Modulo_Estadistica Aplicada UPN INDUSTRIAL

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INTRODUCCION

En épocas pasadas con lentos procesos de cambio,los cuales resultaban casi imperceptibles en el tiempo, se podíaoperar una planta con pocos datos estadísticos. Hoy en un mundode profundos y veloces cambios en todos los órdenes ya no esposible actuar con displicencia. Hoy un Ingeniero necesita predecira tiempo los cambios de tendencia, debe no sólo saber en qué segastó, sino como se gastó en el tiempo y en que conceptos.

No se puede gestionar lo que no se mide. Lasmediciones son la clave. Si usted no puede medirlo, no puedecontrolarlo. Si no puede controlarlo, no puede gestionarlo. Si nopuede gestionarlo, no puede mejorarlo.

Toda decisión, todo análisis, todo presupuesto, estáprácticamente en el aire si no se cuenta con datos estadísticossuficientes y fiables.

El presente material de consulta sobre EstadísticaAplicada que se presenta pretende proporcionar unaintroducción clara y concisa a la estadística inferencial,proporcionando una preparación para resolver los problemas dela toma de decisiones y una buena base para el análisisestadístico.


Primera

UNIDAD

PROBABILIDADES“Herramienta para la toma de decisiones.”


COMPETENCIAS

CONCEPTUAL

Explica que es:• Probabilidad. Experimento Aleatorio. Espacio Muestral. Eventos o Sucesos.

Identifica• Variable aleatoria. Eventos.• Teorema de Bayes

Reconoce• Distribuciones de probabilidad Discretas. Bernoulli, Binomial y Poisson.• Distribuciones de probabilidad continúa.Distribución Normal, t Student y F.• Manejo de la tabla estadística de probabilidades.

PROCEDIMENTAL

• Observar fenómenos de nuestra realidad y plantearlos como experimentosaleatorios, señalando sus respectivos espacios muestrales.

• Determinar eventos o sucesos en los diferentes experimentos aleatoriosexpuestos anteriormente calculando su respectiva probabilidad.

• Explicar y construir una distribución de probabilidad.• Explicar los elementos que forman una distribución de probabilidad discreta.• Explicar los elementos que forman una distribución de probabilidad

continua.• Resolver casos respecto a fenómenos probabilísticos discretos.• Resolver casos respecto a fenómenos probabilísticos continuos.

ACTITUDINAL

• Valora el Cálculo de probabilidades para la toma de decisiones de tipopersonal o gerencial.

• Aprecia la necesidad y la utilidad de los modelos de probabilidad


ConceptosBásicos

ExperimentoAleatorio

EspacioMuestral

Eventos oSucesos

Relacionesentre Eventos

Reglas deProbabilidad

Enfoques deProbabilidad

Árbol deProbabilidades

Frecuenciarelativa

Subjetivo

Clásico E. Mutuamenteexcluyentes

E. Colect.Exhaustivos

EventosIndependientes

Regla deAdición

Regla deMultiplicación

ProbabilidadCondicional

Teorema deBayes

Probabilidad


Cualquiera que sea la profesión que se haya elegido, algo si es seguro: enalgún momento se han de tomar decisiones. Con mucha frecuencia estotendrá que hacerse sin conocer todas las consecuencias de talesdecisiones.

Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma dedecisiones incrementará la probabilidad de que se tomen decisiones másinteligentes y bien informadas.

El propósito de ésta unidad es ilustrar las formas en las cuales puede medirsela posibilidad o probabilidad de ocurrencia de eventos futuros. Al mejorar lahabilidad para juzgar la ocurrencia de eventos futuros, se puede minimizar elriesgo y la especulación arriesgada relacionados con el proceso de toma dedecisiones


• La afición al juego fue lo que impulso el desarrollo de la probabilidad.

• En un esfuerzo por aumentar sus ganancias pidieron a los matemáticos queles proporcionaran las estrategias óptimas para varios juegos de azar.

• Como resultado de este primer desarrollo de la teoría de probabilidad, seextiende junto con la estadística a muchos campos.


I. PROBABILIDADESLa inferencia estadística es el conjunto de métodos con los que se hacen generalizaciones, o

la inferencia sobre una población utilizando una muestra. La inferencia puede contenerconclusiones que pueden ser o no ser ciertas en forma absoluta, por lo que es necesario que estassean dadas con una medida de confiabilidad que es la Probabilidad.

El término PROBABILIDAD se utiliza comúnmente cuando existe una incertidumbre sobre:

• Que ocurrió en el pasado• Que está ocurriendo en la actualidad o• Que ocurrirá en el futuro.

Un Ingeniero puede decidir la apertura de un nuevo proceso de producción, porque laprobabilidad de su éxito es elevada.

Entonces, debemos saber lo siguiente:

¿Qué es una probabilidad, como puede medirse, de qué modo se puede utilizar?

Para responder a esto debemos saber algunas definiciones preliminares

II. CALCULO DE PROBABILIDADES:1. DEFINICIONES PRELIMINARES:

1.1. EXPERIMENTO

Es un hecho, acontecimiento u operación que se realiza en nuestra realidad y que puedeser repetida bajo ciertas condiciones.

Dentro de estos tenemos los deterministicos y no deterministicos.

1.1.1. EXPERIMENTO DETERMINISTICO

Son aquellos cuyo resultado del experimento se conoce con anterioridad y quepuede describirse por una fórmula matemática, física o química.

Ejemplos:

Soltar una piedra en el aire.Lanzar una pelota en una tina con agua, etc.

1.1.2. EXPERIMENTO NO DETERMINISTICO O ALEATORIO (ε):

Un experimento aleatorio se caracteriza porque tienen las siguientes propiedades:

a. Aunque en general no podemos indicar cuál será un resultado particular,podemos describir en conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

b. Se pueden repetir infinitas veces sin cambiar sus condiciones.

Ejemplos:ε1= Lanzamiento de un dado y ver su puntaje obtenido.


ε2= Se lanza tres monedas y se observa la sucesión de sellos y caras obtenidos.

ε3= Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículosdefectuosos producidos en un periodo de 24 horas.

1.2. ESPACIO MUESTRAL (Ω):

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Así porejemplo, los espacios muestrales asociados a los respectivos experimentos mencionadosanteriormente, son:

Experimento Espacio Muestralε1 Ω1= {1,2,3,4,5,6}ε2 Ω2= {ccc, ccs,csc,scc,…,sss}; c=cara, s=sello

ε3 Ω3 = {0, 1, 2,…, N}; en donde N es el número máximoque pudo ser producido en 24 horas.

Ejercicios de Aula:

1. Indique Ud. si los siguientes experimentos son aleatorios:

a. Elegir una carta de una baraja (52 cartas) y señalar la figura obtenida. V Fa. Verificar el estado de dos transistores (apagado - prendido) V Fb. Lanzar una piedra a una tina con agua. V Fc. Lanzar 4 monedas y ver el número de caras. V Fd. Jugar un partido de fulbito V Fe. Soltar un plumón en el aire. V Ff. Rendir un examen. V Fg. Jugar la tinka V F

2. Indique el espacio muestral para los siguientes experimentos: (Utilice el diagrama delárbol)

a. Lanzar 2 monedas: Ω= {………………………………………………..}

b. Lanzar 3 monedas Ω = {………………………………………………..}

c. Lanzar 1 dado y una moneda Ω = {………………………………………………..}

d. Lanzar 2 dados Ω = {………………………………………………..}

e. Jugar un partido de fútbol Ω = {………………………………………………..}

f. Rendir un examen Ω = {………………………………………………..}

1.3. EVENTO:

Se llama Evento a cualquier subconjunto o parte del Espacio Muestral. Así por ejemplo,considerando los experimentos de los ejemplos anteriores:

En el ε1:A: “el puntaje obtenido es un número impar”.Entonces, A= {1,3,5}


1.4. TIPOS DE EVENTOS

a) Evento Imposible: Cuando un suceso no puede ocurrir. No contiene elementos y porlo tanto es un conjunto vacío. Un evento imposible tiene una probabilidad igual a0.Ejemplo: De un proceso que produce tornillos, un evento imposible sería sacar unatuerca.

b) Evento seguro: Cuando un suceso siempre ocurre. Contiene todos los elementosposibles del experimento. Por lo tanto un evento seguro tiene una probabilidad iguala 1. Ejemplo: De un proceso que produce tornillos, un evento seguro será obtener untornillo.

b) Evento Mutuamente Excluyentes: Dos eventos A y B definidos en el mismo espaciomuestral se dice que son mutuamente excluyente si no pueden ocurrir juntos. Es decirla ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. Ejemplo: Del Experimento deverificar el estado de un transistor tiene como posibilidades de bueno y defectuoso, siasume una de las dos condiciones ya no puede asumir la otra.

c) Evento Colectivamente exhaustivos: Se dice que la colección de n eventos A1…An,definidos sobre el mismo espacio muestral son colectivamente exhaustivos si la uniónde todos ellos es igual espacio muestralEjemplo: De los 500 empleados de una empresa cajamarquina, 170 están

clasificados como miembros del personal administrativo, 290 comotrabajadores de línea y los 40 trabajadores restantes son empleados auxiliares.Los eventos colectivamente exhaustivos son S, L y A. Si un empleado seselecciona al azar

P ( S ) = 170/500 = 0.34P ( L ) = 290/500 = 0.58P (A ) = 40/500 = 0.08

Debido a que ocurre la certeza de que el empleado seleccionado provenga de estas trescategorías colectivamente exhaustivas, P(S o L o A)= 0.34+0.58+0.08 =1

1.5. SUCESO

Se llama suceso a todo elemento del espacio muestral.Se denota por ω.

Ω = {CCC,CCS,CSC,CSS,SCC,SCS,SSC,SSS}

Suceso

Ejemplo 1 de Experimento, Espacio Muestral y Evento

(ε 1): Lanzar dos monedas al aire

(Ω 1) = (CC, CS, SC, SS)n (Ω1 ) = 4

A: Que salga una cara al lanzar dos monedas

A: CS, SC

n (A) = 2P (A) = n (A) /n = 2 / 4 = 0.50


Ejemplo 2 de Experimento, Espacio Muestral y Evento

(ε 2): Lanzar dos dados simultáneamente y se observan las caras superiores

(Ω 2) =

n (Ω2 ) = 36B: Que salga las caras iguales al lanzar dos dadosB: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)n (B ) = 6P (B) = n (B) /n = 6 / 36 = 0.17

1.6. REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD

1.6.1. Ley Fundamental de Probabilidad. Una probabilidad siempre estarácomprendida entre 0 y 1.

0 ≤ P ( A) ≤ 11.6.2. Σ P (A) = 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples posibles

del espacio muestral es 1.

1.6.3. Ley del Complemento. Si A c es el complemento de A, entonces:P (A c) + P (A) = 1P (A c) = 1 – P (A)P (A) = 1 – P (A c)

1.7. ENFOQUES DE PROBABILIDAD.

Hay tres enfoques de la probabilidad, Clásico, Subjetivo y Frecuentista.

1.7.1. Enfoque Clásico de la Probabilidad

El enfoque clásico o a priori de la probabilidad está basado en la suposición de quetodos los resultados del experimento son igualmente posibles. La probabilidad secalcula de la siguiente manera:

Probabilidad del evento =

Ejemplo:

El experimento es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos haciaarriba?P (caiga 2) = 1= 1/6 = 0.166

Número de posibles resultados del eventoNúmero total de resultados posibles del experimento


1.7.2. Enfoque Subjetivo

Si no hay experiencia anterior o hay muy poca sobre la cual basar una probabilidad,esta se fundamenta en la intuición, opiniones, creencias personales y otra informaciónindirecta. Este tipo de probabilidad es el enfoque subjetivo de la probabilidad.

Ejemplo:

P (Que una Mujer sea elegida presidente del Perú) = 0.50

1.7.3. Enfoque Frecuentista

La probabilidad de que suceda un evento es determinada observando como sucedeel evento en el pasado. En términos de fórmula:

Probabilidad de que =suceda un evento

Ejemplo:

Se sabe que una moneda está sesgada. Para determinar la probabilidad de que caigacara se lanza 60 veces la moneda al aire, de las cuales 25 veces cayó cara. Siaplicamos la fórmula:

P (cae cara) = 25/ 60 = 0.42

1.8. ALGEBRA DE EVENTOS

1.8.1. Sub Eventos

Dados dos eventos, A y B se dice que A está contenido en B, o que A es sub evento de B ydenotado por “A B”, si todo suceso favorable a A, es favorable a B. En otras palabras siocurre el evento A, entonces ocurre el evento B. En símbolos:

A B, si w ε A w ε B

Número de veces que sucedió el evento en el pasado

Número total de observaciones

Ejemplo: Consideremos el experimento, Verificar el estado de transistores hastaque ocurra defectuoso

En este experimento el espacio muestral es:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5,…Se define los siguientes eventosA: “Se necesita por lo menos 20 transistores” = 20, 21,22,…B: “Se necesita más de 5 transistores “= 6, 7, 8, …

Es claro que A B.


1.8.2. Igualdad de Eventos

Dados dos eventos, A y B se dice que A y B son iguales “A = B”, si A B y B A

Ejemplo: Consideremos el experimento, Verificar el estado de transistores hasta queocurra defectuoso


Ω = 1, 2, 3, 4, 5,…

Se define los siguientes eventos

A: “Se necesita a lo más 10 transistores” = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

B : “ Se necesita menos de 11 transistores “ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Es claro que A = B

1.8.3. Unión de Eventos

Dados dos eventos, A y B, se llama unión de A con B y se denota por “A U B “alevento formado por los sucesos que pertenecen a A ó a B ó de ambos, es decir si ocurreel evento A ó B ó ambos. En símbolos:

A U B = si w ε Ω / w ε A v w ε B



Ω = 1, 2, 3, 4, 5,…


A: “Se necesita un número par de transistores” = 2, 4, 6, 8, 10…

B : “ Se necesita más de 10 transistores” = 11, 12, 13, 14…

Es claro que A U B = 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14,. . .


1.8.4. Intersección de Eventos

Dados dos eventos, A y B, se llama intersección de A con B y se denota por “ A ∩ B “ó “ AB” al evento formado por los sucesos que pertenecen a A y a B. Es decir, amboseventos A y B ocurren (la ocurrencia conjunta de A y B). En símbolos:

A ∩ B = si w ε Ω / w ε A ^ w ε B



Ω = 1, 2, 3, 4, 5,…


A: “Se necesita un número par de transistores” = 2, 4, 6, 8, 10, 12,14...

B: “Se necesita más de 10 transistores” = 11, 12, 13, 14…

Es claro que A ∩ B = 12, 14,. . .

1.8.5. Complemento de Evento

Si A es un evento del espacio muestral Ω, se llama complemento de A, denotado por A´ o A al evento formado por todos los sucesos que no pertenecen a A. Es decir, noocurre el evento A. En símbolos:



Ω = 1, 2, 3, 4, 5,…


A: “Se necesita un número par de transistores” = 2, 4, 6, 8, 10, 12,14...

B: “Se necesita más de 10 transistores” = 11, 12, 13, 14…

Sus complementos son:

A = 1, 3 , 5 , 7 , 9 , … B= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

A


1.9. TEOREMAS DE PROBABILIDAD

1.9.1. Regla de Adición

La Regla de Adición nos da la forma de calcular la probabilidad de que ocurra elevento A ó B ó ambos.

Ejemplo:

Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si el evento A es cae un número par

A = {2, 4, 6}

Si el evento B es cae un número menor de 3

B = {1, 2}

¿Cuál será la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos?

Entonces la probabilidad de A y la probabilidad de B es:

P(A) =3/6= 0.50 P (B) =2/6= 0.3366

Para aplicar el teorema es necesario conocer la probabilidad de la intersección de estosdos eventos, es decir, la probabilidad de que caiga un número par y menor de 3.A ∩ B =Es el elemento {2} = P(A ∩ B) = 1/6 = 0 .17

Si aplicamos la regla de adición:

P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )

P(A U B) = 0.50 + 0.33 – 0.17 = 0.66


1.9.2. Regla de Multiplicación

La Regla de Multiplicación nos da la forma de calcular la probabilidad de laintersección de dos eventos.

1.9.3. Probabilidad Condicional

La probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya ha ocurrido sellama Probabilidad Condicional

Ejemplo:

El experimento es extraer aleatoriamente dos canicas de una urna que contiene 5canicas rojas y 5 canicas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas canicas seanrojas?

P (A∩B) ={probabilidad de que las dos canicas son rojas}P(A) = {probabilidad de que la primer canica es roja}P (B) = {probabilidad de que la segunda canica es roja}P (B│A) = {la segunda canica es roja dado que la primer canica es roja}


Solución:

* Al extraer la primera canica hay en la urna 5 canicas rojas de un total de 10, por loque la probabilidad es:

P(A) = 5/ 10 = 0.50

** Al extraer la segunda canica hay en la urna 4 canicas rojas de un total de 9, por loque la probabilidad de que la segunda sea roja dado que la primera fue roja es:

P (B│A) =4/9 = 0.44

P (A∩B) = P (A) * P (B│A) = 0.5*0.44 = 0.22

1.10. PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN

1.10.1. PERMUTACIÓN

Factorial de un número: Sea “n” un número entero positivo, el factorial de “n”, se denotapor “n!” y se define como el producto de todos los enteros consecutivos de 1 hasta ninclusive, es decir:

n! = n* (n-1)*…* 2*15! = 5*4*3*2*1 =120Observe quen! = n* (n-1)!

Si n =1; 1! = 1* 0!;. Luego definimos que 0! = 1

Permutación: Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos donde el orden esimportante.

Teorema 1: El número de permutaciones de n objetos diferentes es:

Pn = n P n = n!

Ejemplo:

Suponga que tenemos un conjunto de tres elementos:A = ( a,b,c) y estamos interesados en el número de arreglos ( las posibles permutaciones)con los elementos del conjunto A. Las posibles permutaciones son: abc, acb, bac, bca,caby cbaVemos que hay 6 permutaciones distintas: 3!= 3*2*1 = 6

Teorema 2: El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados r a r es:

Pn = n P r = n! / ( n-r)!

Ejemplo: Un grupo está formado por 5 alumnos y se desea formar una comisión integradapor presidente y secretario. ¿De cuántas maneras puede nombrarse ésta comisión?

5 P 2 = 5! / (5-2)! = 5* 4 = 20

Ejercicio: Se va a colorear un mapa de cuatro países, con colores diferentes para cadapaís. Si hay disponibles 6 colores diferentes ¿De cuántas maneras puede colorear el mapa?.

Teorema 3: El número de permutaciones de n objetos diferentes alrededor de un círculo es:P c = ( n-1)!

n

r


Ejemplo:

De cuántas formas diferentes pidieron sentarse, en la última cena, alrededor de la mesaJesucristo y sus apóstoles?.

El número de formas es: P c = (13-1)!= 12!

Observación:Si la mesa no fuese circular se tendrá una permutación de las 13 personas: 13 P 13 = 13!

1.10.2. COMBINACIÓN

En muchos casos estaremos interesados en el número de formas de seleccionar r objetos den, sin importar el orden. A estas selecciones se le llaman combinaciones.

Combinación: Un subconjunto de r elementos de un conjunto que tiene n elementosdiferentes, se llama una combinación de los n elementos tomados r a r.

Determinaremos ahora, el número de combinaciones de r elementos que se pueden formarcon los n objetos diferentes de un conjunto. Este número se denota por:

Llamado Coeficiente Binomial, porque aparece como coeficiente en el desarrollo delbinomio (a+b) n

Ejemplo:

Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿De cuántas maneras se puede haceresto?

Se necesita solo subconjuntos de dos cartas, sin importar el orden entonces, en número deforma de seleccionar estas dos cartas es:

Solución:

Ejemplo:

Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen:

a) ¿De cuántas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas?

b) Si las tres primeras son obligatorias, ¿de cuántas maneras puede escoger las preguntas?


Solución:

a) Como interesa subconjuntos de 8 preguntas de un conjunto de 10 sin importar el orden, estosería de C10 = 10! / (8! 2!) = 45

b) Puesto que las tres primeras preguntas son obligatorias; las 5 restantes tendrá que escogerde las 7 preguntas sobrantes. Luego, esto se hace de: 1 * C7 = 7!/ (5!*2!) = 21

1.11. TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

Se presenta el teorema más importante del cálculo de probabilidades y el camino parallegar a él exige la definición de partición de un espacio muestral y el teorema deprobabilidad total.

1.11.1. Partición de un espacio muestral:

Se dice que la colección de eventos B1, B2, …, B k del espacio muestral Ω representa unapartición del espacio muestral Ω , si cumple las siguientes condiciones:

a) Los eventos B1, B2, …, B k , son mutuamente excluyentes:

En símbolos Bi ∩ B j = Φ i= j ; i,j = 1,2,3….,k

b) Los eventos B1, B2,…, B k, son colectivamente exhaustivos.

En símbolos:

c) P(Bi) >0 i = 1,2,3….k

1.11.2. Probabilidad Total

Sea B1, B2,…, Bk; una partición del espacio muestral Ω, entonces para cualquier evento Aen Ω se cumple:

P (A) = Σ P (Bi) P (A/Bi)

= P (B1) P (A/B1) + P (B2) P(A/B2) +…+ P(Bk) P(A/Bk).

Fig. Relación entre el evento A en Ω y la partición de Ω

5

8

Teorema de ProbabilidadTotal


1.11.3. Teorema de Bayes

Sea B1, B2, …, B k; forman una partición del espacio muestral Ω y A es un eventocualquiera de Ω entonces :

El numerador resulta del teorema de multiplicación y eldenominador del teorema de probabilidad total.

§ DIAGRAMA DEL ÁRBOL: Un diagrama de árbol es una representación gráfica quemuestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivasprobabilidades.

Construcción Del Diagrama De Árbola) Fijar un nodo inicial (Un punto situado a la izquierda, representa la raíz del árbol);b) Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el conjunto A;c) Abrir a partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el conjunto B;d) Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas

Teorema de Bayes


Ejemplo1. Teorema de Bayes:

En una Universidad, producto de un examen en una determinada materia, hay alumnosaprobados y desaprobados. En el aula A hay un 20% de desaprobados, en B hay 25% y enel aula C un 15% de desaprobados. En una muestra de 300 alumnos hay 150 alumnos delaula A, 100 alumnos del aula B y el resto del aula C.a) Si se selecciona a un alumno al azar, hallar la probabilidad de que esté Aprobado.b) Si resultó aprobado. Halle la probabilidad de que sea del Aula A.

Solución:

Se definen los siguientes eventos:

A= Alumno seleccionado resultó Aprobado

A= Alumno seleccionado resultó Desaprobado

B1 = Alumno seleccionado es del Aula A

B2 = Alumno seleccionado es del Aula B

B3 = Alumno seleccionado es del Aula CSe distribuyen las probabilidades utilizando un Diagrama del Árbol

a. Si se selecciona a un alumno al azar, hallar la probabilidad de que esté Aprobado.

Se desarrolla utilizando la fórmula de la Probabilidad Total

La probabilidad de que el alumno seleccionado resulte aprobado es de 0.792 o 79.2%

P (B2) = 100/300= 0.33

B1

B2

B3

P ( A / B1 ) =0.80

P (A / B2) =0.75

P (A / B3 ) =0.85

P (A / B1 ) =0.20

P (A / B2) =0.25

P (A / B3 ) =0.15

= 0.50 (0.80) + 0.33 (0.75) + 0.17 (0.85)

= P (B1) P (A/B1) + P (B2) P(A/B2) + P(B3) P(A/B3).

= 0.40 + 0.25 +0.142 = 0.792


b. Si resultó aprobado. Halle la probabilidad de que sea del Aula A.

La probabilidad de que el alumno seleccionado sea del Aula A es 0.5052 o 50.52%

Ejemplo 2. Teorema de Bayes:

Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres fabricantes distintos B1, B2 yB3. El 50% del total se compra a B1 mientras que a B2 y B3 se le compra el 35% y 15% a cadauno. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es de 3, 6 y 9% respectivamente.Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar quién fue el proveedor. Finalmente Siun circuito no está defectuoso ¿ Cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por elproveedor B2?


Con base en varios estudios una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad dedescubrir petróleo, las formaciones geológicas en tres tipos. La compañía pretende perforarun pozo en un determinado sitio, al que se le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25para los tres tipos de formaciones respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabeque el petróleo se encuentra en un 40% de formaciones de tipo I, en un 20% de formaciónes de tipo II y en un 30% de formaciones de tipo III. Si la compañía no descubre petróleo enese lugar, determínese la probabilidad de que exista una formación del tipo II.


Una compañía estudia la comercialización de un nuevo producto. El presidente de lacompañía desea que el producto sea superior al de su más cercano competidor. Con basea una evaluación preliminar que realizó el personal clave, se decide asignar unaprobabilidad del 50% de que el producto sea superior al ofrecido por el competidor, 30%que tenga la misma calidad y un 20% que sea inferior.Un estudio de mercado sobre el producto concluye que éste es superior que el delcompetidor. Con base en la experiencia sobre el resultado de las encuestas, se determinaque si el producto es realmente superior, la probabilidad de que la encuesta alcance lamisma conclusión es 0.7. Si el producto tiene la misma calidad que el del competidor, laprobabilidad de que la encuesta de cómo resultado un producto superior 0.4. Si el productoes inferior, la probabilidad de que la encuesta indique un producto superior es de 0.2. Dadoel resultado de la encuesta. ¿Cuál es la probabilidad corregida, de obtener un productosuperior?

= 0.50 (0.80) / 0.792

= 0.5052


Probabilidades y Teorema de Bayes

1. ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten dePresidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representaciónpuede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

2. ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de tresmiembros de un total de 35 alumnos de una clase?

3. De cuantas formas diferentes se pueden sentar 6 ingenieros en una charla.

4. Ud. va a realizar la selección de personal en su área de trabajo. Dispone de 8 trabajadoresegresados de universidades particulares, 10 de universidades nacionales y 12 de formacióntécnica.

a) Si 6 trabajadores tienen que ser seleccionados al azar de los 30 disponibles. ¿Decuántas formas podrá hacerlo?

b) Si seleccionó al azar 6 trabajadores ¿Cuántas formas existen de seleccionar dostrabajadores de cada centro de estudio?

c) Si seleccionó al azar 6 trabajadores ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dostrabajadores de cada centro de estudio?

d) Si seleccionó al azar 6 trabajadores ¿Cuál es la probabilidad de que todos lostrabajadores sea del mismo centro de estudio?

5. Un ingeniero está realizando pruebas para estudiar los efectos de la temperatura, la presióny el tipo de catalizador en el mejoramiento de la calidad de cierto producto. Se estánconsiderando Tres diferentes temperaturas, cuatro presiones distintas, cinco catalizadoresdiferentes:

a) Si cualquier prueba en particular implica utilizar una temperatura, una presión yun catalizador. ¿Cuántas pruebas son posibles?

6. Una caja en un almacén contiene cuatro focos de 40W, cinco de 60w y seis de 75w.Suponga que se eligen al azar 3 focos

a) Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los focos seleccionadossean de 75W?

b) Cuál es la probabilidad de que los tres focos seleccionados sean de los mismoswatts?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un foco de cada tipo?

7. Una editorial tiene 75 títulos distintos de libros, clasificados por tipo y costo de la siguientemanera:

Tipo Costo$30 $35 $45

Estadística 10 8 3Química 12 10 9Inv.Operaciones 4 17 2

PRACTICA DE AULA N° 1


Halle la probabilidad de que un libro seleccionado aleatoriamente sea de :

a) Estadística o cueste $30.b) Inv. Operaciones y cueste $45.c) Inv. Operaciones y cueste $30 o $35d) Estadística y cueste menos de $45.e) Química o cueste $.35f) Química o cueste más de $30.

8. Suponga que los cuatro inspectores de una fábrica de pintura, colocan la fecha decaducidad en cada balde de pintura al final de la línea de montaje. Juan, que coloca lafecha de caducidad en 20% de los baldes, no la pone una vez en cada 200 baldes. César,que la coloca en 60% de los baldes, no la coloca una vez en cada 100 baldes; Nilton, quienla coloca en el 15% de los baldes, no lo hace una vez en cada 90 baldes y Gustavo, quefecha 5% de los baldes, no lo hace una vez en 200 baldes. Si un consumidor se queja de quesu balde de pintura no muestra fecha de caducidad ¿Cuál es la probabilidad de que hayasido inspeccionado por César?


PRACTICA DOMICILIARIA Nº 1

1. Dé 4 ejemplos de experimento que es de interés para su carrera profesional, con surespectivo espacio muestral

2. Quince amigos juegan ajedrez una vez a la semana. Este grupo está formado por 5 parejasde casados, 4 jóvenes y una joven. Antes del juego cada uno coloca S/. 10 en una bolsacuyo contenido ganará el que obtenga mayor puntuación. Si las mujeres tienen la mitad dela habilidad que los varones poseen para este juego. Se le pide encontrar:

a) ¿Cuál es la probabilidad que un hombre soltero gane?b) ¿Cuál es la probabilidad que una mujer casada gane?c) ¿Cuál es la probabilidad que una mujer soltera gane?d) ¿Cuál es la probabilidad que un hombre casado gane?

3. El cuadro siguiente contiene la clasificación de 558 obreros de un sindicato respecto a doscaracterísticas:

a) El número de años de pertenencia de cada uno al sindicatob) Su respuesta a la pregunta: “Desea Ud. Ir a la huelga para obtener un aumento de

salarios”

Respuestaa la

pregunta

Números de años en el sindicato

TotalMenos de

1 (A)De 1 a 3

(B)De 4 a 10

(C)Más de 10

(D)Si ( S) 57 64 137 39 297No (N ) 58 26 65 26 175No sé (NS) 26 14 16 30 86Total 141 104 218 95 558

*) Describa y Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:NS U C; S∩ B; SU B ; S/ B ; NS/A ; A/NS ; N ∩ C ; S ∩ (C U D); S U (C ∩D); NS U C

4. Un contratista minero tiene 500 clientes clasificados en la siguiente tabla según si realizanpedidos regularmente o de forma esporádica y según si efectúan el pago al contado o através de crédito.

Tipo dePedido

Forma de PagoTotalAl

ContadoCrédito

Regular 65 120 185Esporádico 40 275 315Total 105 395 500

En el marco de la campaña publicitaria, el mayorista decide sortear un paquete turísticoentre sus clientes eligiendo uno de ellos al azar.a. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice pedidos

regularmente o bien utilice créditos para efectuar sus pagos?b. Calcule la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice pedidos

regularmente si sabemos que el elegido efectúa sus pagos mediante créditoc. Calcule la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice los pagos

mediante crédito si sabemos que realiza pedidos regularmente.d. ¿Son independientes los sucesos “ comprar a crédito” y “ comprara regularmente”.

5. Si la probabilidad de que un proyecto de investigación sea correctamente planeado es de0.80 y la probabilidad de que sea planeado y correctamente ejecutado es de 0.72, ¿quéprobabilidad hay de que un proyecto de investigación correctamente planeado, seacorrectamente ejecutado? (R = 0.90)


6. En un sistema de alarma, la probabilidad de que ésta funcione habiendo peligro es 0.95, y lade que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1a. Hallar el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro.b. Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligroc. Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione.

7. Una empresa multinacional desea elegir un candidato para ocupar la plaza de Supervisorde la planta que va abrir en Cajamarca. Tras las tres primeras pruebas de selección de los100 candidatos iníciales, tres han quedado para la cuarta y última prueba que consistirá enuna entrevista personal. A la revisión de los curriculums presentados y de las puntuacionesobtenidas en las pruebas anteriores, se cuenta con probabilidades de 0.3; 0.5 y 0.2 deelegirlos para el puesto a los candidatos 1ª, 2ª y 3ª respectivamente. Se estima en un 80% lasposibilidades de incrementar las ventas en el próximo año en la multinacional si se elige alprimer candidato. Para el segundo y tercer candidato, respectivamente se estiman el 10% yel 40% de posibilidades de incremento de ventas.El tercer candidato está seguro de conseguir dicho puesto en la multinacional.

Con respecto a la información anterior ¿Está Ud, de acuerdo con el pensamiento del tercercandidato? Si no es así, según sus cálculos qué candidato sería el ganador(Extraído del libro Problemas de probabilidades y estadísticas. Romera y Alonso: Facultad deInformática de la UPM 1992)

8. En un grupo de 200 estudiantes graduados de ingeniería, 98 se inscriben en un cursoavanzado de estadística, 73 en un curso de investigación de operaciones; y 50 en ambos.¿Cuántos de estos estudiantes no se inscriben en ningún curso?

9. Si la probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es de 0.81 y laprobabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es de 0.18. ¿Cuál es laprobabilidad de que un sistema con alta fidelidad, tenga alta selectividad? (R= 2/9)

10. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, p(A)= 0.29 y p(B)=0.43, determine, a. p(Ac), b.p(A∪B) ( R = a) 0.71 b) 0.72 )

11. Una compañía de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un centrocomercial en un sector de Cajamarca. Un elemento vital en esta consideración es unproyecto de una autopista que une este sector con el centro de la ciudad, si el consejomunicipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0.90 de que la compañíaconstruya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad esde sólo 0.20. Basándose en información disponible, el presidente de la compañía estima quehay una probabilidad de 0.70 que la autopista sea aprobada.

a) Cuál es la probabilidad que la compañía construya el centro comercial?b) Dado que el centro comercial fue construido. ¿Cuál es la probabilidad de que la

autopista haya sido aprobada?

12. ¿ En una reunión de profesionales de 20 integrantes ¿ de cuantas formas se puedenseleccionar tres representantes: presidente, vicepresidente y secretaria?.

13.De un grupo de ingenieros, el 30% practica futbol el 40% juega ajedrez. De los futbolistas el50% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente a un ingeniero. ¿ Cuál es la probabilidad deque:

a) Sea futbolistab) Juegue Ajedrezc) No practique ni futbol ni ajedrez.

14. Un jefe de planta le solicita a su supervisor, le alcance 5 productos químicos utilizados para eltratamiento de agua. En el almacén de la planta se dispone de 10 productos en estado


líquido y 5 en estado sólido. Cuántas maneras hay que el Supervisor le lleve 3 productosquímicos líquidos y 2 productos sólidos?.

15. En un estudio del rendimiento de combustibles, cada uno tres autos de carrera se pruebacon 5 marcas diferentes de gasolina en 7 lugares de prueba que se localizan en diferentesregiones del país. Si se utilizan 2 pilotos en el estudio y las pruebas se realizan una vez bajocada uno de los distintos grupos de condiciones ¿Cuántas pruebas se necesitan? Por qué.

16. Suponga que de un grupo de 500 trabajadores del área de control de calidad de unaempresa se encuentran que 210 fuman, 258 consumen bebidas alcohólicas, 216 comenentre comidas, 122 fuman y consumen bebidas alcoholicas, 83 comen entre comidas yconsumen bebidas alcoholicas, 97 fuman y comen entre comidas y 52 tienen estos treshábitos nocivos para la salud. Si se selecciona al azar a un miembro de este grupo,encuentre la probabilidad de que el trabajador:a) Fume o coma entre comidas.b) Fume pero no consuma bebidas alcohólicasc) Coma entre comidas y consuma bebidas alcohólicas pero no fumed) Ni fume ni coma entre comidas.

17. En una encuesta pública se determina la probabilidad que una persona consuma elproducto A es 0.50, que consuma el producto B es 0.37 que consuma el producto C es 0.30,que consuma Ay B es 0.12, que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma solamente By C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15. Calcular la probabilidad que una personaconsumaa) A o B pero no Cb) Solamente A

18.Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sidoroja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

19.Suponga que una caja contiene cuatro tornillos negros y siete blancos. ¿ De cuántasmaneras puede sacarse un grupo de tres tornillos de la caja en las combinacionessiguientes:

a. Un tornillo negro y dos blancos.b. Tres tornillos de un solo colorc. Por lo menos una tornillo negro.

20. Una fábrica utiliza tres líneas de producción para fabricar latas de cierto tipo. La tablaadjunta da porcentajes de latas que no cumplen con las especificaciones, categorizadaspor tipo de incumplimiento de las especificaciones, para cada una de las tres líneasdurante un periodo particular.

Línea 1 Línea 2 Línea 3Manchas 15 12 20Grietas 50 44 40Problema con la argolla deapertura 21 28 24Defecto superficial 10 8 14Otros 4 8 2

Durante este periodo, la Línea 1 produjo 500 latas fuera de especificación, la 2 produjo400 latas como esas y la 3 fue responsable de 600 latas fuera de especificación.Suponga que se selecciona al azar una de estas 1500 latas.a) Cuál es la probabilidad de que la lata la produjo la Línea 1? ¿Cuál es la probabilidad

de que la razón del incumplimiento de la especificación es una grieta.


b) Si la lata seleccionada provino de la Línea 1 ¿ Cuál es la probabilidad de que teníauna mancha?

c) Dado que la lata seleccionada mostró un defecto superficial. ¿ Cuál es laprobabilidad de que provino de la línea 1?.

21. En una fábrica los obreros trabajan en tres turnos distintos. En el último año ocurrieron 200accidentes. Algunos de éstos se pueden atribuir por lo menos en parte a las condicionesinseguras de trabajo, en tanto que otros se relacionan con condiciones de trabajo. En latabla siguiente se proporciona el porcentaje de accidentes que caen en cada tipo decategoría accidente turno.

Condiciones Condicionesinseguras No relacionadas

Diurno 10% 35%Turno Vespertino 8% 20%

Nocturno 5% 22%

Suponga que se elige al azar uno de los 200 informes de accidentes de un archivo , y sedetermina el turno y tipo de accidente:

a. ¿Cuáles son los eventos simple?b. ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente seleccionado se deba a condiciones

inseguras?

Desarrollar 5 EJERCICIOS DE REPASO del tema TEOREMA DE BAYES del Libro PROBABILIDADY ESTADISTICA PARA INGENIEROS DE WALPOLE.

Caso 1:En una Universidad, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse delsiguiente modo: el 20% estudian Ingeniería Civil Industrial, el 35% Ingeniería Comercial y el 45%arquitectura. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del18%. Elegido un alumno al azar determinar la probabilidad de que haya acabado los estudios.Caso 2:La fábrica de enlatados DHL S.A. produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 deestos envases, de los que el 2% son defectuosos y la máquina B produce los 2000 restantes de losque se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar la probabilidad de que un envase elegido alazar sea defectuoso.Caso 3:Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezasproducidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del3%, 4% y 5%.a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad dehaber sido producida por la máquina B.c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

No existe la suerte. Sólo hay preparación adecuada oinadecuada para hacer frente a una estadística.

Robert Heinlein

Modulo_Estadistica Aplicada UPN INDUSTRIAL

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