Notaciones Originales Versus Notaciones Escolares El Caso de La Derivada
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NOTACIONES ORIGINALES VERSUS NOTACIONES ESCOLARES: EL CASO DE LA DERIVADA JENNIFER PAOLA ROJAS HERNÁNDEZ 2006240050 UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ, D.C. 2012
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NOTACIONES ORIGINALES Y ESCOLARES DE LA DERIVADA
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NOTACIONES ORIGINALES VERSUS NOTACIONES ESCOLARES: EL CASO DE LA DERIVADA
JENNIFER PAOLA ROJAS HERNÁNDEZ
2006240050
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
BOGOTÁ, D.C.
2012
NOTACIONES ORIGINALES VERSUS NOTACIONES
ESCOLARES: EL CASO DE LA DERIVADA
JENNIFER PAOLA ROJAS HERNÁNDEZ
2006240050
Trabajo de grado presentado como requisito para optar por el título de
Licenciada en Matemáticas
Edgar Alberto Guacaneme Suárez
Asesor
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
BOGOTÁ, D.C.
2012
AGRADECIMIENTOS
Parece que hubiera sido ayer cuando emprendí el camino para cumplir un sueño:
ser Licenciada en Matemáticas; hoy este camino está terminando su recorrido, de la
mano de la culminación de este documento, que en cierta manera es la muestra de
lo mucho que he aprendido en mi Alma Mater, la Universidad Pedagógica Nacional,
pero ese trabajo no lo realice sola, fue un trabajo de la mano de mis profesores,
compañeros, amigos y familiares, que estuvieron a mi lado apoyándome de alguna
manera.
Hoy agradezco: A mis profesores del Departamento de Matemáticas, por dedicar su
tiempo y vida para la formación de los educadores del mañana. Para mí cada uno de
ellos aportó, como persona y como profesional a mi formación y de manera especial
al profesor Edgar Alberto Guacaneme Suárez por su incomparable profesionalismo,
paciencia y por permitir compartir sus conocimientos en mi trabajo de grado, en
búsqueda siempre de mejorar mi perfil como profesional en el mundo laboral.
A mis grandes e incondicionales amigas Lina Marcela Díaz y Marisol Yopasá que
durante todo el camino fueron y son mi gran apoyo, que en los momentos de tristeza
y alegría siempre estuvieron conmigo. A Fabián Vellojin que dió alegría, picardía y
complicidad en ese camino y me enseñó la importancia de llevar la vida con calma y
hacer las cosas de corazón. A Luz Ángela Moreno por darme ánimo en este
recorrido cuando mis fuerzas y deseos de seguir adelante ya estaban agotadas.
A mis padres que apoyaron en mi educación primaria, segundaria y parte de la
universitaria y sobre todo a mi abuelita Dolores Pérez Vda de Rojas (q.e.p.d) que
desde el cielo me ha cuidado y ha sido el motor más que ningún otro para
convertirme en profesional y cumplir con una de sus voluntades, como ella decía:
“¿Cuándo será el día de ver a Yenny toda una profesora?
RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN –RAE
TIPO DE DOCUMENTO: Trabajo de grado.
ACCESO AL DOCUMENTO: Universidad Pedagógica Nacional
TÍTULO: Notaciones originales versus notaciones escolares: el caso de la
derivada.
AUTORES: ROJAS HERNÁNDEZ, Jennifer Paola
PUBLICACIÓN: Bogotá, D.C., [2012], [57 páginas]
ENTIDAD: Universidad Pedagógica Nacional. Facultad de Ciencia y Tecnología.
Departamento de Matemáticas.
PALABRAS CLAVE: Notación, derivada, fluxión, diferencial.
DESCRIPCIÓN:
En este trabajo, desde una perspectiva sintáctica y semántica, se estudian las
notaciones de derivada usadas por los padres del Cálculo, Newton y Leibniz; así
mismo se identifican las notaciones de derivada usadas en dos libros de texto, las
cuales se contrastan con aquéllas para identificar similitudes y diferencias.
Finalmente, a la luz de dicha contrastación, se discuten algunos aspectos acerca
del papel de las notaciones en la construcción del conocimiento matemático.
FUENTES:
A continuación se mencionaran las 10 fuentes mas citadas dentro del estudio de
las notaciones usadas por Newton y Leibniz se usarón páginas de internet, como lo
son:
http://www.biografiasyvidas.com/monografia/Newton/
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/ Leibniz.htm
Y para ampliar tales contenidos se utilizaron documentos del historiador Florián
Cajori tales documentos se mencionan a continuación:
Cajori, F. (1923). The History of Notations of the Calculus. Annals of Mathematics,
(25) 1, 1-46.
Cajori, F. (1928). A History of Mathematical Notations. Volume I Notations in
elementary mathematics. London: The Open Court Publisher Company.
Cajori, F. (1929). A History of Mathematical Notations. Volume II Notations mainly in
higher mathematics. Chicago: The Open Court Publisher Company.
Los libros de texto de Cálculo en los que se analizó la notación de derivada fueron:
Apóstol, T. (1988). Calculus: Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.
Barcelona / Buenos Aires / México: Editorial Reverté.
Stewart, J. (1998). Cálculo en una variable. Transcendentes tempranas.
Thomson-Learning.
En esencia los documentos que apoyaron la discusión sobre el papel de la notación
en la construcción del conocimiento matemático son:
Andersen, Ch/, Scheuer, N., Pérez, M. y Teubal, E. (2009). (Eds). Representational
System and Practices as Learning Tools. Rotterdam / Boston / Taipéi: Sense
Publishers.
Badillo, E. (2003). La derivada como objeto matemático y como objeto de
enseñanza y aprendizaje en profesores de Matemáticas de Colombia. Tesis
de doctorado no publicada, Universitat Autónoma de Barcelona.
Sriraman, B. & English, L. (eds.) (2010). Theories of Mathematics Education,
Seeking New Frontiers. Heidelberg Dordrecht London New York: Springer.
Teubal, E., Dockrell, J. y Tolchinsky, L. (eds.) (2007). Notational Knowledge.
Developmental and Historical and Perspectives. Rotterdam: Sense
Publishers.
CONTENIDOS:
El documento cuenta con seis apartados. En el capítulo uno se rinde cuenta de las
generalidades del estudio, es decir, la justificación, el objetivo, la intencionalidad y la
estrategia metodológica. El capítulo dos presenta una descripción y estudio de las
notaciones de derivada empleadas por Leibniz y Newton. En el capítulo tres se
presenta el estudio de la notación de derivada empleada en dos libros de texto. En
el capítulo cuatro se exhibe la comparación entre las notaciones originales de la
derivada y las notaciones escolares. En el capítulo quinto se discute el papel de las
notaciones en la construcción del conocimiento matemático. Finalmente, en el
capítulo seis se presentan las conclusiones del estudio.
METODOLOGÍA:
La metodología realizada fue la revisión de documentos originales, con
respecto a la derivada, pero no se acoge a un modelo de investigación en
particular.
La elaboración del documento de trabajo de grado se consideraron 3 grandes
etapas para la realización del estudio en torno a las notaciones originales y las
notaciones actuales, el caso de la derivada.
En la primera etapa se lleva a cabo un estudio sobre las notaciones usadas en los
trabajos realizados por Newton y Leibniz relacionados con la derivada, esta
actividad se ejecuta tomando como referencia documentos originales (Cajori,1923)
(Cajori, 1928) (Cajori, 1929) y se amplían las consideraciones que allí se
manifiestan con el estudio de documentos que se encuentran en la web; ya
organizada tal información se realiza un estudio semántico y sintáctico de cada una
de las notaciones.
En la segunda etapa se realiza un estudio en torno de las notaciones de derivada
que son encontradas en los libros de texto (Stewart, 1998) (Apóstol, 1988) allí se
lleva a cabo una comparación y se realiza un estudio sobre la forma de introducir
esta temática en cada uno de los textos, además se realiza un análisis semántico y
sintáctico de las notaciones usadas.
En la tercera y última etapa se lleva a cabo un análisis sobre el papel de las
notaciones en la construcción del conocimiento matemático, usando como
referencia los documentos (Andersen, Scheuer, Pérez & Teubal, 2009; Sriraman &
English, 2010, Teubal, Dockrell, & Tolchinsky, 2007) y se profundiza en las
notaciones usadas por Leibniz y Newton en sus trabajos relacionados con la
derivada.
CONCLUSIONES
Las notaciones utilizadas por Leibniz y Newton en sus trabajos no fueron
estrictamente las mencionadas en los libros de texto estudiados (Apóstol, 1988)
(Stewart, 1998) ya que las notaciones que utilizaron Newton y Leibniz, estaban
siendo utilizadas para dar significado a una aproximación del objeto matemático que
hoy se conoce como derivada, ellos usan esta notación para dar significado, de
cada uno, a objetos distintos, que no vincula en ninguno de los casos la definición
hoy conocida como Función y la definición que hoy se maneja y reconoce en
Matemáticas como Límite.
Sin embargo, en la revisión de libros de texto se evidenció, que la semántica que se
aborda en las notaciones es diferente con respecto a la manifestada en los
documentos originales, ya que en los libros de texto se presenta la definición de
Función y la definición de Límite y se relacionan con la definición de derivada, y es
ahí donde se puede inferir que la semántica de las notaciones evolucionan de la
mano de los progresos de las Matemáticas, ya que aunque se use la misma
semántica no se está reflexionando sobre un mismo objeto.
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 1
CAPÍTULO 1: GENERALIDADES DEL ESTUDIO .................................................. 2
Justificación ......................................................................................................... 2
Descripción del problema ..................................................................................... 3
Objetivos .............................................................................................................. 4
Objetivo general ................................................................................................ 4
Objetivos específicos ........................................................................................ 4
Estrategia metodológica ....................................................................................... 5
CAPÍTULO 2: SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE LAS NOTACIONES DE
DERIVADA DE LEIBNIZ Y NEWTON ..................................................................... 6
Contexto histórico cultural y matemático .............................................................. 6
La notación de derivada según Isaac Newton ..................................................... 8
Isaac Newton. Físico con mentalidad empirista ................................................ 9
Newton en el campo de la derivada, un estudio sobre su notación ................ 10
Notación de derivada según Leibniz .................................................................. 16
Obra y vida de Gottfried Wilhelm Leibniz, filósofo, matemático racionalista ... 17
Leibniz en el campo de la derivada, un estudio sobre su notación ................. 19
Diferencias de los trabajos relacionados con derivada de Newton y Leibniz ..... 22
Similitudes encontradas en los trabajos desarrollados por Leibniz y Newton: ... 24
CAPÍTULO 3: LAS NOTACIONES DE DERIVADA EN LOS LIBROS DE TEXTO
.............................................................................................................................. 27
CALCULUS, Cálculo con funciones de una variable con una introducción al
álgebra lineal ...................................................................................................... 27
Cálculo Stewart transcendentes tempranas de una variable ............................. 37
Comparación a nivel semántica de cada uno de los libros de texto. .................. 42
Comparación a nivel sintáctica de la notación de derivada de cada uno de los
textos. ................................................................................................................ 43
CAPÍTULO 4: COMPARACIÓN DE LAS NOTACIONES ORIGINALES DE LA
DERIVADA VERSUS NOTACIONES ESCOLARES ............................................. 45
Ideas preliminares .............................................................................................. 45
Análisis comparativo de la revisión de texto ...................................................... 46
CAPÍTULO 5: PAPEL DE LAS NOTACIONES EN LA CONSTRUCCIÓN DEL
CONOCIMIENTO MATEMÁTICO ......................................................................... 49
Introducción ....................................................................................................... 49
Ideas preliminares: ............................................................................................. 50
Enfoques del papel de las notaciones en la construcción del conocimiento
matemático ........................................................................................................ 51
Enfoque histórico: ........................................................................................... 51
Enfoque científico: .......................................................................................... 53
CONCLUSIONES .................................................................................................. 55
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 57
1
INTRODUCCIÓN
El conocimiento matemático ha evolucionado a través de los tiempos; así, los
objetos matemáticos también se han transformando y han ido adquiriendo otros
significados. Algo similar ha ocurrido con las notaciones; aunque sean unidades con
sentido propio han tenido que transformarse para ajustarse, a las nuevas
condiciones, significados o teorías que las Matemáticas han concebido.
Bajo el anterior marco se enfoca este documento sobre un caso en particular la
notación de derivada, desde la mirada sintáctica y semántica de los fundadores del
Cálculo, como lo fueron Newton y Leibniz cada uno desde sus preocupaciones.
Sin embargo a lo largo del desarrollo del presente documento es posible evidenciar
sus grandes similitudes debido a las influencias socio-Matemáticas de la época y
por estar influenciados dentro de su teoría por matemáticos comunes como lo fue
Isaac Barrow.
Luego, en vista de los hallazgos encontrados con referencia de la notación de
derivada de cada uno de los autores, es necesario reconocer qué existe en los libros
de textos universitarios, reconocidos para la enseñanza del Cálculo (v.g., Stewart,
1998 y Apóstol, 1988), y empezar a señalar las similitudes y las diferencias que
existen con respecto a la notación de derivada.
Desde luego el estudio que se está realizando no queda ahí; es necesario que se
haga un estudio sobre los aspectos teóricos acerca del papel de las notaciones en
la construcción del conocimiento matemático. En este sentido se estudiarán
algunos documentos que versan sobre este asunto (Andersen, Scheuer, Pérez &
Teubal, 2009; Sriraman & English, 2010, Teubal, Dockrell, & Tolchinsky, 2007
2
CAPÍTULO 1:
GENERALIDADES DEL ESTUDIO
"En la simbología erótica, cuanto más anodina
y neutral es la prenda, mas fascinante resulta
el territorio que la cubre"
(Lola Gavarrón)
Justificación
La motivación esencial que orienta y promueve el desarrollo del proyecto aquí
expuesto es un aspecto de mi experiencia personal como estudiante de la
Licenciatura en Matemáticas en un curso de Cálculo Diferencial. Precisamente en
ese curso, es cuando se abordó el estudio de las técnicas de derivación (o
algoritmos para calcular las derivadas de algunas funciones de variable real) el
profesor dio a conocer dos notaciones asociadas a las derivadas, correspondientes
con dos matemáticos célebres por su participación en el surgimiento del Cálculo, a
saber: Leibniz y Newton, respectivamente. Sin embargo, más allá de un
señalamiento acerca de la equivalencia simbólica entre éstas, el profesor no hizo
mención alguna sobre ciertas potencialidades de usar una notación con respecto a
la otra, ni de cómo éstas se habían cambiado por aquella que se estaba empleando
hasta entonces en el curso.
Esta limitación en la información respecto de tales notaciones constituyó para mí la
fuente de algunos cuestionamientos, tales como: ¿Por qué Leibniz y Newton
asignaron dos notaciones diferentes a un mismo objeto, la derivada?, ¿qué papel
jugó cada una de las notaciones en la aproximación que cada uno de ellos efectuó?,
¿por qué en el curso se empleaba otra notación que no corresponde exactamente a
ninguna de las notaciones originales?, ¿cuál de estas notaciones es la más usual en
los textos de Cálculo diferencial?, y ¿son todas estas notaciones equivalentes?
3
En la preparación del anteproyecto, tales cuestionamientos llevaron a una reflexión
ligada a, y expresada en, otras preguntas acerca de las notaciones, entre las que se
destacan las siguientes: ¿las notaciones cambian a través del tiempo y en relación
con la evolución de los objetos matemáticos que representan?, ¿las notaciones de
las Matemáticas son diferentes de las notaciones de las Matemáticas escolares que
se expresan en los libros de texto?, ¿diferentes notaciones conllevan diferentes
maneras de pensar los objetos matemáticos y de operar con éstos y aquéllas?, ¿en
qué consiste la equivalencia simbólica entre las diferentes notaciones?
Las respuestas a estas preguntas, más allá de satisfacer una necesidad personal,
es un asunto pertinente para la formación del conocimiento profesional de un
profesor de Matemáticas, puesto que en la enseñanza de las Matemáticas, se
reconoce como ventaja que las notaciones constituyen no sólo objeto de
aprendizaje, sino también el medio para éste, además se identifica como desventaja
en la notación matemática, las dificultades que presenta con respecto a su uso, esto
permite que las notaciones en matemáticas se conviertan en un objeto de estudio.
En particular, es importante que el profesor reconozca que diferentes notaciones
para las derivadas conllevan diferente información sobre éstas, además, que
diferentes notaciones permiten diferentes manejos operatorios de éstas.
Descripción del problema
Atendiendo a la anterior justificación en el presente Trabajo de grado se resuelven
las siguientes preguntas específicas, en relación con las notaciones de las
derivadas:
1. ¿Cuáles fueron efectivamente las notaciones usadas por Leibniz y Newton
para la derivada y qué papel desempeñaron cada una de éstas en las
respectivas aproximaciones al Cálculo?
4
2. ¿Cuáles son las notaciones de derivada que proponen y usan algunos libros
de texto de Cálculo diferencial y qué papel desempeñan en relación con tal
concepto y con los asuntos operatorios?
3. ¿Cuáles son las diferencias significativas, y cuáles los aspectos
equivalentes, entre las notaciones originales (usadas por Leibniz y Newton) y
las notaciones escolares (usadas en los libros de texto)?
Objetivos
Objetivo general
Lograr una visión del sentido de las notaciones de la derivada en las Matemáticas y
de su papel en los potenciales procesos de aprendizaje de dicho concepto.
Objetivos específicos
1. Identificar aspectos sintácticos y semánticos en las notaciones de derivada
que emplearón Newton y Leibniz en sus trabajos.
2. Identificar aspectos sintácticos y semánticos en las notaciones de derivada
que se usan actualmente en algunos textos de Cálculo.
3. Establecer comparaciones entre los aspectos sintácticos y semánticos
aludidos en los numerales 1 y 2 y caracterizar las semejanzas y diferencias
entre éstos.
4. Promover la adquisición de competencias lectoras y de escritura, así como
las competencias de estudio de documentos de la Historia de las
Matemáticas y de textos escolares, como parte de la formación del
conocimiento profesional docente.
5
Estrategia metodológica
La elaboración del documento de trabajo de grado se consideraron 3 grandes
etapas para la realización del estudio en torno a las notaciones originales y las
notaciones actuales: el caso de la derivada.
En la primera etapa se llevó a cabo un estudio sobre las notaciones usadas en los
trabajos realizados por Newton y Leibniz relacionadas con la derivada, esta
actividad fue ejecuta tomando como referencia documentos originales (Cajori,1923)
(Cajori, 1928) (Cajori, 1929) y se ampliaron las consideraciones que allí se
manifiestan con el estudio de documentos que se encuentran en la web; ya
organizada tal información se realiza un estudio semántico y sintáctico de cada una
de las notaciones.
En la segunda etapa se realizó un reporte y análisis en torno de las notaciones de
derivada que son encontradas en dos libros de texto (Stewart, 1998) (Apóstol, 1988)
allí se lleva a cabo una comparación de la manera como son abordadas estas
temáticas en cada uno de los textos, además se realiza un análisis semántico y
sintáctico de las notaciones usadas.
En la tercera y última etapa se llevó a cabo un análisis sobre el papel de las
notaciones en la construcción del conocimiento matemático, usando como
referencia los documentos Andersen, Scheuer, Pérez & Teubal, 2009; Sriraman &
English, 2010, Teubal, Dockrell, & Tolchinsky, 2007) y se profundiza en las
notaciones usadas por Leibniz y Newton en sus trabajos relacionados con la
derivada.
6
CAPÍTULO 2:
SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE LAS NOTACIONES DE
DERIVADA DE LEIBNIZ Y NEWTON
“Primero, la derivada fue usada,
después descubierta, explorada y desarrollada
y, finalmente definida”
(Judith V. Grabiner )
Este capítulo recopila y compara las notaciones de derivada utilizada por dos
autores celebres del Cálculo (especialmente del Cálculo diferencial): Newton desde
la Física y Leibniz desde las Matemáticas. Tales notaciones son analizadas desde
las perspectivas semántica y sintáctica y la comparación hecha exhibe tanto las
diferencias como las semejanzas entre éstas.
Este trabajo se realiza con base en los documentos de un historiador de las
Matemáticas (Cajori, 1923) (Cajori, 1928) (Cajori, 1929) y no con base en los
documentos originales de Newton y Leibniz por la alta complejidad que su lectura e
interpretación.
Por otra parte, en este capítulo se muestra una caracterización histórica y social de
la época en que vivieron Newton y Leibniz; con esta información se está dando
sentido a las necesidades e intereses de los autores, con respecto a la
aproximación del objeto conocido como derivada.
Contexto histórico cultural y matemático
Ya que no es suficiente solo tener en cuenta las apreciaciones de este autor (Cajori,
1923), es necesario reconocer la importancia del contexto histórico, social y
matemático de la época que vivieron, Leibniz y Newton, y además realizaron sus
7
trabajos investigativos, especialmente los relacionados con respecto a las
aproximaciones hechas con respecto a la derivada.
Ellos viven un proceso cultural y científico importante en el desarrollo de la
humanidad: la transición del Renacimiento al Barroco, este movimiento promovió en
los pensadores de la época una transformación en su forma de deliberar, concebir y
de expresar las Matemáticas, ya que se propician en la época, fundamentar teorías
que explicarán sucesos de la vida real, especialmente relacionados con el
movimiento; puesto que en ese periodo los fenómenos naturales están sustentados
desde la intuición o los presagios divinos , tales comportamientos secuela del estilo
religioso envuelto en dogmas y creencias, propios de la época medieval. Por otra
parte se reconoce que durante el Renacimiento propician el avance en procesos
algebraicos, y el nacimiento de una nueva ciencia la Física, que da teoría a los
procesos naturales.
El anterior fue el ambiente cultural y matemático que se vivió en Europa
Renacentista, en esta aparecen personajes como Isaac Barrow, John Wallis,
Newton y Leibniz1, de ellos, Isaac Newton (1626-1727) se interesó por estudiar los
fenómenos y se enfocó en realizar estudios relacionados con la Óptica,
Termodinámica, Acústica y sobre todo sus estudios realizados en torno a la
Mecánica. Esta última busca dar sentido y validez a través de la utilización de las
Matemáticas, en este campo él se inspira en estudiar los sucesos relacionados con
el movimiento, inicialmente él se involucró con los movimientos celestes,
encontrando la ley de gravitación universal, que es mencionada en su libro Propicia
Mathematica Philosophie Naturalis, esto da pie al estudio del movimiento de una
partícula.
1 Se debe mencionar que estos autores no fueron estrictamente quienes empezaron a desarrollar
la idea de derivada, otros autores ya se habían preocupado por estos asuntos. La acción que hace
que se aumenta la popularidad de estos personajes, están, en las disputas y las controversias que
se encuentran los pensadores sobre un mismo objeto , y en una misma época y sustentado desde
dos ciencias que se apoyan la una a la otra la Física y las Matemáticas.
8
El segundo Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716), un matemático que se interesó
por estudiar el área bajo la curva y la relación existente entre las sucesiones y
series, esta actividad requiere del uso de varias notaciones; para la aproximación
que realiza en torno a la derivada, cada una cargada de propiedades que facilitan la
comprensión y ayudan a predecir resultados. A continuación se profundizará en la
obra de cada uno de los autores.
La notación de derivada según Isaac Newton
Unos de los trabajos más significativos para el progreso de las ciencias han sido los
desarrollados por Isaac Newton; su elegancia y minuciosidad de sus detalles
condujo a que sus teorías progresarán e incluso a que dieran justificación de los
hechos que hoy ocurren; tal es el caso de la teoría de las ondas como argumento
que soporta acciones cotidianas como comunicarse a través del celular o poder
hacer uso de la televisión.
Para el presente documento se tomará una temática especial sobre el cual Newton
dedicó parte de su tiempo como lo fueron las derivadas. Estas dentro de su teoría
fueron llamadas fluxiones, pero se reflexionará sobre un aspecto especial como lo
es su notación.
Pero para dar sustento de la razón de esta notación es necesario reconocer un poco
de la vida de Isaac Newton, desde sus intereses y preocupaciones además del
contexto social en el cual él se desenvolvía. El siguiente texto, estructurado a partir
de la lectura de biografías de Newton, tiene tal intención.
9
Isaac Newton. Físico con mentalidad empirista
Imagen 1.2
Nace el 4 de enero de 1642, en Woolsthorpe, Inglaterra y fallece en 1727 Londres,
Inglaterra. Se graduó de bachiller en la Universidad de Cambridge. Gracias a una
epidemia de peste que se dió en Londres se vio forzada la Universidad de
Cambridge a cerrar sus puertas y enviar a sus trabajadores y estudiantes a unas
obligadas vacaciones, tal vez las vacaciones más fructíferas de la historia, ya que
en esos dos años, 1665 y 1666 Newton realizó sus primeros estudios que
estuvieron basados en las teorías de Galileo Galilei y además investigaciones sobre
óptica, además realizó estudios sobre el movimiento de los planetas, y describe las
leyes del movimiento y de manera particular escribió su libro el método de las
fluxiones, documento sobre el cual se mostrará especial atención, allí desarrolla una
teoría sobre la aproximación que él realiza sobre derivada, que él llamó fluxión.
Él realiza este estudio, ya que su preocupación está encaminada en determinar y
caracterizar el recorrido de una partícula, en un tiempo determinado. Esta teoría
estuvo abordada también por Leibniz con quien mantuvo correspondencia pero
nunca tuvieron la oportunidad de verse personalmente; a pesar de esto existieron
2 Tomado de: lhtrans.blogspot.com . Recuperado 8 de octubre de 2011 en
http://lhtrans.blogspot.com/2011/03/es-inevitable-cuando-se-habla-de-isaac.html
10
grandes disputas sobre quien fue el primero en encontrar la teoría sobre las
derivadas a tal punto que Newton y sus seguidores acusarón de plagio a Leibniz
presuntamente él había tenido acceso a los documentos de Newton durante alguno
de sus viajes, a esta acusación Leibniz responde que no existe punto de
comparación ya que el trabajo abordado por Leibniz corresponde a la diferencia y
comportamiento de infinitesimales y no esta remontado a el estudio del movimiento
de una partícula.
Por otra parte con 27 años fue nombrado profesor de Matemáticas en la
Universidad de Cambridge. Trabajó teorías sobre la naturaleza de la luz inventó el
telescopio de reflexión; un gran avance a los estudios astronómicos. En:
“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.” Publicada en 1687, expone las tres
leyes del movimiento y la ecuación o ley de gravitación Universal. Aquí Newton
desarrolla un esquema general del Universo. Formó parte del parlamento y luego
fue director de la casa de la moneda de Inglaterra. Fue hasta su muerte presidente
de la Royal Society de Londres y recibió un título de nobleza por su labor científica”.
Newton en el campo de la derivada, un estudio sobre su notación
Reconociendo y dando una significativa descripción de la vida de Newton es
necesario enfocarnos en tema en particular los descubrimientos que hizo sobre
Matemáticas, de manera particular, en el ámbito del Cálculo de los infinitesimales, el
cual se debe de reconocer que tuvo tres momentos de evolución: la primera el
descubrimiento del teorema del binomio tales resultados se pueden evidenciar en
su obra De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas, este trabajo fue
influenciado por Isaac Barrow (1630-1677) a este mismo entregó su obra en1669.
El segundo momento de su obra es la presentación del Cálculo en el libro Methodus
fluxionum et serierum infinitorum, escrito en 1671 y que se publicó mucho después
en 1736. En este documento se presta mayor atención para el interés particular.
El tercer momento de su obra En De Quadratura Curvarum, escrita en 1676 y
publicada en 1704, Newton propone fundamentar su cálculo de fluxiones en lo que
llama razones primera y última de incrementos evanescentes. De esa forma se
11
refiere Newton a los cocientes de los incrementos infinitesimales de las cantidades
variables, y su objetivo es determinarlos en el momento en que dichas cantidades
nacen desde cero (razón primera) o se anulan (razón última).
Anunciados los tres momentos del Cálculo en la obra de Newton es necesario
profundizar en su segundo momento, es decir en su obra Methodus fluxionum et
serierum infinitorum, en esta el concepto primordial es el de cantidad en movimiento
o que fluye continuamente en el tiempo. Las magnitudes están creadas por el
movimiento continuo y no por complemento de cantidades infinitesimales; la idea
básica es la de continuidad tal como se observa en los procesos de la Naturaleza
además es influenciada en esta parte por autores muy reconocidos de la época
como John Wallis(1616-1703) y Bonaventura Cavalieri (1598-1647); así mismo se
debe de reconocer que el primero que acuña este término fluxión dentro de las
Matemáticas fue Wallis.
Más específicamente Newton se preocupó por analizar el tiempo de
desplazamiento y distancia recorrida por una partícula, para dar solución a estas
cuestiones, él encuentra una gran ayuda en las Matemáticas, en esta expone unas
notaciones para designar a objetos que estaba trabajando que denominó fluente y
fluxión, que las escribió de la siguiente manera y con las siguientes letras
para fluente y para notar las fluxiones utilizó las mismas letras pero coronadas con
un punto, como se describen acá así mismo dió para cada una la definición
que se conocerá a continuación, empezamos por definir fluente y luego fluxión
(Cajori, 1923).
12
Grafica 1.
Si se observa la anterior grafica, suponemos que el punto genérico A se mueve a lo
largo de la curva, mientras su correspondiente ordenada , y su abscisa , el valor
de la curvatura, o en general cualquier cantidad variable relativa a la curva,
aumentaría o disminuiría, es decir cambiaría o fluiría. A esas cantidades que fluirían
se les llamaría fluentes.
En pocas palabras las fluentes según el trabajo de Newton son ya que
varían respecto al movimiento del punto genérico A.
Mientras Fluxión lo denominó de la siguiente manera con respecto al tiempo de las
cantidades fluentes. En general, velocidad de cambio de una variable que puede ser
considerada como aumentando o disminuyendo en el ti empo, las simbolizó con las
siguientes letras , .
Las correspondientes fluxiones en la forma , , y los llama momentos , donde
es entendido como un incremento infinitesimal de tiempo. Aquí se interviene una
variable independiente; el tiempo, es decir que el momento es la distancia recorrida
en un pequeño lapso de tiempo. Bajo esta idea desarrollo procesos Algorítmicos,
13
con los cuales se busca dar solución a dos problemas uno de tipo físico y uno de tipo
matemático, por ejemplo:
Problema 1 Hallar la velocidad de movimiento en un momento de tiempo dado
según un camino dado. De otro modo: dada la relación entre las cantidades
fluentes, establecer la relación de las fluxiones.
Es decir que dada la curva determine la velocidad de la partícula en cualquier punto.
Problema 2 Dada la velocidad de movimiento, determinar el camino recorrido en un
tiempo dado. Matemáticamente: determinar la relación entre las fluentes dada la
relación entre las fluxiones.
Es decir dada la velocidad del movimiento inferir cual es la curva resultante, Valga la
aclaración Newton no piensa en funciones como tal, es decir con la definición que
hoy se tiene, el piensa sobre el comportamiento de una curva o de una superficie
descritas por variables .
Por ejemplo, sea la curva de ecuación
En la ecuación hacen las siguientes sustituciones por además
por , obteniendo los siguientes procesos:
Se desarrollan las potencias encontradas en la anterior expresión
Luego se aplica propiedad distributiva
14
Posteriormente se asocian los siguientes términos dentro de la expresión
por la ecuación de la curva dada se tiene
por tanto la expresión se reduce a
Además se factoriza la expresión por :
En seguida se desprecian los valores con , quedando la expresión de la siguiente manera:
A continuación se factorizan los términos
Se organizan y se obtiene la siguiente expresión:
Es decir que por los métodos utilizados por Newton se está encontrando la
pendiente de la recta tangente en un punto, de la ecuación algebraica
Esta parte cobra gran importancia si se mencionan los intereses de Newton a él no
15
le interesan el comportamiento de las fluxiones de forma individual sino como un
cociente de fluxiones es decir , o como "razón última de cantidades
evanescentes" estas también son cantidades en movimiento que se aproximan de
manera continua, y que nunca se sobre pasan una de la otra, estas decrecen
indefinidamente; el anterior se considera como la idea intuitiva que tiene Newton de
Límite, sin embargo estas presentaban algunos problemas de rigor, los cuales uno
de sus más grandes contradictores el obispo Berkeley aprovecha como se muestra
en el siguiente fragmento en el cual es fuertemente criticado:
"Y ¿Qué son las fluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. Y ¿Qué son
estos mismos incrementos evanescentes? Ellos no son ni cantidades finitas, ni
cantidades infinitamente pequeñas, ni nada. ¿No las podríamos llamar fantasmas de
cantidades que han desaparecido?"3
Realmente con las cantidades evanescentes Newton estaba creando su propia idea
del concepto de Limite, no como usualmente se conoce, pues su formalización llevo
casi 200 años, en términos actuales considera el limite como el cociente de dos
funciones que se anulan, es decir el análisis que lleva lo está relacionando con
“ la velocidad última se entiende aquella con la que el cuerpo se mueve, no antes de
alcanzar el punto final y cesa, por consiguiente, el movimiento, ni tampoco después
de haberlo alcanzado, sino aquella con la que se mueve cuando lo alcanza, esto es,
aquella velocidad con la que el cuerpo alcanza el punto final y aquella con la que
cesa el movimiento. De igual manera, ha de entenderse por razón última de
cantidades evanescentes, la razón de cantidades, no antes de que desaparezcan,
ni después de desaparecidas, sino aquella con la que desaparece”4.
3 Tomado de: uam.es . Recuperado el 10 de octubre de 2011 de en
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo.pdf
4 NEWTON,Propicia, escolio, sección,libro1,1726.
16
El anterior fue a groso modo el trabajo abordado por Newton sobre su notación, del
concepto hoy conocido como derivada y que el dentro de su obra lo denomina como
fluxión, en el se evidencia que Newton no le dio mucha importancia a la notación de
derivada que estaba trabajando, estaba más preocupado por el significado de tal
notación. Se puede considerar que la notación fue la cuña que le sirvió para
entender los acontecimientos físicos de movimientos continuos y le permitió dar, a
su manera, un acercamiento del concepto de limite, y reconocerlo atraves de
cantidades evanescentes.
Notación de derivada según Leibniz
Al reconocer detalles significativos de la vida de Leibniz, se reconoce el gran gusto
por los temas racionalistas, a tal punto que fue considerado como uno de los
autores en este tipo de pensamiento más destacados de la época; a pesar de los
contradictores de la época por sus consideraciones en el campo filosófico como lo
fue John Lock (1632-1704) y en el campo de las Matemáticas Isaac Newton
(1642-1727).
Sin embargo se reconoce de manera significativa los aportes dados a las
Matemáticas, especialmente en la parte de la fundamentación de esta, en el campo
del Cálculo, y procesos de algorítmicos con el uso de notaciones.
Además se reconoce que al evidenciar detalles sobre la vida de este personaje es
posible entender sus posturas y a las conclusiones que él llegaba dentro de su
teoría, por ello es necesario profundizar y conocer más pormenores de la obra y vida
de este autor como se hará a continuación.
17
Obra y vida de Gottfried Wilhelm Leibniz, filósofo, matemático racionalista
Imagen 2.5
“Nace en la ciudad de Leipzig, actual Alemania, 1646 Cuando está concluyendo la
guerra de los 30 años y fallece en Hannover, id., 1716) como dice Savater( 2011)
Fue un hombre de leyes, alquimista, historiador, filósofo y matemático alemán.
Descubrió el Cálculo infinitesimal y trazó que el mundo es racional, continuo,
ordenado, e infinitamente; todo está relacionado desde lo infinitamente pequeño a
lo infinitamente grande; afirmó que el mal es real pero el mundo existente es el
mejor de los posibles.
El fue una figura importante en su época y fue una de las primeras autores que
procuro en Europa para la unión de las naciones y consideró que las guerras
existentes entre cristianos y católicos se debían a mal entendidos, por el mal uso del
lenguaje buscaba que todos hablaran en un mismo lenguaje para evitar estos mal
entendidos.
5 Tomado de: Cálculodiferencial-aiv . Recuperado 8 de octubre de 2011 en
http://Cálculodiferencial-aivega.blogspot.com/2011_08_01_archive.html
18
Él tuvo dentro de su desarrollo en Europa dos enfrentamientos por una parte por el
Cálculo infinitesimal por sus hallazgos teóricos lo enfrentó con los seguidores de
Newton, ya que consideraban que Newton lo había descubierto antes que él, pero
cada uno lo había descubierto por su lado y eso produjo un gran enfrentamiento y
otro con John Locke, ya que el afirmaba que en nuestro entendimiento y nuestro
espíritu no hay nada hasta que los sentidos nos dan los datos que nos permiten
pensar Leibniz lo corrigió, que evidentemente sin los sentidos no se podría producir
conocimiento, en el entendimiento mismo ya es una realidad antes que los sentidos
aporten sus datos, bajo estas dos posturas se desarrolla Leibniz intelectualmente.
En 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de
invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco años
en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. Desarrollo los principios
arte combinaría a partir de la cual inventó la primera máquina de calcular desarrollo
dos modelos de ella, la primera máquina de calcular, que realizaba procesos
aritméticos y la segunda una maquina algebraica para resolver ecuaciones.
El aporte fundamental de Leibniz a las ciencias exactas fue su descubrimiento al
Cálculo infinitesimal curiosamente este despliegue del pensamiento físico y
matemático se basaba en uno de los principios básicos de la filosofía Leibiziana la
noción de la continuidad de la naturaleza no hay discontinuidad en la naturaleza
todo está relacionado desde lo infinitamente pequeña o lo infinitamente grande, el
Cálculo infinitesimal no es más que la expresión matemática de ese continuidad.
Todos esos desarrollos giraban en torno a la unidad del saber humano.
Representante por excelencia del racionalismo, Leibniz situó el criterio de verdad
del conocimiento en su necesidad intrínseca y no en su adecuación con la realidad;
el modelo de esa necesidad lo proporcionan las verdades analíticas de las
Matemáticas. Junto a estas verdades de razón, existen las verdades de hecho, que
son contingentes y no manifiestan por sí mismas su verdad.
El problema de encontrar un fundamento racional para estas últimas lo resolvió
afirmando que su contingencia era consecuencia del carácter finito de la mente
19
humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de los
conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar
relacionada con todas las demás siquiera por ser diferente de ellas, posee un
conjunto de propiedades infinito.6
Leibniz en el campo de la derivada, un estudio sobre su notación
Para este caso nos preocuparemos por un objeto especial y muy significativo en las
Matemáticas como lo fue la derivada.
Para esto se hará un estudio en particular el cual describirá, la notación de derivada
que dentro del trabajo que el realiza lo llamó diferencial cuando este personaje
estaba dando sentido a una de las consideraciones aproximaciones a las derivadas.
También es necesario en esta parte mencionar los autores que influenciaron sobre
Leibniz al tratar de dar sentido a esta notación como lo fue Isaac Barrow, que
también influenció la obra de Newton, Descartes y Christian Huygens (1629 - 1695)
con su trabajo realizado acerca de los infinitesimales.
Desde luego los inicios de la obra tiene un enfoque diferente al utilizado por Newton
el parte desde hechos matemáticos, para llegar a la derivada, reflexiona utilizando
la razón y por ello se interesa en dar sustento a través de expresiones que
permitieran determinar cuál es la derivada de la suma de dos funciones, la resta,
producto y la división de funciones, valga la aclaración el tenia una percepción
diferente de la que hoy se conoce de función7, desde luego el significado que le da a
función y sentido que aparece en una de sus obras es utilizado para designar las
cantidades cuyas variaciones están ligadas por una ley es decir para hacer
referencia a la pendiente de una curva. De igual manera la concepción que el tenia
6 Tomado de: Biografiasyvidas.com. Recuperado el 22 de septiembre de 2011, de
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/ Leibniz.htm
7 Sin embargo dentro de los términos utilizados en matemáticas es el primero que acuña, al igual que el
termino de ordenada y absisa, en 1694.
20
sobre una curva; no es igual, ya que el la consideraba que estaba formada por un
número infinito de tramos rectos infinitamente pequeños.
Pero para nuestro caso en particular interesa determinar las notaciones de derivada
que son utilizadas por el autor anteriormente mencionado, tal como lo es
presentado por (Cajori, 1923).
“ la diferencial de la variable ; esta notación la escribe en una carta fechada del
26 de octubre de 1675, tres días más tarde escribe en remplazo de
En ese momento llegó a la representación del símbolo “d”, abreviatura de la palabra
differentia para la designación de diferencias infinitesimales.
Luego fechado en un manuscrito de noviembre 11 de 1695, primero escribe como
la diferencial de , luego introduce definitivamente las notaciones de y para
los diferenciales de y respectivamente, en este mismo documento lo nota
como .” (Cajori, 1923)
El anterior es el recorrido que hace Leibniz con sus notaciones, en búsqueda de su
perfección, y dar mayor sentido y propiedad a los trabajos que él está realizando,
pero los anteriores cambios se deben a alguna razón matemática más que estética,
la cual se mencionara a continuación.
Los intereses y los trabajos abordados por Leibniz estuvieron relacionadas
sucesiones aritméticas y las sucesiones de diferencias; por ejemplo si se tiene una
sucesión de términos
se define la sucesión,
de lo cual,
Además él consideraba una curva como un polígono de infinitos lados de longitud
infinitesimal además consideraba que una curva se asocia una sucesión de
abscisas y una sucesión de ordenadas donde los
21
puntos están todos ellos en la curva y son los vértices de la poligonal de
infinitos lados que forma la curva.8, en una curva toma los valores consecutivos de
y se representa con denominándolo diferencial de algo similar con los
valores de encontrando el diferencial de , .,desde luego los valores o las
diferencias que encontraba Leibniz tendían a ser números cada vez más pequeños,
pero tales cantidades nunca podían ser iguales a cero, una manera analítica que
planteo Leibniz para entender el comportamiento de las derivadas esta descrito de
la siguiente manera:
Gráfica 2. Triángulo Característico.
Desde luego si se tiene en cuenta que Leibniz consideraba una curva la unión
infinita de segmentos entonces de los diferenciales , se obtiene un
triángulo rectángulo tal como se evidencia en la gráfica 2. Por tanto se cumple que
es decir que Leibniz considero el lado sobre la curva o
polígono se hace coincidir con la tangente a la curva en el punto La pendiente
8 Tomado de: Ugr.es. Recuperado el 3 de noviembre de 2011 de
http://www.ugr.es/~mmartins/Docencia/Old/Docencia-Matematicas/Historia_de_la_matematica/clase_3-w
eb.pdf
x
y
ds
dx
dy
22
de dicha tangente viene dada por , que es un cociente de diferenciales el cual
Leibniz le da el nombre de cociente diferencial.9
Por otra parte vale la pena aclarar que la idea de limite esta presente en los trabajos
realizados por Leibniz considerando este como un “ente último” ya que el trabaja
con diferencias infinitesimales, existentes entre el ente último y los valores que se
acercan tanto como se desea.
Aquí se mencionaran las diferencias más significativas, dentro de los autores
Newton y Leibniz con respecto al trabajo realizado sobre las derivadas
Diferencias de los trabajos relacionados con derivada de Newton y
Leibniz
Los trabajos de Newton tuvieron grandes diferencias con respecto a los trabajos
realizados por Leibniz a continuación se señalaran cada una de estas:
Para Newton la definición que hoy se conoce en la comunidad matemática como
derivada lo llamo fluxión, es decir la cantidad que fluye, mientras Leibniz en sus
trabajos la derivada lo llamaba diferencial de variable, ya que Leibniz estaba
tomando la curva por intervalos, es decir consideraba la curva como la unión infinita
de segmentos, mientras a Newton le importaba profundizar en el comportamiento
del recorrido de una partícula (es decir la curva).
Desde luego la notación que le dieron cada uno de estos autores, a este objeto
matemático está muy relacionada con las intenciones de cada uno. Mientras para
Newton fue más una ayuda visual que cognitiva por ello no se dedicó a
9Historia de las Matemáticas.(s.f) Recuperado el 3 de noviembre de 2011 de
http://www.ugr.es/~mmartins/Docencia/Old/Docencia-Matematicas/Historia_de_la_matematica/clase_3-w
eb.pdf
23
perfeccionarla, mientras para Leibniz si era de vital importancia ya que pasaba de
una notación a la otra sin presentar argumentos teóricos del porqué del cambio de
notación, hasta llegar hasta la hoy conocida; tal fue el auge y la importancia y
potencialidades que se le atribuyeran a esta notación que decidió realizar una
estructura de algoritmos sobre operaciones con derivadas.
Otra de las significativas diferencias entre los trabajos realizados por Newton y
Leibniz están relacionados con las actividades que cada uno estaba realizando, y
sobre las cuales se vieron en la necesidad de hacer uso de este objeto, Newton está
desarrollando su teoría en base a dar sentido a la filosofía Natural hoy conocida
como física en los problemas de movimiento, y especialmente movimiento de la
tierra, por otra parte están los trabajos desarrollados por Leibniz que están más
relacionados con los procesos de realizar diferencias, que realizaba sobre las
sucesiones y series , además problemas de la época como encontrar el área bajo la
curva, considerando la curva como la unión infinita de segmentos.
Además Leibniz considero una función como una expresión analítica, él fue quien
por primera vez Introdujo el termino en matemáticas, esto se evidencia en los
trabajos en torno al triangulo característico.
Finalmente las anteriormente mencionadas son temáticas que influenciaron el
desarrollo de la notación de derivada, de cada uno de los autores.
A modo de síntesis de lo planteado se presenta el siguiente cuadro:
NEWTON LEIBNIZ
Su notación la denomina fluxión. Su notación la denomina diferencial de la
variable.
Solo utilizo una sola notación para
determinar la derivada
El realizo varios intentos, para llegar a la
notación que hoy se conoce.
Newton no profundiza ni le da mucha
importancia a la notación
Le da gran relevancia a la notación, y se
preocupa por su perfección
24
Utiliza la notación para dar sustento a los
hechos encontrados a través del trayecto
de una partícula.
Trata de dar solución al problema, de
pasar de lo discreto al continuo del
problema de sumar o restar números, al
problema de manejar magnitudes
continuas.
La curva como el recorrido de una
partícula
Leibniz consideraba una curva como un
polígono de infinitos lados de longitud
infinitesimal
Su interés la razón de cambio La suma de infinitesimales.
No se preocupa por la formulación de
algoritmos y reglas
Fundamenta toda una teoría para la
formulación de una teoría universal sobre
reglas y algoritmos sobre las derivadas,
hoy todavía usada.
Considera una función una expresión
analítica. Pero no menciona este termino
dentro del desarrollo de su teoría.
Introduce el termino función, dentro de su
teoría.
Cantidades evanescentes Indivisibles.
Similitudes encontradas en los trabajos desarrollados por Leibniz
y Newton:
Desde sus campos de acción tanto Newton como Leibniz se preocupan por dar
sentido a la derivada, para ello según la disposiciones actuales tendrían precisar la
definición de función, ellos no lo hacen, Sin embargo llevan a cabo ellos un estudio
desde la geometría analítica, y utilizan intuitivamente la definición de derivada.
Además aprovechan esta situación ya que las curvas que están trabajando son
continuas, es decir, la posibilidad de encontrar entre dos puntos diferentes de una
curva un nuevo punto es posible, seguir este procedimiento de manera infinita,
25
encontrando siempre valores en este caso positivos y cada vez más cerca a cero,
pero nunca igual a cero.
Estos procesos no fueron totalmente resultado de la invención de Leibniz y Newton,
fueron el resultado de los avances matemáticos que datan de la época de los
griegos, hasta la época en que ellos se interesaron por estudiar estos temas
relacionados con la derivada, pero de quien fueron influenciados de manera
significativa y conjunta es por Isaac Barrow, que había realizado un trabajo
significativo en torno a los infinitesimales.
Sin embargo ellos reconocían que los trabajos que ellos estaban abordando, no
pertenecían completamente al campo del algebra, o de la geometría pertenecía a
un nuevo campo el cual fue denominado Cálculo Infinitesimal, ya que los hallazgos
encontrados permitían dar solución a uno de los problemas de la antigua Grecia
encontrar el área bajo la curva.
Una última similitud encontrada está en la aproximación que realizan hacia el límite,
cada uno desde sus preocupaciones el movimiento y los diferenciales.
A modo de síntesis de lo anteriormente planteado se muestra el siguiente cuadro:
SIMILITUDES ENCONTRADAS EN LOS TRABAJOS DESARROLLADOS POR
LEIBNIZ Y NEWTON
Se preocupan por dar sentido al concepto hoy conocido como la derivada, pero no a
través de funciones.
Se preocuparon por la continuidad, es decir como en su tiempo fue llamado la
creación de infinitesimales.
Los dos son influenciados por Isaac Barrow.
Consideraron el Cálculo como un nuevo campo de conocimiento, con un
fundamento teórico, otro campo de conocimiento como lo era en la época la
Geometría o Álgebra.
26
27
CAPÍTULO 3:
LAS NOTACIONES DE DERIVADA EN LOS LIBROS DE TEXTO
“Si vas a creer todo lo que lees, mejor no leas”.
(Proverbio japonés)
Una tercera actividad consiste en hacer un análisis de las notaciones de derivada
usadas en dos textos de Cálculo (Stewart, 2001; Apóstol, 1988).
Al hacer una revisión de los libros de texto mencionados anteriormente se puede
evidenciar los resultados del análisis que se mencionan a continuación:
CALCULUS, Cálculo con funciones de una variable con una
introducción al álgebra lineal
Imagen 310
Con respecto al libro de Apóstol (1988), y las notaciones que son utilizadas en este
libro se evidencia en la páginas 195-196 se menciona de la siguiente manera “Se
10
Tomado de: apuntes-isi-frre.blogspot.com. Recuperado el 5 de febrero de 2012 , de http://apuntes-isi-frre.blogspot.com/2009_12_01_archive.html
28
denomina de derivada de f en x y se indica por el símbolo (se lee << prima
de >>…”)
Además al respecto (Apóstol, 1988) señala que:
En general, el proceso de paso al límite por el que se obtiene a partir de
abre un camino para obtener una nueva función a partir de una función
dada . Este proceso se denomina derivación y es la primera derivada de . Si a
su vez está definida en un intervalo abierto se puede también calcular su primera
derivada, indicada por y que es la segunda derivada de Análogamente, la
derivada n-esima de , que se indica por , se define como la derivada de la
primera de .Convendremos en que esto es la derivada de orden pero
es la misma función.(p.195)
En el anterior apartado, se hace mención de varias notaciones para describir
derivada, una de ellas es esta permite reconocerse información que podría
convertirse en dificultad para los estudiantes, por esto es necesario que en el aula
de clase el docente que haga claridad y discrepancia sobre estas notaciones, ya
que si se detalla con cuidado en matemáticas cuando se tiene (), junto a una
constante o una variable, se puede afirmar que es otras de las representaciones
para interpretar producto, y como en la notación mencionada se está hablando que
es una función por tanto la notación anterior se podría llegar a interpretar como el
producto de una función por el valor de , y una variable, asi mismo la comilla(´)
también influencia la notación ya que se manifiesta en otra rama de las matemáticas
por ejemplo en la geometría cuando se quiere hablar de algún segmento, recta, o
punto semejante se habla de un prima, es decir que la notación mencionada se
podía interpretar como el producto de una función semejante a por una variable,
esto es erróneo pero se obtiene de algunos significados estandarizados en
matemáticas.
Otra de las notaciones que están presentes es , desde luego se debe tratar
con el mayor cuidado posible ya que si la notación está hablando de una función en
la cual se halla la derivada cero y se obtiene la misma función, un estudiante
desprevenido puede llegar a afirmar que la anterior notación está mal escrita, ya
29
que puede afirmar que es una constante, y aplicar la famosa propiedad de las
potencias “ Todo número elevado a la cero es igual a 1” por tanto la afirmación inicial
está mal escrita, es ahí donde el profesor debe ser claro sobre los objetos que se
están manejando en el aula de clase para evitar dificultades.
Como se dispuso en las líneas anteriores se puede evidenciar que se está haciendo
uso de la notación de la derivada, pero relacionada con la definición de límite, que
dice:
La derivada de está definida por la igualdad
Con tal que el límite exista. El número . También se denomina coeficiente de
variación de en .
En la anteriormente mencionada notación es necesario que ser cuidadoso ya que
por ejemplo: se puede llegar a interpretar como entonces 0, por el
significado de condicional que se le atribuye, a pero como esta acompañado de
se debe leer como tiende a cero.
Otra de las notaciones que se debe tener en cuenta es , alguien sin el
mayor cuidado puede llegar a realizar el siguiente proceso es decir al
aplicar la propiedad distributiva, considerando como una constante y luego
considerar que la operación resultante es y como se había dicho en el análisis
de la notación , esta presente un producto es decir que en el anterior cociente
se puede aplicar una simplificación y obtener como resultado .
Es decir que un estudiante podría llegar a concluir que .
La definición que se presenta formalmente en este libro de texto es el fruto de un
proceso, pues se evidencia que las ideas de continuidad, limite y función están
presentes, lejos de la teoría que en su momento abordaron Leibniz y Newton.
30
Luego en la página 209 del libro en el apartado titulado “Otras notaciones para las
derivadas”, inicia realizando una descripción de la importancia de las notaciones de
derivada en Matemáticas, que se evidencia a continuación:
Algunas veces se han utilizado diferentes notaciones por un mismo concepto,
prefiriéndose una a otra según las circunstancias que acompañan el uso del símbolo.
Esto es particularmente cierto en el Cálculo Diferencial en las cuales se han utilizado
muchas notaciones diferentes para derivadas. Hasta ahora, la derivada de una
función se ha indicado con el símbolo Notación introducida por Lagrange
(1736-1813) a finales del siglo XVIII y pone de manifiesto que es una función
obtenida de por derivación indicándose su valor de por Cada punto
de la grafica de tiene sus coordenadas e ligadas por la ecuación
y el símbolo se utiliza también para representar la derivada .
(p.209)
En esta parte dentro de la teoría se menciona las notaciones de derivada, y hablan
de la derivada de la función, dejando de lado profundizar la diferencia entre hallar la
derivada de una función y la derivada de en un punto de coordenadas de una
función.
Análogamente y´´,…, representan las derivadas de orden superior f´´(x),…
. Por ejemplo, si , entonces etc. La notación de
Lagrange no ha caído en desuso como lo utilizaba Newton, que escribía , en vez
de Los puntos de Newton han sido utilizados por algunos autores para indicar
especialmente velocidad y aceleración.
Es aquí donde aparece otra notación , desde luego en matemáticas es
reconocida como una variable y con la comilla podría dar un formación de una
variable, semejante, ahora se podría considerar a como uno de los ejes del plano
cartesiano es decir que la notación mencionada se podría llegar a considerar como
un eje paralelo al eje
Aquí se reconoce la verdadera notación de derivada o fluxión según Newton, pero
dentro de la teoría no mencionan la manera como su autor usa sus notaciones a
nivel algorítmico, es dejada de lado.
Otro símbolo fue introducido en 1800 por L. Arbogast(1759-1803), que indicaba la
derivada de por Símbolo cuyo uso ha tenido hoy día gran aceptación. El
31
símbolo se denomina operador derivación y sugiere que es una nueva
función que se obtiene de por la operación derivación. Las derivadas de orden
superior se representan por respectivamente, y
los valores de estas derivadas en
Se indican . Así, se tiene,
, . La regla de
derivación de la suma de dos funciones se escribe por medio de la notación en la
forma y considerando el valor de las derivadas en se tiene:
que se puede escribir también en la forma
D . El lector puede formular fácilmente las reglas de
derivación del producto y el cociente mediante la notación
Leibniz empleaba una notación para la derivada algo distinta de la que se ha indicado
utilizando en vez de el cociente de diferencias
Lo escribía en la forma
,
Poniendo en vez de y en vez de El símbolo se
denomina operador de diferencia. El límite del cociente de diferencias, es decir, la
derivada la designaba Leibniz . Con esta notación, la definición de derivada
se transforma en:
No solo era distinta la notación, sino la manera de pensar de Leibniz acerca de las
derivadas, pues consideraba el límite como un cociente de cantidades
“Infinitesimales”, que llamaba diferenciales y la derivada . Era un
cociente diferencial, en vez de utilizar el paso al límite para definir las derivadas,
pasaba de y a y indicando simplemente que se
transforman en infinitesimales. Leibniz imaginaba los infinitesimales como un nuevo
tipo de números, que sin ser cero, eran más pequeños que cualquier número real
32
positivo.
Valga la aclaración Leibniz no utilizo el concepto de limite dentro de su teoría, el
utilizo fue el cociente de diferenciales, la formalización con la definición de limite se
dio muchos años más tarde.
Ahora con respecto a las notaciones anteriormente mencionadas existe
una en especial , desde luego sin mayores preámbulos se puede llegar
a realizar una simplificación y obtener , decir que la labor del docente
debe estar encaminada a dar sentido a .
Más tarde se observara que el paso del cociente de diferenciales permite operar
más fácilmente y las fórmulas que se obtienen se recuerdan sin dificultad. Durante
mucho tiempo se creyó que el Cálculo era estrictamente difícil y algo misterioso,
porque no era posible comprender lo que era un infinitesimal. Los trabajos de Cauchy
y otros matemáticos en el siglo XIX condujeron gradualmente a abandonar las
cantidades infinitamente pequeñas como parte esencial de las Matemáticas. No
obstante para muchos, especialmente a quienes se dedicaban a la Matemática
aplicada, los que consideran útil razonar a la manera de Leibniz a base de los
infinitesimales. Muy frecuentemente de esta forma se llega rápidamente a resultados
que pueden ser demostrados de manera rigurosa por métodos adecuados.
Recientemente Abraham Robinson ha mostrado que el sistema de los números reales
puede ser extendido por la incorporación de los infinitesimales de acuerdo con la idea
de Leibniz. Una discusión de esta extensión, así como el impacto en otras ramas de la
Matemática se encuentra en el libro de Robinson Non_standard Analysis
North-Holland Publishing, Ámsterdam , 1966.
Aunque algunas ideas de Leibniz no pasaron a la posteridad, No ha ocurrido lo mismo
con sus notaciones. El símbolo tiene la ventaja manifiesta de resumir el proceso
completo del Cálculo de un cociente de diferencias, y posterior paso
En la página 216 del libro de Apóstol en la sección de las Aplicaciones de la regla de
la cadena. Coeficientes de variación ligados y derivación implícita.
La regla de la cadena es un ejemplo excelente para mostrar la utilidad de la notación
de Leibniz para las derivadas, ya que si se escribe la regla de la cadena con la notación
de Leibniz, toma la apariencia de una identidad algebraica trivial.
Introducidos los símbolos
33
y
Designado como la derivada y con la de ,la formación de la
función compuesta queda indicada por:
Siguiendo la notación de Leibniz, designa la derivada la regla de la cadena
tal como estaba expresada anteriormente se presenta ahora de la siguiente forma:
Se observa que esta fórmula tiene gran poder sugestivo, y es especialmente atractiva
cuando se aplica al Cálculo a problemas físicos. Por ejemplo, supóngase que el
símbolo que el símbolo de precedente representa una cantidad física medida por
medio de otras e . La ecuación indica cómo se halla dado y la
ecuación indica cómo se halla dado . La relación entre e esta
expresada por la ecuación La regla de la cadena,
Tal como está escrita expresa que el coeficiente de variación de con relación a
por el coeficiente de variación de con relación a
Por otra parte esto son uno de los usos que se le ha dado a la notación de derivada
utilizada por Leibniz, es la aplicación a la regla de la cadena, se debe recordar que
dentro de su teoría Leibniz no usaba la definición de función como hoy se conoce,
pero se debe recordar que este término Leibniz el primero que lo introduce en las
Matemáticas al igual que el termino abscisa, ordenada, tangente, subtangente,
cuando abordo su estudio sobre el triángulo característico.
Con respecto al estudio de las notaciones en la cita anterior se encuentra
una en particular
34
Esta notación hace referencia al algoritmo de la regla de la cadena, pero esta
notación puede prestarse para la aplicación de propiedades no adecuadas por
ejemplo simplicar a ya que las propiedades en matemáticas lo permiten, y se
obtiene
Desde luego se podría llegar a una nueva simplificación y obtener
Este es un proceso que eventualmente un estudiante podría realizar, y que es
necesario el profesor advierta sobre el contexto en que se está trabajando en este
caso derivadas.
Más adelante se hace expuesto en la página 242 del mismo libro de texto otro tipo
de notación pero ya no se está hablando del comportamiento de una partícula, sino
la derivada parcial.
supóngase que se trata de una superficie definida por una ecuación de la forma
y se corta esta superficie por un plano perpendicular al eje ...este plano está
formado por todos los puntos del espacio para los cuales la coordenada es
constante, (La ecuación del plano) la intersección de este plano con la
superficie es una curva plana cuyos puntos satisfacen la ecuación En esta
curva, la altura es función solo de
Supóngase ahora que se pasa del punto el punto ( en l cambio
de altura correspondiente es – Esto sugiere la formación
del cociente de diferencias.
Para después hacer tender si este cociente tiende a un límite definido cuando
este límite se denomina la derivada parcial de f respecto en el punto
35
( Para definir la derivada parcial, hay varios símbolos siendo algunos de las
más corrientes:
El subíndice 1 en dos últimas notaciones se refiere al hecho de que solo la primera
coordenada varia cuando se forma el cociente de diferencias en
Así se tiene:
Análogamente se define la derivada parcial respecto a en por
Siendo las notaciones correspondientes
,
Si se escribe también se usan los símbolos y para designar las
derivadas parciales.
La derivación parcial no es un concepto nuevo. Si se considera otra función de una
variable definida por la ecuación
,
Entonces la derivada ordinaria es exactamente lo mismo que la derivada
parcial Geométricamente la derivada parcial representa la
pendiente de la tangente en un punto de la curva señalada en la figura. De la misma
manera cuando es constante es decir , la ecuación , define la
36
curva de intersección de la superficie con el plano cuya ecuación es . La
derivada parcial, da pendiente de la tangente a dicha curva. De estas
consideraciones se deducen que para calcular la derivada parcial de respecto
a , se puede considerar como si fuera constante y aplicar las reglas ordinarias del
Cálculo diferencial.
En decir que el autor es consciente de dar a conocer las notaciones de la derivada y
con ella su carga conceptual, pues al mencionar algunas notaciones, pero
reflexionando sobre la notación utilizada por Leibniz, comparada con la actualmente
utilizada, que es algo distinta permite inferir que la concepción sobre algunos
objetos que necesito Leibniz para dar sentido a su notación de derivada, son
diferentes de los que hoy se utilizan; tal es el caso de los infinitesimales los cuales
Leibniz los imaginaba como un nuevo tipo de números , que sin ser cero, eran más
pequeños que cualquier número real positivo.
Por otra parte es posible evidenciar que las notaciones que el autor utiliza para dar
sentido o temática sobre Cálculo diferencial se enfatiza en una notación especial
como lo es para hacer uso de la notación de derivada dada por Leibniz, fue
necesario dar a conocer al algoritmo para la regla de la cadena, y finalmente se
habla de otro tipo de notación
Donde es una d redondeada conocida como la de Jacobi, con esta notación
no está hablando de la recta tangente a una curva sino a un campo más amplio el
plano tangente a una superficie.
Ahora continuación se hará una descripción de derivada pero en otro libro de texto
utilizado generalmente en la Educación Superior Colombiana Cálculo
Transcendentes tempranas de una variable Stewart .
37
Cálculo Stewart transcendentes tempranas de una variable
Imagen 411
Considerado como uno de los libros de texto más utilizado en los primeros semestre
que allí se exponen con respecto a la notación de derivada.
En este, en la página 112 al iniciar con formalidad el tema de derivadas lo define de
la siguiente manera:
“La derivada de una función es un número denotada con f´(a), es:
Si este límite existe.
Además en la separata del libro aparece “ se lee prima de ”
11
Tomado de: urbe.edu. Recuperado el 5 de febrero de 2012, de
http://www.urbe.edu/UDWLibrary/BookAdvance.do?search=CALCULO
38
Es decir que la notación que aquí se presentada esta reflexionado sobre la derivada
en un punto, sin embargo puede presentar eventuales dificultades como las
mencionadas en el apartado anterior en la página 39.
Más adelante menciona:
“Si escribimos entonces y tiende a si, y solo si
tiende a lo tanto una manera equivalente de enunciar la definición de derivada,
como vimos en la determinación de las tangentes, un modo equivalente de enunciar
la definición de la derivada, es
En este apartado están manejando la derivada de una manera muy particular que
no fue manejada por el libro de (Apóstol, 1988) busca inicialmente encontrar la
derivada de una función pero en un punto, o como es mencionado por el autor en un
número.
Más adelante aparece un subtítulo diciendo:
“Interpretación de la derivada como la pendiente de una tangente.
La recta tangente a la curva en el punto es la que pasa por
y tiene su pendiente expresada por la ecuación
Como, según la definición, es la misma que la derivada ahora podemos decir
que la recta tangente a en Es la línea que pasa por
cuya pendiente es igual a la derivada de en
Después el autor hace mención de la siguiente interpretación, desde luego
aprovechan del contenido presentado sobre como hallar la pendiente de la recta
tangente a una curva presentado en la anterior sección, teniendo cuidado de utilizar,
39
el limite, de lo contrario no estarían hallando la tangente sino la secante, además en
esta sección aparece una nueva notación la de pendiente.
Interpretación de la derivada como una rapidez de cambio
Se estableció que la rapidez (razón) instantánea de cambio de con respecto
a (o en función de ) cuando es el límite de la rapidez promedio de
cambio en intervalos cada vez más pequeños. Si el intervalo es .
Reconoce el autor que dentro de la notación que esta dando Leibniz en su momento
no esta involucrada la definición de limite, y la acuña aprovechando en este
momento los avances y la formalidad existente.
Si deseáramos indicar el valor de una derivada, en notación de Leibniz es un
Número específico anotaríamos:
o bien
Lo anterior es sinónimo
En la página 124 se enuncia el teorema:
“si es una función constante entonces ”
Y después de hacer una pequeña demostración se afirma que en la notación de
Leibniz, el teorema se escribiría
Además aparece otra notación para dar a entender la regla de las potencias,
40
“la función de potencia …. Se puede evidenciar que
, , por lo que parece razonable proponer que
.”
Es decir que utilizado otra notación para derivada sin referenciar su autor y esta
notación aparece como una necesidad cognitiva que procedimental
En la pagina 126 se enuncia un teorema
Supón que es un constante y que y existe.
Si entonces existe y
Si entonces existe y
Si entonces existe y
En resumen
Ahora con la notación de Leibniz los resultados del teorema 3 son:
De manera similar lo realizan con los procesos de producto y de cociente.
Más adelante en la página 134 en la sección 2.3 tazas de cambio en las ciencias
sociales y naturales inicialmente enuncia que las paginas anteriores se vio que
, se puede interpretar entonces que es la rapidez o tasa de cambio
de en la función En esta sección examinaremos algunas de las
41
aplicaciones de esta idea en la física, química, biología, economía y otras
ciencias.
Tengamos presente la idea básica de las tasas de cambio descrita en la sección 1.7 .
Si cambia de a ese cambio es:
Y el cambio correspondiente en es
El cociente de las diferencia
Es la rapidez o tasa promedio de cambio de con respecto a ( o en función de )
en el intervalo y se puede interpretar como la pendiente de la recta secante
. Su límite es la derivada cuando ; esto puede entenderse como la
rapidez instantánea de cambio de en función de ,o como la pendiente de la recta
tangente usamos la notación de Leibniz el proceso toma la forma
Siempre que la función tiene una interpretación especifica en una ciencia,
su derivada la tendrá como rapidez o tasa de cambio. A continuación se describirán
algunas de esas interpretaciones en las ciencias naturales y sociales.
Si es la función de posición de una partícula que se mueve en una línea
recta, representa la velocidad media durante un periodo , y la
velocidad instantánea que es la rapidez de cambio de desplazamiento en función del
tiempo. Ahora, conociendo las fórmulas de diferenciación, podemos resolver con
mayor facilidad los problemas de velocidad.
Hay que los problemas relacionados con movimiento fueron desarrollados por
Newton y no por Leibniz, pero gracias a la equivalencia entre sus notaciones es
utilizada, el autor en el libro de texto pareced no darle mayor relevancia a estos
42
asuntos dejando de lado que la aplicación de estos conceptos de derivada, son
posibles en la naturaleza gracias a la continuidad de los acciones de movimiento
entre otras situaciones.
Es decir que la notación es utilizada para dar sentido a las aplicaciones de las
derivadas, sabiendo que la notación que está utilizando en ese momento, es
semejante a la utilizada por Leibniz.
Con base a las anteriores ideas que son manifestadas en cada uno de los libros de
texto mencionado es necesario que lleve a cabo una revisión semántica y sintáctica
de cada una de las notaciones presentes.
Comparación a nivel semántica de cada uno de los libros de texto.
Para iniciar dar la comparación de a nivel semántico de las notaciones de derivada
es necesario mencionar en el presente documento el significado de semántica para
de esta manera dar sentido a la temática que se aborda a continuación:
Semántica (del griego semánticosz, “lo que tiene significado”), estudio del
Significado de los signos lingüísticos; esto es, palabras, expresiones y oraciones.
Quienes estudian la semántica tratan de responder a preguntas del tipo "¿Cuál el
significado de X (la palabra)?".
Para ello tienen que estudiar qué signos existen y cuáles son los que poseen
significación —esto es, qué significan para los hablantes, cómo los designan (es decir,
de qué forma se refieren a ideas y cosas), y, por último, cómo los interpretan los
oyentes—.Tenemos que partir de una definición previa. Sabemos que todo signo
lingüístico tiene dos caras: el significante o parte material del signo y el significado o
imagen mental que sugiere el significante.12
Lo referido en los libros de texto deja ver elementos de análisis coincidentes con los
hechos por Badillo(2003); En la revisión de los textos, es posible evidenciar que “
12
Tomado de: Profesorenlinea.cl Recuperado el 3 de noviembre de 2011 de
http://www.profesorenlinea.cl/castellano/Semantica1.htm
43
permite concluir (1) que la "pobreza" de técnicas utilizadas para calcular y
no permite la emergencia de estos dos objetos como objetos claramente
diferenciados, y (2), que en general, o bien los autores no son conscientes de la
gran complejidad semiótica que conlleva el paso de la derivada en un punto a la
función derivada, o bien no le prestan la atención que se merece, por otra parte en
los libros de texto no se hace muy explicito , las grandes diferencias entre la
derivada en un punto y la función derivada.
Otra diferencia semántica encontrada en los libros de textos se debe que los
trabajos desarrollados por Leibniz y Newton están encaminadas a dar sustentos a
dos situaciones como lo son los diferenciales y las variaciones de movimiento, ellos
hacen descripciones sobre estos objetos cada uno desde su que hacer, en los libros
de texto se muestran como se interrelacionan y afectan mutuamente pero valga la
aclaración en los libros de textos ya se manifiestan términos, como continuidad,
limite, función, que afectan el significado que se le da hoy a la derivada.
Comparación a nivel sintáctica de la notación de derivada de cada
uno de los textos.
Otras de los parámetros sobre los cuales es necesario analizar la notación de
derivada es la parte sintáctica pero para empezar a evaluar estos parámetros es
necesario que se haga una introducción sobre que es sintáctica como se hará a
continuación
Sintáctica: Se reconoce como la relación que tiene los símbolos con los signos del
lenguaje, es decir la sintáctica se refiere a los símbolos utilizados en los libros de
texto.
En el caso de (Apóstol, 1988) se tiene la siguiente sintáctica con respecto a la
derivada:
44
La anterior sintáctica está referida generalmente a la derivada de una función, sin
embargo las potencialidades de una notación con respecto a la otra no son manifiestas.
Mientras la notación usada por (Stewart, 1998) es:
En la sintáctica utilizada y es posible evidenciar que aquí se hace un estudio
mas detallado de la derivada en un punto, y encontrar su recta tangente, sin
embargo se evidencia varias notaciones, y tampoco se muestra la ventaja de
utilizar una notación con respecto a la otra.
45
CAPÍTULO 4:
COMPARACIÓN DE LAS NOTACIONES ORIGINALES DE LA
DERIVADA VERSUS NOTACIONES ESCOLARES
“Generalizar es siempre equivocarse”
(Hermann Von Keyserling).
Ideas preliminares
Es conveniente mencionar que las notaciones de derivada que se utilizaron
originalmente no son las mismas semánticamente, pero si sintácticamente algunas
de ellas que hoy se encuentran en los libros de texto, las notaciones Matemáticas y
los conocimientos en si han evolucionado, no son los mismos objetos matemáticos
están en constante transformación y creación.
En la historia de las Matemáticas es conocido que la relación de la derivada con la
idea de Límite se da con las teorías de Cauchy y cuando en el campo de las
matemático empieza a discutirse temas sobre la continuidad .
Por otra parte otros de los aportes que permea la avance de la notación de derivada
es la notación de Lagrange, , además es él quien introduce el término
“derivada”, ya que es la que aparece frecuente en los libros de texto de
Matemáticas, esta detallándose minuciosamente sintácticamente es semejante a la
utilizada por Newton.
De manera similar otro de los aportes que inciden en la evolución de la definición de
derivada es la aplicación en otros campos que no solo pudieran ser representados
en el plano cartesiano, como es el caso de las derivadas parciales en las cuales ya
no se habla de la recta tangente a una curva, sino del plano tangente a una
superficie.
46
Por otra parte vale la pena mencionar que los ya mencionados Leibniz y Newton fue
importante la apreciación de cada uno de ellos con respecto a la derivada pero
valga la aclaración que al realizar la revisión a los libros de texto se nota que existe
una especial importancia con respecto a los trabajos realizados por Leibniz, ya que
este se preocupó por la formalidad y la producción de algoritmos , que facilitaran
procesos con respecto a la derivada en un punto, mientras Newton no le dio mayor
importancia a su notación la considero como una ayuda cognitiva, que le permitía
agilizar procesos con respecto a sus trabajos realizados en física, eso permite
evidencia el por qué en los libros de texto revisados no aparece Newton.
Análisis comparativo de la revisión de texto
En este parte se entrará a profundizar sobre los hallazgos encontrados en torno a
las diferencias existentes entre la notación de derivada, en los libros de texto y la
notación de derivada.
En el libro de apóstol en la página 201 habla de álgebra de derivadas pero lo nota
como se debe recordar que esta notación no es precisamente la incluida por
Leibniz que es quien desarrolla el álgebra de notaciones, es decir que en
comparación de las notaciones originales y su manejo se debe tener en cuenta que
los objetos matemáticos en este caso el uso del álgebra en las derivadas no es la
misma.
Por otra parte se debe de reconocer la semántica que está vinculada, con las
notaciones que son utilizadas por Newton y Leibniz, en los trabajos desarrollados.
Semánticamente se debe identificar que las siguientes notaciones son notaciones
diferentes, aunque en el algunos aspectos se interrelacionan estas están haciendo
referencia a objetos totalmente diferentes en matemáticas, es decir cada una dentro
de la teoría, cumple con propiedades semánticas disyuntas, sin ir más lejos; o
razón última de cantidades evanescentes, es la notación que utiliza Newton para
dar sentido, al estudio que realiza en torno del movimiento, y las velocidades, el
47
halla la razón de velocidades de cambio de las denominadas fluentes, mientras
Leibniz utiliza el llamado cociente diferencial los trabajos que son abordados
están relacionados con hallar los diferenciales o diferencias tanto de como de
entre dos puntos de una curva, después de este proceso su cociente permite
determinar la pendiente de la recta tangente, y cada vez que esos diferenciales
sean mas pequeños es posible determinar la recta tangente en un solo punto. Otra
notación para indicar derivada que fue usada con Cauchy y que hoy es utilizada en
los libros de texto es la siguiente aquí Cauchy, está haciendo uso de la idea de
limite, ya que considera esta notación de derivada como una rapidez de cambio
instantánea de una función.
A modo de síntesis de lo planteado se presenta el siguiente cuadro:
Notación que está en los libros
escolares
Notación que aparece
formalmente y que fue realizada
por Leibniz o Newton.
En el libro según (Apóstol T. , 1988)en la
pagina 196 hace mencion de la derivada
como una funcion y definida como un
limite relacionada con el concepto de
velocidad instantanea.
Cuando Newton relaciona su notación de
derivada con el proceso de hallar la
velocidad en una partícula, habla pero de
la derivada en un punto.
En los libros se habla del signo , para
los problemas aquel refieren a la
velocidad y lo llaman a esta letra
diferencial, y lo escriben de esta forma
En los libros cuando se habla de
problemas relacionados con velocidad
que especialmente fueron abordados por
Newton se utiliza , , , y para su
comprensión están descritos de esta
forma:
El concepto del limite y la aplicación de
este, en la presentación de la definición
de derivada los libros la ven como
Leibniz y Newton no utilizan de manera
formal el concepto de limite, ellos hacen
acercamientos intuitivos en su teoría este
48
necesaria, para dar sentido a la derivada aparece mas tarde en los trabajos
elaborados por Cauchy.
Se designa la notación para dar a
conocer los algoritmos de la derivada.
Los procesos algoritmos para la
derivación se llevaron a cabo con la
notación de Leibniz
49
CAPÍTULO 5:
PAPEL DE LAS NOTACIONES EN LA CONSTRUCCIÓN DEL
CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
“Quien no conoce su historia está
condenado a repetir sus errores”.
(Anónimo)
Una de las actividades que son mencionados en el documento guía para la
realización de este escrito, es la sustentación teórica sobre al papel que han jugado
en las Matemáticas las notaciones, pero sobre un aspecto particular como lo es la
notación de derivada, para ello se tomarón como referencia los siguientes
documentos (Andersen, 2009) (Sriraman, 2010) (Teubal, 2007).
Introducción
La evolución del conocimiento y en especial, el matemático, esta en una constante
transformación y construcción, dependiendo de las necesidades culturales,
científicas y tecnológicas de la época. Además el avance del conocimiento
matemático tuvo un crecimiento ayudado de la evolución de las notaciones
Matemáticas, además hay que reconocer que la notación matemática no es un
grupo de símbolos sino una identidad propia, que representan un concepto.
Desde este punto de vista se empezará a dar a conocer el papel de las notaciones
en la construcción del conocimiento matemático desde un enfoque histórico, donde
se dará a conocer los momentos en los cuales es necesario su formalización para
mejorar y agilizar procesos. Más adelante se mencionará el enfoque científico
donde interviene el papel de la notación en los procesos de construcción del
conocimiento matemático, allí se mostraran posturas de diferentes autores que se
50
han interesado sobre temas en la parte científica. Al final una breve conclusión de
los hallazgos encontrados.
Ideas preliminares:
Inicialmente se muestra cada uno de los enfoques para esto es necesario conocer
la definición de algunos términos que se empezaran a mencionar y que es
necesario que se definan claramente para la mayor comprensión del texto:
Signo: Señal o figura que se usa en los Cálculos para indicar la naturaleza de las
cantidades y las operaciones que se han de ejecutar con ellas.13
Símbolo: Representación sensorialmente perceptible de una realidad, en virtud de
rasgos que se asocian con esta por una convención socialmente aceptada. Letra o
figura que representa un número variable o bien cualquiera de los entes para los
cuales se ha definido la igualdad y la suma.14
Notación: Sistema de signos convencionales que se adopta para expresar
conceptos matemáticos, físicos, químicos, etc.15
Notación matemática: es el lenguaje simbólico formal que sigue convenciones
propias. Los símbolos permiten representar conceptos, operaciones y todo tipo de
entidades Matemáticas.16
13 Tomado de: rae.es el 15 de octubre de 2011 de http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=signo
14Tomado de: rae.es el 15 de octubre de 2011 de http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=simbolo
15Tomado d:; rae.es el 15 de octubre de 2011 de http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=notacion
16Tomado d:; rae.es el 15 de octubre de 2011 http://definicion.de/notacion/
51
Enfoques del papel de las notaciones en la construcción del
conocimiento matemático
Desde luego se debe reconocer que las notaciones no solo definen o caracterizan a
un grupo de símbolos y/o signos, dentro de las notaciones también hacen parte las
palabras, los gestos a los cuales se les ha dado un significado propio como se
menciona en (Andersen, 2009).
En este sentido se reconoce que las primeras manifestaciones simbólicas, estaban
cargadas de algún significado, y que se enmarcan dentro de un campo de acción,
para transmitir información esto ha sucedido con las notaciones matemáticas y ha
contribuido al desarrollo del conocimiento matemático, con más detalle se ve a
continuación en el enfoque histórico.
Enfoque histórico:
Las Matemáticas han estado vinculadas al que hacer del ser humano una de las
primeras apariciones que se hace evidente es en la necesidad de contar, pero
surgen algunos cuestionamientos alrededor del desarrollo de esas temáticas como
por ejemplo: ¿Cómo hacían los habitantes de las antiguas civilizaciones para saber
la cantidad de animales en sus rebaños? ¿Cómo hacían para saber la cantidad de
sus bienes?
Según data la historia uno de los primeros procesos que desarrollaron los antiguos
para llevar las cuentas de sus rebaños fue relacionar cada elemento con un objeto,
ya sea una piedra, un trozo de madera, este proceso era efectivo para cantidades
pequeñas, pero si aumentaba el cardinal tal proceso se tornaba dispendioso, y no
preciso en esa medida es necesario que los antiguos, hicieran uso de gráficos que
simbolizaran dicha cantidad, es ahí donde un símbolo empieza a tomar un
significado especial, a convertirse en una notación después de un proceso de
institucionalización, donde ya es posible realizar operaciones sobre este objeto sin
perder el significado semántico. Un ejemplo claro del inicio del progreso de estas
52
notaciones, están las tablillas de barro, y escritas con cuñas de madera de los de los
Babilonios, que se muestra a continuación:
Figura 4 171
Por otra parte esta la cultura Griega, que además de los procesos de conteo
involucró otras ramas de las Matemáticas, tratando de dar solución a algunas
problemas del momento, por ello aspectos de la geometría corresponden en sus
orígenes históricos a esta cultura, a la necesidad de resolver problemas de
agricultura haciendo referencia a el área de sembrado que le correspondía a un
agricultor y problemas arquitectónicos, para la edificación de cada una de las
construcciones emblemáticas de la antigua Grecia. La estadística tiene su origen en
la elaboración de los primeros censos demográficos, la necesidad de cada uno de
los dirigentes de conocer de la cantidad de pobladores de los terrenos donde
dirigen. Los diferentes sistemas de numeración evolucionan paralelamente a la
necesidad de buscar notaciones que permitan agilizar los Cálculos elementales, ya
que permite que las notaciones creadas anteriormente para suplir una necesidad se
perfeccionen, y amplié sus campos de acción, reconociéndose la notación como
una identidad con sentido propio. La teoría de la probabilidad se desarrolla para
17
Tomado de es.wikipedia.org el 15 de octubre de
http://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_babil%C3%B3nica
53
resolver algunos de los problemas que plantean los juegos de azar. Los grandes
matemáticos de los siglos XVII y XVIII desarrollan el Cálculo diferencial e integral en
sus trabajos sobre problemas físicos, es decir las primeras notaciones Matemáticas
que fueron creadas para solucionar problemas de conteo, y simbolizar cantidades
es decir cardinales, ha evolucionado, sin embargo esos conocimientos no quedan
ahí se van perfeccionando y evolucionando de manera incesante y a la vez tal
evolución permite que las Matemáticas se estén relacionando en otros campos del
conocimiento, con la excusa de dar solución a problemas cotidianos, es decir que
las Matemáticas permite modelizar situaciones cotidianas, y que no son en esencia
Matemáticas, y que más adelante pueden dar la posibilidad de dar una teoría
científica sobre tales tipos de situaciones argumentada desde las Matemáticas.
No obstante, la evolución de las Matemáticas no sólo se ha producido por
acumulación de conocimientos o de campos de aplicación. Los propios conceptos
matemáticos de la mano de su respectiva notación han ido modificando su
significado con el transcurso del tiempo, ampliándolo precisándolo o revisándolo,
adquiriendo relevancia o, por el contrario, siendo relegados a segundo plano.
Enfoque científico:
En los procesos en los cuales se considera el papel de las notaciones Matemáticas
en la construcción del conocimiento matemático esta la parte científica y
relacionado especialmente en los procesos de cognición gracias a la información
que transmite la notación como tal, la notación matemática permite que después de
darle un significado propio por asociación se pueden relacionar con otros
conceptos, además permite la notación matemática que los conocimientos se
compriman, sin perder información.
Es necesario vincular el papel de las notaciones Matemáticas en el conocimiento
matemático es decir más enfocado a la parte psicológica, por las ventajas que trae
la parte semiótica de la notación , Ernest(2006) describe los rasgos característicos
54
de la perspectiva semiótica en Educación Matemática resaltando los nuevos
―insight que la ―ciencia de los signos aporta para describir y comprender los
procesos de comunicación y de aprendizaje de las Matemáticas. En esta
perspectiva teórica se trata de modelizar dentro de un marco coherente, tanto el
papel de los sistemas matemáticos de signos, como las estructuras de significados,
las reglas Matemáticas y la fenomenología que motiva la actividad matemática.
Las razones para utilizar el punto de vista de la semiótica en la comprensión de la
enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas son diversas. La semiótica abarca
todos los aspectos de la construcción de signos por el hombre, la lectura e
interpretación de los signos a través de los múltiples contextos en que tiene lugar
dicho uso. No debe ser, por tanto, extraño el uso de la semiótica para estudiar la
actividad matemática, dado el papel esencial del uso de signos en la matemática.
Un papel similar desempeñan los signos, los símbolos, notaciones, etc., en la
comunicación de las ideas Matemáticas en el contexto escolar y en los procesos de
aprendizaje. En consecuencia parece justificado el estudio de la matemática escolar
desde el punto de vista de la ciencia de los signos.
La perspectiva semiótica de la actividad matemática se caracteriza por centrar su
atención de manera primaria en los signos y el uso de los signos, contrariamente a
las perspectivas psicológicas que fijan la atención de manera exclusiva sobre las
estructuras y funciones mentales. Trasciende los límites de las aproximaciones
cognitivas y conductuales de la psicología al adoptar como unidad natural y básica
de análisis el signo. Dado que el signo supone un acto comunicativo, la perspectiva
semiótica abarca de manea conjunta las dimensiones individuales y sociales de la
actividad matemática, la enseñanza y el aprendizaje. El foco primario en la
perspectiva semiótica es sobre la actividad comunicativa en Matemáticas usando
signos. Esto implica tanto la recepción y comprensión vía escuchar y leer, y la
producción de signos vía hablar y escribir‖ (Ernest, 2006, p. 3).
55
CONCLUSIONES
Los tiempos cambian, los procesos tecnológicos, las ciencias, y como buena
ciencia las Matemáticas en particular también cambian, el conocimiento
matemático también evoluciona, se transforma buscando siempre dar aportes
más significativos a la vida y a las necesidades del hombre.
Los estados de invención, construcción, y formalización de un conocimiento
matemático, propician contextos innovadores en Matemáticas que pueden ser
llevados al aula, claro modificando algunos contenidos, que se salen de los fines
educativos del momento, y tomando aquellos que ayudan a formalizarla la
actividad matemática, de esta manera se propiciarían ambientes, donde se
aprovecharía la historia de las Matemáticas, en beneficio de la educación
matemática.
Los hechos matemáticos, los teorema, leyes definiciones, que gozan del
renombre de algún autor, no son necesariamente por la invención de este, es
más cercano conjeturar que el conocimiento que adquirió lo estudio, se
documentó de varios aportes y formuló una nueva propuesta para estos temas,
tal propuesta llamo la atención, fue significativa para el momento en que surgía,
y por esos motivos gozo de prestigio.
Aunque los comentarios de la época estaban alrededor, si Leibniz plagio o no los
descubrimientos hechos por Newton, se pueden evidenciar que al estudiar el
trabajo de cada uno de los autores, existen grandes diferencias, tanto
conceptuales, como intencionales. Mientras Newton estaba preocupado por los
hechos físicos se dio en la necesidad de buscar una notación para ese nuevo
concepto que le permitiría entender los hechos físicos, Leibniz se preocupo por
la formalización, matemática y por fortalecer a través de algoritmos y reglas la
utilización de la notación matemática .
56
El papel de las notaciones Matemáticas en la construcción del conocimiento
matemático, tiene dos enfoques histórico y científico ya que es indiscutible la
gran influencia que tiene la notación matemática en la formalización y evolución
del conocimiento matemática.
Aunque la evolución de las Matemáticas no sólo se ha producido por
acumulación de conocimientos o de campos de aplicación. Los propios
conceptos matemáticos de la mano de su respectiva notación han ido
modificando su significado con el transcurso del tiempo, ampliándolo
precisándolo o revisándolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario, siendo
relegados a segundo plano.
Las notaciones que hoy aparecen en los libros de texto, sobre los cuales se
realizo el estudio (Apóstol, 1988) (Stewart, 1998) son el producto de la
transformación y usos que les han dado algunos matemáticos a lo largo de la
historia.
57
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