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BLUEFIELDS, INDIAN & CARIBBEAN UNIVERSITY (BICU CIUM) INVESTIGACIN DE OPERACIONES

Compilado por: Jorge Pineda Taylor

TEMA: MODELOS DE INVENTARIOS

I. Introduccin Los inventarios son aquellos artculos a la mano que un cliente usar o comprar. Usted est familiarizado con los inventarios de, digamos, una tienda de electrnica. Los DVDs, televisores, equipos de sonido, etc., son los artculos en inventario. El cliente es el cliente. Sin embargo, la idea de artculos y clientes puede ampliarse en gran medida a muchos tipos distintos de negocios. En un ambiente de fabricacin, los inventarios son las materias primas usadas para producir bienes terminados. La madera, clavos, barniz y otros materiales necesarios para construir un librero son los artculos de inventario. El medio de produccin es el cliente. Considere la unidad quirrgica de un hospital. Un aspecto de la administracin de esta unidad es asegurar que haya suficientes suministros quirrgicos a la mano de manera que nunca hagan falta durante las operaciones. Aqu, los suministros quirrgicos son los artculos. Los pacientes son los clientes. Se puede ver que los conceptos de artculos en inventario y clientes pueden tener muchos significados diferentes. Las tcnicas de esta unidad se aplican igualmente bien a todos ellos, sin importar los artculos o clientes de que se trate.

Ventajas de tener grandes inventarios

1. Para evitar escasez. Cuando se conoce la demanda futura de un artculo y se puede confiar en las entregas puntuales de un proveedor, siempre puede colocar pedidos de tal forma que se satisfaga toda la demanda sin necesidad de un inventario. Sin embargo, la incertidumbre en la demanda o los tiempos de entrega puede ocasionar escasez si no se mantiene un inventario suficiente. Por ejemplo, sin un inventario suficiente, una ferretera podra perder una venta a causa de la falta de pintura debido a una demanda superior a la esperada. Un paciente de hospital podra perder mucho ms si al hospital se terminan los suministros quirrgicos cuando ocurre un retraso en un envo. La posibilidad de una escasez cuando la demanda o el tiempo de entrega es incierto es un argumento a favor de mantener grandes inventarios.

2. Para aprovechar las economas de escala. Al solicitar grandes cantidades, un negocio puede obtener sus suministros a un costo inferior. Asimismo, el negocio colocara menos pedidos, lo que ahorrara esfuerzos y costos administrativos.

3. Mantener un flujo de trabajo continuo en un medio de produccin de mltiples etapas.

Cada una de estas razones argumenta a favor de tener grandes inventarios a la mano. Pero los artculos ociosos de inventario inmovilizan fondos que de otra manera podran usarse o invertirse para tener ganancias. Ms an, algunos artculos son perecederos, es decir, tienen una vida de estante limitada. Se puede ver que hay algunas razones para tener grandes inventarios y otras razones para tener pequeos inventarios. La administracin de inventarios es una tcnica que ayuda a los gerentes a evaluar estas transacciones para obtener la respuesta a las siguientes preguntas: Cundo deberan reabastecerse los actuales inventarios? Cunto debera ordenarse? II. Caractersticas de los Modelos de Inventarios Demanda Independiente contra Dependiente

Al considerar la administracin del inventario de varios artculos diferentes, primero debe determinar si los elementos estn relacionados entre s. Por ejemplo, las demandas de la mayor parte de los artculos individuales de una tienda de abarrotes son independientes entre s. La demanda de leche esta semana no



afecta la demanda de fruta. En contraste, considere un inventario de unidades de discos flexibles, discos duros y otros componentes para ensamblar microcomputadoras. Aqu, la demanda es dependiente porque la demanda del producto final, es decir, las computadoras ensambladas, determina la demanda de los componentes individuales. Demanda Determinstica contra Probabilstica

La siguiente caracterstica de un sistema de inventarios pertenece al tipo de demanda (independiente) del artculo. Existen dos categoras bsicas: la demanda determinstica y la demanda probabilstica. Demanda Determinstica: la demanda del artculo por perodo se conoce con certeza. Por ejemplo, en un proceso de fabricacin automatizado, podra saber que una mquina inserta precisamente 20 chips por minuto en un tablero de circuitos integrados. Aqu, los chips son los artculos en inventario; la mquina es el cliente, y la demanda determinstica es 20 chips por minuto. Demanda Probabilstica: la demanda del artculo por perodo est sujeta a una cantidad de incertidumbre y variabilidad. Por ejemplo, en un hospital, no se sabe cuntos y qu tipos de pacientes tendr la semana entrante, lo que ocasiona una demanda incierta de los suministros mdicos. Dficits

Determinar cmo mantener los niveles de inventario es una cuestin crtica si se permiten los dficits, alguna vez llamados faltantes. Esto es, es aceptable que se acabe un artculo? En una tienda detallista, el que se acabe un artculo puede no ser deseable, pero la gerencia puede permitir que suceda porque las consecuencias no son crticas. En contraste, un hospital nunca debe carecer de suministros operativos. Cuando se permiten los dficits, otra cuestin es cmo se manejan. Por ejemplo, si un artculo no est actualmente disponible en una tienda detallista, el cliente puede ir a otro lado, lo que resulta en una venta perdida. En contraste, si las materias primas no estn disponibles en una fbrica, la demanda de la materia prima contina y se satisface cuando llega el siguiente embarque. En este caso, la demanda no se pierde, sino que se satisface en perodos posteriores. Este dficit se dice que se maneja como un pedido no surtido. Tiempos Lderes

Cuando se coloca un pedido para reabastecer los inventarios, existe un retraso, llamado tiempo lder, en la recepcin de esos bienes enviados por el proveedor. Al igual que las demandas, los tiempos lderes son determinsticos si sabe precisamente cunto toma recibir los bienes, o probabilsticos si el tiempo de entrega es incierto. Los gerentes deben considerar los tiempos lderes al decidir cundo ordenar los inventarios porque la demanda de los clientes por los artculos contina durante este tiempo lder. Es decir, debe haber suficiente inventario a la mano para satisfacer la demanda durante este perodo. Descuentos Cuantitativos Cuando los inventarios son reabastecidos por proveedores externos, la cantidad pagada por artculo puede depender del tamao de ese pedido. En otras palabras, puede haber descuentos por cantidad: mientras ms artculos se ordenen, menos costar cada artculo. Esto afecta la poltica de pedidos. Puede ser beneficioso ordenar grandes cantidades con menos frecuencia si el ahorro en la compra compensa los costos adicionales de manejar un inventario mayor. Poltica de Pedidos

Existen dos estrategias bsicas, denominadas polticas de pedidos, usadas en la determinacin de cundo y cunto ordenar. Pedido de artculos en intervalos de tiempo fijos. La cantidad a ordenar est determinada por el nivel de inventario en el momento en que se coloca el pedido. La cantidad pedida cada vez vara. Por ejemplo,



considere el reabastecimiento de leche en una tienda de abarrotes. Cada Martes el gerente de lcteos pide la leche y la cantidad depende de cuntos litros hay en estante cuando coloca el pedido. Esta poltica tambin se denomina Revisin Peridica pues requiere revisar el nivel de inventario en puntos fijos de tiempo para determinar cunto ordenar. Pedido de un nmero fijo de artculos cuando el inventario a la mano llega a un cierto nivel previamente especificado, llamado punto de nuevos pedidos. En este caso, la cantidad pedida siempre es la misma, pero el tiempo entre los pedidos puede variar. Por ejemplo, un gerente de bar puede reordenar cerveza cuando el suministro actual cae por debajo de tres cajas. Este nivel puede alcanzarse en cuatro semanas cuando el negocio va lento o en una semana cuando el negocio est activo. Esta poltica tambin se denomina Revisin Continua, pues requiere una comprobacin continua del inventario para determinar cundo se alcanza el punto de nuevos pedidos. III. Componentes de Costo de un Sistema de Inventarios La identificacin de las caractersticas individuales del sistema de inventarios es el primer paso en la determinacin de la poltica de inventarios ptima. Idealmente, se desea una poltica de inventarios que incurra en el mnimo costo esperado total por perodo. El Costo de Pedidos u Organizacin (K)

El costo asociado con el reabastecimiento de un inventario es un costo de pedidos o costo de organizacin, denotado por K. ste es un costo fijo, independiente del nmero de unidades pedidas o producidas. Se incurre en este costo cada vez que se coloca un pedido o que se echa a andar una mquina para una corrida de produccin. El Costo de Compra (C)

Cada unidad pedida incurre en un costo de compra, denotada C, que es un costo directo por unidad. El Costo de Conservacin (H)

Este es un costo por perodo por artculo en inventario. Un costo de conservacin puede incluir lo siguiente: 1. Los costos de almacenamiento compuestos por los gastos generales del almacn, seguro,

requerimientos de manejo especial, robo, objetos rotos, etc. Cuando se usa un almacn para muchos productos diferentes es difcil determinar qu cantidad de los costos de almacenamiento total pertenece a cada producto individual. Una prctica de contabilidad comn, por lo tanto, es estimar el costo de almacenamiento de un artculo individual como una fraccin de su costo unitario.

2. El costo de oportunidad del dinero comprometido en inventario que de otra manera podra haberse usado o invertido.

Los costos totales de almacenamiento y oportunidad que componen los costos de conservacin se calculan como una fraccin i del costo unitario C. La fraccin i se denomina la tasa de transferencia y es la suma de las fracciones usadas en el clculo de los costos de almacenamiento y oportunidad. En general, el costo de conservacin total por perodo por cada unidad del artculo en inventario es: H = (tasa de transferencia) * (costo de la unidad) = i * C El costo de Dficit (B)

El costo de dficit es el costo de no satisfacer la demanda. Es decir, es el costo de que se acabe un artculo. Los costos de dficit a menudo consisten en dos componentes:

1. Un costo explcito asociado con cada unidad de dficit. La compaa que no puede satisfacer el pedido puede ofrecerle a su cliente un descuento sobre la cantidad no surtida. De manera alternativa, la



compaa puede obtener la cantidad requerida para satisfacer el pedido de un proveedor externo. Claro est que la ganancia potencial tambin es un costo explcito si el cliente va a otra parte.

2. Un costo implcito asociado con la no satisfaccin del cliente. Por ejemplo, el hecho de que un cliente no pueda obtener su producto a tiempo puede ocasionar la prdida de clientela, lo que afectara, por consiguiente, pedidos posteriores.

IV. El Modelo de Inventarios de Cantidad de Pedidos Econmicos (EOQ) Es un modelo matemtico usado como base para la administracin de inventarios en el que la demanda y el tiempo lder son determinsticos, no se permiten los dficits y el inventario se reemplaza por lotes al mismo tiempo. Caractersticas que se deben cumplir:

El inventario pertenece a uno y slo un artculo. El inventario se abastece por lotes en vez de reemplazarse continuamente. La demanda es determinstica y ocurre a una tasa constante conocida de D unidades por perodo. El tiempo gua L es determinstico y se conoce. Los dficits no estn permitidos. Es decir, siempre debe haber suficiente inventario a la mano para

satisfacer la demanda. Los pedidos ocurren en una cantidad fija Q* cuando el inventario llega a un cierto punto de nuevos

pedidos R. La implantacin de esta poltica de reordenamiento requiere, por tanto, la comprobacin regular del inventario para determinar cundo se alcanza el nivel R.

V. El Modelo de Inventarios de Cantidad de Pedidos Econmicos (EOQ) con Descuentos Cuantitativos

Clculo de la cantidad ptima de pedidos

Paso 1: Por cada costo unitario C, determine la cantidad de pedidos ptima en el intervalo asociado.

Paso 2: Por cada costo unitario C, calcule el costo anual total basndose en la cantidad de pedidos ptima determinada en el paso 1.

Paso 3: Seleccione el costo unitario y la cantidad de pedidos asociada que resulten en el mnimo costo total anual, segn se calcul en el paso 2.

Para determinar las cantidades de pedidos ptimos por cada costo unitario C primero debe tratar de usar la frmula EOQ. Sin embargo, la frmula EOQ no garantiza que las cantidades de pedidos resultantes estn dentro de los intervalos sobre los cuales son vlidos los precios unitarios.

Es posible calcular la cantidad de pedidos ptima por cada costo unitario de acuerdo con las siguientes reglas generales:

Si la cantidad de pedidos Q determinada por el modelo EOQ est por arriba del lmite superior del intervalo asociado con el costo unitario, entonces el lmite superior del intervalo es la mejor cantidad de pedidos para este costo unitario.

Si la cantidad de pedidos Q determinada por el modelo EOQ est dentro del intervalo asociado con el costo unitario, entonces Q es la mejor cantidad de pedidos para este costo unitario.

Si la cantidad de pedidos Q determinada por el modelo EOQ est por debajo del lmite inferior del intervalo asociado con el costo unitario, entonces el lmite inferior del intervalo es la mejor cantidad de pedidos para este costo unitario.



Ejemplo del Modelo EOQ

El hospital suburbano da servicio a una pequea comunidad. Un suministro usado con frecuencia es la pelcula de rayos X, que se pide a un proveedor fuera de la ciudad. Como gerente de suministros debe determinar cmo y cundo hacer pedidos para asegurar que al hospital nunca se le termine este artculo crtico y al mismo tiempo mantener el costo total tan bajo como sea posible. Se dispone de la siguiente informacin: Slo se considera un artculo la pelcula de rayos X. Esta pelcula se reemplaza en lotes pedidos a un proveedor fuera de la ciudad. Los registros anteriores indican que la demanda ha sido relativamente constante a 1500 pelculas por mes y por tanto puede considerarse determinstica. El proveedor se ha comprometido a satisfacer pedidos en 1 semana; (es decir el tiempo gua es L=1 semana). Los dficits no estn permitidos, segn especificaciones de la administracin del hospital. El departamento de contabilidad del hospital ha proporcionado los siguientes valores: Un costo de pedidos fijo de $100 para cubrir los costos de colocar cada pedido, pagar los cargos de entrega, etc. Un costo de compra de $20 por pelcula sin descuento de cantidad. Una tasa de transferencia de 30% por ao (es decir i=0.30) para reflejar el costo de almacenar la pelcula en un rea especial, as como es costo de oportunidad del dinero invertido en el inventario ocioso. Solucin:

1. Clculo de la cantidad ptima de pedidos Q* = (2DK/iC)0.5

Q* = (2*18000*100/0.30*20)0.5 Q* = 775 pelculas

2. Clculo del costo anual total

Costo anual total = costo de pedidos anual + costo de compra anual + costo de conservacin anual Costo anual total = (K*(D/Q*)) + (C*D) + (1/2Q* *i*C) = (100*(18000/775)) + (20*18000) + (0.5*775*0.30*20) = $ 364,647.58

3. Nmero promedio de pedidos por ao = demanda por perodo / cantidad de pedidos = D/Q* = 18000 / 775 = 23.23

4. Tiempo entre pedidos = cantidad de pedidos / demanda por perodo = Q* / D = 775 / 18000 = 0.043 ao = 15.72 das

5. Punto de nuevos pedidos (R) = demanda durante el tiempo gua = D * L

= 18000 * 1/52 = 346.15 pelculas



Ejemplo del Modelo EOQ con descuentos cuantitativos Para el ejemplo del hospital suburbano; suponga que los costos de las pelculas son:

Nmero pedido Costo por unidad ($) 1 499 20

500 999 18 1000 y ms 16

Solucin:

1. Clculo de la cantidad ptima de pedidos

Costo de compra, C Q* = (2DK/iC)0.5

20 775 18 816 16 866

2. Clculo del costo anual total por cada precio unitario

Costo anual total = (K*(D/Q*)) + (C*D) + (1/2Q* *i*C)

Nmero pedido Costo por unidad (C) Mejor Q Costo total ($)

0 499 20 499 365,104.21 500 999 18 816 328,409.08

1000 y ms 16 1000 292,200

3. Nmero promedio de pedidos = D/Q* = 18000/1000 = 18

4. Punto de nuevos pedidos (R) = D*L = 18000*(1/52) = 346.15 pelculas



VI. El Modelo de Inventarios de Cantidad de Pedidos de Produccin (POQ) El anlisis matemtico para un sistema de inventarios en el que un pedido se surte todo en un punto fijo en el tiempo se present en la seccin anterior (Modelo EOQ). Sin embargo, en muchos ambientes de produccin, como cuando un fabricante de carros mantiene en existencia partes para satisfacer la demanda de las plantas de ensamblado, el inventario se reabastece continuamente en el tiempo, segn proceda la produccin. Para tales problemas de inventario, un gerente necesita determinar lo siguiente:

1. Cundo emitir un pedido de produccin. 2. Cuntas unidades del artculo producir.

Para estos casos el anlisis matemtico se efecta para un modelo de cantidad de pedidos de produccin (POQ), en el que se supone se cumplen las siguientes caractersticas:

El inventario pertenece a uno y slo un artculo. La demanda del artculo es determinstica y ocurre a una tasa de D unidades por perodo. Por

ejemplo, D = 6000 partes por ao. El tiempo gua L es determinstico y conocido. Por ejemplo, L = 2 semanas, significa que un pedido de

produccin, una vez colocado, requiere dos semanas de tiempo de organizacin, mecanizacin, etc., antes de que la produccin pueda comenzar para reabastecer el inventario.

El pedido se produce a una tasa de produccin conocida de P unidades por perodo. Por ejemplo, P = 10000 partes por ao.

El costo de producir cada unidad es fijo y no depende de nmero de unidades de la corrida de produccin.

Los dficits no estn permitidos, es decir, siempre debe haber suficiente inventario a la mano para satisfacer la demanda. Esta meta puede alcanzarse porque la demanda es determinstica.

Cuando el inventario alcanza un nivel R, se emite un pedido de produccin de Q* unidades. Los valores apropiados tanto para Q* como para R se eligen para obtener un costo total global mnimo, basndose en los siguientes componentes:

a. Un costo de organizacin de produccin fijo de $K por pedido. b. Un costo de conservacin H por unidad por perodo en la forma de i*C, donde C es el valor de una

unidad, e i es la tasa de transferencia por perodo. Observe que C puede incluir el costo de produccin, el valor de los materiales usados, los gastos generales, etc.

c. Los costos de dficit son irrelevantes porque los dficits no estn permitidos. Ejemplo: Home Appliances es un fabricante de refrigeradoras, estufas y otros grandes aparatos suministrados a tiendas minoristas a lo largo del pas. Debido a los altos costos de producir refrigeradoras, usted, gerente de produccin, desea determinar cuntos y cundo producirlos para satisfacer un demanda anticipada de 6000 al ao. Claro est que desea incurrir en el mnimo costo total al hacerlo. Para realizar el anlisis, primero debe identificar la caracterstica y datos del sistema. En este caso: 1. Slo se est considerando un artculo, las refrigeradoras. 2. La demanda es relativamente constante a una tasa de D=6000 refrigeradoras al ao. 3. Para iniciar una corrida de produccin se necesita un tiempo de organizacin de 1 semana, esto es, el

tiempo gua L = 1 semana. 4. Durante la corrida, las refrigeradoras se producen a una tasa de P = 800 al mes. 5. El costo de produccin por refrigeradora no depende del nmero producido. En este caso el costo de

produccin no afecta la poltica de inventarios. En promedio, se producen 6000 refrigeradoras para satisfacer la demanda de cada ao. El costo de produccin anual es el mismo (6000 * costo de produccin de cada refrigeradora), sin importar la poltica de inventarios. Como resultado no se necesita conocer el costo de produccin por unidad porque esta informacin no afectar la poltica de inventarios.

6. Los dficits no estn permitidos.



Habiendo identificado estas caractersticas y datos, se puede determinar el punto de nuevos pedidos, R, en el cual emitir un pedido de produccin, y la cantidad de produccin ptima, Q*. Para hacerlo, primero se debe obtener estimaciones de los componentes de costo relevantes. Suponga que el departamento de contabilidad de Home Appliances le ha proporcionado los siguientes valores:

1. Un costo de organizacin fijo de $1000 por corrida para cubrir el costo de preparacin del equipo, los calendarios de los trabajadores, etc.

2. Un valor de C = $250 por refrigeradora. 3. Una tasa de transferencia de i = 0.24 al ao para reflejar el costo de almacenaje y el costo de

oportunidad del dinero invertido en el inventario ocioso. Clculo de la cantidad ptima de pedidos Como se puede observar los valores de los datos usan diferentes unidades de tiempo. El primero paso es expresar todas estas cantidades en una unidad comn de tiempo. Suponga que se elige un mes como el perodo comn.

1. Tasa de produccin de P = 800 refrigeradoras al mes. 2. Demanda anual de D = 6000/ao = 500 refrigeradoras por mes. 3. Tiempo gua de L = 1 semana = 1/52 ao = 12 / 52 mes. 4. Costo de organizacin de K = $1000 por corrida de produccin. 5. Valor de cada refrigeradora C = $250. 6. Tasa de transferencia de i = 0.24 anual = 0.24/12 al mes = 0.02. 7. Costo de conservacin mensual de H = i*C = 0.02 * 250 = $5 por refrigeradora al mes.

Antes de conducir el anlisis observe que, debido a que no se permiten los dficits, la tasa de produccin P debe ser al menos la tasa de demanda D, como es el caso en este ejemplo, de otra manera no ser posible satisfacer la demanda, incluso si toda la planta se usa exclusivamente para producir refrigeradoras durante todo el ao. Para comprender como se relacionan la cantidad de pedidos Q y el punto de nuevos pedidos R y cmo afectan el nivel de inventario con el tiempo, suponga que no hay inventario y que acaba de iniciar una corrida de produccin de Q = 400 refrigeradoras. El nivel de inventario en un punto en el tiempo se basa en las siguientes observaciones:

1. Las 400 refrigeradoras son producidas a una tasa de P = 800 al mes. Esta corrida entonces requiere Q/P = 400 / 800 = 1/2 mes para cubrir.

2. Durante este mes las refrigeradoras se venden a una tasa de 500 al mes. Por tanto el inventario se construye a una tasa neta de P D = 800 500 = 300 al mes. Durante el perodo de produccin de mes, el nivel de inventario se incrementa de su valor de inicio de 0 a un valor final de (P D)* (Q/P) = 300 * = 150.

3. Despus de terminada la corrida de produccin, el inventario de 150 refrigeradoras se vende a la tasa de D = 500 al mes. Por consiguiente este inventario se acaba en 150/500 = 0.3 mes.

Para asegurar que no hay dficits y tambin evitar niveles de inventarios innecesariamente altos, el siguiente pedido deber emitirse de tal forma que la produccin se inicie en el tiempo 0.8 mes. El tiempo transcurrido de 0.8 mes, durante el cual el inventario inicia en 0, llega a su valor mximo de 150 y disminuye nuevamente a 0, se denomina el tiempo de ciclo, y se denota mediante T. En general, el tiempo de ciclo es la cantidad de tiempo necesaria para agotar Q refrigeradoras. Esto es, Tiempo de ciclo, T = Q/D = 400 / 500 = 0.8 mes Recuerde que el tiempo gua es L = 12/52 = 0.231 mes, as que el siguiente pedido de produccin debe colocarse en el tiempo T L = 0.8 0.231 = 0.569 mes. Cuando el nivel de inventario llega a 0 en el tiempo 0.8, todo el ciclo de inventario comienza nuevamente.



Para evaluar la poltica de producir Q = 400 refrigeradoras cada T = 0.8 mes se puede calcular el costo mensual asociado de la siguiente manera: Costo total mensual = (costo de organizacin mensual) + (costo de conservacin mensual) Recuerde que el costo de produccin es independiente de Q y por tanto no se incluye. El costo de organizacin mensual es el costo por organizacin multiplicado por el nmero de organizaciones al mes. Como la demanda mensual es D = 500 refrigeradoras y la cantidad de produccin es Q = 400, existe un promedio de D/Q = 500/400 = 1.25 organizaciones al mes. En consecuencia: Costo de organizacin mensual = (costo de organizacin) * (nmero de organizaciones) = K * (D/Q) = 100 * (500/400) = 1250 El costo de conservacin depende del nmero de unidades en inventario que vara con el tiempo de 0 a 150 y de vuelta a 0. Por consiguiente, en promedio, existen 150/2 = 75 refrigeradoras en inventario a largo del mes. El costo de conservacin mensual es el nmero promedio de unidades en inventario multiplicado por el costo de conservacin de cada unidad al mes. La tasa de transferencia es 0.02, as que el costo de conservacin mensual es: Costo de conservacin mensual = (inventario promedio) * (costo de conservacin mensual por unidad) = 75 * H = 75 * i * C = 75 * 0-02 * 250 = 375 Combinando los dos componentes se obtiene el siguiente costo mensual total al producir en cantidades de tamao Q = 400 cada T = 0.8 mes. Del primer anlisis econmico, recuerde que en trminos de Q, P, D, K, i y C:

1. Nmero de organizaciones al mes = D/Q 2. Costo de organizacin mensual = K * (D/Q) 3. Duracin de la produccin = Q/P 4. Durante la produccin, el inventario se incrementa a la tasa neta de (P D) refrigeradoras al mes. 5. De los pasos 3 y 4, el nivel de inventario mximo es (P D) * (Q/P) 6. Del paso 5.

Inventario promedio = * inventario mximo = (1/2) * (P D) * (Q/P)

7. Del paso 6,

Costo de inventario mensual = (inventario promedio) * H = (1/2) * (P D) * (Q/P) * H = (1/2) * (P D) * (Q/P) * i * C

Usando los pasos 2 y 7, el costo mensual total se calcula de la siguiente manera: Costo mensual total = (costo de organizacin mensual) + (costo de conservacin mensual) = (K * D/Q) + (1/2) * (P D) * (Q/P) * i * C El objetivo es encontrar la Cantidad de Pedidos de Produccin, Q*, que logra el costo total mnimo. Los investigadores han usado el clculo para determinar que esta cantidad de pedidos de produccin es: Q* = [(2*D*K)/(H*((P D)/P)]0.5 = [(2*D*K)/(i*C*((P D)/P))]0.5



Para el problema de Home Appliances, P = 800, D = 500, K = 1000, i = 0.02 y C = 250, as que la cantidad de pedidos ptima es: Q* = [(2*500*1000)/(0.02*250*((800-500)/800))]0.5

= 730.3 Nmero promedio de pedidos por perodo = (demanda por perodo) / (cantidad de pedidos) = (D/Q*) = (500/730) = 0.685 Determinacin del punto de nuevos pedidos (R) R = D * L, si T L t (P D) * (T- L), si T L < t

Donde T es el tiempo de ciclo; T = Q*/D y t es el tiempo en que se termina la produccin previa; t = Q*/P Para el ejemplo: T = 730/500 = 1.46 mes t = 730/800 = 0.9125 mes L = 0.231 mes T L = 1.46 0.231 = 1.229 mes Como T L > t; R = D * L = 500 * 0.231 = 115.5 refrigeradoras.



VII. SISTEMAS DE INVENTARIOS CON DEMANDA PROBABILSTICA: EL MODELO DE REVISIN CONTINUA Anteriormente, se estudi que la poltica de inventarios ptima se determina para un modelo EOQ en el que se supone que la demanda es determinstica. En algunas aplicaciones, esta puede ser una suposicin vlida, pero en muchas situaciones, la demanda slo se conoce con una gran cantidad de incertidumbre. Las tcnicas probabilsticas se requieren para analizar y determinar la poltica de inventarios ptima para tales problemas. Un anlisis apropiado depende entonces de cul de las siguientes dos polticas de pedidos usar:

1. Un modelo de revisin continua, en el que los niveles de inventario son comprobados continuamente y cuando se alcanza el punto de nuevos pedidos, se ordenan Q* unidades.

2. Un modelo de revisin peridica, en el que el inventario se revisa peridicamente, digamos, cada T perodos, y el tamao del pedido se determina mediante el nivel de inventario en ese momento.

Clculo de la cantidad de pedidos (Q*) y del punto de nuevos pedidos (R) Para poder analizar un problema que involucra una demanda probabilstica, idealmente debe conocer la distribucin de probabilidad asociada: para cualquier valor de la demanda, debe conocer la probabilidad de que ocurra esa demanda. Incluso si se puede obtener tal distribucin de probabilidad, lo que en la prctica pude ser bastante difcil, la derivacin de la poltica de inventarios ptima usando esta distribucin es matemticamente compleja y, en muchos casos imposible. Un enfoque comnmente usado para vencer estas dificultades en un modelo EOQ donde la demanda es probabilstica es hacer lo siguiente:

1. Obtener una estimacin de la demanda promedio D por perodo. 2. Calcular la cantidad de pedidos Q* y el punto de nuevos pedidos R usando la frmula EOQ ya

estudiada, reemplazando la demanda determinstica D mediante la demanda promedio D. Este enfoque, aunque no es ptimo, es fcil de implantar y ha trabajado bien en la prctica. Ejemplo: Tomando los datos del ejemplo del Hospital Suburbano, suponga que la demanda es probabilstica, pero que la demanda anual promedio Des de 18000 pelculas. Aplicando las frmulas EOQ: Q* = [(2*D*K)/(i*C)]0.5 = [(2*18000*100)/(0.3*20)]0.5 = 775 R = D*L = 18000*(1/52) = 346 En otras palabras, la poltica es pedir 775 pelculas siempre que el nivel de inventario actual caiga a 346 pelculas. En el caso de que la demanda sea probabilstica, sin embargo, esta poltica tiene serias desventajas. Por ejemplo, el punto de nuevos pedidos R anterior est basado en la suposicin de que precisamente 346 pelculas se usan durante el tiempo gua de 1 semana. Sin embargo, si se necesitaran 350 pelculas durante este tiempo, el hospital quedara desprotegido. De hecho con la demanda probabilstica, el nivel de inventario vara impredeciblemente con el tiempo. En general, esta variabilidad en la demanda da pie a dos puntos importantes:

1. El tiempo entre pedidos vara en el caso probabilstico. Esto se debe a que la cantidad de tiempo que le toma al nivel de inventario alcanzar el punto de nuevos pedidos R depende de la demanda probabilstica desconocida.

2. Si la demanda durante el tiempo gua excediera el nivel de inventario del punto de nuevos pedidos, ocurrira un dficit.

Con la poltica de nuevos pedidos cuando hay 346 pelculas en inventario, el hospital suburbano se quedar sin pelculas de rayos X aproximadamente 50% del tiempo. Claramente, esto es inaceptable. Aunque, tal vez no sea posible, o econmico, asegurar que el hospital nunca se agote, el objetivo es controlar la posibilidad de tal evento.



Clculo de la cantidad de existencias de seguridad para satisfacer un nivel de servicio Un enfoque para controlar dficits cuando la demanda es probabilstica es especificar un nivel de servicio, , en la forma de una probabilidad deseada mnima de satisfacer la demanda. Un nivel de servicio (), es una fraccin que representa la probabilidad de que el tomador de decisiones elija poder satisfacer la demanda durante el tiempo gua cuando la demanda es probabilstica. Nivel se servicio de = Probabilidad (satisfacer la demanda durante un ciclo de inventario) = Probabilidad (demanda durante el tiempo gua R) Por ejemplo, la especificacin de un nivel de servicio de = 0.95 para el hospital significa que la gerencia desea satisfacer la demanda de pelculas de rayos X en al menos el 95% de los ciclos de inventario, o, de manera equivalente, que los dficits ocurran a lo ms en 5% de los ciclos de inventario. Una forma de alcanzar la meta de un nivel de servicio especfico es teniendo existencias de seguridad (S), que es inventario adicional disponible para cubrir las fluctuaciones en la demanda durante el tiempo gua. Para determinar cuntas existencias de seguridad tener, se desea elegir S junto a R de forma tal que la probabilidad de no agotarse con un total de (R+S) unidades en inventario durante el tiempo gua sea al menos el nivel de servicio . Esto es: Probabilidad (demanda durante el tiempo gua L (R+S) Es claro que si la cantidad de existencias de seguridad S es muy grande, fcilmente podra satisfacer el nivel de servicio. Sin embargo, el tener estas existencias de seguridad eleva el nivel de inventario promedio en esa cantidad, y por tanto, se originan costos de conservacin adicionales. El objetivo, en consecuencia, es determinar la cantidad mnima de existencias de seguridad requeridas para satisfacer el nivel de servicio especificado. Hacerlo requiere conocer la distribucin de probabilidad de la demanda. Como se mencion anteriormente, la obtencin de la distribucin de probabilidad puede ser difcil y ponerla en uso puede ser matemticamente demasiado complicado. En la prctica, se ha demostrado que es confiable el uso de la Distribucin Normal para la demanda. Utilizar una distribucin normal para determinar la cantidad de existencias de seguridad requeridas durante el tiempo gua, debe estimar:

La media L, que es la demanda promedio durante el tiempo gua L, es decir, L = R La desviacin estndar, L, de la demanda durante el tiempo gua.

Regresando al ejemplo del Hospital, recuerde que se supone que la demanda promedio D es de 18000 pelculas al ao. Despus de efectuar anlisis estadsticos sobre registros previos, suponga que la gerencia estima la desviacin estndar, , de esta demanda anual en 1000 pelculas por ao. Estos datos se convierten de sus perodos dados (1 ao en este caso) a la media y desviacin estndar durante el tiempo gua (es decir, 1/52 ao). Una forma prctica de hacer esto es hacer la suposicin de que la media y la varianza durante la fraccin de un ao que corresponde al tiempo gua es igual a la misma fraccin de la media y la varianza anual. Por ejemplo, si la demanda anual tiene una media de 18000 con una desviacin estndar de 1000 (es decir, una varianza de 1000000), entonces la demanda durante de ao tiene un media de (1/4)*(18000) = 4500 y una varianza de (1/4)*(1000000) = 250000. Con esta suposicin, los valores de L y L se calculan de la siguiente manera: L = R = D* L 2L = 2 * L, esto es, L = * L Para el problema del Hospital, L = D * L = 18000 * (1/52) = 346 L = * L = 1000 * (1/52) = 138.67 Con estos valores de L y L, la cantidad de existencias de seguridad se determina usando la distribucin normal. Especficamente, las existencias de seguridad S se eligen de tal forma que; Probabilidad (demanda durante el tiempo gua R + S = .



Debe identificar el valor de (R+S) para que el rea bajo la curva normal a la izquierda de este punto sea igual a . Para hacer esto:

1. Encuentre el valor de z de tal forma que el rea bajo la distribucin normal estndar a la izquierda de z sea . Para este problema del Hospital en el que R = 346 y = 0.95, el valor de la tabla de la distribucin normal es 1.645

2. De la clase de Estadsticas, para estandarizar unidades: z = (X - L)/L en este caso X = R+S y L = R; por lo tanto, z = [(R + S) R]/ L = S / L Si resolvemos para S, tenemos: S = z * L Para el ejemplo del hospital: S = z * L = 1.645 * 138.67 = 229

El hospital debera mantener existencias de seguridad de 229 pelculas. En otras palabras, para asegurar el nivel de servicio de 0.95, el hospital debera ordenar 775 pelculas siempre que el nivel de inventario disminuya R+S = 346+229=575. A diferencia del caso determinstico, el punto en el tiempo en el que el inventario disminuye a 575 pelculas no se conoce con certeza. Por consiguiente, el inventario debe comprobarse continuamente para determinar cundo cae el nivel por debajo de 575 pelculas. Finalmente observe que las existencias de seguridad incrementan el nivel de inventario en S unidades, incrementando as el costo total anual promedio. Usando las frmulas anteriores y los datos: Costo total anual = costo de pedidos anual + costo de compra anual + costo de conservacin anual = K * D/Q + C*D + [(Q/2+S)*i*C] = 100 * (18000/775) + (20*18000) + [(775/2 + 229)*0.3*20] = $ 366,021.58 Por tanto el costo anual promedio se ha incrementado en S*H = S*i*C = $1,374 sobre el costo previo de $ 364,647.58. Al incrementarse , tambin lo hacen los siguientes valores:

1. El valor de z asociado para la distribucin normal. 2. Las existencias de seguridad S = z * L 3. El costo de conservacin S*H de las existencias de seguridad.

Conclusin: mientras ms alto sea el nivel de servicio deseado, ms alto ser el costo necesario para

satisfacer ese nivel.



VIII. Sistemas de Inventarios con demanda Probabilstica: El Modelo de Revisin Peridica En la seccin anterior se aprendi a cmo modificar las frmulas EOQ para obtener una poltica de inventarios prctica para un modelo en el que la demanda es probabilstica. La colocacin de pedidos cuando el inventario alcanza el punto de nuevos pedidos se disea para ahorrar costos pero requiere una comprobacin continua del inventario. Esta comprobacin ocasiona un costo en tiempo y en dinero. Una alternativa atractiva es usar una poltica de revisin peridica, en la que los inventarios se revisan slo en ciertos puntos fijos en el tiempo, por ejemplo, una vez al mes, y los pedidos se colocan en ese tiempo, si se requiere inventario. Existen muchas formas alternativas de implantar una revisin peridica. Ejemplo: Para el problema del Hospital Suburbano en el que se analiza las pelculas de rayos X. Los datos relevantes son los siguientes:

1. La demanda anual se distribuye normalmente con una media de D=18000 pelculas al ao y una desviacin estndar de = 1000 pelculas.

2. Tiempo gua L = 1 semana = 1/52 ao. 3. Tasa de transferencia anual de i = 0.30 por ao. 4. Costo de pedidos de K = $100 por pedido. 5. Costo de compra de C = $20 por pelcula. 6. Costo de conservacin anual de H = i*C = 0.3*20 = $6 por pelcula al ao. 7. El nivel de servicio deseado es = 0.95.

El hospital actualmente carece de fondos para mantener un personal completo, y el sistema de administracin de inventarios todava no ha sido computarizado. El director del hospital ha decidido en consecuencia, hacer todas las decisiones de inventario cada 4 semanas. Cul es la poltica de inventarios apropiada bajo estas condiciones? Determinacin de la poltica de revisin peridica El objetivo ltimo es determinar cuntas pelculas pedir despus de observar en nmero en inventario al final de un perodo de 4 semanas con el fin de satisfacer un nivel de servicio especfico. Para lograr este objetivo, primero es necesario comprender cmo cambia el nivel de inventario con el tiempo. Suponga que acaba de tomar el inventario al final de un perodo de 4 semanas y ha encontrado que hay en existencia I1 pelculas. Basndose en este nmero, coloca un pedido de q1 pelculas. Estas q1 pelculas llegarn slo despus de que el tiempo gua de L = 1 semana, durante el cual la demanda probabilstica es satisfecha a partir del inventario existente de I1 pelculas. En el tiempo L = 1 semana, el nivel de inventario se incrementa instantneamente cuando llega el pedido de q1 pelculas. Desde este punto en adelante, el inventario nuevamente decrece basndose en la demanda probabilstica. En el siguiente punto de revisin de T = 4 semanas (es decir, 3 semanas despus de que llega el primer pedido), el inventario se revisa y se coloca un nuevo pedido de q2 pelculas basndose en el nivel de inventario observado I2. Este proceso se repite cada T = 4 semanas. En general, si I pelculas estn en existencia al momento de la revisin y se piden entonces q pelculas, el total de I + q pelculas debe durar hasta que llegue el siguiente pedido. Este siguiente pedido llega despus del tiempo T + L Como un ejemplo, suponga que I = 500 pelculas estn en existencia al momento de la revisin. La demanda esperada durante las siguientes T + L = 5 semanas es 18000 * (5/52) = 1731 pelculas. Para satisfacer esta demanda, podra considerar pedir q = 1731 500 = 1231 pelculas adicionales. Sin embargo, la demanda es probabilstica, as que existen 50% de probabilidades de que la demanda real exceda el inventario disponible durante estas 5 semanas. Esto es claramente inaceptable. La cantidad pedida debe exceder las 1231 pelculas, pero en cunto? Para responder esta pregunta, recuerde que el director ha especificado un nivel de servicio de = 0.95. Por consiguiente, la cantidad q debe elegirse de tal forma que durante el 95% del tiempo se satisfaga la demanda durante el tiempo T + L de 5 semanas. Para determinar esta cantidad q, recuerde que se supone que la demanda anual se distribuye normalmente con una media D= 18000 y una desviacin estndar de = 1000. Por tanto, con las suposiciones sobre la demanda, la demanda durante el tiempo T + L = 5 semanas = 5/52 ao se distribuye normalmente con:



Media T + L = D* (T + L) = 18000 * (5/52) = 1730.77 Desviacin estndar T+ L = [(T + L)]0.5 * = (5/52)0.5 * 1000 = 310.09 La cantidad q debe elegirse de tal forma que el rea bajo la curva normal con una media de 1730.77 y una desviacin estndar de 310.09 a la izquierda de I + q debe ser igual al nivel de servicio de = 0.95. Para encontrar tal q:

1. Use la tabla normal estndar para encontrar el valor z asociado con 0.95, que es de 1.645. 2. Use el valor z en el paso 1 y la siguiente frmula para calcular q:

Z = [(I + q) - T + L] / T+ L Esto es: q = T + L + (z* T+ L) I = 1730.77 + (1.645*310.09) 500 = 1740.87 En otras palabras, si hay 500 pelculas en inventario en el momento de la revisin, entonces para satisfacer el nivel de servicio de = 0.95, debe colocar un pedido de 1741 pelculas. Hacer esto asegurar que existe un 95% de probabilidades de satisfacer la demanda durante las 5 semanas antes de que llegue el siguiente pedido. Este pedido de 1741 pelculas junto con las 500 actualmente en existencia proporciona existencias de seguridad de z* T+ L = 510 pelculas por encima de la demanda esperada de 1731. Observe que al incrementarse el perodo de revisin T, tambin lo hace T+ L y por lo tanto las existencias de seguridad. Dicho de otra forma, mientras menos frecuentemente decida revisar, ms existencias de seguridad (y costo asociado) se requieren. Usar esta poltica cada 4 semanas, no es necesario para efectuar los clculos anteriores cada vez basndose en el nivel de inventario observado. Esto se debe a que la cantidad I + q (la cantidad necesaria para satisfacer la demanda durante el tiempo T + L en el nivel de servicio especificado) siempre debe ser la misma. Es decir: I + q = T + L + (z* T+ L) = 1730.77 + (1.645 * 310.09) = 2240.87 En resumen, la poltica de revisin peridica para el director del hospital suburbano es verificar el inventario cada 4 semanas. Si la cantidad en existencia es I pelculas, entonces se coloca un pedido de (2241 I) pelculas. Clculo del costo de la poltica de revisin peridica En trminos de los datos y de la frecuencia de pedidos T = 4 semanas = 4/52 ao, los costos anuales asociados con usar esta poltica son: Costo de pedidos anual = (costo por pedido) * (nmero promedio de pedidos) = K * (1/T) = 100*(52/4) = $ 1300 Costo de conservacin anual = (inventario promedio)*(costo de conservacin por unidad) = [1/2*D*T) + S]*i*C = [(1/2*18000*4/52)*0.3*20 = $ 7,213.85 Costo de compra anual = (demanda promedio)*(costo por unidad) = D*C = 18000*20 = $ 360,000 Costo total anual = (costo de pedidos anual) + (costo de conservacin anual) + (costo de compra anual) = 1300 + 7213.85 + 360000 = $ 368,513.85

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