NOCIONES DE PROBABILIDAD Recurso

NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA

* Introducción

* Probabilidad

* Espacio muestra

* Evento

* Conjuntos

* Probabilidad en conjuntos

* Teorema de Bayes

* Distribución de probabilidad

Título del Recurso: Nociones de probabilidad.

Propósito: Conocer y comprender las nociones generales de la probabilidad y su

aplicabilidad en la función policial.

Dirigido a: Discentes de la Universidad Nacional Experimental de la Seguridad

(UNES) (Siempre se muestra así)

Palabras Claves: Estadística, probabilidad, conjuntos.

Tabla de Contenido:

Duración de la Navegación: Cuarenta y cinco (45) minutos, aproximadamente.


Autor: Universidad Nacional Experimental de la Seguridad (UNES)

Diseñadora Instruccional: Marcos Vásquez.

Edición y Montaje: Carleidys Landaeta - [email protected]

Experto en Contenido: Marcos Vásquez y Migdalys Marcano

Fecha de creación: Noviembre del 2011

mailto:[email protected]


En la vida cotidiana aparecen muchas

situaciones en las que los resultados

observados son diferentes aunque las

condiciones iniciales en las que se produce la

experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al

lanzar una moneda unas veces resultará cara y

otras veces cruz. Estos fenómenos,

denominados aleatorios, se ven afectados por la

incertidumbre.

En el lenguaje habitual, frases como

"probablemente...", "es poco probable que...",

"hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre.

La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar

con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas

estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la

probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones

alcanzadas y las inferencias realizadas.


PROBABILIDAD

La probabilidad es la posibilidad

numérica de que ocurra un evento. La

probabilidad de un evento es medida

por valores comprendidos entre 0 y 1.

Entre mayor sea la probabilidad de

que ocurra un evento, su probabilidad

asigna estará más próxima a 1. La

probabilidad de certeza es 1. La

probabilidad de una imposibilidad es

0. Esto se podría expresar así:

Por tanto,

en donde es algún evento.

La probabilidad de que el sol salga mañana es muy alta – muy cercana a 1. La

probabilidad de que se aumento el sueldo en un 50% o más, estando en el otro

extremo, está muy cerca de cero.

El proceso que produce un evento en denominado experimento. Un experimento

es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido.

Lanzar un dado (mitad de un par de dados) es un experimento. Un resultado bien

definido en un número de 1 a 6. Un experimento puede consistir en revisar un

producto para determinar si cumple con ciertas especificaciones de fabricación. El

resultado es o (1) defectuoso o (2) no defectuoso.

El conjunto de todos los posibles resultados para un experimento es el espacio

muestral. El espacio muestral para lanzar un dado es:


mientras que el espacio muestral para el experimento de lanzar una moneda al

aire es:

La probabilidad de que al menos uno de los eventos que están en el espacio

muestral ocurra es igual a 1. Si se lanza un dado, el resultado debe ser un número

entre 1 y 6. Debido a que esto es una certeza puede decirse que:

De manera informal o clásica podemos calcular la probabilidad de un experimento

A de la siguiente forma:

Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor a 3 al lanzar

un dado?; que caiga un número menor a 3 significa un 1 o un 2 y como la cantidad

de resultados posibles es 6 (El número de lados de un dado), entonces el nuestra

probabilidad seria:

No siempre se conoce la cantidad total de resultados posibles de un experimento

o la cantidad de resultados contenidos del mismo, es por ello que podemos definir

la probabilidad a partir de un número de experimentos seguidos realizados de la

siguiente forma (llamada empírica o por frecuencias relativas):

Por ejemplo: Si se quiere tener una idea de cuál es la probabilidad de que

eligiendo un o una discente de la universidad al azar, éste o ésta tenga ojos

claros, se puede tomar a 50 discentes al azar y contar cuántos o cuántas tienen

ojos claros. Luego si 13 de esos 50 tienen ojos claros, estimaremos que:


Si en vez de examinar a 50 discentes hubiéramos examinado a 200, la exactitud

esperable sería mayor. Por ejemplo quizás entre los 200 discentes habría 53 con

ojos claros, y entonces:

ESPACIO MUESTRAL

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el

nombre de espacio muestral.

Algunos ejemplos de espacio muestral son:

1) Si el experimento consiste en arrojar un dado y observar el número que

sale, el espacio muestral es:

Vemos que el espacio muestral se denota con la letra E.

2) Si el experimento consiste en tomar una lapicera y medirla, el espacio

muestral es:

Vemos que el espacio muestral no tiene por qué ser un conjunto finito. Como en

este caso el resultado puede ser cualquier número real positivo, E tiene infinitos

elementos.

3) Si el experimento consiste en tomar un libro al azar de la biblioteca y ver

con qué letra empieza el título, el espacio muestral es:

Vemos que los resultados posibles del experimento, es decir, los elementos del

espacio muestral, no tienen necesariamente por qué ser números. En este caso

son letras.


4) Si el experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale, el espacio

muestral es:

Aunque también podríamos haber respondido si

consideráramos como un resultado posible el caso en que la moneda caiga de

canto.

Vemos que el conjunto de resultados posibles para un

experimento es subjetivo. Generalmente

adecuamos el espacio muestral a lo que

consideramos posible o no posible, y a los

fines del experimento. Por ejemplo, en este

caso una solución posible es definir

y determinar que si cae de canto,

se tira nuevamente.

EVENTO

Un evento (también llamado suceso) del espacio muestral es un subconjunto de

éste. Algunos ejemplos pueden ser:

1) En el experimento de arrojar un dado y ver qué sale, el espacio muestral es:

Cualquier subconjunto de E es un evento, por lo tanto ejemplos de eventos de

este experimento pueden ser:

{1}

{6}

{3, 4}

{4, 5, 6}


{1, 3, 5}

{2, 4, 6}

También podemos expresar estos subconjuntos por comprensión:

"que salga un número par"

"que salga un número impar"

"que salga un número mayor que 3"

Y no olvidemos los siguientes subconjuntos:

{}

Dicho evento es conocido como "evento nulo", " evento falso" o " evento

imposible". Además de la notación {} se puede usar la alternativa .

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Este subconjunto del espacio muestral es exactamente el espacio muestral

(recordemos que un conjunto siempre es subconjunto de sí mismo). Dicho suceso

es conocido como " evento verdadero", " evento forzoso" o " evento cierto".

2) En el experimento de tomar una lapicera y medir su longitud en cm.:

Ejemplos de eventos (es decir, subconjuntos de E) pueden ser:

{15}

{14.2}

{17.3333333...}

3) Si el suceso A consiste en obtener cara al tirar una moneda, entonces

podríamos definir:

El experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale.

El espacio muestral es


El evento A es Vemos que . Como dijimos antes, un

suceso es un subconjunto del espacio muestral.

CONJUNTOS

Como los eventos son conjuntos, operar con eventos es operar con conjuntos.

1) Intersección de conjuntos

Dados A y B dos conjuntos, es el conjunto que ocurre cuando suceden

simultáneamente A y B. Se puede llamar "A intersección B" o bien "A y B".

Ejemplo:

Se tira un dado, y se definen los eventos:

A: que salga menos de 4

B: que salga más de 2

Con lo cual queda:

2) conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes


Son los conjuntos cuya intersección es nula. Dados los conjuntos A y B, son

disjuntos

Ejemplo:

Se tira un dado, y se definen los sucesos:

A: que salga 1 ó 2

B: que salga más de 4

Con lo cual queda:

Como A y B tienen intersección nula, no pueden suceder simultáneamente.

3) Unión de conjuntos

Dados A y B dos conjuntos, es el conjunto que resulta cuando ocurre A, B,

o los dos simultáneamente. Se puede llamar "A unión B" o bien "A ó B".


Ejemplo:

Se tira un dado, y se definen los sucesos:

A: que salga menos de 4

B: que salga 2 ó 6

Con lo cual queda:

4) Complemento de los conjuntos

Dado un conjunto A, su "complemento" es el conjunto que contiene los elementos

que no están en A. El complemento de A se escribe o bien y se llama

"complemento de A", "A negado" o bien "no A".


Ejemplo:

Si arrojo un dado, y el conjunto A es que salga un 4, entonces el conjunto es

que no salga un 4 o bien que salga 1, 2, 3, 5 ó 6.

Expresados como conjuntos quedan:

Observamos que:

Así como A es un subconjunto de E, también es un subconjunto de E.

, es decir, la unión de A y forma E. Esto es lógico: O llueve o

no llueve. No hay ninguna otra posibilidad.

. Un suceso y su complemento son disjuntos, porque no pueden

ocurrir al mismo tiempo. No puede "llover" y "no llover" al mismo tiempo.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Con frecuencia se desea determinar la probabilidad de algún evento, dado que

antes otro evento ya hay ocurrido. Lógicamente, esta es llamada probabilidad

condicional. Se denota como y se lee la “probabilidad de A dado B”.

Esta es la fórmula general para la probabilidad condicional del evento A, dado que

se conoce que el evento B ya ha ocurrido:


PROBABILIDAD CONDICIONAL

Antes de ver algunas probabilidades

para conjuntos definamos de forma

axiomática la función de probabilidad.

Sea E un espacio muestral, y A un

evento cualquiera. Se llama función de

probabilidad sobre el espacio muestral

E a P(A) si satisface los siguientes

axiomas:

Si A y B son subconjuntos de E y (Los eventos son disjuntos)

entonces

Ahora veamos algunas propiedades de la probabilidad en conjuntos:

a) Probabilidad de la unión de conjuntos:

Dados dos conjuntos A y B contenidos en el espacio E, entonces:

Véase que si los conjuntos son disjuntos ( ) entonces la expresión

queda como el tercer axioma.

b) Probabilidad de la intersección de conjuntos:

Para esta probabilidad vamos a usar la definición de probabilidad condicional:

I. Observación

II. Experimentación

III.


IV. Teoría

TEOREMA DE BAYES

En el año 1763, dos años

después de la muerte del

reverendo Thomas Bayes (1702-

1761), se publicó una memoria

en la que aparece, por vez

primera, la determinación de la

probabilidad de las causas a

partir de los efectos que han

podido ser observados

(Probabilidad condicional). El

cálculo de dichas probabilidades

recibe el nombre de teorema de Bayes.

El teorema dice lo siguiente: Si B1, B2,…, Bn son eventos mutuamente

excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, es decir , entonces

Veamos un ejemplo: Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la

posible relación entre el fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro

médico, de todos los fumadores de quienes de quienes se sospecha que tenían

cáncer pulmonar, el 90% (P=0.9) lo tenía mientras que únicamente el 5%

(P=0.05) de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de

0.45, ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar,

seleccionado al azar, sea fumador?

Sean B1 y B2 los eventos “el paciente es fumador” y “el paciente no es fumador”.

Se suponen que las probabilidades para estas dos alternativas son 0.45 y 0.55


respectivamente. Si un paciente tiene o no cáncer pulmonar puede estar afectado

por cualquiera de las dos alternativas y que constituyen la evidencia experimental.

Se sabe que y . Se desea determinar la probabilidad

de seleccionar un fumador, puesto que el paciente tiene cáncer, o .

Así por el teorema de Bayes tenemos:

Así, la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado

aleatoriamente sea fumador, es de 0.9364.

VARIABLES ALEATORIAS

Vamos a llamar variable aleatoria a una variable cuyo valor sería el resultado de

un determinado experimento, si lo hiciéramos. Por ejemplo, si el experimento

consiste en arrojar un dado, podemos definir la variable aleatoria X cuyo valor será

el número que salga en el dado. El conjunto de valores posibles de X es el espacio

muestral. Y en general nos interesará cuál es la probabilidad de que X asuma

cada valor.

Usaremos variables porque nos permiten operar y mostrar determinadas

conclusiones.

Para el caso del dado, podemos escribir "la probabilidad de que al tirar el dado

salga un número mayor que 3" simplemente como P(X > 3), habiendo antes

definido X como el número que saldría si tiráramos el dado.


Para designar a las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas. Para

designar a uno de sus valores posibles, se usan las letras minúsculas. Por

ejemplo, si X es la variable aleatoria asociada a lo que sale al tirar un dado,

podemos decir que

El cálculo combinatorio es una herramienta matemática que, dada una

determinada cantidad de elementos, permite calcular de cuántas formas posibles

podemos tomar una parte de ellos y/u ordenarlos.

Por ejemplo, si tenemos un mazo de 52 cartas, y un jugador recibe 5 cartas de ese

mazo, nos puede interesar calcular cuántas manos distintas podría recibir. Es

decir, cuántas "combinaciones" se pueden formar con 5 cartas tomadas de entre

52.

Veamos cada modelo de calcular las combinatorias:

PERMUTACIÓN

Se tienen n elementos, y se desea ver

de cuántas formas se los puede

ordenar. Es decir, los elementos son

siempre los mismos, y cada forma

posible sólo difiere de las demás en el

orden en que se toman los elementos.

Fórmula:

donde n es la cantidad de elementos a ordenar

Ejemplo:


¿De cuántas formas se pueden ordenar los elementos {a,b,c}?

abc, acb, bac, bca, cab, cba (6 formas)

VARIACIÓN

Es como la permutación, pero no se usan los n elementos sino que se usan

solamente k de ellos. Entonces habrá que tener en cuenta no solamente el orden,

sino cuáles de los n elementos se eligen (naturaleza).

Fórmula:

donde n es la cantidad total de elementos, y k es la cantidad de elementos que se

eligen. Se lee: "variaciones de n elementos tomados de a k".

Ejemplo:

Se tienen los elementos {a,b,c,d}. ¿De cuántas formas se puede tomar 2 de ellos,

sin repetir ninguno, y teniendo en cuenta el orden?

Comencemos por aclarar que:

1) tener en cuenta el orden significa que "ab" ¹ "ba"

2) tener en cuenta la naturaleza significa que elegir al a y al b no es lo mismo que

elegir al a y al c.

Entonces las variaciones en este caso son:

ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc


VARIACIÓN

Consiste en tomar k elementos entre n que hay en total, sin importar en qué orden.

Es decir, importa la naturaleza ("cuáles") pero no importa el orden. Observamos

que esto es como las variaciones, pero olvidándonos del orden; las variaciones

distinguen "ab" de "ba", en cambio para las combinaciones "ab" = "ba", y sólo

importa el hecho de que fueron "a" y "b" los elementos elegidos.

Fórmula:

donde n es la cantidad total de elementos, y k es la cantidad que se toman.

Ejemplo:

Se tienen los elementos {a,b,c,d}. ¿Cuántas formas posibles hay de elegir 2?

Comencemos por aclarar que como son combinaciones, no tenemos en cuenta el

orden, con lo cual "ab" = "ba". Además recordamos que por tratarse de

combinación simple, no se puede elegir 2 veces el mismo elemento. Entonces en

este caso las combinaciones son:

ab, ac, ad, bc, bd, cd.


VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

Comparemos ahora el

ejemplo del dado con este

otro: haremos el

experimento de elegir una

naranja al azar en una

verdulería, y llamaremos Y

al peso de la naranja

elegida. Si pensamos en

los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria Y, veremos que no

solamente son infinitos sino que además dado un valor posible no hay un

"siguiente" porque entre cualquier valor y aquel al que consideráramos su

"siguiente" hay infinitos valores posibles. La variable aleatoria X es discreta. La

variable aleatoria Y es continua.

En principio definiremos las variables aleatorias discretas y continuas así:

Variable aleatoria discreta: aquella tal que la cantidad de valores

posibles que puede tomar es finita, o infinita pero numerable. En otras

palabras, aquella cuyos valores posibles son todos puntos aislados

del conjunto de valores posibles. Dicho incluso de una tercera forma:

aquella tal que si tomamos dos cualesquiera de sus valores posibles,

hay entre ellos una cantidad finita de valores posibles.

Variable aleatoria continua: aquella que no es discreta, es decir,

aquella tal que la cantidad de valores posibles es infinita y no

numerable.

¿A qué nos referimos con infinito numerable y no numerable?


a)

b)

c)

d)

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales tiene una cantidad finita pero

numerable de elementos, porque sus elementos se pueden enumerar. En cambio,

el conjunto de los números reales tiene una cantidad infinita no numerable de

elementos, porque sus elementos no se pueden enumerar.

Veamos un problema:

1) Indique para cada una de las siguientes variables aleatorias si son discretas o

continuas. Haga las aclaraciones que considere necesarias.

a) El número que sale al tirar un dado.

b) La cantidad de caras que salen al tirar 5 monedas.

c) La cantidad de accidentes por mes.

d) Peso de una naranja.

e) Diámetro de una arandela.

f) El país donde nació una persona.

g) La edad de una persona.

Resolución:

Discreta. La cantidad de resultados es finita.

Discreta. La cantidad de resultados es finita.

Discreta. Aunque la cantidad de resultados es infinita, porque no hay un

valor máximo posible, es numerable, porque los resultados se pueden

enumerar. Otra forma de ver que es discreta: todos los resultados son puntos

aislados.

d) Continua. La cantidad de resultados es infinita y no numerable (no

podemos enumerar todos los resultados). Otra forma de ver que es


e)

f)

g)

continua: los resultados no son puntos aislados, sino que forman un continuo (por

ejemplo, un segmento de recta).

Continua. La cantidad de resultados es infinita y no numerable (no

podemos enumerar todos los resultados).

Discreta. La cantidad de resultados es finita. Observemos que las

variables que no son numéricas por lo general son discretas.

Puede ser discreta o continua. Si tomamos la edad como la cantidad entera

de años que ha vivido la persona, entonces es discreta. Si tomamos la

edad como un número real de años que ha vivido la persona (ejemplo: 5,37 años)

entonces es continua.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Una variable aleatoria tal que

todos sus valores posibles

son equiprobables es un

caso muy particular. En

general, cada uno de los

valores posibles puede tener

distinta probabilidad. Por eso

nos interesa estudiar cómo

se distribuyen las

probabilidades en los distintos valores posibles de la variable.

Al conjunto de valores posibles, y la relación entre ellos y sus respectivas

probabilidades, se lo conoce como distribución de probabilidad.

Notemos que:

1) la probabilidad de un determinado valor no puede ser menor que cero.


2) la suma de las probabilidades de todos los valores da 1, porque al hacer el

experimento siempre sale uno de los resultados posibles.

La distribución de probabilidad se puede expresar de diversas formas.

Generalmente se usa la función de densidad de probabilidad.

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Esta función le asigna a cada valor posible de la variable aleatoria un número real

que consiste en la probabilidad de que ocurra, y por supuesto debe cumplir con las

2 condiciones que enunciamos antes:

a) no puede ser negativa en ningún punto

b) la suma de las probabilidades de todos los valores da 1.

Puede pensarse que la condición "a" es insuficiente, porque la probabilidad no

solamente no puede ser menor que cero, sino tampoco mayor que uno. Pero

agregar esa condición sería redundante, porque la condición "b" garantiza que eso

no puede ocurrir, ya que si la probabilidad para un valor fuera mayor que 1, como

ninguna probabilidad puede ser negativa entonces la suma daría necesariamente

mayor a 1.

En variables aleatorias discretas la función de densidad se define así:

es una función que a cada valor posible le asigna su probabilidad.

es una función de densidad de probabilidad discreta si y solo si cumple con:

1)

2)

Veamos algunas funciones de distribución comunes:


BERNOULLI

Es un experimento que puede arrojar 2 resultados posibles. A uno de los

resultados se lo denomina arbitrariamente "éxito" y al otro "fracaso". El

experimento de Bernoulli lleva asociada una probabilidad (la probabilidad de

"éxito").

Distribución:

"¿Cuál es la probabilidad de obtener x éxitos en n intentos?"

Si

es decir: X es una variable binomial con parámetros n y p

es decir: X es la variable que representa la cantidad de éxitos obtenidos en n

experimentos de Bernoulli independientes cada uno con probabilidad de éxito p.

POISSON

"¿Cuál es la probabilidad de obtener x eventos en el intervalo estudiado?"

Si bien el proceso de Poisson trabaja con los parámetros (longitud del intervalo)

y (intensidad), la distribución de Poisson usa solamente el parámetro

Como es la longitud del intervalo, y es la cantidad esperada de eventos por

unidad de tiempo, entonces m resulta ser la media. Es decir que esta distribución

tiene la característica de que su media resulta valer directamente lo mismo que

valga el parámetro .

Si


es decir: X es una variable Poisson con media .

es decir: X es la variable que representa la cantidad de eventos obtenidos en un

intervalo de longitud e intensidad . Entonces:

NORMAL

Cuando la función de densidad es la siguiente:

la distribución se llama "Normal" (o de "Gauss").

La gráfica de esta función de densidad se conoce con el nombre de "campana de

Gauss" A primera vista podemos observar:

A diferencia de todas las distribuciones que vimos anteriormente, es no-nula

para todos los números reales.

Tiene 2 parámetros, y .

El parámetro puede ser cualquier número real, y es, directamente, la media de la

distribución.


El parámetro puede ser cualquier número real positivo, y es, directamente, el

desvío estándar de la distribución.

La notación significa que la variable aleatoria tiene una distribución

normal con parámetros y , o dicho de otra forma, que la variable aleatoria

tiene una distribución normal, cuya media es , y cuya varianza es .

Cuando y , la distribución se llama normal estándar. Se puede

demostrar que si es cualquier variable aleatoria normal, y tomamos la variable

aleatoria , entonces resulta ser una variable aleatoria normal estándar.

Es decir: Lo cual puede ser demostrado mediante

un simple cambio de variables. Esto nos permite, dada cualquier variable aleatoria

normal, encontrar una variable aleatoria normal estándar, que es la que

encontraremos en las tablas.

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Si es el promedio de una muestra de tamaño n de una población con media y

desviación estándar , entonces la variable aleatoria tiene una

distribución aproximadamente normal estándar, bajo las siguientes condiciones:

Si , la distribución de es aproximadamente normal estándar

sin importar la distribución de las .

Si , la distribución de es aproximadamente normal solamente

si la distribución de las no difiere mucho de la distribución normal

(por ejemplo: si es simétrica).

Si la distribución de las es normal, la distribución de es normal sin

importar el valor de n.


REFERENCIAS

Spiegel, M (2006). Probabilidad y estadística. México. Editorial McGraw-

Hill.

Devore, J (2008). Probabilidad y estadística. México. Editorial Cengage

learning Editores.

Mayer, P (1992). Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México. Editorial

Alhambra Mexicana.

Zylberberg, A (2005). Probabilidad y estadística. Buenos Aires – Argentina.

Editorial Nueva Librería.

NOCIONES DE PROBABILIDAD Recurso

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