Modulo de probabilidad.

11º.

Profesor.Pierre Páez.

1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral.

Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.

Para empezar, vamos a prestar atención a experiencias aleatorias sencillas como lanzar dados o monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas,...

Ejemplos: En un dado, E= {1, 2, 3, 4, 5,6} En una moneda, E= {C,+} Lanzar tres monedas. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz,

obtenemos el siguiente espacio muestral:

E= {(CCC), (CCX), (CXC), (XCC), (CXX), (XCX), (XXC), (XXX)}

Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

2. Sucesos. Operaciones con sucesos.

2.1. Sucesos.

En unos de los ejemplos del capítulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo: Salir múltiplo de 5:

A={5,10,15}

Salir número primo:C={2,3,5,7,11,13,17}

Salir mayor o igual que 12:D={12,13,14,15,16,17,18}

Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.

Clases de sucesos. Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales. El suceso vacío o suceso imposible, Ø. El propio espacio muestral E o suceso seguro.

Ejemplo.

Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y B?

Solución:

Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales:

E= {(VVV), (VVH), (VHV), (HVV), (VHH), (HVH), (HHV), (HHH)}

Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos elementales:

A= {(HHH), (HHV), (HVH), (HVV)}

B= {(VVV), (HVV)}

2.2. Operaciones con sucesos.

Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

Unión es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.

Intersección es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B.

Diferencia es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Suceso contrario El suceso =E - A se llama suceso contrario de A.

Definición.

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø (A y B son disjuntos).

Las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades:

Unión Intersección

1. Conmutativa

2. Asociativa

3. Idempotente

4. Simplificación

5. Distributiva

6. Elemento neutro

7. Absorción

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole.

En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan:

El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:

El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:

Ejemplo.Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las cuestiones siguientes:

a. Calcula los sucesos y . b. Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles? c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

Solución:

Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación:

A = {2, 3, 5,7}B = {1, 4,9}

A partir de estos conjuntos, tenemos:

1. La unión e intersección de A y B son: = {1,2,3,4,5,7,9}= Ø

2. Al ser = Ø, los sucesos A y B son incompatibles.

3. El suceso contrario de A es = {1,4,6,8,9}

El suceso contrario de B es = {2,3,5,6,7,8}

3. Definición de Probabilidad. Propiedades.

3.1. Definición de Probabilidad.Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.

Definición de Bernoulli.

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.

La frecuencia relativa del suceso A:

Propiedades de la frecuencia relativa:

1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A. 2. fr ( ) = fr(A) + fr (B) si = Ø. 3. fr (E) = 1 fr (Ø) = 0.

Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.

Definición axiomática.

La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.

Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un número que verifica:

1. Cualquiera que sea el suceso A, P(A) 0.

2. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de las probabilidades.

= Ø P ( ) = P(A) + P (B).

3. La probabilidad total es 1. P (E) = 1. Definición de Laplace.

En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.

3.2. Propiedades.

1. P( ) = 1 - P( A )

2. P( Ø ) = 0

3. Si A B P( B ) = P( A ) + P( )

4. Si A B P( A ) P( B )

5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces:

P( A1 A2 ... Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )

6. P ( ) = P(A) + P (B) - P ( ).

7. Si A y B son disjuntos P ( ) = P(A) + P (B)

8. Si el espacio muestral E es finito y un sucesos es A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces:

P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )

Ejemplo 1.En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS?

Solución:

Ejemplo2. En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas:

P (REY)=0.15, P (BASTOS)=0.3, P ("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6.

a. ¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad. b. ¿Cuántas cartas hay?

Solución:

a. P( ni REY ni BASTOS )=P( ) P( REY BASTOS ) = 1 - 0.6 = 0.4

P( REY BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) - P( REY BASTOS )

Sustituyendo:

0.4 = 0.15 + 0.3 - P (REY BASTOS) P (REY BASTOS) = 0.05

Por tanto, el REY de BASTOS está y su probabilidad es:

P (REY de BASTOS) = P (REY BASTOS) = 0.05 = 1/20

b. Una porción de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio "de Laplace", pues la probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montón la probabilidad del rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas.

Ejemplo3.Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:

a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?

Solución:El espacio muestral del experimento es:

E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1);...; (6,6)}

Y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos posibles del experimento.

Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:

a. Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:

A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.

Por tanto, P(A) = 12/36 = 1/3

b. Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son:

B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6); (6,3)}.

Por tanto, P (B) = 12/36 = 1/3

Ejemplo 4. En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color?

Solución:

Calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace.

Los casos posibles son las distintas formas de extraer 3 bolas entre 90. Como el orden no debe tenerse en cuenta, estos casos son:

Los casos favorables son 15 · 30 · 45 = 20 250. Éstas son las formas de agrupar tres bolas de distinto color. La probabilidad pedida es:

Ejemplo5. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes:

a. Que las dos cifras sean iguales. b. Que su suma sea 11. c. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13.

Solución:

El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11,..., 98, 99. Para cada suceso del enunciado calculamos sus casos favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos:

a. Los casos favorables son: 00, 11, 22,..., 99. La probabilidad de que las últimas cifras sean iguales es:

P (últimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1

b. Los casos favorables a que la suma de las últimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 y 92. Por tanto,

P (últimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08

c. Deben contarse los números de dos cifras cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un recuento ordenado, se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es:

P (últimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.43

Ejemplo6.

Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:

a. La suma de los números aparecidos sea menor que 8. b. La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.

Solución:

Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211,..., 665, 666.

Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades:

a.

b.

4. Probabilidad condicionada.

En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad se verá en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veamos un ejemplo.

Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la misma que en la primera.Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.

Definición. Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.

De esta igualdad se deduce: P (B A) = P (B/A) · P(A)

La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C:

P( A B C ) = P( A ) · P( B/A ) · P( C/A B ) Esta fórmula admite una generalización para un número cualquiera de sucesos.

Ejemplo 1.

Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar:

Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1, 3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1.

Ejemplo 2.Se lanzan dos dados:

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los

dados haya salido un tres?

Solución:

Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un tres".

Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1).

Por tanto, P(A)=6/36=1/6

a. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto,

P (B/A)=2/6=1/3

5. Definición de independencia.

El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí.

Definición. Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A )

Como consecuencia inmediata de la definición se tiene:

Dos sucesos A y B son independientes si se cumple:

P(A B) = P(A) · P (B)

Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez:

P (A B) = P (A) · P (B)

P (A C) = P (A) · P(C)

P (B C) = P (B) · P(C)

P( A B C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )

Ejemplo1.

Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7;

P (B)=0.6; P ( )=0.58.

a. ¿Son independientes A y B?

b. Si M A, ¿cuál es el valor de P ( / )?

Solución:

a. Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A B ) = P( A ) · P( B )

P ( ) = P [(A B)c] = 1 - P(A B)

Por tanto, P(A B) = 1 - P( ) = 1 -0.58 = 0.42

Por otro lado, P( A ) · P( B ) = 0.7 · 0.6 = 0.42

Luego, A y B son independientes, pues P( A B ) = P( A ) · P( B ) = 0.42

b. M A . Por tanto,

6. Tablas de contingencia y diagramas de árbol.

En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol.Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema.

Conversión de una tabla en diagrama de árbol

Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos.

En el caso de los sucesos A, , B y ,

expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta.

Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada

uno de los sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y .

Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:

Conversión de un diagrama en tabla de contingencia

De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si más que utilizar la expresión

P (B A) = P (B/A) · P(A),

Para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.

Ejercicio 6-1:

Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa.

A TOTAL

B P( A B ) P( B ) P( B )

P( A ) P( ) P( )

TOTAL P( A ) P( ) 1

a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde. b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. c. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por

la mañana.

Solución:

En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes, respectivamente, pueden verse recogidos los datos del enunciado.

ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL

MAÑANA 3 8 3 14

TARDE 2 3 1 6

TOTAL 5 11 4 20

ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL

MAÑANA 0.15 0.40 0.15 0.70

TARDE 0.10 0.15 0.05 0.30

TOTAL 0.25 0.55 0.20 1.00

Las respuestas a las cuestiones planteadas basta leerlas en las tabla. Así, se obtiene:

a. El 30% de los automóviles acude al taller por la tarde. b. El porcentaje de vehículos ingresados con problemas mecánicos es el 55%. c. La probabilidad buscada es:

P(acuda por la mañana/tiene problemas eléctricos) = 3/5 = 0.6

Ejercicio 6-2:

Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automóvil y "otros", se obtiene la siguiente relación de datos:

El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos.

a. Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos.

b. Calcula qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la de automóviles y cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla.

c. Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios?

Solución:

a. b. La tabla de porcentajes con los datos del enunciado y los totales es la siguiente:

INCENDIO AUTOMÓVIL OTROS TOTAL

FRAUDULENTOS 6 1 3 10

NO FRAUDULENTOS 14 29 47 90

TOTAL 20 30 50 100

c. Es fácil ver sobre la tabla que la probabilidad de escoger al azar un parte fraudulento es del 10%.

La probabilidad condicionada que se pide es: P(FRAUDE/INCENDIO)=6/20=0.3

9. Probabilidad total.

Teorema de la probabilidad total

Sea A1, A2,..., An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P (B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

Ejemplo1.

Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

Solución:

El suceso "sufrir una avería" (Av.) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:

P (Av) = P (L1) · P (Av/L1) + P (L2) · P (Av/L2) + P (L3) · P (Av/L3) == 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 == 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

Ejemplo2.

Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?

Solución:

Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:

P (M) = P (F1) · P (M/F1) + P (F2) · P (M/F2) + P (F3) · P (M/F3) + P (F4) · P (M/F4) == 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 == 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028

8. Teorema de Bayes.

En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la

probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.

Teorema de Bayes

Sea A1, A2,..., An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P (B/Ai). Entonces la probabilidad P (Ai/B) viene dada por la expresión:

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.

Ejemplo1.

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de

haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de

haber producido la citada pieza defectuosa?

Solución:

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

P (D) = P (A) · P (D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) == 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

9. Ejercicios.

Ejercicio 1:Hallar el espacio muestral de cada una de las siguientes situaciones:

a. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.

b. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos. c. Un restaurante campestre cuenta con cinco menús, siete postres y cuatro

bebidas, todos diferentes. una persona entra y pide una comida.d. Una persona tiene en su bolsillo 10 monedas de tres denominaciones diferentes:

200, 500 y 1000.Saca al azar dos monedas en forma consecutiva, es decir primero una y después la otra.

e. Amelia, Alejandro, Nelson y Carolina son los candidatos de once grado para el concejo directivo y para personero; utilizo el evento “escoger una persona para el consejo y escoger otra para personero”.

f. Lanzar cuatro monedas. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz. og. Lanzar cinco dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. h. Un operario del departamento de control de calidad tiene que probar dos

bombillos de un lote de cinco.

Ejercicio 2:Se desea seleccionar un comité de tres personas entre un grupo de candidatos formados por tres mujeres, María, Carolina y Josefina, y dos hombres, Andrés y Guillermo.

a. Encontrar el espacio muestral.b. Enumerar los elementos del conjunto en el que hay por lo menos una mujer en el

comité.c. Enumerar los elementos del conjunto en el que hay exactamente dos hombres en

el comité.d. Enumerar los elementos del conjunto en el que hay por lo menos dos hombres

en el comité.e. Enumerar los elementos del conjunto en el que hay por lo menos un hombre y

una mujer en el comité.

Ejercicio 3:Se tiene una caja con5 interruptores entre los cuales hay 2 defectuosos. Un operario los prueba al azar y al encontrar un interruptor defectuoso rechaza la caja.

a. Escribir el espacio muestral.b. Encontrar los elementos del evento A: la caja es rechazada en la tercera prueba.c. Encontrar los elementos del evento A: la caja es rechazada en la quinta prueba.

Ejercicio 4:Si se lanzan dos dados de diferente color:

a. Encontrar el espacio muestral.b. Encontrar los elementos del evento A: la suma de los resultados es mayor que

seis.c. Encontrar los elementos del evento B: los resultados son iguales en los dos

dados.

Ejercicio 5:Si se lanza una moneda 4 veces y se anotan los resultados obtenidos:

a. Hallar el espacio muestral.

b. Si el evento A consiste en que por lo menos dos de los cuatro lanzamientos sean cara.

c. El evento B que consiste en tener resultado a lo sumo tres sellos.d. Enumeras los elementos del evento C en el que se tiene al menos una cara y un

sello.

Ejercicio 6:Si se seleccionan dos fichas de una bolsa que contiene fichas numeradas del 1 al 10, calcular las probabilidades de que:

a. La suma de dos fichas sea menor que 10.b. El número de la primera ficha sea menor que el número de la segunda ficha.

Ejercicio 7:

La probabilidad de que un estudiante apruebe un examen de estadística es de 23

y la

probabilidad de que el mismo estudiante apruebe el examen de ingles es de 49

.

Si la probabilidad de que apruebe uno de los dos exámenes es de 3136

:

a. Cual es la probabilidad de que apruebe los dos exámenes.b. Cual es la probabilidad de que solamente el de estadística.c. Cual es la probabilidad de que no apruebe ninguno de los dos.

Ejercicio 8:Para participar en el consejo estudiantil, el curso 11 quiere conformar un comité integrado por tres estudiantes. Para tal elección se tienen siete candidatos, tres hombres y cuatro mujeres. Si el comité se selecciona al azar, cual es la probabilidad de que:

a. Sean seleccionados dos hombres y una mujer.b. Sea seleccionado a lo sumo un hombre.c. Sean seleccionados al menos dos mujeres.

Ejercicio 9:De un empaque que contiene doce semillas de rosas rojas y ocho semillas de rosas amarillas, se seleccionan dos semillas aleatoriamente. ¿Cual es la probabilidad de que?

a. Ambas resulten de rosas rojas.b. Una resulte de rosas rojas y la otra de rosas amarillas.

Ejercicio 10:La probabilidad de que un individuo (consumidor) sea expuesto a un aviso publicitario de cierto producto a través de la televisión es de 4%. La probabilidad de que el consumidor sea expuesto a otro aviso publicitario de ese producto mediante vallas es 6%. Asumimos que los dos eventos, A=”exposición al aviso mediante la tv” y B=”exposición al aviso por vallas”, son independientes.

a. Cual es la probabilidad de que el consumidor sea expuesto a ambos avisos publicitarios.

b. Cual es la probabilidad de que el consumidor sea expuesto al menos a uno de los avisos.

Ejercicio 11:La probabilidad de que la mercancía X suba mañana es de 0.3 y la probabilidad de que la mercancía Y suba mañana es de 0.2. Además, se sabe que el 6% de ambas mercancías sube. ¿Son los precios de estas mercancías eventos independientes?

Ejercicio 12:Consideremos los dos eventos A=”el autobús escolar esta en el taller” y B=”el autobús tiene radio”. Si el 30% de los autobuses escolares están en el taller, el 70% tiene radio y el 20% tienen ambas situaciones, ¿son los eventos A y B independientes?

Ejercicio 13:

Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra?

Ejercicio 14:

Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola?

Ejercicio 15:Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

Ejercicio 16:

Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros.

El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero.

a. Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido.

b. Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa.

Ejercicio 17:

Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide:

a. Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco.b. Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. ¿Cuál es la

probabilidad de que sea varón?

Ejercicio 18:

En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide:

a. Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años.

b. Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido.

Ejercicio 19:

Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.

a. ¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica?b. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos

exámenes?c. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos

exámenes?d. Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe

también la práctica?

Ejercicio 20:

En una baraja de 40 cartas.

a. Se toman dos cartas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean de distinto número?

b. Y si se toman tres cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que los tres números sean distintos?

Ejercicio 21:

Tenemos un dado con tres "1", dos "2" y un "3". Lo tiramos dos veces consecutivas y anotamos la suma de los resultados.

a. ¿Cuál es el Espacio Muestral?b. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4?c. ¿Cuál es la suma más probable? ¿Cuánto vale su probabilidad?

Ejercicio 22:

Tenemos dos dados A y B, ambos trucados. En el dado A hay tres "1" y tres "2" y en el dado B hay dos "1" y cuatro "2". Se elige un dado al azar y se tira.

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un "1"?b. Sabiendo que se ha obtenido un "2", ¿Cuál es la probabilidad de que se haya

elegido el dado B?

Ejercicio 23:

En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 1/2. Calcula el número de bolas blancas que debe tener la caja.

Ejercicio 24:

El 35% de los créditos de un banco es para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.

Ejercicio 25:

El volumen de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1000 unidades en la segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0.8% y 2%, respectivamente, calcula la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa.

Ejercicio 26:

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Ejercicio 27:

Se toman dos barajas españolas de 40 cartas. Se extrae al azar una carta de la primera baraja y se introduce en la segunda baraja. Se mezclan las cartas de esta segunda baraja y se extrae una carta, que resulta ser el dos de oros. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta extraída fuese una espada?