107Estadstica

11Distribuciones geomtrica,binomial negativa y de Poisson

Introduccin

En este mdulo continuamos considerando las pruebas de Bernoulli, aunque la

variable de inters se define de otra manera. Cuntas pruebas tenemos que hacer

para lograr el primer xito, o para acumular cierto nmero de xitos deseados? A

estas preguntas responderemos con la distribucin geomtrica y con la binomial

negativa.

Veremos tambin en este mdulo la distribucin de Poisson, que sirve para modelar

muchos fenmenos y que tiene la ventaja de depender solamente de un parmetro.

Objetivos del mdulo

1. Continuar desarrollando el concepto de pruebas independientes de Bernoulli y

presentar modelos cuyo campo de aplicacin es muy amplio.

2. Presentar la distribucin de Poisson.

Preguntas bsicas

1. Por qu puede afirmarse que la distribucin geomtrica est contenida en la

distribucin binomial negativa?

2. Presente algunos ejemplos de situaciones donde sea aplicable la distribucin de

Poisson.

Contenidos del mdulo

11.1 Distribucin geomtrica

11.2 Distribucin binomial negativa

11.3 Distribucin de Poisson

Simon Poisson

El fsico y matemtico francs Simon DenisPoisson naci el 21 de junio de 1781 enPhitiviers y muri el 25 de abril de 1840 enla poblacin de Sceaux (cerca de Pars).

A Poisson se le conoce por sus trabajos enelectricidad, geometra diferencial, clculode variaciones, teora de la probabilidad yastronoma (fundamentalmente en lamatemtica del movimiento de la Luna). Enel campo de la electricidad intent calcularmatemticamente la distribucin de lascargas elctricas sobre la superficie de losconductores y posteriormente demostrque estas mismas formulaciones podanaplicarse de igual manera al magnetismo. Yaunque se le reconoce particularmente porla famosa distribucin de Poisson (quees un caso especial de la distribucinbinomial en estadstica), quizs su trabajoms importante fue una serie de escritossobre las integrales definidas y sobre lasdiferencias finitas (sobre estas ltimas,cuando tena tan slo 18 aos).

Poisson fue profesor en la EscuelaPolitcnica de Pars, en donde trabaj conel matemtico y astrnomo Joseph Louis

Vea el mdulo 11 del programade televisin Estadstica.

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11.1 Distribucin geomtrica

Realicemos sucesivamente pruebas de Bernoulli y detengmos cuando alcancemos

por primera vez un xito. Nos interesa estudiar el nmero de pruebas que tuvimos

que realizar.

Sea X el nmero de pruebas realizadas hasta lograr por primera vez un xito. Tendre-

mos entonces el siguiente dominio:

^ `1, 2, 3... .XR La frmula de probabilidad ser:

1( ) ( ) ,xP X x p x q p ^ `1, 2, 3... .Xx R Cuando una variable aleatoria X cumpla con este modelo, tendremos que:

( ).X GEOM pvDejamos como ejercicio al lector comprobar que al realizar la suma de las probabili-

dades para todos los valores del dominio, el resultado es 1.

Tambin queda como ejercicio hallar expresiones para la media y la varianza. Obser-

ve que en las distribuciones se presentan frmulas que permiten hallar la media y la

varianza con el simple conocimiento de los valores de los parmetros del modelo. En

el caso que nos ocupa del modelo geomtrico, tendremos:

1,

p P 2

2.

q

p V

Ejemplo: lanzamientos sucesivos de un dado, hasta obtener el resultado 1

a. Probabilidad de xito:

1.

6p

b. Con el valor de p = 1/6 el grfico de la distribucin geomtrica es como

aparece en la figura 11.1. Esta probabilidad de xito se mantendr constante

a lo largo de todos los lanzamientos.

Captulo 4: Distribuciones discretas de probabilidad

Lagrange y con el matemtico JosephFourier. Tambin fue profesor en laSorbona (en la ctedra de mecnica).

Adaptado de:

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/pois.html

Enciclopedia Encarta, 2006.

109Estadstica

Figura 11.1. Distribucin geomtrica con p = 1/6.

c. Sea X el total de lanzamientos requeridos para lograr por primera vez el

puntaje 1. Tendremos entonces que:

^ `1, 2, 3... .XR d. La media vale 6. Esto significa que en promedio se requieren seis lanzamien-

tos para que aparezca el resultado (es decir, el 1, o cualquier otro deseado).

e. La varianza vale

2

5 / 630.

(1/ 6)

f. La probabilidad de requerir al menos diez lanzamientos para obtener el resul-

tado deseado (el 1) es:

110 10

1 1

5 1( 10) ( ) 0.865412,

6 6

xx x

x x

P X p x

d o sea que la probabilidad de obtener el resultado deseado en los diez lanza-

mientos iniciales es muy alta.

La distribucin geomtrica cumple la importante propiedad de prdida de memoria,

que consiste en lo siguiente: si llevamos veinte lanzamientos y an no aparece el

resultado 1, la probabilidad de obtenerlo en el siguiente lanzamiento es igual a la

probabilidad que tenamos de obtenerlo en el primer lanzamiento. O sea que mien-

tras no aparezca el xito, siempre estamos como se empez. No hay memoria.

Formalmente tendramos:

( 21/ 20) ( 1).d ! dP X X P X

Mdulo 11: Distribuciones geomtrica, binomial negativa y de Poisson

110

De una manera general, planteamos la propiedad de prdida de memoria de la si-

guiente forma:

( / ) ( )P X s t X s P X td ! d , donde , Xs t R .(La demostracin de esta propiedad se presentar en el mdulo grabado en televisin.)

11.2 Distribucin binomial negativa

Realicemos sucesivamente pruebas de Bernoulli y detengmonos cuando alcance-

mos r xitos. Nos interesa estudiar el nmero de pruebas que tuvimos que realizar.

Sea X el nmero de pruebas realizadas hasta lograr r xitos. Tendremos entonces el

siguiente dominio:

^ `, 1, 2... . XR r r rLa frmula de probabilidad ser:

1( ) ( )

1

x r rx

P X x p x q pr

, ^ `, 1, 2... , Xx R r r ry escribiremos:

( , ),X PASCAL r pvdonde r es el total de xitos que se quiere acumular y p es la probabilidad de xito en

cada prueba de Bernoulli.

La figura 11.2 muestra la distribucin de Pascal, cuando sus parmetros son r = 2 y

p = 0.6.

Figura 11.2. Distribucin de Pascal con r = 2 y p = 0.6.

Captulo 4: Distribuciones discretas de probabilidad

111Estadstica

En los problemas propuestos al final del captulo pediremos al lector que obtenga la

media y la varianza, que son, respectivamente:

,r

p P

2

2.

rq

p V

Relacin entre la distribucin binomial y la de Pascal

Consideremos las siguientes dos variables aleatorias:

( , ),X BINOMIAL n pv( , ),vY PASCAL r p

en donde X es el nmero de xitos logrados al realizar n pruebas independientes,

todas con probabilidad de xito p, y Y es el nmero de pruebas de Bernoulli, con la

misma probabilidad de xito p, requeridas para obtener r xitos.

Podemos formular entonces la siguiente equivalencia:

^ ` ^ ` ,X r Y n !que en palabras sera: Si hay menos de r xitos en los primeros n ensayos, enton-

ces requeriremos ms de n pruebas para lograr r xitos, y viceversa.

Por tanto, podemos escribir que las probabilidades de estos sucesos son iguales:

( ) ( ),P X r P Y n !igualdad que tambin se cumple en trminos de sus complementos:

( ) ( ).t dP X r P Y nEsta relacin fue muy til hasta hace algunos aos porque permita hallar el valor de

probabilidades en el modelo de Pascal, conociendo los valores de las probabilida-

des en el modelo binomial que apareca tabulado en muchos libros de estadstica;

sin embargo, con la masificacin de los recursos computacionales hoy en da es

muy fcil calcular valores probabilsticos de cualquier distribucin.

11.3 Distribucin de Poisson

Recordemos que en la distribucin binomial tenamos n pruebas independientes,

todas ellas con la misma probabilidad de xito p. En muchos problemas reales tene-

mos que el nmero de pruebas es muy grande y que la probabilidad de xito es

pequea.

Mdulo 11: Distribuciones geomtrica, binomial negativa y de Poisson

112

Supongamos, por ejemplo, que una persona acciona una ruleta cuya probabilidad

de xito, como sabemos, es pequea, digamos p = 1/36. Si la persona acciona la

ruleta 1000 veces, cada vez que lo hace tendramos una prueba de Bernoulli, con una

probabilidad de xito muy pequea. La variable de inters es el nmero de xitos

logrados por una persona en los 1000 intentos. Tengamos en cuenta que el nmero

promedio de xitos logrados por todos los jugadores es (1/36)(1000), lo cual es

aproximadamente 28. O sea que en promedio cada persona tendra 28 xitos en su

serie de 1000 intentos. Si este promedio de eventos se mantiene constante de perso-

na a persona podemos definir la variable X as:

X : nmero de eventos que se producen en cada realizacin,

que en nuestro ejemplo ser el nmero de xitos que lograr una persona en sus

1000 intentos. La distribucin probabilstica es:

( )( ) ( )

!

x xeP X x p x

x

O , donde ^ `, 0, 1, 2 ... .R x OEn la figura 11.3 se muestra la distribucin de Poisson cuando el valor del parmetro

es 5.

Figura 11.3. Distribucin de Poisson con O = 5.El dominio de esta variable incluye el cero y todos los nmeros naturales. El parmetro

es ,O que, como lo establecimos en el ejemplo y ser demostrado, corresponde alnmero promedio de eventos por realizacin.

Tambin demostraremos que

0

( )1,

!

x xe

x

f Oy emplearemos la siguiente notacin:

( ).OvX POISSON

Captulo 4: Distribuciones discretas de probabilidad

113Estadstica

Igualmente hallaremos que:

( )E X P Oy

2 ( ) ,V X V Olo cual significa que en este modelo la media y la varianza coinciden.

Finalmente, miremos algunas situaciones en las que puede aplicarse la distribucin

de Poisson:

El nmero de llamadas que ingresan a un conmutador telefnico durante unminuto.

El nmero de defectos por cada metro cuadrado de tela producido en unafbrica.

El nmero de bacterias por centmetro cbico de cierto lquido. El nmero de accidentes que se presentan en cierto cruce durante un mes.Para que el modelo de Poisson sea vlido hay que cerciorarse de que los eventos

sean independientes entre s. La distribucin probabilstica de la distribucin de

Poisson puede obtenerse a partir de la distribucin binomial, asumiendo que el

nmero de pruebas es muy grande. Puede decirse que las pruebas son infinitesimales,

la correspondiente probabilidad de xito es muy pequea y el producto np = O semantiene constante.

Mdulo 11: Distribuciones geomtrica, binomial negativa y de Poisson

Actividades de autoestudio

Resumen

Hemos presentado otros modelos discretos que nos darn ms recursos para resolver problemas. En los casos geom-

trico e hipergeomtrico hacemos referencias a la sucesin de pruebas de xito o fracaso. En el caso de la distribucin

de Poisson estudiamos la ocurrencia de eventos contenidos en un continuo; por ejemplo, cuando estudiamos el

nmero de accidentes que ocurren en una empresa en cada semana, etc.

1. Sea X el puntaje obtenido al lanzar un dado.

a. Halle y .x xP Vb. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

X es par. .X ! S 1 .X S 4.3.X 4.3.X t