07.Nociones de Probabilidad

5/16/2018 07.Nociones de Probabilidad - slidepdf.com

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NOCIONES DEPROBABILIDAD

Tema

7



OBJETIVOS

1. Aplicar los conceptos de experimento, espaciomuestral y evento.

2. Discutir los principios para asignarprobabilidad.

3. Utilizar las reglas de probabilidad para planteary resolver un problema real.

Al finalizar el Tema 7, el participante será capaz de:



CONTENIDO

1. Importancia de las probabilidades

2. Conceptos básicos

3. Probabilidad

4. Reglas de Probabilidad

3.1 Regla de la Adición

3.2 Regla de la Multiplicación3.3 Teorema de Bayes



7.1 Importancia de las Probabilidades

Las probabilidades están presentes en nuestrasvidas más a menudo de que podríamossospechar. Todos tenemos una gran intuiciónprobabilística.

Por ejemplo, en días lluviosos, fríos y con muchahumedad es alta la probabilidad de coger un

resfrío. Si ingerimos alimentos en lugares pocohigiénicos, en ambulantes es muy probable quecontraigamos una infección estomacal.



¿Cómo es la probabilidad de ganar elpremio mayor en Tinka?. Muy baja, pues hay

muchas alternativas en juego. Pero aún sabiendoesto, compramos uno que otro número. La decisión

creo yo que es racional.

Si escuchamos una predicción de 80% quelluvia, y Ud. tiene planeado un paseo al

campo con la familia. ¿Qué hace?. Lo masracional es que cancele su paseo y se quede en sucasa viendo en video.



7.2 CONCEPTOS BÁSICOS

(A) Experimento: Ejecución voluntaria de unfenómeno.

Se caracteriza por:

a) Tener varios resultados posiblesb) Existir incertidumbre sobre el resultado

Ejemplos:

Lanzar una moneda

Seleccionar de un lote un frasco demedicamentos

Extraer una muestra de sangre a unapersona



(B) Espacio Muestral: conjunto de todos los resultadosposibles de un experimento. Se simboliza por

(omega).

Ejemplos:

Lanzar una moneda

= {cara, sello}

Seleccionar de un lote, un frasco demedicamentos.

={adecuado, inadecuado}Extraer una muestra de sangre a unapersona.

= {grupo sanguíneo}



Ejemplo:Se lanzan tres monedas simultáneamente. Losochos resultados posibles de este experimento

pueden detallarse de manera conveniente medianteun diagrama de árbol:

Primera Segunda TerceraResultado

Moneda Moneda Moneda Posible

={CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}

CCC

CCS

CSC

CSS

SCCSCS

SSC

SSS

CS

C

S

CS

C

S

C

S

C

S

C

S



(C) Suceso: subconjunto del espacio muestral,seleccionado de acuerdo a una condición. Se

representan por letras latinas mayúsculas.Ejemplo:

Se lanzan dos dados. El espacio muestral deeste experimento es:

= { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }



Podemos considerar los siguientes sucesos:

A: la suma de puntajes es 7, es decir

A={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)}

B: la suma de puntajes es 11, es decir

B={(5,6) (6,5)}

C: la suma de puntajes es 7 u 11, es decirC={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5)}



7.3 PROBABILIDAD

(A) Concepto: Ponderación asignada a cada puntomuestral que mide la verosimilitud de suocurrencia.

(B) Principios para asignar probabilidad:

a) La probabilidad de cada punto muestral debeestar entre 0 y 1

b) La suma de las probabilidades de todos lospuntos muestrales deben ser iguales a 1.

0 0,5 1Tan probable

como improbableImprobable Probable



1. Se lanza una moneda

={cara, sello}P(cara) = 0,5 P(sello) = 0,5

Ejemplos :



2. Se lanzan 3 monedas

= {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC,SSS}

1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8A: obtener exactamente 2 caras

A = {CCS, CSC, SCC}

1/8 + 1/8 + 1/8P(A) = 3/8



(C) Conclusiones:

De acuerdo a la definición de probabilidad deun suceso, y a los dos principios, tenemos lassiguientes conclusiones:

(1º) P() = 1

(2º) P( ) = 0

(3º) P(A´) = 1 - P(A)



1. Un investigador trabaja con un nuevo fármaco parainsensibilizar a los pacientes frente a picaduras deabejas. De 200 sujetos sometidos a prueba, 180presentaron una disminución en la gravedad de lossíntomas tras sufrir una picadura, después de ser

sometidos al tratamiento.

2. Un paciente sufre de cálculos renales, y no se haconseguido mejora alguna a partir de métodosordinarios. Su medico ésta planteándose el llevar acabo una intervención quirúrgica y debe responder a lasiguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que laoperación sea un éxito?.

PROBABILIDADES - EJEMPLOS



PROBABILIDAD DEL PUNTO ESTADISTICO

... Quien emplea la estadística aplicada prefierepensar en la probabilidad como el numero deveces en las que se presentará determinada

situación si una experiencia fuera repetidaindefinidamente en situaciones de naturalezarepetitiva o que pudiera concebirse de esamanera ...



7.4 REGLAS DE PROBABILIDAD

7.4.1 Regla de la Adición

(A B) U

BA

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A B) U



Un cliente ingresa a una farmacia. La probabilidad deque compre (a) un antibiótico es 0,60 (b) analgésico0,50, y c) antibiótico y analgésico es 0,30 ¿Cuál es laprobabilidad de que compre un antibiótico, analgésico

o ambos?.Datos

P(P) = 0,60

P(L) = 0,50

P = 0,30(P L) U

P(PUL) = P(P) + P(L) -P(PUL) = 0,60 + 0,50 - 0,30P(PUL) = 0,80

(P L) U

Ejemplo :



Dos sucesos son mutuamente excluyentes, si notienen elementos comunes

A B

Si :Por lo tanto :

(A B) = U

P(A B) = 0 U

Regla de adición para sucesosmutuamente excluyentes

P(AUB) = P(A) + P(B)



Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es laprobabilidad de que sea un as o un rey?

P(AUR) = P(A) + P(R)

=4

52

=8

52

4

52

52

4 =P(R)

52

4 =P(A)

Ejemplo :



Ejemplo 1: Se dispone de 11 historias clínicas,pertenecientes a pacientes masculinos yfemeninos agrupados por su nivel dehemoglobina.

11

8=P(A)

7.4.2 Probabilidad Condicional

M F Estado (Masculino) (Blanca) Total

A (Anémico) 5 3 8

N (Normal) 1 2 3

Total 6 5 11

Sexo

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una historiaperteneciente a un paciente anémico?



b)¿Cuál es la probabilidad de extraer una historiacorrespondiente a un paciente anémico y que seamujer?

c) Dado que la historia corresponde a un paciente

anémico, ¿cuál es la probabilidad que seamujer?

11

3

=F)P(A

8

3=

AFP )(



Derivación de la fórmula:

11811

3=

AFP )(

8

3=

AFP )(

P(A)

B)P(F=

AFP )(

comprobando:



Ejemplo 2:

Se recolectó información sobre el peso del reciénnacido y si la madre fumó o no durante elembarazo. Los datos se presentan a continuación:

CONDICIÓN PESO R.N. TOTALDE FUMADORA BAJO NORMAL

SI 30 10 40

NO 20 140 160

TOTAL 50 150 200



A. ¿Cuál es la probabilidad que el recién nacido

tenga bajo peso?

B. ¿Cuál es la probabilidad que una gestante fume?

C. ¿Cuál es la probabilidad que el niño seleccionado

tenga un peso normal?

25,0200

50)bajo(P

20,0200

40)si(P

75,0200

150)normal(P



D. ¿Cuál es la probabilidad de que un reciénnacido tenga bajo peso o sea normal?

Como son mutuamente excluyentes:

E. ¿Cuál es la probabilidad de que el reciénnacido tenga bajo peso o la madre haya

fumado durante el embarazo?

)normal(P)bajo(P)lbajoónorma(P

1200150

20050

)bajoysi(P)si(P)bajo(P)bajoósi(P

30,0200

60

200

30

200

40

200

50



La probabilidad de que el personal administrativoque labora en una clínica local, llegue tarde eldía lunes es 0,50 y la probabilidad de que llegueretrasado los días lunes y martes es 0,20. Dado

que cierto trabajador llegó tarde el día lunes,¿cuál es la probabilidad de que llegue tarde eldía siguiente?.

0,50=)P(TL

0,20=)TP(T ML

)P(T

)TP(T

=T

T

PL

LM

L

M

)(

0,40=0,50

0,20 =

Aplicación:



A partir de

A)(P

B)A(P

AB

P )(

Se despeja

)( ABPA)(P)BA(P

7.4.3 Regla de la Multiplicación



Se sabe que en un lote de medicamentos de 50frascos, hay 4 que no están adecuadamenteempacados (defectuosos). Si se extraen al azar 2

frascos, uno a continuación del otro, ¿cuál es laprobabilidad de que ambos sean defectuosos?.

49

3

DD

P

50

4)D(P

)(1

2

1

2450

12

49

3

50

4 =

DDP)D(P)DD(P )( 1

2121

Aplicación:



En una población de pacientes hospitalizados, laprobabilidad de que uno de ellos, elegidoaleatoriamente tenga problemas cardiacos es 0,35.

La probabilidad de que un paciente con problemascardiacos sea un fumador es de 0,86. ¿Cuál es laprobabilidad de que el paciente elegido al azar deentre la población sea fumador y tenga problemascardiacos?.

Ejercicio



Los sucesos A y B se consideran independientescuando la ocurrencia de uno no influye sobre laprobabilidad de ocurrencia del otro; esto significa

que, independientemente de que A haya ocurrido ono, la probabilidad asignada a B es siempre la misma.

)B(AB

)(PP

Entonces,

)B(A)()BA( PPP

Regla de la multiplicación para

sucesos independientes.



¿Cuál es la probabilidad de que en una familia con

dos hijos, ambos sean varones?

5,0)V(

5,0)V(

2

1

P

P

25,0)VV(

(0,5)(0,5) )VV(

)V()V()VV(

21

21

2121

P

=P

PPP

Ejemplo:



Ejemplo 1:

La Compañía de Seguros JL ha desarrollado unnovedoso seguro médico familiar. De acuerdo

con una investigación hecha en el mercado, laprobabilidad de que el producto tenga éxito es0,80 si una compañía competidora no introduceun plan similar en el mercado, en tanto que la

probabilidad de éxito es 0,30 si la empresacompetidora lanza al mercado un seguro similar.Además, la compañía JL estima que hay unaprobabilidad de 0,40 de que la firma competidoracomercialice el roducto.

7.4.4 El teorema de Bayes

Consiste en una partición de la probabilidad total.



Solución:

P(C) = probabilidad de que la compañíacompetidora comercialice el producto,

P(C´) = probabilidad de que la compañía

competidora no comercialice elproducto,P(E) = probabilidad de que el plan de seguro

familiar de la compañía JL tenga éxito.

Dado que el producto de la Compañía JL tuvo éxito,

¿cuál es la probabilidad de que la firma competidorahaya comercializado su novedoso plan de seguro?



P(E/C) = 0,30

P(E/C´) = 0,80

0,12=0,300,40=E)C(P

0,48=0,800,60=E)C(P'

P. Marginal

0,60=E)(P

P. Total

P. Condicional P. Conjunta



Luego, de acuerdo con el Teorema de Bayes

20.060.0

12.0

48.012.0

12.0

E)C(+E)C(

E)C(=

EC

')(

PP

PP

La probabilidad que la compañía de seguros hayaparticipado en el mercado, dado que JL tuvo éxitoes de 0,20.



El Director de la Clínica Santa Teresa está considerandocomprar un lote de 10000 equipos de venoclisis de unproveedor nacional. El fabricante de estos equipos estima laproporción de equipos defectuosas en el lote, en la siguienteforma.

Proporción depiezas defectuosas ()

1 = 0,102 = 0,15

3 = 0,25

ProbabilidadP()

P(1) = 0,20P(2) = 0,30

P(3) = 0,50

Ejemplo 2:



Esto significa que el proveedor no está seguroacerca de la proporción de equipos defectuososen el lote, sin embargo, basándose enexperiencias anteriores, cree que hay una

probabilidad de 0,20 de que el lote tenga 10% depiezas defectuosas, una probabilidad de 0,30 deque tenga 15%. Y finalmente, de 0,50 de quetenga 25% de piezas defectuosas. Supongamos

que elige un equipo de venoclisis al azar en ellote:



A) ¿Cuál es la probabilidad de qué esta seadefectuosa?

B) Dado que el equipo resulta defectuoso, ¿cuáles la probabilidad de que el lote tenga 25% depiezas defectuosas?



P. Marginal P. Condicional P. Conjunta

0,1900=D)(P

0,0200=0,100,20=D)(P 1

P(D/3)= 0,25

P(D/2)= 0,15

P(D/1)= 0,10

P(2) = 0,300,045=0,150,30=D)(P

2

0,1250=0,250,50=D)(P3

3=0,25

2=0,15

1=0,10



Hay tres maneras posibles de obtener un equipodefectuosa del lote. Por lo tanto, la probabilidadde obtener una pieza defectuosa, cualquiera que

se la tasa porcentual de defectuosos 10, 15 ó 25es:

)(P)(P)(P)( 321 D D D DP

19,0

1250,00450,00200,0

Respuesta A:



Respuesta B:

De acuerdo con el Teorema de Bayes, laprobabilidad de que el lote contenga 25% depiezas defectuosas, dado que la pieza elegida es

defectuosa, es:

6579.0

1900.0

1250.0

)(P

)(P) / (P 3

3

D

D D



EJERCICIO:

Un médico ha decidido recetar dos nuevos medicamentos a

200 pacientes enfermos del corazón de la manera siguiente:50 pacientes tomarán el medicamento A,otros 50 tomarán elmedicamento B y los otros 100 restantes tomarán ambosmedicamentos

El medicamento A reduce la probabilidad de un infarto en 0,35 ,el medicamento B reduce la probabilidad de un infarto en 0,20y los dos medicamentos, cuando se les toma juntos, actúan demanera independiente.

Los 200 pacientes fueron escogidos entre los que tenían 0,80de probabilidad de sufrir un infarto. Si un paciente elegido alazar sufre un infarto, ¿cuál es la probabilidad de que hayatomado ambos medicamentos?

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