Modelos_pau 1 Bach Mat ACS

MODELOS PAUPARA 1.º BACHILLERATO

CCRRIITTEERRIIOOSS GGEENNEERRAALLEESS DDEE CCOORRRREECCCCIIÓÓNN

La calificación de cada ejercicio debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos y para ello se tendrá en cuenta:

• El análisis y el planteamiento del ejercicio.

• La resolución del proceso planteado y la expresión simplificada de la solución.

Si los errores de cálculo operativo son aislados, se penalizarán con un 10 % de la nota máxima del ejercicio; si son sistemáticos, puedenreducirla hasta un 50 %; y si denotan errores conceptuales, pueden penalizarse con un 100 %.

También se penalizará con un 10 % de la nota máxima del ejercicio la utilización incorrecta de los símbolos o del vocabulario, la ausencia de las unidades correspondientes en los resultados y la redacción incorrecta.

Si un ejercicio tiene varios apartados, y la resolución de alguno requiereconocer resultados de los anteriores, se concederá la puntuacióncorrespondiente, cuando se resuelva correctamente, aunque se haya utilizadola información errónea, siempre que la respuesta tenga sentido en el contextodel ejercicio propuesto.

En los ejercicios en los que sea necesario hacer una lectura inversa en la tabla de la distribución normal, se considerarán correctas tanto la interpolación como la aproximación por el valor más cercano de los valores que aparecen.

Y en el caso de que un alumno realice ejercicios de las dos opciones, solo se evaluarán los ejercicios de la primera opción indicada en la hoja del examen.

� MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS AAPPLLIICCAADDAASS AA LLAASS CCIIEENNCCIIAASS SSOOCCIIAALLEESS II ((11..°° BBAACCHHIILLLLEERRAATTOO)) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. � 173

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174 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

Números reales1

Instrucciones:

El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.

Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.

Tiempo: Una hora y treinta minutos.

Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.

Opción A

Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Resolver de forma exacta las siguientes operaciones.

a) 1,2 − 0,23�

b) 0,72�

: 0,916�


La capacidad de memoria de un ordenador se mide en megabytes (Mb). Un megabyte tiene 106 bytes de información, de forma que cada byte contiene un símbolo (dígito, letra, etc.).

Si, por término medio, una palabra está compuesta por 4 símbolos, estimar cuántas palabras puede archivar un ordenador con una memoria de 500 Mb.


a) Representar gráficamente:

b) Hallar el resultado de:

c) Racionalizar y simplificar:


Calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) log (x − 1) = 1 − log (x + 2)

b) 3x+1 = 240

c) 25x − 5x = 600

5

53

4 80 5 245 6 605 320− + −

26

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175� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B


Un centro de estudios cuenta con 600 alumnos a los que se les realiza una encuesta sobre sus hábitos de lectura, obteniendo un resultado representativo.

Si el 40,909090…% afirmó leer al menos un libro al mes y el 14,58333…% declaró leer más de dos libros en el mismo período, ¿cuántos estudiantes contestaron a la encuesta?


Se consideran los números A = 543.210.000.000 y B = 0,000000678.

Expresar en notación científica los resultados de las siguientes operaciones.

a) A · B

b)







a) log (x − 1) = log + log

b) 2x−3 = 45

c) 2x−1 + 2 x−2 + 2x−3 = 896

5 −( )x5 +( )x

4

2 3+

2 162 3 32 5 1 2504 4 4+ − .

29

A

B

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OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN

NÚMEROS REALES1Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Resolver de forma exacta las siguientes operaciones.

a) 1,2 − 0,23�

b) 0,72�

: 0,916�

Apartado a): 1 punto

1,2 − 0,23�

=

Apartado b): 1 punto

0,72�

: 0,916�

=


La capacidad de memoria de un ordenador se mide en megabytes (Mb). Un megabyte tiene 106 bytes de información, de forma que cada byte contiene un símbolo (dígito, letra, etc.).

Si, por término medio, una palabra está compuesta por 4 símbolos, estimar cuántas palabras puede archivar un ordenador con una memoria de 500 Mb.

Planteamiento correcto: 1 punto

Resolución correcta: 1 punto

1 Mb = 10 6 b → 500 Mb = 5 ⋅ 10 8 b

Si cada palabra contiene 4 símbolos: 5 ⋅ 10 8 : 4 = 1,25 ⋅ 10 8

Por tanto, un ordenador con una memoria de 500 Mb puede archivar 125 millones de palabras.






Aplicando el teorema de Pitágoras: 26 5 12 2= +

5

53

4 80 5 245 6 605 320− + −

26

7299

825900

811

1112

96121

: := =

1210

2190

8790

2930

− = =

0 1 2 3 4 5

26

26 5 122

= +

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Apartado c): 1 punto



a) log (x − 1) = 1 − log (x + 2)

b) 3x+1 = 240

c) 25x − 5x = 600


log (x − 1) = 1 − log (x + 2) → log (x − 1) = log 10 − log (x + 2) → log (x − 1) = log

x − 1 = → x2 + x − 2 = 10 → x2 + x − 12 = 0 →

La solución x = −4 no es válida, de modo que la única solución es x = 3.


3 x+1 = 240 → log 3 x+1 = log 240 → ( x + 1) log 3 = log 240 → x + 1 = → x = 3,99


25 x − 5 x = 600

Si t = 5 x → t2 − t − 600 = 0 →

Como 5 x ≠ −24, para cualquier valor de x → 5 x = 25 → x = 2

tt

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

524

loglog

2403

xx

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

34

102x +

102x +

5

5

5 55

5 55

5 55

53

23 3 46 66= ⋅ = ⋅ = =

4 80 5 245 6 605 320 16 5 35 5 66 5 8 5 39 5− + − = − + − =

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OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN

NÚMEROS REALES1Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Un centro de estudios cuenta con 600 alumnos a los que se les realiza una encuesta sobre sus hábitos de lectura, obteniendo un resultado representativo.

Si el 40,909090…% afirmó leer al menos un libro al mes y el 14,58333…% declaró leer más de dos libros en el mismo período, ¿cuántos estudiantes contestaron a la encuesta?



40,909090… = 14,58333… =

Al ser el número de alumnos un valor entero, este número debe ser divisible por 11 y por 12. Como m.c.m. (11, 12) = 132, el número buscado es múltiplo de 132.

Así, la encuesta fue contestada por 528 estudiantes.


Se consideran los números A = 543.210.000.000 y B = 0,000000678.

Expresar en notación científica los resultados de las siguientes operaciones.

a) A · B b)

Apartado a): 1,5 puntos

A ⋅ B = 5,4321 ⋅ 1010 ⋅ 6,78 ⋅ 10 −8 = 3.682,9638 = 3,6829638 ⋅ 10 3

Apartado b): 0,5 puntos

= 8,01 ⋅ 1017






Aplicando el teorema de Pitágoras: 29 5 22 2= +

4

2 3+

2 162 3 32 5 1 2504 4 4+ − .

29

AB

= ⋅⋅ −

5 4321 106 78 10

10

8

,,

A

B

13 125900

17512

. =4 05099

45011

. =

0 1 2 3 4 5

295

222

=+

29

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO






a) log (x − 1) = log + log

b) 2x−3 = 45

c) 2x−1 + 2 x−2 + 2x−3 = 896


log ( x − 1) = log + log → log ( x − 1) = log

x − 1 = → x2− 2x + 1 = 25 − x2 → 2x2 − 2x − 24 = 0 →

La solución x = −3 no es válida, de modo que la única solución es x = 4.


2 x−3 = 45 → log 2 x−3 = log 45 → (x − 3) log 2 = log 45 → x − 3 = → x = 8,49


2 x−1 + 2 x−2 + 2 x−3 = 896

Si t = 2 x → t ⋅ + t ⋅ + t ⋅ = 896 → 4t + 2t + t = 7.168 → 7t = 7.168 → t = 1.024

2 x = 1.024 → 2 x = 210 → x = 10

18

14

12

loglog

452

xx

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

43

25 2− x

25 2−( )x5 −( )x5 +( )x

5 −( )x5 +( )x

4

2 3

4 2 3

2 3 2 3

4 2 4 32 3

4 2 4 3+

=−( )

+( ) −( )= −

−= − +

2 162 3 32 5 1 250 6 2 6 2 25 2 13 24 4 4 4 4 4 4+ − = + − = −.

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Aritmética mercantil2

Instrucciones:





Opción A


Inés ha ganado un premio de 3.600 euros en un certamen musical, pero como solo tiene 7 años sus padres han decidido ingresarlo en un banco hasta que sea mayor de edad. Si la capitalización es mensual al 5 % anual, ¿cuánto dinero recibirá Inés al cumplir 18 años?


¿Qué anualidad hay que abonar al principio de cada año durante 12 años para obtener un capital de 36.000 euros al 7 % anual?


En un concesionario de automóviles usados nos venden un coche por 3.000 euros. Una entidad financiera nos ofrece un préstamo al 8 % durante 2 años.

a) Hallar la Tasa Anual Equivalente si se realizan pagos mensuales.

b) Elaborar la tabla de amortización del préstamo si los pagos son trimestrales.


Una empresa ha decidido renovar su mobiliario y ha encargado el trabajo a un estudio de decoración. Al aprobar el proyecto la empresa ha pagado 2.700 euros al estudio, y se ha comprometido a abonar el valor de los muebles con 7.000 euros al final de cada mes durante 2 años. Si se ha aplicado un 7 % de interés anual, ¿cuál es el importe total de la renovación?

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B


En un contrato de trabajo se ha fijado una subida anual del 5,6 %. Si un trabajador empieza ganando 680 euros al mes, ¿cuántos años tiene que esperar para llegar a recibir una nómina mensual de 1.200 euros?


Una persona paga un coche en 60 mensualidades de 200 euros. Si la entidad de crédito ha impuesto un interés del 12 %, ¿cuál era el precio del coche al pagarlo al contado?


Tomás ingresa al principio de cada mes una cantidad fija de 60 euros en un banco que le ofrece una capitalización mensual al 5 %.

a) ¿Qué capital habrá acumulado después de 6 meses?

b) ¿Y al final de un año?

c) ¿Qué beneficio obtendrá después de 4 años?


Cristina tiene 62 años y ha ganado un premio de 18.000 euros en un concurso. En su entidad bancaria le han ofrecido una TAE del 4,5 % anual con liquidaciones trimestrales para cualquiera de sus productos.

a) Si contrata un depósito durante 8 años, ¿qué cantidad recibirá transcurrido ese tiempo?

b) Si al recibir el capital acumulado decide contratar una hipoteca inversa, ¿cuál será la cantidad anual que el banco tendrá que abonarle durante el resto de su vida?

Nota: la esperanza de vida para una mujer de 70 años en España es de 16,81 años. (Fuente: INE, 2005).

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ARITMÉTICA MERCANTIL2Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Inés ha ganado un premio de 3.600 euros en un certamen musical, pero como solo tiene 7 años sus padres han decidido ingresarlo en un banco hasta que sea mayor de edad. Si la capitalización es mensual al 5% anual, ¿cuánto dinero recibirá Inés al cumplir 18 años?

Planteamiento correcto: 1 puntos

Cálculo correcto: 1 punto

Inés recibirá 3.768,48 euros.


¿Qué anualidad hay que abonar al principio de cada año durante 12 años para obtener un capital de 36.000 euros al 7 % anual?



Se resuelve la ecuación:

El ingreso debe ser de 1.880,88 euros anuales.


En un concesionario de automóviles usados nos venden un coche por 3.000 euros. Una entidad financiera nos ofrece un préstamo al 8% durante 2 años.

a) Hallar la Tasa Anual Equivalente si se realizan pagos mensuales.

b) Elaborar la tabla de amortización del préstamo si los pagos son trimestrales.


TAE = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⋅ =10 0812

1 100 812,

,33 %

36 000 19 14 1 880 880 0. , . ,= ⋅ =C C→ euros

C C iii

Cf

t

= + + − = + +0 01

1 136 000 1 0 07

1 0 0( )

( ). ( , )

( ,→ 77 10 07

12),

−

Cf = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ =3 600 1

51 200

3 768 4811

..

. , euros

C Cr

f

t

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟0 1

100

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Apartado b): 2 puntos

La cuota trimestral es de 409,53 euros.


Una empresa ha decidido renovar su mobiliario y ha encargado el trabajo a un estudio de decoración. Al aprobar el proyecto la empresa ha pagado 2.700 euros al estudio, y se ha comprometido a abonar el valor de los muebles con 7.000 euros al final de cada mes durante 2 años. Si se ha aplicado un 7 % de interés anual, ¿cuál es el importe total de la renovación?

Planteamiento correcto: 1,5 puntos

Cálculo correcto: 1,5 puntos

La empresa debe abonar el precio del proyecto y el importe de los muebles.

Así, el importe total es: 2.700 + 178.724,66 = 181.424,66 euros

C Ci

i if

t

t= + −

+= ⋅

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟

01 1

17 000

10 0712( )

( ).

,⎟⎟⎟ −

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

=

24

24

1

0 0712

10 0712

178 724 6, ,

. , 66 euros

C Ci

i iCf

t

t= + −

+=

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠0 0

1 11

3 000

10 08

4( )( )

.

,

→

⎟⎟⎟⎟ −

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

=

8

80

1

0 084

10 08

4

409 53, ,

,→ C euroos


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

TrimestreIntereses del período

(euros)Capital amortizado

(euros)Cuota trimestral

(euros)Capital pendiente

(euros)

0 3.000,00

1 60,00 349,53 409,53 2.650,47

2 53,01 356,52 409,53 2.293,95

3 45,88 363,65 409,53 1.930,30

4 38,61 370,92 409,53 1.559,38

5 31,19 378,34 409,53 1.181,04

6 23,62 385,91 409,53 795,13

7 15,90 393,63 409,53 401,50

8 8,03 401,50 409,53 0

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ARITMÉTICA MERCANTIL2Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

En un contrato de trabajo se ha fijado una subida anual del 5,6 %. Si un trabajador empiezaganando 680 euros al mes, ¿cuántos años tiene que esperar para llegar a recibir una nóminamensual de 1.200 euros?



Se resuelve la ecuación exponencial:

El trabajador tiene que esperar 11 años para ganar 1.200 euros mensuales.


Una persona paga un coche en 60 mensualidades de 200 euros. Si la entidad de crédito ha impuesto un interés del 12 %, ¿cuál era el precio del coche al pagarlo al contado?



El coche costaba 8.991,01 euros.


Tomás ingresa al principio de cada mes una cantidad fija de 60 euros en un banco que le ofrece una capitalización mensual al 5 %.

a) ¿Qué capital habrá acumulado después de 6 meses?b) ¿Y al final de un año?c) ¿Qué beneficio obtendrá después de 4 años?

Cf = ⋅+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ −

+

200

10 1212

1

0 1212

10 1212

60,

, ,⎛⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

=60

8 991 01. , euros

C Ci

i if

t

t= + −

+0

1 11

( )( )

ln lnlnln

años1 76 1 0561 761 056

10 42, ,,,

,= = =t t⋅ →

1 76 1 056 1 76 1 056, , , ,= =t t→ ln ln

C Cr

f

t

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ = +

⎛

⎝⎜

0 1100

1 200 680 15 6100

→ .,

⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟

t

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO




El beneficio será: 3.194,15 − 60 = 3.134,15 euros.


Cristina tiene 62 años y ha ganado un premio de 18.000 euros en un concurso. En su entidad bancaria le han ofrecido una TAE del 4,5 % anual con liquidaciones trimestrales para cualquiera de sus productos.

a) Si contrata un depósito durante 8 años, ¿qué cantidad recibirá transcurrido ese tiempo?b) Si al recibir el capital acumulado decide contratar una hipoteca inversa,

¿cuál será la cantidad anual que el banco tendrá que abonarle durante el resto de su vida?

Nota: la esperanza de vida para una mujer de 70 años en España es de 16,81 años. (Fuente: INE, 2005).

Cálculo correcto del interés: 1 punto



C C

ip

ip

ip

f

p t

=

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

⋅

0

1 1

1 ⎟⎟

= ⋅+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

⋅

⋅

p tC→ 25 545 21

10 044

40

4 16 8

. ,

, , 11

4 16 810

1

0 0444

10 044

4

539

−

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

=⋅, ,

,,

→ C 557 euros anuales

C Ci

f

t

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ = +( ) =0

432

14

18 000 1 0 011 25. , .5545 21, euros

ii

40 011 0 044= =, ,→

14

1 100 4 5 14

4

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⋅ = +⎛

⎝⎜i i

, → ⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟ − = +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ = +

4 4

1 0 045 14

1 045 1, ,→ →i i44

1 011= ,

C C iii

f

t

= + + − = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

+

0 11 1

60 10 0512

10

( )( ) ,

,,

,. ,

0512 1

0 0512

3 194 15

48⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ −

= euros

C C iii

f

t

= + + − = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

+

0 11 1

60 10 0512

10

( )( ) ,

,,

,,

0512 1

0 0512

739 80

12⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ −

= euros

C C iii

f

t

= + + − = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

+

0 11 1

60 10 0512

10

( )( ) ,

,,

,,

0512 1

0 0512

365 29

6⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ −

= euros

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Polinomios y fracciones algebraicas3

Instrucciones:





Opción A


Se considera un envase cilíndrico de radio x. Hallar los monomios correspondientes al área y al volumen del cilindro, sabiendo que la altura mide el doble que el radio.


Determinar el desarrollo del siguiente binomio.


Hallar los valores de a y b siendo P (x) = ax2 + bx + 16 un polinomio divisible por x − 2 y tal que al dividir por x + 2 y por x + 4 se obtiene el mismo resto.


a) Simplificar las expresiones.

b) Resolver la operación: A + B.

Ax

x xB

x x x

x x=

−− +

=+ ++ −

2

2

3 2

3 2

16

5 4

2 8 8

3 4y

a

b−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟58

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B


Encontrar los valores de m y n para que la división del polinomio P (x) = mx 4 + nx3 − x + 1por x2 − 1 sea exacta.


Efectuar la siguiente operación y simplificar el resultado.


Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios.

P (x) = 2x 3 − 3x 2 − 5x + 6 y Q(x) = x 4 − 13x 2 + 36


Hallar los valores enteros para los que el valor numérico del cociente es también un número entero.

x

x

3 50

4

−−

1

1

1

1

+−

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +

−+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

x

xx x

x

x

⎤⎤

⎦⎥⎥ +:

1

1 x

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POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS3Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Se considera un envase cilíndrico de radio x. Hallar los monomios correspondientes al área y al volumen del cilindro, sabiendo que la altura mide el doble que el radio.




Determinar el desarrollo del siguiente binomio.




Hallar los valores de a y b siendo P (x) = ax2 + bx + 16 un polinomio divisible por x − 2 y tal que al dividir por x + 2 y por x + 4 se obtiene el mismo resto.

− +625 000390 625

..

ab

= − + − + −ab

ab

ab

ab

ab

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

40 700 7 000 43 750 1. . 775 000 437 5003

3

2

2

. .ab

ab

+ −

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +

⎛

⎝⎜⎜⎜

85

586

3

5ab

( ) ⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

ab

2

6587

( )aab

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ − =( ) ( )5

88

57 8

ab

ab

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟5

80

8

⎟⎟ +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +

⎛

⎝⎜

8 781

582

ab

( ) ⎜⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟a

b

6

2583

( ) ⎟⎟⎟⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎛

⎝⎜a

bab

5

3584

( ) ⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +4

45( )

a

b−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟58

V x x x= ⋅ =π π2 32 2

A x x x x x x= + ⋅ = + =2 2 2 2 4 62 2 2 2π π π π π

2x 2x

x

x

F

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Si P(x) es divisible por x − 2, entonces la división por este binomio es exacta, es decir, el resto es igual a cero: P(2) = 0 → 4a + 2b + 16 = 0

Como las divisiones por x + 2 y por x + 4 tienen el mismo resto: P(−2) = P(−4) → 4a − 2b + 1 = 16a − 4b + 1


La expresión del polinomio es: P(x) = − x2 − 6x + 16


a) Simplificar las expresiones.

b) Resolver la operación: A + B.

Apartado a): 2 puntos


A Bx

x xx x xx x

xx

+ = −− +

+ + ++ −

= +−

+2

2

3 2

3 2

165 4

2 8 83 4

41

221

3 41

xx

xx−

= +−

Bx x xx x

x xx x

x= + ++ −

= +− +

=2 8 83 4

2 21 2

23 2

3 2

2

2

( )( )( ) xx −1

2 8 8 2 4 4 2 23 2 2 2x x x x x x x x+ + = + + = +( ) ( )

Ax

x xx xx x

xx

= −− +

= + −− −

= +−

2

2

165 4

4 41 4

41

( )( )( )( )

x x x2 16 4 4− = + −( )( )

Ax

x xB

x x x

x x=

−− +

=+ ++ −

2

2

3 2

3 2

16

5 4

2 8 8

3 4y

44 2 1612 2 0

16

a ba b

ab

+ = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −= −

1 −5 4

1 1 −4

1 −4 0 → x x x x2 5 4 1 4− + = − −( )( )

1 3 0 −4

1 1 4 4

1 4 4 0

−2 −2 −4

1 2 0 → x x x x3 2 23 4 1 2+ − = − +( )( )

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POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS3Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Encontrar los valores de m y n para que la división del polinomio P (x) = mx 4 + nx3 − x + 1por x 2 − 1 sea exacta.


Si la división por x2 − 1 es exacta, entonces las divisiones por sus factores, es decir, por x + 1 y por x − 1, también son exactas.Por tanto, los restos correspondientes a estas divisiones son nulos:

P(−1) = 0 → m − n + 1 + 1 = 0P(1) = 0 → m + n − 1 + 1 = 0


La expresión del polinomio es: P(x) = −x4 + x3 − x + 1


Efectuar la siguiente operación y simplificar el resultado.




Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios.

P (x) = 2x3 − 3x 2 − 5x + 6 y Q (x) = x 4 − 13x 2 + 36

Factorización de los polinomios: 2 puntos

= +−

⋅ ++

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ +

= +−

11

11

11

11

2 2 2 2xx

xx x

xx

:( )

( )(111

11 11 1

11

2 2 2 2

+ += + +

− += +

−x xx xx x

x)

:( ) ( )( )( )

( )xx

11

11

+−

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ + −

+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

xx

x xxx

⎤⎤

⎦⎥⎥ +

= + − +−

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ + + −

:1

11

112 2

xx x x

xx x x

111

1+

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ +

=x x

:

1

1

1

1

+−

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +

−+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

x

xx x

x

x

⎤⎤

⎦⎥⎥ +:

1

1 x

m nm n

mn

− = −+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −=

20

11

2 −3 −5 6

1 2 −1 −6

2 −1 −6 0

2 4 6

2 3 0

1 0 −13 0 36

2 2 4 −18 −36

1 2 −9 −18 0

−2 −2 0 18

1 0 −9 0

3 3 9

1 3 0

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 190


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO



Hallar los valores enteros para los que el valor numérico del cociente es también un número entero.


Cálculo correcto: 1,5 puntos

Para cualquier número entero el polinomio x2 + 4x + 16 toma como valor numérico un número entero. Por tanto, el cociente es un número entero si la fracción correspondiente al resto tiene también como resultado un número entero.

El cociente es número entero si x − 4 es divisor de 14, es decir, si es igual a 1, −1, 2, −2, 7,

−7, 14 o −14. Entonces los valores que verifican la condición son:

x − 4 = 1 → x = 5x − 4 = −1 → x = 3x − 4 = 2 → x = 6x − 4 = −2 → x = 2x − 4 = 7 → x = 11x − 4 = −7 → x = − 3x − 4 = 14 → x = 18x − 4 = −14 → x = − 10

144x −

xx

x x xx

x xx

3 2250

44 4 16 14

44 16

14−−

= − + + +−

= + + +( )( )−− 4

x

x

3 50

4

−−

= + − − + = + − − +( )( )2 3 13 36 2 29 13 1112 4 2 6 5 4 3x x x x x x x x xx x2 36 108+ −m c m P x Q x x x x x x. . . ( ( ), ( )) ( )( )( )( )(= − + − + −1 2 3 2 2 3))( ) ( )( )( )x x x x x x+ = + − − − − =3 2 3 2 3 4 92 2 2

m c d P x Q x x. . . ( ( ), ( )) = − 2

x x x x x x4 213 36 2 2 3 3− + = − + − +( )( )( )( )

2 3 5 6 1 2 2 33 2x x x x x x− − + = − − +( )( )( )

1 0 0 −50

4 4 16 64

1 4 16 14

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemas4

Instrucciones:





Opción A


Resolver la inecuación:


Hallar la región solución del sistema:


El coste total de tres productos, A, B y C, es de 135 euros. Si se descuenta un 4 % en el precio de A, un 5 % en el precio de B y un 6 % en el precio de C se ahorran 7,10 euros. Y si se compran tres productos de tipo A, cinco de tipo B y uno de tipo C, el importe total es de 385 euros.

Calcular el precio de cada producto.


Resolver las ecuaciones.

a) 2x 4 + 5x 3 − 11x2 − 20x + 12 = 0

b) 2 5 3 2x x x− − − = −

− + ≤− ≤

≥≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎪

2 22 2

00

2x yx y

xy

x

x x

2 16

1 50

−+ −

≥( ) ( )

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B


Hallar la solución de la inecuación: x 4 − 3x3 − 4x 2 + 12x > 0


Resolver el sistema de ecuaciones, sabiendo que la suma de las tres soluciones es igual a 8.


Una dieta contiene dos ingredientes: A y B. El ingrediente A contiene 35 g de lípidos y 15 g de proteínas por cada 100 g, y el ingrediente B aporta 15 g de lípidos y 10 g de proteínas por cada 100 g.

La dieta debe contener menos de 30 g de lípidos y, al menos, 11 g de proteínas por cada 100 g de alimento. Indicar las expresiones que determinan las posibles soluciones del problema y representarlas gráficamente.



a) 4x 4 − 21x 2 + 5 = 0

b)x

x

x

x

x

x

−+

−+

− +=

−2

1

4

4 4

3

12

2 333 0

2 3 5x y zx y z

+ − =+ − =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

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ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS4Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Resolver la inecuación:


Resolución correcta: 1,5 puntos

x2 − 16 = 0 → x = ± 4

(x + 1)(x − 5) = 0 →

La solución es: (−�, −4) ∪ (−1, 4) ∪ (5, +�)


Hallar la región solución del sistema:

Representación de las rectas correspondientes a las inecuaciones: 1 punto

Determinación de la region solución: 1 punto


El coste total de tres productos, A, B y C, es de 135 euros. Si se descuenta un 4 % en el precio de A, un 5 % en el precio de B y un 6 % en el precio de C se ahorran 7,10 euros. Y si se compran tres productos de tipo A, cinco de tipo B y uno de tipo C, el importe total es de 385 euros.

Calcular el precio de cada producto.

− + ≤− ≤

≥≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎪

2 22 2

00

2x yx y

xy

xx

= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

15

x

x x

2 16

1 50

−+ −

≥( ) ( )

−4

(x − 4)(x + 4) + −

(x + 1)(x − 5) + +

−

−

−

++

+

−

−

+

+

+

−1 4 5

( )( )

( )( )

x x

x x

− ++ −

4 4

1 5

1

y=

2x+

2

y

x=

−2

1

Y

X−2

−2

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO



Si x es el precio del producto A, y es el precio de B y z es el precio de C:

Así, tenemos que y = 50, z = 60 y x = 25.

Por tanto, el producto A cuesta 25 euros, el producto B cuesta 50 euros y el producto C cuesta 60 euros.



a) 2x 4 + 5x 3 − 11x2 − 20x + 12 = 0

b)

Apartado a): 1,5 puntos (0,5 puntos por planteamiento y 1 punto por resolución)

2x4 + 5x3 − 11x2 − 20x + 12 = 0 → (x − 2)(x + 2)(x + 3)(2x − 1) = 0 →

Apartado b): 1,5 puntos (1 punto por resolución y 0,5 puntos por comprobación)

x2 − 6x + 9 = 2x2 − 11x + 15 → x2 − 5x + 6 = 0 →

Al sustituir en la ecuación x por 2 resultan raíces de números negativos; como estas no existen en el dominio real, la solución x = 2 no es válida. Así, la única solución que verifica la ecuación es x = 3.

xx

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

23

3 8 2 2 11 15 2 2 6 2 2 11 152 2x x x x x x x− − − + = − − = − +→

2 5 3 2 2 5 3 2 2 2 3 2x x x x x x x x− − − = − − + − − − − = −→ ( )( )

xxx

x

== −= −

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

223

12

2 5 3 2x x x− − − = −

→x y z

y zy

+ + =+ =

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪+

1352 170

3 150

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

⎫⎬

1350 04 0 05 0 06 7 1

3 5 385, , , ,

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + =+ + =+ + =

⎫⎬→

x y zx y zx y z

1354 5 6 7103 5 385

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + =+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪

→x y z

y zy z

1352 710

2 2 20 ⎪⎪

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ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS4Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Hallar la solución de la inecuación: x 4 − 3x3 − 4x 2 + 12x > 0



x4 − 3x3 − 4x2 + 12x = 0 → x(x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0 →

La solución es: (−�, −2) ∪ (0, 2) ∪ (3, +�)


Resolver el sistema de ecuaciones, sabiendo que la suma de las tres soluciones es igual a 8.



Así, tenemos que z = 2, y = −5 y x = 11.


Una dieta contiene dos ingredientes: A y B. El ingrediente A contiene 35 g de lípidos y 15 g de proteínas por cada 100 g, y el ingrediente B aporta 15 g de lípidos y 10 g de proteínas por cada 100 g.

La dieta debe contener menos de 30 g de lípidos y, al menos, 11 g de proteínas por cada 100 g de alimento. Indicar las expresiones que determinan las posibles soluciones del problema y representarlas gráficamente.

x y zx y zx y z

x y z+ − =+ − =+ + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ − =−3 0

2 3 58

3 0→ yy z

z+ =

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

5 54 8

2 333 0

2 3 5x y zx y z

+ − =+ − =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

xxxx

==== −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

032

2

−2

−

−

−

−

+

−

−

−

+

−

+

−

−

+

+

+

−

+

+

−

+

+

+

+

+

0 2 3

x

x − 3

x − 2

x + 2

x(x − 3)(x − 2)(x + 2)

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Representación correcta: 1,5 puntos

Si x es la cantidad en gramos del ingrediente A e y es la cantidad de B:



a) 4x 4 − 21x 2 + 5 = 0

b)

Apartado a): 1,5 puntos (0,5 puntos por planteamiento y 1 punto por resolución)

4x4 − 21x2 + 5 = 0

z = x2 → 4z2 − 21z + 5 = 0 →


m.c.m. (x + 1, −4x + 4, x2 − 1) = 4(x2 − 1)

→ 4(x − 1)(x − 2) + ( x + 1)(x + 4) = 4 ⋅ 3x

4x2 − 12x + 8 + x2 + 5x + 4 = 12x → 5x2 − 19x + 12 = 0 →x

x

=

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

345

xx

xx

xx

−+

− +− +

=−

21

44 4

312

zz x

z x= ± = = ±

= = ±

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

21 198

5 514

12

→→

→

x

x

x

x

x

x

−+

−+

− +=

−2

1

4

4 4

3

12

35 15 3015 10 11

00

x yx y

xy

+ ≤+ ≥

≥≥

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

−0,5

1,1

2

1,08

y x= − +3

2

11

10y x= − +

7

32

X

Y

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 197


Funciones5

Instrucciones:





Opción A


Se considera un cuadrado cuyo lado mide x cm. Con centro en cada vértice, y radio, la mitad de la longitud del lado, se construyen sectores circulares. Encontrar la expresión del área de la figura que se forma dentro del cuadrado en función de su lado.

Hallar el valor del área en el caso de que el lado mida cm.


Dibujar la gráfica de una función con las siguientes características.

• Su dominio es toda la recta real y su recorrido es el intervalo [−3, 3].

• Es simétrica respecto del origen de coordenadas.

• Es creciente en (−1, 1) y decreciente en (−�, −1) ∪ (1, +�).


Se consideran las funciones: g(x) = 2x − 1

Calcular.

a) f −1(x) y su dominio. b) f � g (x) y su dominio. c) y su dominio.


Dada la función representada, indicar.

a) Dominio y recorrido.

b) Simetría y monotonía.

c) Puntos de corte y asíntotas de la función.

f x

g x

( )

( )

f xx

x( ) =

+ 1

2

X

Y

1

1

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 198


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B


a) Se considera un círculo cuyo radio mide x cm y se inscribe un cuadrado en él. Encontrar la expresión del área de la figura que forman los cuatro segmentos circulares.

b) Hallar el valor del área en el caso de que el radio mida cm.



• Su recorrido es toda la recta real.

• Es simétrica respecto del eje de ordenadas.

• Tiene un máximo relativo en el punto (0, 4).

• Tiene dos asíntotas verticales.


Se consideran las funciones:

Calcular.

a) f −1(x) y su dominio. b) g � f (x) y su dominio. c) y su dominio.






f x

g x

( )

( )

g x x( ) =f xx

x( ) =

− 1

8

Y

X

1

2

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FUNCIONES5Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Se considera un cuadrado cuyo lado mide x cm. Con centro en cada vértice, y radio, la mitad de la longitud del lado, se construyen sectores circulares. Encontrar la expresión del área de la figura que se forma dentro del cuadrado en función de su lado.

Hallar el valor del área en el caso de que el lado mida cm.

Cálculo del área: 1,5 puntos

Área de la figura = Área del cuadrado − Área del círculo de radio la mitad

del lado → f(x) = x2 − π

Cálculo del valor: 0,5 puntos

cm2



• Su dominio es toda la recta real y su recorrido es el intervalo [−3, 3].

• Es simétrica respecto del origen de coordenadas.

• Es creciente en (−1, 1) y decreciente en (−�, −1) ∪ (1, +�).

Respuesta abierta.


Se consideran las funciones: g (x) = 2x − 1

Calcular.

a) f −1(x) y su dominio.

b) f � g (x) y su dominio.

c) y su dominio.

Apartado a):

Cálculo de la función inversa: 0,75 puntos

→ xy + y = x → xy − x = y → x(y − 1) = y →

Determinación del dominio: 0,25 puntos

Dom = � − {1}

xy

yf x

xx

=−

=−

−

1 11→ ( )y

xx

=+ 1

f x

g x

( )

( )

f xx

x( ) =

+ 1

f 28 2

44

2( ) = − = −π π

x x x2

44

2 2 2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − π

2

x2

x2

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Apartado b):

Cálculo de la composición de funciones: 0,75 puntos


Dom = � − {0}

Apartado c):

Cálculo de la división de funciones: 0,5 puntos


Dom = R −







Dom = � − {−1, 1}

Im = (−�, 0] ∪ (1, +�)


La función es simétrica respecto del eje de ordenadas.

La función es creciente en (−�, −1) ∪ (−1, 0) y es decreciente en (0, 1) ∪ (1, +�).

x = 0 es un máximo relativo.


La función solo tiene un punto de corte: (0, 0)

La función tiene dos asíntotas verticales: x = −1 y x = 1, y una asíntota horizontal: y = 1.

−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

112

,

f xg x

xx x

xx x

( )( ) ( )( )

=+ −

=+ −1 2 1 2 12

f g x f g xx

xx

x� ( ) ( ( ))= = −

− += −2 1

2 1 12 1

2

Y

X1

1

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FUNCIONES5Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Se considera un círculo cuyo radio mide x cm y se inscribe un cuadrado en él. Encontrar la expresión del área de la figura que forman los cuatro segmentos circulares.

Hallar el valor del área en el caso de que el radio mida cm.


Por el teorema de Pitágoras:

(2x) 2 = y2 + y2 → 2y2 = 4x2 → y2 = 2x2 → y = x

Área de la figura = Área del círculo − Área del cuadrado → f(x) = πx2 − = x2


f( ) = 8 cm2



• Su recorrido es toda la recta real.

• Es simétrica respecto del eje de ordenadas.

• Tiene un máximo relativo en el punto (0, 4).

• Tiene dos asíntotas verticales.

Respuesta abierta.


Se consideran las funciones:

Calcular.

a) f −1(x) y su dominio.

b) g � f (x) y su dominio.

c) y su dominio.f x

g x

( )

( )

g x x( ) =f xx

x( ) =

− 1

π −( )28

π −( )222

x( )2

8

y

x

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Apartado a):

Cálculo de la función inversa: 0,75 puntos

→ xy = x − 1 → xy − x = −1 → x(y − 1) = −1 →


Dom = � − {1}

Apartado b):

Cálculo de la composición de funciones: 0,5 puntos


Dom = (−�, 0) ∪ (1, +�)

Apartado c):

Cálculo de la división de funciones: 0,5 puntos


Dom = (0, +�)







Dom = � − {0}

Im = � − {1}


La función es simétrica respecto del punto (0, 1).

La función es creciente en (−�, 0) ∪ (0, +�) y no tiene extremos relativos.


La función solo tiene un punto de corte: (2, 0)

La función tiene una asíntota vertical: x = 0, y una asíntota horizontal: y = 1.

f xg x

x

x x

( )( )

= − 1

g f x g f xx

x� ( ) ( ( ))= = −1

xy

f xx

= −−

=−

−11

11

1→ ( )yx

x= − 1

X2

1

Y

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Funciones elementales6

Instrucciones:





Opción A


a) Hallar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos A(1, −1), B (−1, −7) y C (2, 5).

b) ¿Qué valor toma esta función para x = 0,5?


Representar gráficamente la función:


El número de platos que un cocinero prepara viene dado en función de los días x

que lleva realizando este trabajo mediante la expresión .

a) Representar gráficamente la función, e indicar la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problema.

b) ¿Cuántos platos prepara al empezar a trabajar? ¿Y al cabo de un día de trabajo?

c) ¿Al cabo de cuántos días prepara 20 platos? ¿Cuál es el número máximo de platos que puede preparar?


a) Representar la función y = cos x en el intervalo [−2π, 2π].

b) A partir de la gráfica del apartado anterior, dibujar en el mismo intervalo las gráficas de las funciones.

y = 4 cos x + 1 y = cos x

2

f xx

x( ) =

++

25 5

1

f x x x xx x

( ) = − + ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 3 1 11

2 sisiln

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B


a) Encontrar la función lineal que pasa por los puntos A(−1, 4) y B (2, −5).

b) Calcular, por interpolación, el valor que toma la función para x = 1 y, por extrapolación, el valor que toma para x = −2.




El número de células en un cultivo de laboratorio viene dado por la expresión:

f (x) = e x − a

donde x indica el tiempo en días.

a) Calcular el valor de a si el estudio del cultivo se inicia con cuatro células. ¿Cuántas células habrá al día siguiente?

b) Representar gráficamente la función, e indicar la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problema.

c) ¿Cuántos días han de pasar para que haya 400 células en el cultivo? ¿Y para que se duplique esta cantidad?


a) Representar la función y = sen x en el intervalo [−2π, 2π].


y = 3 sen x − 2 y = sen 4x

f x x xx x

( ) = − ≥− <

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⏐ ⏐5 05 02

sisi

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FUNCIONES ELEMENTALES6Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

a) Hallar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos A(1, −1), B (−1, −7) y C (2, 5).

b) ¿Qué valor toma esta función para x = 0,5?



La función de interpolación cuadrática es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

Se sustituyen las coordenadas de cada punto perteneciente a la función:

Resolución corrrecta: 0,75 puntos

Así, la función es: f(x) = x2 + 3x − 5


f(0,5) = 0,522 + 3 ⋅ 0,5 − 5 = −3,25



Representación de cada parte de la función: 1 punto


El número de platos que un cocinero prepara viene dado en función de los días x

que lleva realizando este trabajo mediante la expresión .

a) Representar gráficamente la función, e indicar la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problema.

b) ¿Cuántos platos prepara al empezar a trabajar? ¿Y al cabo de un día de trabajo?

c) ¿Al cabo de cuántos días prepara 20 platos? ¿Cuál es el número máximo de platos que puede preparar?

f xx

x( ) =

++

25 5

1

f x x x xx x

( ) = − + ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 3 1 11

2 sisiln

a b ca b c

a b c

a b c+ + = −+ + =

− + = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + = −14 2 5

7

13aa b

b

abc

+ ==

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=== −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

62 6

13

5

2 22 2

17

4 2 5

a b ca b ca b c

+ + = −− + = −+ + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪−

Y

X

1

1 e

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 206


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Solo tiene sentido la parte de la gráfica que corresponde al semieje positivo de abscisas.


Al empezar a trabajar prepara: f(0) = 5 platos

Y al cabo de un día prepara: f(1) = 15 platos


→ 25x + 5 = 20x + 20 → 5x = 15 → x = 3

Prepara 20 platos al cabo de 3 días.

El número máximo de platos es 25, pues la asíntota horizontal de la función es: y = 25


a) Representar la función y = cos x en el intervalo [−2π, 2π].


y = 4 cos x + 1 y = cos


Apartado b): 0,75 puntos por cada función

x

2

25 51

20x

x+

+=

Y

X1

5

5

y = 25

Y

X

1

−1−2π 2π

Y

X

5

1

−2π

−π π

2π

Y

X

1

−1

−2π 2π

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FUNCIONES ELEMENTALES6Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

a) Encontrar la función lineal que pasa por los puntos A(−1, 4) y B (2, −5).

b) Calcula, por interpolación, el valor que toma la función para x = 1 y, por extrapolación, el valor que toma para x = −2.

Apartado a): 1 puntoLa función de interpolación lineal es de la forma: f(x) = ax + bSe sustituyen las coordenadas de cada punto perteneciente a la función:

Así, la función es: f(x) = −7x − 3

Apartado b): 0,5 puntos cada valor

f(1) = −7 − 3 = −10

f(−2) = 14 − 3 = 11



Representación de cada parte de la función: 1 punto


El número de células en un cultivo de laboratorio viene dado por la expresión:

f (x) = ex − a

donde x indica el tiempo en días.

a) Calcular el valor de a si el estudio del cultivo se inicia con cuatro células. ¿Cuántas células habrá al día siguiente?

b) Representar gráficamente la función, e indicar la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problema.

c) ¿Cuántos días han de pasar para que haya 400 células en el cultivo? ¿Y para que se duplique esta cantidad?

f x x xx x

( ) = − ≥− <

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⏐ ⏐5 05 02

sisi

− + =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −= −

−−

a ba b

ab

2 42 3 5

73

5 10

5

X

Y

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Cuando se inicia el cultivo, el número de días es: x = 0 → f(0) = 4 células → 1 − a = 4 → a = −3

f(x) = ex + 3 → f(1) = e + 3 = 5,72

Al día siguiente habrá 6 células.



ex + 3 = 400 → ex = 397 → x = ln 397 = 5,98

Han de pasar 6 días para que haya 400 células en el cultivo.

ex + 3 = 800 → ex = 797 → x = ln 797 = 6,68

Han de pasar 7 días para que haya el doble de células.


a) Representar la función y = sen x en el intervalo [−2π, 2π].


y = 3 sen x − 2 y = sen 4x


Apartado b): 0,75 puntos por cada función

Y

X1

4

Y

X

1

−1

−1

−2π

2π

Y

X

1−2π

−5

2π

Y

X

1

−2π

2π

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Límite de una función7

Instrucciones:





Opción A


Calcular los siguientes límites.

a)

b)


Dada la función:

determinar el valor de m para que la función f (x) sea continua en toda la recta real.


Sea la función f (x) = .

a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f.

b) Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable.

c) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical.


Se considera la función: f (x) =

a) Estudiar el dominio y la continuidad de f.

b) Hallar las asíntotas de la gráfica de f.

x x

xx

x

xx

2 3 11

2

11

+ +≥ −

−< −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

si

si

3 3

1

2

2

x x

x

−−

f x x x m xx x

( )ln

= − + ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 3 11

2 sisi

limx

x x x x→+

+ − −( )�

2 2

limx

x

x x→0

2

2 2+ − −

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 210


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B



a) b)


Dada la función: f (x) =

determinar los valores de a y b para que f (x) sea continua en toda la recta real.


Se considera la función f (x) = .





Sea la función f (x) = . Se pide:

a) Especificar su dominio.

b) Estudiar su continuidad.

c) Calcular las asíntotas, si las hubiera.

− ++ −x

x x

3

2

1

2 2 12

x x

x

5 8

61

−−

− − < −− − ≤ ≤

>

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

x xa x xbx

x

2 12 1 1

1

2

sisi

si

limx

x x x→+

+ −( )�

2limx

x x

x→0

4 4

4

+ − −

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN7Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)


a)

b)


→ Indeterminación


→ Indeterminación


Dada la función:

determinar el valor de m para que la función f (x) sea continua en toda la recta real.


La función f(x) es continua en x = x0 →

Cálculo de cada valor: 0,5 puntos

f(1) = 2 − 3 + m = −1 + m = 0 → m = 1

lim

lim

x

x

f x m

f xm→

→

→1

1

1

01

−

+

= − +

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

− +( )

( )== =0 1→ m

∃ =

∃− +

lim lim limx x x x x x

f x f x f x

f x→ → →

→0 0 0

0

( ) ( ) ( )

( )) ( ) ( )y limx x

f x f x→ 0

0=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

f x x x m xx x

( )ln

= − + ≤>

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 3 11

2 sisi

=+( ) − −( )+ + −

=++ +

lim limx x

x x x x

x x x x

x

x→ →� �

2 2

2 2 2

2

xx x x+ −=

21

lim limx x

x x x xx x x x x x x

→ →+ ++ − −( ) =

+ − −( ) + +

� �

2 2

2 2 2 22

2 2

−( )+ + −

=x

x x x x

limx

x x x x→+

+ − −( ) = −⎡⎣ ⎤⎦�

2 2 � �

=+ + −( )

=limx

x x x

x→0

2 2 2

22 2

lim limx x

x

x x

x x x

x x→ →0 0

2

2 2

2 2 2

2 2+ − −( )=

+ + −( )+ − −( )) + + −( )

=+ + −( )

+( ) − −( )=

2 2

2 2 2

2 20x x

x x x

x xxlim

→

limx

x

x x→0

2

2 2

0

0+ + −=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

limx

x x x x→+

+ − −( )�

2 2

limx

x

x x→0

2

2 2+ − −

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 212


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Sea la función f (x) = .





1 − x2 = 0 → x = ±1 Dom = � − {1, −1}

Los puntos de discontinuidad son x = 1 y x = −1.


es un punto de discontinuidad evitable.


→ Asíntota vertical: x = −1



a) Estudiar el dominio y la continuidad de f.

b) Hallar las asíntotas de la gráfica de f.


Determinación del dominio: 0,5 puntos Dom = � − {0}

Estudio de la continuidad: 1 punto →

→ f(x) es continua en x = 1.

Apartado b): 1,5 puntos Asíntota vertical: x = 0 → Asíntota horizontal: y = 2

→ Asíntota oblicua: y = x + 3m

f xx

x xx

n f

x x

x

= = + + =

=

+ +

+

lim lim

lim

→ →

→

� �

�

( ) 2

2

3 11

(( )x mxx x

xx

x x−⎡⎣ ⎤⎦ = + + −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

+lim lim→ →�

2 3 1++

+ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪�

3 13

xx

lim

limx

x

f x

f x→

→

+

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

�

�

( )

( )

++�

2

lim lim limx x x

f x f x f x f→ → →

→− − −− +

= = ∃ ∃1 1 1

1 1( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( )− = = −−

1 1 11

limx

f x f→

f(x) no es continua en x = 0, y este es un punto de discontinuidadinevitable de salto infinito.

lim

limx

x

f x

f x→

→

0

0

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

−�

�++

x x

xx

x

xx

2 3 11

2

11

+ +≥ −

−< −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

si

si

lim limx x

f x f x→ →− −− +

= =1 1

( ) ( )−� �++

lim limx x

x xx

xx

x→ →

→1

2

2 1

3 31

31

32

1−

−= −

+= − =

limx

x xx→−

−−

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥1

2

2

3 31

60

limx

x xx→1

2

2

3 31

00

−−

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

3 3

1

2

2

x x

x

−−

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN7Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)


a) b)





determinar los valores de a y b para que f (x) sea continua en toda la recta real.


La función f( x) es continua en x = x0 →

Cálculo de cada valor: 0,5 puntos

→ −1 = a − 2 → a = 1 → b = −1


Se considera la función f (x) = .




x x

x

5 8

61

−−

lim

limx

x

f x

f x b→

→

1

1

1−

+

= −

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

lim

limx

x

f x

f x a→

→

−

−

−

+

= −

= −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

1

1

1

2

( )

( )

∃ =

∃+ −

lim lim limx x x x x x

f x f x f x

f x→ → →

→0 0 0

0

( ) ( ) ( )

( ))( ) ( )lim

x xf x f x

→ 00=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

− − < −− − ≤ ≤

>

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

x xa x xbx

x

2 12 1 1

1

2

sisi

si

lim limx x

x x xx x x x x x

x x→ →+ ++ −( ) =

+ −( ) + +( )+� �

2

2 2

2 ++( )= + −

+ +=

+x

x x x

x x xxlim→ �

2 2

2

1

2

=+ + −( )

=limx

x

x x x→0

2

4 4 4

1

8

lim limx x

x x

x

x x x x

→ →0 0

4 4

4

4 4 4 4

4

+ − −( )=

+ − −( ) + + −( )xx x x

x x

x x xx4 4

4 4

4 4 40+ + −( )=

+( ) − −( )+ + −( )

=lim→

limx

x x x→+

+ −( )�

2limx

x x

x→0

4 4

4

+ − −

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 214


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


1 − x6 = 0 → x = ±1 Dom = � − {1, −1}

→ Indeterminación → x =1 es un punto de discontinuidad.

→ Indeterminación → x = −1 es un punto de discontinuidad.


es un punto

de discontinuidad evitable.


→ Asíntota vertical: x = −1


Sea la función f (x) = . Se pide:

a) Especificar su dominio. c) Calcular las asíntotas, si las hubiera.

b) Estudiar su continuidad.


2x2 + 2x − 12 = 0 → x2 + x − 6 = 0 → Dom = � − {2, −3}


→ f( x) es discontinua en x = 2. Inevitable de salto infinito

→ f( x) es discontinua en x = −3. Inevitable de salto infinito


A partir del apartado anterior, vemos que la función tiene dos asíntotas verticales:

Por ser el polinomio del numerador de mayor grado no hay asíntotas horizontales.

→ Asíntota oblicua: y = − +12

12

x

mf x

xx

x x x

n

x x= = − +

+ −= −

+ +lim lim→ →� �

( ) 3

3 2

12 2 12

12

== −⎡⎣ ⎤⎦ = − ++ −

+→+ +lim ( )

x xf x mx

xx x� �

lim→

3

2

12 2 12

112

12

x⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

xx

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

23

lim

limx

x

f x

f x→

→

−

−

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

3

3

( )

( )

++�

�−

lim

limx

x

f x

f x→

→

2

2

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

( )

++�

�−

xx

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

23

− ++ −x

x x

3

2

1

2 2 12

lim

limx

x

f x

f x→

→

−

−

−

+

=

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

1

1

( )

( )

++�

�−

lim lim limx x x

x xx

x xx

x→ → →1

5 8

6 1

5 3

6 1

5

11

1−−

= −−

=( )11

12

13 1+

= ∃ =x

f x xx

→ →→

lim ( )

limx

x xx→−

−−

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥1

5 8

6160

limx

x xx→1

5 8

6100

−−

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 215


Derivada de una función8

Instrucciones:





Opción A



a) Indicar su dominio de definición.

b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Determinar sus máximos y mínimos.


Sean la parábola y = x 2 − 4x + 4 y un punto (p, q), tal que 0 ≤ p ≤ 2. Calcular las coordenadas de (p, q) para que el área del rectángulo formado por los ladosparalelos a los ejes con vértices opuestos (0, 0) y (p, q) sea máxima.


Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de radio a.


Se considera la función f (x) = x 2 + m, donde m > 0. Se pide:

a) Para cada valor de m, hallar el valor de a > 0, tal que la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f (a)) pase por el origen de coordenadas.

b) Determinar el valor de m para que la recta y = x sea tangente a la gráfica de f (x).

x

x x

−+ −

3

1 1( ) ( )

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 216


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B



a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

b) Calcular los máximos y mínimos relativos de f.


Determinar la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 para que su área sea máxima.


Una pista de velocidad está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo. Si el perímetro es de 200 metros, hallar las dimensiones de la pista para que el área de la zona rectangular sea máxima.



a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto P (a, f (a)), para a > 0.

b) Encontrar los puntos de corte de la recta tangente del apartado anterior con los ejes de coordenadas.

c) Determinar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos de intersección hallados sea mínima.

1

x

2 1

12 2

x

x x

++ +( )

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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN8Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)


a) Indicar su dominio de definición.

b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Determinar sus máximos y mínimos.


Dom = � − {1, −1}


= 0 → −x2 + 6x − 1 = 0 → x = 3 ± 2

f'( x) > 0 en → f( x) es creciente en .

f'( x) < 0 en (−�, −1) ∪ (−1, 3 − 2 ) ∪ (3 + 2 , +�) → f( x) es decreciente

en (−�, −1) ∪ (−1, 3 − 2 ) ∪ (3 + 2 , +�).Apartado c): 0,5 puntos

x = 3 − 2 es un mínimo. x = 3 + 2 es un máximo.


Sean la parábola y = x 2 − 4x + 4 y un punto (p, q), tal que 0 ≤ p ≤ 2. Calcular las coordenadas de (p, q) para que el área del rectángulo formado por los ladosparalelos a los ejes con vértices opuestos (0, 0) y (p, q) sea máxima.


(p, q) es un punto de la parábola → q = p2 − 4p + 4

El área del rectángulo es: A = p ⋅ q = p(p2 − 4p + 4)

El área será máxima en el punto en el que la función f(p) = p3 − 4p2 + 4palcance su máximo en el intervalo [0, 2].


f'(p) = 3p2 − 8p + 4

3p2 − 8p + 4 = 0 →

f''(p) = 6p − 8, f''(2) > 0 y f''

Por tanto, en el punto (p, q) = el área del rectángulo es máxima.23

169

,⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

23

0⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ <

p

p

=

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

223

22

22

22

3 2 2 1 1 3 2 2−( ) ∪ +( ), ,3 2 2 1 1 3 2 2−( ) ∪ +( ), ,

2− + −−

x xx

2

2

6 11

f xxx

f xx x x

xx x

( ) ( )( )= −

−= − − −

−= − + −3

11 2 3

16

2

2

2

2

→ '11

12x −

x

x x

−+ −

3

1 1( ) ( )

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 218


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de radio a.


Como el triángulo formado por la diagonal y los lados es rectángulo:

x2 + y2 = (2 a) 2 →

La función que determina el área del rectángulo es: A = x ⋅ y =


= 0 → 4a2 − 2x2 = 0 → x2 = 2a2 → x = a

Como la medida del lado del rectángulo ha de ser positiva, el único valor válido es a.

Así, las dimensiones son x = y = a, es decir, la solución es un cuadrado de lado a.


Se considera la función f (x) = x2 + m, donde m > 0. Se pide:

a) Para cada valor de m, hallar el valor de a > 0, tal que la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f (a)) pase por el origen de coordenadas.

b) Determinar el valor de m para que la recta y = x sea tangente a la gráfica de f (x).


La recta tangente en el punto (a, f(a)) es: y − f(a) = f '(a) ( x − a) → y − (a2 + m) = 2a(x − a)

Si la recta pasa por el origen de coordenadas, entonces: −(a2 + m) = −2a2 → m = a2


La recta tangente es de la forma: y − (a2 + m) = 2a(x − a)

Para que la recta y = x sea tangente a la gráfica → 2a = 1 → a = → m =14

12

22

2

24 2

4

2 2

2 2

a x

a x

−

−

f x x a x f x a x xx

a x

a x( ) ( )= − = − + −

−= −

4 42

2 4

42 2 2 2

2 2

2

→ '22 2

2 2

2 2

2 24

4 2

4

−

−= −

−

x

a x

a x

a x

x a x4 2 2−

y a x= −4 2 2

x

y2a

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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN8Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)


a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

b) Calcular los máximos y mínimos relativos de f.


= 0 → −6x2 − 6x = 0 → x2 + x = 0 →

f'( x) > 0 en (−1, 0) → f( x) es creciente en (−1, 0).f'( x) < 0 en (−�, −1) ∪ (0, +�) → f( x) es decreciente en (−�, −1) ∪ (0, +�).

Apartado b): 0,5 puntosx = −1 es un mínimo y x = 0 es un máximo.


Determinar la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 para que su área sea máxima.


Por el teorema de Pitágoras: (4 − x)2 = x2 + y2 → y =

El área del triángulo es: A = = x ⋅ y =


f( x) = → f'( x) =

Como 16 − 12x = 0 → x = , tenemos que: es un máximo.

Así, la base del triángulo mide: 2x = , y la altura es: y =


Una pista de velocidad está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo. Si el perímetro es de 200 metros, hallar las dimensiones de la pista para que el área de la zona rectangular sea máxima.

16323

163

4 33

− = =83

f

fx

'

'

( )1 053

043

>⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ <

⎫⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

=→43

16 88

2 16 8

16 8 4

16 8

16 12

16 8− + −

−= − −

−= −

−x x

x

x x

x

x

xx x16 8−

x x16 8−22x y⋅

( )4 16 82 2− − = −x x x

xx

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

01

− −+ +

6 61

2

2 3

x xx x( )

f xx x x x x x

x'( )

( ) ( ) ( )( )(

= + + − + ⋅ + + ++

2 1 2 1 2 1 2 12 2 2

2 xxx x

x x+= − −

+ +16 6

14

2

2 3) ( )

2 1

12 2

x

x x

++ +( )

4 − x

2x

y4 − x

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 220

221

MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


El perímetro de la pista es:

2πr + 2x = 200 → 2r =

La función que determina el área del rectángulo es: A = x ⋅ 2r =


= 0 → 200 − 4x = 0 → x = 50

→ x = 50 es un máximo y r = = 15,92.

Por tanto, las dimensiones de la pista son: 50 m de base del rectángulo y 15,92 m de radio de los semicírculos.



a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto P (a, f (a)), para a > 0.

b) Encontrar los puntos de corte de la recta tangente del apartado anterior con los ejes de coordenadas.

c) Determinar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos de intersección hallados sea mínima.


La recta tangente en el punto (a, f(a)) es: y − f(a) = f'(a)(x − a) → y − (x − a) → y


Si x = 0 → y = → A Si y = 0 → = 0 → x = 2a → B(2a, 0)

Apartado c): 1,5 puntos

La distancia entre los puntos A y B es:

Esta distancia será mínima para el valor de a en el que la función alcance el mínimo:

f(a) = 4a2 + → f'(a) = 8a −

8a − = 0 → 8a4 − 8 = 0 → a4 − 1 = 0 → a = ±1. Como a > 0 → a = 1

Se comprueba que es un mínimo de la función: f

f

'

'

12

0

2 0

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ <

>

⎧⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪ ( )

83a

83a

42a

( )222

2

aa

+ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

− +1 22a

xa

02

,a

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

2a

= − +1 22a

xa

1 12a a

= −

1

x

100 50− =xπ π

ff''( )( )49 051 0

><

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

200 4− xπ

f xx x

f xx

( ) ( )= − = −200 2 200 42

π π→ '

xx x x200 2 200 2 2− = −

π π

200 2− xπ

x

r

� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

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Estadística unidimensional

Instrucciones:





Opción A


En la siguiente tabla se muestran los pesos de un grupo de 50 niños de la misma edad.

a) Calcular la media y la desviación típica.b) Representar gráficamente los datos.


Las puntuaciones obtenidas por 25 participantes en un estudio tienen la siguiente distribución.

Se pide:a) Puntuación mediana. b) Cuartiles de la distribución.


Un empresa comercializa 240, 160, 200 y 120 productos del tipo A, B, C y D, respectivamente.Se pide:

a) Representar gráficamente estos datos en un diagrama de sectores.b) Representar mediante un diagrama de barras la distribución de productos de los cuatro

tipos si se decide incrementar en un 5 % el número de productos de tipo A, mantener la producción de los tipos B y C, y disminuir el número de productos del tipo D, de manera que no se modifique el número total de productos.


La estatura media de una muestra de 200 alumnos es 177 cm, con una desviación típica de 6 cm, yla estatura media de otra muestra de 100 alumnas es 155 cm, con 4 cm de desviación típica. Se pide:a) Obtener la estatura media de la muestra conjunta de 300 alumnos.b) ¿Cuál de las dos muestras puede considerarse más variable?

c) Si un alumno mide 179 cm y una alumna mide 160 cm, ¿cuál de los dos es más alto en su muestra?

9

Puntuación 33 37 38 39 40 42 43 45 47 50 59 66

Frecuencia 1 3 4 2 3 3 2 2 2 1 1 1

Peso (kg) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30)

Número de niños 22 12 10 4 2

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 222


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B


El número de visitantes por hora en una página web durante dieciséis intervalos de tiempoconsecutivos ha sido:

6, 0, 4, 0, 0, 3, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 1, 1, 3, 2

a) Calcular la media y la desviación típica del número de visitantes por hora.

b) Representar gráficamente los datos e interpretar los resultados anteriores.


En una población con 500.000 habitantes, los ingresos anuales medios por persona son de 10.500 euros, y en otra población con 750.000 habitantes estos ingresos ascienden a 11.250 euros.

a) ¿Cuáles son los ingresos anuales totales de cada población?

b) Si las dos poblaciones se consideran conjuntamente, ¿cuáles son los ingresos anuales medios por persona?


En una empresa con 100 empleados se ha realizado una encuesta y se han recogido los siguientes datos sobre el número de hijos.

Se pide:

a) Completar la tabla de distribución con las frecuencias relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.

b) Calcular la media, la mediana y la desviación típica.


Un accionista ha adquirido un paquete compuesto por 300 acciones con un valor de 120 euroscada una, 200 acciones de 160 euros y 100 acciones de 190 euros. Se pide:

a) Determinar el valor medio y la mediana de los valores de las acciones que componen el paquete.

b) Si el valor de las acciones de menor precio sube un 5 %, calcular el valor medio y la mediana de los valores de las acciones.

xi 0 1 2 3

fi 22 42 28 8

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 223


ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL9OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN


En la siguiente tabla se muestran los pesos de un grupo de 50 niños de la misma edad.

a) Calcular la media y la desviación típica. b) Representar gráficamente los datos.




Las puntuaciones obtenidas por 25 participantes en un estudio tienen la siguiente distribución.

Se pide:a) Puntuación mediana. b) Cuartiles de la distribución.



3 254

18 75 453⋅ = =, → Q

254

6 25 381= =, → Q

Peso (kg) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30)

Número de niños 22 12 10 4 2

x_

=

σ = − = =9 712 550

12 7 32 96 5 742. ,, , ,

63550

12 7= ,

Peso xi fi

[5, 10) 7,5 22

[10, 15) 12,5 12

[15, 20) 17,5 10

[20, 25) 22,5 4

[25, 30) 27,5 2

Puntuación 33 37 38 39 40 42 43 45 47 50 59 66

Frecuencia 1 3 4 2 3 3 2 2 2 1 1 1

Frecuenciaacumulada

1 4 8 10 13 16 18 20 22 23 24 25

Puntuación 33 37 38 39 40 42 43 45 47 50 59 66

Frecuencia 1 3 4 2 3 3 2 2 2 1 1 1

252

12 5 40= =, → Me

252015105

5 10 15 20 25 30 Peso

N.º

de n

iños

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 224


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Un empresa comercializa 240, 160, 200 y 120 productos del tipo A, B, C y D, respectivamente.Se pide:

a) Representar gráficamente estos datos en un diagrama de sectores.b) Representar mediante un diagrama de barras la distribución de productos de los cuatro

tipos si se decide incrementar en un 5 % el número de productos de tipo A, mantener la producción de los tipos B y C, y disminuir el número de productos del tipo D, de manera que no se modifique el número total de productos.

Apartado a): 1,5 puntos Apartado b): 1,5 puntos


La estatura media de una muestra de 200 alumnos es 177 cm, con una desviación típica de 6 cm, yla estatura media de otra muestra de 100 alumnas es 155 cm, con 4 cm de desviación típica. Se pide:a) Obtener la estatura media de la muestra conjunta de 300 alumnos.b) ¿Cuál de las dos muestras puede considerarse más variable?c) Si un alumno mide 179 cm y una alumna mide 160 cm, ¿cuál de los dos es más alto en su muestra?


x_

=


En la primera muestra, el coeficiente de variación es:

En la segunda muestra, el coeficiente de variación es:

Por tanto, la primera muestra es más variable que la segunda.


La variación del alumno respecto a la media y la desviación típica de su muestra es:

La variación de la alumna es:

Luego, la chica resulta más alta en comparación con su grupo que el chico.

160 1554

1 25− = ,

179 1776

0 33− = ,

CV = =4155

0 026,

CV = =6177

0 034,

177 200 156 100200 100

51 000300

170⋅ + ⋅

+= =.

cm

Tipos fi hi αi

A 240 0,33 120°

B 160 0,22 80°

C 200 0,28 100°

D 120 0,17 60°

720 1,15

Tipos fi hi αi

A 252 0,35 126°

B 160 0,22 80°

C 200 0,28 100°

D 108 0,15 54°

720 1,15

A

BC

DA

BC

D

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 225


ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL9Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

El número de visitantes por hora en una página web durante dieciséis intervalos de tiempoconsecutivos ha sido:

6, 0, 4, 0, 0, 3, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 1, 1, 3, 2

a) Calcular la media y la desviación típica del número de visitantes por hora.

b) Representar gráficamente los datos e interpretar los resultados anteriores.



Los datos no están distribuidos de forma simétrica, lo que explica que el valor de la media sea pequeño y que la desviación típica sea grande.


En una población con 500.000 habitantes, los ingresos anuales medios por persona son de 10.500 euros, y en otra población con 750.000 habitantes estos ingresos ascienden a 11.250 euros.

a) ¿Cuáles son los ingresos anuales totales de cada población?b) Si las dos poblaciones se consideran conjuntamente, ¿cuáles son los ingresos anuales medios

por persona?


En la primera población, los ingresos anuales totales son: 500.000 ⋅ 10.500 = 5.250.000.000 euros

En la segunda población, los ingresos anuales totales ascienden a: 750.000 ⋅ 11.250 = 8.437.500.00 euros


x_

= euros5 250 000 000 8 437 500 000

500 000 750 000. . . . . .

. .++

= 110 950.


xi fi

0 7

1 2

2 2

3 3

4 1

6 1

x_

=

σ = − = =8916

1 56 3 12 1 772, , ,

2516

1 56= ,

876543210

0 1 2 3 4 65 xi

fi

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 226


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


En una empresa con 100 empleados se ha realizado una encuesta y se han recogido los siguientes datos sobre el número de hijos.

Se pide:

a) Completar la tabla de distribución con las frecuencias relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.

b) Calcular la media, la mediana y la desviación típica.



x_

=


Un accionista ha adquirido un paquete compuesto por 300 acciones con un valor de 120 euros cada una, 200 acciones de 160 euros y 100 acciones de 190 euros. Se pide:

a) Determinar el valor medio y la mediana de los valores de las acciones que componen el paquete.

b) Si el valor de las acciones de menor precio sube un 5 %, calcular el valor medio y la mediana de los valores de las acciones.


x_

= euros

euros


x_

= euros

euros6002

300126 160

2143= = + =→ Me

300 126 200 160 100 190300 200 100

88 80060

⋅ + ⋅ + ⋅+ +

= .00

148=

6002

300120 160

2140= = + =→ Me

300 120 200 160 100 190300 200 100

87 00060

⋅ + ⋅ + ⋅+ +

= .00

145=

σ = − = =226100

1 22 0 77 0 882, , ,

1002

50 1= =→ Me122100

1 22= ,

xi 0 1 2 3

fi 22 42 28 8

xi fi hi Fi Hi

0 22 0,22 22 0,22

1 42 0,42 64 0,64

2 28 0,28 92 0,92

3 8 0,08 100 1

100 1,00

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 227


Estadística bidimensional

Instrucciones:





Opción A


Se considera la siguiente tabla de valores de dos variables.

a) Encontrar la recta de regresión de Y sobre X.

b) Con los resultados obtenidos en el apartado anterior, determinar el coeficiente de correlación de ambas variables.


Dado el siguiente conjunto de datos bidimensionales:

a) Sin efectuar cálculos, razonar cuál de los siguientes valores es su coeficiente de correlación: 0,3; −0,9; 0,1; 0,92.

b) Indicar cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X: y = 2,03 + 0,37x; y = 5,53 + 0,37x; y = −2,03 − 1,37x; y = 2,03 − 0,72x.


Los datos de la variable X expresan el producto interior bruto en decenasde millones de euros, y la variable Y es la tasa de inflación.

a) Dibujar el diagrama de dispersión de los datos.

b) Indicar cuál de las rectas es la recta de regresión de Y sobre X.

y = 16,26 + 2,88x y = 16,26 − 2,88x

c) Calcular el valor esperado de la tasa de inflación que corresponde a un producto interior bruto de 4,3 decenas de millones de euros.


La variable X expresa la calificación obtenida en elprimer curso de Bachillerato y la variable Y es la nota media de Bachillerato. Se dispone de lossiguientes datos correspondientes a nueve alumnos.

a) Hallar y representar la recta de regresión de Y sobre X.

b) ¿Qué nota media se puede predecir para una persona que ha obtenido 5,9 en el primer curso de Bachillerato?

10

X 1 1 2 3 4 4 5 6 6

Y 2,1 2,5 3,1 3,0 3,8 3,2 4,3 3,9 4,4

X 1 6 9 3 2

Y 2 3 9 6 1

X 3,4 4,6 5,2 3,2

Y 8,3 1,5 2,1 5,8

X 5,4 2,9 6,8 6,9 5,3 7,4 4,3 5,1 5,5

Y 5,8 3,5 4,8 6,4 5,9 7,4 4,2 6,2 6,1

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 228


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B


La recta de regresión del gasto anual en alimentos Y (en miles de euros) por familia, en función de los ingresos anuales X (en miles de euros), viene dada por: y = 0,2x + 1

a) ¿Cuál es el gasto anual en alimentos de familias con ingresos anuales de 20.000 euros?

b) Sabiendo que el ingreso medio en una región es de 25.000 euros por familia, hallar el gasto medio anual en alimentos en dicha zona.


La recta de regresión de una variable Y respecto de la variable X es y = 0,3x + 1. Los valores que ha tomado la variable X son: {3, 4, 5, 6, 7}. Se pide:

a) Determinar el valor esperado de y para el valor de x = 3,5.

b) Si los valores de la variable Y utilizados para la regresión se multiplican por 10 y se mantienenlos valores para la variable X, determinar razonadamente la nueva recta de regresión.


La variable X representa los ingresos familiares medidos en miles de euros y la tasa de ahorro está expresada por la variable Y. Se dispone de los siguientes datos.

Se pide:

a) Calcular y representar la recta de regresión de Y sobre X.

b) ¿Qué tasa de ahorro se puede predecir para un ingreso familiar de 0,5 miles de euros?


La variable X expresa la calificación obtenida en el primerexamen parcial de cierta asignatura y la variable Yes la nota final de la asignatura. Se dispone de los siguientesdatos correspondientes a siete alumnos.

a) Indicar cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X.

y = 1,350 + 0,753x y = 1,350 − 0,753x

b) Determinar la nota final que se puede predecir para una persona que ha obtenido 5,7 en el primer examen parcial de la asignatura.

X 1,0 0,4 1,5 0,8 0,6

Y 0,2 0,1 0,4 0,2 0,1

X 5,2 2,8 6,9 5,9 5,3 7,3 4,1

Y 5,6 3,3 4,8 6,2 5,8 7,8 4,2

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ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL10Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Se considera la siguiente tabla de valores de dos variables.

a) Encontrar la recta de regresión de Y sobre X.

b) Con los resultados obtenidos en el apartado anterior, determinar el coeficiente de correlación de ambas variables.


Cálculo de parámetros: 0,5 puntos

x_

= y_

= 4,2 sx2 = sy

2 = 8,56 sx = sy = 2,93 sxy = 6,56

Determinación de la recta de regresión: 1 punto

La recta de regresión de Y sobre X es: y − 4,2 = 0,77(x − 4,2) → y = 0,77x + 0,97


r = 0,76


Dado el siguiente conjunto de datos bidimensionales:

a) Sin efectuar cálculos, razonar cuál de los siguientes valores es su coeficiente de correlación: 0,3; −0,9; 0,1; 0,92.

b) Indicar cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X: y = 2,03 + 0,37x; y = 5,53 + 0,37x; y = −2,03 − 1,37x; y = 2,03 − 0,72x.


Como la correlación de los datos es positiva, se descarta el valor −0,9. Para deducir cuál de las restantes posibilidades es la opción correcta, se dibuja el diagrama de dispersión.

Como los datos aparecen poco dispersos, el valor pedido es: r = 0,92


La recta de regresión de Y sobre X es: y = 2,03 + 0,37x

X 1 1 2 3 4 4 5 6 6

Y 2,1 2,5 3,1 3,0 3,8 3,2 4,3 3,9 4,4

X 1 6 9 3 2

Y 2 3 9 6 1

Y

X1

5432

2 3 4 5 6

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Los datos de la variable X expresan el producto interior bruto en decenas de millones de euros, y la variable Y es la tasa de inflación.

a) Dibujar el diagrama de dispersión de los datos.

b) Indicar cuál de las dos rectas es la recta de regresión de Y sobre X.

y = 16,26 + 2,88x y = 16,26 − 2,88x

c) Calcular el valor esperado de la tasa de inflación que corresponde a un producto interior bruto de 4,3 decenas de millones de euros.



La pendiente de la recta de regresión debe ser negativa → y = 16,26 − 2,88x


y = 16,26 − 2,88 ⋅ 4,3 = 3,876. La tasa de inflación es del 3,9 %.


La variable X expresa la calificación obtenida en el primer curso de Bachillerato y la variable Y es la nota media de Bachillerato. Se dispone de los siguientes datoscorrespondientes a nueve alumnos.

a) Hallar y representar la recta de regresión de Y sobre X.

b) ¿Qué nota media se puede predecir para una persona que ha obtenido 5,9 en el primer curso de Bachillerato?


Cálculo de parámetros: 1 punto

x_

= 5,51 y_

= 5,59 sx2 = 1,32 sxy = 1,15

Determinación de la recta de regresión y gráfica: 1 punto

La recta de regresión de Y sobre X es:

y − 5,59 = 0,66(x − 5,51) → y = 0,66x + 1,95


y = 0,66 ⋅ 5,9 + 1,95 = 5,844. La nota final es 5,8.

XX 3,4 4,6 5,2 3,2

YY 8,3 1,5 2,1 5,8

X 5,4 2,9 6,8 6,9 5,3 7,4 4,3 5,1 5,5

Y 5,8 3,5 4,8 6,4 5,9 7,4 4,2 6,2 6,1

Y

X

8642

3 4 5

Y

X2

2(5,51; 5,59)

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ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL10Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

La recta de regresión del gasto anual en alimentos Y (en miles de euros) por familia, en función de los ingresos anuales X (en miles de euros), viene dada por: y = 0,2x + 1

a) ¿Cuál es el gasto anual en alimentos de familias con ingresos anuales de 20.000 euros?

b) Sabiendo que el ingreso medio en una región es de 25.000 euros por familia, hallar el gasto medio anual en alimentos en dicha zona.

Apartado a): 1 puntoPara unos ingresos de 20.000 euros se tiene que: x = 20 → y = 0,2 ⋅ 20 + 1 = 5Por tanto, el gasto anual es de 5.000 euros.

Apartado b): 1 puntoComo el punto ( x

_, y_) pertenece a la recta de regresión: x

_= 25 → y

_= 0,2 ⋅ 25 + 1 = 6

El gasto medio anual asciende a 6.000 euros.


La recta de regresión de una variable Y respecto de la variable X es y = 0,3x + 1. Los valores que ha tomado la variable X son: {3, 4, 5, 6, 7}. Se pide:

a) Determinar el valor esperado de y para el valor de x = 3,5.

b) Si los valores de la variable y utilizados para la regresión se multiplican por 10 y se mantienen los valores para la variable x, determinar razonadamente la nueva recta de regresión.


x = 3,5 → y = 0,3 ⋅ 3,5 + 1 = 2,05


Al determinar la recta de regresión se observa que la ordenada es: n = y_

− x_

En este caso, se tiene que y_

− 0,3x_

= 1.

Como los valores que ha tomado la variable X son: {3, 4, 5, 6, 7} → x_

= 5

Entonces, resulta que: y_

− 0,3 ⋅ 5 = 1 → y_

= 2,5

Si los valores de la variable Y se multiplican por 10, el valor de la media es igual a 25. La nueva recta de regresión es: y − 25 = 0,3(x − 5) → y = 0,3x + 23,5


La variable X representa los ingresos familiares medidos en miles de euros y la tasa de ahorro está expresada por la variable Y. Se dispone de los siguientes datos.

Se pide:

a) Calcular y representar la recta de regresión de Y sobre X.

b) ¿Qué tasa de ahorro se puede predecir para un ingreso familiar de 0,5 miles de euros?

ss

xy

x

X 1,0 0,4 1,5 0,8 0,6

Y 0,2 0,1 0,4 0,2 0,1

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 232


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Cálculo de parámetros: 1 punto

x_

= 0,79 y_

= 0,2 sx2 = 0,26 sxy = 0,05

Determinación de la recta de regresión y gráfica: 1 punto

La recta de regresión de Y sobre X es: y − 0,2 = 0,19(x − 0,79) → y = 0,19x + 0,05


y = 0,19 ⋅ 0,5 + 0,05 = 0,145

La tasa de ahorro prevista es del 0,1 %.


La variable X expresa la calificación obtenida en el primer examen parcial de cierta asignatura y la variable Y es la nota final de la asignatura. Se dispone de los siguientes datos correspondientes a siete alumnos.

a) Indicar cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X.

y = 1,350 + 0,753x y = 1,350 − 0,753x

b) Determinar la nota final que se puede predecir para una persona que ha obtenido 5,7 en el primer examen parcial de la asignatura.


La pendiente de la recta de regresión debe ser positiva → y = 1,350 + 0,753x


y = 1,350 + 0,753 ⋅ 5,7 = 5,6421

La nota final es 5,6.

X 5,2 2,8 6,9 5,9 5,3 7,3 4,1

Y 5,6 3,3 4,8 6,2 5,8 7,8 4,2

Y

X1

0,20,4

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Probabilidad

Instrucciones:





Opción A


Se dispone de la siguiente información relativa a los sucesos A y B.P(A) = 0,6 P(B) = 0,2 P(A ∩ B) = 0,12

a) Calcular las probabilidades de los sucesos A ∪ B y A / (A ∪ B).

b) ¿Son incompatibles? ¿E independientes?


En una estación de servicio se han realizado 400 operaciones con la tarjeta V y 350 ventas pagadas con la tarjeta MC. Los restantes repostajes del día han sido abonados en metálico. Se comprueba que 150 de las operaciones realizadas con la tarjeta V superan los 150 euros, mientras que 300 de las operaciones pagadas con la tarjeta MC superan esa cantidad. Se extrae al azar un comprobante de las operaciones diarias pagadas con tarjetas de crédito.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a una operación superior a 150 euros?

b) Si la compra es inferior a 150 euros, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido pagada con la tarjeta MC?


El 45 % del censo de una localidad vota al candidato A, el 35 % al candidato By el resto se abstiene. Se elige al azar a tres personas del censo. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Las tres personas votan al candidato A.

b) Dos personas votan al candidato A y la otra al candidato B.

c) Al menos una de las tres personas se abstiene.


Sean A, B, C y D cuatro sucesos de un experimento aleatorio. Expresar los siguientes sucesos.

a) Al menos dos de los cuatro sucesos ocurren.

b) Ocurren todos o no ocurre ninguno de los cuatro sucesos.

c) Ocurren exactamente dos de los cuatro sucesos.

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MO

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PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B


Sean A y B dos sucesos, tales que P (A) = , P (⎯B) = y P (⎯A ∪⎯B) = . Calcular.

a) P (B / A) b) P (⎯A / B)


La siguiente tabla recoge la distribución por sexo y por opción de los 240 estudiantesmatriculados en 1.º Bachillerato en un centro escolar.

Si se elige un estudiante al azar entre los alumnos que cursan 1.º Bachillerato en ese centro,calcular la probabilidad de que:

a) No curse la opción Científico-Tecnológica.

b) Si es chico, curse la opción de Humanidades y Ciencias Sociales.


De una baraja española de cuarenta cartas se extraen sucesivamente tres cartas al azar.Determinar la probabilidad de obtener:

a) Tres reyes.

b) Una figura con la primera carta, un 5 con la segunda y un 6 con la tercera.

c) Un as, un 3 y un 6, en cualquier orden.


En una población, el 40 % son hombres y el 60 % mujeres. Además, el 80 % de los hombres y el 20 % de las mujeres son aficionados al fútbol.

a) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar sea aficionada al fútbol.

b) Elegida al azar una persona resulta ser aficionada al fútbol. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

3

4

2

5

1

2

Chicas Chicos

Científico-Tecnológica 64 52

Humanidades y CC. Sociales 74 50

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PROBABILIDAD11Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Se dispone de la siguiente información relativa a los sucesos A y B.

P(A) = 0,6 P(B) = 0,2 P(A ∩ B) = 0,12

a) Calcular las probabilidades de los sucesos A ∪ B y A / (A ∪ B).

b) ¿Son incompatibles? ¿E independientes?


P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,6 + 0,2 − 0,12 = 0,68

P(A / (A ∪ B)) =


No son incompatibles, ya que si P(A ∩ B) = 0,12 → A ∩ B � ∅Son independientes por ser P(A) ⋅ P(B) = P(A ∩ B).


En una estación de servicio se han realizado 400 operaciones con la tarjeta V y 350 ventaspagadas con la tarjeta MC. Los restantes repostajes del día han sido abonados en metálico. Se comprueba que 150 de las operaciones pagadas con la tarjeta V superan los 150 euros, mientras que 300 de las operaciones pagadas con la tarjeta MC superan esa cantidad. Se extrae al azar un comprobante de las operaciones diarias pagadas con tarjetas de crédito.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a una compra superior a 150 euros?

b) Si la compra es inferior a 150 euros, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido pagada con la tarjeta MC?


Sea A = extraer un comprobante de una compra superior a 150 euros. La siguiente tabla de contingenciamuestra la distribución de las compras.


P(A) =


P(MC / A) =50300

16

=

450750

35

=

P A A BP A B

P AP A B

( ( ))( )

( )( )

,,

,∩ ∪

∪=

∪= =0 6

0 680 88

A A_

V 150 250 400

MC 300 50 350

450 300 750

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


El 45 % del censo de una localidad vota al candidato A, el 35 % al candidato By el resto se abstiene. Se elige al azar a tres personas del censo. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Las tres personas votan al candidato A.

b) Dos personas votan al candidato A y la otra al candidato B.

c) Al menos una de las tres personas se abstiene.

A = ser votante del candidato A B = ser votante del candidato B C = abstenerse


P(A ∩ A ∩ A) = P(A) ⋅ P(A) ⋅ P(A) = ( P(A)) 3 = 0,453 = 0,0911


P(A ∩ A ∩ B) + P(A ∩ B ∩ A) + P(B ∩ A ∩ A) = 3 P(A) ⋅ P(A) ⋅ P( B) = 3 ⋅ 0,452 ⋅ 0,35 = 0,2126


Si P(A) = 0,45 y P(B) = 0,35 → P(C) = 0,2

P(Al menos una persona se abstiene) = 1 − P(Ninguna persona se abstiene) = 1 − P( C ∩ C ∩ C) == 1 − P(C) 3 = 1 − 0,83 = 0,488


Sean A, B, C y D cuatro sucesos de un experimento aleatorio. Expresar los siguientes sucesos:

a) Al menos dos de los cuatro sucesos ocurren.

b) Ocurren todos o no ocurre ninguno de los cuatro sucesos.

c) Ocurren exactamente dos de los cuatro sucesos.




∪ ∩ ∩ ∩( )A B C D

( ) ( ) ( ) ( ) (A B C D A B C D A B C D A B C D A∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ BB C D∩ ∩ ∪)

( ) ( )A B C D A B C D∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩

∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩( ) ( )A B C D A B C D

∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩( ) ( ) ( ) ( )A B C D A B C D A B C D A B C D

( ) ( ) ( ) ( ) (A B C D A B C D A B C D A B C D A∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ BB C D∩ ∩ ∪)

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PROBABILIDAD11Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Sean A y B dos sucesos, tales que P (A) = , P (⎯B) = y P (⎯A ∪ ⎯B) = . Calcular.

a) P (B / A)

b) P (⎯A / B)


P( B / A) =


P(A / B) =


La siguiente tabla recoge la distribución por sexo y por opción de los 240 estudiantesmatriculados en 1.º Bachillerato en un centro escolar.

Si se elige un estudiante al azar entre los alumnos que cursan 1.º Bachillerato en ese centro,calcular la probabilidad de que:

a) No curse la opción Científico-Tecnológica.

b) Si es chico, curse la opción de Humanidades y Ciencias Sociales.


Sean A = ser chica, B = ser chico, C = cursar la opción Científico-Tecnológica y D = cursar la opción de Humanidades y Ciencias Sociales. Se completa la tabla de contingencia.


P(No cursar la opción Científico-Tecnológica) = P(D) =


P(D / B) =50

1022551

=

124240

3160

=

P A BP B

P A P B AP B

( )( )

( ) ( / )( )

∩ = ⋅ =⋅

= =

12

12

35

14

35

512

P A BP A

P A BP A

( )( )

( )( )

∩ = − ∪ =−

= =11

34

12

1412

12

3

4

2

5

1

2

A B

C 64 52 116

D 74 50 124

138 102 240

Chicas Chicos

Científico-Tecnológica 64 52

Humanidades y CC. Sociales 74 50

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


De una baraja española de cuarenta cartas se extraen sucesivamente tres cartas al azar.Determinar la probabilidad de obtener:

a) Tres reyes.

b) Una figura con la primera carta, un 5 con la segunda y un 6 con la tercera.

c) Un as, un 3 y un 6, en cualquier orden.


P(R1 ∩ R2 ∩ R3) =


P(F ∩ C ∩ S) =


P(A ∩ T ∩ S) + P(A ∩ S ∩ T) + P(T ∩ A ∩ S) + P(T ∩ S ∩ A) + P(S ∩ A ∩ T) + P(S ∩ T ∩ A) =

= 6 ⋅


En una población, el 40 % son hombres y el 60 % mujeres. Además, el 80% de los hombres y el 20 % de las mujeres son aficionados al fútbol.

a) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar sea aficionada al fútbol.

b) Elegida al azar una persona resulta ser aficionada al fútbol. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?


P(A) = 0,4 ⋅ 0,8 + 0,6 ⋅ 0,2 = 0,44


P M AP M A

P A( )

( )( )

, ,,

,/ = ∩ = ⋅ =0 6 0 20 44

0 27

440

439

438

81 235

⋅ ⋅ =.

1240

439

438

41 235

⋅ ⋅ =.

440

339

238

12 470

⋅ ⋅ =.

0,4

0,6

0,8

0,2

0,2

0,8

Aficionado

No aficionado

Aficionado

No aficionado

Hombre

Mujer

833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 239


Distribuciones binomial y normal

Instrucciones:





Opción A


En un taller se fabrican piezas que se empaquetan en lotes de cinco unidades. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0,1. Se escoge un lote al azar. Se pide:

a) Hallar la probabilidad de que un lote tenga menos de dos piezas defectuosas.

b) Sea X la variable aleatoria que indica el número de piezas defectuosas en el lote. Calcular el valor esperado de X.


Consideramos una distribución normal de media 50, en la que la probabilidad de obtener un valor por encima de 70 es de 0,0228. ¿Cuál es la desviación típica de estadistribución? ¿Y cuál será la probabilidad de los valores por debajo de 45?


Un test contiene 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El test se supera si se contestacorrectamente al menos a 20 preguntas. Se lanza una moneda equilibrada para decidirla respuesta a cada pregunta. Determinar.

a) La probabilidad de superar el test.

b) La probabilidad de que el número de preguntas acertadas esté entre 25 y 30, ambas opciones inclusive.


En la inspección técnica de cierto tipo de vehículos se mide la cantidad de óxido de nitrógeno emitida y se obtiene que sigue una distribución normal con media 1,6 y desviación típica 0,4.

a) Calcular la probabilidad de que la cantidad de óxido de nitrógeno emitida sea menor que 1,8.

b) Hallar la probabilidad de que la cantidad emitida esté entre 1,2 y 1,4.

c) Obtener un valor de contaminación c, tal que la probabilidad de que un vehículo emita una cantidad menor que c sea igual a 0,9901.

12833254 _ 0173-0245.qxd 6/8/08 08:32 Página 240


MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Instrucciones:





Opción B


Una prueba se compone de 10 preguntas y cada una de ellas presenta una respuesta correcta de las cuatro respuestas posibles.

a) Si la prueba se supera con 3 o más respuestas correctas, ¿cuál es la probabilidad de superarla respondiendo al azar?

b) ¿Y cuál es la probabilidad de acertar las 10 preguntas respondiendo al azar?


La media de una variable aleatoria X con distribución normal es cinco veces la desviacióntípica, y verifica que:

P (X ≤ 6) = 0,8413

Calcular la media y la desviación típica de la variable aleatoria X.


Se sabe que el 2 % de unos instrumentos es defectuoso. Si se dispone de una partida de 500 instrumentos, se pide:

a) Hallar el número medio de instrumentos que funcionarán.

b) Calcular la probabilidad de que funcionen al menos 485 instrumentos.


La variable X representa la presión arterial medida en milímetros. Se sabe que Xsigue una distribución normal con media 120 mm y desviación típica 10 mm.

a) Calcular la probabilidad de que la presión arterial de una persona sea menor que 110 mm.

b) Hallar la probabilidad de que X esté entre 120 mm y 140 mm.

c) Obtener un valor x0 tal que la probabilidad de que una persona tenga presión arterial mayor que x0 sea igual a 0,9901.

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DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL12Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

En un taller se fabrican piezas que se empaquetan en lotes de cinco unidades. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0,1. Se escoge un lote al azar. Se pide:

a) Hallar la probabilidad de que un lote tenga menos de dos piezas defectuosas.

b) Sea X la variable aleatoria que indica el número de piezas defectuosas en el lote. Calcular el valor esperado de X.


Determinación de la variable aleatoria (0,5 puntos): X � B(5; 0,1)

Cálculo de la probabilidad (1 punto): P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) =

= ⋅ 0,10 ⋅ 0,95 + ⋅ 0,1 ⋅ 0,94 = 0,9185


E( X) = μ = n ⋅ p = 5 ⋅ 0,1 = 0,5 piezas


Consideramos una distribución normal de media 50, en la que la probabilidad de obtenerun valor por encima de 70 es de 0,0228. ¿Cuál es la desviación típica de esta distribución? ¿Y cuál será la probabilidad de los valores por debajo de 45?


X � N(50, σ)

P( X > 70) = P = P = 0,0228 → P = 0,9772

→ = 2 → σ = 10


P( X < 45) = P = P( Z > −0,5) = 1 − P( Z < 0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085


Un test contiene 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El test se supera si se contestacorrectamente al menos a 20 preguntas. Se lanza una moneda equilibrada para decidirla respuesta a cada pregunta. Determinar.

a) La probabilidad de superar el test.

b) La probabilidad de que el número de preguntas acertadas esté entre 25 y 30, ambas opciones inclusive.

X − > −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

5010

45 5010

20σ

Z ≤⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

20σ

Z >⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

20σ

X − > −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

50 70 50σ σ

51

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

50

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO

Determinación de la variable aleatoria y aproximación por la normal: 1 punto

X � B(38; 0,5) → X' = N(19; 3,08)


P( X' ≥ 20) = P = P( Z ≥ 0,32) = 1 − P( Z < 0,32) = 1 − 0,6255 = 0,3745


P(25 ≤ X' ≤ 30) = P = P(1,95 ≤ Z ≤ 3,67) =

= P( Z ≤ 3,67) − P( Z ≤ 1,95) = 0,9999 − 0,9744 = 0,0255


En la inspección técnica de cierto tipo de vehículos se mide la cantidad de óxido de nitrógeno emitida y se obtiene que sigue una distribución normal con media 1,6 y desviación típica 0,4.

a) Calcular la probabilidad de que la cantidad de óxido de nitrógeno emitida sea menor que 1,8.

b) Hallar la probabilidad de que la cantidad emitida esté entre 1,2 y 1,4.

c) Obtener un valor de contaminación c, tal que la probabilidad de que un vehículo emita una cantidad menor que c sea igual a 0,9901.


P( X < 1,8) = P = P( Z < 0,5) = 0,6915


P(1,2 < X < 1,4) = P = P(−1 < Z < −0,5) =

= P( Z < −0,5) − P( Z < −1) = 1 − 0,6915 − (1 − 0,8413) = 0,1498


P( X < c) = 0,9901 → P = 0,9901 → = 2,33

→ c − 1,6 = 0,932 → c = 2,532

c − 1 60 4

,,

X c− < −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

1 60 4

1 60 4

,,

,,

1 2 1 60 4

1 60 4

1 4 1 60 4

, ,,

,,

, ,,

− < − < −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

X

X − < −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

1 60 4

1 8 1 60 4

,,

, ,,

25 193 08

193 08

30 193 08

− ≤ − ≤ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, , ,

X'

X ' − ≥ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

193 08

20 193 08, ,

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DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL12Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Una prueba se compone de 10 preguntas y cada una de ellas presenta una única respuesta correcta de las cuatro respuestas posibles.

a) Si la prueba se supera con 3 o más respuestas correctas, ¿cuál es la probabilidad de superarla respondiendo al azar?

b) ¿Y cuál es la probabilidad de acertar las 10 preguntas respondiendo al azar?


Determinación de la variable aleatoria (0,5 puntos): X � B(10; 0,25)

Cálculo de la probabilidad (1 punto):

P( X ≥ 3) = 1 − P( X < 3) = 1 − ( P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2)) =

= 1 −

= 1 − (0,0563 + 0,1877 + 0,2816) = 0,4744


P( X = 10) = ⋅ 0,2510 ⋅ 0,750 = 0,00000095


La media de una variable aleatoria X con distribución normal es cinco veces la desviacióntípica, y verifica que:

P (X ≤ 6) = 0,8413

Calcular la media y la desviación típica de la variable aleatoria X.


X � N(5σ, σ)

P( X ≤ 6) = P = 0,8413


= 1 → 6 − 5σ = σ → σ = 1 → μ = 5


Se sabe que el 2 % de unos instrumentos es defectuoso. Si se dispone de una partida de 500 instrumentos, se pide:

a) Hallar el número medio de instrumentos que funcionarán.

b) Calcular la probabilidad de que funcionen al menos 485 instrumentos.

6 5− σσ

XP Z

− ≤ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ = ≤ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

5 6 5 6 5σσ

σσ

σσ

1010

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

100

0 25 0 75 101

00 10⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅, , ,225 0 75 10

20 25 0 759 2 8⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ ⋅

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟, , , ⎟⎟⎟ =

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MO

DE

LOS

PA

U

PA

RA

1.º B

AC

HIL

LER

ATO


Determinación de la variable aleatoria y cálculo de la media: 1 punto

X � B(500; 0,02)

μ = n ⋅ p = 500 ⋅ 0,02 = 10 instrumentos

Apartado b): 2 puntos

Aproximación de la distribución binomial por la normal: 1 punto

X = B(500; 0,02) → X' = N(10; 3,13)

Cálculo de la probabilidad: 1 punto

P( X' ≥ 485) = P( X' < 15) = P = P( Z < 1,6) = 0,9452


La variable X representa la presión arterial medida en milímetros. Se sabe que Xsigue una distribución normal con media 120 mm y desviación típica 10 mm.

a) Calcular la probabilidad de que la presión arterial de una persona sea menor que 110 mm.

b) Hallar la probabilidad de que X esté entre 120 mm y 140 mm.

c) Obtener un valor x0 tal que la probabilidad de que una persona tenga presión arterial mayor que x0 sea igual a 0,9901.


P( X < 110) = P = P( Z < −1) = 1 − P( Z < 1) = 1 − 0,8413 = 0,1587


P(120 < X < 140) = P = P(0 < Z < 2) =

= P( Z < 2) − P( Z < 0) = 0,9772 − 0,5 = 0,4772


P( X < x0) = 0,9901 → P = 0,9901 → P = 0,9901

→ − = 2,33 → −x0 + 120 = 23,3 → x0 = 96,7 mmx0 120

10−

Zx≤ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

0 12010

Zx> −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

0 12010

120 12010

12010

140 12010

− < − < −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

X

X − < −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

12010

110 12010

X' − < −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

103 13

15 103 13, ,

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Modelos_pau 1 Bach Mat ACS

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