MTA1 Ecuaciones Diferenciales Vfinal

1ECUACIONESDIFERENCIALES UPCOnline

Materialdetrabajoautnomo1Unidad 1

MODELACINDEPROBLEMASDECRECIMIENTOPOBLACIONAL

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Instrucciones


Logro de la sesin

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Temario

Crecimiento/decrecimientopoblacional

1Problemasresueltos Ejercicios

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MODELOS CON EDO DE ORDEN UNO

Qudecomntienenlassiguientessituaciones?

Larapidezconlacualsepropagaunvirus,comoporejemplo:elvirusdelsida.

Larapidezconlacualsedeshielanlosglaciaresporelcalentamiento

terrestre.

Larapidezconlacualaumentaunapoblacin

Laedaddeunfsil


El modelo ms sencillo consiste en la suposicin de que larazn instantnea de crecimiento (decrecimiento) de lapoblacin es proporcional a la poblacin presente en esemomento, es decir, si representa la poblacin en elinstante , entonces:

k =constantedeproporcionalidadEste modelo aparece en problema sobre poblaciones y ladesintegracin de elementos radiactivos.

00 , xtxkxdtdx

CRECIMIENTO DECRECIMIENTO

x

y

kba bka

xey )ln( yx

, constante Pordefinicin:

GRFICA

esproporcionalasi:Recuerda que


Problemasresueltos2

La poblacin de un pueblo crece con una razn(instantnea) proporcional a la cantidad dehabitantes en el tiempo t. La poblacin inicial de 500aumenta 15% en 10 aos. Cul ser la poblacinluego de 30 aos?

Problema 1


)1)...(()( tkPtP

500)0( P )500%(115)10( P575)10( P

ktCetP )(

Condicionesiniciales:

Solucingeneral:

Solucin (problema 1)

;

Sea: cantidaddepersonasenelinstante(enaos)


500)0( CP 500C575)10( 10 kCeP

014,0 k

760500)30( )30(014,0 eP

tetP 014,0500)(

575500 10 keSiendo:

Pero:

ktCetP )(Enconsecuencia:

Rpta: Luego de 30 aos la poblacin ser de 760habitantes aproximadamente.

Luego:


En un poblado de 15000 habitantes del continente africanohay preocupacin porque la enfermedad infectocontagiosadel SIDA se est expandiendo rpidamente. Estudios de unorganismo internacional de salud revelaron que esta infeccinse propaga a una tasa (instantnea) proporcional al nmerode personas sanas. Si inicialmente no haba ningn infectadoy 15 meses despus se contagiaron 2800 personas; estime encunto tiempo se contagiar la mitad de la poblacin.

Problema 2

2800)15( ,0)0()15000(

)(PP

PkPPVI

ktCetP 15000)(Solucingeneral:015000)0( CP

15000CDelascondicionesiniciales:


Entonces,15000eslacantidaddepersonassanas.DelproblemaplanteamoselPVI:

Sea: lacantidaddepersonasinfectadasenelinstantet(enmeses)



7500)1(15000 014,0 te

21)1( 014,0 te 50 t

2800)15( P 014,0150122ln

151

k

)1(15000)( 014,0 tetP

Se pide el tiempo en el que se contagiar la mitad de lapoblacin(esto es 7500):

Rpta: La mitad de la poblacin se contagiar a los 50meses, aproximadamente.

Problema 3

La poblacin de un pueblo crece con una raznproporcional a la cantidad de habitantes en eltiempo t. La poblacin inicial de 500 aumenta 15%en 10 aos, cul ser la poblacin luego de 30aos?



Sea lapoblacinenelinstantet (medidoenaos).PorcondicindelproblematenemoselPVI:

dP kPdt

P

0 500

LasolucindelaecuacindiferencialqueconformaelPVIes:

Empleandolacondicininicial,obtenemos: ktP t Ce

P 0 500 kCe C 0500 500

Adems: kP e 1010 575 575 500Entonces k , 0 014;enconsecuencia: , tP t e 0 014500Luego, P ,30 760 45

Rpta: Luego de 30 aos, la poblacin ser de 760habitantes, aproximadamente.


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Problema 4Asumiendo que a la fecha la Organizacin mundial de la salud(OMS) a descubierto que la razn a la cual se expande la gripeporcina (tambin conocida como influenza porcina) sigue elmodelo descrito por la ecuacin diferencial:

Donde es el nmero de infectados (en miles) despus demeses de haberse anunciado los primeros casos a nivelmundial. Si los primeros casos anunciado por la OMS fueron de5 000 infectados, determine despus de cunto tiempo elnmero de infectados comenzar a descender.

5450 NetdtdN


En este caso no necesitamos resolver la ecuacindiferencial, ya que el nmero de infectados comenzar adecrecer si:

dNdt

0

Aqu debe recordar que la derivada sirve para medir elcrecimiento/decrecimiento de una funcin. Enconsecuencia:

NdN t e t t ,dt

550 4 0 50 4 0 125

Rpta: Despus de 12 meses y 15 das el nmero deinfectados comenzar a descender.

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Problema 5El crecimiento poblacional de una familia de salmones que habitaen las costas de Alaska se rige por la ley Maltusiana:

Donde representa a la cantidad de salmones presentesen el instante t (en minutos). En el tiempo 0 un grupo detiburones se establece en esas aguas y empieza a atacar a lospeces. Suponga que la tasa a la cual el tiburn mata a los salmoneses de 0,007.Para empeorar las cosas, un elemento indeseable se incorpora alhbitat de los salmones; haciendo que 0,004 salmones por minutoabandonen las aguas de Alaska.

Si inicialmente haba una cantidad de salmones, plantee un PVIque permita determinar la cantidad de salmones en el instante .

QdtdQ 006,0

0

2

)0(

004,0)(007,0)(006,0 )(

QQ

tQtQdtdQ

PVI


En este problema la idea es considerar la velocidad(instantnea) de crecimiento de como un flujo neto, esdecir, la poblacin, cambia debido a nacimientos, muertes(que son cazados por los tiburones) y migracin.

Esto nos lleva a plantear el PVI siguiente:

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CmoplantearaselPVIdelsiguientetexto?La poblacin afectada por el virus de la influenzacrece proporcionalmente a la cantidad depoblacin sana en el tiempo , sabiendo que lapoblacin inicial sana fue de 20 000 personas.

Reflexiona un momento (1)

Describe textualmente el PVI:

0 30Donde: es la poblacin de peces de unlago en el instante .

Reflexiona un momento (2)

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Ejercicio

Ejercicio

1. Forma tu equipo de trabajo con cinco integrantes,nombrando un jefe de grupo, quien ser el encargado decoordinar el trabajo del grupo.

2. Resuelve con tu equipo los ejercicios propuestos en elForo de problemas y respuestas N1 (cada pregunta valeun punto, en total son cinco puntos).

3. Comparte y adjunta tu solucin en un solo archivo Wordcuyo nombre debe tener la sintaxis:MTA1_1erNombre_1erApellido (del jefe de grupo).docx,este archivo ser adjuntado en el Foro de problemas yrespuestas N1 por el jefe de grupo consignado losnombres de los integrantes del grupo.

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Conclusiones

EDO


Permiteresolverproblemasde

Si quieres conocer ms

Resuelve los ejercicios 3.1 problemas 110 (pg. 83 , 94 y95) del libro:

ZILL, Dennis (2009) Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones demodelado. 9 ed. Mxico, D.F.: Cengage Learning.

Observa el video:YOUTUBE (2010) Ecuaciones diferenciales14. Crecimiento ydecrecimiento de una poblacin2 (consulta: 13 de febrero de2013) (http://www.youtube.com/watch?v=YsXHRP1vKOs)

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Bibliografa

CORNEJO, Ma. del Carmen, VILLALOBOS, Elosa yQUINTANA, Pedro (2008) Mtodos de solucin deecuaciones diferenciales y aplicaciones. Barcelona:Editorial Revert.

ZILL, Dennis (2009) Ecuaciones Diferenciales conaplicaciones de modelado, 9 ed. Mxico, D.F.: CengageLearning.

PreguntasSi, luego del estudio del MTA,tienes dudas sobre alguno de lostemas, ingresa al Aula Virtual yparticipa en el foro de dudasacadmicas de la semana 1.

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ECUACIONESDIFERENCIALES EPECOPYRIGHTUPC2013

Continaconlasactividadespropuestasenelguindel

estudiante.

Material producido para el curso de Ecuaciones diferenciales EPEDiseo: Marco Antonio Tamariz Milla y Carlos Vargas TrujilloLocucin: Carlos Vargas TrujilloProduccin: TICE

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