1MUESTREO Y RECONSTRUCCIN DE SEALES

Teora de circuitos y sistemas

2Introduccin Sabemos modelar sistemas continuos (Laplace) o

sistemas discretos (Z). Pero en muchos casos los sistemas contienen tanto

bloques continuos como bloques discretos. Ejemplo: control de un sistema fsico (continuo)

mediante un computador (discreto). Se necesitan elementos que permitan interconectar

sistemas continuos con sistemas discretos. Estos elementos deben servir para convertir una seal

continua en una secuencia y viceversa: Muestreador: convierte una seal continua en una secuencia. Bloqueador: convierte una secuencia en una seal continua.

3Conexin bloqueador y muestreador

SISTEMA DISCRETO

SISTEMA CONTINUO

BLOQUEADOR

Seal discreta {xK}

Seal continua x(t)

Ejemplo en el control de un horno: una secuencia de valores {xK} generada por el ordenador es introducida al horno como una tensin x(t) que se debe aplicar en su resistencia.

SISTEMA CONTINUO

SISTEMA DISCRETO

MUESTREADOR

Seal continua x(t)

Seal discreta {xK}

Ejemplo en el control de un horno: la temperatura x(t) medida en el horno es introducida a un ordenador como una secuencia {xK}

4MUESTREO DE SEALES

5Muestreo de seales Permite obtener una secuencia a partir de una seal.

El muestreador toma los valores de la seal cada cierto tiempo.

Este tiempo se conoce como periodo (T) y normalmente es constante.

x(t) {xK}

t tT

6Representacin y comportamiento

T = periodo de muestreo

Relacin entrada/salida en el dominio del tiempo:

xk = x(kT)

x0 = x(0); x1 = x(T); x2 = x(2T);

T

x(t) {xK}

7Importancia del periodo de muestreo

T debe ser suficientemente pequeo para no perder informacin de la seal:

T debe ser elegido en funcin de la seal a muestrear.

x(t)

{xK}

{xK}

t

t

t

T adecuado

T excesivo

8Comportamiento del muestreador en los dominios de Laplace y Fourier

Conocemos la relacin x(t) / {xK} en el dominio del tiempo: Buscamos la relacin en los dominios de Laplace y Fourier:

Dominio tiempo: xk = x(kT) Dominio Laplace: X(s) / X(s) ? Dominio Fourier: X() / X() ?

Trabajaremos en el dominio de Fourier. Partimos de las expresiones directa e inversa de la transformada:

T

x(t) {xK}

X(s)X()

X(s)X()

+

+

=

+

+

==

==T

T

KTjK

k

KTjK

tjtj

deTxex

deXtxdtetxX

)(2

)(

)(21)()()(

9 Operamos sobre el comportamiento del muestreador en el dominio t:

Dividimos el intervalo de integracin en fragmentos de tamao 2/T:

Hacemos un cambio de variable: = + 2r/T

( ) + == deXKTxx KTjK )(21

t

T T T3 T5T3T5

+=

+ =

r

Tr

Tr

KTjK deXx

)12(

)12( )(21

+=

+

=

+=+=r

T

T

KTj

r

T

T

TrjKTKTj

K deTrXdee

TrXx

)

2(21)2(

21 2

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Se introduce 1/T y se cambian de orden sumatorio e integral:

Comparando con la expresin de xK en la transformada de Fourier, se obtiene:

La relacin en el dominio de Laplace se puede obtener de forma similar:

En ninguno de los casos se puede hablar de funcin de transferencia, es slo una relacin E/S.

+=

+= TT r

KTjK deT

rXT

Tx

)

2(12

+=

+=r T

rXT

)2(1)(

+=

+=r

jTrsX

Ts )2(1)(

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Representacin grfica del comportamiento del muestreador en el dominio de Fourier

Seal continua de partida (se muestra mdulo de su transformada de Fourier y se supone fase 0):

Seal muestreada con periodo T segn la frmula anterior:

(suma de seales originales escaladas y desplazadas)

)(X

0 0A

)(

0 0TA

T2

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Periodo de muestreo (I) Interesa conocer el periodo de muestreo T adecuado para cada seal. El objetivo es no perder informacin. Intuitivamente, seales con contenido en frecuencias ms elevadas

requerirn menor T (mayor frecuencia de muestreo). La transformada de Fourier nos indica los contenidos frecuenciales. Seal de banda limitada: no contiene frecuencias por encima de un cierto

lmite, por ejemplo 0:

)(1 X

0 0

)(2 X

0 0)(3 X

0 0

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Periodo de muestreo (II) Muestreamos la seal X2 anterior con 3 periodos distintos:

T1

T2

T3

)(2

0 012 T

0 022 T

0 032 T

)(2

)(2

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Periodo de muestreo (III)

En los dos primeros casos no se produce solapamiento: sera posible reconstruir la seal original (continua) a partir de la seal muestreada. No hay deformacin de la seal.

En el tercer caso s se produce solapamiento, y sera imposible reconstruir la seal original. La seal se ha deformado.

Relacin con el periodo de muestreo: T debe ser suficientemente pequeo para que no se pierda informacin:

La misma relacin se puede expresar en trminos de la frecuencia de muestreo f:

La frecuencia de muestreo f debe ser al menos el doble que la mxima frecuencia f0 contenida en la seal a muestrear (TEOREMA DEL MUESTREO)

0>

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Periodo de muestreo (IV)

EJEMPLO: tarjeta de adquisicin de datos para un PC. El tipo de tarjeta a elegir depender del tipo de seal a capturar:

Seales de audio (altas frecuencias): es necesaria una tarjeta con una frecuencia de muestreo rpida (periodo T pequeo).

Seales de temperatura (variaciones lentas, bajas frecuencias): es suficiente con una tarjeta ms simple, con frecuencia de muestreo lenta (periodo T grande).

SITUACIN COMN: seales no de banda limitada. Muchas seales reales (por ejemplo, un tren de pulsos rectangulares) no son de

banda limitada, contienen todas las frecuencias. Estas seales nunca se pueden muestrear sin prdida de informacin, por pequeo

que sea el periodo de muestreo.

)(4 X

0 0

El mdulo de la transformada de Fourier de la seal X4 no llega a hacerse cero; la seal

contiene todas las frecuencias

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RECONSTRUCCIN DE SEALES

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Reconstruccin de seales Obtencin de una seal a partir de una secuencia.

Reconstruir = volver a obtener una seal que ha sido muestreada. Elemento que realiza la operacin: bloqueador.

NOTA: veremos cmo el ejemplo de reconstruccin mostrado es fsicamente irrealizable.

B{xK} x(t)

x(t){xK}

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Representacin del bloqueador

2 posibilidades: Respuesta impulsional. Funcin de transferencia (en o en s).

NOTA: para el bloqueador S existe funcin de transferencia (para el muestreador NO)

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Respuesta impulsional g(t)

Seal continua de respuesta ante una secuencia impulso de entrada.

B{K} g(t)

{K} g(t)

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Uso de la respuesta impulsional La respuesta impulsional de un sistema permite conocer la salida

del sistema ante cualquier seal de entrada. La salida se obtiene como la convolucin entre la respuesta

impulsional y la entrada. En el caso del bloqueador, se trata de una convolucin hbrida.

+=

==n

nK nTtgxtgxtx )()(*}{)(

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Funcin de transferencia Se utiliza en el dominio s y en el dominio . Se obtienen a partir de las transformadas de Fourier y Laplace de

la respuesta impulsional:

Ambas permiten conocer la salida (seal continua) a partir de la entrada (secuencia discreta) en los dominios s o :

Se trata de funciones de transferencia hbridas.

( )[ ] ( )[ ]tgLsGtgFG == )()(

)()()()()()( ssGsXGX ==

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Tipos de bloqueadores En funcin del criterio seguido para reconstruir una

seal continua a partir de los valores de la secuencia.

Estudiaremos 3 tipos:

Bloqueador ideal. Bloqueador de orden 0. Bloqueador de orden 1.

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Bloqueador ideal (I) Es capaz de reconstruir perfectamente la seal original, si se ha

muestreado con un periodo T adecuado (teorema del muestreo).

Visto en el dominio de Fourier, el objetivo es recuperar la transformada de Fourier de la seal original:

)(1 X

)(2 X

)(

T

T

T

x1(t) {xK}

X1() X()Bi

x2(t)

X2()

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Bloqueador ideal (II) La funcin de transferencia en del bloqueador ideal, debe

cancelar las repeticiones y debe restaurar la escala original:

El valor cero fuera del intervalo central cancela las repeticiones. El valor T dentro de ese intervalo restaura la escala.