MVCO2_U1_A3_KAAM
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Tenemos que:
|∫σ ( t )
❑
f ( z )dz|≤∫σ (t )
❑
|f ( z )|dz ≤∫b
a
|σ (t )|dz
Entonces:
∫σ (t )
❑
|f ( z )|dz ≤∫b
a
|σ (t)|dz
∫1( t )
i
|e z−1|dz
Utilizando la serie de Taylor:
f ( z )=e1z=∫
1
i |∑k=0
∞ ( 1z )k
k ! |∫1
i
|ez−1|dz=∫1
i |∑k=0
∞ ( 1z )k
k ! |∫1
i |∑k=0
∞ ( 1z )k
k ! |=∫1
i
∑k=0
∞ 1k !|1z
k|dz
∑k=0
∞ 1k !∫1
i |1zk|dz
Por la igualdad:ç
z (t )=cos ( t )+isen(t )
∑k=0
∞ 1k !∫1
i
( 1
|(cos (t )+isen(t ))k|)dz
∑k=0
∞ 1k !∫1
i
( 1|(cos ( tk )+isen(tk ))|)dz
∑k=0
∞ 1k !∫1
i
( 1
√ (cos ( tk )+isen(tk)) )dt
∑k=0
∞ 1k !∫1
i
( 11 )dt=∑k=0
∞ 1k ! ( t| i1)
∑k=0
∞ 1k ! ( t|i1)=¿
∑k=0
∞ 1k !
( i−1 )
∑k=0
∞ 1k !
( i−1 )≤∈ π2=e( i−1)≤∈ π
2
Sacamos ahora el modulo por no poder sacar la deigualdad en complejos:
|e (i−1)|≤|¿ π2|=|e(i−1)|≤|¿ π
2|
e √2≤N π2=2e √2
π<N
2.4473<N∈N
Tenemos que:
∮σ 1
❑
f (z )dz=¿∮σ 2
❑
f (z )dz ¿
Entonces:
Luego:
H : [0,1 ] [0,1 ]→C
H (s ,t )=( s+t )+¿s
H (1, t )=σ 1 ( t )=(1+t )+¿0≤t ≤1
H ( 12 , t)=σ2 ( t )=( 12+ t)+¿12 0≤ t ≤1
H (s ,0 )=z0 ( t )= (s+0 )+¿0=s 0≤ s≤1
H (s ,1 )=z1 (t )=(s+1 )+i1s=s+1+i1s0≤ s ≤1
Nos queda entonces:
s+1+i1s∈C yla curvaσ 2 ( t )=(2+t )+¿2
Su derivada:
σ 2 (t )=( 12 +t)+¿12=1+ 1
2¿
−12
Integrando:
∫σ2
❑
( z2+1z )
2
dz=∫z 0
z 1
f (σ ( t ))σ ´ dt
∫0
1 (((12 +t)+¿12)2
+1
( 12 +t)+¿12 )
2
1+ 12 ¿−12 dt
u=( 12+ t)+¿12
dudt
=1+ 12¿
−12
∫0
1
( u2+1u )2
du=¿∫0
1 u4+2u2+1u2
du¿
¿∫0
1
(u2+2+ 1u2 )du
∫0
1
u2+∫0
1
2du+∫0
1 1u2
du
u3
3|10+2u|10+−u−1|10
(( 12 +t)+¿12 )
3
3
|10+2(( 12+t )+¿12)|10+¿
(( 12 +t)+¿12 )
3
3
|10=((12 +1)+ i112)
3
3
−((12+0)+i 0
12)
3
3
=−512
+ i 2312
2(( 12 +t)+¿12 )|10=2(( 12+1)+i 112 )−2(( 12+0)+i 012)=2+i
¿
−512
+i 2312
+2+i+ 2013
+i 413
= 487156
+ 503156
i
487156
+ 503156
i
Seanh , k :(X , x0)→(Y , y0) dos aplicaciones continuas. Si h y k son homotópicas y si la imagen del punto base x0 de X permanece fija en y0 durante la homotopía , entonces los morfismos h y k coinciden.
Demostración.
Por hipótesis, existe una homotopíaa H :X ×I→Y entre h y ktal que H (x0 , t)= y0, para todo t. Por lo tanto, si f esun lazoe n X basadoen x0, la composición
I × I⟶f ×id X ×I⟶
H Y
es una homotopía entre h ◦ f y k ◦ f; es una homotopía de caminos porque f es un lazo en x0 y H aplicax0×I en y0.