TEMASDEFSICAIMOVIMIENTOCIRCULARUNIFORMEENUNPLANOHORIZONTAL

Profr.AbelardoRodrguezSoriaetal TRIMESTRE11PElproblemageneral. Formulacindelproblemageneralqueabordaremosenestetema: Una partcula se halla sujeta a varias fuerzas, cuyo efecto conjunto es hacer que la partculadescriba una trayectoria circular en un plano horizontal con rapidez constante. Aplicar las leyes deNewtonparadeducirlaspropiedadesdelmovimiento(Fig.1).

Fig.1

Repasodecinemticacircular. Repasemoselaspectocinemtico.Paradescribirelmovimientocircularseutilizaunsistemade

coordenadaspolares(r,)conbaseortonormal{er,e}.Comolacoordenadaresconstante,bastacon

lafuncin(t)paradescribirelmovimiento.Losvectoresdeposicinr,velocidadv,yaceleracinadelapartculatomanestaformageneralenlabasepolar:

(1) r=rer

(2) v=ve

(3) 2v rrr

= + a e e (conv=|v|=|v|=rapidez)VeaestosvectoresenlaFig.2.

Fig.2

El unitario er define la direccin radial en la localidad considerada, y e define la direccin

tangencial. El vector de posicin de la partcula es puramente radial, el vector velocidad puramente

tangencial.Laaceleracintieneengeneralunacomponenteradialaryunatangenciala.Lacomponente

radial(llamadatambinaceleracincentrpeta)siempresedirigehaciaelcentroCdelatrayectoria(porloque siempreesnegativa).La componente tangencialpuede estar en lamismadireccinoendireccinopuestaalvectorvelocidad. Denominaremosplanodemovimientoalplanoquecontienealatrayectoriacircular.

SedenominafuerzacentrpetaaltrminoFr,estoes,alasumadelascomponentesradialesdetodas las fuerzas existentes sobre la partcula. Es slo un nombre.No es una fuerza debida a ningncuerpoenespecial,sinoquetodosloscuerposactivospresentescontribuyenaella,cadacualatravsdesucomponenteradial.

Nota.Eviteelerrorcomndellamarlefuerzacentrpetaaltrmino2v

mr

.

Lavelocidadangulardelapartculasedefinecomolavelocidadconquerotasuradiovectorr.Vienedadapor

(4) d

dtw=

Laaceleracinangulardelapartculaes

(5) 2d d d2dt ddt

= = = Lavelocidadvobedecelarelacin(6) v=r Lacomponenteradialdelaaceleracin,llamadaaceleracincentrpeta(oradial),es

(1) 2v 2rr r

a = - = - w

Siempreesnegativa,asqueapuntatodoeltiempohaciaelcentroCdelcrculotrayectoria. Lacomponentetangencialdelaaceleracin,oaceleracintangencial,es

(2) d

r rdt

a = a =q

Laaceleracinaespositivasiapuntaenladireccinhacialaquecrecelacoordenadaangular,

osealadireccindeeEsnegativaencasocontrario.

Silacomponentevectoriala=aetienelamismadireccinqueelvectorvelocidadv,entonces

larapidezvdelapartculavaaumentando(Fig.3).Siayvsonopuestas,larapidezvaaminorando(Fig.4).

Fig.3.Rapidezv=|v|vaaumentando.

Fig.4.Rapidezv=|v|vadisminuyendo.Movimientocircularenunplanohorizontal. Consideraremossolamenteunaclasedemovimientocircular,asaber: Movimientoenunplanohorizontalconrapidezconstante. Enestecasoelcampogravitatorioterrestreesperpendicularalplanodemovimiento(Fig.5).(Porejemplo,elmovimientodeuncaballitodeuncarrusel,elmovimientodeunatornamesa,etc.)

Fig.5

Comovesconstante,setienequetambinesconstanteyentoncesa=0.Porlotanto,laaceleracindelmovimientoespuramentecentrpeta.

DefiniremosunaternaderechadeejesradialR,tangencialyverticalZ,delasiguientemanera(mirelaFig..6):

Fig.6

ElejeradialRlotrazamosdesdeelcentroCdelacircunferencia,pasndoloporlaposicinactualde

lapartculayprolongndolohaciafuera,estoes,endireccincentrfuga. Perpendicularmentealeje radialRsecolocaeleje tangencial.Esteeje sesitaenelplanode la

circunferencia,ysudireccineshaciadondecrecelaposicinangulardelapartcula. ElejeverticalZesperpendicularalplanodelosejesRy.AlgirarelejeRhaciaelejeseobtienela

direccindelejeZporlaregladeltirabuzn(Laterna{RZ}esderecha}. La posicin angular de la partcula se mide desde alguna direccin fija en el plano demovimiento.TaldireccinlatomaremoscomoladelejeXdeunsistemacartesianoauxiliar,comovemosenlafiguraanterior. Ahorabien,enelmovimientoenunplanohorizontalsupondremosquelavelocidadv(yconellolavelocidadangular)esconstante.Esdecir,noexistirnfuerzasalolargodeladireccintangencial,detalmodoquetrabajaremossolamenteconlosejesRyZ. Enelmovimientoenunplanohorizontalconconstantesonvlidaslasrelaciones

(6) F=0(7) =0+t(26c) v=constante=r w=constante

(8) d constantedt = =

(9) d

r rdt

a = a = =q 0

Ecuacionesdelmovimientocircularuniformeenunplanohorizontal

(10a) 2v 2m m(r r

F

= = r)

(10b) 0zF =

ElmtodogeneralderesolucinqueemplearemoseselmismomtodoDELIROempleadoyaenel temade las leyesdeNewton.Explicaremos lasparticularidadesdecadaetapadelmtodoen losprimerosejemplos.EJEMPLO 1. Observe la Fig. 7. Una partcula de masa m est atada a un hilo y se apoya sobre una mesa horizontal lisa. La partcula describe una circunferencia de radio r con rapidez constante v. Se desea calcular las fuerzas debidas a la cuerda y a la mesa. A qu velocidad pierde la partcula el contacto con la mesa?

Fig. 7 D E L I R O Diagramas de cuerpo libre Veamos la Fig. 8. Se ha sombreado el plano vertical determinado por el eje vertical Z y la posicin presente de la partcula. Es en este plano donde actan todas las fuerzas sobre la misma, ya que por hiptesis no existen fuerzas tangentes a la trayectoria circular (fuerzas que seran perpendiculares al plano RZ). Es por ello que la rapidez y la velocidad angular son constantes. En vista de lo anterior conviene trazar el DCL en una figura bidimensional en la que el plano del papel sea el plano sombreado mencionado. El DCL lucira entonces como en la Fig. 9. Note que en esta figura el crculo descrito por la partcula se ve como una lnea diametral de centro C (esta lnea es la traza de la trayectoria en el plano vertical).

Fig.8Lapartculatienecontactoconlamesa(N)yconelhilo(T).

Fig. 9

D E L I R O Ejes y referencia de tiempo Usaremos los ejes radial R y vertical Z mostrados en la Fig. 9. D E L I R O Leyes de movimiento En el movimiento horizontal las ecuaciones de movimiento son las ecuaciones (10a) y (10b):

)r(mr

vm 22

r =

=F

Fz = 0

Apliquemos estas ecuaciones: Fr = mar: T cos = m ( r

v2 ) Fz = 0 : N + T sen mg = 0 D E L I R O Incgnitas y datos Datos: m, r, h, v. Con r y h se obtiene ; con v y r se obtiene . Incgnitas (2): T, N. Tenemos 2 incgnitas y 2 ecuaciones y podemos proceder a resolverlas. La etapa Relaciones cinemticas y/o dinmicas no se necesita en este problema. D E L I R O Operaciones matemticas Usemos

r

cos2 2r h

b =+

y despejemos la tensin T de la primera ecuacin:

2h2T mv 1 2r

= +

Sustituyendo T en la segunda ecuacin obtenemos la normal N:

2v h

N m g 2r= -

Discusin. La normal se hace cero cuando

gv r

h=

A esta velocidad se puede retirar la mesa horizontal y no se altera el movimiento circular.

EJEMPLO 2. Dos varillas ligeras estn articuladas en un extremo comn A a un objeto de masa M. Los otros extremos, B y C, estn articulados a dos puntos fijos situados sobre una lnea vertical. El ngulo (BAC) vale 90. Dado que el sistema rota con velocidad angular constante alrededor de BC, calcular las fuerzas en las varillas. La longitud de la varilla BA es L, y el ngulo ABC es conocido, igual a .

Fig. 10

Diagrama de cuerpo libre. Una varilla de masa insignificante solamente puede estar en tensin o compresin simples. Se advierte fcilmente que si la velocidad angular es muy pequea, el objeto descansar sobre la varilla CA, por lo que esta varilla estar en compresin, a diferencia de la varilla BA que siempre est en tensin. Si es muy grande, ambas varillas estarn en tensin, lo cual hemos supuesto al trazar el DCL de la Fig.11. Ejes y referencia de tiempo. En la Fig. 11 el centro del crculo que describe el objeto A es el punto O, y el radio r es la distancia OA.

Fig. 11

Leyes de movimiento.

Fr = m ar: F1 sen F2 cos = m ( 2 r)

Fz = 0: F1 cos F2 sen mg = 0 Incgnitas y datos. Datos: L, , m, Incgnitas: T1, T2 Operaciones matemticas. Resolviendo simultneamente las ecuaciones obtenemos

T1 = m(2r sen + g cos )

T2 = m(2r cos g sen )

Poniendo r = L sen vemos que T2 es negativa (compresin) si gLcos

w< .

EJEMPLO 3. Un carro para vas frreas, de masa M, va tomando una curva con forma de arco de circunferencia de radio R. (a) Dada la velocidad V del carro, calcular el peralte de la curva justo para que no haya fuerza transversal sobre los rieles a esa velocidad. (b) Calcular la fuerza transversal en el caso que la velocidad del carro sea 2V. Tratar el carro como si fuera una partcula. .

Fig. 12 (a) Diagrama de cuerpo libre. Observe el DCL en la Fig. 13. Tome en cuenta que estamos tratando al carro como partcula, de tal manera que no nos interesan los puntos de aplicacin de las fuerzas sobre l. En particular, estamos descomponiendo la fuerza de los rieles en una componente transversal F y una componente normal N. Ejes y referencia de tiempo. El eje radial R es paralelo al terreno plano. El eje Z es vertical.

Fig. 13 Leyes de movimiento. La segunda ley de Newton proporciona las relaciones

Fr = m ar:

2

sen cos VN F MR

- b - b = -

Fz = 0: cos sen 0N F Mgb - b - = Incgnitas y datos. Datos: M, V, R. Incgnitas (3): , N,F. Tenemos 2 ecuaciones. Falta una. Relaciones cinemticas y/o dinmicas. Se desea el valor del peralte para el cual F=0 (esta es la ecuacin faltante). Operaciones matemticas. Las ecuaciones anteriores dan

2

tan VgR

b =

(b) Para una velocidad 2V el problema debe resolverse de nuevo con conocido y sin la condicin F = 0. Se obtiene

24 cos senMVF M

R= b - g b

EJEMPLO 4. Un automvil de masa M toma una curva circular de radio r y peralte . (a) Determinar la mxima velocidad a la que puede tomarla sin resbalar suponiendo que el coeficiente de friccin esttica es . (b) Determinar el peralte mnimo para que no resbale si la curva se toma con velocidad dada v. (a) Diagrama de cuerpo libre y Ejes de referencia. Como el automvil se considera una partcula, lo representamos por un punto en el DCL mostrado en la

Fig. 14. Este DCL corresponde a friccin mxima fm (a punto de resbalar), que es la situacin que nos interesa.

El eje radial viene desde el centro de la curva, situado a gran distancia r del automvil.

Fig. 14 Leyes de movimiento.

Fr = m ar:

(r1) 2

sen cosmvN f Mr

- b - b = -

Fz = 0: (r2) cos sen 0mN f Mgb - b - = Incgnitas y datos. Datos: M, r, , Para el inciso (a) Paraelinciso(b)v Incgnitas:

Para el inciso (a) N, fm, v

Para el inciso (b) N, fm, . Falta una ecuacin.

Relaciones cinemticas y/o dinmicas. Existe la condicin dinmica de deslizamiento,

(r3) fm = N Operaciones matemticas.

Veamos las ecuaciones (r1) y (r2) como un sistema simultneo para fm y N. Resolvindolas encontramos

2cos senm

Mvf Mr

= b - g b

2sen cosMvN M

r= b + g b

De la condicin fm=N se saca

( tan )gr

v1 tan+

=-

(b) Despejando de la expresin anterior obtenemos

2v gtan 2v gr

-=

+

r

EJEMPLO 5. Un bloque de peso W reposa sobre un plano inclinado liso soldado a una flecha que gira con velocidad angular . Calcular la necesaria para que la tensin de la cuerda sea igual al peso W.

Fig. 15 Diagrama de cuerpo libre y Ejes de referencia. El DCL incluye las tres fuerzas mostradas en la Fig. 16. Note cmo estn colocados los ejes radial y vertical.

Fig. 16 Leyes de movimiento. En la direccin radial, (r1) T cos + N sen = m (2 r) En la direccin vertical, (r2) T sen + N cos mg = 0 Se tiene tambin que (r3) r = L cos

Relaciones cinemticas y/o dinmicas. Existe la condicin de que la tensin de la cuerda sea igual al peso, o sea (r4) T = W Operaciones matemticas. Poniendo (r3) y (r4) en las ecuaciones, despejando N de (r2) y sustituyndola en (r1) encontramos que

g1 sen

2 Lcos =

EJEMPLO 6. Una esferilla demasam describe un crculo horizontal de radio 0.4 m dentro de unasuperficielisasemiesfricaderadiointerno0.5m,colocadaconsubordehorizontal.Unhilodelgadoatadoalaesferillapasaporunpequeoagujeroenelfondodelasuperficieysostieneotraesferilladelamismamasaquecuelgaenreposo.Calcularlavelocidaddelaprimeraesferilla.

Fig.17

DiagramasdecuerpolibreyEjesdereferencia. El DCL de la esferilla giratoria setrazaenelplanoverticalquecontieneadichaesferilla, al centroOde la copa,al centroCdel crculo que describe la esferilla, y a lacuerda.ste es elplanode los ejes radial yvertical(VaselaFig.18). Hemos introducido los ngulosauxiliaresy,ydenotado los radiosde lacopa y de la trayectoria con R y r,respectivamente.

Fig. 18

La esferilla giratoria tiene contacto con la copa y con la cuerda, de ah las fuerzas N y T en el DCL. Note que la normal N, por ser perpendicular a la copa, apunta hacia el centro O de la misma. Leyes de movimiento. Las ecuaciones de la esferilla giratoria son

Radial: N cos T cos = m (2vr

)

Vertical: N sen T sen mg = 0 y la ecuacin de la esferilla colgante es T mg = 0 Incgnitas y datos. En las ecuaciones anteriores aparecen las incgnitas N, T y . Se tienen pues tres ecuaciones con tres incgnitas. Operaciones matemticas. Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a

cos (1 sen cos ) gvcos r

+ + = Calculemos los ngulos y . Refirindonos a la Fig. 19, la lnea OP es un radio de la copa, por lo que hemos puesto OP = 0.5. Por otra parte, del tringulo rectngulo OPC encontramos el cateto OC, que resulta ser de 0.3. Entonces el segmento CB es la diferencia 0.5 0.3 = 0.2.

Fig. 19 Por lo tanto, = cos1(0.4 / 0.5) = 36.87 = tan1(0.2 / 0.4) = 26.56

Sustituyendo en la expresin encontrada para la velocidad v tenemos v = 7.84 m/s. EJEMPLO 7. Calcular el perodo de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra, dada la masa de la Tierra y la distancia TierraLuna. Denotemos con ML y MT las masas de la Luna y la Tierra, y con d la distancia mutua (Fig.20). Supuesta la Tierra como marco de referencia inercial, las ecuaciones de movimiento de la Luna son

Fig. 20

Fr = mar:

(r1) 2vF ML d

=

Ft = mat: (r2) 0=m d ( = 0 = constante) donde F es la magnitud de la fuerza gravitatoria terrestre, dada por

(r3) GM MT LF= 2d

Sustituyendo este valor de F en la ecuacin (r1) obtenemos la velocidad de la Luna, v, la cual de hecho no depende de su masa:

1019 (m/s)

11 24GM 6.67 (10 ) 5.98(10 )Tv 8d 3.84(10 )=

= =

El perodo de la Luna, , se saca de la relacin v = 2 d Se obtiene = 27.3 da EJEMPLO 8. Calcular la masa del Sol a partir de la masa de la Tierra y su perodo. En forma completamente anloga al ejemplo anterior podemos deducir la relacin

(r1) GMSvT d

= para la velocidad de la Tierra, vT, en trminos de la masa del Sol, MS, y la distancia SolTierra, d. Por otra parte, el perodo de la Tierra, , se expresa en trminos de su velocidad vT como

(r2) 2 dvT

= Despejando vT de (r2) y sustituyendo en (r1),

GM2 d S

d =

Despejando ahora la masa del Sol,

(r3) 2 34 dMS 2G

=

Sustituyendo los valores

112N m

2kgG 6.67(10 ) =

d = 1.49 (1011) m = 1 ao = 365.24 da = 3.15 (107) s obtenemos MS = 1.96 (1030) kg valor bastante aproximado al valor real.

8.7.Problemas.1.Dospartculasigualesestnconectadasporunacuerdaquepasaatravsdeunagujeroenunamesalisa.Unade laspartculasestsobre lamesa,y laotrapordebajo.Cuntas revolucionesporsegundodebe dar la partcula sobre lamesa, en una circunferencia de radio 150 mm, paramantener a la otrapartculaenreposo?

Resp.1.28rev/s.2.Unamasam sobreunamesagiratoria lisa estunida a los extremosdeundimetromediantedoscuerdas iguales de longitud L. Lamesa se hace girar con velocidad angular constante .Calcular latensinenlascuerdas.

Resp.(2/3)m2L.3.Unanillolisopuededeslizarsealolargodeunacuerdadelongitud110mm.LosextremosdelacuerdaestnfijosadospuntosAyBsituadosenlneaverticaladistanciade40mmunodelotro.Elsistemagiraconvelocidadangular constante,de talmodoque lasdistanciasdelanilloaAyB son60mmy50mm,respectivamente.Calcularlavelocidadangular.

Resp.0.9rad/s.4.Uncarrodeferrocarril,demasa3000kg,semuevearaznde45km/henunacurvacircularde250mderadio.Nohayperalte,esdecir,elrielexteriornoselevantasobreelinterior.Calcularlafuerzalateralqueseejercesobreelrielexterior.Tratarelcarrocomopartcula.

Resp.1875N.5.Unapartculademasamestsujeta,atravsdeunacuerdainextensibledelongitudL,aunpuntofijoOsituadoaunaalturahsobreunamesahorizontal lisa.Lapartculadescribeuncrculosobre lamesa,conrapidezconstantev.Calcularlafuerzaejercidaporlamesaylatensinenlacuerda.

Resp.

2 2

2 2 2 2

v h mv Lm g ,L h L h

6.Unavarilla ligeraCB,de longituds,estpivoteada librementeensuextremoC,elcualest fijo,yportaenBunamasam.LavarillasemantieneenposicinhorizontalpormediodeunacuerdaatadaaBya un punto fijoA situado verticalmente sobreC a unadistancia bde ste.Calcular lamagnitud ydireccindelafuerzadeCBcuandoCBrotaalrededordelaverticalanrevolucionesporsegundo.

Resp. 2 2 gms 4 nb

7.DosesferillasAyBde lamismamasam,apoyadassobreunamesahorizontal lisa,estnatadasacuerdasdelamismalongitudLcomoseveenlafigura.ElsistemarotaalrededordelaverticalatravsdelpuntofijoOdetalmaneraquelascuerdasOAyABsemantienencolineales.Calcularlastensionesenlascuerdas.

Resp.3m2L;2m2L8.Una tornamesarugosapuedegiraralrededordeunejevertical.Secolocasobreellaunapartculademasa m, a una distancia r del eje. Luego se hace girar la mesa aumentando gradualmente suvelocidad angular.Demuestre que la partcula no semueve relativamente a lamesa, amenos que elnmeroderevolucionesporsegundoexcedaelvalor

1 gn

2 r=

dondeeselcoeficientedefriccinestticopartculamesa.

9. Unamasa 2m reposa sobre una superficie horizontal lisa, y est conectada con unamasa mmedianteunacuerda inextensiblequepasarporunpequeoanillo lisoy fijoaunaalturahsobre lamesa.Dadoque lamasa2mdescribeun crculode radio (1/2)hy centroen lamesaverticalmentepordebajodelanillo,calculareltiemponecesarioparaunarevolucin.

resp. 5h2g

10.DosmasasdesigualesestnconectadasporunacuerdadelongitudLquepasaatravsdeunanillofijoyliso.Lamasamenorsemuevecomounpndulocnicomientrasquelaotracuelgaverticalmente.Calcularelsemingulobdelconoylafrecuenciaangulardemovimientosiunaporcindelongitudsdelacuerdacuelgaverticalmente.

Resp. 1 m 1 Mgcos ,M 2 m(L-s

)

11.Unconocirculardeseminguloverticalbestfijoconsuejeverticalysuvrticehaciaarriba.SeataunacuerdainextensibledelongitudLenelvrticeporunodesusextremos,yenelotroextremoseataunapartculademasamquedescansasobrelasuperficielisaexternadelcono.Luego,lapartculasehace rotar con velocidad constante en un crculo horizontal en contacto con el cono. Calcular lavelocidadangularylatensindelacuerda.

Resp.

gsec 2 2, T m(gcos Lsen )L

= = + 12.Unapartculademasamestsuspendidadesdeunpuntofijopormediodeunresorteelsticolinealde longitudnaturalL0yconstanteelsticak.Lapartculadescribeuncrculoconvelocidadangularconstante.Demostrarquesecumplelarelacin

2 2

0

g mcos 1L k

=

15.Quvelocidaddebetenerunsatliteartificialenrbitacircularalrededorde laLunaterrestreparaqueelradiodesurbitasea1.5veceselradiolunar.Dato.elradiodelaLunaes1.74(106)m.