson-Darling determina si los datos vienen de una distribución específica. La fórmula para el estadístico A determina si los datos (observar que los datos se deben ordenar) vienen de una distribución con función acumulativa F

Las hipótesis nula y alternativa son: H0: Los dátos se apegan a la distribución; HA: Los dátos no se apegan a la distribución.

))](1ln()([ln)12(11

1

2+−

=

−+•−−−= ∑ tn

n

ii XFXFi

nnA

La hipótesis en cuanto a la forma distribucional es rechazada en el nivel de importancia escogido (a) si la estadística de prueba, A2, es mayor que el valor crítico obtenido de una tabla. Los valores fijos a ( 0.01, 0.05 etc.) generalmente son usados evaluar la hipótesis (H0) nula en varios niveles de importancia. Un valor de 0.05 es usado comúnmente para la mayoría de sus aplicaciones, sin embargo, en algunas industrias críticas, un valor inferior puede ser aplicado.El estadístico de la prueba se puede entonces comparar contra las distribuciones del estadístico de prueba (dependiendo que F se utiliza) para determinar el P-valor.


► Prueba Chi Cuadrada de Pearson

La prueba Chi cuadrada (X2) permite calcular la probabilidad de obtener resultados que únicamente por efectos del azar se desvíen de las explicativas en la magnitud observada si el modelo es correcto.

Para realizar la prueba Chi cuadrada, el primer paso es comparar el número de individuos observado en cada categoría con los números esperados considerando el tamaño de la muestra y el modelo propuesto. Las desviaciones son elevadas al cuadrado y divididas por los valores esperados , lo cual proporciona un valor de Chi cuadrada. Se utiliza el número de individuos y no las proporciones, X2 toma en consideración el tamaño de la muestra.

La fórmula para X2 es como se indica a continuación:

Donde:

Oi= Número de individuos observados de la clase i.

Ei = Número esperado de la clase i (teórico)

∑−

=E

EOXi

ii2

2 )(

El siguiente paso es determinar los grados de libertad. Los grados de libertad son el número de categorías o clases variables independientes que existe. Generalmente, esto es igual a uno menos el número total de clases.

El paso final de la aplicación de la prueba Chi cuadrada es buscar el valor X2 calculado y grados de libertad en una tabla X2 y determinar el valor de la probabilidad. Este valor es la probabilidad de que el azar por sí mismo pudiera ser responsable de una desviación tan grande o mayor que la observada, si la hipótesis es correcta. Si la probabilidad es alta se considera que los datos están de acuerdo con el modelo, lo cual no prueba que el modelo sea correcto, sino que simplemente no se puede demostrar que sea incorrecto. Si la probabilidad es baja, la desviación no es debida al azar y se considera que los datos no respaldan al modelo.

Seguidamente se tiene que decidir que tan baja probabilidad es posible aceptar antes de rechazar el modelo propuesto. Generalmente, el nivel de confiabilidad escogido es del 5%. Si la probabilidad es menor de 0.05, la diferencia es “significativa”. Las probabilidades en estos intervalos generalmente causan el rechazo de un modelo, sin embargo, el rechazo de la hipótesis al nivel del 5% significa que se rechazan hipótesis correctas 5% de las veces.

Bondad de Ajuste


Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango1 Gamma 0.41879 3 2307.3 3 7844.3 32 Gen. Pareto 0.09165 2 75.354 2 413.17 13 Lognormal 0.05063 1 42.942 1 463.29 2

Chi-cuadradoPosición Distribución

KolmogorovSmirnov

AndersonDarling

Metodología propuesta1. El modelo de pérdidas agregadas se obtuvo de la

siguiente manera (cont.):

d) Se simularon 250,000 escenarios de siniestralidad agregada anual a partir de la simulación del mismo número de beta-binomiales (Ni | pi ~ Beta) y posteriormente se simularon (Ni) paretosgeneralizadas.

e) En total se simularon 982.1 millones de siniestros (250,000 * E(Ni)).

f) Se analizaron diversas distribuciones de monto de siniestros a partir de las pruebas de bondad de ajuste (Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling y Chi cuadrada de Pearson) se determinó que la distribución que mejor ajustaba fue la ParetoGeneralizada

g) Por lo anterior se consideró que el monto de siniestros se distribuye Pareto Generalizada. Con los siguientes parámetros:

k = 0.48275; σ = 44,577 y µ = 0

A continuación se presenta la gráfica de la distribución de pérdidas agregadas bruta

La media de la función de severidad es de $86,182.

( ) 111 1 kx

kµ

σ σ− − −

+

( )1 expx µ

σ σ −

−

( )f x ={ K ≠ 0

K =0

Metodología propuesta

2. Obtención de la distribución de pérdidas agregadas considerando diversos límites de retención.

a) A partir de los 982.1 millones de siniestros simulados se consideró el efecto que tendría en la retención el incluir un límite máximo de retención. Esto se logró limitando el monto del siniestro a un nivel LR, es decir:

b) Con dichos siniestros de recalcularon las 250,000 pérdidas anuales y se obtuvo una nueva distribución de pérdidas agregadas.

con r = 1,2,…, 250,000

c) Lo anterior se realizó para diversos límites de retención (j).

min( , )LRji

jiX LRX=

XXXZ LRLRLRLR jjjjNrr +++= ...21

AA continuación se presentan las gráficas de las distribuciones de pérdidas considerando diferentes límites de retención:

HistogramaBajo diferentes límites de retención


Escenarios de Pérdidas AgregadasNivel Retenido


Modelo de Pérdidas AgregadasEscenarios de Límites de Retención y Pérdidas AgregadasAl 31 de diciembre 2012

Media de la pérdida agregada (PoC) 338,637,942.00 # expuestos (promedio anual) 33,343.46

Pérdida promedio x expuesto anual 10,156.05

Primas 463,706,308.75 125,068,366.75

Capital Social 100,000,000.00

De Riesgos en Curso (Parte de riesgo) 208,667,838.94 Margen de Solvencia 5,000,000.00 Disponible 213,667,838.94

Tomando en cuenta el número de expuestos podemos decir que la pérdida por expuesta se determina de la siguiente forma:

% de Retención 60%Nivel de Confianza

Límites 95.00% 99.00% 99.50% 99.95%500,000 199,823,007 210,625,594 214,830,368 226,144,701

1,000,000 215,488,622 227,334,723 231,808,670 244,382,908 1,500,000 221,242,604 233,512,277 238,158,329 251,038,041 2,000,000 224,256,298 236,721,450 241,370,573 254,485,770 2,500,000 226,115,669 238,752,891 243,482,707 256,927,960 3,000,000 227,374,451 240,142,484 245,007,442 258,307,214 3,500,000 228,285,243 241,191,240 246,035,474 259,733,874 4,000,000 228,999,527 241,972,803 246,868,678 260,633,822 4,500,000 229,558,499 242,611,277 247,544,782 261,416,384 5,000,000 230,023,011 243,149,614 248,052,935 261,978,616 6,000,000 230,733,832 243,980,069 248,953,899 262,975,870 7,000,000 231,256,784 244,622,273 249,615,347 263,536,855 8,000,000 231,656,489 245,098,982 250,118,603 263,939,864 9,000,000 231,970,580 245,508,080 250,550,221 264,239,525

10,000,000 232,254,011 245,804,067 250,902,194 264,766,489 15,000,000 233,120,468 247,020,934 252,186,823 266,323,977 20,000,000 233,635,153 247,825,591 253,005,970 267,447,508 50,000,000 235,001,085 250,199,311 255,823,909 273,374,773 60,000,000 235,232,168 250,799,262 256,672,451 275,082,725

Sin Límite 235,504,621 252,943,368 261,043,491 330,636,832

Escenarios de Pérdidas AgregadasNivel Bruto


BrutoNivel de Confianza

Límites 95.00% 99.00% 99.50% 99.95%500,000 333,038,345 351,042,656 358,050,613 376,907,835

1,000,000 359,147,704 378,891,205 386,347,783 407,304,846 1,500,000 368,737,674 389,187,128 396,930,548 418,396,735 2,000,000 373,760,497 394,535,750 402,284,289 424,142,950 2,500,000 376,859,448 397,921,485 405,804,512 428,213,266 3,000,000 378,957,419 400,237,473 408,345,736 430,512,023 3,500,000 380,475,405 401,985,400 410,059,123 432,889,790 4,000,000 381,665,879 403,288,005 411,447,796 434,389,703 4,500,000 382,597,499 404,352,129 412,574,636 435,693,973 5,000,000 383,371,685 405,249,357 413,421,558 436,631,026 6,000,000 384,556,386 406,633,449 414,923,165 438,293,117 7,000,000 385,427,973 407,703,788 416,025,579 439,228,091 8,000,000 386,094,148 408,498,303 416,864,338 439,899,773 9,000,000 386,617,633 409,180,134 417,583,701 440,399,209

10,000,000 387,090,018 409,673,445 418,170,324 441,277,482 15,000,000 388,534,114 411,701,557 420,311,372 443,873,295 20,000,000 389,391,922 413,042,651 421,676,616 445,745,847 50,000,000 391,668,475 416,998,851 426,373,182 455,624,622 60,000,000 392,053,613 417,998,770 427,787,419 458,471,208

Sin Límite 392,507,702 421,572,280 435,072,485 551,061,387

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