Índice General -...

Universidad de Sevilla

Departamento de Ingeniería Eléctrica

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IMPLEMENTACIÓN EFICIENTE DEL REPARTO DE CARGAS ÓPTIMO MEDIANTE PUNTOS INTERIORES

____________________________________________________________

Trabajo fin de máster

por Walter Vargas Contreras

Directores: Dr. Antonio Gómez Expósito

Dra. Catalina Gómez Quiles

Sevilla, marzo de 2013

i

Índice General

Índice de Figuras ............................................................................................................ iii

Índice de Tablas ............................................................................................................. iv

Capítulo 1 Introducción ................................................................................................. 1

Capítulo 2 Reparto de cargas óptimo............................................................................ 3

2.1 Aspectos generales .................................................................................... 3

2.2 Modelado del sistema de Generación-Transporte-Demanda .................... 4

2.2.1 Modelado de líneas y transformadores ...................................................... 4

2.2.2 Modelado de generadores .......................................................................... 5

2.2.3 Modelado de cargas ................................................................................... 6

2.2.4 Modelado de elementos en derivación ...................................................... 6

2.2.5 Ecuaciones de red ...................................................................................... 6

2.2.6 Formulación clásica del problema de reparto de cargas óptimo ............... 7

2.2.7 Función objetivo ........................................................................................ 7

2.2.8 Variables del problema .............................................................................. 8

2.2.9 Restricciones de igualdad .......................................................................... 8

2.2.10 Restricciones de desigualdad..................................................................... 8

Capítulo 3 Método de puntos interiores...................................................................... 10

3.1 Problema original .................................................................................... 10

3.2 Problema transformado y condiciones de optimalidad ........................... 10

3.3 Cálculo de direcciones de Newton .......................................................... 12

3.4 Solución del sistema aumentado ............................................................. 13

3.5 Solución del sistema reducido ................................................................. 13

3.6 Actualización de variables primales y duales.......................................... 14

3.7 Cálculo de longitudes de paso primal y dual ........................................... 15

3.8 Reducción del parámetro barrera ............................................................ 15

3.9 Criterio de convergencia ......................................................................... 16

3.10 Punto inicial ............................................................................................. 17

3.11 Algoritmo general PD ............................................................................. 18

Índice General

ii

Capítulo 4 Métodos de puntos interiores de orden superior..................................... 19

4.1 Predictor Corrector (PC) ......................................................................... 19

4.1.1 Paso predictor .......................................................................................... 20

4.1.2 Paso corrector .......................................................................................... 21

4.1.3 Algoritmo general PC .............................................................................. 23

4.2 Múltiples Correcciones Centrales (MCC) ............................................... 24

4.2.1 Algoritmo general MCC .......................................................................... 27

4.3 Múltiples Correcciones Centrales Ponderadas (WMCC) ........................ 28

4.3.1 Algoritmo general WMCC ...................................................................... 29

Capítulo 5 Detalles de implementación ....................................................................... 31

5.1 Análisis de los sistemas aumentado y reducido ...................................... 31

5.2 Tiempos de ejecución .............................................................................. 32

5.3 Cálculo de primeras y segundas derivadas .............................................. 32

5.3.1 Función de costes .................................................................................... 32

5.3.2 Función de balance de potencia aparente ................................................ 33

5.3.3 Función de flujos de potencia .................................................................. 35

5.3.4 Restricciones lineales de igualdad y desigualdad.................................... 38

5.4 Solución de sistemas lineales .................................................................. 38

Capítulo 6 Experimentos computacionales ................................................................ 40

6.1 Códigos OPF desarrollados ..................................................................... 40

6.2 Redes eléctricas de pruebas ..................................................................... 40

6.3 Experimentos con valores por defecto .................................................... 42

6.4 Influencia de algunos parámetros ............................................................ 47

6.5 Análisis comparativo con MATPOWER ................................................ 47

Capítulo 7 Conclusiones ............................................................................................... 49

Bibliografía .................................................................................................................... 50

Apéndice A Definiciones matemáticas ................................................................... 53

Apéndice B Formulación matricial del problema OPF ........................................ 55

Apéndice C Salida de resultados en MATLAB ..................................................... 58

iii

Índice de Figuras

Figura 1. Modelo de rama .................................................................................................... 4

Figura 2. Estructura de la matriz del sistema KKT ............................................................ 31

Figura 3. Longitud de paso para los diferentes algoritmos IPM ........................................ 44

Figura 4. Ponderación de dirección correctora - algoritmo WMCC .................................. 46

Figura 5. Resultado test de convergencia IEEE 14 barras ................................................. 60

iv

Índice de Tablas

Tabla 1. Nombre de códigos de punto interior .................................................................. 40

Tabla 2. Estadísticas de las redes de prueba ...................................................................... 41

Tabla 3. Dimensiones de los problemas OPF .................................................................... 41

Tabla 4. Número de restricciones activas y dimensiones del sistema KKT ...................... 42

Tabla 5. Parámetros por defecto ........................................................................................ 42

Tabla 6. Número de iteraciones ......................................................................................... 43

Tabla 7. Tiempo computacional ........................................................................................ 43

Tabla 8. Tiempo computacional en los pasos principales.................................................. 44

Tabla 9. Incremento de las longitudes de paso - algoritmo MCC ..................................... 45

Tabla 10. Influencia del punto inicial en el número de iteraciones ................................... 47

Tabla 11. Influencia del parámetro barrera inicial en el número de iteraciones ................ 48

Tabla 12. Resultados usando MATPOWER y comparativa .............................................. 48

1

Capítulo 1 Introducción

En ingeniería eléctrica, el cálculo de reparto de cargas es una importante herramienta que

involucra la utilización de análisis numérico aplicado a los sistemas de potencia. El

reparto de cargas óptimo (OPF) es un problema de optimización que tiene como función

objetivo alguna medida de desempeño en la operación de sistemas eléctricos y como

restricciones las ecuaciones de balance de potencia provenientes de las leyes de

Kirchhoff, además de algunas restricciones operativas. La importancia del reparto de

cargas óptimo consiste en determinar un punto de operación para un sistema existente o

futuro que ayude al planificador o al operador de la red eléctrica a la toma de decisiones.

El problema del reparto de cargas óptimo en corriente alterna tuvo su primera

formulación a inicios de los años 60, con el problema de despacho económico de

Carpentier [1]. Desde entonces, varios métodos de optimización fueron propuestos para

resolver este problema, entre los que destacan: el método de gradiente [2], la

programación cuadrática secuencial [3] y [4], y la programación lineal secuencial [5]. Los

inconvenientes de estas técnicas implican lenta convergencia, especialmente en la

vecindad del punto óptimo para los dos primeros métodos, y un campo limitado de

aplicación, para el tercero.

La programación lineal (LP) fue el tema dominante en el campo de la optimización desde

que Dantzig [6] desarrolló el método Simplex en la década de los 40. En 1984, la

publicación del trabajo de Karmarkar [7] inicia una nueva línea de investigación conocida

como métodos de puntos interiores (IPM). Una diferencia entre el método de puntos

interiores y el método Simplex es la naturaleza de las soluciones obtenidas en cada

iteración. En el método Simplex, la secuencia de puntos generados pertenece a la frontera

de la región factible, en tanto que los métodos de puntos interiores están en el interior de

la región.

En 1955, se introdujo el primer método de puntos interiores, atribuido a Frisch [8], cual es

el método de barrera logarítmica que fue estudiado exhaustivamente por Fiacco e

McCornick [9] para resolver problemas de optimización no lineal con restricciones de

desigualdad. El principal suceso en el campo de la investigación de puntos interiores

tomó lugar en 1984 cuando Karmarkar presento un nuevo método de puntos interiores

para programación lineal, reportando soluciones 50 veces más rápido que el método

Simplex. Una de las grandes ventajas de los métodos de barrera es que, al contrario del

método Simplex, esta metodología puede ser aplicada tanto a problemas de optimización

lineal como a problemas de programación cuadrática y programación no lineal.

Capítulo 1 Introducción

2

Desde entonces, varios métodos de punto interior han sido propuestos e implementados

basados en el trabajo de Karmarkar, generalmente para programación lineal y después

extendidos a problemas de programación no lineal. En la literatura, los métodos de punto

interior son usualmente clasificados como: método proyectivo, método affine-scaling y

método primal-dual. Los primeros resultados teóricos del método primal-dual fueron

proporcionados por Megiddo [10], quien propuso aplicar el método de barrera logarítmica

a los problemas primal y dual simultáneamente (PD). Este algoritmo primal-dual obtuvo

mejores resultados que los algoritmos de punto interior propuestos hasta entonces.

Mehrotra [11] propuso un algoritmo primal-dual que incorpora los pasos predictor y

corrector (PC), obteniendo mejores resultados de convergencia que el método primal-dual

clásico. El éxito del algoritmo predictor de Mehrotra condujo a la investigación del uso de

múltiples correcciones durante cada iteración del algoritmo PC, con el fin de conseguir

una mejor longitud de paso en las direcciones de búsqueda (MPC), método que fue

propuesto por Carpenter [12]. Entre los métodos de múltiples correcciones, el método de

múltiples correcciones centrales (MCC) es uno de los más eficientes y ampliamente

implementados, propuesto por Gondzio [13]. Nuevos desarrollos de múltiples

correcciones fueron estudiados por Colombo [14], incorporando la utilización de un

coeficiente para ponderar las correcciones centrales con el fin de maximizar la longitud

de paso (WMCC).

Estos métodos de puntos interiores modernos presentan tres características atractivas: la

facilidad de manejo de las restricciones de desigualdad mediante el uso de funciones de

barrera; la rápida convergencia; y la capacidad de resolver un problema sin partir de un

punto inicial estrictamente factible.

En la literatura de reparto de cargas óptimo, existen varias contribuciones basadas en

métodos de puntos interiores que han alcanzado notoriedad, tales como las propuestas

por: Granville [15] y, Martínez, Gómez y Quintana [16, 17], que emplean el método

Primal Dual aplicado al problema de despacho óptimo de reactivos y reducción de

pérdidas de potencia activa; Wu, Debs y Marsten [18], que implementaron el método

Predictor Corrector para optimizar los costes de generación y las pérdidas de potencia

activa; Torres y Quintana [19, 20], que utilizan el método Predictor Corrector y el método

de Múltiples Correcciones Centrales, para optimizar las pérdidas de potencia activa;

Zhiguang y Quanyuan [21], que emplearon el método de Múltiples Correcciones

Centrales Ponderadas aplicado a la optimización de los costes de generación.

En este trabajo se implementarán eficientemente en lenguaje MATLAB cuatro algoritmos

de métodos de puntos interiores (PD, PC, MCC y WMCC), aplicados al problema de

optimización de costos de generación. Para la formulación del problema OPF se utilizará

una notación matricial eficiente, propuesta en [22]. Los algoritmos se probarán en redes

de diversas dimensiones, y los resultados obtenidos se contrastarán con los obtenidos

empleando el programa MATPOWER, ampliamente usado a nivel de investigación y

académico, para el análisis de reparto de cargas y optimización de redes eléctricas [23].

3

Capítulo 2 Reparto de cargas óptimo

2.1 Aspectos generales

El problema clásico de reparto de cargas consiste en resolver un conjunto de ecuaciones

algebraicas, no lineales y complejas que resultan de aplicar las Leyes de Kirchhoff a un

sistema eléctrico, en función de las características y propiedades físicas de los equipos

instalados en la red, demandas conocidas, potencia activa y reactiva. El reparto de cargas

requiere la especificación de algunas variables como magnitudes de tensión y potencia

activa generada en las barras de generación, mientras que el reparto de cargas óptimo

trata a estas variables como posibles ajustes.

En 1962, Carpentier introdujo un modelo generalizado de programación no lineal para la

formulación del problema del despacho económico [1] incluyendo voltajes y otras

restricciones. Posteriormente dicho problema fue llamado reparto de cargas óptimo (OPF

por sus siglas en inglés). Un OPF consiste en determinar en estado estable el punto de

operación óptimo de un sistema de potencia, cual simultáneamente minimiza o maximiza

un índice de desempeño (función objetivo) y satisface ciertas restricciones físicas y

operativas.

El reparto de cargas óptimo tiene un rol importante en la planificación y operación de

sistemas eléctricos. El reparto de cargo óptimo proporciona al operador o al planificador

de la red eléctrica, una orientación de cómo estas variables deben ser ajustadas, para

lograr que los centros de generación, centros de consumo y equipos que participan en el

transporte de electricidad funcionen dentro de sus capacidades. Por tanto, es un problema

bastante complejo y difícil de resolver.

El reparto de cargas óptimo debe de ser formulado como un problema de programación

matemáticamente donde la red eléctrica debe ser modelada, partiendo de los siguientes

requisitos:

- Debe ser modelada mediante un modelo estático de generación-transporte

generalmente basado en formulación de inyecciones de potencia constante;

- Debe despechar los recursos del sistema de forma de atender la demanda total más

las pérdidas de transporte (restricciones de igualdad).

- Debe imponer límites de operación por seguridad en el equipamiento

(restricciones de desigualdad).

- Debe minimizar un criterio o una combinación de criterios (función objetivo) tales

que favorecen la operación del sistema eléctrico, desde el punto de vista técnico-

económico.


4

La formulación de un OPF conlleva a un conjunto de ecuaciones no lineales,

correspondiente al balance de potencia y un conjunto de inecuaciones no lineales,

correspondientes a los límites de operación de ciertos equipamientos. Así un OPF debe

ser formulado matemáticamente como un problema de optimización no lineal.

La resolución de un OPF se realiza generalmente a través de un algoritmo basado en

técnicas para la resolución de problemas de programación matemática. Un OPF puede ser

modelado como un problema de programación no lineal o, como un problema de

programación lineal a partir de algunas suposiciones de simplificación. Así, la elección

del método de solución sigue la forma del modelado del problema. En particular, el

método de punto interior (IPM) se aplica a los problemas de programación lineal y no

lineal.

2.2 Modelado del sistema de Generación-Transporte-Demanda

El Modelado del sistema de Generación-Transporte-Demanda presentado es propuesto en

[23], y utilizado en el programa de análisis de sistemas eléctricos MATPOWER,

desarrollado por Ray Zimmerman (Universidad de Cornell), el cual emplea los modelos

en estado estable típicos para análisis de reparto de cargas. Debido a la fortaleza del

lenguaje de programación MATLAB para manipular matrices y vectores, MATPOWER

presenta las ecuaciones de dichos modelos en forma de simples operaciones entre

matrices y vectores, lo cual aumenta la eficiencia computacional con respecto a la

formulación clásica. La versión más reciente de MATPOWER y la documentación

asociada están disponibles en [24].

2.2.1 Modelado de líneas y transformadores

Las líneas y transformadores son definidos mediante un modelo común de rama, que

consiste en un modelo de parámetros concentrados, con impedancia serie s s sz r jx

y capacitancia total cb , en serie con un transformador sin pérdidas. El transformador,

tiene relación de transformación y ángulo de desfase desf , y es localizado en el lado de

envío del modelo de rama, tal como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Modelo de rama


5

Las intensidades complejas ei e ri de los ramales de envío y recibo respectivamente,

pueden ser expresados en términos de la matriz de admitancias de rama ramaY , y de las

tensiones en los terminales de envío y recibo ev e rv .

e e

barrar r

i vY

i v

(2.1)

La admitancia serie en el modelo esta denotada por 1s sy z . La matriz admitancia de

rama puede ser escrita como:

2

1 1

2

1

2

desf

desf

cs s j

rama

cs sj

by j y

eY

by y j

e

(2.2)

Si los cuatro elementos de la matriz (2.2) para una rama i son identificado como sigue:

rama

i iee eri

i ire rr

y yY

y y

(2.3)

dado un sistema de ln número de líneas y bn número de barras. Los cuatro vectores eeY ,

erY , reY y rrY de dimensiones 1ln pueden ser construidos, donde el i-ésimo elemento de

cada vector viene del correspondiente elemento de rama

iY . Además, las matrices de

conexión eC y rC de dimensiones l bn n empleadas en la construcción de la matriz de

admitancia del sistema pueden ser construidas como sigue: el elemento ,i j de eC y el

elemento ,i k de rC son iguales a 1 para cada rama i , donde la rama i está conectada

desde la barra j a la barra k , siendo todos los otros elementos de eC y rC iguales a cero.

2.2.2 Modelado de generadores

Un generador es modelado como una inyección de potencia compleja en una barra

especifica. Para un generador i , la inyección de potencia es:

i i ig g gs p jq (2.4)

Se define un vector g g gS P jQ de dimensiones 1gn formado por la inyección de

potencia de cada generador. Una matriz de conexiones gC de dimensiones b gn n puede

ser definida tal que el elemento ,i j es 1 si el generador j está localizado en la barra i ,


6

y 0 de otra manera. El vector 1bn de las potencias inyectadas en cada barra por los

generadores puede ser expresado como:

gbarra g gS C S (2.5)

2.2.3 Modelado de cargas

Las cargas de potencias son modeladas como una cantidad específica de potencia real y

reactiva consumida en una barra. Para la barra i , la carga es:

i i id d ds p jq (2.6)

Se define un vector d d dS P jQ de dimensiones 1bn formado por las cargas

complejas en todas las barras.

2.2.4 Modelado de elementos en derivación

Un elemento en derivación, tal como un capacitor o un inductor, es modelado como una

impedancia constante entre barra y tierra. La admitancia de un elemento en derivación en

la barra i viene dada por:

i i ider der dery g jb (2.7)

Se define un vector der der derY G jB de dimensiones 1bn formado por las

admitancias en derivación en todas las barras. Los parámetros iderg y

iderb son

especificados como los MW (consumidos) y los Mvar (inyectados) a tensión nominal de

1.0 p.u. y ángulo 0.

2.2.5 Ecuaciones de red

Dada una red de bn barras y ln líneas, todas las impedancias constantes de los modelos

son incorporadas en una matriz de admitancia de barras barraY de dimensiones b bn n ,

que relaciona la intensidad nodal barraI con la tensión nodal V .

barra barraI Y V (2.8)

Si es usado para denotar un operador que toma un vector de dimensiones 1n y crea

una matriz diagonal de dimensiones n n con los elementos del vector en la diagonal. Las

matrices admitancia de ramas eY e rY , de dimensiones l bn n , y la matriz de admitancias

de barra barraY , se definen como:

e ee e er rY Y C Y C (2.9)


7

r re e rr rY Y C Y C (2.10)

T Tbarra e e r r derY C Y C Y Y (2.11)

Las matrices admitancias de ramas eY e rY relacionan las tensiones nodales con los

vectores eI e rI de dimensiones 1ln , los cuales representan las intensidades de rama

de envío y recibo de todas las líneas. Respectivamente:

e eI Y V (2.12)

r rI Y V (2.13)

Las intensidades calculadas en (2.8), (2.12) y (2.13) pueden ser utilizadas para calcular

las correspondientes potencias complejas como función de las tensiones nodales V :

* * *

barra barrabarraS V I V Y V (2.14)

* *e e e e eS C V I V I (2.15)

* *r r r r rS C V I V I (2.16)

La ecuación de balance de potencia compleja expresada en forma vectorial viene dada por

la siguiente expresión:

0barra d g gS S C S (2.17)

2.2.6 Formulación clásica del problema de reparto de cargas óptimo

Recordemos que un OPF es un problema de programación no lineal, que intenta optimizar

una función objetivo al actuar sobre las variables de control a la vez que satisface ciertas

restricciones de igualdad y de desigualdad. Todos estos conceptos son sucesivamente

descritos en esta sección.

2.2.7 Función objetivo

Existen diversas formulaciones de funciones objetivos en un OPF. Las más habituales

son: minimización de costes de generación, minimización de pérdidas de potencia activa,

minimización de pérdidas de potencia reactiva, minimización del deslastre de cargas,

maximización del margen de carga, etc.

En este trabajo se abordara la clásica función objetivo de costes de generación:

20 1 2

1

g

i

n

i i gi i g

i

f x c c P c P

(2.18)


8

donde 0ic , 1ic y 2ic representan los coeficientes asociados con el modelo cuadrático de

los costes de operación del i-ésimo generador, y giP es la potencia activa de salida del

mismo.

2.2.8 Variables del problema

El vector de variables del problema, x , está compuesto por los vectores de dimensiones

1bn correspondientes a los ángulos y magnitudes de las tensiones, y mV

respectivamente, denominados variables de estado; y por los vectores gP y gQ , de

dimensiones 1gn , correspondientes a las potencias activas y reactivas inyectadas por los

generadores, denominados variables de control.

T

m g gx V P Q (2.19)

2.2.9 Restricciones de igualdad

Las principales restricciones de igualdad son las relacionadas con las ecuaciones no

lineales del balance de potencia activa y reactiva, que corresponden a la parte real e

imaginaria de la potencia compleja calculada en (2.17), esto es:

0barra d g gP P C P (2.20)

0barra d g gQ Q C Q (2.21)

El ángulo de tensión de la barra de referencia se considera también como una restricción

de igualdad, con valor igual a cero. Adicionalmente, es considerada restricción de

igualdad toda variable que se requiera que opere a un valor de operación fijo impuesto.

2.2.10 Restricciones de desigualdad

Un OPF comprende dos tipos de restricciones de desigualdad: unas del tipo operacional,

requeridas para la operación segura del sistema; y otras asociadas a la limitación física de

los equipos.

Los generadores tienen límites máximos y mínimos de potencia de salida activa y

reactiva, que resultan en una limitación física considerada como una restricción de

desigualdad, esto es:

i i i

min maxg g gP P P (2.22)

i i i

min maxg g gQ Q Q (2.23)

Las líneas de transporte y transformadores de potencia tienen límites térmicos, asociados

a sus potencias nominales (expresados comúnmente en MVA). Para mantener la

seguridad del sistema evitando la salida forzada de alguno de estos equipos por

sobrecarga, tanto la potencia desde el lado de envío como desde el de recibo, se


9

consideran restricciones de desigualdad en función del cuadrado de su capacidad nominal,

esto es:

2 2 0e maxS S (2.24)

2 2 0r maxS S (2.25)

Para mantener la calidad del servicio y la seguridad del sistema, las tensiones de barra

tienen magnitudes máximas y mínimas. Estos límites también se consideran restricciones

de desigualdad.

min max

V V V (2.26)

10

Capítulo 3 Método de puntos interiores

En este capítulo se describirá en detalle el desarrollo matemático del Método de Puntos

Interiores Primal – Dual (PD) para resolver problemas de programación no lineal (NLP).

3.1 Problema original

Un problema de NLP puede ser representado como sigue:

min

s.a 0

0

( )

( )

( )

f x

g x

h x

(3.1)

Donde nxx representa las variables de decisión, ( ) :nxf x es la función objetivo

del problema, ( ) :nx ngg x son las restricciones de igualdad y ( ) :

nx nhh x son

las restricciones de desigualdad del problema.

3.2 Problema transformado y condiciones de optimalidad

El primer paso del PD es transformar las restricciones de desigualdad del problema

original (3.1) en restricciones de igualdad introduciendo variables de holgura s , que

deben de ser positivas.

min

s.a. 0

0

0

( )

( )

( )

f x

g x

h x s

s

(3.2)

La adición de variables de holgura modifica la dimensión del NLP, aumentando el

número de variables. Sin embargo, el problema original es transformado en un problema

de optimización restringido exclusivamente por restricciones de igualdad. La principal

idea del PD es la de introducir una función barrera logarítmica tal que permita incorporar

las restricciones de desigualdad en la función objetivo. De esta manera la condición de no

negatividad ( 0s ) en (3.2) puede ser incorporada dentro de la función objetivo original

como se muestra en la expresión (3.3).

1

min

s.a. 0

0

( )

( )

( )

nh

i

i

f x ln s

g x

h x s

(3.3)

3.2 Problema transformado y condiciones de optimalidad

11

Donde k es un parámetro barrera positivo que decrece monótonamente a cero en el

proceso iterativo. La secuencia de parámetros 0 1 0... ...

k genera una

secuencia de subproblemas que son definidos por (3.3), donde k es el índice del

subproblema. Fiacco y McCormick muestran en [9] que decreciendo k a cero 0k

una secuencia de puntos kx puede ser generada por resolver el problema

transformado (3.3), y esta converge a *x , donde *x es un mínimo local de (3.3) y, por

tanto, un mínimo local del problema original (3.1). El camino definido por la secuencia

de puntos kx es conocido como trayectoria central del problema (3.3).

Las condiciones necesarias de optimalidad de primer orden del problema de

programación no lineal con restricciones de igualdad (3.3), con k fijo, pueden ser

derivadas de la función lagrangiana L, cual es definida como:

1

( , , , ) ( ) ( ) ( ( ) )nh

T Ti

i

L x s f x ln s g x h x s

(3.4)

Donde ng , nh , son vectores de multiplicadores de Lagrange y son

comúnmente llamados variables duales. Tomando las derivadas parciales de la función

lagrangiana respecto a cada una de las variables tenemos:

T T

1T T

T

T T

L

L

L

L

x x x x

ks

x

x

Lf g h

x

Le s

s

Lg

s

Lh s

(3.5)

Donde xf es el gradiente de la función objetivo, ng nx

xg es la matriz Jacobiana de

restricciones de igualdad y nh nx

xh es la matriz Jacobiana de restricciones de

desigualdad. La matriz s es una matriz diagonal con los elementos del vector s

formando la diagonal, y e es un vector de dimensiones apropiadas cuyos elementos son

iguales a uno.

Un mínimo local de (3.3) puede ser calculado por un punto estacionario de la función

lagrangiana (3.4), cual debe de satisfacer las condiciones necesarias de optimalidad de

primer orden de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), esto es, las derivadas parciales de la

función lagrangiana deben ser iguales a cero:


12

F 0

0

0

( , , , )x s

s

(3.6)

Donde

T T TL

LF

L

L

( , , , )( )

( )

T

xx x x

s

f g h

s ex s

g x

h x s

(3.7)

Donde la tercera y cuarta ecuación representan las condiciones de factibilidad primal, y la

primera y segunda ecuación representan las condiciones de factibilidad dual y las

condiciones de complementariedad respectivamente.

3.3 Cálculo de direcciones de Newton

Aunque el sistema KKT (3.7) es un sistema no lineal de ecuaciones, su solución es

generalmente aproximada por una única iteración del método de Newton, pues las

condiciones de optimalidad que hay que resolver cambian al actualizar en cada

iteración k . Las direcciones de Newton son usadas para seguir el camino de minizadores

parametrizados por k . El método de Newton necesita que sean definidos los siguientes

puntos iniciales: parámetro de barrear logarítmica 0 , variables primales 0x y 0s , y

variables duales 0 y 0 . El método de Newton consiste en un proceso iterativo en el

cual se aproxima un punto inicial 0 0 0 0, , ,x s al punto de solución * * * *

, , ,x s a

través de una secuencia de puntos , , ,k k k kx s que indica una trayectoria recorrida

durante el proceso iterativo. En cada iteración k del método de Newton, un punto de

solución tiene que satisfacer las condiciones de no negatividad 0k ks , .

La solución de las ecuaciones de optimalidad de KKT (3.7) utilizando el método de

Newton, se obtiene al resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

k k kvF v v F v (3.8)

Donde v es , , ,x s , kvF v es la matriz de derivadas parciales de kF v y kv es

el vector de direcciones de Newton.

Al aplicar el método de Newton como se indica en (3.8), se obtiene un sistema lineal de

ecuaciones indefinido. Este último sistema indefinido puede ser obtenido por resolver las

ecuaciones del sistema (3.7) juntas o resolviendo un sistema reducido. Este sistema

3.5 Solución del sistema reducido

13

reducido es obtenido por eliminación y sustitución de variables. Ambos sistemas son

descritos en este capítulo.

3.4 Solución del sistema aumentado

Al aplicar (3.8) al sistema de ecuaciones (3.7) se obtiene el siguiente sistema simétrico

indefinido:

T T TL 0 L

0 0

0 0 0

0 0

( )

( )

xx x x x

kv

x

x

x xg h

s ss s eF v

g g x

h I h x s

(3.9)

Donde la matriz hessiana Lxx

, corresponde a la segunda derivada de la función

lagrangiana con respecto a la variable x , y es igual a:

L ( , , , )xx xx xx xxx s f g h (3.10)

Las matrices simétricas xxf , xxg y xxh son las hessianas de la función objetivo ( )f x , de

la función restricciones de igualdad ( )g x y de la función restricciones de desigualdad

( )h x , respectivamente.

3.5 Solución del sistema reducido

El sistema de ecuaciones dado en (3.9) puede ser reducido a un pequeño sistema de

ecuaciones, resolviendo de forma explícita en términos de s , y por s en términos

de x . Tomando la segunda fila del sistema (3.9) y resolviendo para tenemos:

1

s s s e

s s e s

s e s

(3.11)

Resolviendo la cuarta fila de (3.9) para s tenemos:

( )

( )

x

x

h x s h x s

s h x s h x

(3.12)

Después, sustituyendo (3.11) y (3.12) en la primera fila de (3.9) tenemos:


14

T T T

1T T T

T

1T T

T T T 1

1T T

L L

L L

L

L

L

( ) ( )

( )

xx x x x

xx x x x

xx x

x x x

xx x x x

x x

x g h

x g h s e s

x g

h s e h x s h x x

x g h h S e

h s h x h

1T T

1T T

1T T

T

L

L

L

( )

x x x x

xx x x x

x x

x

h s h x

h s h x g

h s e h x

M x g N

(3.13)

Donde

1TLxx x xM h s h

(3.14)

Y

1T TL ( )x xN h s e h x

(3.15)

Combinando (3.13) y la tercera fila de (3.9) resulta en un sistema de ecuaciones de

tamaño reducido, dado por:

T

( )0

R kxv

x

x x NM gF v

g xg

(3.16)

La matriz de coeficientes del sistema reducido R

vF es simétrica e indefinida, dado que los

tres términos de la derecha de la ecuación (3.15) son matrices simétricas. Para calcular las

direcciones de Newton a través del sistema reducido primero se debe calcular x y

de (3.16); después, calcular s de (3.12); y finalmente, calcular de (3.11).

3.6 Actualización de variables primales y duales

En cada iteración k se resuelve el sistema (3.9) o el sistema (3.16) dependiendo de si se

trabaja con el sistema aumentado o reducido, y luego se hace una estimación de los

valores de las variables del problema, obtenidas por:

3.8 Reducción del parámetro barrera

15

1

1

1

1

k k k kp

k k k kp

k k k kd

k k k kd

x x x

s s s

(3.17)

Donde los escalares kp y

kd 0 1, son longitudes de paso para las variables primales y

duales respectivamente, que multiplican a todos los incrementos determinados en el

método de Newton.

3.7 Cálculo de longitudes de paso primal y dual

Considerando que las condiciones de optimalidad de KKT (3.7) se resuelven en cada

iteración de manera aproximada con una única iteración del Método de Newton, podría

ocurrir que las variables una vez actualizadas con sus respectivos incrementos no sean

factibles en lo que respecta a las restricciones de desigualdad. Con el fin de asegurar que

ninguna variable, ya sea de holgura o su multiplicador asociado, sea negativa, se calculan

las longitudes de paso primal y dual. Una manera de calcular éstas es mediante la regla

heurística siguiente:

0

0

min 1, min

min 1, min

k

k

kkp k

s

kkd k

s

s

(3.18)

Donde 0 1, es un factor de seguridad para evitar la excesiva aproximación a un

límite y asegurar la positividad estricta de las variables en la iteración. Un típico valor

para el factor de seguridad es 0 99995. .

3.8 Reducción del parámetro barrera

El parámetro k debe reducirse de iteración en iteración a fin de que al finalizar el

proceso se satisfagan las condiciones de complementariedad.

0s e (3.19)

El nuevo valor del parámetro barrera es calculado a partir del valor residual de la

condición de complementariedad k el cual es llamado gap de complementariedad, y es

calculado en cada iteración k , de la siguiente manera:

Tk k ks (3.20)


16

Si el proceso iterativo converge a un óptimo, entonces 0* . Sin embargo, para

efectos prácticos se dice que, al final del proceso iterativo, el parámetro * , donde

es un número lo suficiente pequeño. Una relación entre los parámetros k y

k está

definida de manera implícita en la ecuación (3.19), y sugiere que k puede ser reducida

en función de la disminución del gap de complementariedad. En las referencias [19] y [9],

para asegurar el decrecimiento del parámetro de barrera en cada iteración, emplean la

siguiente expresión:

1

kk k

nh

(3.21)

Donde 0 1,k es el decrecimiento esperado de k denominado parámetro central y

nh es el número de inecuaciones. Una forma dinámica de seleccionar k es

max 0.99 ,0.1k k , con 0 0 2. .

3.9 Criterio de convergencia

El proceso de optimización de métodos de Puntos Interiores termina cuando un óptimo

local del problema (3.1) es encontrado, y esto sucede cuando las variaciones de las

condiciones de factibilidad primal, las condiciones de factibilidad dual (escaladas), las

condiciones de complementariedad y la función objetivo desde una iteración a la

siguiente caen por debajo de una tolerancia. Una forma de calcular estas variaciones es

propuesta en [19]:

1 1

2 1

3 2

4 2

k

k

k

k

v

v

v

v

(3.22)

Donde

1

2

2 2 2

3

2

1

4

max max( ( ), ( )

1

1

( ) ( )

1 ( )

k

T Tx x xk

k

k k

k

k

v h x g x

f g hv

x

vx

f x f xv

f x

(3.23)

3.10 Punto inicial

17

Si los criterios 1 1kv , 2 1

kv y 3 2kv se cumplen, entonces las condiciones de

factibilidad primal, factibilidad dual y complementariedad respectivamente, son

satisfechas. Cuando la condición (3.23) es satisfecha, la iteración actual es un punto KKT

de ocurrencia 1 .

Valores típicos de tolerancias de convergencia son 4

1 10 y 2

2 110 .

3.10 Punto inicial

Los métodos de puntos interiores no requieren que el punto inicial 0x sea un punto

factible. Sin embargo, las condiciones de estricta positividad 0s y 0 deben ser

satisfechas, ya que de otra manera el método no converge. El proceso de convergencia es

sensible al punto inicial y puede afectar el rendimiento del Método de Punto Interior. En

[19], la siguiente inicialización es propuesta:

1. Las variables primales 0x puede ser obtenidas como la solución de un problema

de reparto de cargas, o calculadas como el punto medio entre los limites superior e

inferior de para las variables acotadas.

2. Las variables de holgura 0s son inicializadas para satisfacer la estricta condición

de no negatividad. Reescribiendo las inecuaciones como:

ˆmin maxh h x h (3.24)

las variables asociadas con los límites inferiores, mins , son obtenidas como:

0 0 1, ,min

mins min max h h x h h (3.25)

donde max minh h h , y 0 25. . Después, las variables asociadas a los límites

superiores son inicializadas como:

0 0max mins h s (3.26)

3. Las variables duales 0 son obtenidas como:

1

0 0S e

(3.27)

4. Las variables duales 0 pueden ser inicializadas con cero.


18

3.11 Algoritmo general PD

El algoritmo del método de puntos interiores Primal Dual puede ser descrito en forma

detallada en los siguientes pasos:

1. Inicialización de 0 y 0k . Selección de punto inicial 0 0 0 0 0

, , ,v x s que

satisfaga las condiciones de no negatividad, 0 0 0,s .

2. Calcular los vectores 0

xf , 0

( )g x y 0

( )h x , y las matrices 0

xg y 0

xh .

3. Si el punto , , ,k k k k kv x s satisface el criterio de convergencia, ecuación

(3.23), y terminar. En caso contrario, continuar al siguiente paso.

4. Calcular el vector de la derecha del sistema lineal reducido mostrado en (3.16).

5. Calcular la matriz hessiana Lxx

, utilizando la ecuación (3.10).

6. Formar y factorizar la matriz del sistema lineal mostrado en (3.16), y resolver el

sistema en el punto kv .

7. Con los valores obtenidos kx y k , y las ecuaciones auxiliares (3.11) y (3.12),

calcular las otras direcciones de Newton restantes, ks y k .

8. Con las direcciones de newton obtenidas, calcular las longitudes de paso primales

y duales kp y

kd utilizando (3.18).

9. Actualizar las variables primales y duales 1 1 1 1 1, , ,

k k k k kv x s por medio

de (3.17).

10. Calcular los vectores 1k

xf

, 1

( )kg x

y 1

( )kh x

, y las matrices 1k

xg y

1kxh

.

11. Actualizar 1k y

1k utilizando (3.20) y (3.21) respectivamente.

12. Asignar 1k k e ir al Paso 3.

19

Capítulo 4 Métodos de puntos interiores de orden

superior

El cálculo de las direcciones de Newton v en (3.8) es usualmente la tarea que demanda

mayor coste computacional en cada iteración del algoritmo PD. Concerniente al sistema

lineal (3.8) , la factorización de la matriz ( )k

vF v es mucho más costosa que la

sustitución hacia adelante y hacia atrás posterior a la factorización matricial. Esto indica

que si se reduce el número de factorizaciones al mínimo necesario, a expensas de algún

incremento en el coste de cada iteración, será posible aumentar el desempeño del PD.

La idea principal para reducir el número de iteraciones del PD es aumentar la precisión

con la cual el método de Newton aproxima las ecuaciones no lineales del sistema KKT.

Los métodos de punto interior que utilizan esta idea son conocidos como métodos de

orden superior.

En este capítulo se describirán los siguientes métodos de puntos interiores de orden

superior: Predictor Corrector (PC), propuesto por S. Mehrotra en [11]; Múltiples

Correcciones Centrales (MCC), propuesto por J. Gondzio en [13]; y Múltiples

Correcciones Centrales Ponderadas (WMCC), propuesto por M. Colombo y J. Gondzio

en [14].

4.1 Predictor Corrector (PC)

El método de punto interior Predictor Corrector es un método muy eficiente dado que, en

cada iteración, una dirección de Newton es obtenida para resolver dos sistemas de

ecuaciones lineales, conocidos como pasos predictor y corrector, relacionando en cada

uno de ellos la misma matriz ( )k

vF v con dos diferentes vectores de la derecha.

T

RHS sist. lin. 2RHS sist. lin. 1

0 0L

0 0

0 0

x

k kv

e ssF v v

g x

h x s

( )

( )

(4.1)

La idea es, primero, calcular una dirección de Newton basada en los términos de primer

orden. Las longitudes de paso tomadas en esta dirección son usadas para evaluar cuanta

corrección central es necesaria. Después, un término corrector es calculado. Éste contiene

un término central y un término de segundo orden, esto es:

Capítulo 4 Métodos de puntos interiores de orden superior

20

k k k kaf cen seg

predictor corrector

v v v v (4.2)

Donde la dirección de Newton kv está compuesta de las siguientes direcciones:

kafv es la dirección predictora o dirección affine-scaling, que es obtenida cuando 0k

en el sistema (3.9).

kcenv es la dirección central, cuyo tamaño se rige por el parámetro barrera

k .

ksegv es la dirección de los términos de segundo orden, que trata de compensar la no

negatividad en la dirección affine-scaling.

4.1.1 Paso predictor

La dirección correspondiente al paso predictor, se calcula partiendo con 0k en el

vector de la derecha del sistema (3.9).

TL

( )

( )

kafv

kaf

xkafk

v kaf

kaf

x

s sF v

g x

h x s

(4.3)

La dirección predictora obtenida de (4.3) es usada para aproximar los términos en el

lado derecho de la ecuación (4.1); y para estimar un valor del parámetro barrera af , que

será usado en el cálculo de la dirección correspondiente al paso corrector.

Para la estimación del parámetro barrera af , primero se obtienen las longitudes de paso

primal y dual de la dirección predictora, utilizando:

0

0

min 1, min

min 1, min

af k

af k

kkp k

s af

kkd k

af

s

s

(4.4)

Después, una estimación del gap de complementariedad puede ser calculada de la

siguiente manera:

T( ) ( )

af af

k k k k kaf p af d afs s (4.5)


21

Finalmente, la estimación de af es obtenida desde:

kafk k

af afnh

(4.6)

Donde el parámetro central es igual a:

2

min ,0.2

kafk

af k

(4.7)

El esquema para la actualización de af empleado selecciona valores pequeños cuando el

paso predictor kafv produce un decrecimiento grande en el gap de complementariedad,

k kaf y, en caso contrario, toma un valor grande.

El sistema (4.4) puede ser reducido eliminado por sustitución las variables kaf y k

afs ,

quedando de la siguiente forma:

T

0 ( )

afx

afx

x NM g

g xg

(4.8)

Donde

1TLxx x xM h s h

(4.9)

1T TL ( )x xN h s h x

(4.10)

Y las ecuaciones auxiliares quedando como:

( )af x afs h x s h x (4.11)

1

af afs s

(4.12)

4.1.2 Paso corrector

En este paso, los dos últimos vectores de la derecha de (4.1) son sumados para obtener la

dirección de corrección cov para la iteración k ésima , esto es:


22

0

0

0

kcov

kco

kco af af afk

v kco

kco

x

s e sF v

(4.13)

Después, la dirección compuesta kv para la iteración k ésima , es calculada como la

suma de las direcciones de Newton de los pasos predictor y corrector.

k k kaf cov v v (4.14)

Una variante para el cálculo de (4.14), es sumar los vectores de la derecha de (4.3) y

(4.13) y, a partir del vector resultante, calcular la dirección compuesta, esto es:

TL

( )

( )

kv

kx

kk af af af

v k

k

x

s s e sF v

g x

h x s

(4.15)

El proceso de cálculo de los pasos predictor y corrector envuelve en cada iteración la

solución de dos sistemas lineales de ecuaciones, con diferentes vectores de la derecha, y

con la misma factorización de la matriz kvF v (obtenida en el paso predictor). El

esfuerzo adicional con respecto al método Primal Dual original es sólo la solución del

sistema lineal de ecuaciones del paso corrector kcov con la matriz ya factorizada, el

cálculo de las longitudes de paso af

kp y

af

kd , y la estimación de k

af . Generalmente,

este incremento de tiempo transcurrido por iteración se compensa con una reducción del

tiempo de cálculo global, gracias a una disminución del número de iteraciones.

El sistema (4.15) puede ser reducido de la siguiente forma:

T

0 ( )

x

x

x NM g

g xg

(4.16)

Donde

1TLxx x xM h s h

(4.17)

1TL ( )x x af af afN h s e s h x

(4.18)

Y se obtienen las siguientes ecuaciones auxiliares:


23

( ) xs h x s h x (4.19)

1

af af afs e s s

(4.20)

4.1.3 Algoritmo general PC

El algoritmo del método de puntos interiores Predictor Corrector puede ser descrito de

forma detallada en los siguientes pasos:

1. Inicializar 0 y 0k . Seleccionar el punto inicial 0 0 0 0 0

, , ,v x s que

satisfaga las condiciones de no negatividad.

2. Calcular los vectores 0

xf , 0

( )g x y 0

( )h x , y las matrices 0

xg y 0

xh .

3. Si el punto , , ,k k k k kv x s satisface el criterio de convergencia, ecuación

(3.23) y terminar. En caso contrario, continuar al siguiente paso.


5. Calcular la matriz hessiana Lxx

, utilizando la ecuación (3.10).

6. Formar y factorizar la matriz del sistema lineal mostrado en (4.8). Resolver el

sistema en el punto kv .

7. Con los valores obtenidos kafx y k

afv , y las ecuaciones auxiliares (4.11) y (4.12),

calcular las otras direcciones de Newton restantes, kafs y k

af .

8. Con las direcciones de Newton obtenidas, calcular las longitudes de paso primales

y duales af

kp y

af

kd utilizando (4.4). Calcular k

af y luego estimar kaf usando

(4.5) y (4.6) respectivamente.


10. Utilizar la matriz factorizada del punto 6 y resolver sistema lineal mostrado (4.16)

en el punto kv .

11. Con los valores obtenidos kx y k , y las ecuaciones auxiliares (4.19) y (4.20),

calcular las otras direcciones de Newton restantes, ks y k .

12. Con las direcciones de Newton obtenidas, calcular las longitudes de paso primales

y duales, kp y

kd , utilizando (3.18).

13. Actualizar las variables primales y duales 1 1 1 1 1, , ,

k k k k kv x s , por medio

de (3.17).

14. Calcular los vectores 1k

xf

, 1

( )kg x

y 1

( )kh x

, y las matrices 1k

xg y

1kxh

.


24

15. Actualizar 1k y

1k utilizando (3.20) y (3.21) respectivamente.

16. Asignar 1k k e ir al paso 3.

4.2 Múltiples Correcciones Centrales (MCC)

El método de puntos interiores de Múltiples Correcciones Centrales utiliza el paso

predictor kafv obtenido en el método Predictor Corrector, y después evalúa uno o más

términos correctores, tratando de alcanzar los siguientes dos objetivos principales: (i)

mejorar la dirección central de la siguiente iteración, y (ii) incrementar la longitud de los

pasos primales y duales. La motivación para el primer objetivo es aumentar las

posibilidades de un mayor paso en la siguiente iteración y, para el segundo, obtener una

rápida reducción de la infactibilidad primal y dual, juntándose los dos objetivos para

obtener una aceleración en la convergencia.

Para definir las correcciones centrales, se considera que una dirección predictora kafv y

las longitudes de paso primales y duales af

kp y

af

kd fueron determinadas previamente en

la etapa predictora. El siguiente paso consiste en calcular una dirección correctora, cov ,

de tal manera que las longitudes de paso kp y

kd sean mayores que

af

kp y

af

kd

respectivamente, estando las primeras definidas por:

1

1

,

,

af

af

k kp p

k kd d

min

min

(4.21)

Donde es un escalar de valor reducido, utilizado para asegurar pequeños incrementos

en los factores de paso de la etapa predictora; y la dirección de Newton total está dada por

af cov v v (4.22)

sin violar la condición de no negatividad, 0,s . Para que esto sea posible, ciertas

condiciones deben ser impuestas en la dirección correctora cov .

De acuerdo con la referencia [20], es posible observar que, generalmente cuando 1af

k ,

un punto previsto v definido por:

,

k kp dv v v (4.23)

puede tener componentes que violen la restricción 0,s . Cuando esto ocurre, el

término corrector cov debe compensar los componentes negativos de forma que el punto

previsto, v , retorne a una vecindad de la trayectoria central.


25

El vector w viene definido como el producto de la condición de complementariedad para

el punto previsto, esto es:

w S (4.24)

Después, se deben de identificar los componentes de w que no pertenecen al intervalo

,k k

min af max af . Estos componentes son denominados productos de

complementariedad externos, y min y max son escalares considerados para definir los

límites mínimos y máximos de estos productos. El paso corrector tiene como objetivo

modificar estos productos en el sentido de mejorar la centralidad de 1kv . Para corregir

los productos externos, los componentes de w son proyectados en un hipercubo

,nh

k kmin af max afH

, lo que analíticamente implica calcular un vector w tal que:

si

si

caso contrario

,

,k k

min af min af

k kmax af max af

w

w w

w

(4.25)

Después, un término corrector kmv es obtenido como solución del siguiente sistema

lineal:

0

0

0

mk

k

k

k

k

v

m

mk

v m

m

x

s w wF v

(4.26)

El vector de la derecha de (4.26) pose elementos diferentes de cero solo para los

componentes de w w referentes a los productos complementarios que no pertenecen al

intervalo ,k k

min af max af . Por otra parte, tal como está definido el vector de la

derecha, este puede estar mal escalado si existen componentes de w con valor elevado.

Por tanto, para prevenir el efecto indeseable de este mal escalamiento, todos los

componentes de w w menores a kmax af son, como se sugiere en [13], remplazados

con este valor, el cual corresponde al límite esperado para un decrecimiento de valores

elevados de productos de complementariedad w .

La modificada dirección de corrección kmv que se obtiene al resolver (4.26) es usada

para corregir la dirección de predicción como sigue:

kmafv v v (4.27)


26

Unas nuevas longitudes de paso primal y dual en la dirección v son obtenidas, y el

nuevo valor para las variables primales y duales es calculado, como se describió

anteriormente para los métodos PD y PC.

El proceso del paso corrector puede ser repetido un deseable número de veces. La

dirección de Newton en (4.27) se convierte en este caso en el nuevo predictor, afv v ,

para el cual un nuevo punto previsto es calculado desde (4.23). El producto de la

condición de complementariedad en (4.24) es usado para definir el vector de la derecha

en (4.26), empleando previamente (4.25). Después, una nueva dirección central

modificada kmv que resuelve (4.26) es calculada y agregada al término predictor, como

en (4.27). En tal caso, el término corrector agregado a la dirección predictora está dado

por k

k

mmcc m

v v .

El uso de múltiples correcciones centrales resulta de interés práctico sólo si se alcanza

una reducción en el número de iteraciones, resultando en una disminución en el tiempo

total de cálculo del proceso iterativo. Por lo tanto, es esencial controlar la mejora

resultante de múltiples soluciones de (4.26). Según [13], una nueva corrección será

realizada cuando las longitudes de paso en la dirección v aumenten lo suficiente, en

comparación con las longitudes de paso correspondientes a afv más el factor , es

decir, si:

y af afp p d d (4.28)

Donde es el mínimo valor aceptado para el incremento de las longitudes de paso . El

número de correcciones centrales km es menor que un número máximo de correcciones

M km M .

En [20] el incremento de las longitudes de paso primal y dual es seleccionado

dinámicamente como sigue:

1 ,

af afp dmin

M

(4.29)

Donde M es el número máximo de correcciones centrales permitido, y , afp d las

longitudes de paso en la dirección predictora. Adicionalmente, considera que no

deberá ser menor a 0.1 (muy pesimista) y no mayor a 0.2 (muy optimista).

En [25] se muestra que, si se selecciona la primera dirección predictora en el método

MCC como la dirección de Newton total obtenida en el método PC, esto es, k k k

af cov v v , se pueden obtener mejores rendimientos. En ese contexto, la dirección


27

obtenida en el método Predictor Corrector de Mehrotra es considerada la primera

dirección predictora afv a la cual km correcciones centrales pueden ser aplicadas.

El sistema (4.26), puede ser reducido de la siguiente forma:

T

0 ( )

mkx

mkx

x NM g

g xg

(4.30)

Donde

1TLxx x xM h s h

(4.31)

1T

xN h s w w

(4.32)

Y se obtienen las siguientes ecuaciones auxiliares:

k km mxs h x (4.33)

1k km m

s w w s

(4.34)

El método MCC al igual que el PC reduce el número de iteraciones a costa de un esfuerzo

computacional extra en cada iteración.

4.2.1 Algoritmo general MCC

El algoritmo del método de puntos interiores Múltiples Correcciones Centrales puede ser

resumido como:

1. Inicialización de variables 0 0 0 0, , ,x s y

0 tal que 0 0 0,s , y el número

M de correcciones centrales permitidas en cada iteración.

2. Test de convergencia. Si el criterio de convergencia (3.23) se satisface, terminar,

en caso contrario, continuar al siguiente paso.

3. Resolver el sistema (4.3) para obtener la dirección predictora afv .

4. Calcular af acorde a (4.6), y encontrar la dirección correctora cov resolviendo

el sistema (4.13).

5. Calcular af cov v v , hacer afv v y , ,af afp d p d .

6. Calcular el punto previsto (4.23).

7. Resolver el sistema (4.26) para una dirección de corrección central kmv .


28

8. Calcular kmafv v v

9. Test de convergencia: comparación del número de correcciones centralizadas km

y el límite M , y verificación de cumplimiento de (4.28). Si los dos criterios se

cumplen, hacer: afv v y , ,af afp d p d , y se retorna al paso 6. En caso

contrario, el proceso prosigue.

10. Actualización de variables del problema de optimización

11. Calcular 1k y

1k utilizando (3.20) y (3.21) respectivamente, asignar

1k k e ir al paso 2.

4.3 Múltiples Correcciones Centrales Ponderadas (WMCC)

El método de Múltiples Correcciones Centrales Ponderadas propuesto para programación

lineal por M. Colombo y J. Gondzio se basa en superar una desventaja que presenta el

método PC, expuesta por C. Cartis en [26]. La desventaja consiste en que para ciertos

puntos iniciales, la dirección correctora cov es siempre de un orden de magnitud mayor

a la de la dirección predictora afv . En este caso, mientras el punto predictor avanza

hacia el punto óptimo, el punto corrector de segundo orden se aleja de este. Como la

dirección final está dada por:

af cov v v (4.35)

la dirección predictor-corrector compuesta está influenciada casi exclusivamente por el

término corrector y, por lo tanto, se podría obtener una dirección de avance incorrecta.

Las longitudes de paso generadas por este movimiento incorrecto a lo largo de la

dirección v son pequeñas.

Para superar esta deficiencia y obtener una mejor dirección compuesta, M. Colombo y J.

Gondzio proponen ponderar el paso corrector por un parámetro 0 1, , esto es:

af cov v v (4.36)

con el objetivo de seleccionar un peso óptimo ̂ tal que incremente las longitudes de

paso en el espacio primal y dual en la dirección de Newton compuesta.

Una secuencia de Múltiples Correcciones Centrales puede ser generada, y para cada una

de estas un peso óptimo ̂ es determinado.

kmafv v v ˆ (4.37)

4.3 Múltiples Correcciones Centrales Ponderadas (WMCC)

29

La dirección v se convierte en el nuevo término predictor afv para la siguiente

corrección central. El proceso de correcciones es iterativo, y puede ser interrumpido en

cualquier fase.

Es importante notar que eventualmente, después de adicionar el último término corrector

k , la dirección de Newton total empleada por el método WMCC es:

11ˆ ˆ k

k

maf mv v v v (4.38)

Donde el término predictor afv contribuye a éste sin alguna reducción. Por lo tanto,

cuanto mayores sean las longitudes de paso en los espacios primal y dual, más se progresa

hacia el optimizador de problema.

En [14] la selección de se restringe al intervalo 1, ,min max p d y se obtiene

realizando una búsqueda lineal. Para esto, se seleccionan 9 puntos uniformemente

distribuidos en dicho intervalo, y se evalúan en cada uno de estos puntos las longitudes de

paso p y d

. Cuando la mayor longitud de paso p o d

es obtenida, el

correspondiente es almacenado como p̂ o d̂ respectivamente, permitiendo

diferentes pesos para las direcciones en los espacios primal y dual.

Las longitudes de paso empleadas para determinar el punto previsto (4.23) son calculadas

empleando:

1 5 0 3 1

1 5 0 3 1

. . ,

. . ,

af

af

p p

d d

min

min

(4.39)

Siendo éstas menos conservadoras que las empleadas en el método MCC, gracias a que

con el mecanismo de ponderación se puede controlar la contribución del corrector de

forma adaptativa. Las correcciones centrales son aceptadas si 1 01.afp p ,

1 01.afd d , y el número de correcciones centrales km es menor que un número

máximo de correcciones M .

4.3.1 Algoritmo general WMCC

El algoritmo del método de puntos interiores Múltiples Correcciones Centrales

Ponderadas puede ser resumido como:

1. Inicialización de variables 0 0 0 0, , ,x s y

0 tal que 0 0 0,s , y el número

M de correcciones centrales permitidas en cada iteración.


30

2. Test de convergencia. Si el criterio de convergencia (3.23) se satisface, terminar,

en caso contrario continuar al siguiente paso.

3. Resolver el sistema (4.3) para obtener la dirección predictora afv .

4. Calcular af acorde a (4.6) y encontrar la dirección correctora cov resolviendo

el sistema (4.13).

5. Hacer una búsqueda lineal para encontrar el óptimo ̂ que maximiza las

longitudes de paso ,p d en la dirección af cov v v . Hacer

af af cov v v .

6. Calcular el punto previsto (4.23).

7. Resolver el sistema (4.26) para una dirección de corrección central kmv .

8. Hacer una búsqueda lineal para encontrar el óptimo ̂ que maximiza las

longitudes de paso ,p d en la dirección kmafv v v . Hacer

kmafv v v .

9. Test de convergencia: comparación del número de correcciones centralizadas km

y el límite M , y verificación de cumplimiento 1 01.afp p y 1 01.

afd d . Si

los dos criterios se cumplen, hacer: afv v y , ,af afp d p d , y se retorna al

paso 6. En caso contrario, el proceso prosigue.

10. Actualización de variables del problema de optimización

11. Calcular 1k y

1k utilizando (3.20) y (3.21) respectivamente, asignar

1k k e ir al paso 2.

31

Capítulo 5 Detalles de implementación

En este capítulo se analizará la ventaja computacional del sistema reducido, con respecto

al sistema aumentado, en la solución del sistema KKT; se mostrará la notación matricial

empleada en el cálculo de las primeras y segundas derivadas (jacobianos y hessianos) de

las funciones empleadas en nuestra formulación de OPF; y finalmente, se detallará

brevemente el algoritmo empleado para resolver los sistemas lineales (sistemas KKT)

resultantes en las diferentes formulaciones de punto interior descritas anteriormente.

5.1 Análisis de los sistemas aumentado y reducido

En la figura 2 se pueden observar, marcados con un asterisco, los elementos no nulos

correspondientes a las matrices de los sistemas aumentado y reducido, resultantes de la

optimización de la operación de un sistema eléctrico de 5 barras. Las características del

sistema aumentado son 14nx , 11ng y 28nh , por lo que la dimensión de su matriz

de coeficientes, figura 2(a), es 81 81 2nx ng nh , y con 392 elementos no nulos, lo

que significa un 94.025% de elementos nulos. Las características del sistema reducido son

14nx , 11ng , por lo que la matriz del sistema reducido, figura 2(b), es de

dimensiones 25 25 nx ng , y con 194 elementos no nulos, lo que significa un

68.960% de elementos nulos.

Figura 2. Estructura de la matriz del sistema KKT


32

Los sistemas lineales aumentado y reducido son sistemas simétricos estructuralmente e

indefinidos, pero el sistema reducido también lo es numéricamente, a diferencia del

sistema aumentado que solo lo es en las submatrices no nulas.

Como resultado de lo descrito anteriormente, se obtiene que el emplear el sistema

reducido requiere menos tiempo y esfuerzo computacional que el emplear el sistema

aumentado.

5.2 Tiempos de ejecución

El paso que involucra más tiempo y esfuerzo computacional durante la ejecución de

cualquiera de los métodos de puntos interiores mencionados anteriormente es la solución

del sistema lineal resultante de aplicar el método de Newton a las condiciones KKT.

Además, el tiempo de ejecución total está relacionado con los siguientes factores:

Características del computador utilizado.

Naturaleza no lineal y tamaño del problema a resolver.

Punto y parámetro de barrera inicial.

Esquema de procesamiento y ordenamiento del sistema lineal.

Método utilizado para resolver el sistema lineal.

Tasa de decrecimiento del parámetro barrera.

Tamaño de las longitudes de paso primal y dual.

Criterio de parada.

5.3 Cálculo de primeras y segundas derivadas

La forma de cálculo de las primeras y segundas derivadas empleadas son tomadas de

[22], en donde se muestra cómo la función de costes, las ecuaciones de balance de

potencia y ecuaciones de flujo de potencias empleadas en el cálculo de reparto de cargas

y de reparto de cargas óptimo, pueden ser expresadas en términos de matrices dispersas

complejas, y como sus primeras y segundas derivadas pueden ser calculadas de forma

eficiente empleando simples operaciones entre dichas matrices.

Previo a describir las derivadas de las funciones relacionadas con el reparto de cargas

óptimo, se define el vector de tensiones complejas V de dimensiones 1bn x . La tensión

para la barra i es iji iv v e

, siendo y los vectores de magnitud y ángulo de

tensión respectivamente. Se define: 1

E V

.

5.3.1 Función de costes

Considerando la función de costes detallada anteriormente:

20 1 2g gf x c c P c P (5.1)


33

La primera derivada de la función de costes f x respecto al vector de variables x es:

T

1 20 0 2 0

g gx P Q

ff f f f f

x

C C

(5.2)

El producto de la segunda derivada de f x respecto al vector de variables x es:

2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 2 0

0 0 0 0

Txx x

PgPg

f ffx

C

(5.3)

5.3.2 Función de balance de potencia aparente

Considerando la ecuación de balance de potencia aparente 0( )sg x , donde:

( )s

barra d g gg x S S C S (5.4)

La primera derivada de la ecuación de balance de potencia aparente respecto al vector de

variables x es:

g g

ss s s s sx P Q

gg g g g g

x

(5.5)

donde

* * *[ ]

sbarra barrag j V I Y V

(5.6)

1* * *[ ] [ ]

sbarra barrag V I Y V

(5.7)

g

sP gg C (5.8)

g

sQ gg jC (5.9)

El producto de la segunda derivada de la ecuación de balance de potencia aparente

respecto al vector de variables x multiplicada por el vector de multiplicadores de

Lagrange es:


34

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

s s

s ss s Txx X

g g

g gg g

x

(5.10)

donde

T T* * *

* * *

s sT

barra barra

barra barra

g g

V Y V Y V

V Y V I

(5.11)

T

1 T T* * *

* * *

s s

barra barra

barra barra

g g

j V Y V Y V

V Y V I

(5.12)

T

T

s s

s

g g

g

(5.13)

T

1 1T* * * *

s s

barra barra

g g

V Y V V Y V

(5.14)

Ahorros computacionales pueden ser alcanzados por almacenar y reutilizar ciertos

términos intermedios durante el cálculo de estas segundas derivadas, como sigue:

T

1

*

*

*

barra

barra

sbarra

V

Y V

Y V

V

I j g

(5.15)

Sustituyendo estos términos en las expresiones obtenidas anteriormente tenemos:


35

T

T

s

s

s s

s

g

g j

g g

g

(5.16)

5.3.3 Función de flujos de potencia

Considerando las restricciones de potencia por líneas y transformadores de la forma

0h x , la función h x es definida en términos del cuadrado de la potencia de flujo

aparente, la cual es derivada previamente de la potencia de flujo aparente. Las relaciones

de este apartado son expresadas para las potencias de flujo desde el lado de envío. Las

relaciones desde el lado de recibo pueden ser obtenidas remplazando todos los sub/súper-

índices e por r.

Derivando la ecuación (2.15) respecto al vector de variables x , obtenemos la primera

derivada de las potencias de flujo en sentido envío-recibo, esto es:

g g

ee e e e ex P Q

dSS S S S S

x

(5.17)

donde

* * *[ ]

ee e e eS j I C V C V Y V

(0.18)

* * *[ ]

ee e e eS I C E C V Y E

(5.19)

0g

ePS (5.20)

0g

eQS (5.21)

El producto de la segunda derivada de la potencia de flujo aparente respecto al vector de

variables x multiplicada por el vector de multiplicadores de Lagrange es:

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

e e

e ee e Txx X

S S

S SS S

x

(5.22)

donde


36

T T

T T

* * * *

* * * *

e eT

e e e e

e e e e

S S

V Y C V V C Y V

Y C V V C Y V V

(5.23)

1 T T

T T

* * * *

* * * *

e eT

e e e e

e e e e

S S

j V Y C V V C Y V

Y C V V C Y V V

(5.24)

T

e eT

e

S S

S

(5.25)

1 1T T* * * *

e eT

e e e e

S S

V Y C V V C Y V

(5.26)

Ahorros computacionales pueden ser alcanzados por almacenar y reutilizar ciertos

términos intermedios durante el cálculo de estas segundas derivadas, como sigue:

T

T

T

1

*

*

*

*

e e e

e e

e e

e e

e e e

Y C

V V

V V

V V

(5.27)

Sustituyendo estos términos en las expresiones obtenidas anteriormente tenemos:

T

T

ee e e

ee e e e

e e

ee

S

S j

S S

S

(5.28)


37

Considerando 2

maxS como el cuadrado del límite de potencia aparente en una línea o un

transformador, la función de restricciones de flujo de potencia aparente h x puede ser

definida en términos del cuadrado de la potencia de flujo aparente, como sigue:

2*e e emaxh x S S S

(5.29)

Derivando la ecuación (5.29) respecto al vector de variables x , obtenemos la primera

derivada de eh x , esto es:

g g

ee e e e ex P Q

dhh h h h h

x

(5.30)

donde

2e e ex xh S S

* (5.31)

y

2

2

0

0

g

g

e e e

e e e

eP

eQ

h S S

h S S

h

h

*

*

(5.32)

El producto de la segunda derivada de eh x respecto al vector de variables x

multiplicada por el vector de multiplicadores de Lagrange es:

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

e e

e ee e Txx X

h h

h hh h

x

(5.33)

donde

T2 * *e e e e exx xx x xh S S S S

(5.34)

y


38

T

T

T

T

2

2

2

2

* *

* *

* *

* *

e e e e e

e e e e e

e e e e e

e e e e e

h S S S S

h S S S S

h S S S S

h S S S S

(5.35)

5.3.4 Restricciones lineales de igualdad y desigualdad

En la formulación del problema de reparto de cargas óptimo existen restricciones lineales

de igualdad y desigualdad, tales como el ángulo de la barra de referencia, o los límites de

operación en la magnitud de tensiones, entre otras. Dichas restricciones tienen la forma:

0( )eq eq eqg x A x b (5.36)

0( )iq iq iqh x A x b (5.37)

La primera derivada de las restricciones lineales (5.36) y (5.37) respecto al vector x son:

eqeq

x eq

dgg A

x

(5.38)

iqiq

x iq

dhh A

x

(5.39)

La segunda derivada de las restricciones lineales (5.36) y (5.37) respecto al vector x,

multiplicadas por su respectivo vector de multiplicadores de Lagrange, son:

0eqxxg (5.40)

0iqxxh (5.41)

El detalle de las deducciones de las derivadas de las funciones descritas anteriormente

puede ser consultado en [22]. En los apéndices A y B se detallan los conceptos

matemáticos empleados y la formulación del problema de reparto de cargas óptimo,

respectivamente.

5.4 Solución de sistemas lineales

El principal esfuerzo computacional en los algoritmos de punto interior descritos

anteriormente está en resolver el sistema lineal reducido, resultante de aplicar el método

de Newton a las condiciones de optimalidad de primer orden. Como se mostró

anteriormente, dicho sistema tiene la forma:

5.4 Solución de sistemas lineales

39

( )

( )( ) 0

Tx

x

x bA

x NM g x

g xg x

(5.42)

La solución del sistema (5.42) se obtiene en dos pasos: i) factorización de la matriz A; ii)

sustitución hacia delante y hacia atrás, siendo el paso i) el que demanda mayor tiempo y

esfuerzo computacional.

La matriz A es simétrica e indefinida. Para su factorización se empleó el solver

UMFPACK (Unsyrnmetric-pattern Multifrontal PACKage) de Timothy Davis de la

Universidad de Florida [27, 28]. UMFPACK es un código escrito en C para la solución

directa de sistemas de ecuaciones lineales, Ax b , utilizando el método multifrontal,

donde la matriz dispersa A puede ser real o compleja y singular o no singular (o alguna

combinación).

La matriz PAQ o PRAQ es factorizada en el producto LU . Donde L y U son matrices

triangular inferior y superior respectivamente, P y Q son matrices de permutación, y R

es una matriz diagonal de factores de escalamiento de la filas (o R I si el escalamiento

de filas no es requerido). Ambas P y Q son escogidas para reducir el número de

elementos no nulos. La matriz de permutación P además cumple el rol de mantener la

estabilidad numérica. UMFPACK primero encuentra un pre-ordenamiento de columnas

que reduzca los elementos no nulos, sin tener en cuenta valores numéricos; luego escala y

analiza la matriz A ; y después automáticamente selecciona la estrategia de pre-

ordenamiento de columnas y filas según la matriz sea simétrica o asimétrica.

La versión 4.3 de UMFPACK forma parte de Matlab y puede ser utilizada por medio de

la función lu con 4 ó 5 parámetros de salida, esto es, [ , , , ] ( )L U P Q lu A o

[ , , , , ] ( )L U P Q R lu A . En nuestra implementación utilizamos la versión de UMFPACK

proporcionada por Matlab. Versiones más recientes de UMFPACK están disponibles en

[29].

40

Capítulo 6 Experimentos computacionales

En este capítulo presentaremos algunos resultados numéricos, mientras discutiremos y

compararemos el funcionamiento de los algoritmos de métodos de puntos interiores

implementados. Los códigos han sido escritos en Matlab R2011A, y han sido probados en

redes que se encuentra en un rango de 5 a 3120 barras. Todos los test han sido ejecutados

en un computador con procesador Core i7 de 2.8 GHz y 8 GB de memoria RAM. Dado

que para la formulación del OPF se utilizó la notación matricial propuesta en [22] y

utilizada en el programa MATPOWER, se realizó un análisis comparativo de nuestras

implementaciones de IPM con el código de puntos interiores puro de MATLAB (MIPS)

empleado en dicho programa [30].

6.1 Códigos OPF desarrollados

Hemos implementado un conjunto de 4 códigos OPF, asociados a la solución del

problema OPF de minimización de costes de generación, que son formulados con la

implementación matricial eficiente descrita en el capítulo 5 y con las cuatro variantes de

algoritmos de punto interior detalladas en los capítulos 3 y 4. En la Tabla 1 se muestra el

nombre del código y el nombre del método de punto interior asociado.

Nombre del código Método de punto interior

PD Primal Dual

PC Predictor Corrector

MCC Múltiples Correcciones Centrales

WMCC Múltiples Correcciones Centrales Ponderadas

Tabla 1. Nombre de códigos de punto interior

6.2 Redes eléctricas de pruebas

Nuestra formulación de OPF fue probada utilizando 9 redes de ensayo que incluyen las

redes pequeñas de 9, 14, 30 y 57 barras; las redes medianas de 118 y 300 barras; y

finalmente, las redes grandes de 2383, 2746 y 3120 barras (estas 3 redes de pruebas son

redes reales correspondientes al sistema eléctrico de Polonia y fueron tomadas de

MATPOWER).

En la Tabla 2 se muestran algunas estadísticas de las dimensiones de las redes de prueba,

donde para cada sistema, se da el número de barras bn , el número de generadores gn , el

número de líneas y transformadores ln .

6.2 Redes eléctricas de pruebas

41

Algunas estadísticas de las dimensiones de los problemas OPF resueltos en cada una de

las redes de prueba se muestran en la Tabla 3 donde, para cada problema, se da el número

de variables primales xn , el número de restricciones de igualdad lineales y no lineales

lneqn y lneqnn respectivamente, y el número de restricciones de desigualdad lineales y no

lineales lniqn y lniqnn respectivamente. Nótese que el número de restricciones lineales de

igualdad lneqn para algunos sistemas es mayor a 1, esto debido a que además de la

necesidad de igualdad para el ángulo de la barra de referencia, existe un reducido número

de variables primales cuyos valores, por características propias de la red, son operados

fijos (límite inferior igual a límite superior).

Red nb ng nl

bus5 5 2 5

bus14 14 5 20

bus30 30 6 41

bus57 57 7 80

bus118 118 54 186

bus300 300 69 411

bus2383 2383 327 2896

bus2746 2746 456 3279

bus3120 3120 298 3693

Tabla 2. Estadísticas de las redes de prueba

Red nx neq neqnln neqln niq niqnln niqln

bus5 14 11 10 1 28 10 18

bus14 38 29 28 1 88 40 48

bus30 72 61 60 1 166 82 84

bus57 128 115 114 1 302 160 142

bus118 344 237 236 1 824 372 452

bus300 738 601 600 1 1698 822 876

bus2383 5420 4898 4766 132 11604 5792 5812

bus2746 6404 5945 5492 453 12970 6558 6412

bus3120 6836 6373 6240 133 14554 7386 7168

Tabla 3. Dimensiones de los problemas OPF

En la Tabla 4 se muestra el número de restricciones activas de las redes de estudio una

vez alcanzado el óptimo, donde se puede observar que, para las redes de mayor tamaño,

existe un reducido número de variables , ,g gV P Q y funciones lS que han alcanzado

su límite inferior o superior. Las dimensiones de los sistemas aumentado y reducido del

sistema KKT de cada una de los problemas OPF resueltos se presenta en las dos últimas


42

columnas de Tabla 4, donde se puede observar la significativa reducción de dimensiones

empleando el sistema reducido.

Red |V| Pg Qg |Sl| Sistema KKT

Aumentado Reducido

bus5 3 0 0 0 81 25

bus14 3 1 1 0 243 67

bus30 1 0 0 2 465 133

bus57 1 0 2 0 847 243

bus118 9 17 13 0 2229 581

bus300 26 4 23 0 4735 1339

bus2383 23 323 247 6 33526 10318

bus2746 33 455 339 0 38289 12349

bus3120 31 278 187 8 42317 13209

Tabla 4. Número de restricciones activas y dimensiones del sistema KKT

6.3 Experimentos con valores por defecto

Todas las simulaciones realizadas en esta sección han sido ejecutadas con los parámetros

por defecto mostrados en la Tabla 5. Por defecto, las variables primales x son

inicializadas desde la solución de un reparto de cargas. El resto de variables son

inicializadas como se propone en la sección 3.10.

Parámetro μ0 σ0 γ τ βmin βmax M ε1 ε2

Valor 1.0 0.2 0.99995 0.25 0.1 10 5 1E-4 1E-6

Tabla 5. Parámetros por defecto

Los resultados experimentales llevados a cabo con los parámetros por defecto de los

algoritmos son mostrados en la Tabla 6 y la Tabla 7, donde en la primera tabla se indica

el número de iteraciones y el valor de la función objetivo, en la siguiente tabla se muestra

el tiempo computacional transcurrido. El tiempo transcurrido está expresado en segundos,

y no incluye la lectura y salida de datos.

Los resultados de la Tabla 6 y la Tabla 7 muestran la superioridad de las variantes de

punto interior de orden superior sobre el método Primal Dual, tanto en número de

iteraciones como en tiempo de cálculo. Para los 9 problemas y los parámetros por defecto,

los 4 algoritmos implementados muestran robustez. Con respecto al número total de

iteraciones y el tiempo computacional total para resolver los 9 problemas, en ambos

totales el mejor desempeño computacional fue obtenido con el código WMCC, con 82

iteraciones y 6.329 segundos.


43

Red F.

Objetivo

Iteraciones

PD PC MCC WMCC

bus5 7,703 11 6 6 6

bus14 8,082 12 6 6 6

bus30 577 13 9 9 8

bus57 41,738 12 9 9 9

bus118 129,661 14 9 9 8

bus300 719,725 16 10 9 9

bus2383 1,868,512 29 18 15 14

bus2746 1,631,775 25 13 13 10

bus3120 2,142,704 29 19 16 12

Total 161 99 92 82

Tabla 6. Número de iteraciones

Red Tiempo computacional

PD PC MCC WMCC

bus5 0.032 0.02 0.018 0.022

bus14 0.033 0.018 0.019 0.022

bus30 0.044 0.032 0.033 0.034

bus57 0.058 0.045 0.048 0.051

bus118 0.111 0.072 0.077 0.079

bus300 0.25 0.153 0.151 0.17

bus2383 3.371 2.116 1.88 1.977

bus2746 3.321 1.707 1.842 1.624

bus3120 5.275 2.831 2.606 2.351

Total 12.495 6.994 6.676 6.329

Tabla 7. Tiempo computacional

Las variantes de punto interior de orden superior emplean los pasos predictor y corrector

para mejorar el orden de precisión al cual las direcciones de Newton aproximan las

ecuaciones no lineales KKT. Estas variantes de punto interior mejoran la dirección central

en cada iteración por resolver dos (PC) o más sistemas lineales (MCC y WMCC) en cada

iteración. En la Figura 3 se muestran para la red de 3120 barras todas las longitudes de

paso (mínimo de la longitud de paso primal y dual) respecto a cada iteración para las

diferentes implementaciones de punto interior (para el algoritmo PD sólo son mostradas

las longitudes de paso de las primeras 19 iteraciones, de un total de 29 iteraciones que

necesita para alcanzar la convergencia). Se puede observar en la Figura 3 que el algoritmo

WMCC generalmente toma mayores longitudes de paso que los otros códigos de punto

interior, lo cual le permite alcanzar convergencia en un menor número de iteraciones. Las

longitudes de paso de los algoritmos PC y MCC son muy similares en las primeras 6


44

iteraciones, pero el MCC logra mayores incrementos en las iteraciones posteriores, dando

lugar a una reducción de 3 iteraciones respecto al PC. El algoritmo PD, como era de

esperar, muestra las menores longitudes de paso, y consecuentemente tiene la peor

convergencia.

Figura 3. Longitud de paso para los diferentes algoritmos IPM

En la Tabla 8 se muestra el tiempo computacional (en segundos y en porcentaje respecto

al tiempo total) de los principales pasos de los algoritmos PD y WMCC, en la solución de

la red 2383wp. Nótese que en los dos algoritmos los procesos que demandan mayor

esfuerzo computacional son la formación del sistema KKT (construcción de la matriz

hessiana A y de los diferentes vectores de la derecha b) y la factorización de la matriz A

del sistema KKT. La suma de estos dos procesos representa alrededor del 80% del tiempo

total para el algoritmo PD y el 65% para el algoritmo WMCC. El tiempo empleado para

resolver el sistema KKT es mayor en el algoritmo WMCC debido a la formación de dos o

más sistemas KKT en cada iteración, con respecto al único sistema que se resuelve en el

PD. La diferencia de tiempo con respecto a otros procesos se debe a que para el algoritmo

WMCC se incluye el tiempo demandado en la búsqueda lineal para ponderar la

participación de las direcciones centrales y aumentar las longitudes de paso.

Proceso PD WMCC

(seg.) (%) (seg.) (%)

Cálculo variables primales y duales iniciales 0.101 3.0% 0.098 5.0%

Formación del Sistema KKT (Ax = b) 0.880 26.1% 0.427 21.6%

Factorización de Matriz A 1.872 55.5% 0.859 43.5%

Resolución del Sistema KKT (Ax = b) 0.057 1.7% 0.101 5.1%

Cálculo de longitudes de paso primal y dual 0.022 0.6% 0.038 1.9%

Actualización de variables primales y duales 0.003 0.1% 0.001 0.1%

Evaluación de g(xk) y h(x

k) y de sus jacobianos 0.365 10.8% 0.170 8.6%

Test de convergencia 0.029 0.8% 0.012 0.6%

Otros 0.042 1.3% 0.271 13.7%

Total 3.371 100.0% 1.977 100.0%

Tabla 8. Tiempo computacional en los pasos principales


45

La Tabla 9 reporta las longitudes de paso primal y dual en la dirección predictora y en la

dirección correctora para la red de 2383 barras empleando el algoritmo MCC. Se puede

observar como en la mayoría de iteraciones se realiza al menos una corrección central. En

las iteraciones 8 y 9 se alcanza el máximo número de correcciones permitidas ( 5)M .

Las longitudes de paso primal y dual en la dirección predictora no son lo suficientemente

grandes para alcanzar una rápida convergencia; después, una o más correcciones centrales

mejoran significativamente las longitudes de paso, lo cual indica un mayor avance en

busca del punto óptimo.

Iteración αaf m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5

1 Primal 0.520 0.560 0.532

Dual 0.277 0.350 0.489

2 Primal 0.227 0.304 0.331 0.367

Dual 0.209 0.294 0.358 0.363

3 Primal 0.410 0.560 0.684 1.000 1.000

Dual 0.498 0.584 0.687 0.744 0.803

4 Primal 1.000 1.000

Dual 0.870 0.871

5 Primal 0.686 0.720

Dual 0.817 0.819

6 Primal 0.370 0.401

Dual 0.834 0.005

7 Primal 0.711 0.728 0.747 0.767

Dual 0.823 0.854 0.890 0.895

8 Primal 0.336 0.366 0.405 0.456 0.500 0.574

Dual 0.518 0.568 0.608 0.645 0.673 0.615

9 Primal 0.393 0.407 0.428 0.459 0.501 0.543

Dual 0.795 0.846 0.916 0.951 0.964 0.382

10 Primal 0.788 0.791

Dual 0.440 0.556

11 Primal 0.520 0.536 0.641

Dual 0.631 0.749 0.712

12 Primal 0.420 0.445

Dual 0.985 0.990

13 Primal 0.831 0.877 0.939 0.970 0.971

Dual 0.682 0.700 0.728 0.763 0.803

14 Primal 1.000 1.000

Dual 0.931 0.999

15 Primal 0.897 0.997

Dual 0.998 1.000

Tabla 9. Incremento de las longitudes de paso - algoritmo MCC


46

En la Figura 4 se presenta, para una iteración de la red 3120 barras empleando el

algoritmo WMCC, la ponderación del paso corrector. Dadas las longitudes de paso

iniciales 0 0.731p y 0 0.653d , resultantes de considerar la magnitud total del paso

corrector, obtenemos los límites de búsqueda del coeficiente de ponderación , esto es

0 0 1 10 477p d ., , . Una vez definido el intervalo, se seleccionan 9 puntos

uniformemente distribuidos, y se evalúan, para cada uno de estos puntos, las longitudes

de paso p y d

. Cuando un máximo p o d

es obtenido, el correspondiente es

almacenado como p y d respectivamente. Observando la Figura 4, tenemos que

0.674p da una longitud de paso primal 0.809p ; y 0.608d da una longitud

de paso dual 0.729d . Estos valores de longitud de paso son mayores que los

obtenidos inicialmente sin ponderación, lo que deriva en una aceleración de la

convergencia.

(a)

(b)

Figura 4. Ponderación de dirección correctora - algoritmo WMCC

6.5 Análisis comparativo con MATPOWER

47

6.4 Influencia de algunos parámetros

Dado que la convergencia de los métodos de punto interior es sensible a la selección del

punto inicial, se realizaron simulaciones modificando la selección de las variables

primales x por un perfil plano (punto medio entre sus limites superior e inferior). Estos

resultados se muestran en la Tabla 10, donde se puede observar que para este método de

inicialización, el algoritmo PD no converge para la red de 300 barras y los algoritmos PC

y MCC no convergen para la red de 3120 barras. El algoritmo WMCC sí converge para

todas las redes simuladas, en un número total de 101 iteraciones, lo cual muestra la

robustes de este algoritmo. Con respecto a la inicialización a través de la solución de un

reparto de cargo, este método de inicialización requiere un significativo mayor número de

iteraciones.

Red Iteraciones

PD PC MCC WMCC

bus5 11 9 9 9

bus14 12 8 8 8

bus30 13 12 12 12

bus57 12 8 8 8

bus118 14 9 9 9

bus300 - 9 10 10

bus2383 29 17 16 13

bus2746 25 17 14 14

bus3120 29 - - 18

Total - - - 101

Tabla 10. Influencia del punto inicial en el número de iteraciones

En la Tabla 11 se presentan los resultados de la variación del parámetro barrera para los

algoritmos PD y WMCC. Se observa que la red de 300 barras, empleando el algoritmo

PC, no converge para valores de μ0 iguales a 0.1 y 0.01. El algoritmo WMCC converge

para todos los valores de μ0 testeados, y se obtiene el menor número total de iteraciones

para μ0 igual a 0.1. Dado que no se obtiene convergencia en todas las redes de prueba

testeadas, para μ0 igual a 0.1, se seleccionó μ0 igual a 1 como el valor de defecto para el

parámetro barrera inicial.

6.5 Análisis comparativo con MATPOWER

La Tabla 12 presenta los resultados del reparto de cargas óptimo de las 9 redes de estudio

utilizando el programa MATPOWER y su método de punto interior MIPS. Los valores de

la función objetivo obtenidos son iguales a los alcanzados con los 4 algoritmos

implementados y presentados en la Tabla 6. MATPOWER requiere un total de 207

iteraciones para resolver las 9 redes de estudio, mientras que de los 4 algoritmos que

hemos implementados, el que requiere mayor número de iteraciones es el PD con 161, y


48

el que requiere un menor número es el WMCC con 82. El tiempo computacional total

empleado por MATPOWER es de 13.535 segundos. Los tiempos computacionales de los

algoritmos de orden superior mostrados en la Tabla 6 representan una reducción de

esfuerzo computacional de alrededor del 50% respecto a MATPOWER, siendo el

algoritmo WMCC el que produce el mayor porcentaje de ahorro, con 53.2%.

Red PC WMCC

μ0 = 10 μ0 = 1 μ0 = 0.1 μ0 = 0.01 μ0 = 10 μ0 = 1 μ0 = 0.1 μ0 = 0.01

bus5 7 6 5 6 7 6 5 6

bus14 7 6 7 6 8 6 6 5

bus30 10 9 8 7 10 8 7 7

bus57 9 9 9 7 9 9 8 7

bus118 10 9 9 8 10 8 9 7

bus300 11 10 - - 12 9 8 26

bus2383 20 18 16 20 13 14 14 15

bus2746 14 13 12 13 11 10 10 9

bus3120 21 19 17 18 14 12 12 11

Total 109 99 - - 94 82 79 93

Tabla 11. Influencia del parámetro barrera inicial en el número de iteraciones

Red F. Objetivo iter tiempo PD PC MCC WMCC

bus5 7,703 12 0.074 56.8% 72.4% 76.0% 69.7%

bus14 8,082 15 0.064 47.7% 72.3% 69.4% 65.7%

bus30 576.8923 15 0.077 42.8% 58.0% 57.0% 56.0%

bus57 41,738 15 0.116 50.3% 61.2% 58.5% 56.2%

bus118 129,661 19 0.178 37.6% 59.9% 57.0% 55.9%

bus300 719,725 26 0.389 35.7% 60.6% 61.1% 56.3%

bus2383 1,868,512 33 3.428 1.7% 38.3% 45.1% 42.3%

bus2746 1,631,775 30 3.500 5.1% 51.2% 47.4% 53.6%

bus3120 2,142,704 42 5.710 7.6% 50.4% 54.4% 58.8%

Total 207 13.535 7.7% 48.3% 50.7% 53.2%

Tabla 12. Resultados usando MATPOWER y comparativa

49

Capítulo 7 Conclusiones

En este trabajo se ha presentado y comparado el funcionamiento de cuatro algoritmos

basados en puntos interiores, PD, PC, MCC y WMCC, partiendo desde el algoritmo

básico de puntos interiores Primal Dual hasta algoritmos más recientes como el algoritmo

de Múltiples Correcciones Centrales Ponderadas. Estos algoritmos han sido capaces de

resolver el problema de reparto de cargo óptimo asociado a la función de costes de

generación en varias redes de prueba de diferentes dimensiones. Para la implementación

de la formulación del OPF se empleó una notación matricial eficiente. Con la misma,

sumada a la implementación eficiente de algoritmos de punto interior de orden superior,

se obtuvieron tiempos de convergencia inferiores a los obtenidos en otras

implementaciones.

Se realizaron diversas simulaciones con los parámetros en sus valores por defecto,

además de verificar la influencia de la variación de ciertos parámetros principales,

determinándose que el algoritmo WMCC es el más eficiente y robusto de los algoritmos

desarrollados. Todos los algoritmos implementados alcanzaron convergencia para las

redes de estudio analizadas, considerando los parámetros por defecto. Se concluye por

tanto la superioridad de todos los algoritmos implementados con respecto al algoritmo de

punto interior de MATPOWER.

Se concluye además que los métodos que utilizan múltiples correcciones centrales MCC y

WMCC alcanzan un mejor desempeño respecto a los otros dos algoritmos, principalmente

para problemas OPF en sistemas no lineales de gran dimensión. El algoritmo WMCC

pondera la participación del paso corrector en la dirección de búsqueda resultante en cada

iteración, teniendo como resultado una aceleración en el proceso de convergencia.

Se demuestra que, a pesar de que estos métodos de punto interior fueron desarrollados

para programación lineal, pueden ser fácilmente implementados para el caso no lineal y

conservar la misma eficiencia y robustez corroborada por sus respectivos autores para el

caso lineal.

Nuestras implementaciones de puntos interiores pueden ser empleadas en trabajos futuros

para extender su aplicación a otras formulaciones de reparto de cargas óptimo.

50

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http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/

53

Apéndice A Definiciones matemáticas

Dada una función escalar compleja :nf de un vector real 1

T

nX x x , se

define la primera derivada (transpuesta del gradiente) como:

1

XXn

f f ff

X x x

(F.1)

La matriz de segundas derivadas parciales, el Hessiano de f , es:

2 2

211

2

2 2

21

nT

XX

n n

f f

x xxf f

fX XX

f f

x x x

(F.2)

Para una función vectorial compleja :n mf de un vector X , donde

1

T

mF X f X f X (F.3)

La primera derivada de la matriz Jacobiana, donde la fila i es la transpuesta del gradiente

de if .

1 1

1

1

n

X

m m

n

f f

x xF

FX

f f

x x

(F.4)

Las segundas derivadas parciales son formadas por calcular el jacobiano del vector

obtenido de la multiplicación del transpuesto del jacobiano de F por un vector ,

usando la siguiente notación:

TXX XF F

X

(F.5)

Para clarificar la notación, si Y y Z son vectores de X , después:

Apéndice A Definiciones matemáticas

54

TYZ YF F

Z

(F.6)

La multiplicación de un vector A por un vector B para formar un nuevo vector C de la

misma dimensión, puede ser expresada de la siguiente forma:

C A B B A (F.7)

La derivada del vector C puede ser calculada por la regla de la cadena como:

X X X

C B AC A B A B B A

X X X

(F.8)

55

Apéndice B Formulación matricial del problema OPF

B.1 Problema OPF

Recordando la formulación del problema de reparto de cargas presentada en (3.1), donde

X es definido como en (2.19), tenemos:

min

s.a 0

0

( )

( )

( )

f x

g x

h x

(F.9)

donde

( )

s

s

eq eq

g x

g x g x

A x b

(F.10)

y

( )

e

r

iq iq

h x

h x h x

A x b

(F.11)

Particionando los correspondientes multiplicadores de Lagrange y similarmente,

tenemos:

,

P e

Q r

iqeq

(F.12)

B.2 Función lagrangiana

La función lagrangiana para este problema puede ser escrita como:

( , , , ) ( ) ( ) ( ( ) )T TL x s f x ln s g x h x s (F.13)

B.3 Primeras derivadas


56

1

L

L

L

L

T Tx x x x

T k Ts

T

T T

x s f g h

x s e s

x s g x

x s h x s

( , , , )

( , , , )

( , , , ) ( )

( , , , ) ( )

(F.14)

donde

0

0

s s sx v g

s s sx x v g

eq eq

g g g C

g g g g C

A A

(F.15)

y

0 0

0 0

e e ex v

r r rx x v

iq iq

h h h

h h h h

A A

(F.16)

B.4 Segundas derivadas

( , , , )T T

xx xx xx xxL x s f g h (F.17)

donde

s sxx xx P xx Qg g g

(F.18)

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

s sp p

s sp p

s sq q

s sq q

g g

g g

g g

g g

(F.19)

y

e rxx xx e xx rh h h

(F.20)


57

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

e r e re r e r

e r e re r e r

h h h h

h h h h

(F.21)

T

0

x

x

M g

g

(F.22)

donde

1TLxx xx xM h s h

(F.23)

58

Apéndice C Salida de resultados en MATLAB

C.1 Red IEEE 14 barras


59


60

Figura 5. Resultado test de convergencia IEEE 14 barras

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