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40 SIGMA Nº 26 • SIGMA 26 zk.

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26 A VUELTAS CON EL SOL

Ximon Zozaia Iriarte (*)

INTRODUCCIÓN

En mi actividad como profesor de Matemáticas en Secundaria y Bachillerato, a la hora de tra-bajar las funciones he echado de menos el manejo de funciones con significado real, es decir, funciones que tengan una aplicación directa en la realidad física que nos rodea. Fruto de esa necesidad y de mi interés por los temas de Astronomía (durante algunos años he impartido la asignatura de Taller de Astronomía a nivel de 3º de ESO), un buen día me puse a calcular, de una manera en parte geométrica, la altura a la que está el Sol, respecto al horizonte, a las doce del mediodía, en función de la latitud del punto de observación para una fecha determinada del año.

Este primer trabajo me llevó a continuación a tratar de resolver el problema más general: el cálculo de la altura del Sol, y el cálculo de su acimut, para cualquier punto de la superficie de la Tierra, cualquier día del año y para cualquier hora.

Desde un punto de la superficie terrestre la posición de un cuerpo celeste, el Sol en nuestro caso, queda determinada por dos ángulos: la altura o ángulo de elevación del cuerpo respecto al horizonte, y el acimut o ángulo que forma la proyección del cuerpo celeste sobre el horizonte con la dirección sur (ver figura 1).

Figura 1

La resolución de este problema la he basado en la utilización de la teoría de vectores a nivel de Bachillerato y en la utilización del programa informático Derive, lo cual me ha obligado a ponerme algo al día en la utilización de este programa...., no hay como la necesidad para aprender. Tengo que decir que al llegar a dicha resolución me lancé, casi como un poseso, a la visualización, a través del Derive, de las distintas gráficas que se pueden generar con estas dos funciones (altura y acimut) de tres variables: latitud, día y hora.

(*) IES Koldo Mitxelena de Renteria

Mayo 2005 • 2005ko Maiatza 41

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26EGUZKIAREN GORABEHERAK

Ximon Zozaia Iriarte (*)

SARRERA

DBH eta Batxilergoko Matematikako nire eguneroko irakaste zereginean, funtzioak lantze-rakoan, esanahi errealeko funtzio gutxi erabiltzen ditugula nabarmentzen da; hau da, gure inguruko errealitate fisikoaren zenbait aspektu esplikatzeko balio duten funtzioak, alegia; eta, noski, ikasleentzako esanahi konkretu bat izan ahal dutenak. Hutsunea hau dela eta, kontutan hartuz Astronomiataz daukadan interesa (zenbait urteetan Astronomiako Tailerra eman dut 3. DBH-ko mailan) egun batean, kalkulatzen hasi nintzen, hasieran geometria erabiliz, Eguzkiak eguer-diko 12-etan daukan altuera horizontearekiko, latitudearen arabera urteko edozein data baterako.

Lehenengo lana honen berehala animatu ninduan Eguzkiaren posizioaren kalkulatzea modu orokor eta zehatz batean; hau da, Eguzkiaren altuera eta azimuta kalkulatzea Lurraren gainazalaren edozein puntutik, urteko edozein egunentzat eta eguneko edozein ordurentzat.

Lurraren Gainazalaren puntu batetik zeruko edozein objekturen posizioa, Eguzkiarena gure kasuan, bi angelu bidez zehaztu daiteke: altuera, objektuaren gorapen angelua horizontearekiko, eta azimuta; objektuaren proiekzioak horizontearekiko eta Hego direkzioak adierazten duten angelua (ikusi ird.1)

Irudia 1

Problema hau ebazteko Batxilergoko mailako bektoreen teoria erabili dut, eta Derive programa informatikotaz bailatu nahiz kalkuluak egiteko eta, nola ez, guzti honek, Derive programaren zenbait atal ikastera eta eguneratzera eraman nau, ez dago beharra bezalakorik gauzak berriak ikasteko. Esan beharra daukat, altuera eta azimutaren funtzioak lortu nituenean, Derivez nahiko lana egin ondoren, berehala jarri nintzela, hiru aldagaiko (latitudea, eguna eta ordua) funtzio hauen bidez egin daitezkeen hainbeste mota desberdinetako grafikoak aztertzen, Derive erabiliz berriro, neurri batean funtzioen baliotasuna ziurtatzeko.

(*) IES Koldo Mitxelena de Renteria

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Como el trabajo original está hecho en euskara, la denominación de algunos vectores y las fechas de algunas gráficas están en este idioma, denominaciones que traduciré a lo largo del trabajo.

En primer lugar expondré cómo he llegado al cálculo de estas funciones, para hacer ver cómo con unas matemáticas de nivel de bachillerato, vectores fundamentalmente, se puede abordar un problema que en principio parece complicado y para animaros a que las calculéis vosotros, utilizando Derive u otro programa similar. Después, a modo de ejemplo, veré algunas gráficas generadas con estas funciones y su posible utilización de cara al aula.

MODELO SIMPLIFICADO

Supondré que la órbita terrestre alrededor del Sol describe una circunferencia (sabemos que es una elipse de excentricidad pequeña). Consideraré que el año tiene 365 días y que los doce meses del año son iguales; por lo que cada mes tendrá 30,42 días aproximadamente. Por otra parte consideraré que la Tierra tiene una forma esférica, aunque sabemos que es una esfera un poco achatada por los polos. Estas aproximaciones no tienen importancia a la hora de la utilización que propongo de las dos funciones que vamos a calcular.

Definiré un sistema de referencia ortonormal, con el origen en el centro de la Tierra y un sistema ortonormal de vectores { i , j , k

} donde el vector i estará orientado siempre hacia el

Sol y el vector k es perpendicular al plano de la eclíptica (plano orbital de la Tierra).

En este sistema de referencia definiré el vector normal a, que define la posición del eje de rotación de la Tierra a lo largo del año, y el vector normal p, vector posición de un punto cualquiera de la superficie terrestre (perpendicular a la superficie terrestre).

Una vez definido el vector posición p, como el vector que nos da la posición del Sol, que llamaré e (en euskara, Sol = Eguzki), es e = i = (1,0,0), podremos calcular el ángulo entre estos dos vectores para cualquier latitud, día del año y hora, es decir, que podremos calcular la altura y el acimut del Sol en cualquier momento y lugar.

Veamos todos estos vectores en el siguiente dibujo (fig. 2) de la Tierra, vista desde el Sol, donde se visualizan los dos movimientos: el de rotación, que determina la hora, y el de traslación, el día del año:

Figura 2

A vueltas con el sol Ximon Zozaiz Iriarte


Eguzkiaren gorabeherak Ximon Zozaiz Iriarte

Azalduko dut lehenengoz nola iritsi naizen funtzio horiek kalkulatzera. Ikus arazteko Batxilergoko matematika erabiliz, bektoreak gehien batez, nola ebatzi daitekeen nahiko zaila dirudien problema bat, eta beste aldetik Derive, edo antzekoa den beste programa bat erabiliz zeuek, funtzio hauek kalkula ahal izan dituzue. Ondoren, adibide gisara, funtzio hauekin lortutako zenbait grafiko aztertuko ditugu gainetik. Bukatzeko, hau guztia gela barruan erabiltzeko zenbait proposamen azalduko ditut.

EREDU SINPLIFIKATUA

Suposatuko dut Lurraren orbita, Eguzkiaren inguruan, zirkunferentzia bat dela (dakigunez eszen-trikotasun txikiko elipse bat da). Urteari 365 eguneko iraupena emango diot eta urtea hamabi hilabete berdinez osatuta dagoela ere suposatuko dut; beraz, hilabete bakoitza gutxi gorabehera 30,42 egunekoa izango da. Baita ere, Lurraren forma esfera bat dela kontsideratuko dut, nahiz eta jakin poloetatik pixka bat zapaldua dagoen esfera baten itxura daukala. Hurbilketa hauek guztiak ez dute eragin handirik, lortutako funtzioei eman nahi diegunerabilpen pedagogikoa dela eta.

Erreferentzi sistema ortonormal bat adieraziko dut: jatorria Lurraren zentroan kokatuz eta { i , j , k } bektore sistema ortonormala erabiliz, i bektorea Eguzkiari begira beti eta k bektorea Ekliptika planoarekiko (Lurraren orbitak adierazten duen planoa) elkartzuta.

Erreferentzi sistema honetan definituko ditut beste bi bektore normal hauek: a bektorea, Lurraren biraketa ardatza definitzen duena urtean zehar eta p bektorea, Lurraren gainazalaren edozein puntu adierazten duena (elkartzuta lurraren gainazalarekiko)

Behin p posizio bektorea definituz eta nola Eguzkiaren posizioa definitzen duen bektorea, e (Eguzki) izendatuko dut, e = i = (1,0,0) bektorea finkoa den, orduan trigonometria pixka bat aplikatuz, oso erraza da euren arteko angelua kalkulatzea; eta honekin Eguzkiaren altuera eta azimuta kalkulatzea Lurraren edozein lekutik eta edozein unetan.

Ikus ditzagun bektore hauek guztiak ondoko irudian (ird. 2). Lurraren ikuspegi hau Eguzkitik hartuta dago eta bertan azaltzen dira Lurrak dituen bi mugimenduak: errotazioarena bere ardatzarekiko, egunaren ordua determinatzen duena, eta translaziorena, urteko data determinatzen duena.

Irudia 2

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SIGMA Nº 26 • SIGMA 26 zk.

CÁLCULO DEL VECTOR EJE DE ROTACIÓN: a

Como vemos en el dibujo (fig. 3), la posición de eje de rotación está determinada por la fecha del año en la que se encuentre la Tierra en su órbita alrededor del Sol. Esta posición queda determinada por dos ángulos: el ángulo , que depende del día del año, y el ángulo que es constante y vale 23,5º.

Tal como aparece en el dibujo el origen de está en el 21 de marzo (equinoccio de primavera).

Figura 3

Entonces, el vector eje de rotación en el sistema { i , j , k } es:

CÁLCULO DEL VECTOR POSICIÓN: p

Para un día determinado del año el vector posición de un punto de la superficie terrestre depende de la latitud del punto y de la hora del día.

Teniendo en cuenta que el vector posición está en eI plano { a, i } (eje de rotación y el Sol) a las doce del mediodía, definiré previamente un sistema ortonormal de vectores asociado al eje de rotación { r , s , a } (ver el dibujo).

Figura 4



BIRAKETA ARDATZA BEKTOREAREN KALKULUA: a

Ondoko irudian azaltzen den bezala (ird. 3), Biraketa Ardatzaren posizioa urteko dataren arabera determinatua dago; hau da, Eguzkiaren inguruko orbitan Lurrak duen posizioengatik. Posizio hau ondoko bi angeluek adierazten dute: angelua, urtearen egunaren arabera, eta ““ angelua konstantea da eta 23,5º balio du (ardatzaren inklinazioa Ekliptikarekiko).

Irudian azaltzen den modura “a“ angeluaren jatorria martxoaren 21ean jarri dut (udaberriko ekinozioa).

Irudia 3

Orduan Biraketa ardatza bektorea, { i , j , k } sisteman, ondoko hau da:

POSIZIO BEKTOREAREN KALKULUA: p

Urteko edozein egunetarako, Lurraren gainazalerako puntu baten posizio bektorea puntuaren latitudea eta eguneko orduaren arabera dago.

Kontutan hartuz, eguerdiko 12etan bektore posizioa { a, i } planoan (biraketa ardatza eta Eguzki bektoreak adierazten duten planoa) aurkitzen dela, Definituko dut beste bektore sis-tema ortonormala { r , s , a } biraketa ardatzarekin lotuta dagoena (Ikusi ird. 4).

Irudia 4

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El vector a sigue siendo el vector eje de rotación, el vector r está en el plano { a , i } y el plano

define el plano { r , s } del ecuador terrestre.

Entonces el vector posición en el sistema { r , s , a } será:

p = (cos cos , cos sin , sin )

El ángulo nos da la latitud de la posición de observación, y el ángulo nos dará la hora

del día a partir de las 12:00.

Debemos calcular, ahora, el vector posición en el sistema { i , j , k }, para lo cual calcularemos

previamente los vectores s y r en dicho sistema.

Utilizando el programa Derive haremos:

s =

a ^ i

| a ^ i | y r = s ^ a

Como, p = (cos cos ) r + (cos sin ) s + (sin ) a escribiendo los vectores r , s y a

en el sistema { i , j , k } obtendremos, por fin, con la utilización de Derive, el siguiente vector

posición en al sistema { i , j , k }:

CÁLCULO DE LA ALTURA DEL SOL

Como se ve en el dibujo (fig. 5), la altura del Sol desde el punto de la Superficie Terrestre "A"

viene dado por el ángulo , luego:

Nota: Como el programa Derive trabaja con ángulos en radianes por defecto, si queremos

trabajar con grados sexagesimales deberemos de configurar el programa para ello.



a bektorea Biraketa ardatza bektorea da, r bektorea { a , i } planoan aurkitzen da eta modu

honetara { r , s } planoak Ekuatore planoa definitzen du.

Orduan Posizio bektorea, { r , s , a } sisteman, ondokoa hau da:

p = (cos cos , cos sin , sin )

angelua behaketa puntuaren latitudea da eta angeluak behaketa unearen ordua, 12etatik

hasita, ematen digu.

Gure helburua, posizio bektorea { i , j , k } sisteman kalkulatzea da, beraz, horretarako, lehen-

goz, kalkulatu behar ditugu s eta r bektoreak s y r sisteman. Derive erabiliz ondoko

eragiketak eginen ditugu:

s =

a ^ i

| a ^ i | eta r = s ^ a

Nola p = (cos cos ) r + (cos sin ) s + (sin ) a den, orduan r , s y a bektoreak { i , j , k } sis-

teman idatziz, Derivez, bektore posizioa ondoko hau dela ikusiko dugu, { i , j , k } sisteman:

EGUZKIAREN ALTUERAREN KALKULUA

Irudian azaltzen bezala (ird. 5), Lurraren Gainazalaren "A" puntu batetik Eguzkiaren altuera

angeluak ematen digu, beraz:

Oharra: Derive programak berez, radianekin lana egiten du, beraz, gradu hirurogeitarrekin lana

egin nahi dugunez, Derive programa konfiguratuko dugu modu horretan lana egin dezan.

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Figura 5

Después de realizar la anterior operación con el programa Derive obtendremos la siguiente función:

Altura:

En esta expresión haremos los siguientes cambios de variables para introducir las variables

del punto de observación: latitud, día y hora:

Obtendremos la siguiente función con tres variables:

CÁLCULO DEL ACIMUT DEL SOL

El acimut de un cuerpo celeste nos determina su posición respecto a los puntos cardinales, más en concreto, nos da el ángulo que determina la proyección del cuerpo sobre el horizonte con la dirección del punto cardinal Sur. Este ángulo será positivo si el cuerpo se encuentra hacia

el oeste y será negativo si se encuentra hacia el Este; tal como se puede ver en la (fig. 6), el

acimut es el ángulo .



Irudia 5

Derivez aurreko eragiketa egin ondoren ondoko funtzioa lortuko dugu:

Altuera:

Espresio honetan ondoko aldagai aldaketak egingo ditugu, Behaketa puntuaren hiru aldagai hauek izateko: latitudea, eguna eta ordua.

Hiru aldagaiko funtzioa lortuko dugu:

EGUZKIAREN AZIMUTAREN KALKULUA

Zeruko gorputz baten azimutak gorputz horren kokapena neurtzen duen puntu kardinalekiko, hain zuzen, gorputzaren proiekzioak horizontearekiko eta Hegoren direkzioak adierazten duten angelua da. Angelu hau positiboa izango da gorputza Mendebalde aldera aurkitzen bada, eta negatiboa izango da Ekialde aldera badago; ondoko irudian (ird. 6) azaltzen den

angelua, alegia.

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Figura 6

Para calcular el acimut debemos calcular el vector sur H , y el vector proyección del Sol sobre

el horizonte e p , para ello necesitamos conocer los siguientes vectores: (fig. 7)

Vector Este: E

Vector Sur: H

Vector Eje de rotación: a

Vector Posición: p

Vector Sol: e

Vector n (perpendicular a p y a e ): n

Vector proyección del Sol sobre el horizonte: e

Figura 7

Para calcular los vectores que no conocemos haremos los siguientes productos vectoriales:



Irudia 6

Azimuta kalkulatzeko, aurretik, H , Hego bektorea, eta, e p , Eguzkiaren horizontearekiko Proiekzio bektorea, kalkulatuko ditugu; eta horretarako ondoko bektoreak ezagutu behar dira (ird. 7):

Ekialde bektorea: E

Hegoalde bektorea: H

Ardatz Biraketaren bektorea: a

Posizio bektorea: p

Eguzki bektorea: e

N bektorea (p eta e -kiko elkartzuta): n

Horizontearekiko Eguzkiaren proiekzio bektorea:

Irudia 7

Hauetatik, ezagutzen ez ditugun bektoreak kalkulatzeko, ondoko biderkaketa bektorialak egingo dugu:

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Operando con Derive llegaremos a la siguiente expresión:

De nuevo aquí deberemos hacer los cambios de variables indicados en el cálculo de la altura, para introducir la latitud , el día y la hora de punto de observación. No doy la expresión resultante debido a su gran tamaño, Derive se encarga de guardarla.

Esta función sólo nos da valores positivos, luego deberemos definir la función acimut en partes:

Podemos simplificar la condición para cambiar el signo del acimut; como los valores del acimut son simétricos respecto a las doce del mediodía, podemos escribir la función de la siguiente manera:

Para representar esta función con Derive la escribiremos de la siguiente forma:

Al representar esta función para distintas latitudes y días, resultan una serie de gráficas que, en algunos casos, son algo difíciles de interpretar, sobre todo al principio. Cuesta un poco entender su significado hasta habituarse a ellas.

Pero lo que está claro, es que la posición exacta del Sol sobre el horizonte queda determinada por estas dos funciones que hemos calculado: la altura y el acimut.

Vamos ahora a juntarlas en un solo gráfico, para poder visualizar el movimiento real del Sol sobre el horizonte a lo largo de un día entero.

MOVIMIENTO REAL DEL SOL A LO LARGO DE UN DÍA

Si representamos en el eje de las abscisas el acimut y en el eje de las ordenadas la altura de Sol a lo largo de un día, lograremos visualizar el movimiento real de Sol, donde el eje de las abscisas hará el papel del horizonte real.

De nuevo Derive nos permite hacer esta visualización, introduciendo el acimut y la altura como las componentes de un vector. Deberemos dejar libre la variable hora y fijar la latitud y el día.

Para que salgan los acimuts negativos deberemos escribirlo de la siguiente manera:

[ , ]



Derive erabiliz ondoko espresioa lortuko dugu:

Hemen, berriro, altueraren kasuan egindako aldagaien aldaketa berdinak eginen ditugu, behaketa puntuaren latitudea, eguna eta ordua sartzeko. Ez dut azaltzen sortzen den azken espresioa, handiegia gertatzen baita, Derive programak gordeko digu.

Funtzio honek balio positiboak ematen du bakarrik, beraz azimut funtzioa bi zatitan definitu beharko dugu:

Azimutaren ikurra aldatzeko erabili dugun baldintzaren ordez beste bat sinpleagoa erabiliko dugu, azimutaren balioak simetrikoak direnez eguerdiko 12arekiko, ondoko eran idatzi dezakegu aurreko funtzioa:

Zatika definiturik dagoen funtzio hau Derivez adierazteko ondoko eran idatziko dugu:

Hemendik sortzen diren grafikoak, eguna eta latitude desberdinetarako, zenbait kasutan, ulertzea nahiko zaila dute, hasieran gehienez. Azimutaren esanahia hobeto ulertzen baita altuerarekin lotuta dagoenean.

Azkenean lortu dugu nahi genuena, Eguzkiaren posizio zehatza determinatzea, kalkulatutako bi funtzio hauen bidez: altuera eta azimuta, alegia.

Lotu ditzagun, orain, bi funtzio hauek grafiko bakar batean, Eguzkiak, egun batean zehar, egiten duen ibilbide erreala ikusi ahal izateko.

EGUZKIAREN IBILBIDE ERREALA EGUN BATEAN ZEHAR

Adierazten badugu azimutaren balioak abzisa ardatzean, eta altuerarenak ordenatu ardat-zean, Eguzkiaren ibilbide erreala ikusiko dugu, egun zehatz baterako. Eta ardatz horizontalak horizontearen papera egingo du.

Berriro Deriven laguntzaren bidez lortu dezakegu hau guztia. Horretarako azimuta eta altuera bektore baten osagaiak bezala sartuko ditugu. Ordua aldagaia askea utziko dugu eta latitudea eta eguna finkatuko ditugu

Azimutak negatiboak ere atera daitezen, ondoko erara idatziko dugu:

[ , ]

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A partir de aquí, sólo nos queda representar las curvas que se pueden generar con estas funciones; teniendo en cuenta que al tener tres variables: latitud, día y hora, deberemos fijar dos y dejar libre la otra. Esto nos da la posibilidad de generar gran cantidad de curvas con significados muy diferentes, y por supuesto, todas ellas ricas en información.

Veamos a continuación algunos ejemplos de curvas generadas con estas funciones, analizando la información que nos dan.

ALTURA DEL SOL A LO LARGO DE UN DÍA PARA DISTINTAS LATITUDES

Con la función de la altura, vamos a ver cómo varía la altura del Sol a lo largo de un día (24 horas) para distintas latitudes. En esta función dejaremos como variable la hora y fijaremos la latitud y el día del año. Para cada latitud haré las gráficas correspondientes a los solsticios y a los equinoccios, las gráficas de los equinoccios resultan ser iguales. Empezaré desde el Polo Norte (90o) e iré descendiendo por los paralelos con significado astronómico especial, a saber: Circulo Polar Ártico, Trópico de Cáncer y Ecuador. Aunque el análisis de las gráficas hará que investigue también en alguna otra latitud, y, por supuesto, la latitud de la ciudad donde vivo, San Sebastián. De esta manera podemos analizar el comportamiento del Sol, en un día, para una latitud determinada a lo largo del año.

Tal como hemos introducido la variable día en la función altura, los solsticios y equinoccios corresponden a las siguientes fechas:

• Comienzo del año, 1 de enero: día 1.

• Solsticio de invierno, 21 de diciembre (en la gráfica, ab21): día 355 o –10.

• Equinoccio de primavera , 21 de marzo (en la gráfica, mar21): día 81,25.

• Solsticio de verano , 21 de junio (en la gráfica, ek21): día 172,5.

• Equinoccio de otoño , 21 de septiembre (en la gráfica, ir21): día 263,75.

Nota: En euskara: diciembre = abendua, marzo = martxoa, junio = ekaina, septiembre = iraila.

POLO NORTE (LATITUD 90º)

Como se ve en las gráficas, la altura del Sol a lo largo de un día no cambia; el Sol realiza una vuelta completa sin variar su altura.

En los equinoccios el Sol se mueve en el horizonte. Durante seis meses, de marzo a septiembre, el Sol no se pone en el horizonte y durante otros seis meses, de septiembre a marzo, el Sol está por debajo del horizonte, la noche polar.



Hemendik aurrera, hiru aldagaitako: latitudea, eguna eta ordua, funtzio hauekin sortzen diren grafikoak ikustea gelditzen zaigu; kontutan hartuz, bi aldagaiei balio zehatzak emango diegula eta beste aldagai askea utziko dugula. Modu honetara esanahi desberdineko grafiko asko sortu ahal izango dugu, informazio aberasteko grafikoak izanik aldi berean.

Ikus dezagun orain, adibide gisa, funtzio hauekin sor daitezkeen zenbait grafiko. Grafiko horiek ematen duten informazioa gainetik azalduz.

EGUZKIAREN ALTUERA EGUN BATEAN ZEHAR, LATITUDE DESBERDINETARAKO

Altueraren funtzioa erabiliz, ikusiko dugu nola aldatzen den Eguzkiaren altuera egun batearen zehar (24 ordu), zenbait latitudetarako. Funtzio honetan aldagai bezala ordua utziko dugu, latitudea eta eguna finkatuz. Latitude bakoitzean solztizioei eta ekinozioei dagozkien grafikoak azalduko ditut, ekinozioen grafikoak berdinak direla kontutan hartuz, latitude bakoitzeko hiru grafiko desberdin sortuko dira. Ipar Poloan (90º) hasiko nahiz eta latitudea jaisten joango nahiz, esanahi astronomikoa duten latitudeetan geldituz: Zirkulu Polar Artikoa, Kantzer Tropikoa eta Ekuatorea. Sortzen diren grafiko berak, beste latitudeak aztertzera eramango naute baita ere. Eta nola ez, nire hiriko latitudea (Donostiakoa) aztertuko dut eta Hego hemisferioko latitudearen baten bat. Modu honetara, Eguzkiaren portaera egun batean zehar, latitude desberdinetan eta urte osoaren zehar aztertuko dut.

Altueraren funtzioan sartu ditugun aldagaiak kontutan hartuz, solztizio eta ekinozioei dagozkien datak ondoko zenbakiekin adieraziko ditugu:

• Urtearen hasiera, urtarrilaren 1: 1 eguna da.

• Neguko solztizioa, abenduaren 21 (grafikoetan , ab21) , 335 edo -10 eguna da.

• Udaberriko ekinozioa, martxoaren 21 (grafikoetan mar21), 81,25 eguna da.

• Udako solztizioa, ekainaren 21 (grafikoetan, ek21), 172,5 eguna da.

• Udazkeneko ekinozioa, irailaren 21 (grafikoetan, ir21), 263,75 eguna da.

IPAR POLOA (LATITUDEA 90º)

Grafikoetan ikusten denez, Eguzkiaren altuera, egun batean zehar, ez da aldatzen; Eguzkiak biraketa oso bat ematen du horizontearen gainetik, edo azpitik, altuera aldatu gabe.

Ekinozioetan Eguzkia horizonte lerrotik mugitzen da. Sei hilabetez, martxotik irail arte, Eguzkia horizontearen gainetik dago beti, sei hilabeteko argia. Beste sei hilabeteetan, irailetik martxo arte, Eguzkia horizontearen azpian dago beti, sei hilabeteko iluntasuna.

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CÍRCULO POLAR ÁRTICO (66.5º)

En esta latitud hay un solo día en el que el Sol está por encima del horizonte las 24 horas: el 21 de junio, durante el solsticio de verano; y hay un sólo día en el que el Sol está las 24 horas por debajo del horizonte: el 21 de diciembre, cuando se produce el solsticio de invierno. En el resto de las fechas el Sol a veces está por encima del horizonte (día) y otras, por debajo (noche). En los equinoccios la duración del día y de la noche se igualan, 12 horas cada.

SAN SEBASTIÁN (43º18´=43,3º)

Los que vivimos por estas latitudes, tenemos una idea general de los movimientos del Sol tal como aparecen representados en estas gráficas. El día más largo y la noche más corta es la del 21 de junio, casi día de San Juan, y el Sol se mueve a una altura mayor (calor). El día más corto y la noche más larga es el 21 de diciembre, donde el Sol se mueve a una altura menor (frío).

Para conocer la latitud del sitio donde vivimos, basta con consultarlo en un mapa topográfico, en un atlas o en un mapamundi. Deberemos seguir bajando de latitud (viajando desde casa) para ver cómo varían estas cosas a lo largo de la esfera terrestre.

TRÓPICO DE CÁNCER (23,5º)



ZIKULU POLAR ARTIKOA (66.5º)

Latitude honetan, egun bakar batean Eguzkia horizontearen gainetik dago 24 orduz: ekainaren 21ean hain zuzen, udako solztizioa; eta beste aldetik, egun bakar batean dago Eguzkia horizon-tearen azpitik 24 orduz: abenduaren 21ean, neguko solztizioa. Gainerako egunetan Eguzkia ordu batzuetan horizontearen gainetik (eguna) dago eta gainerako orduetan horizontearen azpitik (gaua). Ekinozioetan eguna eta gauaren iraupena berdina da, 12 ordukoa.

DONOSTIA (43º 18´= 43,3º)

Latitude hauen inguruetatik bizi garenok, Eguzkiaren mugimenduaz dugun ideia orokorra, gra-fiko hauetan azaltzen dena da, hain zuzen. Berdina gertatuko ote da beste latitudeetan? Egunik luzeena eta gaurik motzena ekainaren 21ekoa da, San Joan egunaren inguruan; egun honetan Eguzkiak altuera maximoa lortzen du (beroa). Egunik motzena eta gaurik luzeena, berriz, aben-duaren 21ean gertatzen da, eta Eguzkiak altuerarik txikiena lortzen du egun horretan (hotza).

Zure hiriko latitudea jakiteko, nahiko da mapa topografiko batean edo atlas batean begiratzea. Goazen orain beste latitudeetara (etxetik mugitu gabe bidaiatzen), ikusiko dugu, beraz, nola mugitzen den Eguzkia Lurra Esferaren beste puntuetatik.

KANTZER TROPIKOA (23,5º)

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En esta latitud de denominación tan curiosa, ¿qué es lo que pasa?

Hay un solo día, el 21 de junio, en el que la altura del Sol es la máxima, 90º. Ese día el Sol a las doce del mediodía, (la máxima altura del sol siempre es al mediodía), se encuentra en el cenit; en ese momento el Sol no produce sombras a los objetos verticales.

Si nos fijamos en la duración de los días (horas de sol), vemos que el día más largo (21 de junio) es más corto que en latitudes superiores, y el día más corto (21 de diciembre) ahora es más largo.

ECUADOR (0º)

En esta latitud vemos cambios significativos.

Para empezar, vemos que para cualquier fecha la duración del día y de la noche es la misma, es decir de 12 horas; cosa que en otras latitudes sólo ocurre en los equinoccios. El Sol llega al cenit (90º) en dos fechas distintas, en las de los equinoccios, serían los días más calurosos.

El recorrido del Sol, en cuanto a la altura, es el mismo para el 21 de junio y para el 21 de diciembre, siendo la altura del Sol, en estas fechas, la mínima del año, días menos calurosos. ¿Cómo queda en esta latitud el concepto que tenemos de verano e invierno?

Para terminar de entender cómo ocurren estos cambios, veamos ahora lo que ocurre en una zona intermedia entre el Trópico de Cáncer y el Ecuador.

ZONA TROPICAL (15º)



Zer gertatzen da, hain izen bitxiko latitudean?

Egun bakar batean, ekainaren 21, Eguzkia zenitera iristen da, 90º-ko altuera lortuz. Egun horretan, eguerdiko 12etan, Eguzkiak ez du itzalik eragiten gorputz bertikaletan (Eguzkiaren altuera maximoa beti eguerdiko 12etan lortzen da).

Egunaren iraupenean (argi orduak) erreparatzen badugu, egunik luzeena ekainaren 21ean ger-tatzen dela ikusten dugu, beti bezala, bainan iraupena hau motzagoa da latitude handiagoetan baino. Egunik motzena, berriz, abenduaren 21ean gertatzen da eta bere iraupena handiagoa da latitude handiagoetan baino. Egunaren iraupenak berdintzen dohatze latitudea jaisterakoan.

EKUATOREA (0º)

Latitude honetan aldaketak esanguratsuak ikusten dira grafikoetan.

Hasteko, egunaren iraupena edozein datatarako beti berdina da, 12 ordu eguna eta 12 ordu gaua, goizeko 6etan ateratzen da Eguzkia eta arratsaldeko 6etan sartu. Hau, beste latitudeetan, ekinozioetan gertatzen da bakarrik. Eguzkia zenitera (90º) bi data desberdinetan iristen da, egun beroenak izango lirateke.

Eguzkiaren ibilbidea berdina da ekainaren 21 eta abenduaren 21ean; bi data hauetan Eguzkiak lortzen duen altuerarik urteko txikiena izanik. Nola gelditzen da latitude honetan udaz eta neguaz daukagun kontzeptua?

Ikus dezagun, bukatzeko, aldaketa hauek nola gertatzen diren ulertzeko, zer gertatzen den tropiko barnean dagoen beste latitude batean.

TROPIKO ESKUALDEA (15º)

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En esta latitud el Sol alcanza el cenit los días 1 de mayo y 9 de agosto. Sin embargo el día más largo no corresponde a estas fechas sino que sigue siendo el 21 de junio; ¿seguirá siendo así hasta el Ecuador?

Veamos, por último, lo que ocurre en una latitud parecida a la nuestra pero del Hemisferio Sur.

NUEVA ZELANDA (-43º)

Como vemos, las gráficas son iguales a las generadas en la latitud 43º del hemisferio Norte, nuestra latitud. Sin embargo han cambiado las fechas; ahora el día más largo y de máxima elevación solar es el 21 de diciembre, y el día más corto y de mínima elevación solar es el 21 de junio. Podemos ver claramente cómo cuando en el Hemisferio Norte es verano en el Hemisferio Sur es invierno y viceversa.

ALTURA DEL SOL A LAS 12:00 EN FUNCIÓN DE LA LATITUD

Veamos las gráficas que se generan con la función altura, dejando como variable la latitud y fijando la hora en las 12 (máxima elevación del Sol) para distintas fechas.

En los equinoccios, 21 de marzo y 21 de septiembre el Sol está en el cenit en el Ecuador y en los Polos la altura es cero.

En el 21 de junio el Sol está en el cenit en la latitud 23,5º (Trópico de Cáncer) y su altura es cero en la latitud – 66,5º (Círculo Polar Antártico).

En el 21 de diciembre el Sol está en el cenit en la latitud - 23,5º (Trópico de Capricornio) y su altura es cero en la latitud 66,5º (Círculo Polar Ártico).



Latitude honetan Eguzkiak zenita maiatzaren 1ean eta abuztuaren 9an lortzen du. Hala ere egunik luzeena ez da data hauetan gertatzen, beti bezala ekainaren 21ean gertatzen da. Hala jarraituko du izaten Ekuatorera iritsi arte?

Ikus dezagun, bukatzeko, zer gertatzen da Hego Hemisferioko Donostia duen antzeko latitude batean.

ZEELANDA BERRIA (-43º)

Ikusten denez, sortzen diren grafikoak Ipar Hemisferioko 43oko latitudeko grafiko berdinak dira. Baina, guztiz aldatu dena datak dira: egunik luzeena eta Eguzki goragunerik (elebazio) handiena duena (udara) abenduaren 21 gertatzen da, eta egunik motzena eta Eguzki goragunerik txikiena duena (negua) ekainaren 21ean gertatzen da. Garbi ikusten da, Ipar Hemisferioan udara denean Hego Hemisferioan negua dela berriz, eta alderantziz. Gure hondartza garaia haien elur garaia.

EGUZKIAREN ALTUERA 12:00ETAN LATITUDEAREN ARABERA

Ikus dezagun orain, altuera funtzioarekin sortzen diren grafikoak latitudea aldagai bezala utziz eta ordua 12etan (Eguzkiaren altuera maximoa) finkatuz, data desberdinetarako.

Ekinozioetan, martxoaren 21 eta irailaren 21ean, Eguzkia zeniten dago Ekuatorean eta Poloetan Eguzkiaren altuera zero da.

Ekainaren 21ean Eguzkia zeniten dago 23,5ºko latitudean (Kantzer Tropikoa) eta bere altuera zero da -66,5º latitudean (Zirkulu Polar Antartikoa)

Abenduaren 21ean Eguzkia zeniten dago -23,5º latitudean (Kaprikornio Tropikoa) eta bere altuera zero da 66,5ºko latitudean (Zirkulu Polar Artikoa).

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Estas gráficas nos sirven, tal vez, para entender de otra manera esos paralelos tan significativos de nuestra Tierra.

ALTURA DEL SOL A LAS 6:00 O A LAS 18:00 EN FUNCIÓN DE LA LATITUD

Si en la función altura dejamos como variable la latitud y fijamos la hora en las 6:00 (a las 18:00 horas sale la misma gráfica) y fijamos la fecha, obtendremos las siguientes gráficas:

¿Qué decir y qué preguntarse sobre estas gráficas?. Por lo menos que tienen su punto estético, aparte de la variedad de simetrías que presentan.

ALTURA DEL SOL EN EL ECUADOR (0º) A LO LARGO DEL AÑO PARA DISTINTAS HORAS

En la función de la altura dejamos ahora como variable el día del año y fijamos la latitud (0º) y la hora del día, obtendremos para distintas horas la siguientes gráficas:

La gráficas de las 12 y la de las 24 horas son simétricas respecto al eje de abscisas.

¿Qué significan los picos de máximos y mínimos? Son los días de solsticios y equinoccios

En fin, podríamos seguir haciendo muchas preguntas para cada gráfica y esto nos llevaría a generar otras nuevas para encontrar las respuestas.



Grafiko hauen bidez, agian beste modura, hobeto ulertu dezakegu gure Lurreko hain esanguratsu diren paralelo hauen esanahia.

EGUZKIAREN ALTUERA 6:00ETAN EDO 18:00ETAN LATITUDEAREN ARABERA

Baldin altueraren funtzioan aldagaia bezala latitudea uzten badugu, ordua 6:00etan jarriz (18:00etan grafiko berdina sortzen da) eta datak finkatuz, ondoko grafikoak lortuko ditugu:

Zer esan dezakegu eta zer galderak egin ditzakegu grafiko hauek ikusirik? Deigarriak direla gutxienez estetikaren aldetik; eta simetri mota asko azaltzen dituztela, hauen ikasketarako egokian izanik.

EGUZKIAREN ALTUERA EKUATOREAN (0º) URTEAN ZEHAR ORDU DESBERDINETARAKO

Altueraren funtzioan aldagaia orain urtearen eguna izango da, finkatuko dugu Ekuatorearen latitudea (0º) eta zenbait ordu (6, 12, 18 eta 24). Ondoko grafikoak lortuko ditugu:

12 eta 24 orduen grafikoak simetrikoak dira abzisa ardatzarekiko.

Zer esanahi dute maximo eta minimo muturrak? Hemen ditugu berriro solztizio eta ekinozioen egunak.

Ikusten denez, galdera asko egin ditzakegu grafiko bakoitzean, eta galdera horien erantzunen bilaketan, askotan, beste grafiko sortu beharko ditugu.

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ACIMUT DE SOL A 23,5º DE LATITUD (TRÓPICO DE CÁNCER)

Veamos, a continuación una gráfica que nos da el acimut del Sol a lo largo de un día, para distintas fechas; en el eje horizontal, las horas del día y en el vertical, el acimut.

La interpretación de estas gráficas puede ser algo más complicada, por lo menos hasta habituarse. El 21 de junio la gráfica presenta un salto a las 12:00, salta de un acimut de – 90º (este) a un acimut de 90º (oeste), eso solo ocurre si el Sol está en el cenit.

Para terminar, veamos otro tipo de gráficas en las que veremos el movimiento real del Sol sobre y bajo el horizonte, a lo largo de día, en diferentes latitudes y para distintas fechas. En el eje horizontal estará representado el acimut (-180º, +180º) y en el vertical la altura.

Nota: en el eje horizontal (acimut) los puntos cardinales están en euskara:

Ip = norte (iparra), M = oeste (mendebalde), H = sur (hegoalde), Ek = este (ekialde)

MOVIMIENTO REAL DEL SOL EN SAN SEBASTIÁN (43º)

Vemos aquí, como el 21 de marzo y el 21 de septiembre el Sol sale exactamente por el este (acimut –90º) y se oculta por el oeste (acimut 90º), son los equinoccios. De marzo a septiembre sale por el noreste y se mete por el noroeste. De septiembre a marzo, sale por el sureste y se mete por el suroeste. Todo esto lo conocemos los que vivimos alrededor de esta latitud y nos gusta mirar de vez en cuando al Sol. Pero, ¿cómo se mueve el Sol en otras latitudes?



EGUZKIAREN AZIMUTA 23,5ºko LATITUDEAN (KANTZER TROPIKOA)

Ikus dezagun, orain, Eguzkiaren azimuta emango digun grafikoa, egun baten zehar data desberdinetarako. Horretarako azimutaren funtzioan orduak izango dira aldagai askea eta latitudea 23,5oetan finkatuko dugu, datak desberdinak jarriz.

Agian, hasieran gehienez, zail samarra gertatzen da grafikoaren interpretazioa; ez bai gaude ohituak azimutarekin lana egiten. Ekainaren 21ean grafikoak etendura bat azaltzen du 12:00etan; -90º (ekialde) azimutetik 90º (mendebalde) azimutera salto egiten du; hori bakarrik gertatzen ahal da, une horretan Eguzkia zeniten aurkitzen bada.

Bukatzeko, ondoko grafikoan uztartuko ditugu Eguzkiaren altuera eta azimuta egun batean zehar, grafiko bakar batean; modu honetara ikusi ahal izango dugu Eguzkiaren ibilbide erreala egun batean zehar. Ardatz horizontalean azimuta (-180º, +180º) azalduko da eta bertikalean altuera; modu honetan ardatz horizontala “horizonte errealaren” papera hartzen du.

Oharra: Ip = (iparra), M = (mendebalde), H = (hegoalde), Ek = (ekialde)

EGUZKIAREN IBILBIDE ERREALA DONOSTIAN (43º)

Hemen ikusten denez, Eguzkia martxoaren 21ean eta irailaren 21ean zehazki ekialdetik (azimuta –90 ) ateratzen da eta zehazki mendebaldetik (azimuta 90º) sartzen da; ekinozioak dira. Martxotik irail arte ipar-ekialdetik ateratzen da eta ipar-mendebaldetik sartu. Irailetik mar-txo arte hego-ekialdetik ateratzen da eta hego-mendebaldetik sartu. Hau guztia, ongi ezagu-tzen dugu latitude hauetan bizi garenok, eta noizbehinka zerura begiratzeko ohitura dugunok. Baina, nola mugituko ote da Eguzkia beste latitudeetan?

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MOVIMIENTO REAL DEL SOL EN EL ECUADOR (0º)

Como vemos, estas gráficas tienen poco que ver con el movimiento del Sol en nuestra latitud. Los que vivimos alrededor de la latitud 43º hemos aprendido y observado que el Sol casi siempre se encuentra hacia el Sur, desde luego al mediodía siempre está en el sur.

Sin embargo, en el Ecuador, de marzo a septiembre el Sol se mueve por el norte y de septiembre a marzo se mueve por el sur. El 21 de marzo y el 21 de septiembre el sol sale por el este, asciende verticalmente, siempre por el este, hasta el cenit y luego desciende verticalmente por el oeste. El hecho de que salga y entre verticalmente en el horizonte tiene el efecto de que los amaneceres y anocheceres son más rápidos que en otras latitudes.

Veamos, para terminar, el movimiento del Sol en una zonal tropical intermedia.

MOVIMIENTO REAL DEL SOL EN LA LATITUD DE 15º

Lo más curioso, para mí, en estas gráficas, es que entre el 1 de mayo y el 9 de agosto, días en los que el Sol llega al cenit, el Sol sale por el nordeste se va elevando hacia el sur pero



EGUZKIAREN IBILBIDE ERREALA EKUATOREAN (0º)

Ikusten denez, grafiko guztiz simetriko hauek oso desberdinak dira gure latitudeko grafikoekin konparatuz. 43o-tako latitudearen inguruan bizi garenok beti ikusi izan dugu Eguzkia hegoal-detik mugitzen, eta eguerdian Hegoaldeko direkzio zehatza adierazten du, hain zuzen.

Ekuatorean aldiz, martxotik irail arte Eguzkia iparraldetik mugitzen da, baina irailetik martxora hegoaldetik mugitzen da. Martxoaren 21ean eta irailaren 21ean Eguzkia Ekialdetik ateratzen da, bertikalki igotzen da beti, ekialdea adieraziz, zenitera iritsi arte, eta gero mendebaldetik jaisten da, bertikalki, horizontean desagertu arte. Horizontetik bertikalki ateratze eta sartze honek eragin handia du latitude horretako egunsentietan eta iluntzeetan askoz azkarragoak gertatzen baitira.

Ikus dezagun, orain, Eguzkiaren ibilbide erreala Tropiko barneko latitude batean.

EGUZKIAREN IBILBIDE ERREALA 15ºko LATITUDEAN

Niretzako gutxienez, grafiko honek azaltzen duen gauzarik deigarriena hau da: maiatzaren 1etik abuztuaren 9arte, data horietan Eguzkia zenitera iristen da, Eguzkia ipar-ekialdetik ateratzen da,

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luego cambia y sigue elevándose pero hacia el norte, alcanzando su máxima altura justo en el norte.

Sólo nos queda viajar a esa latitud, el día adecuado, para comprobar lo que nos dicen estas gráficas, una excusa como otra cualquiera para viajar.

UTILIZACIÓN DIDÁCTICA EN EL AULA

Desde luego, lo primero que me llama la atención a la hora de analizar estas gráficas, segu-ramente por ser gráficas con un significado real y por mi propio interés por el conocimiento de la Tierra, ha sido la gran cantidad de preguntas que surgen de su interpretación. Preguntas cuyas respuestas exigen, en muchos casos, la visualización de nuevas gráficas. Tal vez sea este aspecto, la generación de preguntas, lo más interesante y pedagógico para su utilización dentro del aula.

Luego, una manera de utilizar estas gráficas podría ser el que los alumnos ante una gráfica concreta responda a preguntas elaboradas por el profesor o que sea el propio alumno el que genere estas preguntas a partir de la gráfica.

En segundo lugar, podemos abordar la resolución de determinados problemas; para lo que deberemos generar la gráficas necesarias a través de las cuales lo alumnos harán las necesarias tablas de valores; por ejemplo:

• ¿Cómo varía la duración del día a lo largo del año, para una latitud determinada? Se puede hacer de mes en mes.

• ¿Cómo varía la altura máxima del Sol a lo largo del año, para una determinada latitud?

• ....

En el Taller de Astronomía se suele utilizar el gnomon (palo vertical) para el estudio de la línea que determina la sombra del gnomon a lo largo de día. Como conocemos, para una latitud determinada y una fecha dada, la altura y el azimut del Sol a lo largo del día, podríamos dibujar esas líneas. Al hacer este estudio podremos obtener las tan conocidas cónicas: circunferencia, elipse, parábola, hipérbola y recta.

Este trabajo se puede abordar desde distintos niveles: a través de la confección de tablas sin usar trigonometría, usando trigonometría y hasta generando directamente las líneas con la utilización del programa Derive. Otra posibilidad sería la de utilizar estas gráficas para el estudio de sus características matemáticas: simetrías, crecimiento, máximos ,..

Para niveles de bachillerato, y haciendo que los alumnos utilicen el programa Derive, se puede abordar la resolución de problemas del tipo: ¿A qué hora anochece en Londres el 1 de julio?, ¿qué días del año está el Sol en el cenit en una latitud de -10º?,... (Resolución de ecuaciones).

Fuera del aula, es bien conocida la tradición viajera gran parte del colectivo de profesores, pues bien, se me ocurre que no se puede planear un viaje a cualquier punto remoto de la Tierra sin saber como será el comportamiento, por esos lugares, de nuestro astro rey, el Sol.

En definitiva, que sea cada profesor desde su propia asignatura: Matemáticas, Ciencias, Geografía,.., el que decida la mejor manera de utilizar este instrumento en el aula, para mejor aprovechamiento de los alumnos y del suyo propio.



igotzen hasten da hegoaldera, baina une batean bere igoera iparraldera aldatzen da, bere altuera maximoa iparraldean lortuz.

Bakarrik gelditzen zaigu, latitude horietara bidaiatzea grafikoan azaltzen diren bitxikeri hauek egiaztatzeko, azkenean, aitzakia polit bat bidaiatzeko, besterik ez.

GELA BARRUAN

Grafiko hauekin lana egiterakoan, lehengoz eta niretzako azpimarragarriena, grafiko bakoitzaren azterketan sortzen diren galdera sorta da; eta galdera horiek erantzun ahal izateko, askotan, beste grafikoak sortu behar izatea. Hau guztia, grafiko esanahi errealekoak direlako gertatzen da, eta baita ere, nola ez, Lurra ezagutzeko dudan jakinminagatik. Pedagogiaren ikus puntutik, hau izan daiteke: etengabeko galdera iturria izate hau, gelan erabiltzeko alde narbarmengarriena eta aprobetxagarriena. Nonbaiten irakurri dudan bezala: ikerketa ona, galdera berriak sortzen duena omen da.

Beraz, grafiko hauek erabiltzeko modu bat izan zitekeen: grafiko baten haurrean, ikasleak erantzutea irakasleak egindako galderak, edo ikasle bera izan dadila galderak sortzen duena grafikoaren haurrean.

Erabiltzeko beste modu bat, zenbait problemen ebazpena egitea izango litzateke; horretarako grafikoetatik abiatuz, ikasleak datoak aterako beharko ditu taulak osatzeko, adibide gisara:

• Latitude batean, nola aldatzen da egunaren iraupena urtean zehar? Hilabetetik hilabetera egin daiteke, beraz 12 grafiko beharko genituzke.

• Latitude batean, nola aldatzen da urtearen zehar Eguzkiaren altuera maximoa (eguerdikoa)?

• ....

Astronomiako Tailerrean, erabiltzen den lehengo tresna gnomona (ziri bertikala) da; honekin, aztertzen dugu nolako den gnomonen itzalak adierazten duen lerroa egun batean zehar. Eguzkiaren altuera eta bere azimuta zehaztuak ditugunez, baita ere definitua gelditzen da gnomonek egiten duen itzalaren luzera eta orientabidea, eta posible izango dugu lerro horiek marraztea. Hemen azalduko zaizkigu matematikan hain ezagunak diren lerroak, konikak alegia: zirkunferentzia, elipse, parabola, hiperbola eta zuzena ere.

Lan hau egiterakoan, maila matematiko desberdinetatik abiatzen ahal gera: trigonometria erabili gabe eta balioa taulak osatuz, trigonometria erabiliz eta taulan bidez lerroak marraztuz edo lerroak zuzenean sortaraziz Derive programa erabiliz.

Beste ikuspuntutik, grafiko hauek erabil daitezke bere ezaugarri matematikoak aztertzeko: simetriak, gorakortasuna, beherakortasuna, maximoak, inflexio puntuak, ...

Batxilergo mailan, eta ikasleak Derive erabiltzen badute, beste motako problemak plantea daitezke: Zer ordutan iluntzen du Londresen uztailaren 1ean? Zer egunetan dago Eguzkia zenitean 10o-ko latitudean?,...(ekuazioen ebazpenak)

Gelatik atereaz, oso ezaguna da gure irakasleen artean Lurraren zehar bidaiatzeko dagoen grina; ba, nola antolatu daiteke, beraz, munduko beste puntura bidai bat, ongi ezagutu gabe Eguzkitxoaren gorabeherak paraje horietan.

Azken finean, irakasle bakoitza, bere irakasgaitik abiatuta: Matematika, Zientziak, Geografia,...izango da, zein den materiala honen erabiltzeko modu egokiena ikusi behar duena eta, nola ez, ikasleen eta norberaren probetxu onenerako izan dadila hau guztia.

New SIGMA - IVAP eus · 2007. 1. 12. · DBH-ko mailan) egun batean, kalkulatzen hasi nintzen,...

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