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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

ENRIQUE GUZMÁN Y VALLE

“Alma Mater del Magisterio Nacional”

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA

MONOGRAFÍA

EL SISTEMA DE NUMEROS NATURALES

Construcción de ℕ por Teoría de Clases. Sistemas axiomáticos de Peano y por

la axiomática usual. Operaciones Básicas. Orden en . Principio de Inducción.

PRESENTADO POR:

OLIVARES REYNA JAKELINNE TANIA

PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN

ESPECIALIDAD: MATEMÁTICA

Lima –Perú

2017

2

DEDICATORIA

Dedico este trabajo a mis padres, por confiar en mi

cuando nadie más confiaba, y a mis profesores que

me inculcaron durante 5 años sus enseñanzas.

3

ÍNDICE

DEDICATORIA……………………………………………………………….……….……….…...2

INTRODUCCIÓN……………………………………………………..…..…………….…….…....6

CAPÍTULO I: CONCEPTOS PREVIOS……………………………………………..……..….... 7

1.1.- NOCIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTO. RELACIÓN DE PERTENENCIA…………...... 7

1.2.-RELACIONES ENTRE CONJUNTOS……………………………………….…..…………… 8

1.2.1.-INCLUSIÓN DE CONJUNTOS (SUBCONJUNTOS)…………………….………....… 8

1.3.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS……………………………………….………..….... 8

1.3.1.- UNIÓN……………………………..……………………………………………….9

1.3.2.-INTERSECCIÓN……………………………………………………………...…....10

1.3.3.- DIFERENCIA………………………………………………………………..….…11

1.3.4.- DIFERENCIA SIMÉTRICA………………………………………………...….….12

1.3. 5.- COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO……………………………………........12

1.3.6.- CONJUNTO POTENCIA (CONJUNTO DE PARTES DE UN

CONJUNTO)…………………………………..………………………………………….13

1.4.-AXIOMAS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS……………………………..……………..… 13

1.4. 1.- AXIOMA DE EXTENSIÓN.………………………….………..………....…..13

1.4.2.-AXIOMA DE VACÍO……………………………………………………...……14

1.4.3.- AXIOMA DE SUSTITUCIÓN………………………………………….....…...14

1.4.4.- AXIOMA DE ESPECIFICACIÓN……………….……………………….........15

1.4.5.-AXIOMA DE UNIÓN DE CLASES……………………………………......…..15

1.4.6.-AXIOMA DE CONJUNTO POTENCIA………………………………..……...16

1.4.7.-AXIOMA DE REGULARIDAD………..………………..…….………..….......16

1.5.--PRODUCTO CARTESIANO…………………………………………………………..…......16

1.5.1.- PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO…………..….…....….16

1.5.2.- RELACIONES BINARIAS…………………………………………..….....17

1.5.2.1 CLASES DE RELACIONES BINARIAS………………….….17

1.6.- CLASE DE EQUIVALENCIA…………………………………………………..……............18

1.7.- PARTICIÓN……………………………………………………………………………….…..18

1.8.- CLASE COCIENTE……………………………………………………………………...……19

1.9.-RELACIÓN DE EQUIPOTENCIA………………………………………………………....…19

1.10.- AXIOMA DE INFINITUD………………………………………………………..............…20

4

1.11.-UNIÓN DISYUNTA…………………………………………………………………….……20

1.12.- CONJUNTO FINITO E INFINITO…………………………………………..………..….…21

CAPÍTULO II: CONSTRUCCIÓN DE ℕ POR TEORÍA DE CLASES…………………........21

2.1.- TEORÍA DE CLASES………………………………………………………………...………21

2.2.-CERO………………………………………………………………………………...…….…...23

2.3.- UNO………………………………………………………………………………….……..….23

2.4.- SUCESOR………………………………………………………………………………….….23

2.5.- CONJUNTO SUCESOR………………………………………………………………….…...23

2.6.- NÚMERO NATURAL…………………………………………….…………………….…….24

CAPÍTULO III: AXIOMATIZACIÓN DE PEANO………………………………………..…...24

3.1.-EL AXIOMA DE PEANO……………………………………… …………………..…….…..24

3.2.- OPERACIONES BÁSICAS EN SEGÚN PEANO……………………………………..…..29

3.2.1.- ADICIÓN: …………………………………………………………………29

3.2.1.1.-CONSIDERANDO EL UNO COMO PRIMER

NATURAL……………………………………………………………....29

3.2.1.2.-CONSIDERANDO EL CERO COMO PRIMER

NATURAL………………………………………………………….…....33

3.2.2.- MULTIPLICACIÓN:……………………………………………………...34

3.2.2.1..-CONSIDERANDO EL UNO COMO PRIMER

NATURAL……………………………………………………………...34

3.2.2.2..-CONSIDERANDO EL CERO COMO PRIMER

NATURAL……………………………………………………………...37

CAPÍTULO IV: OPERACIONES BÁSICAS EN ………………………………..………….38

4.1.-SUMA………………………………….……………..……………….……………………….38

4.2.- ADICIÓN………………………………..………………………….…..…….........................38

4.3.- PRODUCTO…………………………….…………………………………….…..…..………40

4.4.- MULTIPLICACIÓN…………………..…………………………........................…….......…40

4.5.-DIFERENCIA………………………….……………………………...…………………...….42

5

4.6.- SUSTRACCIÓN……………………………..…………..…………………….…………..….42

4.7.-COCIENTE……………………………….…………………….…………….…………….….42

4.8.-DIVISIÓN……………………..………………………………………………………..……...43

4.9.- POTENCIA…………………………………………..…………………………..………...….43

CAPÍTULO V: ORDEN EN ………………………………….………………….…….……..…43

5.1.-LEY DE TRICOTOMÍA………………………………………………………...………….…43

5.2.- PROPIEDAD TRANSITIVA…………………………………………………………….…....44

5.2. 1.-RELACIÓN MENOR……………………………………………….….…44

5.2.2.-RELACIÓN MAYOR…………………………………………………….44

5.3.- ELEMENTO MÍNIMO……………………………………………………………………..…44

5.4.- PRINCIPIO DE BUEN ORDEN……………………………………………..………….….…44

CAPÍTULO VI: PRINCIPIO DE INDUCCIÓN……………………………………….…….……45

6.1.- INDUCCIÓN MATEMÁTICA…………………………………………….........………..…...45

6.2.- SUMATORIAS………………………………………………….………………………….…46

APLICACIÓN DIDACTICA…………………………………..……………….…..……….….…47

SÍNTESIS………………………………………………………………..………………………....53

APRECIACIÓN CRÍTICA………………………………………….……………………….........54

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………….…………….…….55

ANEXOS………………………………………………………………….……………….………..56

6

INTRODUCCIÓN

Desde épocas remotas el ser humano tuvo noción del número natural.

En diversas culturas se usó diversos métodos para contar y establecer relaciones entre elementos

de conjuntos finitos, en la prehistoria usaron los dedos, marcas, conchas, palos para contar; más

con el avance de la historia diversas culturas crearon diversos métodos y símbolos para contar: los

incas usaron los quipus; los egipcios, los romanos, los hindúes y los griegos inventaron su propio

sistema de numeración

La notación de los números naturales como lo conocemos ahora (1, 2, 3, 4,5…) fue creado por los

hindúes y difundido a través de las relaciones comerciales por los árabes.

Luego aparecieron las nociones de agregar (adición), quitar (resta), repetir una cantidad cierto

número de veces (multiplicar) o repartir (dividir). Estas operaciones aunque no se habían definido

formalmente ya tenían una idea desde épocas prehistóricas.

Fue el comercio, lo que incentivo la necesidad de crear al número y a unificar un sistema de

numeración universal.

En este trabajo nos ocuparemos en definir las axiomatizaciones y la construcción de los números

naturales y sus diversas operaciones y relaciones, asimismo indicar el principio de inducción que

nos permite demostrar los diversos axiomas y propiedades tanto de la adición como la

multiplicación.

7

CÁPITULO I: CONCEPTOS PREVIOS

1.1.- NOCIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTO. RELACIÓN DE PERTENENCIA

Se entiende por conjunto a la reunión de personas, animales, objetos, letras o números llamados

elementos que pueden ser determinados por extensión, cuando se mencionan entre llaves sus

elementos o por comprensión, cuando existe una propiedad en común entre todos estos elementos.

Un conjunto se representa con letras mayúsculas: A, B, C, D,….; y a sus elementos con letras

minúsculas a, b, c,…..

PERTENENCIA DE UN CONJUNTO

Se define una relación de pertenencia que relaciona los elementos con el conjunto mismo, si x es un

elemento de A se denota:

X ∈𝐴

Si x no es un elemento de A se denota por:

X ∉𝐴

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1.2.-RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1.2.1.-INCLUSIÓN DE CONJUNTOS (SUBCONJUNTOS)

Se dice que A esta incluido o es parte de B, si todos los elementos de A pertenecen a B

A⊂ 𝐵 = ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝐵

SUBCONJUNTO PROPIO

Diremos que A es un subconjunto propio de B, o parte de B, si:

Ejemplo:

A= {1, 2, 3,4} y B= {1, 2,3}

B A además existe 4 ∈ 𝐴 ∧ 4 ∉ 𝐵 por lo tanto B es un subconjunto propio de A

B ⊂ A además ∃ x/ x ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵

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PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN

• ∀𝐴, ∅ ⊂ 𝐴,

• PROPIEDAD REFLEXIVA: A A

• PROPIEDAD TRANSITIVA : A B ∧ B ⊂ C A C

• PROPIEDAD ANTI SIMÉTRICA O IGUALDAD: A B ∧ B ⊂ A A = 𝐵

1.3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1.3.1.- UNIÓN

La unión de dos o más conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A y todos

los elementos de B.

Se denota:

A ∪ 𝑩 ={ x ∈ 𝑨 ∨ x ∈ 𝑩}

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PROPIEDADES

• A ∪ 𝑨 = 𝑨

• A ∪ 𝑼 = 𝑼

• (A ∪ 𝑩) ∪ 𝑪 = 𝑨 ∪ (𝑩 ∪ 𝑪)

• B ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩

• A ∪ ∅ = 𝑨

• A ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨

• A ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩

• A ⊂ 𝑪 ∧ 𝑩 ⊂ 𝑪 ⟹ 𝑨 ∪ 𝑩 ⊂ 𝑪

1.3.2.- INTERSECCIÓN

La intersección de dos o más conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos comunes

de A y B.

PROPIEDADES

• A ∩ 𝑨 = 𝑨

• A ∩ 𝑼 = 𝑨

• (A ∩ 𝑩) ∩ 𝑪 = 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪)

• 𝑨 ∩ 𝑩 ⊂ 𝐀

• 𝑨 ∩ 𝑩 ⊂ 𝐁

• Si A⊂ 𝐁 ⟹ 𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐀

A ⋂𝑩 ={ x ∈ 𝑨 ∧ x ∈ 𝑩}

11

• Si A⊂ 𝐁 ⟹ 𝐀 ∩ 𝐂 ⊂ 𝑩 ∩ 𝐂, ∀𝐂

• 𝑨⋃(𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨⋃𝑩) ∩ (𝑨 ∪ 𝑪)

• 𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑪)

• A ∩ ∅ = ∅

• A∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨

• A ⊂ 𝑪 ∧ 𝑩 ⊂ 𝑫 ⟹ 𝑨 ∩ 𝑩 ⊂ 𝑪 ∩ 𝑫

1.3.3.- DIFERENCIA

La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a

A pero no pertenecen a B

Se denota:

PROPIEDADES

• A - A=

• ∅ − 𝑨 = ∅

• 𝑨 ∩ (𝑩 − 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) − (𝑨 ∩ 𝑪)

• Si A⊂ 𝐁 ⟹ 𝐀 − 𝐂 ⊂ 𝑩 − 𝐂, ∀𝐂

• B ∩ (𝑨 − 𝑩) = ∅

• A - =

• A – B ≠ B-A

• A – B ⊂ 𝐀

• Si A ⊂ 𝐁 ⟹ A - B=

• Si A y B disyuntos ⟹ 𝑨 − 𝑩 =

A −𝑩 ={ x ∈ 𝑨 𝒑𝒆𝒓𝒐 x ∉ 𝑩}

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1.3.4- DIFERENCIA SIMÉTRICA

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos no

comunes de A y B

Se denota:

A ∆𝑩 = {x ∈ 𝑨 ∨ x ∈ 𝑩 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 }

PROPIEDADES

• A A=

• (A∆𝑩)∆𝑪 = 𝑨∆(𝑩∆𝑪)

• (A∆𝑩)⋂𝑪 = (𝑨⋂𝑪)∆(𝑩⋂𝑪)

• A B=𝑩∆𝑨

1.3.5.-COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

El complemento de un conjunto A es el conjunto A que contiene todos los elementos que no

pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.

A C={ x ∈ 𝑼 ⋀ x ∉ 𝑨}

PROPIEDADES

• (AC)C =A

• A ∪ 𝑨𝑪 =U

• A∩ 𝑨𝑪 = ∅

• UC=

• A-B=A∩ 𝑩𝑪

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1.3. 6.- CONJUNTO POTENCIA (CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO)

Dado el conjunto A llamamos conjunto potencia de A (P(A)) al conjunto formado por todos los

subconjuntos de A incluyendo al vacío

PROPIEDADES

1.4.-AXIOMAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

1.4. 1.- AXIOMA DE EXTENSIÓN

Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos

Sean dos conjuntos A y B, decimos que A= B:

Es decir:

•

•

Si A⊂ 𝑩 ⟺ 𝑷(𝑨) ⊂ 𝑷(𝑩)

Si A= 𝑩 ⟺ 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑩)

•

•

Si A⊂ 𝑩 ⟺ 𝑨 ⊂ 𝑷(𝑩)

P(A∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∩ 𝑷(𝑩)

• • 𝑷(𝑨) ∪ 𝑷(𝑩) ⊂ 𝑷(𝑨⋃𝑩)

∀𝑥(𝑥𝜖𝐴 ⟺ 𝑥𝜖𝐵)

A =B ⟺ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

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1.4.2.-AXIOMA DE VACÍO

Existe un conjunto representado por que no presenta elementos.

1.4.3.-AXIOMA DE SUSTITUCIÓN

P(x) es una proposición sobre x sea P(x) verdadera y x=w entonces se deduce que P (w) es

verdadera.

Ejemplo:

• 3x + 4y = 11 …….(1)

• 5x- y=3 ……………..(2)

Despejamos x en (1): x

Sustituimos el valor de x en (2):

, entonces y=2, sustituimos en (1):

3x+4.2=11 x=1

∃∅∀𝑎(𝑎⟺𝑥𝜖 ∉ 𝑎)

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1.4.4.-AXIOMA DE ESPECIFICACIÓN.

Dado el conjunto A y la función proposicional P(x) sobre x tal que x A entonces decimos que

existe un subconjunto B A cuyos elementos son todos los de A, tal que P(x)

Es decir a todo conjunto A y a toda condición P (x), corresponde un conjunto B cuyos elementos

son precisamente aquellos elementos de A que cumplen P(x)

Este axioma nos ayuda a construir subconjuntos a partir de un conjunto dado, considerando la

existencia del cero.

Como sabemos el vacío existe y lo consideráremos un número que llamaremos 0 apartir del cero

construimos el conjunto {0} y lo llamaremos uno denotado por 1, luego construiremos el conjunto

{0,1} y lo llamaremos dos denotado por 2, y así sucesivamente hasta llegar a construir los números

naturales.

1.4.5.-AXIOMA DE UNIÓN DE CLASES

Para toda colección de conjuntos existe un conjunto que contiene a todos los elementos que

pertenecen cuando menos a uno de los elementos de la colección dada.

Esto es si U es una colección de conjuntos entonces existe un conjunto B tal que ∀𝐴 ∈ 𝑈 y ∀𝑥 ∈

tenemos que x ∈ 𝐵

∃ 𝑼⁄𝐴 ⊂ 𝑈 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴

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1.4. 6.- AXIOMA DE CONJUNTO POTENCIA

P(A) = {x/x⊂ 𝐴}

Ejemplo: Sea A= {1, 2, 3,4] entonces:

P(A)={{1};{2};{3};{4};{1 ,2};{1,3};{1,4};{2,3};{2,4};{3,4};{1,2,3};{1,2,4};{1,

3,4};{2,3,4};{1,2,3,4};{ }}

1.4.7.- AXIOMA DE REGULARIDAD:

Para cada clase no vacía, siempre hay al menos un elemento que no contiene otros elementos de la

clase, es decir, que es disjunto con ella.

(∀a)(a ≠f→(∃x)(x ∈a ∧x I a =f)

1.5.--PRODUCTO CARTESIANO

1.5.1.- PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO

PAR ORDENADO

Sean a ∈ 𝐴 𝑦 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 (𝑎, 𝑏)

(a, b) = {{a}, {a, b}]

Observación: (a,b)≠ (b,a)

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PRODUCTO CARTESIANO

Sean A y B dos conjuntos, se define el producto cartesiano de A por B y se indica A x B, al conjunto

de pares ordenados (a, b), donde a pertenece al conjunto A y b pertenece al conjunto B.

Simbólicamente:

Ejemplo:

Sean los conjuntos: S = {1, 2, 3}, T = {1, 2}, entonces:

S x T = {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2); (3, 1); (3, 2)}

1.5.2.- RELACIONES BINARIAS

Subconjunto de un producto cartesiano. Es una regla de correspondencia entre los elementos del

primer conjunto (dominio) con los del segundo conjunto (rango).

Dónde: R ⊂ A x B

1.5.2.1 CLASES DE RELACIONES BINARIAS

• RELACIONES REFLEXIVAS

∀𝑎 ∈ 𝐴, (𝑎, 𝑎) ∈ R

• RELACIONES SIMETRICAS

∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⟹ (𝑏, 𝑎), ∈ 𝑅

AXB = [(a,b) /a ∈ A ∧ b ∈B}

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• RELACIONES TRANSITIVAS

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ∧ (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅 ⟹ (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅}

• RELACIONES EQUIVALENCIA

Una relación R es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva

1.6.-CLASE DE EQUIVALENCIA

Sea un conjunto con una relación de equivalencia . Tomemos un elemento de nuestro

conjunto , es decir .

La clase de equivalencia de a, la cual denotaremos por |a|, es el subconjunto de formado por

todos los elementos b de X , que están relacionados con 𝑎,es decir

1.7.- PARTICIÓN

Una partición de A es una colección de subconjuntos no vacíos de A

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Donde:

• A1 A2 A3 A4∪ … ∪An =A

• Los subconjuntos de A son disyuntos

1.8.- CLASE COCIENTE

Conjunto formado por todas las clases de equivalencia

Ejemplo:

Sea el conjunto de los números naturales ℕ y consideremos el conjunto ℕ 𝑥 ℕ , que consiste

de todas las parejas ordenadas de números naturales

Sea X el subconjunto de ℕ 𝑥 ℕ de parejas cuyo segundo número es distinto de cero, es decir

Definamos la siguiente relación de equivalencia en : {(a, b) R(c, d) ad =bc}

Para simplificar analicemos la clase de equivalencia de la pareja | (1,2)|

| (1,2)|= { (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10),…]

Entonces la relación de equivalencia seria entonces el grupo cociente seria el conjunto

formado por todos los números que se puedan representar de la forma donde b y a sean

naturales, es decir los racionales.

1.9.- RELACIÓN DE EQUIPOTENCIA

Dos conjuntos A y B se dicen equipolentes si existe una función biyectiva f : A → B entre ellos.

Se denota como A ≈ B.

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Sea F la clase de todos los conjuntos finitos y C la clase de todos los conjuntos.

Se define sobre C la relación de equipotencia £:

Nos ayuda a definir que tienen el mismo cardinal, sin definir que es un número cardinal La

relación de equipotencia es una relación de equivalencia. En efecto:

• A~A

• A~B B~A

• (A~B) (B~C) A~C

1.10.-AXIOMA DE INFINITUD

La clase cociente de todas las clases de equivalencia de todos los conjuntos finitos por una relación

de equipotencia £: denotado por W0=F/ £ es un conjunto o existe un conjunto infinito. Existe un

conjunto inductivo, un conjunto que contiene al conjunto vacío .y al sucesor de cada uno de sus

elementos.

1.11-UNIÓN DISYUNTA

La unión disjunta de A y B se define como:

A~B ⟺ ∃£: A⟶ 𝐵 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

A ∐ B = { A x |a | ∪ B x |b | }

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Ejemplo:

Los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 4}

A B = {A x |0| B x |1|}

A B = {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (1, 1), (2, 1), (4, 1)}

1.11.-CONJUNTO FINITO E INFINITO

Un conjunto finito es un conjunto bien ordenable, tal que cada subconjunto no vacío, además de

tener mínimo tiene máximo

Un conjunto infinito A es un conjunto que tiene un subconjunto propio (uno que no es el mismo A)

con el que puede ponerse en correspondencia biunívoca. En un conjunto finito existe una relación

de equipotencia.

CAPÍTULO II: CONSTRUCCIÓN DE POR TEORÍA DE CLASES

2.1.- TEORÍA DE CLASES

Clases es una colección arbitraria de objetos .Como el conjunto de los naturales es muy grande que

no permite considerar como conjuntos por lo cual se usa la teoría de clases para definirla usando

la terminología de la teoría de conjuntos

Definimos clase para cada fórmula f(x) en la que “y” no es libre en f(x) existe una sola clase de

los conjuntos que verifican f(x).

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Usando la teoría de clases podemos definir las operaciones de conjuntos, mencionando aquí solo

las principales:

• La clase unión de clases:

a Ub ={x /j(x) ≡x ∈a ∨x ∈b}

• La clase intersección de clases:

a Ib ={x /j(x) ≡x ∈a ∧x ∈b}

• La clase universal:

U ={x/x =x}

• La clase vacía:

∅ ={x/x ≠x}

• La clase diferencia de clases :

a –b= {x /x ∈a ∧ x ∉b}

• La inclusión de clases:

a ⊆b⟷(∀x)( x ∈a ⟷x ∈b )

• La clase unitaria:

{a} ={a /a = b ∨∼ ∁ 𝑏}

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• La clase par ordenado:

{a,.b} = {a}U {b}

• La clase Siguiente o sucesor :

o s(a)= a U{a}

2.2.-CERO

Se llama cero y se denota como 0 a la clase de equivalencia del conjunto

0= [ ], 0 W0 pues ∅ ∈ F

2.3.- UNO

Se llama uno y se denota como 1 a la clase de equivalencia del conjunto 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 [u] 1=

[|u|], W0 pues [𝑢] ∈ F

2.4.-SUCESOR

A = [a] se llama sucesor de a y se denota por [a+1] a la clase [A [U] ] ∈ W0

2.5.- CONJUNTO SUCESOR

S es un conjunto sucesor si:

• 0 S

• Si a S entonces a+1 a S

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2.6.- NÚMERO NATURAL

Se lama conjunto de los números naturales y denota como a la intersección de la familia

de todos los conjuntos sucesores

• 0 =[∅]

• 1=[{∅, 0}]

• 2=[{∅, 0,1}] 3=[{∅, 0,1,2}]

• .

• .

• ℕ = {0,1,2,3,4,5,6, , … . +∞}

CAPÍTULO III: AXIOMATIZACIÓN DE PEANO

3.1.-EL AXIOMA DE PEANO

Una de las teorías más conocidas sobre la construcción de los números naturales es la

axiomatización que Peano presento en 1889 en su obra Aritmetices principia, nova methodo

exposita, que se traduce por Nuevo método de exposición de los principios de la aritmética.

La axiomatización de Peano está basado desde la vista de un lenguaje normal, es decir desde la

lógica matemática, a otros como Dikend, que lo abordaron desde la teoría de conjuntos.

Los nueve axiomas que presento en ese año fueron:

25

Conceptos previos

• El símbolo ℕ significa número (entero positivo)

• El símbolo 1 significa unidad

• El símbolo a + 1 significa sucesor de a, o a más 1

• El símbolo = significa es igual a

Axiomas

• 1 𝝐 ℕ

• Si a entonces a =a

• Si a entonces a =b si y solo si b = a

• Si a, b, c entonces a =b, b=c implica a=c

• Si a = 𝑏 𝑦 𝑏 𝝐 entonces a

• Si a entonces a+1

• Si a ℕ entonces a=b si y solo si a+1 =b+1

• Si a entonces a + 1 1

• Si k es una clase , 1 𝑘, 𝑦 𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝝐 : x 𝑘, 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 x+1

entonces k (INDUCCIÓN MATEMÁTICA)

Con el paso de los años y gracias al aporte de otros matemáticos se redujeron a solo 5 que

presentamos a continuación:

Se considera los siguientes términos primitivos.

• el conjunto de los naturales ( ) que es diferente del vacío

26

• la función inyectiva s: como función sucesor de n, y denotada

como s(n) como el sucesor o siguiente de un número n.

Tenemos los siguientes axiomas:

A1: El 1es un número natural.

Obtenemos así nuestro primer elemento de nuestro conjunto de

A2: Si n es un número natural, entonces s(n) también es un número natural.

Como ya tenemos nuestro primer elemento, podemos empezar a formar el conjunto de números

naturales ya tenemos por el axioma anterior el número 1 que pertenece a ahora por este axioma

obtenemos s (1) que también pertenece a ℕ, luego obtenemos otro elemento s(s(n)) que también

pertenece a y así sucesivamente se logró formar todos los números naturales, más pudiese

suceder que s(s(s(s (… (s (1)...)))) = 1 entonces no se podría formar todos los números naturales

solo un número finito de naturales; esto se solucionaría con el siguiente axioma.

A3: El 1 no es el sucesor de ningún número natural

Estableciéndose así obtenemos el 1 es el primer número natural y como no es el sucesor de

ningún número no sucedería que s(s(s(s (… (s (1)...)))) = 1 por lo cual podrías obtener el conjunto

de los naturales que tendría un mínimo el 0 pero no existiría un máximo.

27

A4: Sea s(n) = s(m), entonces n=m

A5.- Sea un conjunto A, A⊂ ℕ, Si 1 ∈ A y n ∈ A, entonces s(n) 𝝐𝑨 ,A=

A este axioma se le conoce como inducción matemática. Este axioma es el más importante

pues nos permitirá demostrar todas las demás propiedades de los números naturales. Entonces sea

• A⊂ ℕ

• 1 A

• h A⟹ 𝒉 + 𝟏 ∈ 𝑨

En un principio Peano considero al 1 como primer número natural más luego con el avance de la

teoría de conjuntos estableció como 0 el primer número natural, en este trabajo consideraremos

ambos, con la respectiva demostración. Ahora consideraremos con el 0 como primer número

natural.

A = ℕ

ℕ

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A1: El 0 es un número natural.

A2:- Si n es un número natural, entonces s(n)

también es un número natural.

A3.- El 0 no es el sucesor de ningún número natural

A4.- Sea s(n) = s(m), entonces n=m

A5.- Sea un conjunto A,A⊂ ℕ, Si 0 A y n A, entonces s(n) 𝝐𝑨 ,

A= a este axioma se le conoce como inducción matemática.

Sea

• A⊂ ℕ

• 0 A

• h A⟹ 𝒉 + 𝟏 ∈ 𝑨

A = ℕ

Peano para los números naturales definió dos operaciones, la adición (+) y la multiplicación(x).

29

3.2.- OPERACIONES BÁSICAS EN SEGÚN PEANO

3.2.1.- ADICIÓN:

3.2.1.1.-CONSIDERANDO EL UNO COMO PRIMER NATURAL

Dados m y n ∈ ℕ

m+1=s(m)………AXIOMA S1

m+ s(n) =s(m +n)………AXIOMA S2

Entonces.

o Si n=1

m +n = m+1…….POR HIPÓTESIS

s (m)……….. AXIOMA S1

o Si n ≠1

m+ S(s (n))= m+ s (n+1)………………….AXIOMA S1

m+ ((n+1) +1)….…………....AXIOMA S1

(m+ (n+1)) +1…..AXIOMA ASOCIATIVA

s ( m+(n+1))……………….. AXIOMA S1

s (m+ s(n))………………… AXIOMA S1

30

Propiedades de la adición

Para cualesquiera m, n N, m + n ∈ ℕ, se le llama propiedad de la cerradura

• Si n =1 m ∈ ℕ

m+1 = s (m)……… AXIOMA S1

s (m ) ∈ ℕ …………….A2

• Si n≠1 ∀𝑥 ∈ ℕ tal que x=s(n)

m+s (n) = s(m +n)………AXIOMA S2

s(m +n) ∈ ℕ ……………A2

• Para cualesquiera m, n, p N, (m + n) + p = m + (n + p) se le llama propiedad

asociativa de la adición

Primero se demuestra para p =1

m+ (n +1) = m +s(n)…………… AXIOMA S1

S (m+ n) …………. AXIOMA S2

(m+ n) +1………… AXIOMA S1

Sea X= {𝑝 ∈ N: (m + n) + p = m + (n + p) }

m+ (n +s (p)) = m +s(n+p) ………….… AXIOMA S2

s (m+(n+p)) ……………. AXIOMA S2

s ((m+n)+p) …………POR HIPOTESIS

(m+n) + s (p) …………… AXIOMA S2

31

• Para cualesquiera m, n N, m + n = n +m se le llama propiedad conmutativa de la

adición

Primero se demuestra Para n=1

1+n= n+1

1+s(n) =s (1+n)……………………………..AXIOMA S2

s(n+1)…………PROPIEDAD CONMUTATIVA

(n+1)+1…………………………. AXIOMA S1

S (n) +1 …………………………..AXIOMA S1

Sea X= {𝑛 ∈ N: n + m = m + n }

m + s (n) = s (m+ n)……………………….AXIOMA S2

s (n +m)………… PROP. CONMUTATIVA

(n+ m ) +1………. ……….….AXIOMA S1

n + (m +1)…………..PROP ASOCIATIVA

n +(1+m)………………..POR HIPÓTESIS

(n +1) + m……….…PROP. ASOCIATIVA

s (n) +m ……………..…… AXIOMA S1

• Para cualesquiera n,m,p N, 𝒎 + 𝒏 = 𝒎 + 𝒑 ⟹ 𝒏 = 𝒑 se le llama teorema de la

cancelación de la adición

Sea X= {m, n, p ∈ N: m + n = m + p ⟹ n = p }

1 X: Sea 1+n= 1+p ⟹ s(n)=s(p)………AXIOMA S1

n = p………….A4

32

s(m) + n = s(m)+p n + s(m)= p +s(m)……PROP. CONMUTATIVA

s(m +n) =s(p+ m)…………AXIOMA S2

n+ m = p+ m…………A4

n = p

Por lo tanto n, m,p N, 𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝 ⟹ 𝑛 = 𝑝

Para cualesquiera n, m, p N, si 𝒏 = 𝒑 ⟹ 𝒎 + 𝒏 = 𝒎 + 𝒑 se le llama teorema de

la igualdad de la adición

Primero se demuestra para p=1

1 X : Sea n= p

s (n)=s(p)…………………….…..A4

n + 1 = p + 1………..AXIOMA S1

Sea X= {m, n, p ∈ N: n = p ⟹ m + n = m + p }

n+ m=p+ m

s(m +n) =s(p+ m)……………………………………..A4

s(m) + n = s(m)+p………………….……..…AXIOMA S2

n + s(m)= p +s(m)……..PROPIEDAD CONMUTATIVA

Por lo tanto n=p n+m = p+ m m ∈ N

33

3.2.1.2- CONSIDERANDO EL CERO COMO PRIMER NATURAL

Dados m y n ∈ ℕ

Entonces.

m+0=m………AXIOMA S1´

m+ s(n) =s(m +n)………AXIOMA S2’

Tenemos que probar que n + 0 = n S(n) +0 = S(n)

n +0 =n………AXIOMA S1¨

s(n)+o= s(n)………….A4

Para demostrar el AXIOMA S2 primero definiremos S (0)=1 y demostraremos:

n+1= s(n)……..TEOREMA 1

n+1 =n+ s(0)…….POR DEFINICIÓN ANTERIOR

s(n+0)….. POR AXIOMA S2

s(n)……… POR AXIOMA S1¨

34

3.2.2.-MULTIPLICACIÓN

3.2.2.1.-CONSIDERANDO EL UNO COMO PRIMER NUMERO NATURAL

Dados m y n ∈ ℕ

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

• Para cualesquiera n, m, p N, m(n+p )= m.n+m.p se le llama axioma distributiva

Primero se demuestra para p=1

m(n+1)=m.n+m…………………POR AXIOMA M1

Sea X= {m, n, p ∈ N: 𝑚(𝑛 + 𝑝) = 𝑚𝑛 + 𝑚𝑝 }

Veamos s (p) = p+1 ∈ X

m(n+s(p)) =m(n+(p+1))………………………………..AXIOMA S1

m((n +p)+1)………………PROPIEDAD ASOCIATIVA

m (n +p)+m………………….…..……POR HIPOTESIS

m. n +m .p +m…………………………POR HIPOTESIS

m. n+(m .p +m)…………… PROPIEDAD ASOCIATIVA

m. n+ m(p+1)…………………..…….. POR AXIOMA M1

m.n+ m.s(p)…………………..……… POR AXIOMA S1

m.1=m………….AXIOMA M1

m(n+1)=m.n+m……....AXIOMA M2

35

Sea X= {𝑛 ∈ N: n. m = m. n }

m. s(m)=n(m+1)…………. ………AXIOMA S1

n. m+ n…………. ……....AXIOMA M2

m. n + n………………....HIPOTESIS

m.n + 1.n…………………AXIOMA M1

(m+1)n…………PROP DISTRIBUTIVA

S(m)n…………………….AXIOMA S1

• Para cualesquiera m, n, p N m. (n .p) = (m. n). p se le llama propiedad asociativa de

la multiplicativa

Primero se demuestra para p =1

m. (n .1) = m. n……… AXIOMA M1

( m. n).1……… AXIOMA M1

Sea X= {𝑝 ∈ N: (𝒎 . 𝒏) . 𝒑 = 𝒎 . (𝒏 . 𝒑) }

m. (n .s(p)) = m( n (p+1))…………………………. POR AXIOMA M2

m( n.p +n) ………………………… POR AXIOMA M2

m.n.p +m.n…………POR PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

m. n (p+1)…………POR PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

( m. n )(p+1) ………………………..…POR HIPOTESIS

(m. n). s(p) ……………………………POR AXIOMA S1

36

Para cualesquiera m, n, p N n .m = n.. p , n≠0 entonces m = p .se le llama propiedad

cancelativa de la multiplicación

Primero se demuestra para p=1

Sea 1.n= 1.p ⟹ n = p………….AXIOMA M1

Sea X= {m, n, p ∈ N: m. n = m. p ⟹ n = p }

s(m) . n = s(m).p n=p

Sabemos que s(m)≠0 existe k tal que s(k)=m

Si m≠1 y k ≠0, existe r tal que s(r)=k………HIPÓTESIS ADICIONAL

n. s(m) =n. k………………. POR HIPÓTESIS ADICIONAL

n. s(m) = n. s(r)…………….POR HIPÓTESIS ADICIONAL

n(m+1)=n(r+1)…………….POR AXIOMA S1

n. m +n=n. r+ n…………..POR AXIOMA S2

n. m=n. r……………….POR PROPIEDAD CANCELATIVA DE LA ADICIÓN

m = r …………………… POR HIPÓTESIS

S(m) = S(r)…………………….POR A4

s(m) = k…………………………POR HIPÓTESIS ADICIONAL

37

3.2.2.2 .CONSIDERANDO EL CERO COMO PRIMER NATURAL

Dados m y n ∈ ℕ

Entonces.

Tenemos que probar que n + 0 = n S(n) +0 = S(n)

n +0 =n………AXIOMA S1¨

s(n)+o= s(n)………….A4

Para demostrar el AXIOMA S2 primero definiremos S(0)=1 y demostraremos:

n+1= s(n)……..TEOREMA 1

n+1 =n+ s(0)…….POR DEFINICIÓN ANTERIOR

s(n+0)….. POR AXIOMA S2

s(n)……… POR AXIOMA S1¨

m.0=0…………AXIOMA M1’

m(n+1)=m.n+m………….AXIOMA M2’

38

CAPÍTULO IV: OPERACIONES BÁSICAS

4.1.-SUMA

Se denomina suma de a y b (a+b) a la clase de equivalencia [A B]

4.2.- ADICIÓN

Dados m y n ∈ ℕ

Se cumple la ley de composición interna:

+ : ℕ𝐱ℕ → ℕ

(m,n)⟶ +(𝒎,𝒏) = 𝒎 + 𝒏

Además se cumple los siguientes axiomas:

Sean m=[M] , n =[N] y p=[P]

• AXIOMA DE CERRADURA:

m,n m +n

• AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD :

m,n ℕ ⟹m +n = n+m

[ A ⊔ B]= |a| + |b|

39

• AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD:

m,n,p ℕ ⟹ (m +n ) + p =m+(n+p)

• AXIOMA DE IDENTIDAD ADITIVA:

m ℕ, ∃ 0 ∈ ℕ ∕ m +0 = 0 +m= m

TEOREMA DE LA CANCELACIÓN PARA LA ADICIÓN

• n,m,p N, 𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝 ⟹ 𝑛 = 𝑝

Demostración

𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝….POR HIPÓTESIS

[M] +[N] = [M] + [P]……POR NOTACIÓN

[M N] =[M ⊔ 𝑃]…….POR DEFINICIÓN

[N] =[P] …….POR A B=A ⊔ 𝐶 B⊔ 𝐶

n =p…………………………POR NOTACIÓN

TEOREMA DE LA IGUALDAD PARA LA ADICIÓN

n,m,p N 𝑛 = 𝑝, ⟹ 𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝

Demostración

𝑛 = 𝑝….POR HIPÓTESIS

[N] =[P] ……POR NOTACIÓN

[M N] =[M ⊔ 𝑃]…….POR B ∼ 𝐶 = A B=A ⊔ 𝐶

[M] +[N] = [M] + [P]……POR DEFINICIÓN

m+n = m + p……POR NOTACIÓN

40

4.3.- PRODUCTO

Se denomina producto de a y b (a. b) a la clase de equivalencia [A B]

4.4.- MULTIPLICACIÓN

Dados m y n ∈ ℕ

Se cumple la ley de composición interna:

. :ℕxℕ → ℕ

(m,n)⟶. (𝑚, 𝑛) = 𝑚. 𝑛

Además se cumple los siguientes axiomas:

Sean m=[M] , n =[M] y p=[P]

• AXIOMA DE CERRADURA:

m,n m . n

• AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD :

m,n ℕ ⟹m .n = n. m

[ A 𝑥 B] = |A|.|B|

41

• AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD:

m,n,p ℕ ⟹ (m .n ) . p =m.(n.p)

• AXIOMA DE IDENTIDAD MULTIPLICATIVA:

m ℕ, ∃ 1 ∈ ℕ ∕ m .1 = 1.m = m

TEOREMA DE LA CANCELACIÓN PARA LA MULTIPLICACIÓN

• n,m,p N, 𝑚. 𝑛 = 𝑚. 𝑝 ⟹ 𝑛 = 𝑝

Demostración

𝑚. 𝑛 = 𝑚. 𝑝….POR HIPÓTESIS

[M]. [N] = [M] .[P]……POR NOTACIÓN

[M N] =[M 𝑥𝑃]…….POR DEFINICIÓN

[N] =[P] ……POR A B A 𝑥𝐶 B𝑥𝐶

n =p……………………….POR NOTACIÓN

TEOREMA DE LA IGUALDAD PARA LA MULTIPLICACIÓN

n,m,p N 𝑛 = 𝑝, ⟹ 𝑚. 𝑛 = 𝑚. 𝑝

Demostración

𝑛 = 𝑝….POR HIPÓTESIS

[N] =[P] ……POR NOTACIÓN

[M 𝑥 N] =[M 𝑥 𝑃]…….POR B𝑥𝐶 A B A 𝑥𝐶

[M] .[N] = [M] .[P]……POR DEFINICIÓN

m.n = m .p……POR NOTACIÓN

42

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

m,n,p m( n+p) = mn + mp

m( n+p) = [M]. ([N] +[P] )…POR NOTACIÓN

= [M]x ([N] [P] )…POR DEFINICIÓN DE SUMA Y PRODUCTO

=[(M x N) (M x P) ]…….POR Ax(B⊔ 𝐶) = (𝐴 𝑥 𝐵) ⊔ (𝐴 𝑥 𝐶)

=[M] [N] [M] [ P ]…….POR DEFINICIÓN DE SUMA Y PRODUCTO

= m.n + m.p …….POR NOTACIÓN

4.5.- DIFERENCIA

Dados dos números a y b se define diferencia de a y b (a –b) tal que a b,es decir que exista un

número natural c tal que a=b+c

4.6.-SUSTRACCIÓN

Sea:

m, n ∈ ℕ, m ≥n, se define la ley de composición interna parcialmente definida:

- :ℕxℕ → ℕ

(m,n)⟶ − (𝑚, 𝑛) = 𝑚 −n = p

4.7.- COCIENTE

Dados dos números naturales a y b donde b 0se llama cociente a / b al número natural c tal que

a=b.c

43

4.8.-DIVISIÓN

Sea :

m, n, p ∈ ℕ, tal que m=n.p se define la ley de composición interna parcialmente definida:

./ :ℕxℕ → ℕ

(m,n)⟶. (𝑚, 𝑛) = 𝑚/𝑛 =p tal que m =np

4.9.- POTENCIA

Sea : M, n ∈ ℕ es un ley de composición interna parcialmente definida:

.pot :ℕxℕ → ℕ

(m,n)⟶. (𝑚, 𝑛) =mn

También se define aplicando inducción matemática:

1. a0 = 1

2. an+1 = an a.

CAPÍTULO V: ORDEN EN

5.1.-LEY DE TRICOTOMÍA

Para cualquiera m,n y p ∈ ℕ, decimos que se cumple una y solo una de las siguientes relaciones :

• m=n

• m>n

• m<n

44

5.2.- PROPIEDAD TRANSITIVA

5.2.1.-RELACIÓN MENOR

Adición

Si a <b a+c <b+c

Multiplicación

Si a <b a.c <b.c

5.2.2.-RELACIÓN MAYOR

Adición

Si a >b a+c >b+c

Multiplicación

Si a >b a.c >b.c

5.2.3- ELEMENTO MÍNIMO

m es un elemento mínimo de A si solo si m ≤ a , a ∈ 𝐴

5.2.4.- PRINCIPIO DE BUEN ORDEN

En cualquier conjunto de números naturales existe un subconjunto S (S N ) distinto del

conjunto vacío,(S ≠ ) existe un mínimo, es decir, un número n S menor o igual que cualquier

número de A.

n S tal que n ≤ x x S.

45

CAPÍTULO VI: PRINCIPIO DE INDUCCIÓN

6.1.- INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Como se recuerda ya hemos visto el principio de inducción matemática en el último axioma de

Peano , ahora lo hablaremos más ampliamente.

Una proposición P(x) es cierta para todo x N siempre que:

• P(1) sea cierto

• P( s(x)) sea cierto

Ejemplo:

1.- Demuestre que la suma de los primeros n impares positiva es n2.

Solución

Sea (hipótesis de inducción)

es cierta y que sea cierta. Entonces hay que demostrar que

Entonces, s(1) =1 = 12 es verdadera .

Por la formula sk +1 = (k+1)2, veremos si se cumple por inducción:

Por lo tanto la fórmula es cierta

46

6.2.- SUMATORIAS

Considerando m y n a dos números naturales de de tal manera que m n y una función definida

para cada i∈ ℕ, donde m i n.

Luego la notación nos representa la suma de los términos f(m), f(m+1), f(m+2),…f(n)

Ejemplo:

= nk

Demostramos para n=1 k=1.k

Demostramos para n+1

=( n+1)k =

n. k +k

k(n+1)

(n+1)k

47

APLICACIÓN DIDÁCTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

ENRIQUE GUZMÁN Y VALLE

“Alma Mater del Magisterio Nacional”

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA-INFORMÁTICA

PLAN DE LECCIÓN

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES

Tema de clase: Construcción de ℕ por Teoría de Clases y axiomática de Peano.

Operaciones básicas en ℕ.: adición y multiplicación. Principio de inducción

BACHILLER: JAKELINNE TANIA OLIVARES REYNA

ESPECIALIDAD: MATEMÁTICA

Miembros del jurado:

• Presidente: LUIS ESTEBAN ROJAS GUEVARA

• Secretario: LUIS ALFONSO ZEGARRA HORNA

• Vocal: JORGE ENRIQUE QUIROZ QUIROZ

48

II.- OBJETIVOS:

2.1.- ORJETIVO GENERAL

Identificar y reconocer las propiedades de los números naturales. Resolver problemas

aplicando las operaciones en los naturales. Comprobar la inducción matemática.

2.2.-OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Definir el número natural

• Realizar las operaciones de adición y multiplicación, aplicando las propiedades

• Resolver problemas en naturales

• Probar inductivamente algunas fórmulas matemáticas

III ORGANIZACIÓN DE APRENDIZAJES

CONCEPTOS APRENDIZAJES ESPERADOS ACTITUDES

•

•

•

•

•

•

Axioma de

sustitución,

equivalencia

Conjunto finito

e infinito

Conjunto

cociente y

sucesor

Números

naturales

Operaciones en

Inducción

matemática

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

• Define relaciones de equivalencia

• Define sucesor

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN

• Compruebe inductivamente algunas

fórmulas matemáticas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

• Resuelve problemas con adición y

sustracción

Respeta el lenguaje

matemático

Muestra

interés en

resolver

situaciones

problemáticas

49

IV.- SECUENCIA DIDÁCTICA EVALUACIONES

DE

APRENDIZAJES

ESTRATEGIAS RECURSOS EVALUACION TIEMPO

INICIO • Motivación

• Revisión de

conceptos

previos

• Exposición oral

• Papelógrafo

• Equipo

multimedia

• Plumones,

mota

CM 10 MIN

PROCESO • Define el

conjunto de los

números

naturales

• Prueba las

propiedades de

la adición y

multiplicación

• Prueba la

inducción

matemática

• Exposición

oral

• Papelógrafo

• Equipo

multimedia

• Plumones,

mota

CM

RP

20 min

SALIDA Resuelve la guía

practica

Hoja de ejercicios RP 30 min

50

V.- BIBLIOGRAFÍA

• AYRES FRANK JR (2003) ÁLGEBRA MODERNA México. Editorial Mc Graw-Hill

• ESPINOZA RAMOS, EDUARDO (2005) MATEMÁTICA BÁSICA Lima-Perú

Editorial Servicios Gráficos S.A.

• VENERO B. ARMANDO (2012) INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO

Lima Perú-Ediciones Gilmar

51

GUÍA DE PRÁCTICA

1.- Demostrar:

• a(b-c) = ab-bc

• a.0 =0

2.- resolver las ecuaciones:

• 2x +9= 15

• 5x- 3> 17

• 37< 4x+2<82

3.- resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

• y=2x

• x + y = 24

• −3x+y=−9

• 5x + 4y = 32

4.-Probar por inducción:

52

5.-resuelve los siguientes problemas:

• En el parque de atracciones, nos hemos montado en “La rueda loca”, que es muy divertida.

Nos ha dicho el vigilante que ha funcionado 40 veces y siempre llena, llevando 5 niños

cada viaje. Otra atracción, “El dragón púrpura”, ha llevado 3 veces más niños que “La

rueda loca”. ¿Cuántos niños se han montado en “El dragón púrpura”?

• En una fábrica de calzado confeccionan en un día 30 pares de botas, 58 pares de sandalias,

79 pares de zapatos y 63 pares de zuecos. Al finalizar el año, ¿cuantos calzados habrán

confeccionado en la fábrica?

53

SÍNTESIS

Hemos visto que para construir el conjunto de los naturales debemos tener algunas nociones

previas, para lo cual estudiamos primero las relaciones, axiomas de la teoría de conjuntos, relación

de equivalencia e equipotencia, conjunto cociente, entre otros.

Una vez consultado estos conceptos podemos construir el conjunto de los naturales, ya sea

mediante la teoría de clases o mediante el método axiomático en este caso el que estudiamos es el

de Peano, pero no es el único pues también tenemos a Pierce, Lawvere, Dikend entre otros. Una

vez construido podemos definir las operaciones que suceden en los naturales así como las

relaciones entre ellos mediante el método axiomático o de clases.

Luego basándonos en el principio de buen orden y en el de inducción matemática, introducido por

el último axioma de Peano podemos demostrar los diversos axiomas de la adición y multiplicación;

así como algunas fórmulas matemáticas

54

APRECIACIÓN CRÍTICA

• Es necesario que los profesores estudian la construcción axiomática de los números, ya

sean naturales, enteros o racionales para que puedan enseñar a los estudiantes, para que

aprendan no solo las diversas propiedades sino a demostrar esas propiedades.

• Es importante que los estudiantes dominen el método inductivo, para poder inducir, y así

formar su pensamiento creativo.

• Tratar de crear, así, el pensamiento refutador del estudiante, a tratar de que se pregunten

del porqué de las cosas y no aceptar algo sin saber porque es así.

55

BIBLIOGRAFÍA

• AYRES FRANK JR (2003) ÁLGEBRA MODERNA México. Editorial Mc Graw-Hill

• BEDOYA MEJIA, LINA (2003) PEANO, LAWVERE, PIERCE: TRES

AXIOMATIZACIONES DE LOS NÚMEROS NATURALES Bogotá

• ESPINOZA RAMOS, EDUARDO (2005) MATEMÁTICA BÁSICA Lima-Perú

Editorial Servicios Gráficos S.A.

• MARCA CASTROMONTE GUSTAVO (2011) TEORÍA DE LOS

CONJUNTOS NATURALES : LOS AXIOMAS DE PEANO

• QUEYSANNE MICHEL (1971) ÁLGEBRA BÁSICA Editorial Vicens-Vives

• ROJO, ARMANDO , ÁLGEBRA (1981) Editorial El Ateneo

• VENERO B. ARMANDO (2012) INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO

Lima Perú. Ediciones Gilmar

56

ANEXOS

MÉTODO ÁRABE PARA MULTIPLICAR.

Se presenta con una tabla de doble entrada. Basta con

efectuar las multiplicaciones que corresponden a cada

casillero. Separar las cifras de las unidades de las

decenas, trazando la diagonal de los casilleros

rectangulares. Para terminar el cálculo, sumar

respectivamente por diagonal (no olvidarse las

transformaciones "me llevo").Este es un método ideal para reafirmar las tablas de multiplicación

MULTIPLICACION MAYA

La técnica maya para la multiplicación consiste en la

representación de cada número presente en la operación por

una línea recta.

Las cifras del primer número (el "multiplicando") se

representarán con líneas horizontales, mientras que las del segundo (el "multiplicador") con

líneas verticales. Cada línea será una unidad.

Por ejemplo: si el número es 5, se colocarán cinco líneas.