SUBTEMA 3.1.4. SUBTEMA 3.1.4. MOVIMIENTO CIRCULAR.MOVIMIENTO CIRCULAR.

En los movimientos que realizan los pilotos acróbatas En los movimientos que realizan los pilotos acróbatas cuando efectúan un movimiento circular en el aire, su cuando efectúan un movimiento circular en el aire, su trayectoria es una circunferencia, y sucede que puede trayectoria es una circunferencia, y sucede que puede tener una rapidez constante, pero su velocidad cambia tener una rapidez constante, pero su velocidad cambia a cada instante debido a que la velocidad es un vector. a cada instante debido a que la velocidad es un vector.

En un momento dado el piloto puede seguir la En un momento dado el piloto puede seguir la trayectoria de la velocidad y se ira en línea trayectoria de la velocidad y se ira en línea recta, debido a que su movimiento es tangente, recta, debido a que su movimiento es tangente, o sea perpendicular al radio del circulo.o sea perpendicular al radio del circulo.

Desplazamiento angularDesplazamiento angular.- .- Es una distancia Es una distancia recorrida por una partícula en una trayectoria recorrida por una partícula en una trayectoria circular y se expresa frecuentemente en circular y se expresa frecuentemente en radianes (rad), grados (radianes (rad), grados () y revoluciones (rev); ) y revoluciones (rev); es conveniente expresar toda rotación en es conveniente expresar toda rotación en radianes. El radian (rad) es una unidad de radianes. El radian (rad) es una unidad de medida angular, así como el metro es la unidad medida angular, así como el metro es la unidad de medida lineal. de medida lineal.

Se define al radián como el ángulo subtendido Se define al radián como el ángulo subtendido por el arco del círculo cuya longitud es igual al por el arco del círculo cuya longitud es igual al radio del mismo circulo.radio del mismo circulo.

Puesto que la circunferencia entera de un Puesto que la circunferencia entera de un círculo es justo 2 círculo es justo 2 veces el radio r, hay 2 veces el radio r, hay 2 radian en un circulo completo.radian en un circulo completo.

1rev = 2 1rev = 2 radian = 360 radian = 360 Puesto que Puesto que = 3.14 = 3.14 1 rad = 1 rad = 360360 = 57.3 = 57.3 2 2

De las relaciones anteriores se deduce que el De las relaciones anteriores se deduce que el ángulo ángulo en radianes, en cualquier punto sobre en radianes, en cualquier punto sobre la circunferencia de un circulo, esta dado por d, la circunferencia de un circulo, esta dado por d, la longitud del arco entre los dos puntos, la longitud del arco entre los dos puntos, dividida por el radio r. En otras palabras,dividida por el radio r. En otras palabras,

Angulo en radianes = Angulo en radianes = longitud del arcolongitud del arco RadioRadio = = d d rr

Un radián equivale a 57.3°

PERIODO Y FRECUENCIA.-PERIODO Y FRECUENCIA.-El movimiento circular El movimiento circular uniforme presenta en su trayectoria el paso en un punto uniforme presenta en su trayectoria el paso en un punto fijo, equivalente a un ciclo por cada vuelta o giro completo fijo, equivalente a un ciclo por cada vuelta o giro completo de 360de 360..

En física son también llamados En física son también llamados revoluciones para un determinado tiempo.revoluciones para un determinado tiempo.

El periodo de un movimiento circular es el El periodo de un movimiento circular es el tiempo que tarda una partícula en realizar tiempo que tarda una partícula en realizar una vuelta completa, revolución o ciclo una vuelta completa, revolución o ciclo completo. La unidad utilizada para el completo. La unidad utilizada para el periodo es el segundo o, para casos periodo es el segundo o, para casos mayores unidades mayores.mayores unidades mayores.

T = 1/F T = 1/F T = seg/cicloT = seg/ciclo

Se denomina Se denomina frecuenciafrecuencia de un de un movimiento circular al numero de movimiento circular al numero de revoluciones, vueltas o ciclos completos revoluciones, vueltas o ciclos completos en la unidad de tiempo. La unidad en la unidad de tiempo. La unidad utilizada para medir la frecuencia de un utilizada para medir la frecuencia de un movimiento es el hertz (Hz), que indica el movimiento es el hertz (Hz), que indica el número de revoluciones o ciclos por cada número de revoluciones o ciclos por cada segundo-segundo-

F = 1/TF = 1/T F = ciclos/ seg. o hertz.F = ciclos/ seg. o hertz.

Estos conceptos de periodo y frecuencia Estos conceptos de periodo y frecuencia son muy útiles para comprender los son muy útiles para comprender los fenómenos que se producen en los fenómenos que se producen en los movimientos periódicos, que se movimientos periódicos, que se observaran con mayor detenimiento en los observaran con mayor detenimiento en los temas de acústica y óptica, para temas de acústica y óptica, para comprender los fenómenos ondulatorios comprender los fenómenos ondulatorios electromagnéticos del fenómeno electromagnéticos del fenómeno luminoso.luminoso.

VELOCIDAD ANGULAR.VELOCIDAD ANGULAR. A la razón del cambio del desplazamiento angular al tiempo A la razón del cambio del desplazamiento angular al tiempo

transcurrido se le denomina velocidad angular, y esta dada por,transcurrido se le denomina velocidad angular, y esta dada por, == tt = velocidad angular en rad/seg.= velocidad angular en rad/seg. = desplazamiento angular en rad.= desplazamiento angular en rad. t = tiempo en segundos en que se efectuó el t = tiempo en segundos en que se efectuó el

desplazamiento angular.desplazamiento angular. El símbolo El símbolo (omega) se usa para denotar la velocidad (omega) se usa para denotar la velocidad

angular. Aunque se puede expresar en revoluciones por minuto angular. Aunque se puede expresar en revoluciones por minuto (rev/ min, rpm.) o revoluciones por segundo (rev/s) en la mayor (rev/ min, rpm.) o revoluciones por segundo (rev/s) en la mayor parte de los problemas físicos se hace necesario usar radianes por parte de los problemas físicos se hace necesario usar radianes por segundo (rad/s) para adaptarse a fórmulas más convenientes.segundo (rad/s) para adaptarse a fórmulas más convenientes.

La velocidad angular también se puede La velocidad angular también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta completa:en dar una vuelta completa:

= = 2 2 ππ TTComo: T = 1/FComo: T = 1/F = 2= 2ππ F en rad/seg. F en rad/seg.

ACELERACIÓN ANGULAR.ACELERACIÓN ANGULAR. Como el movimiento lineal o rectilíneo, el movimiento circular puede Como el movimiento lineal o rectilíneo, el movimiento circular puede

ser uniforme o acelerado. La rapidez de rotación puede aumentar o ser uniforme o acelerado. La rapidez de rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante.disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante.

La aceleración angular se define como la variación de la velocidad La aceleración angular se define como la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo y esta dada por:angular con respecto al tiempo y esta dada por:

= = f - f - ii tt dondedonde:: = velocidad angular final en rad/ s= velocidad angular final en rad/ s22 f = velocidad angular final en rad/sf = velocidad angular final en rad/s i = velocidad angular inicial en rad/si = velocidad angular inicial en rad/s t = tiempo transcurrido en segt = tiempo transcurrido en seg

Una forma más útil de la ecuación anterior es:Una forma más útil de la ecuación anterior es: f = f = i + i + t t Ahora que hemos introducido el concepto Ahora que hemos introducido el concepto

de velocidad angular inicial y final, podemos de velocidad angular inicial y final, podemos expresar, la velocidad angular media en expresar, la velocidad angular media en términos de sus valores inicial y final.términos de sus valores inicial y final.

==f - f - ii 22 = = f - f - i i (t) (t) 22

Esta ecuación es también similar a una ecuación derivada para el Esta ecuación es también similar a una ecuación derivada para el movimiento lineal. De hecho las ecuaciones para la aceleración movimiento lineal. De hecho las ecuaciones para la aceleración angular tienen las mismas formas básicas que las que se derivan angular tienen las mismas formas básicas que las que se derivan de la aceleración lineal, estableciendo las analogías siguientes:de la aceleración lineal, estableciendo las analogías siguientes:

d (m) ------------------ d (m) ------------------ (rad) (rad) v (m/seg)----------------- v (m/seg)----------------- (rad/seg) (rad/seg) a (m/ s2)--------------- a (m/ s2)--------------- (rad/seg (rad/seg22)) RELACION ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARESRELACION ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES d = d = r r v = v = r r a = a = r r

Comparación de formulas entre aceleración Comparación de formulas entre aceleración lineallineal

Y aceleración angularY aceleración angular Aceleración lineal constanteAceleración lineal constante Vf = Vo + a tVf = Vo + a t D = ½ (Vo+ Vf)(t)D = ½ (Vo+ Vf)(t) VfVf22 =Vo =Vo22 + 2 ad + 2 ad d = Vot + ½ a t d = Vot + ½ a t 22

Aceleración angular constanteAceleración angular constante f = f = i + i + tt = ½ (= ½ (f + f + i) (t)i) (t) f f 22= = oo22 + + ==oo t +1/2 t +1/2 t t 22

Donde:Donde:d = longitud del arco en cm,o metros.d = longitud del arco en cm,o metros. = desplazamiento angular en radianes= desplazamiento angular en radianes r = radio en cm, o metros.r = radio en cm, o metros.v = velocidad lineal en cm /s, m/s,v = velocidad lineal en cm /s, m/s, = velocidad angular en rad /s.= velocidad angular en rad /s.a = aceleración lineal en cm/ sa = aceleración lineal en cm/ s22 , m/ s , m/ s22 = aceleración angular en rad / s= aceleración angular en rad / s22..

Problemas de Movimiento circular Problemas de Movimiento circular uniforme.uniforme.

1.- Un móvil con trayectoria circular 1.- Un móvil con trayectoria circular recorrió 820° ¿Cuántos radianes fueron?recorrió 820° ¿Cuántos radianes fueron?

Solución: 1 rad = 57.3°Solución: 1 rad = 57.3°820° x 820° x 1 rad1 rad = = 14.31 radianes14.31 radianes.. 57.3°57.3°

2.- Un cuerpo A recorrió 515 radianes y un 2.- Un cuerpo A recorrió 515 radianes y un cuerpo B recorrió 472 radianes. ¿A cuerpo B recorrió 472 radianes. ¿A cuántos grados equivalen los radianes en cuántos grados equivalen los radianes en cada caso?cada caso?

Solución: Cuerpo A: 515 rad x Solución: Cuerpo A: 515 rad x 57.3° 57.3° 1 rad1 rad== 29509.5° 29509.5°..Cuerpo B : 472 rad xCuerpo B : 472 rad x 57.3° 57.3° = = 27045.6°27045.6°.. 1 rad1 rad

3.- ¿Cuál es el valor de la velocidad 3.- ¿Cuál es el valor de la velocidad angular de una rueda que gira angular de una rueda que gira desplazándose 15 radianes en 0.2 desplazándose 15 radianes en 0.2 segundos?segundos?

DatosDatos FórmulaFórmula SustituciónSustituciónω = ¿ω = ¿ = = θ θ = = 15 rad15 radθ = 15 radθ = 15 rad tt 0.2 seg0.2 seg t = 0.2 segt = 0.2 seg = = 75 rad/seg75 rad/seg. .

4.- Determinar el valor de la velocidad angular y 4.- Determinar el valor de la velocidad angular y la frecuencia de una piedra atada a un hilo, si la frecuencia de una piedra atada a un hilo, si gira con un periodo de 0.5 segundos.gira con un periodo de 0.5 segundos.

Datos Datos FórmulaFórmula ω = ?ω = ? = = 2 π 2 π f = ? Tf = ? T T = 0.5 seg T = 0.5 seg = = 2 x 3.14 = 2 x 3.14 = 12.56 rad/seg12.56 rad/seg..

0.5seg 0.5seg f = 1/T f = 1/ 0.5 seg =f = 1/T f = 1/ 0.5 seg =2 ciclos/seg ó 2 Hz2 ciclos/seg ó 2 Hz..

5.- Hallar la velocidad angular y el periodo de una rueda 5.- Hallar la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 430 revoluciones por que gira con una frecuencia de 430 revoluciones por minuto.minuto.

DatosDatos FórmulasFórmulas ω = ¿ω = ¿ = 2 π F = 2 π F T = ¿T = ¿ T = 1/F T = 1/F F = 430 rpmF = 430 rpm Sustitución y resultado:Sustitución y resultado: 430 rpm x 430 rpm x 1 min 1 min = 7.17 rev/seg= 7.17 rev/seg 60 seg60 seg = 2 x 3.14 x 7.17 rev/seg = = 2 x 3.14 x 7.17 rev/seg = 45 rad/seg45 rad/seg.. T = 1/7.17 rev/seg = T = 1/7.17 rev/seg = 0.139 seg/rev0.139 seg/rev..

6.- Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como 6.- Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como su desplazamiento angular, si su movimiento duró 3 minutos.su desplazamiento angular, si su movimiento duró 3 minutos.

Datos Datos FórmulasFórmulas ω = ?ω = ? = 2 π F = 2 π F

θ = ?θ = ? θ = θ = ωω t tF = 45 rpmF = 45 rpmt = 3 min = 180 segt = 3 min = 180 seg45 rpm x 45 rpm x 1 min = 1 min = 0.75 rev/seg0.75 rev/seg

60 seg 60 seg = 2 x 3.14 x 0.75 rev/seg= 2 x 3.14 x 0.75 rev/seg

= 4.71 rad/seg. = 4.71 rad/seg.

θ = 4.71 rad/seg x 180 seg=θ = 4.71 rad/seg x 180 seg=847.8 rad.847.8 rad.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ECUACIONES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE CIRCULAR UNIFORMEMENTE

ACELERADOACELERADO Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular

uniformemente acelerado son las mismas que se utilizan uniformemente acelerado son las mismas que se utilizan para el rectilíneo uniformemente acelerado con las para el rectilíneo uniformemente acelerado con las siguientes variantes:siguientes variantes:

1.- en lugar de desplazamiento en metros hablaremos 1.- en lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento angular en radianes (θ en lugar de de desplazamiento angular en radianes (θ en lugar de dd).).

2.- la velocidad en m / s se dará como velocidad angular 2.- la velocidad en m / s se dará como velocidad angular en radianes / s (ω en lugar de en radianes / s (ω en lugar de vv).).

3.- la aceleración en m / s3.- la aceleración en m / s22 se cambiara a aceleración se cambiara a aceleración angular en radianes / sangular en radianes / s22 (α en lugar de (α en lugar de aa))

En conclusión las ecuaciones serán:En conclusión las ecuaciones serán: a).- Para calcular el valor de los a).- Para calcular el valor de los

desplazamientos angulares desplazamientos angulares cuando el cuerpo cuando el cuerpo no parte del reposono parte del reposo::

1.- 1.- θθ = = ωω00 tt + + αα tt 22 22 2.- 2.- θθ = = ωωf f 22 – – ωω00 22

2 2 αα

3.- 3.- θθ = = ωωf – f – ωω00 t t 2 2

Si el Si el cuerpo parte del reposocuerpo parte del reposo su velocidad su velocidad angular inicial (ωangular inicial (ω00) es cero, y las tres ecuaciones ) es cero, y las tres ecuaciones

anteriores se reducen a:anteriores se reducen a: 1.- 1.- θθ = = αα t t 22 22 2.- 2.- θθ = = ωωf f 22 2 2 αα 3.- 3.- θθ = = ωωf f tt 2 2

b).- Para calcular el valor de velocidades b).- Para calcular el valor de velocidades angulares finalesangulares finales cuando el cuerpo no parte cuando el cuerpo no parte del reposodel reposo..

1.- ωf = ω1.- ωf = ω00 + α + αtt 2.- ωf2.- ωf22 = ω = ω00

22 + 2 α + 2 αtt Si el cuerpo parte del reposoSi el cuerpo parte del reposo su velocidad su velocidad

inicial (ωinicial (ω00) es cero, y las dos ecuaciones ) es cero, y las dos ecuaciones anteriores se reducen a:anteriores se reducen a:

1.- ωf = α1.- ωf = αtt 2.- ωf2.- ωf22 = 2 α = 2 αtt

RESOLUCION DE PROBLEMAS DEL MOVIMIENTO RESOLUCION DE PROBLEMAS DEL MOVIMIENTO CIRCULARCIRCULAR

UNIFORMEMENTE ACELERADOUNIFORMEMENTE ACELERADO

1.- Un engrane adquirió una velocidad de 2512 rad / s 1.- Un engrane adquirió una velocidad de 2512 rad / s en 1.5 s. ¿Cuál fue la aceleración angular?en 1.5 s. ¿Cuál fue la aceleración angular?

Datos Datos formulaformulaω = 2512 rad / s α = ω / ω = 2512 rad / s α = ω / ttt t = 1.5 seg = 1.5 seg

αα = ? = ?

Sustitución y resultado:Sustitución y resultado:

α = α = 2512 rad/ s2512 rad/ s =1674.66 =1674.66 rad/srad/s22.. 1.5 seg1.5 seg

2.- Un mezclador eléctrico incremento su velocidad angular de 20 rad / s a 2.- Un mezclador eléctrico incremento su velocidad angular de 20 rad / s a 120 rad / s en 0.5 s. calcular: a) ¿Cuál fue el valor de su aceleración 120 rad / s en 0.5 s. calcular: a) ¿Cuál fue el valor de su aceleración media? B) cual fue el valor de su desplazamiento angular en ese tiempo?media? B) cual fue el valor de su desplazamiento angular en ese tiempo?

DatosDatos formula formula ωω00 = 20 rad/ s = 20 rad/ s αm = αm = ωf – ωωf – ω00 ωf = 120 rad/ s ωf = 120 rad/ s t t t = 0.5 st = 0.5 s a) αm = ?a) αm = ? θ = θ = ωω00 tt + + αα t t 22 b) b) θθ = ? = ? Sustitución y resultado:Sustitución y resultado: αm = αm = 120 rad/ s – 20 rad/ s120 rad/ s – 20 rad/ s = = 200 rad / s200 rad / s22.. 0.5 s0.5 s θθ = 20 rad/ s x 0.5 + 200 rad/ s = 20 rad/ s x 0.5 + 200 rad/ s22 (0.5 seg) (0.5 seg)22.. = 10 rad/ s + 25 rad= 10 rad/ s + 25 rad θθ = 35 radianes. = 35 radianes.

3.- Determinar la velocidad angular final de una rueda a los 0.1 3.- Determinar la velocidad angular final de una rueda a los 0.1 minutos si se tenia una velocidad angular inicial de 6 rad/ s y sufre minutos si se tenia una velocidad angular inicial de 6 rad/ s y sufre una aceleración angular de 5 rad/ suna aceleración angular de 5 rad/ s22..

Datos Datos formula formula ωf =? ωωf =? ωf = f = ωω00 + + ααt t t = 0.1 min = 6 s t = 0.1 min = 6 s

ωω00 = 6 rad / s = 6 rad / s

α = 5 rad/ sα = 5 rad/ s22..

Sustitución y resultado.Sustitución y resultado. ωωf = 6 rad/ s + (5 rad/ sf = 6 rad/ s + (5 rad/ s22 x 6 s) = x 6 s) = 36 rad/ s.36 rad/ s.

4.- Una rueda que gira a 4 rev/ s aumenta su frecuencia a 20 rev/ s en 2 4.- Una rueda que gira a 4 rev/ s aumenta su frecuencia a 20 rev/ s en 2 segundos. Determinar el valor de su aceleración angular.segundos. Determinar el valor de su aceleración angular.

DatosDatos formulasformulas FF00 = 4 rev/ s ω = 4 rev/ s ω00 = 2 π F = 2 π F00 FFff = 20 rev/ s = 20 rev/ s ωf = 2 π Ffωf = 2 π Ff α =? α =? t = 2 st = 2 s Sustitución y resultado:Sustitución y resultado:

ωω00 = 2 x 3.14 x 4 rev/s= = 2 x 3.14 x 4 rev/s= 25.12 rad/s 25.12 rad/s

ωf = 2 x 3.14 x 20 rev/s = ωf = 2 x 3.14 x 20 rev/s = 125.6 rad/ s125.6 rad/ s α = α = ωf - ωωf - ω00 α = α = 125.6 rad/ s – 25.12 rad/ s125.6 rad/ s – 25.12 rad/ s t 2 s t 2 s α = 50.24 rad / sα = 50.24 rad / s22..

5.- Una rueda gira con una velocidad angular inicial cuyo valor es 5.- Una rueda gira con una velocidad angular inicial cuyo valor es de 18.8 rad/seg experimentando una aceleración angular de 4 de 18.8 rad/seg experimentando una aceleración angular de 4 rad/segrad/seg22 que dura 7 segundos. Calcular: a) ¿Qué valor de que dura 7 segundos. Calcular: a) ¿Qué valor de desplazamiento angular tiene a los 7 segundos? b) ¿Qué valor de desplazamiento angular tiene a los 7 segundos? b) ¿Qué valor de velocidad angular lleva a los 7 segundos?velocidad angular lleva a los 7 segundos?

DatosDatos FórmulaFórmula

ωo = 18.8 rad/segωo = 18.8 rad/seg a) θ = ωot + a) θ = ωot + αtαt22

22 t = 7 segt = 7 seg αα = 4 rad /seg2. = 4 rad /seg2. b) ωf = ωb) ωf = ωo + o + αtαt θ = ¿θ = ¿ ωf = ¿ωf = ¿

Sustitución y resultado:Sustitución y resultado:

a) a) θθ = 18.8 rad/seg x 7 seg + = 18.8 rad/seg x 7 seg + (4 rad/seg(4 rad/seg22) (7 ) (7 seg)seg)22

22θθ = 131.6 rad + 98 rad = = 131.6 rad + 98 rad = 229.6 rad229.6 rad..ωωf = 18.8 rad/seg + 4 rad/segf = 18.8 rad/seg + 4 rad/seg22 x 7 seg x 7 segωωf = 18.8 rad/seg + 28 rad/seg = f = 18.8 rad/seg + 28 rad/seg = 46.8 46.8

rad/segrad/seg..

Relación entre el movimiento lineal Relación entre el movimiento lineal y el movimiento circular.y el movimiento circular.

Cuando un cuerpo se encentra girando, cada una de las partículas de mismo se mueve a lo largo de la circunferencia descrita por él con una velocidad lineal mayor a medida que aumenta el radio de la circunferencia. Esta velocidad lineal también recibe el nombre de tangencial, por la dirección del movimiento siempre es tangente a la circunferencia recorrida por la partícula y representa la velocidad que llevaría disparada tangencialmente como se verá a continuación.

La velocidad tangencial o lineal representa La velocidad tangencial o lineal representa la velocidad que llevará un cuerpo al salir la velocidad que llevará un cuerpo al salir disparado en forma tangencial a la disparado en forma tangencial a la circunferencia que describe.circunferencia que describe.

Para calcular el valor de la velocidad tangencial o lineal se usa la Para calcular el valor de la velocidad tangencial o lineal se usa la ecuación:ecuación:

VL= VL= 22rr TTDonde:Donde:r = radio de la circunferencia en metros (m).r = radio de la circunferencia en metros (m).T = periodo en segundos (s)T = periodo en segundos (s)VL = Velocidad lineal en m/sVL = Velocidad lineal en m/sComo ω=Como ω=22r r la velocidad lineal puede escribirse:la velocidad lineal puede escribirse: TTVL: ωrVL: ωrVL = Velocidad lineal en m/sVL = Velocidad lineal en m/sω=valor de la velocidad angular en rad/sω=valor de la velocidad angular en rad/sR = radio de la circunferencia en metos (m)R = radio de la circunferencia en metos (m)

ACELERACIÓN LINEAL Y RADIALACELERACIÓN LINEAL Y RADIAL

ACELERACIÓN LINEALACELERACIÓN LINEAL

Una partícula presenta esta Una partícula presenta esta aceleración cuando durante su aceleración cuando durante su movimiento circular cambia su velocidad movimiento circular cambia su velocidad lineal.lineal.

(VLf-VLo):(VLf-VLo):

aL=aL=VLf-VLoVLf-VLo..............1..............1

tt

Como VL= ωr............2Como VL= ωr............2

aL=aL=ωfr-ωorωfr-ωor==ωf-ωoωf-ωo r....3 r....3

t tt t

Sabemos que Sabemos que αα = =ωf-ωoωf-ωo..4..4

tt

Sustituyendo 4 en 3 nos queda:Sustituyendo 4 en 3 nos queda:

aL=αraL=αr

Donde:Donde:aL = valor de la aceleración lineal m/saL = valor de la aceleración lineal m/s22

αα= valor de la aceleración angular en rad/s= valor de la aceleración angular en rad/s22

R = radio de la circunferencia en metros (m)R = radio de la circunferencia en metros (m)ACELERACION RADIALACELERACION RADIAL

En un movimiento circular uniforme la magnitud de la En un movimiento circular uniforme la magnitud de la velocidad lineal permanece constante , pero su dirección cambia velocidad lineal permanece constante , pero su dirección cambia permanentemente en forma tangencial a la circunferencia. Dicho permanentemente en forma tangencial a la circunferencia. Dicho cambio en la dirección de la velocidad se debe a la existencia de cambio en la dirección de la velocidad se debe a la existencia de la llamada aceleración radial o centrípeta. Es radial porque actúa la llamada aceleración radial o centrípeta. Es radial porque actúa perpendicularmente a la velocidad lineal y centrípeta porque su perpendicularmente a la velocidad lineal y centrípeta porque su sentido es hacia el centro de giro o eje de rotación.sentido es hacia el centro de giro o eje de rotación.

Su expresión es:Su expresión es:

ar = ar = VLVL22

rrDonde Donde arar = Valor de la aceleración radial m/s = Valor de la aceleración radial m/s

VL = VL = Valor de la velocidad lineal del cuerpo en Valor de la velocidad lineal del cuerpo en m/sm/s

r= r= Radio de la circunferencia n metros (m)Radio de la circunferencia n metros (m)

Como VL= ωrComo VL= ωr

ar=(ar=(ωr)ωr)22 = = ωr ωr 22

r rr r

ar= ω ar= ω 22r r Donde:Donde:

ar :Valor de la aceleración radial en m/sar :Valor de la aceleración radial en m/s

ω =Valor de la velocidad angular en rad/sω =Valor de la velocidad angular en rad/s

r= Radio de la circunferencia en metros (m).r= Radio de la circunferencia en metros (m).

Como la aceleración lineal representa un Como la aceleración lineal representa un cambio en la velocidad lineal y la cambio en la velocidad lineal y la aceleración radial representa un cambio aceleración radial representa un cambio en la dirección de la velocidad, se puede en la dirección de la velocidad, se puede encontrar la resultante de las dos encontrar la resultante de las dos aceleraciones mediante la suma vectorial aceleraciones mediante la suma vectorial de ellas, como se ve en la figura siguiente. de ellas, como se ve en la figura siguiente.

aL

ara re

sulta

nte.

La resultante de la suma de la aceleración La resultante de la suma de la aceleración lineal y la aceleración radial lineal y la aceleración radial

________________es igual a: a resultante = es igual a: a resultante = √√ aL aL22+ar+ar22

RESOLUCIÓN DE PROBLEMASRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1.1.Calcular el valor de la velocidad lineal de una Calcular el valor de la velocidad lineal de una partícula cuyo radio de giro es de 25 cm y tiene partícula cuyo radio de giro es de 25 cm y tiene un periodo de 0.01 s. Dar el resultado en cm/s y un periodo de 0.01 s. Dar el resultado en cm/s y m/s.m/s.

Datos formulaDatos formula V L =? V L = V L =? V L = 2 2 ππrr r = 25 cm. Tr = 25 cm. T T = 0.01 seg.T = 0.01 seg. Sustitución y resultadoSustitución y resultado V L = V L = 2 x 3.1416 x 25cm2 x 3.1416 x 25cm = 15700 cm/s = 15700 cm/s 0.01 seg0.01 seg 157 m/s 157 m/s

2.2. Determinar el valor de la velocidad lineal de Determinar el valor de la velocidad lineal de una partícula que tiene una velocidad angular una partícula que tiene una velocidad angular de 30 rad/s y su radio de giro es 0.2 m.de 30 rad/s y su radio de giro es 0.2 m.

Datos FórmulaDatos FórmulaV L =? V L = V L =? V L = ωωrrωω= 30 rad/seg. = 30 rad/seg. r = 0.2mr = 0.2mSustitución y resultadoSustitución y resultadoV L = 30 rad/seg. x 0.2m= V L = 30 rad/seg. x 0.2m= 6 m/s6 m/s..

33. calcular el valor de la aceleración lineal de una . calcular el valor de la aceleración lineal de una partícula cuya aceleración angular es de 3 rad/segpartícula cuya aceleración angular es de 3 rad/seg2 2 y su y su radio de giro es de 0.4m.radio de giro es de 0.4m.

DatosDatos FórmulaFórmula

aL =? aL = aL =? aL = άά rrάά= 3 rad/seg= 3 rad/seg22. . r = 0.4mr = 0.4mSustitución y resultadoSustitución y resultadoaL = 3 rad/segaL = 3 rad/seg22 x 0.4 m= x 0.4 m= 1.2 m/seg1.2 m/seg2.2.

4.4. Encontrar el valor de la aceleración radial de Encontrar el valor de la aceleración radial de una partícula que tiene una velocidad angular una partícula que tiene una velocidad angular de 15 rad/seg y su radio de giro es de 0.2 m.de 15 rad/seg y su radio de giro es de 0.2 m.

Datos formulaDatos formulaar =? ar =? ar = ar = ωω22rrωω = 15 rad/seg. = 15 rad/seg. r = 0.2 mr = 0.2 mSustitución y resultadoSustitución y resultadoar=(15 rad/s)ar=(15 rad/s)22 x 0.2 m= x 0.2 m= 45 m/seg45 m/seg22..

5. Calcular los valores de la velocidad 5. Calcular los valores de la velocidad angular y lineal de una partícula que gira angular y lineal de una partícula que gira con un periodo de 0.2 s, si su radio d giro con un periodo de 0.2 s, si su radio d giro es de 0.3 m, determinar también los es de 0.3 m, determinar también los valores de su aceleración lineal y radial valores de su aceleración lineal y radial así como la resultante de estas dos así como la resultante de estas dos aceleraciones.aceleraciones.

DatosDatos FórmulasFórmulas SustituciónSustituciónωω= = 2 2 ππ ωω= = 2 x 3.14= 2 x 3.14= 31.4 rad/seg31.4 rad/seg

TT 0.2 seg0.2 seg

VL= VL= ωωrr VL=31.4 rad/s x 0.3m VL=31.4 rad/s x 0.3m T=0.2 segT=0.2 seg aL=aL=ααrr VL= VL= 9.42 m/seg.9.42 m/seg. R=0.3 mR=0.3 m αα= = ωω αα==31.4 rad/seg= 31.4 rad/seg= ωω= ?= ? T T 0.2 seg 0.2 seg VL=?VL=? ar= ar= ωω22rr αα= = 157 rad/seg157 rad/seg22.. aL=?aL=? aR=√aLaR=√aL22+ar+ar22 aL=157 rad/seg2x aL=157 rad/seg2x ar=?ar=? 0.3 m0.3 m aR=?aR=? aL= aL= 47.1 m/seg47.1 m/seg2.2.

ar=ar=(31.4 rad/seg)(31.4 rad/seg)22 x 0.3 m = 295.78 x 0.3 m = 295.78 m/segm/seg22..

______________________________________________________aR=√(47.1 m/segaR=√(47.1 m/seg22))22 + (295.78 m/seg + (295.78 m/seg22))22..

aR= aR= 299.5 m/seg299.5 m/seg22..