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Movimiento armónico simple
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M.A.S. y movimiento circular
Existe una conexión muy estrecha entre el movimiento armónico simple (M.A.S.) y el movimiento circular uniforme (M.C.U.).
Se puede pensar en el movimiento armónico simple como una proyección unidimensional del movimiento circular uniforme.
Todas las ideas que aprendimos acerca del M.U.C. pueden ser aplicadas al M.A.S., no tenemos que reinventarlas.
Ahora revisemos el movimiento circular en primer lugar, y luego veamos lo que sabemos del M.A.S.
http://www.phys ics.uoguelph.ca/tutorials /shm/phase0.html
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Período
El tiempo que tarda un objeto en completar un recorrido alrededor de una ruta circular se denomina Período.
El símbolo de Período es "T"
Los períodos se miden en unidades de tiempo; en general, utilizaremos lo segundos (s).
A menudo tenemos información del tiempo (t) que tarda un objeto en realizar una determinada cantidad de recorridos (n) alrededor de una ruta circular. En ese caso,
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1 Si un objeto tarda 50 segundos en recorrer un círculo 5 veces, ¿cuál es el período de su movimiento?
Respuesta:
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2 Si un objeto se mueve en forma circular y su período es de 7s, ¿cuánto tardará en realizar 8 revoluciones completas?
Respuesta:
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Frecuencia
La cantidad de revoluciones que un objeto realiza en un período de tiempo determinado se denomina la frecuencia de su movimiento.
El símbolo de frecuencia es "f"
Los períodos se miden en unidades de revoluciones por unidad de tiempo; en general, utilizamos 1/segundos (s-1). Otra forma de denominar s-1 es el Hertz (Hz). La frecuencia también puede medirse en revoluciones por minuto (rpm), etc.
En general, tenemos información del tiempo (t) que tarda un objeto en realizar una determinada cantidad de revoluciones (n). En ese caso,
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3 Un objeto se mueve alrededor de un círculo 50 veces en diez segundos. ¿Cuál es la frecuencia (en Hz) de su movimiento?
Respuesta:
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4 Si un objeto se mueve en forma circular con una frecuencia de 7 Hz, ¿cuántas revoluciones realizará en 20s?
Respuesta:
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Período y frecuencia
Como y
Entonces y
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6 Un objeto gira con una frecuencia de 8 Hz; ¿cuál es su período (en segundos)?
Respuesta:
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8 Un objeto se encuentra en movimiento circular; el radio del movimiento es de 2 m y, su frecuencia, de 8 Hz. ¿Cuál es su velocidad?
Respuesta:
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En el M.C.U., un objeto completa un círculo, o ciclo, cada T cantidad de segundos. Esto significa que regresa a su posición inicial luego de T segundos.
En el movimiento armónico simple, el objeto no se mueve en círculo, pero también regresa a su posición inicial luego de T segundos
M.A.S. y movimiento circular
Cualquier movimiento que se repita una y otra vez, siempre regresando a la misma posición, se denomina "periódico".
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Simple_Harmonic_Motion_Orbit.gif
Espacio real
Espacio de fase
Velocidad
Órbita
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· El Desplazamiento se mide desde el punto de equilibrio
· La Amplitud es el desplazamiento máximo (equivalente al radio, r, en M.C.U.).
· Un ciclo es un movimiento pendular (igual que un recorrido alrededor del círculo en M.C.U.)
· El Período es el tiempo necesario para completar un ciclo (igual que el período de M.C.U.)
· La Frecuencia es la cantidad de ciclos completados por segundo (igual que la frecuencia en M.C.U.)
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10 El período de un sistema de masa-resorte es 4s y la amplitud de su movimiento es 0,50m. ¿Qué distancia recorrerá la masa en 4s?
Respuesta:
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11 El período de un sistema de masa-resorte es 4s y la amplitud de su movimiento es 0,50m. ¿Qué distancia recorrerá la masa en 6s?
Respuesta:
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Movimiento armónico simple
Llega un punto en que el resorte no está estirado ni comprimido; este es el punto de equilibrio.
El desplazamiento se mide desde dicho punto (x = 0 en la figura anterior).
La fuerza que ejerce el resorte depende de su desplazamiento:
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12 Un resorte cuya constante de elasticidad es de 20N/m se estira 0,20m desde el punto de equilibrio; ¿cuál es la magnitud de la fuerza que ejerce el resorte?
Respuesta:
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13 Un resorte cuya constante de elasticidad es de 150 N/m ejerce una fuerza de 30N en la masa de un sistema de masa-resorte. ¿A qué distancia se encuentra la masa del punto de equilibrio?
Respuesta:
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14 Un resorte ejerce una fuerza de 50N sobre la masa de un sistema de masa-resorte cuando se encuentra a 2m del punto de equilibrio. ¿Cuál es la constante de elasticidad del resorte?
Respuesta:
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Movimiento armónico simple
· El signo negativo indica que se trata de una fuerza restauradora: la fuerza llevará a la masa a su posición de equilibrio.
· k es la constante de elasticidad
· La fuerza no es constante, por ende, la aceleración tampoco lo es.
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La máxima fuerza que se ejerce sobre la masa es aquella que se ejerce cuando el resorte está estirado o comprimido al máximo (x = -A or +A):
F = -kA (donde x = -A ó +A)
La mínima fuerza que se ejerce sobre la masa es aquella que se ejerce cuando el resorte no está estirado (x = 0)
F = 0 (donde x = 0)
Movimiento armónico simple
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15 ¿En qué posición(es) estará al máximo la magnitud de la fuerza de la masa en un sistema de masa-resorte?
A x = AB x = 0C x = -AD A & CE Todas las anteriores
DRespuesta:
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16 ¿En qué posición(es) estará al mínimo la magnitud de la fuerza de la masa en un sistema de masa-resorte?
A x = AB x = 0C x = -AD A & CE Todas las anteriores
B
Respuesta:
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Si el resorte cuelga en forma vertical, el único cambio será en su posición de equilibrio, que es el punto en el que la fuerza del resorte es equivalente a la fuerza de gravedad.
El efecto de la gravedad se anula al cambiar a esta nueva posición de equilibrio.
La gravedad no afecta el sistema de masa-resorte
x ahora se
mide desde
aquí
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Energía y movimiento armónico simple
Cualquier sistema vibrante en el que la fuerza restauradora sea proporcional al negativo del desplazamiento se encuentra en movimiento armónico simple (M.A.S.), y es denominada, en general, un oscilador armónico simple.
Además, el M.A.S. necesita que el sistema cuente con dos formas de energía y un método que le permita a la energía ir y volver en ambos estados.
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Energía en el sistema de masa-resorte
Existen dos tipos de energía en un sistema de masa-resorte.
La energía almacenada en el resorte porque se lo estira o comprime:
Us = 1/2 kx2
Y
La energía cinética de la masa:
EC = 1/2 mv2
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La energía mecánica total es constante.
E = Us + EC
Etotal = 1/2 kx2 + 1/2 mv2
En un momento la energía total del sistema es constante y está compuesta por esas dos formas.
Energía en el sistema de masa-resorte
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Cuando la masa se encuentra en el límite de su movimiento (x = A ó x = -A), la energía está en todo su potencial:
Etotal = 1/2 kx2
Cuando la masa está en el punto de equilibrio (x=0), el resorte no está estirado y toda la energía es cinética:
Etotal = 1/2 mv2
Pero la energía total es constante.
Etotal = 1/2 kx2 + 1/2 mv2
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17 En qué posición(s) estará al máximo la energía cinética de un sistema de masa-resorte?
A x = AB x = 0C x = -AD A & CE Todas las anteriores
B
Respuesta:
z
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18 ¿En qué posición(es) estará al máximo la energía potencial elástica (US) de un sistema de masa-resorte?
A x = AB x = 0C x = -AD A & CE Todas las anteriores
D
Respuesta:
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19 En qué posición(s) estará al máximo la energía total de un sistema de masa-resorte?
A x = AB x = 0C x = -AD A & CE Es la misma en todas las posiciones
E
Respuesta:
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20 En qué posición(s) estará al mínimo la energía cinética de un sistema de masa-resorte?
A x = AB x = 0C x = -AD A & CE Todas las anteriores
D
Respuesta:
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Resolución de problemas utilizando la energía
Como la energía es constante, y el trabajo realizado en el sistema es cero, siempre puedes determinar la velocidad de la masa en cualquier punto utilizando
E0 = Ef
La forma más general (complicada) de esta fórmula es la siguiente
1/2 kx02 + 1/2 mv0
2 = 1/2 kxf2 + 1/2 mvf
2
Pero, en general, se simplifica al obtener la información de la energía en algún punto en
que es toda US (x = A ó -A) o cuando es toda EC (x = 0).
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21 ¿Cuál es la energía total en un sistema de masa-resorte si la masa es de 2kg, la constante de elasticidad es 200N/m y la amplitud de la oscilación es 3m?
Respuesta:
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22 ¿Cuál es la velocidad máxima de la masa en el sistema de masa-resorte a partir de la diapositiva anterior: la masa es de 2kg, la constante de elasticidad es 200N/m y la amplitud de oscilación es de 3m?
Respuesta:
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Período y frecuencia de un sistema de masa-resorte
Podemos utilizar el período y la frecuencia de una partícula que se mueve en círculo para determinar su período y frecuencia:
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23 ¿Cuál es el período de un sistema de masa-resorte si la masa es de 4kg y la constante de elasticidad es de 64N/m?
Respuesta:
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24 ¿Cuál es la frecuencia del sistema de masa-resorte de la diapositiva anterior (la masa es de 4kg y la constante de elasticidad es de 64N/m)?
Respuesta:
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El péndulo simple
Un péndulo simple consiste de una masa adherida al extremo de una cuerda liviana. Podemos asumir que la cuerda no se estira, y que su masa es insignificante.
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El péndulo simple
Para estar en M.A.S., la fuerza restauradora debe ser proporcional al negativo del desplazamiento. Aquí tenemos:
que es proporcional a sin θ y no a θ por sí mismo.
Para ángulos pequeños, sin θ ≈ θ y x = Lθ.
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tiene la forma de F = -kx si k = mg/L
Pero antes aprendimos que
Sustituyendo por k mg/L
Observen que "m" se anuló, la masa no importa.
El péndulo simple
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25 ¿Cuál es el período de un péndulo que tiene un largo de 2m cerca de la superficie de la tierra?
Respuesta:
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26 ¿Cuál es la frecuencia del péndulo de la diapositiva anterior (con un largo de 2m cerca de la superficie de la tierra)?
Respuesta:
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Entonces, mientras se considere que la cuerda no tiene masa y que la amplitud es pequeña, el período no dependerá de la masa.
El péndulo simple
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27 ¿Cuál de los siguientes factores afecta el período de un péndulo?
A la aceleración debida a la gravedadB el largo del resorteC la masa del peso conductor del pénduloD A & BE A & CF B & CG Todas las anteriores
D
Respuesta:
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Energía en el péndulo
Los dos tipos de energía en un péndulo son:
Energía potencial gravitatoria
EPG = mgh
Y
La energía cinética de la masa:
EC = 1/2 mv2
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La energía mecánica total es constante.
E = EPG + EC
Etotal = mgh + 1/2 mv2
En cualquier momento, la energía total del sistema es constante y estará compuesta por estas dos formas.
Energía en el péndulo
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28 ¿Cuál es la energía total en un péndulo de 1 kg si su altura, en su máxima amplitud, es de 0,20m sobre su altura en el punto de equilibrio?
Respuesta:
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29 ¿Cuál es la velocidad máxima de la masa del péndulo de la diapositiva anterior (su altura en la máxima amplitud es de 0,20m sobre su altura en el punto de equilibrio)?
Respuesta:
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Resumen
· Para el M.A.S., la fuerza restauradora es proporcional a su desplazamiento: F = -kx
· El período (T) es el tiempo que tarda en cumplir un ciclo, y la frecuencia (f) es la cantidad de ciclos por segundo.
· T = 1/f; f = 1/T
· El período de la masa en un resorte:
· Durante el M.A.S., la energía total es constante y cambia continuamente de cinética a potencial y viceversa.
· El período de un péndulo simple es:
