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NOCIONES DEPROBABILIDAD
Tema
7
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OBJETIVOS
1. Aplicar los conceptos de experimento, espaciomuestral y evento.
2. Discutir los principios para asignarprobabilidad.
3. Utilizar las reglas de probabilidad para planteary resolver un problema real.
Al finalizar el Tema 7, el participante será capaz de:
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CONTENIDO
1. Importancia de las probabilidades
2. Conceptos básicos
3. Probabilidad
4. Reglas de Probabilidad
3.1 Regla de la Adición
3.2 Regla de la Multiplicación3.3 Teorema de Bayes
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7.1 Importancia de las Probabilidades
Las probabilidades están presentes en nuestrasvidas más a menudo de que podríamossospechar. Todos tenemos una gran intuiciónprobabilística.
Por ejemplo, en días lluviosos, fríos y con muchahumedad es alta la probabilidad de coger un
resfrío. Si ingerimos alimentos en lugares pocohigiénicos, en ambulantes es muy probable quecontraigamos una infección estomacal.
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¿Cómo es la probabilidad de ganar elpremio mayor en Tinka?. Muy baja, pues hay
muchas alternativas en juego. Pero aún sabiendoesto, compramos uno que otro número. La decisión
creo yo que es racional.
Si escuchamos una predicción de 80% quelluvia, y Ud. tiene planeado un paseo al
campo con la familia. ¿Qué hace?. Lo masracional es que cancele su paseo y se quede en sucasa viendo en video.
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7.2 CONCEPTOS BÁSICOS
(A) Experimento: Ejecución voluntaria de unfenómeno.
Se caracteriza por:
a) Tener varios resultados posiblesb) Existir incertidumbre sobre el resultado
Ejemplos:
Lanzar una moneda
Seleccionar de un lote un frasco demedicamentos
Extraer una muestra de sangre a unapersona
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(B) Espacio Muestral: conjunto de todos los resultadosposibles de un experimento. Se simboliza por
(omega).
Ejemplos:
Lanzar una moneda
= {cara, sello}
Seleccionar de un lote, un frasco demedicamentos.
={adecuado, inadecuado}Extraer una muestra de sangre a unapersona.
= {grupo sanguíneo}
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Ejemplo:Se lanzan tres monedas simultáneamente. Losochos resultados posibles de este experimento
pueden detallarse de manera conveniente medianteun diagrama de árbol:
Primera Segunda TerceraResultado
Moneda Moneda Moneda Posible
={CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}
CCC
CCS
CSC
CSS
SCCSCS
SSC
SSS
CS
C
S
CS
C
S
C
S
C
S
C
S
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(C) Suceso: subconjunto del espacio muestral,seleccionado de acuerdo a una condición. Se
representan por letras latinas mayúsculas.Ejemplo:
Se lanzan dos dados. El espacio muestral deeste experimento es:
= { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }
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Podemos considerar los siguientes sucesos:
A: la suma de puntajes es 7, es decir
A={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)}
B: la suma de puntajes es 11, es decir
B={(5,6) (6,5)}
C: la suma de puntajes es 7 u 11, es decirC={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5)}
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7.3 PROBABILIDAD
(A) Concepto: Ponderación asignada a cada puntomuestral que mide la verosimilitud de suocurrencia.
(B) Principios para asignar probabilidad:
a) La probabilidad de cada punto muestral debeestar entre 0 y 1
b) La suma de las probabilidades de todos lospuntos muestrales deben ser iguales a 1.
0 0,5 1Tan probable
como improbableImprobable Probable
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1. Se lanza una moneda
={cara, sello}P(cara) = 0,5 P(sello) = 0,5
Ejemplos :
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2. Se lanzan 3 monedas
= {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC,SSS}
1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8A: obtener exactamente 2 caras
A = {CCS, CSC, SCC}
1/8 + 1/8 + 1/8P(A) = 3/8
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(C) Conclusiones:
De acuerdo a la definición de probabilidad deun suceso, y a los dos principios, tenemos lassiguientes conclusiones:
(1º) P() = 1
(2º) P( ) = 0
(3º) P(A´) = 1 - P(A)
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1. Un investigador trabaja con un nuevo fármaco parainsensibilizar a los pacientes frente a picaduras deabejas. De 200 sujetos sometidos a prueba, 180presentaron una disminución en la gravedad de lossíntomas tras sufrir una picadura, después de ser
sometidos al tratamiento.
2. Un paciente sufre de cálculos renales, y no se haconseguido mejora alguna a partir de métodosordinarios. Su medico ésta planteándose el llevar acabo una intervención quirúrgica y debe responder a lasiguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que laoperación sea un éxito?.
PROBABILIDADES - EJEMPLOS
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PROBABILIDAD DEL PUNTO ESTADISTICO
... Quien emplea la estadística aplicada prefierepensar en la probabilidad como el numero deveces en las que se presentará determinada
situación si una experiencia fuera repetidaindefinidamente en situaciones de naturalezarepetitiva o que pudiera concebirse de esamanera ...
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7.4 REGLAS DE PROBABILIDAD
7.4.1 Regla de la Adición
(A B) U
BA
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A B) U
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Un cliente ingresa a una farmacia. La probabilidad deque compre (a) un antibiótico es 0,60 (b) analgésico0,50, y c) antibiótico y analgésico es 0,30 ¿Cuál es laprobabilidad de que compre un antibiótico, analgésico
o ambos?.Datos
P(P) = 0,60
P(L) = 0,50
P = 0,30(P L) U
P(PUL) = P(P) + P(L) -P(PUL) = 0,60 + 0,50 - 0,30P(PUL) = 0,80
(P L) U
Ejemplo :
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Dos sucesos son mutuamente excluyentes, si notienen elementos comunes
A B
Si :Por lo tanto :
(A B) = U
P(A B) = 0 U
Regla de adición para sucesosmutuamente excluyentes
P(AUB) = P(A) + P(B)
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Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es laprobabilidad de que sea un as o un rey?
P(AUR) = P(A) + P(R)
=4
52
=8
52
4
52
52
4 =P(R)
52
4 =P(A)
Ejemplo :
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Ejemplo 1: Se dispone de 11 historias clínicas,pertenecientes a pacientes masculinos yfemeninos agrupados por su nivel dehemoglobina.
11
8=P(A)
7.4.2 Probabilidad Condicional
M F Estado (Masculino) (Blanca) Total
A (Anémico) 5 3 8
N (Normal) 1 2 3
Total 6 5 11
Sexo
a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una historiaperteneciente a un paciente anémico?
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b)¿Cuál es la probabilidad de extraer una historiacorrespondiente a un paciente anémico y que seamujer?
c) Dado que la historia corresponde a un paciente
anémico, ¿cuál es la probabilidad que seamujer?
11
3
=F)P(A
8
3=
AFP )(
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Derivación de la fórmula:
11811
3=
AFP )(
8
3=
AFP )(
P(A)
B)P(F=
AFP )(
comprobando:
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Ejemplo 2:
Se recolectó información sobre el peso del reciénnacido y si la madre fumó o no durante elembarazo. Los datos se presentan a continuación:
CONDICIÓN PESO R.N. TOTALDE FUMADORA BAJO NORMAL
SI 30 10 40
NO 20 140 160
TOTAL 50 150 200
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A. ¿Cuál es la probabilidad que el recién nacido
tenga bajo peso?
B. ¿Cuál es la probabilidad que una gestante fume?
C. ¿Cuál es la probabilidad que el niño seleccionado
tenga un peso normal?
25,0200
50)bajo(P
20,0200
40)si(P
75,0200
150)normal(P
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D. ¿Cuál es la probabilidad de que un reciénnacido tenga bajo peso o sea normal?
Como son mutuamente excluyentes:
E. ¿Cuál es la probabilidad de que el reciénnacido tenga bajo peso o la madre haya
fumado durante el embarazo?
)normal(P)bajo(P)lbajoónorma(P
1200150
20050
)bajoysi(P)si(P)bajo(P)bajoósi(P
30,0200
60
200
30
200
40
200
50
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La probabilidad de que el personal administrativoque labora en una clínica local, llegue tarde eldía lunes es 0,50 y la probabilidad de que llegueretrasado los días lunes y martes es 0,20. Dado
que cierto trabajador llegó tarde el día lunes,¿cuál es la probabilidad de que llegue tarde eldía siguiente?.
0,50=)P(TL
0,20=)TP(T ML
)P(T
)TP(T
=T
T
PL
LM
L
M
)(
0,40=0,50
0,20 =
Aplicación:
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A partir de
A)(P
B)A(P
AB
P )(
Se despeja
)( ABPA)(P)BA(P
7.4.3 Regla de la Multiplicación
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Se sabe que en un lote de medicamentos de 50frascos, hay 4 que no están adecuadamenteempacados (defectuosos). Si se extraen al azar 2
frascos, uno a continuación del otro, ¿cuál es laprobabilidad de que ambos sean defectuosos?.
49
3
DD
P
50
4)D(P
)(1
2
1
2450
12
49
3
50
4 =
DDP)D(P)DD(P )( 1
2121
Aplicación:
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En una población de pacientes hospitalizados, laprobabilidad de que uno de ellos, elegidoaleatoriamente tenga problemas cardiacos es 0,35.
La probabilidad de que un paciente con problemascardiacos sea un fumador es de 0,86. ¿Cuál es laprobabilidad de que el paciente elegido al azar deentre la población sea fumador y tenga problemascardiacos?.
Ejercicio
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Los sucesos A y B se consideran independientescuando la ocurrencia de uno no influye sobre laprobabilidad de ocurrencia del otro; esto significa
que, independientemente de que A haya ocurrido ono, la probabilidad asignada a B es siempre la misma.
)B(AB
)(PP
Entonces,
)B(A)()BA( PPP
Regla de la multiplicación para
sucesos independientes.
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¿Cuál es la probabilidad de que en una familia con
dos hijos, ambos sean varones?
5,0)V(
5,0)V(
2
1
P
P
25,0)VV(
(0,5)(0,5) )VV(
)V()V()VV(
21
21
2121
P
=P
PPP
Ejemplo:
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Ejemplo 1:
La Compañía de Seguros JL ha desarrollado unnovedoso seguro médico familiar. De acuerdo
con una investigación hecha en el mercado, laprobabilidad de que el producto tenga éxito es0,80 si una compañía competidora no introduceun plan similar en el mercado, en tanto que la
probabilidad de éxito es 0,30 si la empresacompetidora lanza al mercado un seguro similar.Además, la compañía JL estima que hay unaprobabilidad de 0,40 de que la firma competidoracomercialice el roducto.
7.4.4 El teorema de Bayes
Consiste en una partición de la probabilidad total.
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Solución:
P(C) = probabilidad de que la compañíacompetidora comercialice el producto,
P(C´) = probabilidad de que la compañía
competidora no comercialice elproducto,P(E) = probabilidad de que el plan de seguro
familiar de la compañía JL tenga éxito.
Dado que el producto de la Compañía JL tuvo éxito,
¿cuál es la probabilidad de que la firma competidorahaya comercializado su novedoso plan de seguro?
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P(E/C) = 0,30
P(E/C´) = 0,80
0,12=0,300,40=E)C(P
0,48=0,800,60=E)C(P'
P. Marginal
0,60=E)(P
P. Total
P. Condicional P. Conjunta
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Luego, de acuerdo con el Teorema de Bayes
20.060.0
12.0
48.012.0
12.0
E)C(+E)C(
E)C(=
EC
')(
PP
PP
La probabilidad que la compañía de seguros hayaparticipado en el mercado, dado que JL tuvo éxitoes de 0,20.
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El Director de la Clínica Santa Teresa está considerandocomprar un lote de 10000 equipos de venoclisis de unproveedor nacional. El fabricante de estos equipos estima laproporción de equipos defectuosas en el lote, en la siguienteforma.
Proporción depiezas defectuosas ()
1 = 0,102 = 0,15
3 = 0,25
ProbabilidadP()
P(1) = 0,20P(2) = 0,30
P(3) = 0,50
Ejemplo 2:
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Esto significa que el proveedor no está seguroacerca de la proporción de equipos defectuososen el lote, sin embargo, basándose enexperiencias anteriores, cree que hay una
probabilidad de 0,20 de que el lote tenga 10% depiezas defectuosas, una probabilidad de 0,30 deque tenga 15%. Y finalmente, de 0,50 de quetenga 25% de piezas defectuosas. Supongamos
que elige un equipo de venoclisis al azar en ellote:
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A) ¿Cuál es la probabilidad de qué esta seadefectuosa?
B) Dado que el equipo resulta defectuoso, ¿cuáles la probabilidad de que el lote tenga 25% depiezas defectuosas?
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P. Marginal P. Condicional P. Conjunta
0,1900=D)(P
0,0200=0,100,20=D)(P 1
P(D/3)= 0,25
P(D/2)= 0,15
P(D/1)= 0,10
P(2) = 0,300,045=0,150,30=D)(P
2
0,1250=0,250,50=D)(P3
3=0,25
2=0,15
1=0,10
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Hay tres maneras posibles de obtener un equipodefectuosa del lote. Por lo tanto, la probabilidadde obtener una pieza defectuosa, cualquiera que
se la tasa porcentual de defectuosos 10, 15 ó 25es:
)(P)(P)(P)( 321 D D D DP
19,0
1250,00450,00200,0
Respuesta A:
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Respuesta B:
De acuerdo con el Teorema de Bayes, laprobabilidad de que el lote contenga 25% depiezas defectuosas, dado que la pieza elegida es
defectuosa, es:
6579.0
1900.0
1250.0
)(P
)(P) / (P 3
3
D
D D
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EJERCICIO:
Un médico ha decidido recetar dos nuevos medicamentos a
200 pacientes enfermos del corazón de la manera siguiente:50 pacientes tomarán el medicamento A,otros 50 tomarán elmedicamento B y los otros 100 restantes tomarán ambosmedicamentos
El medicamento A reduce la probabilidad de un infarto en 0,35 ,el medicamento B reduce la probabilidad de un infarto en 0,20y los dos medicamentos, cuando se les toma juntos, actúan demanera independiente.
Los 200 pacientes fueron escogidos entre los que tenían 0,80de probabilidad de sufrir un infarto. Si un paciente elegido alazar sufre un infarto, ¿cuál es la probabilidad de que hayatomado ambos medicamentos?
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