Máquinas y Mecanismos - unican.es 11... · aceleraciones de valor →∞(choques, desgaste, ruido,...

11. Levas (II)

Máquinas y Mecanismos

Alfonso Fernández del RincónPablo García Fernández

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL Y MECÁNICA

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Epígrafes del tema

11.1 Síntesis de levas.

11.2 Diagramas de desplazamiento. Características generales.

11.3 Diagramas lineales, armónicos, cicloidales y otros.

11.4 Comparación de los distintos diagramas.

11.5 Síntesis dimensional.

11.6 Análisis de levas. Parámetros de diseño.

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Epígrafes del tema

11.1 Síntesis de levas

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Los movimientos generados mediante sistemas leva-seguidor se emplean en numerosas aplicaciones. En general, el diseñador se encontrará con especificaciones concretas en determinados puntos aunque en ocasiones también puede encontrarse con otro tipo de exigencias que deberán verificarse durante tramos concretos del recorrido.El proceso de diseño consta de diversas etapas:

Síntesis de tipoObtención de los

diagramas de desplazamiento

Síntesis dimensional Análisis de la leva


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Se deben seleccionar el tipo de movimiento y la forma de la leva y seguidor.Consideraciones básicas:- Geométricas:

- Tipo de salida que se desea (rotación/traslación).- Distancia entre ejes de salida de leva y seguidor.- Espacio disponible.

- Dinámicas:- Velocidad angular de la leva.- Cargas transmitidas.- Masas en movimiento.

- Ambientales:- Condiciones ambientales de operación.- Exigencias de operación (ruido, limpieza).

- Económicas:- Coste de fabricación.- Coste de mantenimiento.

- Simplicidad: Siempre es un factor determinante en la selección.





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Una vez seleccionado el tipo de leva y seguidor, el siguiente paso es definir el movimiento del seguidor.Se pueden dar distintas situaciones:- Especificaciones puntuales: Situar el seguidor en una serie de posiciones.

- El diseñador debe definir la forma de la curva que enlaza los distintos puntos.- Dado que el sistema leva-seguidor es un sistema mecánico, se debe resaltar la importancia de las condiciones

dinámicas de operación.- Es preciso considerar que, además de la función de desplazamiento, hay que considerar sus derivadas:

velocidad, aceleración (esfuerzos) e incluso la sobreaceleración (impactos o vibraciones).- Especificaciones continuas: Seguir una función especificada.

- El diseñador debe verificar la idoneidad de la función objetivo. - Se propondrán modificaciones cuando sea necesario (aproximaciones).





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Una vez definido el diagrama de desplazamiento, se deben definir las dimensiones exactas del perfil de la leva.No se trata simplemente de generar el perfil de la leva directamente (sólo es posible en el caso de seguidor puntual con traslación)Pueden existir interferencias de porciones del seguidor (rodillo o pie plano) adyacentes a la zona de contacto con porciones adyacentes de la superficie de la leva.Posibilidades:- Síntesis gráfica.- Síntesis analítica.





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Una vez definido el perfil de la leva se debe verificar una serie de aspectos que pueden condicionar su validez:- Ángulos de presión inaceptables.- Incapacidad del seguidor para “seguir” el perfil de la leva debido a condiciones locales de curvatura.- Resorte de retorno excesivamente grande.- Dimensiones del conjunto excesivas.El diseñador debe actuar sobre ciertos parámetros:- Diámetro del círculo base.- Excentricidad (para seguidores de traslación).- Posiciones de la articulación del seguidor (para seguidores oscilantes).- Longitud del brazo del seguidor.- Radio del rodillo del seguidor.En ciertos casos no es suficiente la modificación de los parámetros anteriores, siendo necesario recurrir incluso a la modificación del diagrama de desplazamientos o a la selección de otro tipo de conjunto leva-seguidor.




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11.2 Diagramas de desplazamiento. Características generales

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El diseñador debe prescribir un perfil del desplazamiento del seguidor.

Diagrama de desplazamientos: Proporciona la relación que debe existir entre la posición del seguidor (deslizamiento o

giro) y el ángulo girado o el desplazamiento de la leva.

En general, la leva gira con una ω = cte. De esta forma, el diagrama de desplazamiento también proporciona la posición

del seguidor en función del tiempo mediante un simple cambio de escala.

Raramente el diagrama de desplazamientos se encuentra definido directamente mediante una función concreta. Lo

habitual es encontrarse con la exigencia de situar el seguidor en una serie de posiciones extremas (CEP).

El diseñador deberá definir la función más adecuada para enlazar estas posiciones.

Ejemplo: Se desea abrir una válvula durante un determinado periodo de tiempo, debiendo alcanzar una altura h.

Además del diagrama de desplazamientos, el diseñador deberá considerar sus derivadas: velocidades, aceleraciones y

sobreaceleraciones.

En general:

- Se especifican las posiciones extremas.

- Se divide el diagrama de desplazamientos en varios periodos: R-A-R; R-D-A…

- Se emplean expresiones analíticas diferentes para cada periodo que verifiquen las condiciones de contorno

impuestas.

- Se analizan las condiciones de continuidad entre distintos intervalos.

11.2 Diagramas de desplazamiento. Características generales

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Ejemplo: Diseñar una leva con las siguientes especificaciones, para una leva de rotación:- Retención en 0 cm durante 90o.- Ascenso a 1 cm durante 90o.- Retención en 1 cm durante 90o.- Descenso a 0 cm durante 90o.

La forma más sencilla de abordar el problema sería considerar que el desplazamiento entre puntos sigue una línea recta, pero este tipo de solución presenta grandes inconvenientes:- Los escalones en el diagrama de velocidad implican

aceleraciones de valor → ∞ (choques, desgaste, ruido, rotura por fatiga…).

- Estos esfuerzos son indeseables porque causan un rápido deterioro.

Esta solución es de aplicación exclusiva para bajas velocidades de funcionamiento.Conclusión: las discontinuidades en los diagramas deben evitarse. Además, los valores máximos de aceleración y sobreaceleración deberán ser reducidos para minimizar los esfuerzos actuantes así como la variación temporal.

0 90 180 270 3600

hDesplazamiento

0 90 180 270 360

Velocidad

0 90 180 270 360

Aceleración¥

¥ ¥

¥

0 90 180 270 360

Sobreaceleración

Se analizan a continuación distintas alternativas para obtener un programa R-A-R.

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11.3 Diagramas lineales, armónicos, cicloidales y otros

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Diagrama lineal (Velocidad constante): Esta solución ya ha sido analizada en el apartado anterior donde se estableció su aplicación únicamente en el caso de funcionamiento para bajas velocidades

Interesa conseguir una elevación h a lo largo de β grados de giro de la leva.

La velocidad será la derivada del desplazamiento respecto al tiempo:

! = #$#% =

#$#&

#&#% =

#$#&'

Se supone la ' = cte. Desde el punto de vista de la definición de la geometría del contorno de la leva, es suficiente considerad ' = 1.

Como el desplazamiento es lineal:

$ = ℎ) &

! = ℎ)

* = 0, = 0

Dado que no interesa la existencia de discontinuidades, parece apropiado el empleo de funciones que pueda ser derivadas al menos hasta aceleraciones.

0 b0

hDesplazamiento

0 b

Velocidad

0 b

Aceleración¥¥

0 b

Sobreaceleración¥¥


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Diagrama armónico: Si se emplea una función armónica en el diagrama de desplazamientos, es posible asegurar la existencia de derivadas hasta el orden de la sobreaceleraciónInteresa conseguir una elevación h a lo largo de β grados de giro de la leva.

0 b0

hDesplazamiento

0 b

Velocidad

0 b

Aceleración

0 b

Sobreaceleración

¥¥

Las funciones son:

! = ℎ2 1 − cos *+

,- = ℎ+

2,. sin*+,

1 = ℎ+22,2 .

2 cos *+,

3 = −ℎ+4

2,4 .4 sin *+

,En este diseño continúan apareciendo cambios bruscos en la aceleración.Tiene una extensa aplicación en baja velocidad porque es fácil de fabricar.


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Diagrama cicloidal: Como se ha visto en los casos anteriores, el proceso de diseño no es el más eficaz. En este caso se va a comenzar imponiendo a forma de la aceleración, para que sea nula en los extremos del intervalo.

Se comienza por la aceleración, calculando la constante !:

" = ! sin 2()*

Integrando:

+ ,-.,)- = + ,/

,) = / = +! sin 2()* = −! *

2( cos2()* + 45

La condición de contorno es ) = 0 → / = 0 ⇒ 45 = ! 9-:

Integrando de nuevo

. = +−! *2( cos

2()* + ! *

2(

= !*2( − *

2( sin2()* + ) + 4-

Las condiciones son ) = 0 → . = 0 ⇒ 4- = 0) = * → . = ℎ ⇒ C = 2(ℎ

*-

0 b

hDesplazamiento

0 b

Velocidad

0 b

Aceleración

0 b

Sobreaceleración


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Diagrama cicloidal: Sustituyendo, se pueden obtener los perfiles de desplazamiento, velocidad y aceleración.

! = ℎ $% −

12) sin

2)$%

- = ℎ% 1 − cos 2)$

% 0

1 = 2)ℎ%2 sin 2)$

% 02

3 = 4)2ℎ%5 cos 2)$

% 05

Mediante esta solución se puede obtener una curva de sobreaceleración de magnitud finita. Como inconveniente, se obtienen valores de aceleración excesivos, lo que da lugar a grandes esfuerzos.En principio éste es el perfil más adecuado de todos los vistos hasta ahora.Para otro tipo de programa distinto del RAR, o para reducir el valor de la aceleración se necesitan perfiles más complejos.

0 b

hDesplazamiento

0 b

Velocidad

0 b

Aceleración

0 b

Sobreaceleración


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Diagrama polinomial: Es una solución a medida. La ecuación que expresa el desplazamiento en su forma general es:

! = #$ + #&'( + #)

'(

)+ ⋯+ #+

'(

+

El grado del polinomio a utilizar vendrá determinado en función del número de condiciones de contorno que de deseen conseguir en los diagramas de desplazamiento, velocidad, aceleración y sobreaceleración.Por cada condición de contorno, 1 ecuación. Se tendrán m ecuaciones y m incógnitas, siendo m-1 el grado del polinomio.Polinomio 3-4-5: Se imponen condiciones en desplazamiento, velocidad y aceleración. Las condiciones de contorno son:- Para ' = 0 → ! = 0; / = 0; 0 = 0- Para ' = ( → ! = ℎ; / = 0; 0 = 0Entonces, como son 6 condiciones de contorno, el polinomio será de grado 5 para el desplazamiento:

! = #$ + #&'( + #)

'(

)+ #2

'(

2+ #3

'(

3+ #4

'(

4

/ = 1( #& + 2#)

'( + 3#2

'(

)+ 4#3

'(

2+ 5#4

'(

3

0 = 1() 2#) + 6#2

'( + 12#3

'(

)+ 20#4

'(

2


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Diagrama polinomial 3-4-5: Se calculan las 6 constantes con las condiciones de contorno.

Para ! = 0 → % = 0; ' = 0; ( = 0, luego )* = )+ = ), = 0Para ! = - →

% = ℎ = )/ + )1 + )2' = 0 = 2)/ + 3)1 + 5)2( = 0 = 6)/ + 12)1 + 20)2

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene el desplazamiento:

% = ℎ 10 !-

/− 15 !

-1+ 6 !

-2

La velocidad y la aceleración:

' = ℎ- 30 !

-,− 60 !

-/+ 30 !

-19

( = ℎ-, 60 !

- − 180 !-

,+ 120 !

-/9,

; = ℎ-/ 60 − 360 !

- + 360 !-

,9/

0 b0

hDesplazamiento

0 b

Velocidad

0 b

Aceleración

0 b

Sobreaceleración


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Para ! = 0 → % = 0; ' = 0; ( = 0; ) = 0, Para ! = * → % = ℎ; ' = 0; ( = 0; ) = 0

Tiene una sobreaceleración continua, pero el resto de valores son mayores que para el polinomio 3-4-5.

% = ℎ 35 !*

.− 84 !

*2+ 70 !

*5− 20 !

*7

' = ℎ* 140 !

*9− 420 !

*.+ 420 !

*2− 140 !

*5:

( = ℎ*; 420 !

*;− 1680 !

*9+ 2100 !

*.− 840 !

*2:;

) = ℎ*9 840 !

* − 5040 !*

;+ 8400 !

*9− 4200 !

*.:9

Diagrama polinomial 4-5-6-7: Se calculan las 8 constantes con las condiciones de contorno.

0 b0

hDesplazamiento

0 b

Velocidad

0 b

Aceleración

0 b

Sobreaceleración

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11.4 Comparación de los distintos diagramas

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A continuación se muestra una comparativa de los valores extremos para los distintos diagramas estudiados, haciendo ! = # y ℎ = 1 &&.

Velocidad Aceleración Sobreaceleración

D. Lineal 1 &&/( +∞÷ −∞ ±∞÷±∞

D. Armónico.2 &&/( +.

0

2 ÷ −.0

2 +∞ → −.2

2 − ∞

D. Cicloidal 2 &&/( 0 → 2. → 0 → −2. →0 4.0 → −4.0 → 4.0

D. Polin. 3-4-5 1,875 0 → 5,8 → 0 → −5,8 →0 60 → 0 → −30 → 0 → 60D. Polin. 4-5-6-7 2,19 0 → 7,51 → 0 → −7,51 →0 0 → 42 → 0 → −42 →0→ 42 → 0

11.4 Comparación de los distintos diagramas

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A continuación se muestra una comparativa de los distintos diagramas estudiados, haciendo ! = # y ℎ = 1 &&.

0 b

Lineal

¬ Cicloidal

¬ Armónico

¬ pol 345

¬ pol 4567

Velocidad

0 b

Lineal

¬ Cicloidal

¬ Armónico

¬ pol 345

¬ pol 4567

Sobreaceleración

0 b

Lineal

¬ Cicloidal

¬ Armónico

¬ pol 345

¬ pol 4567

Aceleración

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11.5 Síntesis dimensional

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Una vez definido el diagrama de desplazamiento, es necesario definir las dimensiones para su construcción.Dos posibilidades:

- Síntesis gráfica: en general se invierte el movimiento. Se supone que la leva permanece inmóvil y que el seguidor describe un movimiento contrario al de la leva. Así no se altera el movimiento relativo leva-seguidor.

- Síntesis analítica: Necesidad de precisión, ya que se definen las coordenadas de los puntos sobre la superficie de la leva.

Los datos necesarios para llevar a cabo el dimensionado son:- Diagrama de desplazamientos.- Tipo de leva.

Los parámetros a definir por el diseñador para posteriormente dimensionar el perfil son:- Circunferencia base (seguidor puntual o de pie plano).- Circunferencia primitiva (seguidor de rodillo).

La selección del radio de estas circunferencias afectará a diversos aspectos de interés, que es preciso analizar para determinar el comportamiento de la leva:

- Tamaño de la leva.- Ángulo de presión.- Radio de curvatura.

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11.6 Análisis de levas. Parámetros de diseño

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El dimensionado de la leva está condicionado por:- El radio de la circunferencia base (seguidor

puntual o de pie plano).- El radio de la circunferencia primitiva (seguidor

de rodillo).La elección de estos radios va a condicionar:- la magnitud del ángulo de presión, - el radio de curvatura y - el momento sobre el seguidor.

A continuación se van a estudiar los parámetros necesarios para definir las levas con:- Seguidor de rodillo.- Seguidor plano.

a

Ángulo de presión

ûë circunferencia primitivaPunto primitivo

Seguidor -3

Leva -2- Curva de leva

Curva primitiva

Circunferencia baseCircunferencia principal

Circunferencia primitiva (pasa por punto primitivo)

ûë curva primitiva

11.6 Análisis de levas. Parámetros de diseño para seguidor de rodillo

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Seguidor de rodillo: Para dimensionar una leva con este tipo de seguidor, es preciso definir:- El radio del círculo principal.- El radio del rodillo.- La excentricidad.

a

Ángulo de presión

ûë circunferencia primitivaPunto primitivo

Seguidor -3


Curva primitiva

Circunferencia baseCircunferencia principal

Circunferencia primitiva (pasa por punto primitivo)

ûë curva primitiva

Una elección incorrecta de estos parámetros puede conducir a:- Problema 1: Un ángulo de presión inadecuado.- Problema 2: Un radio de curvatura inadecuado.Ángulo de presión: Ángulo que forman la dirección del movimiento del seguidor y la línea de acción de la fuerza entre leva y seguidor. Cuanto mayor sea el ángulo de presión, mayores serán los esfuerzos de flexión sobre la guía del seguidor, lo que produce vibraciones y atascamiento. En el límite, para un ángulo de 90o, no existe movimiento del seguidor.Su valor se limita:- Para seguidores de traslación: entre 0o y 30o para evitar

cargas laterales excesivas.- Para seguidores oscilantes: hasta 35o.

Punto de traza: curva primitiva-circunferencia principal


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Se puede obtener una expresión que relaciona el ángulo de presión con la excentricidad y el radio del círculo principal.

CIR: ⇒ "#$% → ∞#(% ≡ *

Teorema de Aronhold-Kennedy: +#$( ∈ - #(%, #$%#$( ∈⊥ 0 ⇒ #$( ≡ B

Por lo tanto, por ser B el polo del movimiento relativo:23$/% = 23(/%

623$/% =7870

23(/% = 9(%b⇒ 7870 =

787;

7;70 =

7;70 b ⇒ b = 78

7;

La distancia b es numéricamente igual a la velocidad del seguidor (en unidades de longitud por radián).

< = 8 + 7 tanAB + < = C ⇒ B + 8 + 7 tanA = 78

7; →

→ 7 = DE( − B( → A = atan 8̇ − B8 + DE( − B(

Problema 1: Un ángulo de presión inadecuado


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Conociendo el diagrama de desplazamientos y sus derivadas se pueden seleccionar distintos valores para la excentricidad ! y el radio de la circunferencia primitiva "#, de forma que el ángulo de presión $ se encuentre entre los límites exigidos.Inicialmente se toma ! = 0 y se proponen distintos valores de "# para que el ángulo de presión $ sea aceptable.

Influencia de "# sobre $: Si ! = 0 → $ = atan ,̇

,- ./0, por lo que a mayor "#, menor $. Esto puede tener como

consecuencia que un ángulo de presión aceptable conlleve un valor del radio demasiado elevado y por lo tanto una leva de gran tamaño.Influencia de ! sobre $: Para reducir el tamaño de "# es posible introducir una excentricidad !, de modo que el ángulo de presión sea aceptable. No es aplicable a levas con perfiles simétricos.Sí es aplicable en levas con perfiles asimétricos, en los que existan diferencias significativas entre los ángulos de presión máximos en el ascenso y en el descenso.Si mediante "# y ! no es posible conseguir un ángulo de presión aceptable, será preciso modificar el diseño.

Problema 1: Un ángulo de presión inadecuado


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Pueden darse dos situaciones:

Problema 2: Un radio de curvatura inadecuado

Radio de curvatura negativo: El radio de curvatura del rodillo !" es mayor que el radio de curvatura del perfil cuando éste es cóncavo.

Rebaje o socavamiento: El radio de curvatura del perfil es más pequeño que el radio del rodillo, apareciendo lo que se denomina rebaje.


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Rebaje o socavamiento: El radio de curvatura del perfil es más pequeño que el radio del rodillo, apareciendo lo que se denomina rebaje.

Cuando !"#$%&&# = ()%* la herramienta de corte genera una cúspide. Este elemento evidentemente no tendrá un buen comportamiento a alta velocidad.Cuando !"#$%&&# < ()%* la herramienta de corte rebaja el perfil, creando otra cúspide. En este caso la leva ya no poseerá el perfil diseñado.Para resolver este problema se debe incrementar el !,-%)%.%/# o reducir el !"#$%&&#.En general, para evitar este problema, como regla práctica se mantiene el valor absoluto del radio de curvatura mínimo de la curva de paso de la leva en 2 ò 3 veces mayor que el radio del rodillo.

11.6 Análisis de levas. Parámetros de diseño para seguidor plano

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Seguidor plano: Para dimensionar una leva con este tipo de seguidor, es preciso definir:- El radio del círculo base.- La excentricidad del vástago del seguidor.- La anchura mínima de la cara del seguidor.Estos parámetros pueden generar los siguientes problemas:- Problema 1: Momento sobre el seguidor.- Problema 2: Radio de curvatura inadecuado

Seguidor -3


Circunferencia base

Punto de traza: curva primitiva-circunferencia principal

Problema 1: Momento sobre el seguidorEl punto de contacto entre la leva y seguidor se desplaza a lo largo de la superficie de este último. En este caso el ángulo de presión ! siempre es cero. No obstante, a pesar de esta ventaja, el empleo de un seguidor de este tipo implica la aparición de un momento. Es conveniente limitar la magnitud de este momento para evitar un esfuerzo excesivo.Si se reduce el tamaño de la leva (radio base), también disminuirá la magnitud de este momento, pues el desplazamiento del punto de contacto leva-seguidor se verá reducido.


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Pueden darse dos situaciones:

Radio de curvatura negativo: Es evidente que con un seguidor plano, la leva no podrá presentar tramos cóncavos.

Rebaje o socavamiento: Como en el caso del seguidor de rodillo, se produce cuando el perfil de la leva posee un punto doble debido a un radio base demasiado pequeño.


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Anchura mínima de cara del seguidor: Para calcularla, se plantea la posición del punto de contacto leva-seguidor mediante dos ecuaciones vectoriales.

!"# = "% + ' + ( 1"# = * + +# 2

En donde :"%es el radio base' el desplazamiento del seguidor.( la posición del punto de contacto.* la posición del centro de curvatura del perfil de la leva en el instante considerado.+# el radio de curvatura del perfil.Proyectando sobre los ejes X e Y:

1 → ! .#/ = 0.#1 = .% + 2

2 → 3 .#/ = 4 cos 8 + 9.#1 = 4 sin 8 + 9 + <

⇒ 0 = 4 cos 8 + 9.% + 2 = 4 sin 8 + 9 + <


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Anchura mínima de cara del seguidor: Para calcularla, se plantea la posición del punto de contacto leva-seguidor mediante dos ecuaciones vectoriales. Como el centro de curvatura de la leva !" es estacionario sobre la

superficie de la leva y por tanto, #, $ y % no varían para pequeñas rotaciones de la leva:

&'&( =

&$&( =

&%&( = 0

Derivando las ecuaciones + = ' cos $ + (01 + 2 = ' sin $ + ( + % se obtiene:

5&+ = −' sin $ + ( &(&2 = ' cos $ + ( &( ⇒

&+&( = −' sin $ + (&2&( = ' cos $ + ( = +

Por lo tanto:&2&( = 2̇ = +

Es decir, que la posición del punto de contacto entre leva y seguidor que está definida por + coincide numéricamente con la magnitud 2̇, por lo que el diagrama de velocidades proporciona directamente el ancho de cara del seguidor:

9:'ℎ< &= '909 ≥ 2̇?@A − 2̇?BC

EJERCICIO

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Se pretende diseñar una leva de rotación con seguidor de rodillo cuyo movimiento se divide en cinco tramos, AB, BC, CD, DE yEA. Se conocen algunas características de esos tramos y se deben determinar las restantes, de forma que al final quedentodas ellas indicadas en el cuadro que aparece a continuación. Los únicos tipos de perfiles que se permite emplear son de lostipos que se adjuntan.Tramo AB. El seguidor debe ascender 0.4 cm y llegar al final del tramo con una velocidad de 0.02 cm/grado y aceleraciónnula.Tramo BC. Debe continuar el ascenso del seguidor otros 0.4 cm. Se exige que este movimiento sea del tipo armónico H-2.Tramo CD. Es donde se tiene que iniciar el descenso del seguidor, bajando a 0.4 cm. La aceleración al final del tramo tieneque ser nula.Tramo DE. Se requiere un nuevo descenso del seguidor de 0.4 cm.Tramo EA. En este tramo se debe producir el detenimiento del seguidor hasta completar ciclo.

A B C D E As [cm] 0 0,4 0,8 0,4 0 0v [cm/grado] 0 0,02 0a [cm/grado2] 0 0 0 0b [grados]Tipo perfil H2

EJERCICIO

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