Nociones de Probabilidad y Ejemplos

Capitulo 1 Probabilidad

ESTADÍSTICA SUPERIORCARLOS A. ROJAS Y. PROBABILIDADINTRODUCCION

Si el único propósito del investigador es describir los resultados de una realidad, política,

situación o experimento concreto de la totalidad de una pequeña porción (muestra) del todo,

como por ejemplo: el rendimiento del grado de una escuela, el análisis socioeconómico de

los habitantes de un edificio, las preferencias políticas de un comité de postulados, etc., los

métodos de Estadística Descriptiva, anteriormente utilizados pueden considerarse

suficientes. Sin embargo, si lo que se pretende es utilizar la información obtenida para

extraer conclusiones generales sobre todos aquellos objetos que conforman un todo,

entonces los métodos descriptivos solo constituyen el principio del análisis, y se debe

recurrir a métodos de inferencia estadística, donde se emplea la Teoría de la Probabilidad.

La mayoría de los fenómenos del universo se pueden estudiar considerando una pequeña

muestra de elementos de la población a que atañe el fenómeno, esto se logra seleccionando

dicha muestra lo mas parecida posible a la población mediante un mecanismo al azar o

aleatorio (objetivo) y es precisamente el cálculo de probabilidades la herramienta que nos

suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios y que constituye la base

para la estadística inductiva o inferencial. Dicha estadística es la encargada de

determinar los tamaños de muestra acordes con los riesgos de error que estemos

dispuestos a aceptar y la medición de los errores totales que se comenten por efectos del

muestreo, lo que nos da la posibilidad de dar estimaciones por intervalos sobre los

parámetros de la población estudiada.

De alguna manera, el concepto de probabilidad se relaciona o nos recuerda las propiedades

de la frecuencia relativa, ya vistas en la estadística descriptiva, y a partir de estas y junto con

las definiciones de probabilidad condicional y de sucesos independientes se deducen los

teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades.

EXPERIMENTO Y SUCESOS ALEATORIOS

Es muy importante el aporte de la teoría de conjuntos cuando se estudia la probabilidad de

ocurrencia de algún resultado de todos los posibles originado por un experimento. En este

orden de ideas vamos a denotar por la letra griega ypsilón , a un experimento de cualquier

1


naturaleza el cual puede ser determinístico, cuando repitiendo exactamente las mismas

condiciones de realización del experimento podemos establecer el resultado esperado,

como ejemplo tenemos que un objeto de cualquier masa partiendo de un estado inicial en

reposo, si se deja caer al vacío desde una torre, siempre llega al suelo con la misma

velocidad: , siendo g la constante de gravedad y h la altura respectiva; en general

los experimentos físicos son de esta naturaleza. En cambio hay otros experimentos que aun

manteniendo intactas la condiciones iniciales de su realización no podemos indicar el

resultado esperado. Ejemplo: podemos lanzar un dado bien cargado o equilibrado de igual

manera y en las mismas condiciones y aunque conocemos todos los resultados posibles no

podríamos a priori establecer el resultado de su cara. A estos experimentos los vamos a

llamar aleatorios, al azar o estocásticos, y serán en definitiva a los que les prestaremos

nuestra atención. Este último ejemplo nos permite definir el concepto de Espacio Muestral

como el conjunto de todos los resultados posibles , asociados a la

realización de un experimento aleatorio.

Vamos a definir como Evento o Suceso a todo subconjunto del espacio muestral, a los

eventos los vamos a simbolizar por letras mayúsculas

Debemos distinguir entre sucesos simples o elementales y sucesos compuestos, estos

últimos están compuestos por dos o mas sucesos simples, en el caso del lanzamiento de un

dado todos los valores de cada una de las caras constituyen los sucesos elementales:

; pero por ejemplo podemos considerar el suceso compuesto B:

sacar numero par o el suceso compuesto C: sacar numero múltiplo de tres

. Dicho de otro modo un suceso elemental solo contiene un punto del espacio

muestral, en cambio un suceso compuesto, en general llamado suceso aleatorio, puede

tener no uno solo, sino una infinidad de sucesos elementales; y también no contener

ninguno como veremos en la siguiente definición:

2


Suceso Imposible: es aquel que nunca se verifica o se da como resultado del experimento

aleatorio. Como debe ser un subconjunto del espacio muestral , la única posibilidad es

que el suceso imposible sea el conjunto vació:

Suceso Seguro: es aquel que siempre se verifica después del experimento aleatorio, es

decir, el mismo .

Suceso contrario: también se llama complementario de A y es el suceso que se verifica si,

como resultado del experimento aleatorio no se verifica A. Se acostumbra a denotarlo como

:

NOCIÓN DE PROBABILIDAD

El concepto de probabilidad ha evolucionado a lo largo del tiempo, y ha pasado por diversas

formas de presentación. La noción actual de probabilidad es el resultado de una evolución

histórica en la que el sentido del término se ha ido delimitando y enriqueciendo con distintas

aportaciones.

1. Probabilidad de Laplace o Clásica

Si un experimento cualquiera puede dar un número finito de resultados posibles, y no

existe ninguna razón que de privilegio a unos resultados en contra de otros –tiene la

estructura de un juego de azar- se calcula la probabilidad de un proceso aleatorio A, según

la regla de Laplace1 como el cociente entre el número de casos favorables a A, y el de todos

los posibles resultados del experimento:

1 El Marqués de Laplace (1789-1827) establece la definición clásica de probabilidad en su obra Théorie analytique des

probabilites. 1812.

3


Ejemplo

Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número impar.

Solución: El experimento aleatorio es : Lanzar un dado, el espacio muestral es E

= . Vamos a llamar al suceso A: el resultado sea impar. Por tanto A= . Como

no suponemos que ninguna de las caras ofrece una probabilidad de ocurrencia diferente a

las demás (el dado no está trucado), podemos aplicar la regla de Laplace para obtener:

2. Probabilidad Frecuencial o Empirica

En los experimentos aleatorios se observa que cuando el número de experimentos

aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso , en n ensayos

denotémoslas por

Tiende a converger hacia cierta cantidad que denominaremos probabilidad de A:

Esta es la noción intuitiva o frecuencial de probabilidad. Fue establecida por autores

como el inglés Ronald A. Fisher (1890-1962) y el autor Richard von Mises (1883-1953).

Kerrich, en su obra An experimental introduction to the theory of probability explica como lo

verificó experimentalmente siendo prisionero durante la segunda guerra mundial. Realizó un

experimento consistente en arrojar una moneda en diez conjuntos de mil tiradas cada uno, y

tras contabilizar el número de caras, obtuvo un valor próximo a la frecuencia esperada: ½.

4


En nuestro caso y para seguir con el ejemplo del lanzamiento de un dado vamos a simular

mediante el programa EXCEL, a través su función aleatoria (=ALEATORIO.ENTRE(1;6)), el

lanzamiento de un dado 500 veces y vamos a ver las veces que aparece el valor seis (6), es

decir en cada oportunidad vamos a calcular el valor respectivo de la probabilidad de obtener

un seis. En la figura siguiente se presenta la evolución de la frecuencia relativa del número

de seis obtenido en el lanzamiento de una moneda en 500 ocasiones. En principio la

evolución de las frecuencias relativas es errática, pero a medida que el número de tiradas

aumenta, tiende a acercarse al valor esperado.

3. Probabilidad Subjetiva

Cuando se estudian fenómenos aleatorios en los que no hay posibilidad de repetición

o experimentación, la probabilidad subjetiva es la cuantificación (subjetiva, por supuesto)

que una persona (o un grupo) hace de un evento, utilizando la información que posee.

5


Esta conceptualización de la probabilidad es muy aplicada en la empresa, y es

utilizada por la estadística bayesiana, la teoría de la decisión y la teoría de los juegos. Ha

sido tratada por autores como Keynes (1921), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Koopman

(1940) y Savage (1954).

Barbancho en Estadística Elemental moderna expone la siguiente visión sobre la

probabilidad subjetiva:

… los estadísticos, en fechas más recientes han acudido al concepto de la denominada

probabilidad subjetiva, mediante la cual cada persona, o grupo de personas, asigna a un evento un

número que está en función de la verosimilitud percibida o sentida sobre dicho evento, o que

expresa el “grado de creencia” racional depositada en él. Este número puede ajustarse a cualquier

suerte de propiedades; lo más lógico, y es lo que sucede, es que estas propiedades de la

probabilidad subjetiva sean las tres que se cumplen para la probabilidad clásica y la probabilidad

frecuencial , a saber, la no negatividad, la certeza y la aditividad.

4. Probabilidad axiomática o de Kolmogorov

El concepto axiomático de probabilidad fue formulado por Kolmogorov en 19332. Para

ello precisó ciertas leyes o axiomas que debe cumplir una función de probabilidad. Los

axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones:

1. La probabilidad solo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1 (es no

negativa).

2. La probabilidad del suceso seguro es 1.

3. La probabilidad de dos o mas sucesos incompatibles (unión numerable de

sucesos disjuntos), es decir de intersección vacía, debe ser la suma de sus

probabilidades respectivas.

2 A. Kolgomorov, Grundbegrife der Wahrscheinlichkeitrsechnung (1933). Ed. Springer. Berlín. Hay una traducción inglesa

de N. Morrison, Foundations of the theory of probability (1956). Ed. Chelsea. New York

6


Curiosamente, con solo estas tres leyes tenemos suficiente para obtener todas las reglas

que se esperan de una función de probabilidad:

1A 2A 3A

4A5A

A

....21A.....21A APAPPjAiAyAA

EL TERCER AXIOMA DE LA PROBABILIDAD INDICA QUE:

1A 2A 3A

4A5A

A

....21A.....21A APAPPjAiAyAA

EL TERCER AXIOMA DE LA PROBABILIDAD INDICA QUE:

4. La probabilidad de la intersección de dos sucesos es menor o igual que la probabilidad de

cada uno de los sucesos por separado, es decir,

5. La probabilidad de la unión de sucesos es mayor que la de cada uno de los sucesos por

separado:

Más aún, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) ocurre que

6. La probabilidad del suceso contrario a A, es , lo cual se deduce de

las tres primeras propiedades

7. La probabilidad del conjunto vacío es cero, ya que:

Lo esbozado en los puntos anteriores indica ciertas propiedades que debe cumplir

una Función de Probabilidad , que de manera verbal podemos resumir como: la función de

7


probabilidad debe calcularse sobre subconjuntos de E; no es estrictamente necesario que

sean todos, pero sí es necesario que si se puede calcular sobre un conjunto, se pueda

hacer también sobre su complementario, y que si se puede calcular sobre dos conjuntos A y

B, también se puede calcular sobre su unión y su intersección. Cabe señalar, como lo

destaca la definición axiomática de la probabilidad de Kolgomorov, que bastan solo las

tres primeras propiedades para obtener las restantes como una simple consecuencia, tal

como se dedujeron algunas de las últimas propiedades anteriores.

El grafico que se presenta a continuación resume los tipos de probabilidad esbozados

y su estrategia para abordar su cálculo.

ESTRATEGIA DEL CALCULO DE PROBABILIDAD

OBJETIVASSUBJETIVAS

CON BASE A LA INFORMACIONDISPONIBLE

PROBABILIDAD CLASICA PROBABILIDAD EMPIRICA

CON BASE EN LOSRESULTADOS IGUALMENTE PROBABLES

PROBABILIDAD AXIOMATICA

CON BASE EN LASFRECUENCIAS

RELATIVAS

ESTRATEGIA DEL CALCULO DE PROBABILIDAD

OBJETIVASSUBJETIVAS

CON BASE A LA INFORMACIONDISPONIBLE

PROBABILIDAD CLASICA PROBABILIDAD EMPIRICA

CON BASE EN LOSRESULTADOS IGUALMENTE PROBABLES

PROBABILIDAD AXIOMATICA

CON BASE EN LASFRECUENCIAS

RELATIVAS

PROBABILIDAD CONDICIONADA E INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Sea un suceso aleatorio de probabilidad no nula, . Para cualquier otro

suceso , llamamos probabilidad condicionada de por , a la cantidad que

representamos mediante y que se calcula como:

Ejemplo

Se lanza un dado al aire:

8


a) ¿cuál es la probabilidad de que salga el número 4?

b) Si sabemos que el resultado ha sido un número par, y no disponemos de más

información ¿se ha modificado esta probabilidad?

Solución

El espacio muestral que corresponde a este experimento es:

a) Hemos de calcular la probabilidad del suceso . Si el dado no está

trucado, todos los números tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la definición de

probabilidad de Laplace,

Obsérvese que para calcular la probabilidad de A según la definición de Laplace,

hemos tenido que suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral

tienen la misma probabilidad de salir, es decir:

b) Por otro lado, si sabemos que ha salido un número par, de nuevo por la

definición de laplace tenemos

Esta misma probabilidad se podría haber calculado siguiendo la definición de la

probabilidad condicionada, ya que si

Entonces:

,

9


que por supuesto coincide con el mismo valor que calculamos usando la definición de

probabilidad de Laplace.

Tambien podríamos considerar la probabilidad inversa de ocurrencia de los eventos

anteriores:

Lo cual nos indica que obtener un número par al lanzar un dado, dado que salio un cuatro

es un suceso seguro, que denotaremos por:

Obsérvese que según la definición de probabilidad condicionada, la probabilidad de

la intersección de dos sucesos de probabilidad no nula se puede escribir como:

O sea, la probabilidad de la intersección de dos sucesos, es la probabilidad de uno

cualquiera de ellos, multiplicada por la probabilidad del segundo sabiendo que ha ocurrido el

primero.

Si entre dos sucesos no existe ninguna relación cabe esperar que la expresión “sabiendo

que” no aporte ninguna información. De este modo introducimos el concepto de

independencia de dos sucesos A y B como:

Esta relación puede ser escrita de modo equivalente cuando dos sucesos son de

probabilidad no nula como:

OPERACIONES CON PROBABILIDAD (reglas elementales del cálculo de probabilidades)

10


1.) REGLA DEL SUCESO CONTRARIO:

2.) PROBABILIDAD CONDICIONADA DEL SUCESO CONTRARIO:

3.) PROBABILIDAD DEL EVENTO SUMA

Dados dos eventos o sucesos , que no son excluyentes (no necesariamente

disjuntos), es decir que se pueden dar simultáneamente ambos a la vez, entonces la

probabilidad del evento suma

Si los sucesos A y B , son disjuntos es decir , se dice que los eventos son

mutuamente excluyentes siendo en consecuencia la probabilidad suma:

La forma de leer esta notación es:

probabilidad de la unión de los eventos

probabilidad de que ocurran los eventos

probabilidad de que ocurran los eventos , o probabilidad de la suma

de eventos. De ahora en adelante será esta última notación la que utilizaremos de aquí

en adelante.

4.) PROBABILIDAD DEL EVENTO PRODUCTO

Sean dos eventos o sucesos , no necesariamente disjuntos, entonces la

probabilidad de su intersección es:

Si los sucesos son independientes es decir , entonces:

Probabilidad de la intersección de los eventos

Probabilidad de que ocurran los eventos

Probabilidad de que ocurran los eventos , o probabilidad del

producto de los eventos. De ahora en adelante será esta última notación la que

utilizaremos de aquí en adelante.

Ejemplos.

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Para una determinada elección primaria de un candidato de determinado partido, se sabe

que el 50% de los militantes votarían por “A”, el 20 % lo harían por “B” y el 5% lo haría por

cualquiera de los dos, es decir por “A” y por “B”.

a.) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar militantes que voten por algún candidato?

b.) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar militantes que no voten por ninguno de los

dos?

Solución: a.) luego:

b.)

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Un accionista compra en la bolsa tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente su valor es de 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es 3/4 y la probabilidad de que la tercera aumente de 1/10. Determine la probabilidad de que:

a) Todas aumenten de valorb) Ninguna aumente de valorc) Una aumente su valord) Dos aumenten su valore) Por lo menos dos aumenten su valorf) Por lo menos una aumente su valor

a)

b)

12


c)

d)

e)

f)

2) Diez unidades de producción se seleccionan de una línea de producción. Tres de estas 10 son defectuosas. Si se deben sacar 5 de las 10, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosas?

Una forma de resolverlo es por probabilidades condicionadas:

Pero lo anterior puede darse de 10 formas distintas, a saber:

Luego:

13


Otra forma es usando combinatoria para encontrar el espacio de todos los resultados posibles (espacio muestral):Los casos en los cuales podemos obtener tres piezas buenas y dos defectuosas es:

Y el total de casos que podemos obtener es de : Por tanto la probabilidad pedida es:

3) El presidente debe seleccionar 5 miembros de una lista de doce diputados, de los cuales 7 lo apoyan y 5 le hacen oposición. Si el selecciona al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría del comité apoye al presidente?.

Hay tres formas de plantear el problema:La primera manera es buscando todas las formas posibles en que el presidente tenga mayoría, que es cuando tiene en el comité tres, cuatro o cinco (todos) que lo apoyan. En este caso buscamos todas las posibilidades en que se pueden combinar los 12 miembros tomados de 5 en 5, . Luego buscamos todas las posibilidades en que tiene mayoría:Con tres a favor casos

Con cuatro a favor casos

Con todos a favor casos. En total = 546 casos a favor, luego la probabilidad buscada

es:

Segunda forma: Es muy semejante a la primera solo que se calculan las probabilidades individuales para cada caso en mayoría y estas se suman:

Y la tercera forma es usando las probabilidades condicionadas:Identificamos un caso cuando tres están a favor (F) y dos en contra ( )

Pero tenemos que estudiar las diferentes formas en que este suceso se puede dar o permutar:

es de 10 maneras posibles, luego:

14


De la misma forma para el caso de que 4 lo apoyen y solo uno este en contra:

Habiendo solo 5 formas de hacer esto:, luego

Y por último el caso en que todos están con el presidente:, un solo caso en cuyo caso

Y sumando las tres probabilidades tenemos:

TABLAS DE CONTINGENCIA Y PROBABILIDAD

Una tabla de contingencia permite identificar las frecuencias asociadas con cada una de

las categorías de una variable (variable fila X), con cada una de las categorías de una

segunda variable (variable columna Y). Cada intersección de fila con columna nos da el

número de individuos que poseen simultáneamente el valor del atributo x en la variable fila

X, y el valor del atributo y en la columna Y.

EJEMPLOS:

1.) La siguiente tabla de contingencia, de los 500 empleados de una empresa, según

clasificación de los empleados por sexo:

TABLA DE FRECUENCIAS

Genero

Clasificación de los empleados

TOTAL

(A)dministrativ

o

(O)perativo (S)ervicios

(H)ombres 120 150 30 300

(M)ujeres 50 140 10 200

TOTAL 170 290 40 500

15


Los valores en los márgenes derecho e inferior se denominan frecuencias marginales.

Por ejemplo la frecuencia marginal de 300 hombres, está conformada por 120 de

Personal, 150 de Línea y 30 Auxiliares. Asociada a esta tabla podemos construir una

tabla de probabilidad asociada como la siguiente:

TABLA DE PROBABILIDADES

Genero

Clasificación de los empleados

TOTAL(A)dministrativo (O)perativo (S)ervicios

(H)ombres 0,24 0,30 0,06 0,60

(M)ujeres 0,10 0,28 0,02 0,40

TOTAL 0,34 0,58 0,08 1,00

Los valores a los márgenes de la tabla se denominan probabilidades marginales. Cada

celda del cuerpo de la tabla representa la probabilidad de intersección de los dos eventos

o categorías asignadas a cada una de las variables, por ejemplo la probabilidad de

seleccionar al azar un miembro del personal sea Hombre y Administrativo es

. Una probabilidad marginal puede hallarse como la suma de las

probabilidades conjuntas correspondientes, por ejemplo:

Consideremos ahora el cálculo de las siguientes probabilidades:

a) Que el personal sea Administrativo u Operativo

b) Que el personal sea Administrativo u Hombre

c) Dado que el personal es Mujer cual es la probabilidad de que pertenezca al

personal administrativo

d) Dado que el personal es Administrativo, cual es la probabilidad de que sea

Mujer

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2.) Con relación a la opinión de aprobar una reforma a la constitución de un país se

entrevistan 100 personas entre jóvenes (17-35 años de edad) y adultos (mayores de 35

años), en cada una de cuatro zonas diferentes de una barriada, obteniéndose los

siguientes resultados:

ZONA A ZONA B ZONA C ZONA D

EDAD (S)I (N)O TOTAL EDAD (S)I (N)O TOTAL EDAD (S)I (N)O TOTAL EDAD (S)I (N)O TOTAL

JOV. (J) 40 30 70 JOV. (J) 60 10 70 JOV. (J) 30 40 70 JOV. (J) 42 28 70

ADUL. (A) 20 10 30 ADUL. (A) 0 30 30 ADUL. (A) 30 0 30 ADUL. (A) 18 12 30

TOTAL 60 40 100 TOTAL 60 40 100 TOTAL 60 40 100 TOTAL 60 40 100

Vamos a suponer que escogemos al azar una persona de la Zona A, y descubrimos que es

joven. ¿Cuál es la probabilidad de que se decida por el Sí? Esto puede escribirse en

términos de probabilidades como: . También si usamos la formula de

probabilidad condicional obtendríamos: ,

el mismo resultado. Consideremos ahora la tabla correspondiente a la Zona B , aquí todos

los que están de acuerdo con la opción Sí, son jóvenes, Así hay una relación obvia (no

necesariamente causal). También existe una relación entre estas variables en la opción de

la Zona C, en este caso todos los que son jóvenes dijeron No. Sin embargo cuando

apreciamos la Zona D, aquí el panorama es muy diferente. Aquí no existe una relación

aparente. Por ejemplo el 60% de todas las personas se han decidido por el Sí y también el

60% de los que son jóvenes se han decidido por el Sí. De igual forma el 70% de

todas las personas son jóvenes, y exactamente el 70% de las personas que se

manifestaron por el No, son jóvenes. De igual forma también se comportan la comparación

entre el 30% que conforman las personas adultas y el 40% de las personas que se

manifestaron por el No. De esta manera se aprecia que no hay ninguna indicación de que

las características de opinar Sí y ser jóvenes tengan alguna relación entre si.

Evidentemente, la última tabla considerada fue tomada de esta manera para que exhiba

esta propiedad. ¿Cómo buscaríamos estos resultados, sin alterar las marginales?

17


Simplemente aplicando la ecuación de independencia de

dos eventos: . Las

demás celdas se calculan de manera semejante. En este

caso decimos que existe independencia entre los factores de opinión y loa rangos de

edades de las personas. Otra forma sencilla de verificar que en una tabla bidimensional

existe independencia entre los factores que la definen es ver si las filas (columnas) son

combinaciones lineales de las otras filas (columnas), es decir si se pueden obtener las filas

(columnas) mediante la multiplicación de algún factor fijo por otra fila (columnas). En este

caso si multiplicamos cada elemento de la fila 2 por el factor , obtenemos el elemento

correspondiente de la fila 1, de manera semejante si multiplicamos la columna 2 por el factor

obtenemos la primera columna.

En la mayor parte de las aplicaciones y/o ejercicios supondremos la independencia de los

sucesos y , y luego usaremos esta hipótesis para calcular , mediante

. Generalmente, las condiciones físicas bajo las cuales se realiza el experimento

harán posible determinar, si tal suposición es justificada o al menos aproximadamente

justificada.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) En una encuesta de expertos se entrevistaron 500 economistas de la

Academia, la Industria privada y el Gobierno y una de las preguntas era “si la economía

del país podría: ser Estable, Expandirse o podría entrar en un período de Contracción en

el futuro próximo (doce meses)”. Sin embargo, parte de la información se perdió debido a

fallas de tabulación, resultando la siguiente tabla de contingencia parcial:

Economistas

Curso de la economía

TOTALE(S)table (E)xpansión ( C)ontracción

(A)cademia 125 100

(I)ndustria Privada 35 110

(G)obierno 25 40 65

TOTAL 200

Cree una tabla de probabilidad y encuentre las siguientes probabilidades:

ZONA D

EDAD (S)I (N)O TOTAL

JOV. (J) 42 70

ADUL. (A) 30

TOTAL 60 40 100

18


a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

2.) En un estudio sobre los niveles de pobreza de un poblado, se tomo una muestra de 120

hogares, obteniéndose la siguiente clasificación de pobreza de acuerdo al nivel educativo

de la población, esbozada en la siguiente tabla, la cual no aparece completa debido a

fallas en la tabulación de los datos:

NIVEL

EDUCATIVO

POBRE

(E)XTREMO (P)OBRE (N)O POBRE TOTAL

(B)ASICA 10 20 40

(S)ECUNDARIA 20

(U)NIVERSITARIA 10 20

TOTAL 20 60

Se pide:

a) b) c) d)

Solución: a) 0,332 b) 0,083 c) 0,083 d) 0,167

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Para calcular probabilidades cuando el suceso seguro está descompuesto en una

serie de sucesos incompatibles de los que conocemos sus probabilidades (ver figura),

necesitamos introducir la siguiente definición.

19


PARTICIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL E

1A 2A 3A

4A5A

E

B

PARTICIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL E

1A 2A 3A

4A5A

E

B

1A 2A 3A

4A5A

E

B

Definición. Se dice que una colección de sucesos o eventos, es

un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos si se verifican las siguientes relaciones:

a.)

b.) , es decir son disjuntos dos a dos.

Teorema de la probabilidad total o de la partición

Sea , un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces

Demostración:

Ejemplo:

Para integrar una comisión se quieren seleccionar candidatos de dos toldas políticas “A” y

“B”, de dos diferentes comités seccionales: y , utilizando un mecanismo aleatorio, vale

decir usando un dado, se lanza este y si sale alguna cara 3,4,5 o 6 , se escoge un candidato

para la comisión de la seccional 1, que está integrada por 2 militantes del partido “A” y 3

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militantes del partido “B”; de lo contrario se escogerá un candidato de la seccional 2, que

está integrada a su vez por 6 militantes del partido “A” y 2 Militantes del partido “B”.

a.) ¿Cuál es la probabilidad de que el elegido sea del partido “A”?

b.) ¿Cuál es la probabilidad de que sea del partido “B”?

SOLUCIÓN:

En estos casos siempre es conveniente introducir un diagrama de árbol que nos representa

la composición y las respectivas probabilidades de selección como se aprecia en el gráfico:

6/22,12 PSP

6/46,5,4,31 PSP

5/2/ 1 SAP

5/3/ 1 SBP

8/6/ 2 SAP

8/2/ 2 SBP

27,030

8

5

2

6

4/* 111 SAPSPASP

4,030

12

5

3

6

4/* 111 SBPSPBSP

08,048

4

8

2

6

2/* 222 SBPSPBSP

25,048

12

8

6

6

2/* 222 SAPSPASP

SELECCIÓN DEL COMITÉMEDIANTE EL DADO

SELECCION

POR PARTIDO

DIAGRAMA DE ÁRBOL

PROBABILIDAD PRODUCTO

6/22,12 PSP

6/46,5,4,31 PSP

5/2/ 1 SAP

5/3/ 1 SBP

8/6/ 2 SAP

8/2/ 2 SBP

27,030

8

5

2

6

4/* 111 SAPSPASP

4,030

12

5

3

6

4/* 111 SBPSPBSP

08,048

4

8

2

6

2/* 222 SBPSPBSP

25,048

12

8

6

6

2/* 222 SAPSPASP

SELECCIÓN DEL COMITÉMEDIANTE EL DADO

SELECCION

POR PARTIDO

DIAGRAMA DE ÁRBOL

PROBABILIDAD PRODUCTO

Dado que y ; forman un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos o partición,

entonces:

a.) la probabilidad de que el elegido sea del partido “A” es:

b.) la probabilidad de que el elegido sea del partido “B” es:

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Es interesante apreciar que el mecanismo de la selección del dado hace más representativa

la participación de los partidos en la comisión, favoreciendo en este caso al partido con

menor número de militantes en las seccionales.

Teorema de Bayes o de la probabilidad inversa 3

Si es un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos (partición de

E) y un suceso del que conocemos todas las cantidades a las

que denominamos verosimilitudes, entonces se verifica:

Demostración: es una consecuencia de la definición de probabilidad condicionada en

términos de la intersección, y del teorema de la probabilidad total:

Ejemplo

Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por tres proveedores:

el 45% de las piezas son compradas al primer proveedor resultando defectuoso el 1%. El

segundo proveedor suministra el 30% de las piezas, y de ellas es defectuoso el 2%. Las

restantes piezas provienen del tercer proveedor, siendo defectuoso el 3% de las mismas.

En un control de recepción de artículos se selecciona una pieza al azar y es

defectuosa. Calcular la probabilidad de que la haya suministrado el segundo proveedor.

Solución: observemos que cada una de las piezas procede de uno y solo uno de los

proveedores (sistema exhaustivo y excluyente de sucesos). Vamos a llamar A1, A2 y A3 al

suceso de que la pieza seleccionada provenga del primer, segundo o tercer proveedor

respectivamente.

3 Enunciado por el reverendo Thomas Bayes (1702-1761), fundamenta la estadística bayesiana y sienta los

principios de la teoría de la decisión en base a la concepción subjetivista de la probabilidad.

22


Sea B el suceso de que la pieza sea defectuosa. La información que poseemos se

resume en:

Probabilidad de procedencia1 Probabilidad de ser defectuosa2

1 Probabilidad a priori de que la pieza proceda de A32 Probabilidad de que la pieza suministrada por Aj sea defectuosa

Hemos de calcular (probabilidad a posteriori de que la pieza suministrarse el segundo proveedor, sabiendo que es defectuosa). Para ello usamos el Teorema de Bayes:

El teorema de Bayes nos permite calcular probabilidades a posteriori a partir de

otras probabilidades que son más fáciles de obtener (verosimilitudes y probabilidades a

priori ).

El problema anterior también lo hubiésemos podido resolver de manera más sencilla

elaborando el Diagrama de Árbol respectivo como sigue:

23


DIAGRAMA DE ÁRBOL

45,01 AP

25,03 AP

3,02 AP

01,0DP

99,0DP

02,0DP

03,0DP

98,0DP

97,0DP

0,004501,0.45,0/.* 111 ADPAPDAP

0,445599,0.45,0/.* 111 ADPAPDAP

0,006002,0.3,0/.* 222 ADPAPDAP

0,007503,0.25,0/.* 333 ADPAPDAP

0,294098,0.3,0/.* 222 ADPAPDAP

0,242597,0.25,0/.* 333 ADPAPDAP

DEFECTUOSO / NO DEFECTUOSO PROBABILIDADES PRODUCTOPROVEEDOR

DIAGRAMA DE ÁRBOL

45,01 AP

25,03 AP

3,02 AP

01,0DP

99,0DP

02,0DP

03,0DP

98,0DP

97,0DP

0,004501,0.45,0/.* 111 ADPAPDAP

0,445599,0.45,0/.* 111 ADPAPDAP

0,006002,0.3,0/.* 222 ADPAPDAP

0,007503,0.25,0/.* 333 ADPAPDAP

0,294098,0.3,0/.* 222 ADPAPDAP

0,242597,0.25,0/.* 333 ADPAPDAP

DEFECTUOSO / NO DEFECTUOSO PROBABILIDADES PRODUCTOPROVEEDOR

Transcribiendo la probabilidad pedida obtenemos el mismo resultado:

EJEMPLOS GENERALES DEL CAPITULO:

1) Una caja contiene 4 componentes electrónicos malos y 6 buenos. Se sacan dos a la

vez. Se prueba uno de ellos y se encuentra que se bueno. ¿Cuál es la probabilidad de

encontrar el otro también sea bueno?.

24


Solución:

2) Supóngase que y son dos sucesos independientes asociados con un

experimento. Si la probabilidad de que o ocurra es igual a 0.6 , mientras que la

probabilidad de que ocurra es de 0.4 , determinar la probabilidad de que ocurra.

Solución:

3) Veinte artículos, 12 de los cuales son defectuosos y 8 no defectuosos, se

inspeccionan uno después del otro. Si esos artículos se escogen al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que:

a) los dos primeros artículos inspeccionados sean defectuosos?

b) los dos primeros artículos inspeccionados sean no defectuosos?

c) entre los dos primeros artículos inspeccionados haya uno defectuoso y uno no

defectuoso?.

Solución:

4) Supongamos que tenemos dos urnas de un centro de votación cada una con dos

votos. La urna una tiene un voto “SI” y un voto “NO”, mientras que la urna 2 tiene dos

votos “SI”. Se escoge una urna al azar y de esta se extrae un voto también al azar. El

voto seleccionado resultó un “SI” ¿Cuál es la probabilidad de que el voto provenga de la

urna 2?.

Solución:

5) Un conjunto electrónico consta de dos subsistemas, digamos y , a partir de una

serie de pruebas previas, se presuponen las siguientes probabilidades: ,

, . Calcular las probabilidades siguientes.

a)

b)

Solución:

6) En una ciudad se publican los periódicos A, B y C. Una encuesta de lectores indica

lo siguiente: 20% lee A, 16 % lee B, 14% lee C, 8% lee A y B , 5% lee A y C, y

2% lee A, B y C . Para un lector de la muestra escogido al azar, calcular la probabilidad

de que

25


a) no lea ninguno de los periódicos

b) lea exactamente uno de los periódicos

c) lea al menos A y B, si se sabe que lee al menos uno de los periódicos

publicados.

d) Cuales serían los resultados de los puntos anteriores si además de los datos

aportados se sabe que el 12% lee simultáneamente 2 periódicos.

Solución:

7) La siguiente tabla recoge las predicciones referentes a las ganancias por acción

de 1000 títulos distintos realizadas por un analista financiero junto con los resultados

ocurridos clasificados en tres categorías:

RESULTADO

PREDICCION

CRECIMIENTO APROX. IGUAL DECRECIMIENTO

CRECIMIENTO 210 82 66

APROX. IGUAL 106 153 75

DECRECIMIENTO 75 84 149

a) Calcular la probabilidad de que si la predicción prevé un decrecimiento de las

ganancias se dé este resultado.

b) Calcular la predicción de que si la predicción realizada prevé un crecimiento de las

ganancia se materialice este resultado.

Solución:

8) La gerencia de mercados se especializa en la elaboración de informes sobre las

mejores localizaciones para nuevas tiendas de alimentos en áreas comerciales. Dicha

gerencia clasifica las posibles localizaciones en Buenas, Aceptables y Malas. De todos

los informes realizados para tiendas que prosperaron, la evaluación fue Buena para el

70%, Aceptable para el 30% y Mala para el 50%. También se sabe que el 60% de las

nuevas tiendas Prosperan y que el 40% fracasan.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una tienda elegida al azar que prospere haya sido

calificada como buena?

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b) Si las perspectivas de una tienda son clasificadas como buenas, ¿cuál es la

probabilidad de que prospere?

c) ¿Son los sucesos “perspectivas buenas” y “la tienda prospera” independientes

estadísticamente?

d) Si se eligen 5 tiendas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de

ellas prospere?

Solución:

EJEMPLOS:

La teoría de la probabilidad y algunos ejemplos tradicionales generales

27


En la mayoría de los textos, siempre vamos a conseguir ejemplos con monedas, dados y

cartas, esto en primer lugar es explicado por el origen de los estudios de la probabilidad que

tuvo sus inicios en el establecimiento de métodos para lograr ganar en dichos juegos de

envite y azar, y en segundo lugar, por lo fácil que estos ejemplos la comprensión de los

principios de probabilidad y sus leyes.

A continuación consideraremos algunos experimentos aleatorios de esta naturaleza, su

espacio muestral asociado, algunos eventos de estos espacios y sus respectivas

probabilidades.

EXPERIMENTO ALEATORIO

TIPO DE MUESTREO ESPACIO MUESTRAL

# ELEMENTOSDEL ESPACIO

MUESTRAL

ALGUNOS EVENTOS

PROB. DE LOS EVENTOSREPOSICION

LANZAR UNA MONEDA

NA 2

LANZAR DOS MONEDAS

NA 4

LANZAR UN DADO NA 6

LANZAR DOS DADOS

NA 36

SELECCIONAR DE UNA BARAJA: UNA CARTA

ESPAÑOLA NA 40

POKER NA 52

DOS CARTAS

ESPAÑOLA CON 40x40 =1600

SIN40x39 =1560

1600-40=1560

POKER CON 52x52=2704

SIN52x51=2652

2704-52=2652

DADAS 2 BOLAS (R)OJAS, 4 BOLAS (B)LANCAS Y 6 (N)EGRAS SACAR:

UNA BOLA NA 12

Sacar:

DOS BOLAS CON 12x12=144A: bolas de un solo color

SIN 12x11=132144-12=132

B: Bolas de diferente color

TRES BOLAS CON(12)3=1728

A: Bolas de dos colores

SIN 12x11x10=1320

B: bolas de dos Colores C: Bolas de tres colores

BIBLIOGRAFÍA

Meyer Paul. Probabilidad y aplicaciones estadísticas. Fondo Educativo Interamericano S.A.

Caracas.1970.

28


Wester Allen L. Estadística aplicada a los negocios y a la economía. Tercera edición.

Mcgraw-Hill, Irvin McGraw-Hill. Colombia 2001.

Lind, Douglas A., Marchal, William G., Wathen, Samuel A. Estadística aplicada a los

negocios y a la economía. Doceava edición. McGraw-Hill. Mexico. 2005.

Montiel, A.M., Rius, F., Barón, F.J. Estadística económica y empresarial. Prentice Hall.

España 1997.

Newbold, Paul. Estadística para los negocios y la economía. Cuarta Edción. Pearson.

Prentice Hall. España. Madrid. 2005

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