MRUV_Teor

7/15/2019 MRUV_Teor

http://slidepdf.com/reader/full/mruvteor 1/7

MOVIMIENTO RECTILÍNEO VARIADO (M.R.V.)

En la mayoría de los desplazamientos los móviles experimentan variaciones en su velocidad. Así, por ejemplo, un automóvil puede marchar a 100km/h en un tramo, luego tiene que disminuir a 60 km/h por inconvenientes en el tránsito, después acelera nuevamente y así se producen constantes cambios enla rapidez de su desplazamiento.

Se puede definir al (M.R.V) como:

Cuando un micro de pasajeros se dirige de Buenos Aires a Bariloche recorre unos 1621 km en unas25 hs. Su movimiento es variado: al partir, la velocidad va creciendo, hay momentos en que llega a los100 km/h, luego decrece porque se acerca a una curva o se interpone un camión, etc.No podemos hablar de una velocidad constante porque ella cambia continuamente, pero sí se puedecalcular un promedio de la velocidad del ómnibus, porque se conoce la distancia recorrida y el tiempotranscurrido entre la salida y la llegada. A dicho promedio se lo denomina velocidad media y es igual

al cociente entre el espacio recorrido (∆s) y el tiempo empleado en recorrerlo (∆t) :

Vm =t

s

∆

∆

En el ejemplo que estamos considerando:

Vm =h

km

25

1621= 64,84

h

km

La fórmula utilizada para la velocidad media es la misma que se utiliza en el movimiento

uniforme. Por lo tanto, se puede deducir que si el ómnibus hubiese circulado con movimiento rectilíneouniforme a 64,84 km/h también demorara 25 horas para llegar a Bariloche.

Generalizando :

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

La aceleración de un movimiento puede cambiar con el tiempo. Es el caso de una moto que arrancadespués de haber estado detenida en un semáforo; al principio su velocidad cambia (hayaceleración) ;Pero cuando llega a cierta velocidad y la mantiene constante, la aceleración se anula. El movimientoen el que la aceleración tiene el mismo valor todo el tiempo, es decir aquel en el que la aceleración esconstante, se conoce como movimiento uniformemente variado (MRUV) . La razón de ese nombrees que si la aceleración es constante, la velocidad cambia siempre en el mismo valor para igualesintervalos de tiempo.

Entre los movimientos variados hay algunos que presentan regularidades que facilitan su estudio. Así, cuando un esquiador se desliza por una pendiente, su velocidad aumenta gradualmente, siendocada vez mayor a medida que transcurre el tiempo.

Un efecto similar se logra si se deja rodar libremente una pequeña esfera de madera por un planoinclinado.

Para comprender mejor este tipo de movimiento, analizaremos el siguiente esquema, donde sedescribe el desplazamiento de una esfera en un plano inclinado y en él se consignan los resultadosobtenidos

Aquel cuya velocidad experimenta modificaciones(es decir, que no es constante)

La Velocidad Media de un Móvil, en un cierto intervalo de tiempo,

Coincide con la velocidad del movimiento uniforme que dicho móvil

debería tener para recorrer el mismo espacio en igual tiempo.

7/15/2019 MRUV_Teor


Con los datos de este esquema, podemos construir la siguiente tabla :

TIEMPO (s) ESPACIO (cm) VELOCIDADMEDIA (cm/s)

VARIACION DELA VELOCIDAD(cm/s)

0 0 0 -

1 2 2 2

2 8 4 23 18 6 24 32 8 2

5 50 10 26 72 12 2

En base a los datos obtenidos, podemos deducir que se trata de un movimiento uniformementevariadoporque en tiempos iguales aumenta su velocidad en valores iguales .

Todo movimiento que presenta esta característica se lo denomina uniformemente acelerado

Ahora consideremos este otro caso:Al ingresar un tren e una estación, se han registrado los siguientes datos:

HORA ∆t (s) VELOCIDAD (m/s) ∆v (m/s)

10 h 15 min 00 s - 15 -

10 h 15 min 05 s 5 12 3

10 h 15 min 10 s 5 9 310 h 15 min 15 s 5 6 3

10 h 15 min 20 s 5 3 310 h 15 min 25 s 5 0 3

En base a los datos obtenidos, podemos deducir que se trata de un movimiento uniformementevariado, porque en tiempos iguales disminuye su velocidad en valores iguales.

Todo movimiento en que la velocidad disminuye en valores iguales cuando se consideran tiemposiguales, se denomina uniformemente retardado.

ACELERACION EN EL M.R.U.V.

Cómo definimos aceleraciónEn un movimiento uniformemente variado, la proporcionalidad que existe entre las variaciones de la

velocidad y los tiempos en que se producen, permite identificar una constante entre los movimientosuniformemente variados, llamada aceleración.

Podemos modificar el estado de movimiento de un cuerpo cambiando su rapidez, su dirección demovimiento o ambas cosas. Cualquiera de estos cambios constituye un cambio de velocidad. Enocasiones nos interesa saber qué tan de prisa cambia la velocidad. Un conductor que quiere adelantar a otro auto en una carretera de dos carriles, desearía ser capaz de aumentar su rapidez y adelantarloen el menor tiempo posible. La razón de cambio de la velocidad se conoce como aceleración. Puestoque la aceleración es una razón de cambio, es una medida de cómo cambia la velocidad respecto deltiempo.

Aceleración =tiempodeervaloint

velocidaddecambio

−−

−−

7/15/2019 MRUV_Teor


Todos conocen bien los efectos de la aceleración en un automóvil. Si el conductor oprime el pedal que,se llama acelerador, los pasajeros experimentan una aceleración y sienten una presión que los empujahacia los asientos. La definición de aceleración es el cambio. Siempre que cambiamos el estado delmovimiento estamos acelerando.

Un auto con una buena aceleración es capaz de cambiar su velocidad rápidamente. Un vehículo quepuede pasar de 0 a 60 km/h en 5 segundos tiene una aceleración mayor que otro auto que pasa de 0a 80 km/h en 10 segundos. Así, tener buena aceleración significa ser capaz de cambiar de velocidad

en un tiempo corto y no se refiere a qué tan rápido se mueva un objeto.En Física el termino aceleración se aplica tanto a los aumentos como a la disminuciones de rapidez.Los frenos de un auto pueden producir grandes aceleraciones retardantes, es decir, pueden producir desaceleración o aceleración negativa.

• Consideremos el siguiente caso:Un automóvil parte y su velocidad va registrando los siguientes valores: en 1 segundo,4 m/s; en 2 segundos, 8 m/s ; en 3 segundos, 12 m/s; en 4 segundos, 16 m/s en 5 segundos, 20m/s.

Al efectuar el cociente entre las variaciones de velocidad (∆v) y los tiempos que ocurre (∆t) seobtienen los siguientes resultados :

tv∆∆ =

=s

s

m

1

4 =

s

s

m

2

8 =

s

s

m

3

12=

s

s

m

4

16=

s

s

m

5

20 4=

s

s

m

42

sm = constante

Este resultado indica que la velocidad varia en 4m/s por cada segundo que transcurre.

• De acuerdo con esta definición, resulta la siguiente fórmula de la aceleración

a = aceleraciónv∆ = variación de la velocidadt∆ = variación del tiempo

Si el movimiento es uniformemente retardado, ¿cuál debería ser el signo de la aceleración?

Para analizar este caso resolveremos el siguiente problema:

Calculá la aceleración de un automóvil que va deteniendo su marcha con M.R.U.V.,

Sabiendo que en un cierto instante su velocidad es de 20 m/s (v 0 ) y 15 segundos después (t)

disminuye a 5m/s (v f ) .

t

va

∆

∆= = =

−

t

V V f 0

=

−

s

s

m

s

m

15

205

s

s

m

15

15−= -1

2 s

m

Podemos observar que el resultado tiene un signo negativo y esto sucede porque en un movimientouniformemente retardado, la velocidad disminuye a medida que pasa el tiempo.

VELOCIDAD EN EL M.R.U.V

Consideraremos tres casos para estudiar este movimiento.

Caso 1:Un móvil que desde el reposo parte con M.R.U.A. (consideramos velocidad inicial igual a cero)Caso 2: Un móvil que se encuentra en movimiento y adquiere un M.R.U.RCaso 3: Un móvil que se encuentra en movimiento y adquiere un M.R.U.A.

Caso 1Un automóvil que, luego de detenerse totalmente sale con una aceleración (a) de 2 m/s 2 .¿Cuál

es su velocidad (V f ) al cabo de 5 segundos (t)?:

ACELERACIÓN (a) es el cociente entre la variación de la velocidad (∆v) y

el tiempo (∆t) en que ocurre dicha variación.

t

va

∆

∆

=

Cuando la aceleración es positiva el movimiento se denomina

uniformemente acelerado y cuando es negativa, uniformemente

retardado.

7/15/2019 MRUV_Teor


• Recordemos que :

∆v = a. ∆t

• Pero ∆V = V f -V 0 . Si el automóvil parte de una posición del reposo, la velocidad inicial (V 0

= o).

• Por lo tanto

∆V = V f

• Teniendo presente que ∆t = t - t 0 pero t 0 = 0 luego: ∆t = tResulta así que:

V f = a.t

• Si reemplazamos por los valores nos queda así:

V f = 22

s

m. 5 s = 10

s

m

Esto significa que al cabo de 5 segundos la velocidad será de 10 m/s.

Representación gráfica

• En el gráfico siguiente observamos un triángulo rectángulo ABC y el ángulo α que seforma con el eje de los tiempos.

• Sabemos que:

tg α = AB

BC (tg α = tangente del ángulo alfa).

Pero BC = ∆V y AB = ∆t.

• Luego :

tgα =t

v

∆

∆= a ( aceleración)

La aceleración queda representada por la tangente del ángulo que forma la recta en relación al eje de

los tiempos.

Caso 2Un tren que se mueve con M.R.U.V, en un momento su marcha es de 20 m/s (V 0 ) y 10

segundos (t) después a 3 m/s (v 0 f ). ¿Cuál es su aceleración (a)?

a =t

v

∆

∆ ∆v = V f - V 0 = 3

s

m- 20

s

m= -17

s

m

a =

2

7,110

17

s

m

s

s

m

−=

−

7/15/2019 MRUV_Teor


La aceleración es de –1,7 m/s 2

Representación gráficaLa velocidad en función del tiempo del M.R.U.R. que estamos considerando, puede representarse

así:

Caso 3

Una motocicleta que se desplaza con una velocidad (V 0 ) de 10 m/s entra en una pendiente yadquiere una aceleración (a) de 1,5m/s 2 . ¿Cuál es su velocidad (V f ) al cabo de 10 segundos(t)?

• Sabemos que:

∆V = a. ∆t

pero ∆V = V f -V 0 y ∆t = t - t 0

ahora como t 0 = o es ∆t = t

• Si reemplazamos ∆V en la primera ecuación obtenemos

V f -V 0 = a. T de donde V f = V 0 + a . t

• Ahora reemplazamos los datos del problema en la ecuación nos queda:

V f = 10 s

m+1,5

2 s

m.10 s = 10

s

m+ 15

s

m= V f = 25

s

m

Representación gráficaLa velocidad del M.R.U.A. se representa en función del tiempo de la siguiente forma:

ECUACIÓN HORARIA

Si tenemos presente que el espacio recorrido por un móvil depende del tiempo de marcha, trataremosde descubrir la ecuación que relacione estas dos magnitudes.

s = V m .∆t

pero V m =2

0 f V V +

V f = a. ∆t

Considerando V 0 =0

7/15/2019 MRUV_Teor


s= .2

f V .∆t s =

2

.dt a.∆t

s= .2

1a (.∆t) 2

cuando V O ≠

0:

0V . .∆t = s con M.R.U.

s= 0V ..∆t +

2

1a . (.∆t) 2 donde

2

1a.( ∆t) 2 = s con M.U.V.

Si además existe espacio inicial (s0):

S= s0 + V0 .∆t + 2

1

a . (∆t)2

A esta ecuación se la conoce con el nombre de ecuación horaria delmovimiento uniformemente variado.

DEBEMOS CONSIDERAR QUE NO HEMOS CONSIDERADO HASTA AQUÍ LA SITUACIÓN EN LACUAL LAS ECUACIONES DEBIERAN CONSIDERAR UNA DIFERENCIA EN EL TIEMPO DELINICIO DEL MOVIMIENTO

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Movimiento rectilíneo variado

Modelo de resolución

Un automóvil, cuando pasa por un punto A de una carretera recta, tiene una velocidad de 100 km/h , ycuando pasa por otro punto B de la misma carretera, su velocidad es de 120 km/h . Calcula:

a) El valor de la aceleración supuesta constante.b) ¿Cuánto tiempo ha tardado el auto en pasar desde A hasta B?

Solución

Tomamos el punto A y la carretera como sistema de referencia. De acuerdo con esto dispones de los

siguientes datos:

• Posición inicial x0 =0. Puesto que empezamos a contar el tiempo cuando el coche se

encuentra en el punto de referencia.

• Velocidad inicial, V0 =100 km/h = 27,7 m/s.

• Posición final (punto B), xt = 100 m.

• Velocidad final en el punto B, v t = 120 km/h = 33,3 m/s

a) A la vista de estos datos, la aceleración se obtiene despejándola de laecuación Vt

2- V02 = 2a (Xt – X0 ).

a ==

−

−

)XX(

VV

t

t

0

2

0

2

2=

−

−

)mm(

)s/m,()s/m,(

01002

72733322

=m

s/m,

200

634122

1,7m/s

2

b) El tiempo transcurrido desde A hasta B se obtiene despejándolo en laecuación Vt = V0 + at:

t = =−

a

VVt 0 =

−

271

727333

s/m,

s/m,s/m,3,3 s

EJERCICIOS

1) Un avión despega después de recorrer 600m por la pista del aeropuerto. Si tarda 15 s en eldespegue y suponemos que e movimiento es uniformemente acelerado:

a) ¿Cuál es la aceleración del avión?b) ¿Cuál es su velocidad en el momento de separarse del suelo?

7/15/2019 MRUV_Teor


2) Un coche que marcha a 100 km/h por una carretera estrecha, al salir de una curva ve a 30 mdelante de él un tractor que marcha a 20 km/h en su mismo sentido.¿ Con qué aceleración mínima debe frenar para no estrellarse con el tractor?

3) Calcular la aceleración de un móvil cuya velocidad aumenta a 20 km /h a 80 km/h en 10 minutos.Hallar el espacio recorrido .

4) La velocidad de un móvil disminuye de 3000 m/min a 10 m/s en 4 s. Calcular la aceleración y el

espacio recorrido.

5) La velocidad de despegue de un avión es de 300k/h . Si la longitud de la pista es de 1500 m ¿Quéaceleración debe producir el motor? ¿Cuanto tardara el avión en despegar?

6) ¿En qué tiempo adquiere un cuerpo una velocidad de 45 k/m si parte con una velocidad de 10

cm/s y se mueve con una aceleración de 2,5 cm/s 2 .

7) Un cuerpo se mueve durante 3 s con M.U. V. Recorriendo 81 m . Cesa la aceleración y durantetres segundos recorre 72 m con M .U. Calcular la velocidad inicial y la aceleración.

8) El velocímetro de un auto marca 45k/mh cuando se aplican los frenos. Si el auto se detiene en 2,8

s, ¿Cuáles han sido la aceleración y la distancia recorrida?

9) Un trolebús que parte del reposo se mueve durante 15 s con una aceleración de 1m/s 2 . Se

suprime la corriente y continúa moviéndose durante 10 s con movimiento retardado, a causa de la

fricción, con una aceleración de 5cm/s 2 . Finalmente se aplican los frenos y se detiene en 5 s .

Calcular la distancia total recorrida.

10) Un tren va a 72 km/h .¿Cuánto tiempo y a qué distancia antes de llegar a la estación deberá el

maquinista aplicar los frenos si la aceleración que éstos producen es de 3600m/min 2

Respuestas

1. R: a) 5,33 m .s-2 ; b) 288 km/h2. R: - 8,24 m .s-2

3. R: 0,028 m/s 2 ; 8,333,3 m

4. R: -10 m/s 2 ; 120 m

5. R: 2,31 m/s 2 ; 35,99 s.

6. R: 496 s

7. R: 30m/s ; -2 m/s 2

8. R: -4,46 m/s 2 ; 17,5 m

9. R. 296,25 m10. R: 20 s ; 200m

MRUV_Teor

Documents

Transcript of MRUV_Teor