153Estadstica

16Distribuciones muestrales

Introduccin

Las muestras aleatorias obtenidas de una poblacin son, por naturaleza propia,

impredecibles. No se esperara que dos muestras aleatorias del mismo tamao y

tomadas de la misma poblacin tengan la misma media muestral o que sean comple-

tamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadstico, como la media

muestral, cambie su valor de una muestra a otra. Por ello se quiere estudiar la

distribucin de todos los valores posibles de un estadstico. Tales distribuciones

sern muy importantes en el estudio de la estadstica inferencial, porque las

inferencias sobre las poblaciones se harn usando estadsticas muestrales.

Objetivos del mdulo

1. Identificar los principales estadsticos.

2. Construir distribuciones muestrales.

3. Identificar las principales distribuciones muestrales que se utilizan en el muestreo.

Preguntas bsicas

1. Qu es un estadstico?

2. Cmo se calcula la distribucin muestral de un estadstico?

3. Cules son las caractersticas de la distribucin de la media muestral?

Contenidos del mdulo

16.1 Estadstico

16.2 Muestra aleatoria

16.3 Distribucin muestral de un estadstico

16.4 Distribucin muestral de la media X

16.4.1 Caso particular: si la distribucin de X es normal

16.4.2 Caso particular: si la distribucin de X es desconocida

El dueo de una cafetera desea saber si sumquina dispensadora de jugos tiene unbuen funcionamiento. Para averiguarlo, sepueden tomar las medidas en onzas detodos los jugos vendidos durante unamaana y calcular la probabilidad de que elvolumen promedio despachado por lamquina no exceda de un valor promedioque, con anterioridad, se estableci paraque la venta no diera prdidas.

Vea el mdulo 16 del programade televisin Estadstica.

154

16.1 Estadstico

Es cualquier cantidad cuyo valor numrico puede calcularse a partir de datos

muestrales. Un estadstico es una variable aleatoria, se denota por una letra mays-

cula y sus valores calculados u observados se denotan por una letra minscula.

16.2 Muestra aleatoria

Las variables aleatorias 1 2, ,..., ,nX X X que constituyen un vector aleatorio, forman

una muestra aleatoria de tamao n si:

1. Las Xi son variables aleatorias independientes.

2. Toda Xi tiene la misma distribucin de probabilidad.

Luego las Xi son independientes e idnticamente distribuidas (i.i.d.).

16.3 Distribucin muestral de un estadstico

Es la distribucin de los valores que puede tomar un estadstico respecto a todas las

muestras de tamao n que se podran extraer.

Ejemplo 1

Hay dos semforos en mi camino hacia el trabajo. Sea X1 el nmero de semforos en

los que debo detenerme y supongamos que la distribucin de X1 es como sigue

(tabla 16.1):

Tabla 16.1. Distribucin de probabilidad de X1.

X1

P(X1)

0

1

2

0.2

0.5

0.3

con 21.1, 0.49. P VSea X

2 el nmero de semforos en los que debo detenerme a mi regreso a casa,

claramente independiente de X1. Suponga que X

2 tiene la misma distribucin de X

1,

de modo que X1, X

2es una muestra aleatoria de tamao n = 2.

a. Sea 0 1 2T X X y determine la distribucin de probabilidad de T0.b. Calcule

0TP . Cmo se relaciona con la media poblacional?

c. Calcule 0

2

TV . Cmo se relaciona con la varianza poblacional?

Captulo 7: Distribuciones muestrales

155Estadstica

Solucin

La tabla 16.2 muestra los posibles pares 1 2( , ),x x la probabilidad de cada uno y los

valores de 0 1 2 .T X X Tabla 16.2. Distribucin de probabilidad

del estadstico muestral T0.

1x 2x 1 2( , )p x x 0t

0

0

0

1

1

1

2

2

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

1

2

3

2

3

4

0.04

0.10

0.06

0.10

0.25

0.15

0.06

0.15

0.09

Luego la distribucin de masa de probabilidad es:

0t

0 0( )Tp t

0

0.04

1

0.20

2

0.37

3

0.30

4

0.09

0 00 0 0( ) ( )

0*0.04 1*0.20 2*0.37 3*0.30 4*0.09

2.2 es decir, 2 1.1).

T TE T t p t

n

uPP

0 0 0

2 2 2

0 0

2 2 2 2 2

2

( )

0 *0.04 1 *0.20 2 *0.37 3 *0.30 4 *0.09

5.82 4.84 0.98 (es decir, 2 0.49).

T T tt p t

n

uV P

VEjemplo 2

Este es un ejemplo de simulacin, en donde la distribucin de la poblacin es normal

con media 8.25 P y 0.75, V como se puede ver en la figura 16.1.Se realizaron cuatro experimentos 500 veces para cada uno. En el primer experimento

se generaron 500 muestras de n = 5 observaciones, cada una mediante el programa

estadstico R, y los tamaos muestrales para los otros tres experimentos fueron n =

10, n = 20 y n = 50, respectivamente. Se calcul para cada muestra la media muestral

y se realizaron histogramas de los valores x (figura 16.2).

Mdulo 16: Distribuciones muestrales

156

Figura 16.1. Distribucin normal con 8.25P y 0.75.V

Figura 16.2. Histogramas muestrales para x basados en 500 muestras, cada una formada por n observaciones: a: n = 5, b: n = 10, c: n = 20 y d: n = 50.

Captulo 7: Distribuciones muestrales

157Estadstica

Para cada uno de los cuatro histogramas se observa una forma similar a la curva

normal. Adems se ve que cada histograma est centrado en la media de la pobla-

cin de la cual se hizo el muestreo, en 8.25. Finalmente se puede ver que X basada

en una n grande tiende a estar ms cerca de P que X basada en una n pequea.16.4 Distribucin muestral de la media X

Sea 1 2, ,..., nX X X una muestra aleatoria de tamao n de una distribucin normal con

media P y varianza V ; entonces 1

ni

i

XX

n tiene una distribucin normal conmedia

X P P y varianza 22X

n VV .

Puesto que 1 2, ,..., nX X X es una muestra aleatoria de una distribucin normal con

media P y varianza 2 ,V las Xi son variables aleatorias independientes con distribu-

cin normal, con ( ) ,i

E X P 2( )iV X V y 1 21

1 1( ... );

n

i n

I

X X X X Xn n

entonces el valor esperado y la varianza sern:

Valor esperado

1 2

1 2

1( ) ( ... )

1( ( ... ))

1( ... )

1( ) .

n

n

E X E X X Xn

E X X Xn

n

nn

P P PP P

Es decir, el centro de la distribucin de la media muestral coincide con el centro de

la distribucin de X.

Varianza

1 2

1 22

2 2 2

2

22

2

1( ) ( ... )

1( ( ... ))

1( ... )

1( ) .

n

n

V X V X X Xn

V X X Xn

n

nnn

V V VVV

Mdulo 16: Distribuciones muestrales

Vea en su multimedia deEstadstica la aplicacin deprogramacin Mean estimateexperiment (Media estimada)Tomado de:http://www.math.uah.edu/stat/

Vea en su multimedia deEstadstica la animacin Llegadasal banco.

158

16.4.1 Caso particular: si la distribucin de X es normal

Si 2( , )X NORMALv P V y si X es la media muestral basada en una muestraaleatoria de la distribucin X,

2

,X NORMALn

v VP ,o de forma anloga:

(0, 1)./

XNORMAL

n

vPV16.4.2 Caso particular: si la distribucin de X es desconocida

Si la distribucin de X es desconocida no se puede hablar con exactitud acerca de la

distribucin de X . Sin embargo, si el tamao de la muestra, n, es grande se sabe que

esta distribucin se puede aproximar a una distribucin normal.

Resumen

Se definieron un estadstico y una muestra aleatoria y la forma de encontrar la distribucin muestral del estadstico,

en particular el total muestral y la media muestral (que son dos de los estadsticos ms importantes, al igual que sus

distribuciones muestrales). La aplicacin de estas distribuciones se dar de manera puntual en captulos posteriores.

Captulo 7: Distribuciones muestrales