Monografí.. Trans Laplace

7/25/2019 Monograf.. Trans Laplace

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i

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN - TACNA

Facultad de Ciencias

Escuela Acadmico Profesional de Ingeniera enInformtica y Sistemas

Transformada de Lapa!e en S"s#emas D"n$m"!os%

Examen Profesional presentado por:

BACHILLER MARGARITA LA&ME VALERIANO

Para optar el Ttulo Profesional de

INGENIERO EN IN'ORM(TICA & SISTEMAS

TACA! SETIE"#$E %E& '(()


2/58

-

ii

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

Facultad de Ciencias

JURADO CALIFICADOR CALIFICACI!N DEL E"AMEN ORAL DE E"AMENDE SUFICIENCIA #ROFESIONAL

MONOGRAF$A N% &&&&& '$'ULO #ROFESIONAL DE(Ingeniero en Informtica y Sistemas

La Secretara Acadmica Administrativa de la Facultad de Ciencias, certifica que porresolucin de Facultad ! "#$%&'((#&FACI&)*+, fueron designados como *urados parala Sustentacin -ral del ./amen de Suficiencia 0rofesional del 1ema2 314ASF-45A6A

6. LA0LAC. . SIS1.5AS 6I75IC-S89.l mismo est conformado por2

0residente 2 5sc9 :artman Cevallos Colum;us

Secretario 2 5sc9 *uan );aldo *imne< Castilla

=ocal 2 5sc9 Lus Amaro =illanueva 1apia

0ara calificar la sustentacin del tema de la monografa en acto p>;lico el da '? desetiem;re del '((#9

0resentada por la se@orita +aciller 5argarita Layme =aleriano de la .scuelaAcadmico 0rofesional de Ingeniera en Informtica y Sistemas9

.l *urado Calificador en forma secreta e individual emiti su calificativo so;re eltema monogrfico e/puesto y procedi a o;tener el promedio que arroB el calificativoA04-+A6- con la nota de ? DEuince9

0ara ratificar lo detallado firman2

GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG5sc9 :artman Cevallos Colum;us

0residente

GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG5sc9 *uan );aldo *imne< Castilla 5sc9 Lus Amaro =illanueva 1apia

Secretario =ocal


3/58

A Dios por darme tantas bendiciones,

a mi madre por su apoyo incondicional y constante, y

a todas aquellas personas que me apoyaron.

Margarita.

iii


4/58

)NDICE DE CONTENIDOS

I. INTRODUCCIN*******************************************************************************************************+

II. OBJETIVOS***************************************************************************************************************'

*+, OBJETIVO GENERAL*************************************************************************************'

*+* OBJETIVOS ESEC)'ICOS****************************************************************************'

III. DESARROLLO DEL TEMA***************************************************************************************,

.+, MARCO TE/RICO*******************************************************************************************,

.+,+, CONCETO DE DIN(MICA DE SISTEMAS***************************************,

.+,+* SISTEMA DIN(MICO**************************************************************************-

.+,+. TIOS DE SISTEMAS DIN(MICOS***************************************************.

.+,+0 SISTEMAS DIN(MICOS LINEALES & NO LINEALES**********************/

.+,+1 ECUACIONES DI'ERENCIALES LINEALES & NO LINEALES********0

.+,+2 MODELOS MATEM(TICOS*************************************************************+(

.+,+3 DIAGRAMA DE BLO4UES***************************************************************++

.+,+5 TRANS'ORMADA DE LALACE****************************************************+-

1 %EFIICI2 F3$"A& %E &A T$ASF3$"A%A %E &AP&ACE******+-1 E4ISTECIA %E &A T$ASF3$"A%A********************************************+5

1 P$3PIE%A%ES %E &AS T$ASF3$"A%AS %E &AP&ACE***********+.

1 %EFIICI2 %E F6CI3ES C3T76AS A T$383S*****************+.

1 %EFIICI2 F6CI3ES %E 3$%E E4P3ECIA&******************+0

1 TE3$E"A: F6CI3ES AC3TA%AS**********************************************'(

1 TE3$E"A: E4ISTECIA %E &A T$ASF3$"A%A************************'(

1 TE3$E"A: &IEA&I%A% %E &A T$ASF3$"A%A************************'+

iv


5/58

1 TE3$E"A: T$ASF3$"A%A %E 6A %E$I9A%A************************'+

1 TE3$E"A: P$3PIE%A% %E ESCA&2******************************************'+

1 T$ASF3$"A%A %E &AP&ACE E SISTE"AS %I"IC3S********''

.+* CASO R(CTICO NIVEL DE UN TAN4UE DE AGUA%*****************************'-

.+*+, LANTEAMIENTO DEL ROBLEMA***********************************************'-

.+*+* MODELO MATEMATICO******************************************************************'5

.+*+. SIMULACION & ANALISIS EN MATLAB DEL CASO 6 NIVEL DEL

TAN4UE DE AGUA7*************************************************************************,-

IV. CONCLUSIONES*****************************************************************************************************-(

V. RECOMENDACIONES********************************************************************************************-+

VI. BIBLIOGRAFA********************************************************************************************************-'

VII. ANEXOS******************************************************************************************************************-.

A+ ANE8O 9,7 TABLA B(SICA DE TRANS'ORMADAS DE LALACE**********-.

v


6/58

)NDICE DE 'IGURAS

Figura 1: Elementos de un sistema dinmico*********************************************************************5

Figura 2: Elementos de un diagrama de Bloques************************************************************+'

Figura 3: Diagrama de bloques de un sistema en lao abierto. ***************************************+,

Figura !: Diagrama de bloques de un sistema de control en lao cerrado ***********************+-

Figura ": Funciones cont#nuas a troos***************************************************************************+/

Figura $: Funciones de orden e%ponencial**********************************************************************+)

Figura &: 'epresentaci(n del )aso *rctico del +iel del -anque de Agua*********************'-

Figura : 'epresentaci(n gr/ica de la Ecuaci(n: Entrada 0 alida Acumulaci(n.*******'0

Figura : Diagrama de bloques del caso practica 4+iel de tanque de agua5******************,,

Figura 16: Diagrama de Flu7o del )aso *rctico 4+iel de tanque de agua5********************,-

Figura 11: 8odelamiento en imunlin9 del caso prctico *************************************************,.

Figura 12: 'esultado de simulaci(n del caso prctico.****************************************************,)

vi


7/58

RESUMEN

En el presente tra;aue simplifica las ecuaciones

diferenciales del comportamiento de estos sistemas dinmicos a

simples expresiones alge;raicas para lo cual se expone un caso

prctico*

vii


8/58

I+ INTRODUCCI/N

El mtodo de la transformada de &aplace es muy utili?ado en el

dise@o de sistemas dinmicos de;ido a las operaciones >ue reali?a de

conertir las ecuaciones diferenciales lineales de Bdifcil soluci=n en

ecuaciones alge;raicas simples! es un mtodo muy importante*

El o;ue corresponden a las conclusiones y recomendaciones a la presente

monografa! finalmente en la secci=n sexta y sptima >ue corresponden a

la ;i;liografa utili?ada y anexos al presente documento*

1


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II+ OBJETIVOS

*+, OBJETIVO GENERAL

Anali?ar! modelar! simular y comprender el comportamiento un

sistema dinmico aplicando la transformada de &aplace para el

caso prctico Biel de un tan>ue de agua*

*+* OBJETIVOS ESEC)'ICOS

Aplicar los temas te=ricos cientficos de la dinmica de

sistemas y de la Transformada de &aplace respecto a un

sistema dinmico Biel de un tan>ue de agua* Formular el modelo matemtico para el caso prctico so;re el

Biel de un tan>ue de agua Simular el comportamiento del sistema dinmico en un

programa de simulaci=n para el sistema dinmico caso prctico

del Biel de un tan>ue de agua modelando! anali?ando y

alidando los resultados del modelo matemtico aplicado a la

Transformada de &aplace*

2


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III+ DESARROLLO DEL TEMA

.+, MARCO TE/RICO.+,+, CONCETO DE DIN(MICA DE SISTEMAS

Es una metodologa de uso generali?ado para

modelar y estudiar el comportamiento de cual>uier clase

de sistemas y su comportamiento a tras del tiempo con

tal de >ue tenga caractersticas de existencias de retardos

y ;ucles de realimentaci=n+*

Estudia las caractersticas de realimentaci=n de la

informaci=n en la actiidad industrial con el fin de

demostrar como la estructura organi?atia! la

amplificaci=n de polticas y las demoras en las

decisiones y acciones interactGan e influyen en el xito

de la empresa'*

Es un mtodo en el cual se com;inan el anlisis y la

sntesis! suministrando un e


11/58

metodologa sistmica* &a dinmica de sistemas

suministra un lenguaue permite expresar las

relaciones >ue se producen en el seno de un sistema! y

explicar c=mo se genera su comportamiento ,

.+,+* SISTEMA DIN(MICO

6n sistema segGn 3gata-! Bes una com;inaci=n de

componentes >ue actGan con


12/58

pasado! si su salida en curso depende solamente de la

entrada en curso el sistema se conoce como esttico* &a

salida de un sistema esttico permanece constante si la

entrada no cam;ia y solo cam;ia cuando la entrada cam;ia*

Figura +: Elementos de un sistema dinmico

Por lo tanto finalmente 3gata define a un BSistema

dinmico como: la salida cam;ia con el tiempo! cuando no

est en su estado de e>uili;rio*

n sistema dinmico es un sistema comple7o que

presenta un cambio o eoluci(n de su estado en un tiempo,

el comportamiento en dic;o estado se puede caracteriar

determinando los l#mites del sistema, los elementos y sus

relaciones< de esta /orma se puede elaborar modelos que

buscan representar la estructura del mismo sistema.

5


13/58

.+,+. TIOS DE SISTEMAS DIN(MICOS

Se tiene dos tipos de sistemas dinmicos: discretos y

continuos*

6n sistema dinmico se dice DISCRETOsi el tiempo

se mide en pe>ue@os lapsosN stos son modelados como

relaciones recursias!tal como la ecuaci=n logstica:

donde t denota los pasos discretos del tiempo y x es la

aria;le >ue cam;ia con ste*

Si el tiempo es medido en forma CONTIN:A! el

Sistema Di!mi"# C#ti$# resultante es expresado

como una ecuaci=n diferencialordinariaN por eue cam;ia con el tiempo t* &a

aria;le cam;iante x es normalmente un nGmero real!

aun>ue tam;in puede ser un ectoren $L*

6
http://es.wikipedia.org/wiki/Recursividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Recursividadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_log%C3%ADstica&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Recursividadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_log%C3%ADstica&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector


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.+,+0 SISTEMAS DIN(MICOS LINEALES & NO

LINEALES

Se distingue a los sistemas dinmicos lineales y

sistemas dinmicos no lineales

1 S"s#emas D"n$m"!os L"neaes7El lado derecDo de la

ecuaci=n es una expresi=n >ue depende en forma

lineal de x! tal como:

Si se conocen dos soluciones para un sistema lineal!

la suma de ellas es tam;in una soluci=nN esto se

conoce como principio de superposici=n* En general!

las soluciones proenientes de un espacio ectorial

permiten el uso del lge;ra lineal y simplifican

significatiamente el anlisis* Para sistemas lineales

continuos! el mtodo de la transformada de &aplace

tam;in puede ser usado para transformar la

ecuaci=n diferencial en una ecuaci=n alge;raica*

1 S"s#emas D"n$m"!os No L"neaes7Son mucDo ms

difciles de anali?ar y a menudo exDi;en un fen=meno

7


15/58

conocido como caos! con comportamientos totalmente

impredeci;les*

.+,+1 ECUACIONES DI'ERENCIALES LINEALES &

NO LINEALES

&as ecuaciones diferenciales lineales pueden

clasificarse en ecuaciones diferenciales lineales!

inariantes en el tiempo y ecuaciones lineales ariantes

en el tiempo*

6na ecuaci=n diferencial lineal inariante en el tiempo

es a>uella en la cual una aria;le dependiente y sus

deriadas aparecen como com;inaciones lineales* Como

por eue los coeficientes de todos los trminos son

constantes! una ecuaci=n diferencial lineal inariante en

el tiempo tam;in se denomina ecuaci=n diferencial de

coeficientes constantes

8


16/58

En el caso de una ecuaci=n diferencial lineal ariante

en el tiempo! la aria;le dependiente y sus deriadas

aparecen como com;inaciones lineales! pero algunos de

los coeficientes de los trminos pueden inolucrar a la

aria;le independiente* El siguiente es un eue con o;ue sea

lineal! la ecuaci=n no de;e contener potencias! productos

u otras funciones de las aria;les dependientes y sus

deriadas*

6na ecuaci=n diferencial se denomina no lineal

cuando no es lineal* Entre los e


17/58

.+,+2 MODELOS MATEM(TICOS

SegGn 3gata5! son descripciones matemticas*

Cual>uier tentatia de dise@o de un sistema de;e

empe?ar a partir de una predicci=n de su funcionamiento

antes de >ue el sistema pueda dise@arse en detalle o

construirse fsicamente* Tal predicci=n se ;asa en una

descripci=n matemtica de las caractersticas dinmicas

del sistema* A esta descripci=n matemtica se le llama

modelo matemtico* Para los sistemas fsicos! la mayora

de los modelos matemticos >ue resultan Gtiles se

descri;en en trminos de ecuaciones diferenciales*

&a dinmica de sistemas trata del modelado

matemtico y el anlisis de la respuesta de los sistemas

dinmicos*

*or lo tanto un modelo matemtico es la descripci(n

matemtica de un sistema dinmico, este permite

analiar las respuestas o comportamientos del sistema

dinmico.

5

KatsuDiLo 3gata! +)0/! B%IA"ICA %E SISTE"AS! Tercera Edici=n! Editorial Prentice Mall! "xico %* F! P10


18/58

.+,+3 DIAGRAMA DE BLO4UES

&os diagramas de ;lo>ues son representaciones

grficas de la dinmica de un sistema de control! en su

forma ms sencilla representan una funci=n de

transferenciaN y constan de los siguientes elementos 9er

Figura ':

Figura ': Elementos de un diagrama de #lo>ues

+ F%e"&as: se emplean para representar la direcci=n

del flu


19/58

fluue aloues o;edecen algunos

principios alge;raicos ;sicos como se muestra en la

figura ,*

Fuente.

Figura ,: %iagrama de ;lo>ues de un sistema en la?o a;ierto*

Para un sistema de la?o a;ierto! >ue consta de

elementos conectados en serie! la funci=n de transferencia

6SPARTACUS GOMRIZ, Domino !i"#, $o% M&'&%, Mi("# R")"%* 2000* +T"o&

." Con'o#/ .i%"o "#"'nio* S"(n.& ".iin, .iion"% UPC, !&"#on&-

%&&, 17-18 12


20/58

glo;al es el producto de las funciones de transferencia de

los elementos indiiduales:

Para un sistema de la?o cerrado se considera el

diagrama de ;lo>ues mostrado en la figura -* Se tienen las

siguientes relaciones:

("n'" 7

Figura -:%iagrama de ;lo>ues de un sistema de control en la?ocerrado

.+,+5 TRANS'ORMADA DE LALACE

7 SPARTACUS GOMRIZ, Domino !i"#, $o% M&'&%, Mi("# R")"%* 2000* +T"o&

." Con'o#/ .i%"o "#"'nio* S"(n.& ".iin, .iion"% UPC, !&"#on&-

%&&, 17-18 13


21/58

1 DE'INICI/N 'ORMAL DE LA TRANS'ORMADA DE

LALACE

&a transformada de &aplace de una funci=n del tiempo!

ft! se define mediante la siguiente f=rmula:

{ }

==(

FDFDFD dttfetfLsF st

%onde:

ft: es una funci=n del tiempo

Fs: es la transformada de &aplace

s: es la aria;le de la transformada de &aplace! >ue

puede ser real o comple


22/58

Ser de orden exponencial

1 ROIEDADES DE LAS TRANS'ORMADAS

DE LALACE

Por definici=n: Transformada y antitransformada! & y &1+

son Gnicas y entra am;as existe una relaci=n ;iunoca

&inealidad: la transformada de una com;inaci=n lineal defunciones es la suma de la com;inaci=n lineal de las

transformadas*

1 DE'INICI/N DE 'UNCIONES CONT)NUAS A

TRO;OS

%ecimos >ue una funci=n es continua

a tro?os si

15


23/58

+* est definida y es continua en todo ! salo

en un nGmero finito de puntos ! para *

'* Para cada los lmites

existen* ote >ue! solamente uno de estos lmites es

pertinente si es uno de los extremos de *

Siendo a y ; constantes >ue son independientes de las

operaciones de integraci=n en el proceso detransformaci=n

En general! el re>uisito de >ue estos lmites sean

finitos en todos los puntos implica >ue las Gnicas

discontinuidades de son discontinuidades de salto! del

tipo >ue aparecen en la figura siguiente*

16


24/58

Figura 5:* Funciones contnuas a tro?os

Intuitiamente podramos pensar >ue las funciones

continuas a tro?os son casi contnua o >ue no son

demasiado discontinuas*

1 DE'INICI/N 'UNCIONES DE ORDEN

E8ONENCIAL

%ecimos >ue la funci=n es de orden

exponencial si existen nGmeros ! y tales

>ue para

17


25/58

3tra de las ideas importantes en el estudio de la

existencia de la transformada de &aplace es >ue

entendemos por >u una funci=n no cre?ca demasiado

rpido*

Intuitiamente esto significa >ue la funci=n est

por de;a


26/58

3;seraci=n: algunas eces! para erificar >ue una

funci=n es de orden exponencial! coniene calcular el

siguiente lmite:

Para algGn alor de * Si es finito! entonces

puede ser cual>uier nGmero mayor >ue y este

determina * Por otro lado! si ! no es de orden

exponencial*

1 TEOREMA7 'UNCIONES ACOTADAS

Sea una funci=n acotada! entonces

es de orden exponencial*

19


27/58

1 TEOREMA7 E8ISTENCIA DE LA

TRANS'ORMADA

Sea una funci=n continua a tro?os

y de orden exponencial! entonces la transformada de

&aplace de existe* Es decir! existe un nGmero tal

>ue existe para

1 TEOREMA7 LINEALIDAD DE LATRANS'ORMADA

Si y existen entonces

para

cual>uier constante real *

1 TEOREMA7 TRANS'ORMADA DE UNA

DERIVADA

Si es continua a tro?os y de orden

exponencial en el interalo ! entonces

20


28/58

El siguiente teorema trata so;re el efecto >ue tiene en una

transformada escal=n de una funci=n *

1 TEOREMA7 ROIEDAD DE ESCAL/N

Sea una funci=n continua a tro?os y de orden

exponencial en ! si ! entonces

1 TRANS'ORMADA DE LALACE EN SISTEMAS

DIN(MICOS

21


29/58

%e;ido a >ue en el estudio de los procesos es

necesario considerar modelos dinmicos! es decir!

modelos de comportamiento aria;le respecto al tiempo!

esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones

diferenciales respecto al tiempo para representar

matemticamente el comportamiento de un proceso*

Esta caracterstica de comportamiento dinmico de los

procesos en la naturale?a puede representarse de

manera aproximada por el siguiente modelo general de

comportamiento dinmico lineal*

&a transformada de &aplace es una Derramienta

matemtica muy Gtil para el anlisis de sistemas

dinmicos lineales! de;ido a >ue permite resoler

ecuaciones diferenciales lineales mediante! la

transformaci=n en ecuaciones alge;raicas con lo cual se

facilita su estudio*

22


30/58

6na e? >ue se Da estudiado el comportamiento de los

sistemas dinmicos! se puede proceder a dise@ar y

anali?ar los sistemas de control de manera simple*

23


31/58

.+* CASO R(CTICO NIVEL DE UN TAN4UE DE AGUA%

.+*+, LANTEAMIENTO DEL ROBLEMA

Se tiene el siguiente caso de una funci=n de

transferencia! don se tiene a un tan>ue pulm=n! de un

producto x al cual le llega un fluue en

condiciones estacionarias le a;andona el fluue

durante un cierto tiempo Dasta >ue pueda resta;lecerse

O+*

24


32/58

.+*+* MODELO MATEMATICO

Por ;alance sa;emos >ue:

Entrada Q Salida acumulaci=n +

'

Con: 9 olumen del tan>ue!

A rea del tan>ue

El caudal de salida O' ariara en funci=n del niel de

l>uido en el tan>ue y la resistencia al paso del fluido $D!

>ue esta determinada principalmente por cada posici=n de

apertura de la lula de salida*Por principio fsico se sa;e >ue el caudal de salida de

un tan>ue es el producto de una constate por la funci=n

altura en funci=n del tiempo O Salida K R Dt! entonces se

adopta la siguiente relaci=n:

,

%onde +$D iene a corresponder la constante de

lula &uego! si reempla?amos la ecuaci=n , en ':

25


33/58

-

Seguidamente al despeueda de la siguiente forma:

5

Si se cierra el caudal de entrada! el tan>ue se aciara

y considerando t( al tiempo >ue O+( la ecuaci=n 5 nos

>ueda:

.

Si $D no es funci=n de D! se trata de una ecuaci=n

diferencial lineal y si adems es constante s$ itegra"i+

es se"i%%a* %ecimos entonces >ue el modelo de anlisis

adoptado es solo una aproximaci=n* Sin em;argo! se

pueden definir una ?ona estrecDa de altura del tan>ue

donde $D sea lineal y constante sin introducir error

significatio al clculo* Para cu;rir otra ?ona se encuentra

otro alor de $D y as se puede ir resoliendo el alor >ue

ira tomando D para todo el tan>ue*

26


34/58

Integramos en el entorno de lineari?aci=n en el cual

$D se mantiene como una constante*

0

)

+(

Masta a>u la representaci=n de la funci=n de la altura

en funci=n del tiempo! aplicando la transformada de

&aplace la altura estar en funci=n de la aria;le s

nGmero comple


35/58

Figura 0: $epresentaci=n grfica de la Ecuaci=n: Entrada Q

Salida Acumulaci=n*

El comportamiento ya sea en estado estacionario o

transitorio dinmico de un sistema puede ser

determinado! resoliendo las ecuaciones diferenciales >ue

lo representan* Esto puede ser una tarea larga y tediosa! para ello

existe una tcnica para resolerlas y es utili?ando la

T$ASF3$"A%A %E &AP&ACE* En estos casos el

pro;lema se plantea en trminos de una segunda aria;le

>ue permite resoler el pro;lema en forma alge;raica*

&uego de Dallada esta soluci=n! regresando a la aria;le

28


36/58

original se o;tiene la soluci=n de la ecuaci=n diferencial

planteada*

&a limitaci=n de este procedimiento es >ue solo puede

ser aplicado en ecuaci=n diferenciales lineales*

En general una ecuaci=n diferencial lineal se expresa

como:

++

%onde los coeficientes pi no son funciones de yt o sus

deriadas pero pueden ariar en el tiempo* En general una soluci=n con los coeficientes

dependientes del tiempo es difcil y no se Dace* En la mayora de los procesos las ecuaciones lineales

>ue los representan no son lineales para una rango amplio

de aplicaci=n! pero si en un rango estrecDo* En este Gltimo

caso los coeficientes se pueden considerar independientes

del tiempo y constantes sin mayor error y el resultado

o;tenido es acepta;le a los fines prcticos* Entonces tenemos >ue para un proceso de control la

ecuaci=n diferencial ;sica >ue descri;e el

29


37/58

comportamiento de un sistema! en un entorno limitado del

punto de operaci=n es generalmente de la forma:

+'

se puede resoler en forma alge;raica por medio de

las transformadas de &aplace como se er a continuaci=n SegGn la definici=n de la T$ASF3$"A%A %E

&AP&ACE! es su caso particular de las transformadas de

integraci=n cuya ecuaci=n general es:

%onde: gs: funci=n transformadaft: es la funci=n a transformar! ys U V < R W

$especto al caudal de salida O'! esta dado en funci=n

Os KM*

F99999D

22

FDHHHH

FDH

FC999999D9999999999H

C

C

C

'C

thdt

dhRARQ

quedaNos

R

thR

dt

dhARQR

R

th

dt

dhAQ

dhAdtQdtQ

h

h

+=

+=

+=

=

ADora diidimos a toda la ecuaci=n anterior entre $A:

30


38/58

RA

th

dt

dh

A

Q

RA

th

RA

dt

dhRA

RA

RQ

FD

FD

C

C

+=

+=

ADora aplicando transformada de &aplace a la ecuaci=n

anterior:

[ ] [ ] [ ]

FD

FD

CH

CFDFDC

CFDFD

C

FDC

FI(DFDJFDC

FDC

FDFDC

FDFD

C

C

C

C

K

C

C

sQ

sH

RAA

RAs

RA

RAssHsQA

RAssHsQ

A

sHRA

HssHsQA

thLRA

thLtQLA

RA

thL

dt

dhL

A

tQL

=+

+=

+=

+=

+=

+

=

Finalmente acomodando la Gltima ecuaci=n para o;tener

la funci=n de la altura:

CFD

FD

C +

=

RAs

R

sQ

sH

despeueda:

FDHC

FDC sQ

RAs

RsH

+=

Tal como se descri;e en la siguiente figura

correspondiente al comportamiento del niel del tan>ue de

agua:

31


39/58

Figura ): %iagrama de ;lo>ues del caso practica Biel detan>ue de agua

%e la figura ) se puede comentar! de >ue al

incrementarse el caudal de entrada el niel o altura del

tan>ue tam;in tiende a incrementarse*

$especto al caudal de salida O'! si el caudal de entrada

O+es cero como condici=n inicial! entonces el caudal de

salida estar en funci=n de la constante de lula $D y la

funci=n de altura del tan>ue! de la forma siguiente:

FDHFDFD 'C sHAssQsQ =

Si la condici=n inicial es: (C =Q ! entonces el caudal de

salida se modela matemticamente de la siguiente forma:

32


40/58

Rh

sHsQ

FDFD' =

A CONTINUACION EL DIAGRAMA DE 'LUJO 4UE

MODELA EL SISTEMA DIN(MICO DEL CASO R(CTICO

Figura +(: %iagrama de Fluue de agua

.+*+. SIMULACION & ANALISIS EN MATLAB DEL

CASO 6 NIVEL DEL TAN4UE DE AGUA7

ADora amos a utili?ar la Derramienta de softXare "atla;!

la cual tiene el aplicatio SI"6&IK! el cual nos permite

modelar sistemas dinmicos*

33

IICIO

I

:1

Entrada

Caudal de entrada.

:2

FDH

C

FD C sQ

RAs

RsH

+

=

Salida

Nivel del Tanque- Laplace

Caudal de salida


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En "atla; los elementos utili?ados para modelar el caso

prctico del iel del Tan>ue de Agua son: como dato de

entrada la funci=n B$amp! la funci=n transferencia y

finalmente para mostrar los resultados utili?amos un

Scope* 9er figura ++:

34


42/58

Figura ++: "odelamiento en SimunlinL del caso prctico

Para el modelamiento en SimulinL de "atla; del caso

prctico se consider=:1 Como datos de entrada el caudal de entrada O+ como

una funci=n rampa >ue nos ;rinda datos del caudal en

creciente con pendiente uno*

1 Para la definici=n de la funci=n de transferencia segGn

la ecuaci=n de:

FDHC

FDC sQ

RAs

RsH

+= !

35


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%onde: s+o $ ' Constante de resistenciao A 5 rea de la ;ase del tan>ue de agua! por

lo tanto $As +(! y es este el alor utili?ado en

la simulaci=n*

1 Como res


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Figura +': $esultado de simulaci=n del caso prctico*

El modelamiento de este caso de niel del tan>ue de

agua nos da como resultado el siguiente: Pues >ue si la

funci=n de entrada! el caudal de entrada se incrementa!

entonces la altura del tan>ue tam;in tiende a

incrementarse! eso es lo >ue refle


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IV+ CONCLUSIONES

Se logr= anali?ar! modelar! simular y comprender el

comportamiento un sistema dinmico aplicando la

transformada de &aplace para el caso prctico Biel de un

tan>ue de agua* Se aplicaron los temas te=ricos cientficos de la dinmica de

sistemas y de la Transformada de &aplace respecto a un

sistema dinmico Biel de un tan>ue de agua* Se o;tuo la formulaci=n del modelo matemtico para el caso

prctico so;re el Biel de un tan>ue de agua Se reali?o la simulaci=n del comportamiento del sistema

dinmico en un programa de simulaci=n para el sistema

dinmico caso prctico del Biel de un tan>ue de agua

modelando! anali?ando y alidando los resultados del modelo

matemtico aplicado a la Transformada de &aplace*

38


46/58

V+ RECOMENDACIONES

Para la simulaci=n de sistemas de control se recomienda el uso de

softXares especiali?ados como "AT&A#*

Ampliar el estudio de este tipo de modelos en el curso de dinmica

de sistemas de la currcula acadmica! pues resulta ser un tema muy

importante de estudio referente a la automati?aci=n y control de

sistemas dinmicos*

39


47/58

VI+ BIBLIOGRA')A

Y+Z KatsuDiLo 3gata! +)0/! B%IA"ICA %E SISTE"AS! Tercera

Edici=n! Editorial Prentice Mall! "exico %* F*

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C3T$3&! Editorial International TDompson Editores! "exico %* F*!

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Y)Z Ing* Elira i@o! BAplicaciones realices de la transformada de

&aplace! %epartamento de "ecatr=nica y automati?aci=n! "xico* 1

ITES"! Campus "onterrey

Y+(Z Francisco Palomera Palacios! "odelaci=n y Estudio de las

ecuaciones diferenciales en el dominio de &aplace frecuencia

utili?ando "AT&A#1SI"6&IK! %epartamento de "ecatr=nica y

automati?aci=n! "xico 1 ITES"! Campus "onterrey

Y++Z %epartamento de Control! %iisi=n de Ingeniera Elctrica Facultad

de Ingeniera ! '((.! Transformada de &aplace! 6A"! "xico %*F

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['(laplace*pdf

ARCHIVOS DIGITALES EN 'ORMATO D'

Y+,Z Hos ngel Acosta $odrgue?* B"anual de Introducci=n a

SI"6&IK* &i;ro digital* '((-*

Y+-Z Prof* Silana $eollar* BIntroducci=n a SimulinL* 6niersidad Sim=n

#oliar1%epartamento de Procesos y Sistemas* 9ene?uela! Caracas*

Y+5Z P%F Ing* Eduardo %* "uta??i* Alge;ra de diagramas en ;lo>ue y

transformadas de &aplace* Funci=n de transferencia

Y+.Z "odelado de Sistemas %inmicos* An=nimo

Y+/Z Arcenio #rito Mernnde?* '((/* Principios fsicos y matemticos

para el anlisis de sistemas dinmicos* Introducci=n al control*

6niersidad Aut=noma del Estado de "orelos* Tesis* Cuernaaca!

"xico* Pg /.*

42


50/58

Y+0Z "*Sc* Al;erto E* CoDaila #arrios* Apuntes so;re

BC3T$3&A%3$ES PI%* 6niersidad nacional Horge #asadre

JroDmann* Tacna Q PerG* Pg* .1+0*

43


51/58

VII+ ANE8OS

A+ ANE8O 9,7 TABLA B(SICA DE TRANS'ORMADAS DE

LALACE

Transformadas de Opera!"=n

N '>s? f > # ? @ # 9

+%efinition of a &aplace transform

yt

'

s Inersi=n f=rmula

,First deriatie

-Second deriatie

5

ntD deriatie

.Integration

/

FsJs Conolution integral

0

44


52/58

)sDifting in tDe s1plane

+(ft Das period T! sucD tDat

f t V T f t

++gt Das period T! sucD tDat

gt V T 1 gt

45


53/58

46


54/58

Transformadas de f


55/58

++! n+! '! ,!*

+'

+,

+-

+5

+.*a

+.*;

+/

+0

+)

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''

48


56/58

',

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'.

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,(

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,-

,5#essel function gien in Appendix A

,.

49


57/58

,/ "odified #essel function gien inAppendix A

,0

,)

50


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Monografí.. Trans Laplace

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