Notacin relativista, Lagrangianos, Corrientes e Interacciones1. Algunas notaciones relativistasSea un vector de 4 componentes, los cuales son:(1)

El vector mas familiar de 4 componentes is . Distinguimos entre los ndices superiores e inferiores,(2)

Lo cual define a un tensor mtrico:(3)

Con ceros fuera de la diagonal, and . ndices repetidos siempre se suman. Por supuesto, , y .El producto escalar de 2 vectores de 4 componentes es(4)

Frecuentemente usaremos derivadas en forma lagrangiana. Estas estn definidas como:==(5)

(6)

De la ecuacin (4), notemos que est formado de componentes de (con un ndice superior),(7)

Otras ecuaciones importantes que se usar son:

(8)

(9)

2. LagrangianosLa mecnica clsica puede ser expresada en trminos del lagrangiano para partculas puntuales o sistemas continuos. El lagrangiano esta dada por , la energa cintica menos la energa potencial. La accin est dada por . Cuando S esta minimizado, la ecuacin de Euler-Lagrange nos da las leyes de Newton. La fuerza es expresada como la derivada del potencial. Similarmente, el electromagnetismo clsico puede ser escrito de forma lagrangiana. Vamos a examinar este caso con detalle, ya que esto es relativamente familiar, y es tambin muy similar a la manera en la que son tratadas la fsica de partculas. y son el campo elctrico y campo magntico de forma clsica respectivamente, y y son el potencial vector y escalar, los cuales tambin son campo clsicos. y son la densidad de corriente y la densidad de carga. Expresamos los campos:

(9)

(10)

Podemos definir un vector de 4 componentes para los potenciales,

(11)

Lo mismo sucede con el vector corriente Es conveniente definir un tensor antisimtrico

(12)

Cuyos componentes son:

(13)

(14)

Note que es explcitamente bajo una transformacin donde cambia por ya que cambia por El lagrangia convencional para el electromagnetismo es:

(15)

Escrita en trminos de , es(16)

3. El lagrangiano en fsica de partculasEsto se vuelve convencional para formular la fsica de partculas, dando el lagrangiano. A partir de ella, usando las reglas de la teora cuntica de campos, todos los observables pueden en principio ser calculados.El lagrangiano define la teora. Esto est escrito en trminos de la fsica de partculas elementales de la teora. Todos los objetos compuestos deben aparecer como estados consolidados que se presentan como soluciones de la teora. Para el electromagnetismo, el fotn es el cuanto del campo electromagntico; esto es representado por el campo vectorial potencial . El electrn es representado por el campo fermin . El lagrangiano contiene la interaccin fundamental de la teora. Para la electrodinmica esto es la interaccin hamiltoniana de , la cual se vuelve relativistamente .Una de la principales razones por la cual la fsica de partculas esta formulada en trminos del lagrangiano es que es una nica funcin que determina la dinmica, y debe ser un escalar en cada espacio, invariante bajo transformaciones, ya que la accin es invariante. Haciendo invariante bajo las transformaciones de Lorentz garantiza que todas las predicciones de la teora de Lorentz sean invariantes.4. El real campo escalarEn la seccin 1, escribimos el lagrangiano del campo electromagntico. Durante gran parte de lo que hacemos slo necesitaremos el lagrangiano mucho ms simple de los campos escalares . El campo puede ser como el resultado de una fuente en mucho de la misma manera que surgen los campos electromagnticos de partculas cargadas; como para el electromagnetismo, podemos considerar los campos sin preocuparnos por las fuentes. Queremos escribir el lagrangiano, anlogamente a la de los campos electromagnticos, para un campo escalar real de masa m. La respuesta es

(17)

El factor de es una convencin. Este lagrangiano satisface la ecuacin de la onda (18)

Esto es lo que esperbamos, ya que podemos escribir

(19)

Y , asi que . Por lo tanto cada campo que describe una partcula de masa m debe satisfacer . El primer trmino de la ecuacin (17) es llamado el trmino de la energa cintica, ya que surge efectivamente de . El segundo trmino es llamado trmino masa ya que es proporcional a Identificando los trminos de masa en el lagrangiano ser importante para el nosotros en la interpretacin de la teora. No hay energa potencial o trminos de interaccin en la ecuacin (17); esto es escrito para un campo no interactuante.Tenga en cuenta que lo que hemos estado llamando un lagrangiano es generalmente una densidad lagrangiana, por lo que el lagrangiano es realmente . Dado el contexto siempre deja claro si una densidad est involucrado, es convencional slo hablar del lagrangiano, sea o no una densidad est involucrado.Para ayudar a entender el formalismo y hace algunos puntos, vamos a construir un campo normalizado para un cuanto de energa definida y momento . Sabemos que

(20)

Es una solucin de la ecuacin de la onda (19) is , y A es una constante de normalizacin. El hamiltoniano asociado con el lagrangiano es , y la energa total es . Entonces ya que ,

(21)

As que E es:

(22)

Sustituyendo la ecuacin (20) en la ecuacin (22) nos lleva a

(23)

Ya que queremos un solo cuanto de energa , debemos escoger , recordando que . Asi que tenemos

(24)

En una teora cuantizada queremos hablar de la creacin y destruccin de partculas, asi que hemos escrito para facilitar esto. Si es un estado con n partculas todas del mismo momento y energa , esperamos

(24)

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sysa@infinito.peinfinito.trabajos@gmail.comWally Olins (Saffron), Ritxi Ostriz (Saffron), Armin Vit (UnderConsideration),

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organico*515# 4+