Índice - cm. · PDF file... 4 3. Marco t eórico ... 3.2 Pruebas para...

Índice

1. Introducción ................................................................................................................ 1

1.2 Objetivos .................................................................................................................2

2. Antecedentes................................................................................................................ 3 2.1 Pruebas para la hipótesis de movimiento Browniano ..............................................4

3. Marco teórico .............................................................................................................. 5

3.1 Algunos conceptos de procesos estocásticos.............................................................5 3.1.1 Movimiento Browniano o Proceso de Wiener.........................................................7 3.1.1.1 Propiedades del movimiento Browniano .........................................................8 3.2 Pruebas para aleatoriedad ....................................................................................13 3.2.1 Prueba de Skaug y Tjostheim ............................................................................. .13 3.2.2 Prueba de rachas................................................................................................ .15 3.2.3 Prueba de McLeod-Li........................................................................................ .16 3.3 Pruebas para normalidad......................................................................................17 3.3.1 Prueba de Royston..............................................................................................17 3.3.2 Prueba de Kolmogorov-Smirnov .........................................................................19 3.4 Prueba de t para la hipótesis de media cero................................ .............................21

4. Metodología propuesta para probar la hipótesis de movimiento Browniano......23

5. Estudio comparativo de las pruebas propuestas por simulación...........................25

5.1 Tamaño de las pruebas................................ ................................ ......................... .25 5.1.1 Resultados ........................................................................................................ .26 5.2 Potencia de las pruebas ........................................................................................ .28 5.2.1 Resultados con la alternativa es el proceso AR(1)................................................ .34 5.2.2 Resultados cuando las alternativas tienen distribuciones son diferentes....................40 5.2.3 Resultados cuando no hay normalidad en la alternativa .........................................42 5.2.4 Resultados cuando la media no es cero en la alternativa ........................................45 5.3 Discusión de resultados .........................................................................................47

6. Aplicaciones............................................................................................................... 50

7. Conclusiones y recomendaciones............................................................................. 54

8. Bibliografía ................................................................................................................ 55

9. Anexo ......................................................................................................................... 57

1

1. Introducción

Una opción es un tipo de contrato que da el derecho, pero no la obligación, de comprar o

vender un activo financiero (acción, bono, contrato de futuros, etc.) en un tiempo y precio de ejercicio dados. El tiempo de ejercicio es la fecha en la que el dueño de la opción podrá comprar un activo y el precio de ejercicio es el precio que tendrá que pagar por el activo cuando se llegue el tiempo de ejercicio.

Una opción de compra da el derecho de comprar un activo y una opción de venta da el derecho de vender un activo. Si una opción es tal que se puede utilizar en cualquier tiempo anterior o igual al de ejercicio, es llamada opción americana, y si es tal que sólo se puede utilizar en su tiempo de ejercicio, es llamada opción europea.

Las opciones se caracterizan por dar derechos sin crear obligaciones y por permitir manejar el riesgo de una cartera de inversión dada. Por estas características favorables las opciones tienen un precio. Para el caso de las opciones de compra, Black y Scholes (1972) mostraron que, bajo el supuesto de que los precios de una acción dada siguen un movimiento Browniano geométrico, hay un sólo precio que es justo para una opción. Es decir, hay un sólo precio que no permite elaborar una estrategia de inversión con ganancia esperada positiva y desarrollaron una fórmula para calcular dicho precio.

El supuesto de que los precios de una acción dada siguen un movimiento Browniano geométrico significa que la razón del precio de la acción en un tiempo futuro s+t, representado por Ys+t, sobre el precio en el tiempo presente s, Ys, tiene una distribución lognormal con parámetros µt y σ2 t y es independiente de todos los precios pasados. Esto es, la v.a.

( )ts,µt Nlog ~ Y

Y 2

s

ts+

y es independiente de t su0 ,Yu <<< . De manera equivalente, los precios siguen un

movimiento Browniano geométrico si

, Y

YlnX

s

tst

= +

tiene distribución ( )tt,N 2σµ y es independiente de ( ) tsu0 ,YlnX uu <<<= , se comporta

como un movimiento Browniano. Por definición, un proceso estocástico 0t,X t ≥ es un

movimiento browniano o proceso de Wiener si ( ))st(,)st(N ~ X-X 2st −σ−µ , t = 1,2,..., y es

independiente de tsu0 ,X u <<< .

2

Debido a que la hipótesis de que los precios de una acción siguen un movimiento Browniano geométrico es esencial para calcular el precio de una opción de compra por medio de la fórmula de Black y Scholes, es de interés contar con una metodología estadística que permita verificar dicha hipótesis.

1.2 Objetivos

1. Proponer algunas pruebas estadísticas para probar la hipótesis de que un proceso

estocástico es un movimiento Browniano con base en una realización finita del proceso.

2. Estudiar el tamaño y la potencia de las pruebas propuestas para distintos tamaños de muestra.

3. Aplicar las pruebas propuestas a conjuntos de datos reales.

3

2. Antecedentes

Suponga que la sucesión de v.a’s ,...X,X 21 sigue un movimiento Browniano. Entonces, de

acuerdo con su definición, las variables aleatorias 1tt XX −− y 1-ts ,XX 1ss ≤∀− − son

independientes e idénticamente distribuidas (iid) con distribución ( )2,0N σ . Es decir,

iid e ,eXX tt1tt += − ( )2,0N σ (1).

El modelo en (1) también es conocido como caminata aleatoria con incrementos independientes e idénticamente distribuidos.

Es importante mencionar que existen dos versiones más de la caminata aleatoria en las cuales no se hace ninguna suposición acerca de la distribución de los incrementos. Una es la caminata aleatoria con incrementos independientes y la otra, aún más general, la caminata aleatoria con incrementos no correlacionados (o martingala).

En la literatura existen varias investigaciones en las que se estudia de diferentes maneras el problema de verificar si una sucesión finita de variables aleatorias sigue una caminata aleatoria. Sin embargo, la mayor parte de estas investigaciones estudian únicamente los casos de la caminata aleatoria con incrementos independientes o no correlacionados (ver Luna (2003)), lo cual no es equivalente a probar que se tiene un movimiento Browniano, ya que éstos modelos son más generales e incluyen como caso particular al modelo en (1).

En la figura siguiente se muestra la relación que existe entre las diferentes versiones del modelo caminata aleatoria.

Caminata aleatoria con incrementos no

correlacionados Caminata aleatoria con incrementos independientes

Procesos Brownianos

4

En la revisión de literatura que se presenta a continuación únicamente se hace referencia a aquellos trabajos en los que se estudia el problema de probar que se tiene una caminata aleatoria con incrementos independientes e idénticamente distribuidos normales o movimiento Browniano.

2.1 Pruebas para la hipótesis de movimiento Browniano

Cowles y Jones (1937) proponen una prueba para la hipótesis de movimiento Browniano

que consiste en comparar la frecuencia de pares de observaciones consecutivas con el mismo signo, llamadas secuencias, con los pares de observaciones consecutivas con signos opuestos, llamados cambios.

Dickey y Fuller (1981) consideran el modelo Xt = α+ρXt - 1 +e t , et v.a.i.i.d. ( )2,0N σ .

Investigan la prueba de razón de verosimilitudes de la hipótesis de movimiento Browniano, que corresponde al caso (α,ρ)=(0,1), y presentan una representación límite para el estadístico de prueba. Estiman puntos porcentuales para la distribución límite y para distribuciones con muestras finitas.

Con el propósito de verificar si una colección de datos sigue un movimiento Browniano, Ross (1999) propone usar tablas de contingencia para probar la independencia de los et’s y hacer un análisis de varianza para probar que son idénticamente distribuidos.

La prueba de Dickey y Fuller es posiblemente la metodología más conocida para probar la hipótesis de caminata aleatoria con incrementos iid. Sin embargo, esta prueba está basada en el supuesto de que el proceso estocástico del cual proviene la trayectoria muestral es Gaussiano. Además de ser un supuesto bastante fuerte, no existe una metodología estadística que permita verificarlo.

5

3. Marco teórico

3.1 Algunos conceptos de procesos estocásticos

Un proceso estocástico Tt,X t ∈ es una colección de variables aleatorias indizada por un

parámetro de tiempo t que toma valores en un conjunto T. Si ∞<<−∞= t:tT , se dice que

Tt,X t ∈ es un proceso estocástico con parámetro de tiempo continuo.

El conjunto de valores posibles de la v. a. tX es llamado el espacio de estados del proceso

y se denota por S. Si ∞<≤−∞= s:sS , se dice que Tt,X t ∈ es un proceso estocástico

con espacio de estados continuo.

El conjunto de v.a’s n10 ttt X...,,X,X es llamado una trayectoria muestral de tamaño n del

proceso estocástico Tt,X t ∈ .

Para poder calcular probabilidades de eventos futuros de un proceso estocástico, es

necesario conocer la distribución de probabilidades conjunta de cualesquiera n variables del proceso. Sin embargo, como no es fácil obtener la densidad conjunta de v.a’s que generalmente no son independientes, ni idénticamente distribuidas, comúnmente se recurre al uso de medidas que son útiles para conocer el comportamiento de un proceso en forma aproximada; tal es el caso de la función del valor medio y del núcleo de covarianza.

Sea Tt,X t ∈ un proceso estocástico con segundos momentos finitos. Su función de valor

medio, denotada por ( )tmX , se define como ( ) T tpara ,XEtm tX ∈= , y su núcleo de

covarianza, ( )t,sk X , se define mediante ( ) T.ts, ,X,Xcovt,sk tsX ∈∀=

Las funciones de valor medio y núcleo de covarianza de un proceso estocástico

desempeñan el mismo papel que para una variable aleatoria desempeñan su media y su varianza.

Se dice que el proceso estocástico Tt,X t ∈ tiene incrementos independientes si para

cualesquiera tiempos t0 < t1<.. .<tn ’ las n’ v.a’s 1'n'n1201 tttttt XX,...,XX,XX

−−−− son

independientes y se dice que el proceso tiene incrementos estacionarios si las v.a’s

hsht XX ++ − y st XX − tienen la misma distribución, para toda h>0 y 0<s<t=n-h.

6

Es decir, Tt,X t ∈ tiene incrementos independientes si los cambios en el valor del

proceso sobre intervalos de tiempo que no se traslapan son independientes, y tiene incrementos estacionarios si la distribución del cambio en el valor entre cualesquiera dos puntos del tiempo depende sólo de la distancia entre esos puntos.

Los procesos estocásticos Gaussianos o normales, que a continuación se definen, juegan un

papel análogo al que desempeñan las v.a’s normales en el caso de muestras aleatorias.

Se dice que un proceso estocástico +∈ Rt,X t (donde R+ denota al conjutnto de números

reales no negativos) es Gaussiano si para cualquier n y cualquier subconjunto n21 t,...,t,t de +R , las v.a’s

n21 ttt X,...,X,X tienen distribución conjunta normal, es decir, su función de

densidad conjunta es de la forma:

donde

( ).X,Xcov conji ttijn,...,2,1j,iij =σσ=Σ

=

Se dice que la sucesión de variables aleatorias 1n,X n

1tt ≥= es una martingala si y sólo si

1. ∞<tXE y

2. tt1t XXXE =+ .

Teorema 3.1.1. Un proceso normal es una martingala si y sólo si tiene incrementos independientes con media cero.

Se dice que el proceso estocástico Tt,X t ∈ es ergódico si se pueden usar medias

muestrales para aproximar el valor medio. Para una trayectoria muestral de tamaño n,

n21 X,...,X,X , la media muestral se define como:

.Xn1

Mn

1kkn ∑

=

=

( )( )

( ) ( ) x'xexp2

1xf 1

2/12/nX µ−Σµ−−Σπ

= −

( ) ,'X,...,X,XXn21 ttt=,)'x,...,x,x( x n21=

( ) n1,2,...,i ,XEcon ,',...,,itin21 ==µµµµ=µ

7

Se dice que el proceso estocástico +∈ Rt,X t es un proceso de Markov si, para

cualesquiera t1 < t2<.. .<tn ? R+,

Es decir, el proceso +∈ Rt,X t es un proceso de Markov si la ocurrencia de un evento futuro

depende sólo del presente.

Teorema 3.1.2. Sean n21 Y,...,Y,Y vectores aleatorios independientes. Sea ( )ii yg una función

sólo de i

y , i = 1,2,...,n. Entonces las variables aleatorias ( ) n,1,2,...,i ,YgU iii == son

mutuamente independientes. (Casella, 1990).

Una exposición más detallada de los conceptos anteriores se puede encontrar en Ross (1996) y en Parzen (1972).

3.1.1 Movimiento Browniano o Proceso de Wiener

Definición: Se dice que el proceso estocástico 0t,X t ≥ es un movimiento Browniano o

proceso de Wiener si: i. 0X 0 = ,

ii. 0t,X t ≥ tiene incrementos independientes,

iii. 0t,X t ≥ tiene incrementos estacionarios y

iv. st XX − tiene distribución ( ))st(,0N 2 −σ , 0 < s < t.

Note que el proceso del movimiento Browniano es un proceso estocástico con parámetro de

tiempo continuo, ∞<≤= t0:tT , y espacio de estados continuo, ∞<≤−∞= s:sS .

La Gráfica 3.1.1.1 presenta una trayectoria muestral de un movimiento Browniano

simulada usando el modelo iid e ,eXX tt1tt += − ( )4,0N .

Existen varios procesos que son el resultado de aplicar alguna transformación a un proceso

Browniano, tal es el caso del movimiento Browniano geométrico que se define a continuación:

Definición: Si 0t,X t ≥ es un movimiento Browniano, entonces el proceso 0t,Yt ≥ ,

definido por tXt eY = , es llamado movimiento Browniano Geométrico.

( ) ( ).xX|xXPxX...,,xX|xXP 1ntnt1nt1tnt 1nn1n1n −− =≤===≤−−

8

Gráfica 3.1.1.1 Trayectoria muestral simulada de tamaño 200 de un movimiento

Browniano con σ=2.

-10

0

10

20

30

0 50 100 150 200

t

Xt

La función de densidad de probabilidades de tY es

( ) ( )0y ,

ts2yln

exptp2sy

1yf 2

2

tY >

−=

y su media y varianza son:

==2

tsexpyyY|YE

2

000t

y

( )1tsexpyyY|Yvar 22000t −== ,

respectivamente.

Evidentemente, el proceso Browniano geométrico no es un proceso Gaussiano.

3.1.1.1 Propiedades del movimiento Browniano

Sea 0t,X t ≥ un proceso de Wiener o movimiento Browniano. Algunas propiedades de

este proceso son las siguientes: § 0t,X t ≥ tiene núcleo de covarianza ( ) t,smínt,sk X = .

Suponga que s<t, entonces

9

( ) ( )( )( ) ( )

ts ,s

ntesindependie sincremento tiene0t,X que ya ,s0

X,XcovXX,Xcov

XXX,Xcov

X,Xcovt,sk

2

t2

sssts

ssts

tsX

<σ=

>σ+=

+−=

+−=

=

§ 0t,X t ≥ es un proceso Gaussiano.

La verificación de que ( ) ( )⋅⋅,N ~ X...,,X nnt1t

puede hacerse utilizando el método de

jacobianos. Considere la transformación

1ntntn

1t2t2

1t1

XX W

XX W

X W:T

−−=

−=

=

M.

De la definición de proceso Browniano se sabe que 1itit XX

−− es independiente de

1jtjt XX−

− , para toda j i ≠ , y que tiene distribución ( )( )1ii2 tt,0N −−σ , así

( )n,21 W...,W,WW = ( )Σ,0N ~ n

donde ijσ=Σ , i, j = 1,2,...,n , ( ) ( ) =−σ

==σ −

m. o. d. 0,ji ,tt

W,Wcov 1ii2

jiij .

Ahora, la transformación inversa de T es:

12nnt

122t

11t1

WW... WX

WWX

WX :T

+++=

+=

=−

M

Note que X es una transformación lineal de W, esto es, WAX = , donde

=

=

=

n

2

1

t

t

t

W

W

W

Wy

1 1 1

0 ... 1 10 ... 0 1

A ,

X

X

X

X

n

2

1

M

L

MM.

Por lo tanto, por propiedades de la distribución normal multivariada, ( )'AA,0N ~ X n Σ .

§ 0t,X t ≥ es una martingala.

Por el Teorema 3.1.1, 0t,X t ≥ es una ma rtingala, ya que es un proceso normal con

incrementos independientes con media cero.

10

§ 0t,X t ≥ es un proceso de Markov.

En efecto, como 0t,X t ≥ tiene incrementos independientes, sst XX −+ es independiente

de su0 ,X u <≤ y, así,

( ) ( )( )( ),xX|aXP

xaXXP

su0,X,xX|xaXXPsu0,X,xX|aXP

sst

sst

ussstusst

=≤=

−≤−=

<≤=−≤−=<≤=≤

+

+

++

lo cual establece que la distribución condicional de un estado futuro stX + dado el presente

sX y el pasado su0 ,X u <≤ , depende sólo del presente.

La figura siguiente ilustra la relación que existe entre las martingalas, los procesos

Gaussianos y los procesos Brownianos:

Para una revisión más amplia de las propiedades del movimiento Browniano, véase Ross (1996).

La siguiente caracterización del movimiento Browniano es la base de la metodología que se propone en este trabajo.

Teorema 3.1.1.1.1: Sean n21 X,...,X,X observaciones del proceso estocástico 0t,X t ≥

registradas en tiempos equidistantes. Las v.a’s n21 X,...,X,X son una trayectoria muestral de

un movimiento Browniano si y sólo si las v.a’s 1nnn122011 XXe...,,XXe,XXe −−=−=−=

son iid ( )2,0N σ .

Demostración: Suponga que las v.a’s n21 X,...,X,X provienen de un movimiento Browniano.

Debido a que 0t,X t ≥ tiene incrementos independientes, las v.a’s

Martingalas Procesos Gaussianos

Procesos Brownianos

11

1'nt'nt1t2t0t1tXX...,,XX,XX

−−−− son independientes para cualesquiera tiempos

nt...t0t 'n10 <<<<≡ y, en particular, también son independientes las v.a’s

1nn1201 XX...,,XX,XX −−−− . Ahora, ya que 0t,X t ≥ tiene incrementos estacionarios,

las v.a’s st XX − y hsht XX ++ − son i.d. con distribución ( ))st(,0N 2 −σ , para cualquier h>0 y

0<s<t. Así, si s = t-1, las v.a’s 1tt XX −− y h1tht XX +−+ − son i.d. ( )2,0N σ para cualquier h>0

y cualquier t>0. Por lo tanto, si 0t,X t ≥ es un movimiento Browniano, las v.a’s

1nnn122011 XXe...,,XXe,XXe −−=−=−= son i.i.d. ( )2,0N σ .

Por otra parte, suponga que las v.a’s 1nnn122011 XXe...,,XXe,XXe −−=−=−= son

i.i.d. ( )2,0N σ . Note que el i-ésimo incremento de un proceso Browniano se puede expresar

como: ( ) ( ) ( )

( ) ,eg

e

e...ee

XX...XXXXXX

ii

tt

1jjt

t2t1t

1tt1t2tt1ttt

1ii

1i

i1i1i

ii1i1i1i1i1ii

=

=

+++=

−++−+−=−

∑−

−

−−

−−−−−

−

=+

++

−+++

donde ( )i1i1i t2t1ti e,...,e,e'e ++ −−

= y ( )ii eg es una función que depende únicamente de ie . Así,

por el Teorema 3.1.2, los incrementos del proceso son v.a’s mutuamente independientes.

Además, note que si h>0 y 0<s<t

[ ] [ ]'.e,...,e,e ey 1,...,1,1'1 donde

,e'1eXX

t2s1s1x)st(

1x)st(

st

1jjsst

)st(x1

)st(x1

++−

−

−

=+

==

==−

−

−∑

Por lo tanto, Xt – Xs ~ ( ) ( ))st(,0N1'1,0N 22 −σ=σ , ya que 1x)st(e − ~ ( ))st(2)st( I,0N −

− σ , donde

It -s es la matriz identidad de dimensión (t-s).

Análogamente, Xt+h – Xs+h ~ ( ))st(,0N 2 −σ , ya que

[ ] [ ]'.e,...,e,e ey 1,...,1,1'1 donde

,e'1eXX

ht2hs1hs1x)hsht(

1x)hsht(

st

1jjhshsht

)st(x1

)st(x1

+++++−−+

−−+

−

=++++

==

==−

−

−∑

12

Por lo tanto, si 1nnn122011 XXe...,,XXe,XXe −−=−=−= es una muest ra aleatoria de

una distribución ( )2,0N σ , entonces n21 X,...,X,X es una realización finita de un movimiento

Browniano.

• Note que las v.a’s n21 e,...,e,e son una trayectoria muestral del proceso de primeras

diferencias de 0t,X t ≥ , denotado como 0t,e t ≥ , donde 1ttt XXe −−= .

Gráfica 3.1.1.2 Primeras diferencias de una trayectoria muestral de un movimiento

Browniano con σ=2.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 50 100 150 200

t

e t

Además, note que de acuerdo con el Teorema anterior, probar que n21 X,...,X,X es una

realización finita de un movimiento Browniano es equivalente a probar que las v.a’s

1nnn122011 XXe...,,XXe,XXe −−=−=−= son una muestra aleatoria de la distribución

( )2,0N σ .

Así, para verificar si se tiene un movimiento Browniano, primero debe probarse la hipótesis

de que las primeras diferencias del proceso son independientes e idénticamente distribuidas. Si no se rechaza esta hipótesis, se debe probar que son normales. Finalmente, si son iid normales, debe probarse que tienen media cero.

En las secciones 3.2 a 3.4 se presentan algunas metodologías encontradas en la literatura para probar las hipótesis de aleatoriedad, normalidad y media cero.

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3.2 Pruebas para aleatoriedad

Debido a la importancia que tiene en la estadística la suposición de aleatoriedad, se han

propuesto un considerable número de pruebas que intentan probar esta hipótesis. Bhattacharyya (1984), presenta una revisión de algunas pruebas para probar aleatoriedad contra la alternativa de que existe algún tipo de tendencia o correlación serial, así como de pruebas para aleatoriedad contra una alternativa no especificada.

Para probar las hipótesis de aleatoriedad, en el presente trabajo se utilizarán la prueba de Skaug-Tjostheim, la prueba de rachas y la prueba de McLeod-Li. Estas pruebas son revisadas en las secciones 3.2.1 a 3.2.3.

3.2.1 Prueba de Skaug y Tjostheim

Skaug y Tjostheim (1993) proponen un estadístico para probar la hipótesis de

independencia construido en forma análoga al estadístico de la prueba de Box-Pierce, la cual es una buena prueba para probar la hipótesis de caminata aleatoria con incrementos no correlacionados o martingala, Gouriéroux (1997) y Luna (2003).

Suponga que 0t,e t ≥ es un proceso ergódico con distribución marginal ( ) ( )xePxF t ≤=

y función de distribución acumulativa bivariada

( ) ( ) ,ye,xePy,xF htth ≤≤= − ( ) ,...2 ,1h ,Ryx, 2 ±±=∈ . Suponga que se observa una

trayectoria muestral de tamaño n, n21 e,...,e,e , del proceso 0t,e t ≥ . Se tiene interés en

probar la hipótesis nula

0H : n21 e,...,e,e son v.a’s independientes

vs

aH : n21 e,...,e,e no son v.a’s independientes

Para probar 0H , Skaug y Tjostheim (1993) proponen el estadístico de prueba

( ),hDnSTp

1h

2

nn ∑=

∧=

donde

( ) ( ) ( ) ( )∑+=

−

∧∧

−

∧∧

∞∞−

−=

n

1ht

2

hththhtth

2

n e,F,eFe,eFhn

1hD

14

y ( )h-tth e,eF∧

es la función de distribución empírica de ( )htt e , e − , h = 1,2, ... ,p, definida

como:

( ) ( ) ( )hthsts

n

1hshtth ee1 ee1

hn1

e,eF −−+=

−

∧≤≤

−= ∑ ,

con ( ) d.o.m. 0

ee si 1ee1 ts

ts ≤

=≤ .

Estos mismos autores demuestran que, si 0t,e t ≥ es un proceso ergódico, ( )hD2

n∧

es un

estimador consistente de la medida:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )htth

2

2R htthtth2 e,edFeFeFe,eFhD −−−∫ −= .

El siguiente teorema establece la distribución de ST bajo la hipótesis nula.

Teorema 3.2.1.1: Si n,...,1t,e t = son v.a’s i.i.d. y n?8 , entonces

( )∑∑∞

=

∞

=

χπ

→1i 1j

2ij2

d

pij

1ST ,

donde las ( )p2ijχ son v. a’s 2χ independientes con p grados de libertad.

•

Skaug y Tjostheim (1993) obtienen por medio de simulación los valores críticos de la distribución asintótica de ST correspondientes a los tamaños de prueba α = 0.01, 0.025, 0.05 y 0.1 para valores de p = 1,2,...,8. Estos valores críticos pueden ser encontrados en la Tabla 9.1 del Anexo.

Por lo tanto, para probar 0H , se elige un valor de p y se calcula

( ),hDnSTp

1h

2

n∑=

∧

=

Si ST > up,α, se rechaza la hipótesis de independencia con un tamaño α , donde up,α es el cuantil 1-α de la distribución asintótica de ST bajo la hipótesis nula.

15

3.2.2 Prueba de rachas

Campbell y Mackinlay (1997) mencionan que la prueba de rachas es comúnmente usada en

la econometría financiera para probar la hipótesis de que una muestra es aleatoria. Por medio de un estudio de simulación, Luna (2003) encuentra que esta prueba presenta buena potencia contra alternativas que no presentan independencia.

Sea n21 e,...,e,e una trayectoria muestral de tamaño n del proceso estocástico 0t,e t ≥ .

Se tiene interés en probar la hipótesis nula de que las v.a’s n21 e,...,e,e son independientes e idénticamente d istribuidas contra la alternativa de que no lo son. Para esto, una posibilidad es utilizar el número total de rachas en la secuencia de símbolos n21 E,...,E,E donde

≥<

=0e si ,00e si ,1

Ei

ii , i = 1,2,...,n,

y una racha se define como una sucesión de uno o más símbolos idénticos, los cuales son seguidos y precedidos por un símbolo diferente.

Note que n21 E,...,E,E es una secuencia ordenada en el tiempo de elementos de dos tipos (0

y 1) y que si la secuencia es aleatoria se espera que no haya ni muchas ni pocas rachas. Sea R la v. a. que denota el número total de rachas. El siguiente teorema establece la función de densidad de R bajo H0. Teorema 3.2.2.1: La distribución de probabilidad de R, la v.a. que denota el número total de rachas en una secuencia de n elementos cuando las v.a's n21 e,...,e,e son iid, es:

( )

+

−−

−−

+

−−

−−

+

−−

−−

===

imparesrsi

nnn

21r1n

23r1n

23r1n

21r1n

paresrsi

n

nn11n

11n

2

)cierta es H rR(Prf

1

21

2121

1

21

2r

2

2r

1

0R

donde: r es el número total de rachas en la secuencia y es igual a la suma del número de

rachas del tipo uno ( 1r ) y el número de rachas del tipo dos ( 2r ),

16

1n es el número de elementos del tipo uno,

y 2n es el número de elementos del segundo tipo.

• Existen tablas de los puntos críticos de la distribución de R para tamaños de muestra

menores que 20 y tamaños de prueba α = 0.01, 0.05 y 0.1, las cuales pueden ser encontradas en Conover (1971).

Si n1 >20 o n2 >20, los cuantiles de R se pueden aproximar por

( ) )1nn(nn)nnnn2(nn2

1nn

nn2R

212

21

212121

21

21

−++−−

Φ+++

= αα ,

donde Φα es el cuantil α de la distribución normal estándar.

Para probar la hipótesis nula de aleatoriedad por medio de la prueba de rachas, cada una de las observaciones se clasifica como 0 o 1 dependiendo de si es mayor o menor que 0, se calcula el número total de rachas y si ocurre que 2/2/1 RRR αα− ≤< , donde 2/2/1 R y R αα− son los cuantiles 1-α/2 y α/2 de la distribución de R bajo la hipótesis nula, respectivamente, entonces se rechaza 0H . Esta prueba es de tamaño α .

3.2.3 Prueba de McLeod Li

Brockwell y Davis (1996) y Gouriéroux (1997) mencionan que el estadístico de McLeod Li

puede usarse para probar la hipótesis nula H0 : las v.a’s n21 e,...,e,e son una muestra aleatoria de la distribución normal. En esta sección se expone cómo utilizar esta prueba.


Se tiene interés en probar la hipótesis

0H : n21 e,...,e,e son v.a’s iid ( )2µ,sN

vs

aH : n21 e,...,e,e no son v.a’s iid ( )2µ,sN

Sean ∑=

=n

1t

2te

n1

*e y ( )( )( )

( )∑

∑

=

=+∧

−

−−=

n

1t

22t

n

1t

2ht

2t

*ee

*ee*eeh? . El estadístico de McLeod Li se define

como

17

( )∑=

∧

−+=

m

1h

2

hnh?

2)n(nML .

Bajo aleatoriedad, cuando n ∞→ , 2m

d? ~ XML → . Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula

de que n21 e,...,e,e es una muestra aleatoria de la distribución normal, con un tamaño α si 2

-m,1? ML α> , donde 2-m,1? α es el cuantil 1- α de la distribución 2

m? , (Brockwell y Davis,

1996).

3.3.1 Pruebas para normalidad

En la sección 3.3.1 se presenta la prueba de Royston (1992) para probar normalidad. Esta

prueba es una extensión de la prueba de Shapiro-Wilks para normalidad con tamaños de muestra menores o iguales a 2000. En la sección 3.3.2 se presenta la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov. Esta prueba se encuentra programada en lo s paquetes S-Plus y SPSS.

3.3.1 Prueba de Royston

Sea n21 e,...,e,e una trayectoria muestral de tamaño n del proceso estocástico 0t,e t ≥ y

sean )n()2()1( e...ee ≤≤≤ las estadísticas de orden correspondientes. Una de las pruebas más

conocidas para probar la hipótesis nula de normalidad es la de Shapiro-Wilks (1965), cuyo estadístico de prueba está definido por:

( )∑

∑

=

=

−

= n

1i

2)i(

2n

1i)i(i

ee

eaW ,

donde ( )'a,...,aa n1= es tal que ∑=−

n

1i)i(iea

1n1 es el mejor estimador lineal insesgado de la

desviación estándar de e(i) asumiendo normalidad. El valor exacto de a es mVV'm

V'ma

11

1

−−

−

= ,

donde V es la matriz de covarianzas de las estadísticas de orden de una muestra de n variables aleatorias normales estándar con vector de medias m.

18

Debido a que la prueba de Shapiro-Wilks está restringida a tamaños de muestra menores o iguales a 50, se han hecho varias extensiones de esta prueba para tamaños de muestra mayores a 50. Tal es el caso de la aproximación hecha por Royston (1992), quien utiliza al vector

2/1~~

~

m'm

mc

= , donde n1,...,i ,4/1n8/3i

m 1i

~

=

+−

Φ= − , como base para aproximar a a.

Royston (1992), por medio de un análisis de regresión polinomial de nn ca − y 1n1n ca −− −

sobre 2

1

nx−

= , obtiene las ecuaciones:

n

~

a = cn + 0.221157x - 0.147981x2 - 2.07119x3 + 4.43685x4 - 2.706056x5

y 1n

~

a − = cn-1 + 0.042981x - 0.293762x2 - 1.752461x3 + 5.682633x4-3.582663x5,

y normalizando las i

~

m por medio de 5n,a2a21

m2m2m'm

1n

~

n

~

1n

~

n

~~~

>−−

−−=φ

−

− , obtiene que

5.ny 2-n3,...,i ,ma i

~

i

~

>=φ

=

Usando simulación obtiene los valores críticos de la distribución de

( )∑

∑

=

=

−

= n

1i

2)i(

2n

1i)i(i

~

ee

ea'W

correspondientes a los tamaños de prueba α = 0.01 y 0.05. Estos valores se pueden encontrar en la Tabla 9.2 del Anexo.

Para probar la hipótesis nula

0H : las v.a’s iid n21 e,...,e,e provienen de una distribución ( )2sµ,N

vs

aH : las v.a’s iid n21 e,...,e,e no provienen de una distribución ( )2sµ,N

se calcula el estadístico de prueba W’ y si W’>W1−α, se rechaza 0H , donde Wα es el cuantil

1-α de la distribución de W’ cuando la hipótesis nula es verdadera.

Alternativamente, para tamaños de muestra entre 12 y 2000, Royston propone usar la normalización del estadístico W’ dada por

19

sµw

z−

= ,

donde ( )'W1lnw −= , 32 y0038915.00.083751y-0.31082y--1.5861µ += ,

2y0030302.0y082676.04803.0exps +−−=

y ( )nlny = .

Usando z, se rechaza H0 con un tamaño α si ( ) α−≥Φ 1z , donde Φ(x) es la función de

distribución normal estándar.

3.3.2 Prueba de Kolmogorov-Smirnov


Se tiene interés en probar la hipótesis nula

0H : las v.a’s iid n21 e,...,e,e provienen de una distribución ( )2sµ,N

vs

aH : las v.a’s iid n21 e,...,e,e no provienen de una distribución ( )2sµ,N .

Suponga que n21 e,...,e,e es una muestra aleatoria de una función de distribución

acumulativa ( )⋅F y sean )n()2()1( e...ee ≤≤≤ son las estadísticas de orden correspondientes.

La función de distribución acumulativa muestral está definida por:

( ) ( ]( ) n 1,2,...,i ,eIn1

eFn

1jje,ie i

== ∑=

∞−

donde ( ]( ) ≤

=∞− d.o.m. ,0

ee si ,1eI ij

je, i,

⇔ ( )( ) n1,2,...,i ,ni

eF ie == .

Observe que, para ei fijo, ( )in eF es una estadística, ya que es una función de la muestra.

Teorema 3.3.2.1: Sea ( )xFn la función de distribución acumulativa muestral de una muestra

aleatoria de tamaño n de F(·); entonces

( ) ( )[ ] ( )[ ] n0,1,...,k ,xF1xFkn

nk

xFP knkn =−

=

= − .

•

20

Del teorema anterior, se tiene que

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )xFxF1xFkn

nk

xFEn

0k

knkn =−

= ∑

=

−

y

( ) ( ) ( )[ ].xF1xFn1

xFvar n −=

Por lo que, ( )xFn es un estimador insesgado y consistente en error cuadrado medio de F(·).

Observe que, por el teorema central del límite, cuando n ∞→ , ( )xFn se distibuye

aproximadamente

( ) ( ) ( )[ ]

− xF1xF

n1,xFN .

⇔ ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )xF1xF,0N ~Z xFxFnd

n −→− .

Se tiene interés en decir algo acerca de qué tan cerca está ( )xFn de ( )xF conjuntamente sobre todos los valores posibles x.

Teorema 3.3.2.2 ( Glivenko-Cantelli): ( ) ( ) .10xFxFsupPnn

x=

→−

∞→∞<<∞−

Note que el teorema establece que con probabilidad uno la convergencia de ( )xFn a ( )xF es uniforme en x.

Defínase

( ) ( )xFxFsupD nx

n −=∞<<∞−

.

Dn es una cantidad aleatoria que mide la desviación de ( )·Fn respecto a ( )·F . El teorema de

Glivenko-Cantelli establece que

( ) 10DlímP nn==

∞→.

El siguiente teorema establece la distribución asintótica de

( ) ( )xFxFsupnDn nx

n −=∞<<∞−

.

Teorema 3.3.2.3: Sean n21 e,...,e,e v.a’s iid con función de distribución acumulativa común

( )·F . Defínase

( ) ( ) ( )eFeFsupe,...,edD ne

n1nn −==∞<<∞−

,

21

donde ( )·Fn es la función de distribución acumulativa muestral. Entonces

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) eHeIej2exp1-2-1

eDnPlímeFlím

0,

n

1j

221j

nnDnn n

=

−=

≤=

∞=

−

∞→∞→

∑

•

Note que, si 0H es verdadera, nDn se distribuye aproximadamente como H(·) y su

distribución no depende de ( )·F ; y que si 0H es falsa, ( ) ( )xFxFsup nx

−∞<<∞−

será grande.

Por lo tanto, se rechaza 0H si nDn > α−1k , donde α−1k es tal que ( ) α=− α−1kH1 y así

( ) .HkDnP 01n α≈> α− .

La distribución exacta de Dn ha sido tabulada para varios valores de n. Los paquetes

estadísticos S-Plus y SPSS, entre otros, tienen la opción de realizar la prueba de Kolmogorov Smirnov.

3.4 Prueba de t para la hipótesis de media cero

Cuando se tiene conocimiento de que una muestra es aleatoria y normal, es posible

construir una prueba de razón de verosimilitudes para probar la hipótesis de que el parámetro de localización toma un valor 0µ conocido.


Una vez que se ha verificado que n21 e,...,e,e es una muestra aleatoria de la distribución

( )2µ,sN , con 2y µ σ desconocidos, se tiene interés en probar la hipótesis nula:

0H : ∞<σ<= 20 ,0µ vs Ha: ∞<σ<≠ 20 ,0µ .

0H puede probarse por medio de una prueba de razón de verosimilitudes. Sean n21 e,...,e,e

iid ( )2, N σµ , entonces la función de verosimilitud es:

σµ−

−

σπ= ∑

=

n

1i

2i

ne

21exp

21L .

Los valores de 2y µ σ en ∞<σ<∞<µ<−∞σµ=Ω 22 0,:, que maximizan L son:

een1 n

1ii ==µ ∑

=

∧

y ( ) 2n

1i

2i

2

seen1

=−=σ ∑=

∧. Sustituyendo estos valores en L, se tiene que:

22

( )

−

−

π

=

Ω

−

=

∧

∑ 2n

expeen

2L

2n

2n

1ii

Por otra parte, los valores de 2y µ σ en el espacio de parámetros restringido

∞<σ<=µσµ=ω 22 0,0:, que maximizan L son 0=µ y ( )∑=

∧

=σn

1i

2i

2

en1

. Así

−

π

=

ω

−

=

∧

∑ 2n

expen

2L

2n

n

1i

2i .

Por lo tanto, la razón de verosimilitudes es

( ) 2n

n

1i

2i

n

1i

2i

e

ee

−=λ

∑

∑

=

= .

Y ya que ( ) 2n

1i

2i

n

1i

2i eneee +−= ∑∑

==, se tiene que

( )

2n

n

1i

2i

2

ee

en1

−

=

−+=λ

∑.

Note que 2n

2

1nt

1−

−

+=λ , donde

)1n(ns

et

2

−

= ~ tn-1, ya que e ~ ( )n/,0N 2σ

y 1n

s 2

−~ 2

1n−χ , además de que 2sy e son v.a’s independientes.

Como λ es una función monótona de t2, la prueba puede basarse en t2, y ya que t2 = 0

cuando λ=1 y ∞→2t cuando 0→λ , la región crítica está dada por los valores de t tales que t2>k, es decir, la región crítica está formada por los valores extremos de t, positivos o

negativos. Por lo tanto, se rechaza 0H si | t | < tα/2 , donde 2s

e 1)-n(nt = y tα/2 es el cuantil

α/2 de la distribución tn-1.(Mood, Graybill y Boes, 1974).

23

4. Metodología propuesta para probar la hipótesis de movimiento Browniano

Para probar la hipótesis nula:

0H : la trayectoria muestral n21 X,...,X,X proviene de un Movimiento Browniano vs

aH : n21 X,...,X,X no proviene de un Movimiento Browniano,

se proponen 5 procedimientos de prueba secuenciales que resultan de combinar las pruebas descritas en el capítulo 5 para probar: aleatoriedad, normalidad y media cero. Éstos procedimientos son:

Procedimiento

Pruebas que se combinan P1 McLeod-Li (ML) y la prueba de t P2 Rachas (R), Royston (W’) y la prueba de t P3 Rachas (R), Kolmogorov-Smirnov (D) y la prueba de t P4 Skaug-Tjostheim (ST), Royston (W’) y la prueba de t P5 Skaug-Tjostheim (ST), Kolmogorov-Smirnov (D) y la prueba de t

Se dice que el procedimiento Pi es de tamaño α si:

( ) α≤ verdaderaes H Pi usando H rechazarP 00

( ) α−≥⇔ 1 verdaderaes H Pi usando Hrechazar noP 00 .

El lado izquierdo de la desigualdad anterior es igual a: P(cada una de las pruebas que componen a Pi no rechace la hipótesis correspondiente)........(*) Note que para poder calcular esta probabilidad es necesario conocer la distribución conjunta de las estadísticas de las pruebas que componen al procedimiento Pi. Debido a que obtener la distribución conjunta de estas estadísticas no es una tarea sencilla, es posible recurrir al uso de la desigualdad de Bonferroni para obtener una cota inferior de (*). La desigualdad de Bonferroni establece que para cualesquiera eventos ,A,...,A J1

( ) ).1J(APAPJ

1jj

J

1jj −−≥

∑

==I

Entonces, si se define jA como el evento de que la j-ésima prueba que compone al

procedimiento Pi no rechace la hipótesis correspondiente dado que es verdadera, y este evento tiene probabilidad ij1 α− , se tiene que

( ) ( ) ( )1J1 verdaderaes H Pi usando Hrechazar noPJ

1jij00 −−α−≥ ∑

=

,

24

donde J =2 cuando i = 1 y J=3 cuando i = 2,3,4,5. Así, para obtener una prueba de tamaño α haciendo uso del procedimiento Pi, i = 1,2,...,5,

se eligen valores ijα tales que ∑=

α=αJ

1jij , Casella (1990).

El procedimiento de prueba Pi para probar 0H con un tamaño α es el siguiente:

1. Calcular los incrementos 1nnn122011 XXe,...,XXe,XXe −−=−=−= ,

2. Con base en n21 e,...,e,e , calcular los estadísticos ML, R, ST, W’, D y t.

3. Rechazar 0H con un tamaño α si al menos uno de los estadísticos de prueba que

componen a Pi rechaza la hipótesis correspondiente.

El siguiente diagrama ilustra el procedimiento secuencial para probar 0H .

Probar la hipótesis de aleatoriedad con base en n1 e,...,e Rechazar H0

Si se rechaza aleatoriedad

Si no se rechaza aleatoriedad

Probar la hipótesis de normalidad Si se rechaza normalidad

Probar la hipótesis de media cero

Si no se rechaza normalidad

Si se rechaza la hipótesis de media cero

Si no se rechaza la hipótesis de media cero

No rechazar H0

Rechazar H0

Rechazar H0

Calcular ,XXe 1ttt −−= t =1,...,n

25

5. Estudio comparativo de las pruebas propuestas por simulación

Cuando se hace una prueba de hipótesis estadística existe siempre la posibilidad de equivocarse al decidir aceptar o rechazar la hipótesis nula. El error que se comete cuando se decide rechazar la hipótesis nula dado que es verdadera, es llamado el error tipo I y el que se comete cuando se decide aceptar la hipótesis nula dado que es falsa, es el error tipo II.

Típicamente, para comparar diferentes pruebas para probar una hipótesis dada, se consideran las pruebas

cuya probabilidad de error de tipo I es menor o igual a una cantidad fijada α , llamada el tamaño de la prueba, y se

escoge aquella prueba cuya probabilidad de rechazar la hipótesis nula dado que la hipótesis alternativa es verdadera, es máxima; esta probabilidad es llamada la potencia de la prueba. Cuando la potencia es máxima, la probabilidad de error tipo II es mínima.

En general, es deseable encontrar pruebas que conserven el tamaño deseado y que tengan una potencia lo más grande posible contra cualquier hipótesis alternativa.

En este capítulo se hace un estudio por medio de simulación del tamaño de los procedimientos propuestos para probar la hipótesis de movimiento Browniano, así como una comparación de la potencia de los mismos.

En la sección 5.1 se presentan los resultados obtenidos acerca del tamaño de los procedimientos. En la sección 5.2, se presentan los resultados para la potencia. En la sección 5.3 se hace una discusión de los resultados de las secciones 5.1 y 5.2.

5.1 Tamaño de las pruebas

Para estimar la probabilidad con que el procedimiento Pi rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera se utilizó el siguiente algoritmo:

1. Generar una trayectoria muestral de tamaño n, n21 X,...,X,X , de un movimiento Browniano.

2. Calcular 1nnn122011 XXe...,,XXe,XXe −−=−=−= .

3. Con base en n21 e,...,e,e , calcular los estadísticos ML, R, ST, W’, D y t.

4. Rechazar la hipótesis nula con el procedimiento Pi si al menos uno de los estadísticos de prueba que lo componen rechaza la hipótesis correspondiente.

5. Asociar el número 1 al procedimiento Pi si éste rechaza la hipótesis nula o el número 0 si no la rechaza. 6. Repetir J veces los pasos anteriores. 7. Para cada estadístico, dividir por J la suma de los números que tenga asociados.

La cantidad que resulta en el paso 7 es la probabilidad estimada de cometer el error tipo I

cuando se usa el procedimiento Pi para probar la hipótesis de movimiento Browniano y n está dado.

26

5.1.1 Resultados

Para estimar la probabilidad con que el procedimiento Pi rechaza H0 cuando es verdadera haciendo uso del algoritmo de la Sección 5.1, se consideraron diferentes tamaños de trayectorias muestrales. Estos son los tamaños: “pequeños”, n = 20, 30, 50, y los “grandes”, n = 100, 200 y 300. El número de repeticiones utilizado es J = 2000 y el tamaño de la prueba es α = 0.1. Los tamaños con que se efectuaron las pruebas que componen

cada uno de los procedimientos se presentan en el cuadro 5.1.1.1.

Cuadro 5.1.1.1 Tamaños con que se efectuaron las pruebas que componen cada uno de los procedimientos de prueba.

Procedimiento ST ML R W’ K-S T α

P1 --- 0.05 --- --- --- 0.05 0.1 P2 --- --- 0.05 0.025 --- 0.025 0.1 P3 --- --- 0.05 --- 0.025 0.025 0.1 P4 0.05 --- --- 0.025 --- 0.025 0.1 P5 0.05 --- --- --- 0.025 0.025 0.1

Para realizar la prueba de Skaug-Tjostheim se consideró p = 5. Para la prueba de McLeod-Li se consideró m

= 10, en el caso de tamaños de trayectorias muestrales pequeños y m = 20, en el caso de tamaños de trayectorias grandes.

En el Cuadro 5.1.1.2 y en la Gráfica 5.1.1.1 se presentan las probabilidades estimadas de

cometer el error tipo I usando los procedimientos P1, P2, P3, P4 y P5.

La probabilidad estimada de cometer el error tipo I usando el procedimiento P1 es menor que α = 0.1 cuando n = 20, 30, 50, 100, 300. Cuando n = 200, dicha probabilidad es 0.006 unidades mayor que α.

Para n = 20, 30, 50 y 200, la probabilidad estimada de cometer el error tipo I usando el procedimiento P2 es menor que el tamaño de la prueba. Para n = 100 y 300, esta probabilidad es 0.003 y 0.0005 unidades mayor que 0.1, respectivamente.

La probabilidad estimada de cometer el error tipo I usando el procedimiento P3 es menor que 0.1 para todos los tamaños de trayectoria muestral considerados, excepto para n = 300. En este caso, tal probabilidad es 0.003 unidades mayor que 0.1.

Para tamaños de trayectorias muestrales pequeños, la probabilidad estimada de cometer el error tipo I usando el procedimiento P4 es siempre mucho mayor que el tamaño de la prueba. Cuando n = 20, esta probabilidad es 2.5 veces el tamaño de la prueba, y cuando n = 50, dicha probabilidad es igual a 0.141.

Para tamaños de trayectorias muestrales grandes, la probabilidad estimada de cometer el error tipo I usando el procedimiento P4 también excede el tamaño de la prueba, sólo que en este caso la diferencia entre la probabilidad

27

estimada y el tamaño de la prueba, no es tan grande como en el caso de tamaños pequeños. Por ejemplo, cuando n = 100, la probabilidad estimada del error tipo I es igual a 0.117 y es igual a 0.104 cuando n = 200, 300.

Cuando se consideran tamaños de trayectorias muestrales pequeños, de la misma manera que en el caso del procedimiento P4, el procedimiento P5 tampoco conserva el tamaño de la prueba, y aunque la diferencia entre la probabilidad estimada de cometer el error tipo I y el tamaño de la prueba, disminuye conforme aumenta el tamaño de la trayectoria muestral, en el mejor de los casos, esta diferencia es igual a 0.034.

Para el caso de tamaños de trayectorias muestrales grandes, la probabilidad estimada de cometer el error tipo I usando el procedimiento P5 es un poco mayor que el tamaño de la prueba. Cuando n = 100, 200 y 300, esta probabilidad es igual a 0.108, 0.107 y 0.101, respectivamente.

En resumen, para tamaños de trayectorias muestrales “pequeños”, es decir, n = 20, 30 y 50, los procedimientos P1, P2 y P3 sí conservan el tamaño de la prueba, mientras que los procedimientos P4 y P5, no lo conservan. Para tamaños “grandes”, n = 100, 200 y 300, puede decirse que P1, P2, P3 y P5 prácticamente también conservan el tamaño de la prueba, ya que en el peor de los casos, α es excedida 0.008 unidades. Cuando n = 100, el procedimiento P4 no conserva el tamaño de la prueba y cuando n = 200, 300 puede decirse que sí lo conserva. Cuadro 5.1.1.2 Probabilidades estimadas de cometer el error tipo I usando los procedimientos de prueba P1, P2,

P3, P4 y P5, con .1.0=α

n P1 P2 P3 P4 P5

20 0,0785 0,0980 0,0955 0.2500 0.2400

30 0,0905 0,0980 0,0930 0.1830 0.1810

50 0,0790 0,0970 0,0960 0.1410 0.1340

100 0,0970 0,1030 0,0985 0.1170 0.1080

200 0,1060 0,0955 0,0870 0.1040 0.1070

300 0,0960 0,1005 0,1030 0.1040 0.1010

Gráfica 5.1.1.1 Probabilidades estimadas de cometer el error tipo I usando los procedimientos de prueba P1, P2,

P3, P4 y P5, con .1.0=α

28

0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.200.220.240.260.28

0 50 100 150 200 250 300

n

Pro

babi

lidad

del

err

or ti

po I

P1

P2

P3

P4

P5

5.2 Potencia de las pruebas

En el estudio de potencia que se presenta en esta sección, únicamente se consideraron los procedimientos P1, P2 y P3. Los procedimientos P4 y P5 no fueron considerados debido a que se requiere de mucho tiempo para efectuar los cálculos cuando se tienen tamaños de trayectorias muestrales grandes.

Para comparar los procedimientos P1, P2 y P3 con base en su potencia, se generaron trayectorias muestrales de tamaño n = 20, 30, 50, 100, 200 y 300 de procesos no brownianos. La potencia se estimó usando el siguiente algoritmo: 1. Generar una trayectoria muestral de tamaño n, n21 X,...,X,X , de un proceso alternativo.

2. Seguir los pasos 2 a 7 del algoritmo de la sección 5.1

La cantidad que resulta en el paso 7 es la probabilidad estimada con que cada procedimiento rechaza la hipótesis nula dada la alternativa.

Los modelos alternativos considerados para realizar la comparación son los siguientes: 1. El proceso autorregresivo de orden 1, AR(1):

( )0,4iidN Z,ZXX tt1tt +φ= − ,

para valores de 0.9 0.75, 0.5, 0.25, 0.1,=φ .

Este modelo es de interés debido a que se tiene un movimiento Browniano si 1=φ .

Las Gráficas 5.2.1 y 5.2.2 muestran una trayectoria muestral simulada de un proceso AR(1) con 0.1 =φ y

sus correspondientes primeras diferencias.

Gráfica 5.2.1 Trayectoria muestral simulada de un proceso AR(1) con 0.1. =φ

29

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 50 100 150 200

t

Xt

Gráfica 5.2.2 Primeras diferencias de una trayectoria muestral simulada de un proceso AR(1)

con 0.1. =φ

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 50 100 150 200

t

e t

2. Para estudiar la sensibilidad de los procedimientos P1, P2 y P3 cuando los incrementos del proceso no

son idénticamente distribuidos se consideraron los siguientes modelos:

• ,ZXX t1tt += − donde las tZ ’s son v.a’s independientes y tienen

distribución ( )22 t0,0.1N

En la Gráfica 5.2.3 se presenta una trayectoria muestral simulada de este proceso. La Gráfica 5.2.4 muestra las primeras diferencias de esta trayectoria. En esta gráfica es evidente que no existe homogeneidad de varianzas de los incrementos de orden uno.

Gráfica 5.2.3 Trayectoria muestral simulada del proceso ( )( ) 0.1t0,iN Z,ZXX 2tt1tt += −

30

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 50 100 150 200

t

Xt

Gráfica 5.2.4 Primeras diferencias de una trayectoria muestral simulada del proceso

( )( ) 0.1t0,iN Z,ZXX 2tt1tt += −

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200

t

e t

• ,ZXX t1tt += − donde las v.a’s tZ son independientes y tales que

( ) 4t0,N~ Zentonces 2n tsi 2t< y si 2nt ≥ entonces ( )22

t t0,0.1N~ Z

• i Z,ZXX tt1tt += − ( )2s0,N , donde σ es una v.a. con distribución U(0,2).

En las Gráficas 5.2.5 y 5.2.6 se presentan una trayectoria muestral simulada de este tipo de proceso y las primeras diferencias correspondientes. En la Gráfica 5.2.6 se observa claramente que existe heterogeneidad de varianzas.

Gráfica 5.2.5 Trayectoria muestral simulada del proceso i Z,ZXX tt1tt += − ( )2s0,N y

( )0,2 U~ s

31

-10

-8

-6

-4

-2

0

24

6

8

10

0 50 100 150 200

t

Xt


i Z,ZXX tt1tt += − ( )2s0,N y ( )0,2U~ s

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 50 100 150 200

t

e t

3. ,ZXX t1tt += − donde las v. a’s iidson Zt con distribución:

§ tk, k = 4 y 8 grados de libertad § logística(0,1) § Cauchy(0,1)

En la Gráfica 5.2.7 se presenta una trayectoria muestral simulada del proceso

tiid Z,ZXX 4tt1tt += − . En la Gráfica 5.2.8 se presentan las primeras diferencias de esta

trayectoria.

Gráfica 5.2.7 Trayectoria muestral simulada del proceso tiid Z,ZXX 4tt1tt += − .

32

-32

-28

-24

-20

-16

-12

-8

-4

0

0 50 100 150 200

t

Xt

Gráfica 5.2.8 Primeras diferencias de una trayectoria muestral simulada del proceso tiid Z,ZXX 4tt1tt += − .

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 50 100 150 200

t

e t

4. iidson Zsa' v.las donde ,ZXX tt1tt += − ( ) .50,3.0 .1,0 µ de valorespara ,1,µN = .

En las Gráficas 5.2.9 y 5.2.10 se presentan una trayectoria muestral simulada de este proceso y sus correspondientes primeras diferencias.

Gráfica 5.2.9 Trayectoria muestral simulada del proceso N(0.5,4) iid Z,ZXX tt1tt += −

33

0102030405060708090

100110

0 50 100 150 200

t

Xt


N(0.5,4) iid Z,ZXX tt1tt += −

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 50 100 150 200

t

e t

En las secciones 5.2.1 a 5.2.4 se presentan los resultados obtenidos cuando se considera cada una de las alternativas mencionadas anteriormente.

34

5.2.1 Resultados cuando el modelo alternativo es el proceso AR(1)

En esta sección se comentan y presentan gráficamente los resultados obtenidos al considerar como modelo alternativo al proceso AR(1):

( )0,4iidN Z,ZXX tt1tt +φ= − ,

para valores de 0.9 0.75, 0.5, 0.25, 0.1,=φ y trayectorias muestrales de tamaño n = 20, 30, 50, 100, 200,

300.

Los resultados son presentados de dos maneras. Primero se analiza el comportamiento de la potencia cuando el tamaño de la trayectoria muestral está fijo y el coeficiente φ toma los valores 0.9 0.75, 0.5, 0.25, 0.1, .

Después se analiza el caso en que el coeficiente φ está fijo y el tamaño de la trayectoria muestral es n = 20, 30,

50, 100, 200, 300.

Las Gráficas 5.2.1.1 a 5.2.1.6 muestran el comportamiento de la potencia de P1, P2 y P3 al fijar el tamaño de

la trayectoria muestral y variar φ . Los datos con que fueron elaboradas estas gráficas se encuentran en el

Cuadro 9.1 del Anexo.

En la Gráfica 5.2.1.1 se presentan las potencias estimadas de P1, P2 y P3 cuando n=20 y la alternativa es

( )0,4iidN Z,ZXX tt1tt +φ= − , 0.9 0.75, 0.5, 0.25, 0.1,=φ . La potencia estimada de P1 es menor que

el tamaño de la prueba α = 0.1 para todos los valores de φ considerados. La potencia estimada de P2 y P3 es

menor que 0.1 cuando φ = 0.9, 0.75 y 0.5. La máxima potencia de P2 y P3 es 0.18 y ocurre cuando φ = 0.1.

Gráfica 5.2.1.1 Potencia estimada de los procedimientos contra la alternativa

( )0,4iidN Z,ZXX tt1tt +φ= − y n = 20, .1.0=α .

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.30.35

0.4

0.45

0.5

0 0.25 0.5 0.75 1

φ

Pot

enci

a P1

P2

P3

En la Gráfica 5.2.1.2 se presentan las potencias estimadas de P1, P2 y P3 contra la alternativa

( )0,4iidN Z,ZXX tt1tt +φ= − , 0.9 0.75, 0.5, 0.25, 0.1,=φ cuando n = 30. La potencia estimada de P1

es siempre menor que α = 0.1. La potencia de P2 y P3 es menor que 0.1 cuando φ = 0.9 y 0.75. La máxima potencia de P2 y P3 es 0.31 y se presenta cuando φ = 0.1.

35


( )0,4iidN Z,ZXX tt1tt +φ= − y n=30, .1.0=α

00.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.25 0.5 0.75 1

φ

Pot

enci

a P1

P2

P3


( )0,4iidN Z,ZXX tt1tt +φ= − , 0.9 0.75, 0.5, 0.25, 0.1,=φ y n = 50. La potencia estimada de P1 es

siempre menor que α = 0.1. La potencia estimada de P2 y P3 es prácticamente igual para todos los valores de φ.

Cuando φ = 0.9 y 0.75, la potencia de P2 y P3 es inferior a 0.1. La máxima potencia de P2 y P3 es 0.5555 y se presenta cuando φ = 0.1.


( )0,4iidN Z,ZXX tt1tt +φ= − y n = 50, .1.0=α

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.8

0.9

1

0 0.25 0.5 0.75 1

φ

Pot

enci

a P1

P2

P3



36

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.8

0.9

1

0 0.25 0.5 0.75 1

φ

Pot

enci

a P1

P2

P3


( )0,4iidN Z,ZXX tt1tt +φ= − , 0.9 0.75, 0.5, 0.25, 0.1,=φ y n = 200. Cuando φ = 0.9, 0.75 y 0.5, la

potencia estimada del procedimiento P1 es menor que el tamaño de la prueba. Cuando φ =0.1, P1 tiene potencia

igual a 0.3. La potencia estimada de P2 y P3 es prácticamente igual para todos los valores de φ. Cuando φ = 0.5, la potencia estimada de P2 y P3 es 0.63. Cuando φ = 0.25 y 0.1, la potencia de P2 y P3 está cerca de 1.



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,25 0,5 0,75 1

φ

Pot

enci

a P1

P2

P3


( )0,4iidN Z,ZXX tt1tt +φ= − , 0.9 0.75, 0.5, 0.25, 0.1,=φ y n = 300. Cuando φ = 0.9, 0.75 y 0.5, la potencia estimada del procedimiento P1 es menor que el tamaño de la prueba. Cuando φ = 0.1, la potencia de P1 es igual a 0.4555. La potencia estimada de P2 y P3 es prácticamente igual para todos los valores de φ. Cuando φ = 0.5, la potencia estimada de P2 y P3 es 0.797. Cuando φ = 0.25 y 0.1, la potencia de P2 y P3 e s 1.



37

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.8

0.9

1

0 0.25 0.5 0.75 1

φ

Pot

enci

a P1

P2

P3

Las Gráficas 5.2.1.7 a 5.2.1.11 muestran el comportamiento de la potencia de P1, P2 y P3 cuando la

alternativa es el proceso AR(1), φ está fijo y el tamaño de la trayectoria muestral cambia.


( )0,4N iid Z,Z0.9XX tt1tt += − . En este caso ningún procedimiento presenta potencia para ningono de los

tamaños de trayectorias muestrales considerados. Cuando n = 200 y 300, P2 y P3 presentan máxima potencia estimada ligeramente mayor a 0.1.


( )0,4N iid Z,Z0.9XX tt1tt += − , .1.0=α

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

En la Gráfica 5.2.1.8 se presentan las potencias estimadas de P1, P2 y P3 cuando

( )0,4N iid Z,ZX75.0X tt1tt += − es la alternativa. La potencia estimada del procedimiento P1 es siempre

menor que el tamaño de la prueba. La potencias estimadas de los procedimientos P2 y P3 son prácticamente iguales. Para tamaños de trayectorias muestrales pequeños, P2 y P3 tienen potencia estimada inferior al tamaño de la prueba. Cuando n = 300, P2 y P3 presentan máxima potencia estimada igual a 0.269.


( )0,4N iid Z,ZX75.0X tt1tt += − , .1.0=α

38

00.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.450.5

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3


( )0,4N iid Z,ZX5.0X tt1tt += − es la alternativa. La potencia estimada del procedimiento P1 es siempre

menor que el tamaño de la prueba. Las potencias estimadas de los procedimientos P2 y P3 son prácticamente iguales. Para tamaños de trayectorias muestrales pequeños, la máxima potencia alcanzada por P2 y P3 es 0.21, y aproximadamente 0.8 para tamaños de trayectorias muestrales grandes.


( )0,4N iid Z,ZX25.0X tt1tt += − es la alternativa. Para tamaños de trayectorias muestrales pequeños, la

potencia estimada de P1 es siempre menor que el tamaño de la prueba. Para tamaños de trayectorias muestrales grandes, la máxima potencia estimada alcanzada por P1 es 0.233. Las potencias estimadas de los procedimientos P2 y P3 son prácticamente iguales. Para tamaños de trayectorias muestrales pequeños, la máxima potencia alcanzada por P2 y P3 es 0.4. Para n = 200 la potencia de P2 y P3 es 0.958 y aproximadamente 1 para n = 300.


( )0,4N iid Z,ZX5.0X tt1tt += − , .1.0=α

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

39


( )0,4N iid Z,ZX25.0X tt1tt += − , .1.0=α

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3


( )0,4N iid Z,ZX1.0X tt1tt += − es la alternativa. Cuando se consideran tamaños de trayectorias muestrales

pequeños, la potencia estimada de P1 es siempre menor que el tamaño de la prueba. Para tamaños de trayectorias muestrales grandes, la máxima potencia estimada alcanzada por P1 es 0.4555. Las potencias estimadas de los procedimientos P2 y P3 son prácticamente iguales. Para tamaños de trayectorias muestrales pequeños, la máxima potencia alcanzada por P2 y P3 es 0.5555. Cuando n = 100 la potencia de P2 y P3 es igual a 0.87 y aproximadamente 1 cuando n = 200 y 300.

Gráfica 5.2.1.11 Potencia estimada de los procedimientos con la alternativa

( )0,4iidN Z,Z.1X0X tt1tt += − , .1.0=α

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

5.2.2 Resultados cuando las alternativas tienen distribuciones que son diferentes

40

En esta sección se comentan y presentan gráficamente los resultados obtenidos acerca de la potencia de los procedimientos cuando se consideran alternativas con incrementos que son normales e independientes pero que no son idénticamente distribuidos. Los datos con que fueron elaboradas las Gráficas 5.2.2.1 a 5.2.2.3 se encuentran en el Cuadro 9.2 del Anexo.

En la Gráfica 5.2.2.1 se presentan las potencias estimadas de los procedimientos P1, P2 y P3 cuando el

modelo de la alternativa es ( )( )2tt1tt 0.1t0,N ind. Z,ZXX += − .

Para tamaños de trayectorias muestrales pequeños, el procedimiento P2 es uniformemente más potente que los

procedimientos P1 y P3. P2 presenta una potencia un poco mayor que la de P3 y es notablemente más potente que P1. Mientras que la potencia estimada de P2 es 0.2155 cuando n = 20, la de P1 es 0.0645, y mientras que la potencia de P2 es 0.503 cuando n = 50, la de P1 es 0.2455; es decir, P2 es aproximadamente 2 veces más potente que P1 cuando n = 50.

Para tamaños de trayectorias muestrales grandes, n = 100, el procedimiento P1 es uniformemente más potente que P2 y P3. Cuando n = 100, la potencia estimada de P1 es 0.878 y la de P3 es 0.8115. Para n = 200 y 300, los 3 procedimientos tienen potencia aproximadamente igual a 1.

Gráfica 5.2.2.1 Potencia estimada de los procedimientos cuando la alternativa es

( )( )2tt1tt 0.1t0,N iid. Z,ZXX += − , .1.0=α

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

En la Gráfica 5.2.2.2 se presentan las potencias estimadas de los procedimientos P1, P2 y P3 contra la

alternativa ( ) 0,N ind. Z,ZXX 2tt1tt σ+= − y ( )0,2 U~ s .

Para tamaños de trayectorias muestrales pequeños, la potencia del procedimiento P1 es siempre menor que

0.1. Cuando n = 20, la potencia estimada de P3 es 0.2735 y es mayor que la de P2. Cuando n = 50, la potencia estimada de P2 es 0.542 y es mayor que la de P3.

Para tamaños de trayectorias muestrales grandes, n = 100, el procedimiento P2 es uniformemente más potente que P1 y P3. El procedimiento P3 es un poco menos potente que P2. La máxima potencia alcanzada por P1 es 0.106 y ocurre cuando n = 300. Cuando n = 100, P2 tiene potencia igual a 0.848 y cuando n = 200 y 300, tiene potencia aproximadamente igual a 1.

41


( ) 0,N ind. Z,ZXX 2tt1tt σ+= − y ( )0,2 U~ s , .1.0=α

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

En la Gráfica 5.2.2.3 se muestra el comportamiento de la potencia de los procedimientos P1, P2 y P3 cuando se considera la alternativa:

,ZXX t1tt += − ( )2n

t,ts0,N~ y Z 2n

t,2t

0,N~ Z 22t

2

t ≥<

.

Para tamaños de trayectorias muestrales pequeños, P2 es uniformemente más potente que P3 y P3 es uniformemente más potente que P1. Existen diferencias importantes entre las potencias de los tres procedimientos, p. ej., cuando n = 50, la potencia estimada de P2 es 0.564, mientras que la de P3 es 0.3675 y la de P1, 0.2665.

Para tamaños de trayectorias muestrales grandes, n = 100, P2 es uniformemente más potente que P1 y P1 es

uniformemente más potente que P3. Cuando n = 200, las potencias estimadas de P1, P2 y P3 son 0.9885, 0.9945 y 0.949, respectivamente. Cuando n = 300, las potencias de los 3 procedimientos son aproximadamente iguales a 1.


,ZXX t1tt += − ( )2n

t,ts0,N~ y Z 2n

t,4t

0,N~ Z 22t

2

t ≥<

, .1.0=α

42

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

5.2.3 Resultados cuando no hay normalidad en la alternativa

En esta sección se comentan y presentan en forma gráfica los resultados obtenidos para la potencia de los procedimientos cuando se consideran alternativas con incrementos que no son normales pero sí son independientes e idénticamente distribuidos con media cero y varianza constante. Los datos con que se elaboraron las gráficas 5.2.3.1 a 5.2.3.4 se encuentran en el cuadro 9.3 del Anexo.

En la Gráfica 5.2.3.1 se observa que existen importantes diferencias entre las potencias estimadas de los

procedimientos P1, P2 y P3 cuando se considera la alternativa 4tt1tt tiid Z,ZXX += − . El procedimiento

P2 es uniformemente más potente que P3 y el procedimiento P3 es uniformemente más potente que P1. La potencia estimada del procedimiento P1 es menor que 0.1 para todos los tamaños de trayectoria muestral considerados. Cuando n = 50, la potencia estimada de P2 es 0.4565 mientras que la de P3 es 0.279. Cuando n = 300, la potencia estimada de P2 es 0.981 mientras que la de P3 es 0.839.


4tt1tt tiid Z,ZXX += − , 1.0=α .

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

43

En las Gráficas 5.2.3.2 y 5.2.3.3 se presentan las potencias estimadas de P1, P2 y P3 contra las alternativas

8tt1tt tiid Z,ZXX += − y logis(0,1) iid Z,ZXX tt1tt += − respectivamente. El comportamiento de

la potencia de los procedimientos contra estas alternativas es muy parecido debido a que la distribuciones t8 y logis(0,1) son semejantes. En ambos casos, el procedimiento P2 es uniformemente más potente que P3 y P3 es uniformemente más potente que P1. La potencia estimada del procedimiento P1 contra ambas alternativas es menor o igual a 0.1 para todos los tamaños de trayectorias muestrales considerados. Con tamaños de trayectorias muestrales pequeños, la máxima potencia alcanzada por P2 es un poco mayor que 0.2 y es aproximadamente igual a 0.6 cuando n = 300.

Cuando la alternativa es dada por )Cauchy(0,1 iid Z,ZXX tt1tt += − , la potencia estimada del

procedimiento P1 es siempre menor que el tamaño de la prueba. La potencia estimada de los procedimientos P2 y P3 es parecida para todos los tamaños de trayectorias muestrales considerados. Para n = 50, la potencia de P2 y P3 es igual a 0.55 y para n = 100, 200 y 300, es igual a 1.


8tt1tt tiid Z,ZXX += − , 1.0=α .

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

encia P1

P2

P3


,logis(0,1) iid Z,ZXX tt1tt += − 1.0=α .

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

44

Gráfica 5.2.3.4 Potencia estimada de los procedimientos con la alternativa )Cauchy(0,1 iid Z,ZXX tt1tt += − , 1.0=α .

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

5.2.4 Resultados cuando la media no es cero en la alternativa

En la presente sección se comentan y presentan gráficas de los resultados obtenidos acerca de la potencia de

los procedimientos cuando se consideran alternativas con incrementos independientes e idénticamente distribuidos normales con media diferente de 0. Los datos con que fueron elaboradas las Gráficas 5.2.4.1 se encuentran en el cuadro 9.4 del anexo.

Cuando ( )0.1,4N iid Z,ZXX tt1tt += − , es la alternativa, la máxima potencia alcanzada por los

procedimientos no llega a ser igual a 0.2.


( )0.1,4N iid Z,ZXX tt1tt += − , 1.0=α .

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

Cuando ( )0.3,4N iid Z,ZXX tt1tt += − , es la alternativa, la potencia estimada de los procedimientos

aumenta considerableme nte en comparación con el caso anterior. El procedimiento P1 es uniformemente más potente que los otros dos. Para tamaños de trayectorias muestrales pequeños, la máxima potencia alcanzada por

45

P1 es 0.204 (n = 50) y para tamaños de trayectorias grandes es igual a 0.764 (n = 300). Los procedimientos P2 y P3 tienen prácticamente la misma potencia estimada para todos los tamaños de trayectorias muestrales. Cuando n = 300, la potencia de P2 y P3 es aproximadamente igual a 0.66.


( )0.3,4N iid Z,ZXX tt1tt += − , 1.0=α .

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

Cuando el modelo de la alternativa es ( )0.5,4N iid Z,ZXX tt1tt += − , las potencias de P1, P2 y P3

aumentan a medida que aumenta el tamaño de la trayectoria muestral. El procedimiento P1 es uniformemente más potente que P2 y P3. La potencia estimada de P1 es igual a 0.4305 cuando n = 50, y es igual a 0.992 cuando n = 300. Los procedimientos P2 y P3 presentan prácticamente la misma potencia para todos los tamaños de trayectorias muestrales considerados. La máxima potencia alcanzada por estos procedimientos es 0.979.


( )0.5,4N iid Z,ZXX tt1tt += − , 1.0=α .

46

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200 250 300

n

Pot

enci

a P1

P2

P3

5.3 Discusión de resultados

Acerca del tamaño de los procedimientos, cuando se consideran tamaños de trayectorias muestrales pequeños, los procedimientos P1, P2 y P3 presentan probabilidades estimadas de cometer el error tipo I menores que 0.1; por lo tanto, estos procedimientos sí conservan el tamaño de la prueba. Los procedimientos P4 y P5 presentan probabilidades estimadas de cometer el error tipo I mucho mayores que 0.1 por lo que se dice que P4 y P5 no conservan el tamaño de la prueba cuando n es pequeño.

El hecho de que los procedimientos que incluyen a la prueba Skaug y Tjostheim (P4 y P5) presenten probabilidades estimadas de cometer el error tipo I mucho mayores que 0.1 cuando n es pequeño, se debe a que la distribución de la estadística de prueba de la prueba de Skaug y Tjostheim es una distribución asintótica.

Para tamaños de trayectorias muestrales grandes, los procedimientos P1, P2, P3 y P5 presentan probabilidades estimadas de cometer el error tipo I menores que y ligeramente mayores que el tamaño de la prueba. Cuando n = 100, la probabilidad estimada de cometer el error tipo I usando el procedimiento P4 es igual a 0.117 y cuando n = 200, 300, es ligeramente mayor que 0.1.

Cuando el modelo de la alternativa es el proceso autorregresivo de orden 1, los comportamientos de las potencias de los procedimientos P2 y P3 son muy parecidos. Las potencias de estos procedimientos aumentan a medida que φ se aleja de 1 y aumenta el tamaño de la trayectoria muestral. Cuando φ = 0.5, P2 y P3 presentan muy buena potencia, sobre todo para tamaños de trayectorias muestrales grandes. Las potencias de los procedimientos P2 y P3 son siempre mayores que la potencia del procedimiento P1, el cual presenta baja potencia aún cuando φ = 0.1, 0.25 y el tamaño de trayectoria muestral es grande.

47

Cuando la alternativa es dada por el modelo: ( )( ) 0.1t0,iN Z,ZXX 2tt1tt += − , para tamaños de

trayectorias muestrales pequeños, el procedimiento P2 es uniformemente más potente que los procedimientos P1 y P3. Cuando n = 50, P2 tiene una potencia ligeramente mayor que 0.5. En el caso en que se consideran tamaños de trayectorias muestrales grandes, cuando n = 100, el procedimiento P1 es más potente que P2 y P3, y cuando n = 200 y 300, la potencia de los 3 procedimientos es prácticamente igual a 1.

Cuando la alternativa es dada por el modelo: i Z,ZXX tt1tt += − ( )2s0,N , donde s es una v.a. con

distribución U(0,2), a diferencia del caso anterior, el procedimiento P1 no presenta potencia para ninguno de los tamaños de trayectorias muestrales considerados. Los procedimientos P2 y P3 presentan buenas potencias y son muy parecidas; además, las potencias de estos procedimientos aumentan rápidamente cuando aumenta el tamaño de la trayectoria muestral.

Cuando la alternativa es dada por el modelo: ,ZXX t1tt += − donde las v.a’s tZ son independientes y

tales que ( ) 4t0,N~ Zentonces 2n tsi 2t< y si 2nt ≥ entonces ( )22

t t0,0.1N~ Z , y los tamaños

de las trayectorias muestrales son pequeños, existen notables diferencias entre las potencias de los 3 procedimientos. En este caso, el procedimiento P2 es el que presenta mayor potencia y la máxima potencia alcanzada por este procedimiento es igual a 0.564, cuando n = 50. Para tamaños de trayectorias muestrales grandes, al igual que con tamaños pequeños, el procedimiento P2 presenta mayor potencia que los otros 2 procedimientos. Sin embargo, en este caso, la diferencias entre las potencias de los 3 procedimientos ya no son tan grandes; de hecho, las potencias de P1, P2 y P3 son mayores o iguales que 0.95, cuando n = 200 y 300.

Cuando se consideran las alternativas iid Z,ZXX tt1tt += − con distribuciones t4, t8 y

logis(0,1), en los tres casos, el procedimiento P2 presenta potencia estimada mayor que las potencias estimadas de los procedimientos P1 y P3 para todos los tamaños de trayectorias muestrales considerados. Las diferencias entre las potencias de los 3 procedimientos son grandes. El procedimiento P1 no presenta potencia contra ninguna de las 3 alternativas. La marcada diferencia que presentan las potencias de los procedimientos P2 y P3 se debe a que la prueba de Royston es más sensible que la prueba de Kolmogorov-Smirnov ante estas alternativas.

Cuando la alternativa es dada por el modelo: iid Z,ZXX tt1tt += − con distribución Cauchy(0,1), el

procedimiento P1 no presenta potencia para ninguno de los tamaños muestrales considerados. Los procedimientos P2 y P3 presentan prácticamente la misma potencia con cada uno de los tamaños muestrales. Para n = 50, la potencia de P2 y P3 aumenta rápidamente a medida que aumenta el tamaño de la trayectoria muestral, y estas potencias son iguales a uno cuando n = 100.

En resumen, el procedimiento P1 no detecta desviaciones de la normalidad, aún cuando en

la alternativa se consideren distribuciones completamente diferentes a la normal, como es el caso de la distribución Cauchy(0,1). El procedimiento P2 es el que presenta mayor potencia

48

contra las alternativas que no presentan normalidad. El procedimiento P3 presenta menor potencia que el procedimiento P2.

Cuando en la alternativa se considera como modelo alternativo a ,ZXX t1tt += − iid Zt con distribución

( ),4N µ y µ = 0.1, los 3 procedimientos presentan baja potencia. Esto se debe a que 0.1 está cerca de 0. Cuando

µ = 0.3, las potencias de los 3 procedimientos aumentan considerablemente en comparación con el caso en que µ = 0.1. En este caso P1 presenta mayor potencia que los procedimientos P2 y P3, los cuales presentan prácticamente la misma potencia. Cuando µ = 0.5, de la misma manera que cuando µ = 0.3, la potencia de los 3 procedimientos aumenta rápidamente como función del tamaño de la trayectoria muestral y llega a ser aproximadamente igual a uno cuando n = 300.

49

6. Aplicaciones

La metodología propuesta es aplicada a los siguientes conjuntos de datos para probar la hipótesis de

movimiento Browniano con base en una trayectoria muestral de tamaño n: 1. Precios de petróleo crudo durante el periodo 16/7/1996 a 21/4/1997 en los Estados Unidos (n = 275). 2. Logaritmos de los precios de petróleo crudo (n = 275). 3. Precios de gas durante el periodo 1/1/1997 a 8/12/1997 en los Estados Unidos (n = 244). 4. Logaritmos de los precios de gas (n = 244). 5. Precios de cierre diarios de las acciones de IBM durante el periodo 17/05/1961 a 2/12/1962 (n = 369). 6. El logaritmo del IPC-cierre de la BMV durante el periodo 2/1/2001 a 18/12/2002 (n = 490).

Los datos de los precios de petróleo crudo y de gas se encuentran en las tablas 10.5 y 11.1, respectivamente, del libro de Ross (1999). Los precios de cierre de IBM corresponden a la serie B del libro de Box y Jenkins (1998). Los datos del IPC - cierre mexicano se encuentran en Luna (2003).

Las Gráficas 6.1 a 6.8 muestran los logaritmos de los precios de petróleo crudo, los logaritmos de los precios de gas, la serie B, el IPC y las primeras diferencias de cada uno de estos conjuntos de datos.

Gráfica 6.1 Logaritmo s de los precios de petróleo crudo durante el periodo 16/7/1996 a 21/4/1997, n = 275.

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

0 50 100 150 200 250 300

t

Xt

Gráfica 6.2 Primeras diferencias de los logaritmos de los precios de petróleo crudo durante el periodo 16/7/1996 a 21/4/1997.

50

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0 50 100 150 200 250 300

t

e t

Gráfica 6.3 Logaritmos de los precios de gas durante el periodo 1/1/1997 a 8/12/1997, n = 244.

1.7

1.75

1.8

1.85

1.9

0 50 100 150 200 250

t

Xt

Gráfica 6.4 Primeras diferencias de los logaritmos de los precios de gas durante el periodo 1/1/1997 a 8/12/1997.

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0 50 100 150 200 250

t

e t

Gráfica 6.5 Precios de cierre diarios de las acciones de IBM durante el periodo 17/05/1961 a 2/12/1962, n = 369.

51

300

350

400

450

500

550

600

650

0 100 200 300 400

t

Xt

Gráfica 6.6 Primeras diferencias de los precios de cierre diarios de las acciones de IBM durante el periodo 17/05/1961 a

2/12/1962.

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200 250 300 350 400

t

et

Gráfica 6.7 Logaritmo del IPC-cierre mexicano durante el periodo 2/1/2001 a 18/12/2002,

n = 490.

3.70

3.75

3.80

3.85

3.90

0 100 200 300 400 500

t

Xt

Gráfica 6.8 Primeras diferencias del logaritmo del IPC -cierre mexicano durante el periodo 2/1/2001 a

18/12/2002.

52

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0 100 200 300 400 500

t

e t

En el Cuadro 6.1 se presentan los resultados obtenidos al utilizar los procedimientos P1, P2 y P3 para probar

la hipótesis de que se tiene un movimiento Browniano con base en el i-ésimo conjunto de datos. El número 1 indica que se rechaza la hipótesis nula y el número 0 que no se rechaza.

Cuadro 6.1 Resultados con α = 0.1.

Conjunto de datos P1 P2 P3

Precio de Petróleo 0 0 0 Logaritmo de precio de petróleo 0 0 0

Precio de Gas 1 1 1 Logaritmo de precio de gas 1 1 1

Serie B 1 1 1 IPC 0 1 1

Como se observa en el cuadro anterior, tanto para los precios de petróleo crudo como para sus logaritmos, ninguno de los 3 procedimientos rechaza la hipótesis de movimiento Browniano con un tamaño α = 0.1 con base en los conjuntos de datos utilizados. Para los precios de gas, para sus logaritmos y para la serie B, sí se rechaza la hipótesis de movimiento Browniano con un tamaño α = 0.1. Con base en la serie de datos del IPC y con un tamaño α = 0.1, el procedimiento P1 no rechaza la hipótesis de movimiento Browniano, los procedimientos P2 y

P3 sí rechazan H0.

53

7. Conclusiones y recomendaciones

El procedimiento de prueba P1, compuesto por las pruebas de McLeod-Li y t, conserva el tamaño de la

prueba para todos los tamaños de trayectorias muestrales considerados. Este procedimiento presenta muy baja potencia cuando se consideran alternativas con incrementos: no independientes, con varianzas homogéneas, y no normales, aún para tamaños de trayectorias muestrales grandes. P1 presenta buena potencia ante alternativas que tienen incrementos con varianzas heterocedásticas y con media diferente de 0, sobre todo cuando el tamaño de la trayectoria muestral es grande.

El procedimiento de prueba P2, compuesto por las pruebas de rachas, Royston y t, conserva el tamaño de la prueba para todos los tamaños de trayectorias muestrales considerados. Este procedimiento es el que, en general, presenta mayor potencia ante las alternativas consideradas, tanto para tamaños de trayectorias muestrales pequeños como grandes.

El procedimiento de prueba P3, compuesto por las pruebas de rachas, Kolmogorov-Smirnov y t, conserva el tamaño de la prueba para todos los tamaños de trayectorias muestrales considerados. Cuando se consideran alternativas que presentan ya sea dependencia, heterocedasticidad o media diferente de 0, este procedimiento presenta prácticamente la misma potencia que el procedimiento P2.

El procedimiento de prueba P4, compuesto por las pruebas de Skaug-Tjostheim, Royston y t, no preserva el tamaño de la prueba cuando se consideran trayectorias muestrales de tamaño n = 20, 30, 50 y 100. Cuando n = 200 y 300, la probabilidad estimada de cometer el error tipo I es ligeramente mayor que el tamaño de la prueba.

El procedimiento de prueba P5, compuesto por las pruebas de Skaug-Tjostheim, Kolmogorov-Smirnov y t, no conserva el tamaño de la prueba cuando se consideran tamaños de trayectorias muestrales pequeños, y cuando se consideran tamaños de trayectorias muestrales grandes, la probabilidad estimada de cometer el error tipo I es un poco mayor que el tamaño de la prueba.

Para probar la hipótesis de movimiento Browniano se recomienda usar el procedimiento de prueba P2 compuesto por las pruebas de rachas, Royston y t.

54

8. Bibliografía

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56

9. Anexo

Tabla 9.1 Algunos valores críticos up,α de la distribución asintótica de ST

p

α 1 2 3 4 5 6 7 8

0.010 0.0870 0.1318 0.1714 0.2087 0.2445 0.2791 0.3140 0.3483 0.025 0.0702 0.1128 0.1507 0.1864 0.2213 0.2555 0.2892 0.3220 0.050 0.0581 0.0979 0.1348 0.1691 0.2030 0.2358 0.2685 0.3012 0.100 0.0465 0.0836 0.1183 0.1513 0.1838 0.2155 0.2469 0.2782

Fuente: Skaug y Tjostheim (1993).

Tabla 9.2 Algunos valores críticos de la distribución de W’

α

n 0.05 0.01

20 0.904 0.866

30 0.93 0.903

40 0.945 0.924

60 0.9605 0.9459

80 0.9691 0.9579

100 0.9746 0.9654

150 0.9822 0.976

250 0.9888 0.985

500 0.99411 0.99218

1000 0.99692 0.99594

2000 0.99839 0.9979

4000 0.99915 0.9989

5000 0.99931 0.9991

Fuente: Royston (1992)

57

Cuadro 9.1 Potencia estimada de P1, P2 y P3 contra la alternativa ( )0,4N iid Z,ZXX tt1tt +φ= − .

P1 P2 P3

n φ=0.1 φ=0.25 φ=0.5 φ=0.75 φ=0.9 φ=0.1 φ=0.25 φ=0.5 φ=0.75 φ=0.9 φ=0.1 φ=0.25 φ=0.5 φ=0.75 φ=0.9

20 0.053 0.037 0.0345 0.0435 0.035 0.18 0.1345 0.0785 0.0635 0.062 0.1835 0.1355 0.0845 0.062 0.0595 30 0.065 0.0445 0.0400 0.0415 0.0445 0.31 0.191 0.1180 0.0655 0.056 0.31 0.205 0.1190 0.063 0.0575 50 0.0925 0.0585 0.0470 0.0415 0.0425 0.5555 0.4015 0.2115 0.097 0.0735 0.5555 0.408 0.2195 0.0965 0.0655

100 0.1575 0.104 0.0560 0.044 0.0545 0.8705 0.7155 0.3345 0.1275 0.073 0.869 0.7145 0.3400 0.126 0.0845 200 0.3005 0.1645 0.0745 0.0655 0.052 0.9955 0.9585 0.6280 0.221 0.112 0.9955 0.958 0.6310 0.218 0.1085

300 0.4555 0.233 0.0875 0.052 0.0535 1 0.9945 0.7965 0.2685 0.1105 1 0.995 0.7970 0.269 0.1085

Cuadro 9.2 Potencia estimada de los procedimientos contra la alternativa ,ZXX t1tt += −

( )0,0.1tiN Zt ( )4t0,N~ Z 2t

si 2nt < y

( )22t t0,0.1N~ Z si 2nt ≥

( ))2,0(U

,0,iN Z 2t

σ

σ

n P1 P2 P3 n P1 P2 P3 n P1 P2 P3

20 0.0645 0.2155 0.1930 20 0.0585 0.2830 0.1945 20 0.0550 0.2500 0.2735 30 0.1140 0.3105 0.2860 30 0.1095 0.3535 0.2275 30 0.0590 0.3735 0.3745 50 0.2455 0.5030 0.4785 50 0.2665 0.5640 0.3675 50 0.080 0.5420 0.5230

100 0.8780 0.8260 0.8115 100 0.7205 0.8420 0.6630 100 0.0820 0.8480 0.8350 200 0.9975 0.9970 0.9930 200 0.9885 0.9945 0.9490 200 0.1035 0.9920 0.9920 300 1 1 1 300 0.9990 1 0.9930 300 0.1060 1 0.9995

Cuadro 9.3 Potencia estimada de P1, P2 y P3 contra la alternativa

C(0,1).y logis(0,1) , t, tiid Z,ZXX 84tt1tt += −

P1 P2 P3

n t4 t8 logis(0,1) C(0,1) t4 t8 logis(0,1) C(0,1) t4 t8 logis(0,1) C(0,1)

20 0.0540 0.0740 0.0820 0.0665 0.2435 0.1395 0.1305 0.2810 0.1720 0.1165 0.1050 0.2790

30 0.0625 0.0750 0.0700 0.0630 0.3335 0.1615 0.1780 0.3690 0.2125 0.1080 0.1245 0.3775 50 0.0655 0.0880 0.0805 0.0855 0.4565 0.2085 0.2035 0.5555 0.2785 0.1390 0.1310 0.5525

100 0.0710 0.0765 0.0885 0.0270 0.6770 0.3130 0.3015 1.0000 0.4445 0.1585 0.1720 1.0000 200 0.1010 0.0980 0.1035 0.0666 0.9040 0.4495 0.4575 1.0000 0.6850 0.2020 0.2220 1.0000 300 0.0980 0.1030 0.0930 0.0750 0.9810 0.5940 0.6020 1.0000 0.8390 0.2620 0.2795 1.0000

Cuadro 9.4 Potencia estimada de P1, P2 y P3 contra la alternativa ( ),4N iid Z ,ZXX tt1tt µ+φ= − .

P1 P2 P3

n µ=0.1 µ=0.3 µ=0.5 µ=0.1 µ=0.3 µ=0.5 µ=0.1 µ=0.3 µ=0.5

58

20 0.0800 0.1225 0.2105 0.0930 0.1115 0.1850 0.0910 0.1090 0.1850 30 0.0910 0.1505 0.3005 0.1015 0.1430 0.2460 0.1065 0.1450 0.2415 50 0.1010 0.2040 0.4305 0.1150 0.1755 0.3685 0.1070 0.1815 0.3670

100 0.1190 0.3480 0.7205 0.0965 0.2795 0.6200 0.0950 0.2750 0.6215 200 0.1275 0.5915 0.9430 0.1210 0.5050 0.9055 0.1255 0.5045 0.9060

300 0.1855 0.7640 0.9920 0.1595 0.6690 0.9790 0.1580 0.6650 0.9795

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