NOCIONES DE PROBABILIDAD

César Puicón Montero

CONCEPTOS BÁSICOS

Experimento Proceso o actividad que nos conduce a un resultado o a una observación. Según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, un experimento es la acción y el efecto de experimentar, y experimentar – en su 4ª acepción – consiste en realizar operaciones destinadas a descubrir, comprobar o demostrar determinados fenómenos o principios científicos

Experimento aleatorio. Es un estudio científico que genera datos y está caracterizado por dos componentes, el fenómeno a estudiar y el observador Se distingue porque se puede repetir en condiciones análogas y el resultado del experimento no se puede predecir con exactitud

Espacio Muestral. Cuya notación es Ω, es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, que puede ser un conjunto finito o infinito.

Evento. Se denotan con letras latinas mayúsculas tales como A, B, C, D, etc, es un conjunto de posibles resultados. O, la descripción de un resultado potencial. Si el Espacio Muestral es un conjunto finito, entonces un evento se define como un subconjunto del Espacio Muestral.

Evento Simple. A cada elemento del espacio muestral se le llama evento simple o evento elemental.

Los eventos son conjuntos, conjuntos de posibles resultados; entonces, se dice que ocurre el evento A si el resultado del experimento es un elemento del conjunto A, si el resultado del experimento no es un elemento de A se dice que el evento A no ocurre.

El Espacio Muestral, de acuerdo a la definición de evento, es pues un evento y se le denomina Evento Seguro; puesto que al realizar el experimento aleatorio el resultado será un elemento del espacio muestral, es decir, siempre ocurrirá por eso toma el nombre de evento seguro.

Una de las propiedades del Conjunto Vacío (Φ) es que es subconjunto de cualquier conjunto. particularmente será un subconjunto del espacio muestral, por lo tanto será considerado un Evento y como carece de elementos nunca ocurrirá. Por tal razón, al conjunto vacío se le llama Evento Imposible.

OPERACIONES CON EVENTOS

Dados dos o más eventos (A, B, C, etc.), con éstos se pueden definir nuevos eventos; es decir, podemos realizar operaciones con eventos

a) A u B. Este nuevo evento significa: “al menos uno de los dos eventos ocurre”, es decir, ocurre A, u ocurre B, u ocurren los dos.Ejemplo:Sean los eventos: A “El paciente es obeso; B “El paciente es hipertenso”, entonces el evento A u B significa, el paciente es obeso, o es hipertenso, o es hipertenso y obeso.

b) A n B. Este evento significa: “Ocurren A y B simultáneamente“ Ejemplo: Considerando los eventos definidos anteriormente, A n B significa, el paciente es obeso e hipertenso a la vez.

A’ (complemento del evento A). Significa la negación del evento A, es decir, “no ocurre el evento A.

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César Puicón Montero

Ejemplos: A’ significa, el paciente no es obeso; B’ significa el paciente no es hipertenso.

c) Eventos Incompatibles ( o mutuamente excluyentes, o disjuntos)Definición: Dos eventos se dice que son incompatibles si no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, la ocurrencia de uno, imposibilita la ocurrencia del otro. Simbólicamente: A y B son eventos incompatibles sii A n B = Φ Ejemplo: Los eventos A “el líquido es ácido”, B “el líquido es alcalino son incompatibles.

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

Cuando se realiza un experimento (o en otras circunstancias) el investigador está interesado en medir la posibilidad de que ocurra un evento. A la medida de esa posibilidad se la llama probabilidad de A (probabilidad de que ocurra el evento A) que denotaremos como P ( A ). Esta probabilidad es un número real comprendido entre cero y uno, es decir

0 ≤ P ( A ) ≤ 1

Si P ( A ). —> 0 se dice que el evento A es casi imposible de que ocurra Si P ( A ). —> 1 se dice que el evento A es casi seguro de que ocurra

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Consideremos la definición axiomática de la probabilidad que está conformada por tres axiomas los cuales se admiten como ciertos y no necesitan demostración

A1 Sea Ω el espacio muestral de un experimento. Entonces P ( Ω )= 1 A2 P ( A ) ≥ 0 para todo evento A A3 Sean A1, A2, A3, … un conjunto finito o infinito de eventos mutuamente excluyentes. Entonces P ( A1 u A2 u A3 … ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) + …

TEOREMAS BÁSICOS

Teorema 1 P ( A ) = 1 – P ( A’ )

Teorema 2 P ( φ ) = 0

Teorema 3 Si A y B son dos eventos, entonces P ( A u B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A n B )

PROBABILIDAD CONDICIONAL Definición

Sean A y B dos eventos referidos a un espacio muestral, tales que P ( B ) > 0. La probabilidad de que ocurra el evento A sabiendo que ha ocurrido B toma el nombre de probabilidad condicional de A dado B, que se denota por P ( A / B ), y está definido por la siguiente ecuación:

P( A /B ) =

P (A∩B )P (B )

(1 )

2

El evento B es el evento condición y se sabe que ya ha ocurrido. Podemos decir que el evento B es un nuevo espacio muestral.

César Puicón MonteroEjemplo Un estudio indica que el 10 % de la población de Estados Unidos tiene 65 años o más, y que el 1% de la población total padece de insuficiencia cardíaca moderada. Además, el 10.4 % de la población tiene 65 años o más o padece insuficiencia cardíaca moderada.Eligiendo a un individuo al azar:

a) Hallar la probabilidad de que el individuo tenga 65 años o más y padezca de insuficiencia cardíaca moderada

b) Utilizar la solución de la pregunta a) para organizar los datos en un diagrama de Venn.c) Si un individuo tiene 65 años o más, ¿cuál es la probabilidad de que padezca de

insuficiencia cardíaca moderada?d) Si un individuo es menor de 65 años, ¿cuál es la probabilidad de que padezca de

insuficiencia cardíaca moderada?e) Si un individuo es menor de 65 años, ¿cuál es la probabilidad de que no padezca de

insuficiencia cardíaca moderada?f) Si un individuo tiene 65 años o más, ¿cuál es la probabilidad de que no padezca de

insuficiencia cardíaca moderada?

Solución

Primer paso: Identificar los eventos considerados en el problema Denotemos con A el evento:”El individuo tiene 65 años o más C el evento: “El individuo padece de insuficiencia cardíaca moderada.

Segundo paso: Reconocer la información dada en el enunciado del problema P ( A ) = 0.10, P ( C ) = 0.01 y P ( A u C ) = 0.104

Tercer paso: Resolver la preguntas

a) La pregunta es ¿P ( A n C ) =?. Para dar respuesta a esta pregunta hacemos uso del teorema 3

P ( A u C ) = P ( A ) + P ( C ) – P ( A n C) , que al reemplazar los valores reconocidos en el problema y simplificando obtenemos P ( A n C ) = 0.006, es decir, el 0.6% de la población tiene 65 años o más y padece de insuficiencia cardíaca moderada..

b) Diagrama de Venn Ω

A C

0.006 0.094 0.004

(A U C)’ = A’ ∩ C’ = 0.896

c) Se sabe que el individuo tiene 65 años o más, es decir ha ocurrido el evento A, luego la pregunta corresponde a una probabilidad condicional en donde el evento condición es A,

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debemos calcular la probabilidad de que ocurra C, por tanto la respuesta a la pregunta formulada es P ( C / A ).

P ( C / A ) =

P (C∩A )P( A ) =

0 .0060 .10 = 0.06

Es decir, del total de individuos con 65 años o más, el 6% padecen de insuficiencia cardíaca moderada.

d) En esta pregunta el evento condición es que sea menor de 65 años, es decir ha ocurrido A´, ¿cuál es la probabilidad de que la respuesta a la pregunta es P( C/ A´ )

P(C /A´ )=

P (C∩A ´ )P( A ´ ) =

0 .0040 .9 = 0.0044

e) En esta pregunta el evento condición es que sea menor de 65 años, es decir ha ocurrido A´ luego, siendo menor de 65 años ¿cuál es la probabilidad de que ocurra C’ ?, La respuesta a la pregunta es P( C’/ A´ )

P(C /A´ )=

P (C∩A ´ )P( A ´ ) =

0.8960.9 = 0.9956

Es decir, de los individuos menores de 65 años, el 99,56% no padece de insuficiencia cardíaca moderada.

f) La pregunta es ¿P (C´ / A)? Resolviendo esta pregunta P (C´ / A) = 1 – P (C / A) = 1 – 0.06 = 0.94

Es decir, de los individuos con 65 años o más, el 94% padecen de insuficiencia cardiaca moderada.

EVENTOS INDEPENDIENTES

Definición 1 Dos eventos M y N son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos (o no ocurrencia) no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Es decir M y N son eventos independientes si se cumple: P ( M / N ) = P ( M ), y P ( N / M ) = P ( N ).

Esta definición es equivalente a la siguiente, que es la que más se usa

Definición 2 Los eventos M y N son independientes si y sólo si P ( M n N ) = P ( M )x P ( N )

Teorema de la multiplicación

La probabilidad de que ocurran simultáneamente los eventos A y B, es decir, P(A∩B ¿ está dado por la siguiente fórmula: , P(A∩B ¿ = P(A) P(B/A) ( 2 )

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Esta fórmula se conoce con el nombre de teorema de la multiplicación y se deduce de la fórmula (1) definición de probabilidad condicional

Ejercicio En un bioterio hay conejos en las cantidades: 7 hembras y 3 machos. Se extraen dos conejos en forma sucesiva (uno primero y el otro inmediatamente después); se definen los siguientes eventos A: “”primer conejo elegido es hembra, B: segundo conejo elegido es macho.

Primer caso: La elección es con reposición, es decir, antes de elegir el segundo conejo se repone al bioterio el primer conejo elegido. Calcular e interpretar P(A), P(B), y P(AnB)

Segundo caso: La elección es sin reposición, es decir, antes de elegir el segundo conejo no se devuelve al bioterio el primer conejo elegido. Calcular e interpretar P(A), P(B), y P(AnB)

PROBLEMAS

1. En un artículo de la revista American Journal of Drugs and Alcohol Abuse, Erickson y Murray afirman que las mujeres están consideradas como un grupo con riesgo especial de adicción a la cocaína, y que se ha sugerido que sus problemas con la cocaína son mayores que en los hombres. Con base en la revisión de textos especializados y en el análisis de lso resultados de un estudio original, estos investigadores argumentan que no hay evidencia de que el uso de cocaína en las mujeres exceda al de los hombres, o que el índice de uso crezca más rápido en comparación con el de los hombres, o que experimenten más problemas. Los sujetos de estudio de EricKson y Murray comprenden una muesta de 75 hombres y 36 mujeres. Los autores afirman que los individuos son una muestra bastante representativa de adictos típicos adultos sin tratamiento ni encarcelados. La tabla 3.4.1 muestra la frecuencia de uso de la cocaína en el tiempo de vida y el sexo de los individuos. Suponga que se escoge a uno de ellos aleatoriamente de entre la muestra:

TABLA 3.4.1 Frecuencia de consumo de cocaína por género entre adultos adictos

Frecuencia de uso de cocaína en el período de vida

Del sexo masculino (M)

Del sexo femenino (F)

Total

1-19 veces (A)20-99 veces (B)100 + veces ©

321825

7209

393834

Total 75 36 111

a. ¿Qué probabilidad existe de que sea mujer?

b. Si la persona elegida es mujer, cuál es la probabilidad de que hay consumido cocaína en su vida 100 veces o más?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea de sexo femenino y haya consumido cocaína en su vida 100 veces o más?

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2.-. La tabla 4-1 muestra los resultados de la prueba “1-Panel THC” para identificar el consumo de

marihuana, el dispositivo lo distribuye la empresa Drug Test Success. Los resultados de la prueba fueron confirmados con cromatografía de gases y espectrometría de masas, que la empresa describe como “el método de confirmación preferido”. (Estos resultados se basan en el uso de 50 ng/ml, como nivel de corte para determinar la presencia de marihuana)

Tabla 4-1Resultados de exámenes sobre el consumo de marihuana

¿los sujetos realmente consumen marihuana?Si No

`Resultado de prueba positivo

(la prueba indica que la marihuana está

presente)

119(verdadero positivo)

24(falso positivo)

Resultado de la prueba negativo

(la prueba indica que la marihuana está ausente)

3(falso negativo)

154(verdadero negativo)

Con base en los resultados de la tabla 4-1. Suponiendo que se elige al azar a una de las 300 personas examinadas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de un resultado falso positivo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de un resultado falso negativo?

c) Calcule la probabilidad de seleccionar a un sujeto que haya resultado positivo o que consumía marihuana.

d) Si se elige a uno de los 300 sujetos de la prueba, calcule la probabilidad de que la persona resulte positiva y que en realidad consumió marihuana,

e) Si se elige a uno de los 300 sujetos de la prueba, calcule la probabilidad de que la persona resulte positiva, dado que en realidad consumió marihuana,

f) Si se elige a uno de los 300 sujetos de la prueba, calcule la probabilidad de que la persona realmente haya consumido marihuana, dado que tuvo un resultado de prueba positivo,

g) Si se elige al azar a dos sujetos incluidos en la tabla, sin reemplazo, calcule la probabilidad de que la primera persona seleccionada tenga un resultado de prueba positivo y que la segunda tenga un resultado de prueba negativo

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