Notas de Clase - Concreto Armado _version Beta

Apuntes de clases de Concreto Armado (versión Beta)

Profesor Víctor I. Fernández-Dávila

1

Capítulo 1. Introducción

1.1 Características esfuerzo vs. Deformación del Concreto simple: El comportamiento del

concreto para diversos tipos de solicitación se estudia a través de las curvas de esfuerzo vs.

Deformación. Los esfuerzos representan a la solicitación y las deformaciones a la respuesta.

1.2 Curva esfuerzo vs. deformación del Concreto simple sometido a compresión axial: Las

pruebas a compresión axial del concreto simple se realizan por medio de probetas cilíndricas

cuya esbeltez (h/D) igual a dos. En la práctica se tiene cm 30h = y cm 15D = .

Figura 1.1: Dimensionamiento de las probetas.

El máximo de la curva esfuerzo vs. deformación, corresponde a una deformación unitaria de

dos por mil (0,002) y la falla corresponde a una deformación unitaria de tres a siete por mil

(0,003 a 0,007) dependiendo de la calidad del concreto.

La gráfica esfuerzo vs. deformación del concreto simple sujeto a compresión axial es una

curva, sin embargo el primer tramo es aproximadamente recto y para los efectos prácticos

entre el origen de coordenadas y el punto cuyo esfuerzo es igual a 0,4 ∼ 0,5� c´f , se asimila a

una recta. Dentro de éste tramo del comportamiento concreto es elástico lineal y en el se

cumple la ley de Hooke.



2

Figura 1.2: Curva esfuerzo vs. Deformación del Concreto simple.

Donde:

cc

c Etgf

=α=ε

(1.1)

Siendo Ec el Módulo de elasticidad del concreto y corresponde a la pendiente del tramo recto.

Se ha encontrado experimentalmente la siguiente expresión:

c5.1

c ´fw4300E ⋅⋅= (1.2)

Donde:

w : Peso especifico del concreto en 3m

ton

c´f : Resistencia a la compresión del concreto en 2cm

kg

cE : Módulo de elasticidad del concreto en 2cm

kg

Para un concreto normal se toma 3m

ton3.2w = , con lo cual se obtiene:

cc ´f15000E ⋅= (1.3)

1.3 Efecto de la relación agua cemento (w/c) en la resistencia del concreto: La resistencia

final del concreto depende de la relación c/w (en peso) empleado en la mezcla. Podrá

observarse que a medida que la relación c/w disminuye, la resistencia aumenta pero al

mismo tiempo el concreto se va haciendo más frágil.



3

a) Concreto frágil: deformación pequeña implica resistencia elevada.

b) Concreto dúctil: deformación grande implica resistencia baja.

Figura 1.3: Variación de la resistencia del Concreto según relación agua/cemento (w/c).

1.4 Concreto simple sometido a compresión triaxial: En la Fig. 4 se muestra el ensayo

respectivo. Se debe notar que la carga P es incremental y parte desde cero hasta la falla de la

probeta.

Figura 1.4: Ensayo de compresión triaxial de una probeta de concreto.

Probeta

f2 = cte f2

f1

f1

(0, …, hasta la falla del cilíndro)



4

Figura 1.5: Relación entre la presión de confinamiento f2 y la resistencia a la compresión longitudinal

f1.

Siendo: f1, la resistencia longitudinal; f2, la presión de confinamiento (presión lateral producido por el

aceite; aumenta la resistencia de f1; aumenta la deformación unitaria “ductilidad”)

Figura 1.6: Relación entre los valores máximos de la resistencia a la compresión longitudinal f1 para

diferentes valores de la presión de confinamiento f2.

f2 = 280 kg/cm2

f2 = 140 kg/cm2

f2 = 90 kg/cm2

f2



5

En la Fig. 5 se muestran diversas curvas que relacionan la presión de confinamiento 2f con la

resistencia a la compresión longitudinal 1f . Se observa que la presión de confinamiento

produce un aumento en la resistencia a la compresión longitudinal y también un incremento

en la ductilidad.

En la Fig. 6 se muestra una curva que relaciona los máximos valores de la resistencia

longitudinal 1f para varios valores de la presión de confinamiento 2f . Para efectos prácticos

puede sustituirse la curva por una gráfica idealizada rectilínea cuya expresión es:

2'c1 f1.4ff ⋅+= (1.4)

Los estribos hacen la función del aceite (extremo confinado de la viga).

1.5 Resistencia del concreto simple a la tracción: El concreto cuando recibe esfuerzos de

tracción, falla a un nivel de esfuerzo bastante bajo y a deformaciones pequeñas, es decir, la

falla es del tipo frágil. Por esta razón, para determinar la resistencia del concreto a la tracción

no se hacen las pruebas directamente, si no que se han ideado procedimientos indirectos,

uno de estos procedimientos es el denominado “Ensayo Brasilero”.

Figura 1.7: Esquema del Ensayo Brasilero.

LD

P2fct ⋅⋅π

⋅= (1.5)



6

La fórmula ha sido determinada aplicando la teoría de la elasticidad, en la cual P representa

el valor de la fuerza en el instante de la falla, D es el diámetro del cilindro y L es la longitud

del cilindro de prueba.

1.6 Resistencia del concreto simple a la flexión:

Figura 1.8: Esquema del ensayo a la flexión de una viga de concreto simple.

También es posible evaluar la resistencia a la tracción del concreto por medio de

pruebas de flexión realizadas en vigas de simple. Esto se determina con frecuencia,

ensayando un prisma de concreto simplemente apoyado, sometido a una o dos cargas

concentradas o puntuales. La resistencia en tracción y en flexión, conocida como

Módulo de Rotura ( rf ) se calcula de la fórmula de flexión. Un valor usual aproximado

encontrado por el módulo de rotura es:

cr ´f2f ⋅= (1.6)



7

1.7 Efecto del tiempo en el concreto endurecido: Cuando se aplica una carga a un espécimen

de concreto, este adquiere una forma especial. Si la carga permanece aplicada, la

deformación aumenta con el tiempo, aun cuando no se incremente la carga. Las

deformaciones que ocurren con el tiempo en el concreto se deben esencialmente a dos

causas: contracción y flujo plástico.

Figura 1.9: Efecto del tiempo en el concreto endurecido.

- Si P sigue en A, sin aumentar con el transcurso del tiempo, se llega a B (deformación por

flujo plástico; B es variable).

- En la gráfica se muestran las deformaciones que experimenta una probeta de concreto

simple sometida a la acción de una carga de compresión sostenida. En un instante

cualquiera la deformación total tiene tres componentes: deformación por contracción,

deformación instantánea y deformación por flujo plástico.

a) Deformación por contracción: Las deformaciones por contracción se deben

esencialmente a cambios en el contenido de agua en el concreto a lo largo del tiempo

(cambios volumétricos). La contracción tiende a producir esfuerzos debido a la

restricción al libre desplazamiento del elemento. Se puede estimar que las

deformaciones unitarias debidas a contracción varían entre 0.0002 y 0.001.

b) Deformación instantánea: es aquella que se produjo durante el proceso de aplicación

de la carga.

c) Deformación por flujo plástico: El flujo plástico es un fenómeno relacionado con la

aplicación sostenida de la carga; se trata esencialmente de un fenómeno de

deformación bajo carga continua, debido a un reacomodo interno de las partículas del

concreto que ocurren al mismo tiempo que la hidratación del cemento.

d) Efecto de la permanencia de la carga: Es importante conocer el porcentaje de la

resistencia que puede soportar una pieza de concreto en compresión sin fallar,

cuando la carga se mantiene indefinidamente. Se puede decir con cierto grado de

seguridad que el concreto puede tomar indefinidamente, sin fallar, cargas hasta el



8

60% de su capacidad. Cargas mayores del 70% a 80%, aplicadas de modo

permanente, acaban siempre por provocar la falla del espécimen.

Datos relevantes del concreto simple:

- Módulo de elasticidad al corte del concreto: G ≈ 0.4�Ec.

- Módulo de Poisson: µ ≈ 0.12 a 0.20 (0.15 es el valor más usado).

- Deformación por temperatura: 0.000007 ≤ α ≤0.000010º C-1

1.8 Propiedades del Acero de refuerzo: En concreto armado se emplea como refuerzo aceros

cuyo punto de fluencia es definido. El acero se encuentra disponible en varillas de sección

transversal circular o redonda, las cuales tienen corrugaciones cuya finalidad es restringir el

movimiento relativo longitudinal entre las varillas y el concreto que la rodea. Generalmente el

tipo de acero se caracteriza por el límite o esfuerzo de fluencia; entre estos tipos se tiene los

de grado 40, 50 y 60, que corresponden a los límites de fluencia de 2800, 3500 y 4200

( )2cmKg .

Las curvas esfuerzo vs. deformación del acero muestran una porción inicial elástica lineal,

una plataforma de fluencia (es decir, donde la deformación continúa sin aumento del esfuerzo,

a este valor del esfuerzo se le llama Esfuerzo de Fluencia), una región de endurecimiento por

deformación y finalmente una zona donde el esfuerzo decae hasta ocurrir la fractura o falla.

Figura 1.10: Gráfico Esfuerzo vs. Deformación del Acero.

1º) Para los efectos prácticos se considerará que la curva esfuerzo vs. deformación del

acero tiene un tramo inclinado rectilíneo de comportamiento elástico. En dicho tramo los



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esfuerzos son proporcionales a las deformaciones y la tangente del ángulo de

inclinación del tramo rectilíneo es el módulo de elasticidad del acero.

2º) Un tramo horizontal de comportamiento plástico en el que el acero fluye, es decir,

incrementa sus deformaciones sin incremento en el esfuerzo.

Al punto de intersección de éstos dos tramos se le denomina punto de fluencia; la abscisa y la

ordenada del punto de fluencia se denomina deformación y esfuerzo de fluencia

respectivamente (εy, fy).

Se puede expresar que:

1) Sí ysys ff <⇒ε<ε : Cumple con la ley de Hooke.

2) Sí ysys ff =⇒ε=ε : Cumple con la ley de Hooke.

3) Sí ysys ff =⇒ε>ε : No se cumple con la ley de Hooke.

Todos los aceros que se utilizan como refuerzo en concreto armado tienen el mismo módulo

de elasticidad Es = 2�106 kg/cm2 y solamente se diferencian en su resistencia a la fluencia

(valor típico: fy=4200 kg/cm2). El acero usado en las obras es el corrugado; éste acero posee

en su superficie asperezas que le facilita la adherencia al concreto.

Figura 1.11: Gráfico Esfuerzo vs. Deformación del Acero para diferentes valores de fy.

a) Módulo de elasticidad del acero: El módulo de elasticidad del acero está dado por la

pendiente de la porción elástica lineal de la curva esfuerzo versus deformación. El valor del

módulo de elasticidad de los distintos tipos de aceros cambian muy poco y generalmente se

toma igual a 6102 ⋅ ( )2cmKg

Mecánica del Concreto Armado:

Se denomina mecánica al conjunto de conocimientos que nos permite predecir con cierto grado de

certidumbre como se comporta una estructura de forma y dimensiones dadas cuando se somete a



10

la acción de cargas u otras solicitaciones. Dentro del estudio del concreto armado nos interesa dos

conceptos:

1) Resistencia: se denomina a así a las cargas de una determinada distribución que producen

la falla de la estructura.

2) Las condiciones de servicio: tales como agrietamientos y deformaciones que puede

presentarse durante la vida útil bajo la acción de las cargas de servicio.

Debemos determinar o controlar la resistencia, el agrietamiento y las deformaciones.

El tratamiento de las estructuras de concreto armado se basa en las siguientes hipótesis

fundamentales:

a) En una sección cualquiera las fuerzas internas (axiales, cortantes, momentos flectores,

momentos torsionantes) están en equilibrio con las fuerzas exteriores.

b) Se admite que en una sección de concreto armado se cumple la hipótesis de Navier, se

enuncia expresando que las secciones planas antes de la deformación continúan como

tales durante y después del proceso de carga.

c) Se admite que hay perfecta adherencia entre el concreto y el acero de refuerzo, es decir,

que no hay desplazamiento relativo del acero con respecto al concreto.

d) Se admite que una vez producido el agrietamiento, el concreto no soporta o no transmite

esfuerzo de tracción (εs = εc).

e) La relación entre esfuerzos y deformaciones en una estructura real es la misma que en las

curvas esfuerzo vs. deformación del concreto y del acero (elementos constitutivos del

concreto armado).

Figura 1.12:

Figura 1.13:



11

Las hipótesis mencionadas anteriormente suplementadas con resultados de investigaciones

experimentales, permiten establecer una teoría del concreto armado.

Fundamentos de diseño en Concreto Armado

e) El diseño estructural

La estructura debe concebirse como un sistema o conjunto de partes y componentes que se

combinan ordenadamente para cumplir una función dada. El proceso de diseño de un sistema,

comienza con la formulación de los objetivos que se pretende alcanzar y con las restricciones

que se deben tener en cuenta. El proceso es cíclico; se parte de consideraciones generales,

que se afinan en aproximaciones sucesivas, a medida que se acumula información sobre el

problema.

Idealmente el objeto del diseño de un sistema es la optimización, es decir, la obtención de todas

las mejores soluciones posibles. El lograr una solución óptima absoluta es prácticamente

imposible, sin embargo, puede ser útil optimizar de acuerdo con determinado criterio, tal como

el peso o costo mínimo; teniendo en cuenta siempre que no existen soluciones únicas, sino

razonables.

f) El diseño por estado límite

Trata de lograr que las características acción-respuesta de un elemento estructural estén dentro

de límites aceptables. Según este método, una estructura o un elemento estructural deja de ser

útil cuando alcanza un estado límite, en el que deja de realizar la función para el cual fue

diseñado. Se propone que la estructura se diseñe con referencia a varios estados límites. Los

estados límites más importantes son:

a. resistencia bajo carga máxima

b. deflexiones y anchos de grietas bajo carga de servicio.

En consecuencia la teoría de la resistencia máxima SE ENFOCA PARA EL DIMENSIONAMIENTO

DE LAS SECCIONES, utilizando la teoría elástica. Sólo para asegurar el compartimiento bajo

cargas de servicio.



12

Para revisar la seguridad de una estructura, se debe verificar que la resistencia de cada elemento

estructural y de la estructura en conjunto sea mayor que las acciones que actúan sobre los

elementos o sobre las estructuras.

A continuación se dan las recomendaciones de resistencia para la seguridad estructural de acuerdo

al ACI-318, la cual se divide en 2 partes: Factores de carga y Factor de reducción de capacidad de

resistencia.

A) Factores de carga: éstos tienen el propósito de dar seguridad adecuada contra un

aumento en las cargas de servicio más allá de las especificaciones en el diseño, para que

sea sumamente improbable la falla. Los factores de carga también ayudan a asegurar que

las deformaciones bajo cargas de servicio no sean excesivas. El código ACI – 318

recomienda la resistencia U para resistir las cargas sean:

i) Para combinaciones de carga muerta o viva

L7.1D4.1U ⋅+⋅=

Donde D : Carga muerta y L : Carga viva

ii) Para combinaciones de carga muerta, viva y eventuales (sismo, viento, etc.)

( )W7.1L7.1D4.175.0U ⋅+⋅+⋅⋅=

( )E87.1L7.1D4.175.0U ⋅+⋅+⋅⋅=

Nota: E1.1W ⋅=

Cuando la carga viva sea favorable se deberá realizar las combinaciones de carga muerta y

eventual con los siguientes factores de carga:

W3.1D9.0U ⋅+⋅=



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E43.1D9.0U ⋅+⋅=

B) Factor de reducción de capacidad de resistencia ( )φ : éstos toman en cuenta las

inexactitudes y fluctuaciones en la resistencia del material, en la mano de obra y en las

dimensiones. En las vigas se considera el más alto valor deφ , debido a que están diseñadas

para fallar por flexión de manera dúctil, con fluencia del acero en tracción. En las columnas tiene

el valor más bajo de φ , puesto que pueden fallar en modo frágil cuando la resistencia del

concreto es el factor crítico, adicionalmente la falla de una columna puede significar el desplome

de toda la estructura y es difícil realizar la separación.

Para:

Flexión : φ = 0,90

Corte : φ = 0,85

Flexo-comprensión : φ = 0,75 (columnas zunchadas)

φ = 0,70 (columnas estribadas)



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Capítulo 2. Flexión en vigas

2.1 Flexión en vigas homogéneas: La teoría que se expone es aplicable a vigas de material

elástico, homogéneo e isotrópico. Las hipótesis fundamentales son las siguientes:

a) Se considera válida la hipótesis de Navier.

b) El esfuerzo en un punto esta relacionado con la deformación en el punto en la misma

forma que en la gráfica esfuerzo vs. deformación de los materiales. Se deduce para

este tipo de vigas que cuando los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad

del material:

- El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transversal de la viga.

Los esfuerzos normales de flexión se calculan con la Ec. (2.1), donde:

M, es el momento flector actuante en la sección;

y, es la distancia del eje neutro a la fibra en estudio;

I, es el momento de inercia de la sección con respecto al eje neutro.

I

yMf

⋅= (2.1)

- Los esfuerzos cortantes se calculan con la Ec. (2.2), donde:

V, es la fuerza cortante actuante en la sección;

B, es el momento estático del área achurada (Fig. XX) con respecto al eje neutro;

b, es el ancho de la sección a la altura de la fibra donde se calcula el esfuerzo.

bI

BVv

⋅

⋅=

(2.2)

- El momento y la fuerza cortante en planos de inclinación cualesquiera generan

esfuerzos normales y esfuerzos cortantes. Los planos en donde no existen

esfuerzos cortantes se denominan planos principales de esfuerzos y los esfuerzos

correspondientes se denominas esfuerzos principales. Los esfuerzos principales se

calculan con la Ec. (2.3) y la inclinación del esfuerzo principal mayor con la Ec.

(2.4).



15

+

±== 22

2

1 v2

f

2

f

t

tt

(2.3)

f

v22 tg

⋅=α

(2.4)

Problemas de aplicación

1) Para la viga mostrada en la figura, calcular (y hacer los diagramas correspondientes) los

esfuerzos normales y cortantes para una sección situada a 1,2 m del apoyo izquierdo.

2) Los esfuerzos principales y su inclinación para una sección situada a 1,4 m del apoyo

izquierdo y a 10 cm debajo del eje neutro.

3) Para la sección T dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes.

2.2 Vigas de Concreto Armado. (sección rectangular con acero en tracción)

Figura 2.1: Comportamiento a flexión de una viga de concreto armado.



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Las Figs. 2.1 (3) y (4) muestran los diagramas de deformaciones y esfuerzos en una sección

típica de la viga correspondiente al Estado Elástico No-Agrietado; las Figs. 2.1 (6) y (7)

muestran los diagramas de deformaciones y esfuerzos en una sección típica de la viga

correspondiente Estado Elástico Agrietado; y las Figs. 2.1 (8) y (9) muestran los diagramas de

deformaciones y esfuerzos en una sección típica de la viga que se encuentra Próximo a la

falla.

1) Falla por fluencia del acero: El concreto esta sub-reforzado (falla el acero).

2) Falla por aplastamiento del concreto: El concreto esta sobre-reforzado (falla el concreto).

3) Falla balanceada: Hay equilibrio entre la fluencia del acero y el aplastamiento del

concreto.

Si a una viga de sección rectangular con acero en tracción únicamente, tal como la mostrada

en la Fig. 2.1, se somete a la acción de cargas crecientes hasta que se produzca la falla se

observan diferentes etapas de comportamiento:

1. A cargas relativas bajas tales que los esfuerzos de tracción en el concreto en las fibras

exteriores no sobrepasen la resistencia a la tracción del concreto (módulo de rotura), toda

la sección es hábil para resistir esfuerzo. Las fibras de la parte superior soportan

esfuerzos de compresión y las fibras inferiores de tracción.

Los diagramas de esfuerzo y deformación se muestran en las Figs. 2.1 (3) y (4). Podrá

observarse que la variación del esfuerzo es lineal. A este estado se le denomina estado

elástico no-agrietado.

2. Si seguimos incrementando las cargas exteriores llegara un instante en que los esfuerzos

de tracción en las fibras inferiores igualan a la resistencia a la tracción por flexión del

concreto (módulo de rotura) y comienzan a aparecer grietas verticales; a medida que se

incrementan las cargas, estas grietas avanzan hacia arriba (por comodidad, supondremos

que el eje neutro coincide con la parte superior de una grieta). Admitiendo que el concreto

una vez agrietado no soporta esfuerzos de tracción y siempre que las cargas externas

sean tales que el esfuerzo en la fibra más comprimida del concreto sea inferior a c´f5.0 ⋅

puede admitirse que la variación de los esfuerzos es lineal en el concreto.

Los diagramas de esfuerzo y deformación se indican en las Figs. 2.1 (6) y (7). A este

estado se le denomina estado elástico agrietado.



17

3. Si seguimos incrementando la carga exterior, las grietas irán aumentando en longitud y en

espesor y progresan hacia arriba, el eje neutro se desplaza también, la relación entre los

esfuerzos en el concreto deja de ser lineal y finalmente sobrevendrá el colapso de la viga

en una de las tres formas siguientes:

3.a) En vigas con poco refuerzo, el esfuerzo de fluencia en el acero se alcanzará antes

que se haya agotado la resistencia a la compresión en el concreto. Al comenzar la

fluencia del acero se producen grandes deformaciones, las grietas progresan hacia

arriba, sobrevendrá el aplastamiento del concreto (falla secundaria) y luego el

colapso del elemento. A este tipo de falla se denomina falla por fluencia del acero

y es del tipo dúctil.

3.b) Para vigas sobre reforzadas o con esfuerzo de fluencia alto y refuerzo moderado, la

falla puede iniciarse por aplastamiento del concreto antes que se alcance la fluencia

del acero.

Este tipo de falla es de naturaleza violenta, o sea del tipo frágil, y se llama falla por

compresión o por aplastamiento. Debe remarcarse que en general en este tipo

de falla, el acero no ha llegado a la fluencia.

3.c) Falla balanceada: Se denomina así a aquella falla que se inicia simultáneamente

por fluencia del acero y por aplastamiento del concreto. Este es un estado de falla

ideal.



18

Posición en la gráfica esfuerzo vs. deformación del acero en los tres tipos de falla

Figura 2.2: Gráfica idealizada esfuerzo vs. deformación del acero.

3.a) Falla por fluencia del acero: ysys ff =⇒ε>ε

3.b) Falla por compresión o por aplastamiento: ysys ff <⇒ε<ε

3.c) Falla balanceada: ysys ff =⇒ε=ε

Nota: en )b3 y )c3 se cumple la Ley de Hooke: ( )α==ε

tgEf

ss

s

2.3 Análisis del estado de esfuerzo vs. deformación para vigas de sección rectangular con

acero en tracción en los tres estados de comportamiento.

1°) Estado Elástico (sección sin agrietar).

Figura 2.3: Esquema correspondiente al estado elástico no agrietado.



19

Puesto que se admite que no hay desplazamiento relativo entre el acero y el concreto, las

deformaciones unitarias en los puntos de contacto de ambos materiales serán las mismas.

cc

ss

S

s

c

ccs f

E

Ef

E

f

E

f⋅=⇒=⇒ε=ε

(2.5)

Se define: c

s

E

E=η , razón de módulos de elasticidad de Young del acero de refuerzo y del concreto.

Luego se tiene:

cs ff ⋅η= (2.6)

La fuerza de tracción en el acero será:

csss f)A(fAT ⋅η⋅=⋅= (2.7)

La última expresión significa que para los efectos de cálculo de los esfuerzos puede sustituirse el

área del acero sA por un área de concreto igual a η⋅sA y tratarse a la viga como si fuera

completamente de concreto.

Figura 2.4: Esquema correspondiente a la transformación de la sección transversal.

Obtenida la sección transformada los esfuerzos se calculan tratando a la viga como si fuera de un

solo material (todo de concreto). Los esfuerzos en el acero se pueden obtener con la ecuación

anterior.



20

4

223

380,512

)5,3155(*105)305,31(*60*2512

60*25

cmI

I

t

t

=

−+−+=

Ejemplo 1: Para una viga de sección rectangular se tiene b = 25 cm, d = 55 cm, h = 60 cm, sA =

253φ = 15 cm2, c´f = 280 2cmKg , yf = 4200 2cmKg , rf = 2 c´f . Encontrar los esfuerzos en las

fibras más comprimidas y en las fibras más traccionadas, y también los esfuerzos en el acero

producido por un momento de M = 5 mT ⋅ .

( )( )

81025,0

102

E

E

cm/kg102E

cm/kg 000.250E

28015000´f15000E

6

6

c

s

26s

2c

cc

=⋅

⋅==η

⋅⋅=

=

⋅=⋅=

( ) ( ) 2s cm10518151A =−⋅=−η=

Cálculo de cm5,311056025

55105306025y =

+⋅⋅+⋅⋅

=

Cálculo de

Cálculo de t

yct I

Mff ==

( )2ct

5

ct

cm/kg 28f

380,512

5,28)105(f

=

⋅⋅=

( )2cr cmKg 5.332802´f2f =⋅=⋅=

Luego ( ) ( ) !OkcmKg 5.33fcmKg 28f 2r

2ct =<=



21

Cálculo de ccf

( ) ( )2c

2cc

5

cc

cm/Kg 140´f5,0cm/Kg5,30f

380,512

5,31)105(f

=⋅<=

⋅⋅=

Cálculo de sf

( )

9,228fffinalmente

cm/Kg 9,22f

380,512

)5,3155()105(f

cs

2cc

5

cc

⋅=⋅η=

=

−⋅⋅=

( ) ( ) !Okcm/Kg4200fcm/Kg2,183f 2y

2s =<=



22

2°) Estado Elástico (sección agrietada).

Figura 2.5: Esquema correspondiente al estado elástico agrietado.

Para el cálculo de los esfuerzos pueden emplearse la sección agrietada transformada. En la sección

agrietada transformada el momento estático con respecto el eje neutro del área de compresión es

igual al momento con respecto al eje neutro del área en tracción.

( )dkdA2

dkbdk s ⋅−⋅η⋅=

⋅⋅⋅⋅

( )k1dA2

bdks

22

−⋅⋅η⋅=⋅⋅

( )k1dA2bdk s22 −⋅⋅η⋅⋅=⋅⋅

( )k1ddb

A2

db

bdk s22

−⋅⋅η⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅

⇒⋅

=ρdb

A s Cuantía del Acero

Luego:

( )( )

( )( )

( ) η⋅ρ⋅+η⋅ρ+η⋅ρ−=

η⋅ρ⋅+η⋅ρ±η⋅ρ−=

=η⋅ρ⋅−⋅η⋅ρ⋅+

−⋅η⋅ρ⋅=

−⋅η⋅⋅ρ⋅=⋅

2k

2k

02k2k

k12k

k1d2dk

2

2

2

2

2

Conocida la posición del eje neutro para el cálculo de los esfuerzos se puede seguir dos caminos:

1) Se encuentra el momento de inercia de la sección agrietada transformada con respecto al eje

neutro tI y luego los esfuerzos de compresión con la expresión:



23

tI

yM ⋅

2) Como se indica a continuación

dj ⋅ = Brazo del par interior

dj ⋅ = ⇒⋅

−3

dkd j = 1-

3

k

⇒⋅⋅⋅

= b2

dkfC c Resultante de las fuerzas de compresión en el concreto.

⇒⋅= ss fAT Fuerza de tracción en el acero.

⇒⋅⋅= djCM Momento resistente (igual al Momento Exterior).

⇒⋅⋅⋅⋅⋅

= djb2

dkfM c 2

c dbfjk2

1M ⋅⋅⋅⋅⋅=

⇒⋅⋅⋅⋅

=2

c

dbjk2

1M

f Esfuerzo máximo de compresión en el concreto.

⇒⋅⋅= djTM djfAM ss ⋅⋅⋅=

⇒⋅⋅

=djA

Mf

ss Esfuerzo máximo de tracción en el acero.

Finalmente:

⇒⋅−⋅η⋅+⋅

⋅= 2s

3

t )dkd(A3

)dk(bI Momento de Inercia de la sección transformada

Ejemplo 2: Para la viga del problema anterior obtener el máximo esfuerzo de compresión en el

concreto y el esfuerzo en el acero para un momento ( )mT10M ⋅= calcule el momento de inercia

de la sección transformada agrietada.



24

56380.512

5.28)1010(

I

y*Mf

5

tct =

⋅⋅== ( )2cmKg > sf = 33.5 k/cm2 estamos en el 2do caso

“ k “ , 8=η

886.03

k1j342.0k011.0

5525

15=−=⇒=⇒=

⋅=ρ

.cm8.1855342.0dk =⋅=⋅ ∴ la sección se fisura violentamente y casi en los .cms19

13455866.015

1010f

5

s =⋅⋅

⋅= ( )2cmKg < ( )2

y cmKg4200f = , Está en la zona elástica

885525342.0886.05.0

1010f

2

5

s =⋅⋅⋅⋅

⋅= ( )2cmKg < 50 % cf = 140 ( )2cmKg

∴ El Concreto está trabajando elásticamente.

La inercia de la sección transformada agrietada será:

( ) ( ) 42s

3

t cm000.215dkdA3

dkbI =⋅−⋅η⋅+

⋅⋅= .

Luego

44.87000.215

8.181010f

5

c =⋅⋅

= ( )2cmKg

1346837.168215000

)8.1855(1010f

5

s =⋅=−⋅⋅

= ( )2cmKg

Comparando los resultados de los estados no agrietados y agrietados se tiene:

1º) El eje neutro ha avanzado hacia arriba de tal manera que ha pasado de 31.5 a 18.8.

2º) El esfuerzo en el acero ha crecido de 183.2 ( )2cmKg a 1340 ( )2cmKg , es decir 7,3 veces.



25

3º) El esfuerzo máximo de compresión en el Concreto ha variado de 30.5 ( )2cmKg a

88 ( )2cmKg , es decir 2.9 veces

4º) El momento de Inercia ha variado de 512 380 4cm a 2 215 000 4cm , es decir - 42%



26

3°) Resistencia última (análisis general).

En las figuras se muestran los diagramas de esfuerzos de fuerzas y deformaciones cuando una viga

de sección rectangular de concreto armado con acero en tracción únicamente está próxima la falla.

Se supone que cuando la sección está próxima a la falla, la deformación máxima por compresión en

el concreto es 003.0EE uc ==

La forma del diagrama de esfuerzo de compresión en el concreto cuando la sección está próxima a

la falla no se conoce exactamente, razón por la que no se puede derivar una teoría de rotura

utilizando únicamente los conceptos de la mecánica estructural. Sin embargo, utilizando la

información experimental como complemento de los conceptos de la mecánica estructural se puede

obtener la resistencia o resistencia última de la sección que estamos estudiando.

Para determinar la resistencia de la sección se necesita conocer:

a) la resultante C de las compresiones en el concreto.

b) La posición de dicha resultante.

La resultante de las compresiones s e puede escribir como cbfC ⋅⋅= , donde f es el promedio de

esfuerzos en el concreto. Este f en el concreto puede tomarse como c´ff ⋅α= , por lo tanto:

cb´fC c ⋅⋅⋅α= .

El valor de α se ha determinado experimentalmente. La posición de la resultante queda definida

por c∗2β , también 2β se ha determinado experimentalmente.

Valores de los parámetros 231 y ββ⋅β=α



27

• 72.0=α para ( )2c cmKg280´f ≤ y decrece en 0,04 por cada ( )2cmKg70 de aumento de

c´f sobre ( )2cmKg280 pero α no debe tomarse inferior a 0,55.

• 85.01 =β para ( )2c cmKg280´f ≤ disminuye en 0,05 o 5 centésimas por cada

( )2cmKg70 de aumento c´f sobre ( )2cmKg280 . 1β no debe tomarse menor que 65.0

• 85.03 =β

• 2

12

β=β .

La distribución real de los esfuerzos de compresión se puede sustituir por cualquier otro diagrama

de esfuerzo, siempre y cuando tenga la misma resultante que el diagrama real y la misma posición

de la resultante.

El reglamento ACI recomienda el diagrama rectangular equivalente que se muestra en la figura. A

continuación se demuestra que el diagrama de esfuerzos tiene la misma resultante del diagrama

real.

ba´f85.0C c1 ⋅⋅⋅=

( ) bc´f85.0C 1c1 ⋅⋅β⋅⋅=

cb´fC c131 ⋅⋅⋅β⋅β=

cb´fC c131 ⋅⋅⋅β⋅β=

Ccb´fC c1 =⋅⋅⋅α=



28

3a) RESISTENCIA ÚLTIMA: FALLA POR FLUENCIA

Por equilibrio de fuerzas horizontales se tendrá:

TC =

ysc fAba´f85.0 ⋅=⋅⋅⋅

b´f85.0

fAa

c

ys

⋅⋅

⋅=

b´f85.0

fAac

c1

ys

1 ⋅⋅β⋅

⋅=

β=



29

db

A s

⋅=ρ

b´f85.0

fdbc

c1

y

⋅⋅β⋅

⋅⋅⋅ρ=

1c

y

c1

y

85.0

d

´f

f

´f85.0

fdc

β⋅⋅

⋅ρ=

⋅β⋅

⋅⋅ρ=

=⋅ρ

=c

y

´f

fw Cuantía Mecánica o índice de refuerzo

185.0

dwc

β⋅⋅

=

1

dw18.1c

β⋅⋅

=

dw18.1a ⋅⋅=

Cálculo del Momento Último

−⋅⋅=2

adfAM ysn

⋅⋅−⋅⋅=

2

dw18.1dfAM ysn

( )dw59.0dfAM ysn ⋅⋅−⋅⋅=

( )w59.01dfAM ysn ⋅−⋅⋅⋅=

( )w59.01dfdbM yn ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅ρ=



30

( )w59.01fdbM y2

n ⋅−⋅⋅⋅⋅ρ=

3b) RESISTENCIA ÚLTIMA: FALLA POR COMPRESIÓN

En este caso, el esfuerzo en el acero es menor que el esfuerzo de fluencia. Por equilibrio de fuerzas

horizontales:

TC =

ba´f85.0fA css ⋅⋅⋅=⋅

bc´f85.0fA 1css ⋅⋅β⋅⋅=⋅ (1)

Del diagrama de deformaciones se tiene:



31

cdcsu

−

ε=

ε

( )c

cdus

−⋅ε=ε (2)

Además: sss Ef ⋅ε=

( )c

cdEf uss

−⋅ε⋅= (3)

Reemplazando (3) en (1)

( )bc´f85.0

c

cdEA1c

uss ⋅⋅β⋅⋅=−⋅ε⋅⋅

(4)

De (4) se calcula “ c ” y de (3) se calcula sf y con (2) sε :

Cálculo de la resistencia

−⋅⋅=2

adfAM ssn

cA 1 ⋅β=

3c) RESISTENCIA ÚLTIMA: FALLA BALANCEADA



32

Por equilibrio de fuerzas horizontales:

TC =

bc´f85.0fA b1cssb ⋅⋅β⋅⋅=⋅

db

A sbb ⋅=ρ Cuantía Balanceada

d

c

f

´f85.0 b

1y

cb ⋅β⋅⋅=ρ

Del diagrama de deformaciones se tiene que:

cdcy

b

u

−

ε=

ε

( ) buuby cdc ⋅ε−⋅ε=⋅ε

2000000

f003.0

d003.0dc

yyu

ub

+

⋅=

ε+ε

⋅ε=



33

yb f6000

d6000c

+⋅

=

yy

c1b f6000

6000

f

´f85.0

+⋅⋅β⋅=ρ

bρ : Cuantía balanceada simboliza la cantidad de acero que hace que la viga ideal inicie la falla

simultáneamente por fluencia de acero y por aplastamiento del concreto.

En una viga real:

1) si ⇒ρ<⋅

=ρ bs

db

A la falla se inicia por fluencia del acero.

2) si ⇒ρ>ρ b la falla se inicia por aplastamiento del concreto.

3) si ⇒ρ=ρ b la falla será balanceada y el momento nominal.

−⋅⋅=2

adfAM ysn

El reglamento del ACI 318 especifica que para diseño se debe cuidar que la falla si se presenta sea

por fluencia del acero, es decir que bρ<ρ y establece que el bmax 75.0 ρ⋅=ρ , en países sísmico

se recomienda que bmax 5.0 ρ⋅=ρ .

CUANTÍA MÍNIMA

Se tomara el valor mayor de las siguientes expresiones:

y

c

y f

´f8.0

f

14⋅==ρ

Donde c´f y yf están en ( )2cmKg



34

DISEÑO POR FLEXION

Para el diseño por flexión debemos saber que el tipo de falla deseable es el dúctil (3ª) con la cual la

sección ha desarrollado grandes deformaciones.

Ejemplo:

( )( )2

y

2c

cmKg2800f

cmKg200´f

2844A

25H

=

=

−

Calcular minmaxb ,, ρρρ .

Respuesta:

035.028006000

6000

2800

20085.085.0b =

+

⋅⋅⋅=ρ

8.1018.0035.025.0max ==⋅=ρ %

( )004.0;005.0f

2008.0,

f

14

yymin =

⋅=ρ

50

25

44

sA = 2cm8.194425018.0 =⋅⋅

2cm5.54425005.0 =⋅⋅



35

Teniendo estas consideraciones, seleccionamos un valor para la cuantía con el cual dimensionamos

la sección, sabemos que:

⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅

⋅ρ⋅φ=

b´f85.0

fA

2

1d´f

´f

fM

c

ysc

c

ybu

Luego:

−⋅⋅⋅φ=⋅φ=2

adfAMM ysuu

Finalmente:

( )w59.01w´fdbM c2

u ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅φ=

Esta ultima expresión es la de dimensionamiento, donde los valores desconocidos son b y d

(ancho y altura efectiva), los cuales el diseñador escogerá respectivamente.

CÁLCULO DEL ACERO

Una vez dimensionada la sección, el cálculo del acero se efectuara haciendo simplemente una

iteración en las siguientes dos expresiones:

−⋅⋅φ=

2

adf

MA

y

us ,

b´f85.0

fAa

c

ys

⋅⋅

⋅= y

5

da =



36

Vigas “T” e “I”

Viga “T” Aislada

Alma

Patín o Ala

As

bw

b

0.14,0.17,0.20,0.25

0.10 0.30 0.10

hf

Losa



37

Viga “T” Simétrica

ACI

- La losa y la viga debe ser construida en forma monolítica.

VIGAS SIMETRICAS

l = luz libre de la viga

fh = espesor de la losa

B = distancia libre entre vigas

Condiciones:

1.- 4

lb ≤

2.- fow h8b

2

bb⋅≤=

−

3.-2

B

2

bb w ≤−

Viga con

1 solo patín

b efectivo

b

b

b

0b

fh

wb

sA



38

VIGAS CON PATIN A UN SOLO LADO

Condiciones:

1.- 12

lbb w ≤−

2.- fw h6bb ⋅=−

3.-2

Bbb w ≤−

VIGAS “T” AISLADAS

1.- 2

bh w

f ≥

2.- wow b4b

2

bb⋅≤=

−

ANALISIS DE VIGAS “T” E “I”

Se Tienen 3 casos:

wb

b

b

0b

fh

wb

sA

b

fh

wb

c

sε

003,0u =ε c a´f85,0 c∗∗c

003,0=uεc

c´f85,0 ∗

c C

T

C

T

a



39

1.- Si fhc ≤ , entonces la viga se analizará como una sección rectangular de ancho “b”, es decir:

−⋅⋅⋅φ=⋅φ=2

adfAMM ysnu

Donde

b´f85,0

fAa

c

ys

⋅⋅

⋅=

2.- Si fha ≤ , entonces la vigas se analizará como una sección rectangular de ancho “b”, igual que

en el caso 1.

3.- Si, fha > , el análisis es como sigue:

=

=

b

fh

wb

As

h

wb

fA

−2

ad

ys fAT ∗= 11

abfCc wc ∗∗∗= ´85,01



40

+

De la figura se tiene:

−⋅⋅+

−⋅⋅=2

hdfA

2

adfAM f

y2sy1sn

Además:

2ss1s AAA −=

Del primer estado se tiene:

wc

y1s

y1swc

1

b´f85,0

fAa

fAba´f85,0

TCc

⋅⋅

⋅=

⋅=⋅⋅⋅

=

Reemplazando el valor 1sA , se tiene

( )y

wc

2ss fb´f85,0

AAa ⋅

⋅⋅

−=

Del segundo estado se tiene

2sA

( ) cfw fhbbCc ´85,02 ∗∗∗−=

ys fAT ∗= 22

−2

ad



41

( )( )

y

wfc2s

y2swfc

y2s2

22

f

bbh´f85,0A

fAbbh´f85,0

fACc

TCc

−⋅⋅⋅=

⋅=−⋅⋅⋅

⋅=

=

Finalmente, el valor del momento nominal estará dado por:

( )

−⋅⋅+

−⋅⋅−=2

hdfA

2

adfAAM f

y2sy2ssn

DETERMINACION DE LA CUANTIA BALANCEADA

Recordemos que la cuantía balanceada se encuentra para el estado en que empieza la fluencia del

acero en tracción. Haciendo equilibrio se tiene:

db

A

db

1d

f6000

6000b

f

´f85,0

db

A

df6000

6000a

fAab´f85,0fA

CcCcT

2s

y1w

y

cs

y1b

y2sbwcys

21

⋅+

⋅⋅⋅

+⋅β⋅⋅⋅=

⋅

⋅

+⋅β=

⋅+⋅⋅⋅=⋅

+=

Se define: db

A

w

2s2 ⋅=ρ

( )b

b

db

bA w2b

s ∗ρ+ρ=⋅

⋅

Caso 1:

Si la cuantía se define como

db

A

w

s

⋅=ρ , se tiene



42

2b ρ+ρ=ρ

Caso 2:

Si la cuantía se define como

( )b

bw2b ⋅ρ+ρ=ρ

Donde

+⋅⋅⋅β=ρ

yy

c1b f6000

6000

f

´f85,0

CUANTIA MAXIMA: (ACI 318)

bmax 75,0 ρ⋅=ρ≤ρ

As MINIMO

Para el caso que se encuentre el ala en compresión, se tomará el valor mayor de las dos siguientes

expresiones:

dbf

14A

ymins ⋅⋅=

dbf

´f85,0A

y

cmins ⋅⋅

⋅= α−

Donde c´f y yf están en 2cmKg

Para el caso en que el ala se encuentra en tracción, se tomará el valor mayor de las dos siguientes

expresiones: α



43

y no siendo mayor a

dbf

´f6,1A w

y

cmins ⋅⋅⋅=

Notas de Clase - Concreto Armado _version Beta

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