Módulo de Diseño de Engranajes

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

Henry I. Morantes. Ingeniero Mecánico Docente Usta Tunja.

DISEÑO DE ENGRANAJES – Introducción, terminología y geometría Uno de los problemas principales de la Ingeniería Mecánica es la transmisión de movimiento, entre un conjunto motor y máquinas conducidas. Desde épocas muy remotas se han utilizado cuerdas y elementos fabricados de madera para solucionar los problemas de transporte, impulsión, elevación y movimiento.

El inventor de los engranajes en todas sus formas fue Leonardo da Vinci, quien a su muerte en la Francia de 1519, dejó para nosotros sus valiosos dibujos y esquemas de muchas de los mecanismos que hoy utilizamos diariamente.

La forma más básica de un engrane es una pareja de ruedas, una de ellas provistas de barras cilíndricas y la otra formada por dos ruedas unidas por barras cilíndricas

En la figura se aprecia un mecanismo para repeler ataques enemigos, consiste de aspas al nivel del techo movidas por un eje vertical, unido a un "engranaje”, el movimiento lo producen soldados que giran una rueda a nivel del piso y provocando que los enemigos que han alcanzado el techo sean expulsados. En este mecanismo se muestra la transmisión entre dos ejes paralelos, uno de ellos es el eje motor y el otro el eje conducido.

Leonardo se dedica mucho a la creación de máquinas de guerra para la defensa y el ataque, sus materiales son madera, hierro y cuerdas las que se elaboran en forma rudimentaria, pero sus esquemas e invenciones trascienden el tiempo y nos enseñan las múltiples alternativas que nos brindan mecanismos básicos de palancas, engranes y poleas unidas entre sí en una máquina cuyo diseño geométrico es notable.



En la segunda figura se puede apreciar la transmisión trasera para un carro, el eje vertical mueve el "engrane" que impulsa las ruedas hacia adelante o atrás. En este mecanismo los ejes están perpendiculares entre sí.

Se puede deducir que la posición entre los ejes es de gran importancia al diseñar la transmisión. Las situaciones son principalmente tres: ejes paralelos, ejes que se cortan y ejes que se cruzan. Un ejemplo de esta última situación se aprecia en la figura, en donde una manivela mueve un elemento que llamaremos tornillo sin fin el que a su vez mueve la rueda unida a él. En este caso, el mecanismo se utiliza como tecle para subir un balde. Los ejes se encuentran en una posición ortogonal, o sea, se cruzan a 90 grados.

Nomenclatura y terminología básica Los engranajes son ruedas provistas periféricamente de dientes de forma especial (perfil de involuta) que garantizan una razón de velocidades constante entre la entrada (engranaje conductor) y la salida (engranaje conducido). Usualmente se llama piñón al engranaje más pequeño de los dos en contacto, mientras que al grande se le llama engrane. La relación de velocidades se define como la razón inversa de diámetros de paso (d).

El diámetro de paso (pitch circle) es aquel donde los dos dientes hacen contacto sobre la línea de centros y no debe confundirse con el diámetro externo o el diámetro de raíz (ver figuras 1 y 2). No debe confundirse con el paso diametral o circular, que es la distancia entre un diente y otro sobre el diámetro de paso.

Figura 1. Paso diametral y diámetro de paso.

Una de las condiciones indispensables para que dos engranajes hagan un buen contacto, es que los dientes de ambos tengan el mismo tamaño, el cual está dado por el paso diametral (Pd) que se define como el número de dientes (N) por pulgada de longitud sobre la circunferencia de paso:



Figura 2. Detalle de contacto entre dos engranajes de dientes rectos.

A mayor número de diámetro de paso, más pequeño es el diente y el diámetro mismo del engranaje, lo que implica menor capacidad de transmisión de potencia. El tamaño y forma del diente lo da el tipo de fresa empleada para cortarlo. Reemplazando la expresión anterior en la fórmula de velocidades, se tiene:

Si se necesita trabajar en unidades del sistema internacional, se emplea el módulo (m) en reemplazo del paso diametral. El módulo se calcula como el inverso del Pd, es decir, como el diámetro (en milímetros) dividido el número de dientes.

Los pasos diametrales comerciales vienen en tamaño limitados, que se listan a continuación: Grueso 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 Fino 20, 24, 32, 48, 64, 72, 80, 96, 120 Se conoce como ángulo de presión, al ángulo formado entre la línea de acción de la fuerza transmitida y la perpendicular a la línea de centros (figura 2); o bien, entre la línea radial y la tangente al diente sobre el diámetro de paso (figura 3). Este ángulo determina que tan robusto es el diente, y por tanto, que tanta fuerza es capaz de transmitir.

Figura 3. Ángulo de presión.



En la siguiente tabla se explican los ángulos de presiones comerciales existentes, y el número mínimo de dientes (N) que debe tener el piñón:

Tipos de Engranajes Existen diferentes tipos de engranajes según la forma del diente y del cuerpo del engranaje mismo. Cada uno de estos elementos tiene algún tipo de ventaja relativa que le da un uso específico. Entre los principales engranajes según la forma de los dientes se encuentran los rectos y helicoidales; y según la forma del cuerpo están los engranajes cilíndricos, cónicos, sinfín corona y cremalleras.

Engranajes Cilíndricos (para ejes paralelos y que se cruzan) Engranajes Cónicos (para ejes que se cortan y que se cruzan) Tornillo sin fin y rueda helicoidal (para ejes ortogonales)

Figura 4. Nomenclatura de un contacto de engranaje.

Engranajes Rectos (spur gears) Son los engranajes más comunes. Se caracterizan por tener dientes cortados perpendicularmente a la cara del engranaje. Son los más baratos y por ende, los de mayor disponibilidad técnica y comercial. La geometría descriptiva (nomenclatura) se muestra en la figura 4.



Figura 5. Engranaje recto y engranajes helicoidales.

Los engranajes rectos solo se pueden usarse para transmitir potencia entre ejes paralelos. Sin embargo, son los más comunes, baratos y eficientes. Engranajes helicoidales (helical gears)

Son similares a los rectos, con la diferencia que los dientes son cortados en un ángulo específico respecto a la línea del eje (ángulo de hélice). El resultado es un diente más largo que el diente recto equivalente, lo que trae las siguientes consecuencias:

La capacidad de carga es mayor porque el diente es más largo y por ende tiene mayor área de base.

Tiene una mayor superficie de contacto lo que reduce los esfuerzos superficiales y con ello el desgaste de los dientes.

Debido al ángulo, el contacto entre dientes es gradual y más suave, lo que reduce el ruido y la vibración y permite operar a mayores velocidades.

En función del ángulo, se puede transmitir potencia entre ejes no paralelos, aunque la principal aplicación se da entre ejes perpendiculares.

Entre sus desventajas está el mayor costo de fabricación y la generación de reacciones (fuerzas internas) sobre el eje en sentido axial, a parte de las radiales.



Engranajes cónicos (bevel gears) Se utilizan principalmente para transmitir potencia entre ejes que se interceptan. Los dientes de estos engranajes se forman a partir de una superficie cónica truncada. Los de tipo estándar tienen dientes rectos en la dirección de la línea que apunta al vértice del cono original, pero también hay dientes en forma de arco. Los hipocicloides son una especie de engranajes cónicos con dientes en espiral que permiten unir ejes no paralelos y que no se interceptan. Los engranajes cónicos son más costosos que los cilíndricos y se utilizan a velocidades por debajo de los 100 pies por minuto.

Figura 6. Engranajes cónicos. Engranajes sinfín – corona (worm gears). El sinfín es un tipo especial de engranaje que se asemeja a un tornillo, solo que el perfil de su filete helicoidal ha sido modificado para impulsar engranajes rectos o helicoidales (corona). Permiten acoplar ejes que no interceptan, generalmente paralelos entre sí.

Figura 7. Sinfín – corona.



A parte de la posición relativa de los ejes, un sinfín corona se utiliza normalmente cuando se necesita una relación de velocidades muy grande, la cual se puede calcular como la razón entre el número de dientes de la corona sobre el número de hilos del sinfín:

Una de sus características más importantes es su irreversibilidad: cuando el sinfín se mueve, éste impulsará la corona, pero al tratar de girar la corona el sinfín no girará. Esta condición de autobloqueo resulta de gran utilidad en diferentes aplicaciones; por ejemplo cuando a la salida de un mecanismo se tiene una carga pasiva o activa y se necesita generar una detención dentro del ciclo de operación, se puede utilizar un sinfín conectado al motor y así no hay necesidad de emplear un freno mecánico en el mecanismo o uno electromagnético en el motor. Además, los sinfín corona pueden tolerar grandes cargas con altas relaciones de velocidad pero las eficiencias de transmisión son muy bajas.

Cremalleras (Rack) El conjunto corona - cremallera es un tipo de engranajes de dientes rectos usados para convertir movimiento rotacional en transnacional; en teoría una cremallera es un engranaje de diámetro infinito. El torque y la fuerza, al tiempo que la velocidad lineal y angular están relacionadas a través del radio del piñón, como se muestra a continuación:

Figura 8. Cremallera – corona.

Si bien este elemento es bastante útil, sus aplicaciones reales son contadas debido a su costo. A su favor se tiene su gran eficiencia de transmisión de potencia y su buena precisión para control de movimiento (por encima de otros métodos).

Trenes de engranes



Cuando en un arreglo existe más de un engrane transmitiendo potencia y se encuentra en relación con otros, al arreglo se le llama tren de engranes. Los trenes se utilizan para transmitir altas potencias en distancias cortas o para permitir la selección de una relación de transmisión mediante la combinación de dos o más engranes. Por lo general todos los ejes o flechas sobre las que están montados los engranes tienen sus ejes axiales paralelos entre sí pero también se pueden encontrar perpendiculares y angulados. Los engranes que se utilicen en un mismo arreglo deben tener el mismo tipo y características de sus dientes, aunque a veces se utilizan arreglos de engranes de diferente tipo unidos físicamente o montados sobre el mismo eje o flecha.

Tren de engranes simple

Existe cuando un engrane está unido a un eje y se encuentra transmitiendo con otro o más engranes. Por lo general se utiliza para mover mecanismos de apertura por su uso en la transmisión en distancias cortas, también se les puede encontrar en sistemas reductores de velocidad o en bombas centrífugas donde los engranes comúnmente vienen en pares. En los sistemas de apertura valvular de los automóviles con doble árbol de levas son muy utilizados para tener una sincronización exacta.

Figura 9. Tren de engranajes simple.

La relación de velocidades está dada por la relación inversa de número de dientes, sin importar el número de dientes intermedio:

Tren de engranes compuesto.

Se forma cuando un eje tiene montados más de un engrane no importando la distancia entre estos. Se utiliza para transmitir altas potencias en distancias considerables como en los sistemas de transmisión de los automóviles o en las propelas de los submarinos y barcos. Por lo general el tren se relaciona con otros ejes que pueden ser paralelos o perpendiculares entre sí. La máxima relación aconsejable entre un engranaje recto y otro es de 10 a 1, pero cuando se buscan relaciones de velocidades más altas, se utilizan este tipo de trenes. La relación de velocidades está dada por el cociente entre el

producto de los dientes conducidos y el producto de los dientes conductores:



Tren de engranes recurrentes e invertidos.

Cuando los ejes de entrada y salida no son coincidentes pero deben ser paralelos o incluso concéntricos y tienen una transmisión, se dice que hay un tren de este tipo. El arreglo se utiliza cuando las posibilidades de espacio o de ocupación son pocas y por lo tanto se debe hacer un “salto” para poder transmitir potencia. “Es como si existiera un arreglo entre dos trenes simples y uno compuesto”, en donde el tren compuesto permite la transmisión o reducción entre el tren simple de entrada con respecto al de salida. Este arreglo se encuentra en la mayoría de las transmisiones estándar de los automóviles por poder tener una relación cambiante de transmisión al existir

engranes diferentes en el tren compuesto y tener un movimiento axial que permita su ajuste con respecto al tren de entrada y el de salida. La relación de velocidades es la misma que la anterior.

Tren de engranes planetarios.

En este tipo, por lo general, existe un engrane montado sobre un eje exactamente al centro del arreglo. A su alrededor y en relación con este existen tres o más engranes que pueden o no estar montados a otros ejes, pero que tienen contacto directo con un engrane interior (observar la figura). Este arreglo se utiliza como reductor o multiplicador para obtener (p. Ej.) menos revoluciones y más torque sobre el engrane interior (corona), por lo que es muy utilizado en los sistemas de transmisión de camiones o automóviles pesados en el eje trasero. En el caso de los sistemas de

transporte el engrane piñón va unido a un eje que conecta directamente sobre un tren de engranes compuestos o recurrentes e invertidos para poder obtener la potencia del motor y transmitir a las ruedas traseras.



DISEÑO DE ENGRANAJES

Un par de engranes que trabajan unidos se diseñan a partir de sus círculos primitivos o de paso, estos círculos son siempre tangentes entre si. El diámetro de estos círculos se obtiene de multiplicar el módulo por la cantidad de dientes. El módulo se define como el tamaño de los dientes y para que dos engranes trabajen juntos deben tener igual módulo. Se tiene entonces:

Dp = M Z

En donde

Dp: diámetro primitivo o de paso M: módulo Z: cantidad total de dientes del engrane

Si se tienen dos engranajes 1 y 2 con velocidades de giro n1 [rpm] y n2 [rpm] se pueden obtener unas relaciones de gran utilidad. Si los dos engranes van a trabajar juntos, en una unidad de tiempo ambos recorren la misma cantidad de metros, por ejemplo en un minuto ambos recorren:

n1 p Dp1 = n2 p Dp2

n1 / n2 = Dp2 / Dp1 Pero Dp = M Z

n1 / n2 = Z2 / Z1

Se define la relación de transmisión i : 1 como la cantidad de vueltas que debe dar el engranaje motor para que el engranaje conducido de una vuelta. Por ejemplo, un reductor que disminuya a un cuarto la velocidad de giro tiene una relación 4 : 1.

En general: i = n1 / n2 = Dp2 / Dp1 = Z2 / Z1

De esta forma, un diseño de engranajes parte por definir el módulo y la relación de transmisión que se desea, de esta forma y usando las relaciones anteriores se obtienen los diámetros de paso. Se entregan a continuación los valores típicos para el módulo:

Módulos

Preferidos 2da

Opción

1 1.125

1.25 1.375



1.5 1.75

2 2.25

2.5 2.75

3 3.5

4 4.5

5 5.5

6 7

8 9

10 11

12 14

16 18

20 22

25 28

32 36

40 45

Otra forma de indicar el tamaño de los dientes es indicando el Paso diametral [dientes/ pulgada], se tiene que:

Pd = Z / Dp Pd : Paso diametral

Pd = 1 / M

Los tamaños más utilizados para el Paso diametral son:

Paso diametral

Bastos Finos

2 20

2.25 24

2.5 32

3 40

4 48

6 64

8 80

10 96

12 120

16 150



La siguiente parte es el diseño de los dientes, que deben tener un forma tal que en todo momento exista contacto entre el piñón (el engrane de menor diámetro) y la corona (el engrane de mayor diámetro). El perfil utilizado generalmente es el de la evolvente de círculo y en otro casos el de la cicloide.

La curva evolvente se genera en base a un círculo de base sobre el cual se enrolla un hilo inextensible AB. Dejando el extremo A fijo sobre el círculo, se mueve el extremo B como desenrollando el hilo AB, el extremo B describirá una evolvente que es una curva que cambia de radio punto a punto, comienza con radio nulo y se separa del círculo con radios crecientes. Siempre la parte recta del segmento AB es tangente al círculo. En la animación siguiente puede apreciarse como se genera esta curva.

Se diseñará a modo de ejemplo un par de engranes para una relación de transmisión de 2 : 1 con módulo 5. Se utilizarán 20 dientes en el piñón y por o tanto 40 dientes en la corona. Los dientes de todo engrane se empujan en una dirección llamada línea de presión, línea de acción o generatriz, esta línea se encuentra inclinada con respecto a la línea AB, tangente a ambos círculos de paso.

Se tiene entonces:

Piñón Corona

M = 5 M = 5

Z = 20 Z = 40

Dp = 100 Dp = 200

Los valores mas utilizados para la inclinación de la línea de presión son:

20º 20.5º 25º 14.5º (obsoleto)

En nuestro ejemplo se utilizarán 20º.

La figura siguiente muestra el inicio del trazado del par de engranes, indicando los diámetros de paso y la línea de presión.



La siguiente animación muestra el objetivo final.

Para generar las curvas evolventes en ambos engranajes se traza el círculo de base, concéntrico con el círculo de paso y tangente a la línea de presión. En la figura se muestran los círculos de base para nuestro ejemplo.

Finalmente se limita el tamaño de los dientes entre dos círculos, por encima y por debajo del círculo de paso. El límite inferior, que determina el comienzo de los dientes se obtiene restando al radio de paso una cantidad denominada dedendo. El dedendo vale:

d = 1.25 / Pd d = 1.25 M

En nuestro ejemplo: d = 6.25, determinando un círculo de radio 43.75 para el piñón y de 93.75 para la corona.



El límite superior de los dientes se obtiene sumando al radio de paso una cantidad denominada adendo. El adendo vale:

a = 1 / Pd a = M

En nuestro ejemplo : a = 5, determinando un círculo de radio 55 para el piñón y de 105 para la corona. En la figura siguiente se aprecian estos círculos que determinan el largo de los dientes. Es importante notar que en el caso del piñón los tres círculos quedan bien separados y en el caso de la corona el círculo de base es muy parecido al círculo interior.

Se procede al dibujo de las curvas evolventes para ambos engranes, usando el proceso mostrado. La imagen muestra el trazado en la evolvente en la parte superior del piñón.

Se limita la curva entre el círculo exterior y el círculo de base. La curva evolvente no puede trazarse debajo del círculo de base, por ello, el diente debe continuarse con una línea en dirección radial hasta cortar el círculo interior.



Trazado el perfil del diente, se calcula el paso circular, que es la distancia medida sobre el círculo de paso que indica la separación entre dientes sucesivos. Se obtiene dividiendo la longitud del círculo de paso en la cantidad de dientes.

Paso circular = Pc = p Dp / Z como Dp = M Z

Pc = p M

En este espacio Pc debe caber un diente propio y un diente del otro engrane. Se copia un perfil igual al trazado y uno rotado para generar la forma final. En nuestro ejercicio el piñón tiene 20 dientes, esto indica que cada 18º hay un diente. En la figura siguiente se muestra el trazado final del diente del piñón.

Este perfil se copia 20 veces y se tiene el dibujo final del piñón. Con la corona se realiza un proceso semejante.



En la animación siguiente se muestran los dientes del piñón y de la corona en su forma final, es importante apreciar que el contacto entre los dientes se lleva acabo a lo largo de la línea de presión indicada. Los dientes se empujan y rotan sin resbalar y cuando un diente deja de tener contacto otro inicia el contacto, manteniendo el movimiento constante.

En el diseño de los engranajes se busca la forma y el ancho del diente para soportar las cargas que se ejercen sobre ellos. Esta carga varía principalmente, dependiendo de la potencia transmitida y de la velocidad de giro.



http://www2.ing.puc.cl/~icm2312/apuntes/engrana/disenob.html

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