Microeconoma

1 TEORIA DEL CONSUMIDOR

1.1 Relacion de Preferencias

X conjunto de las posibles elecciones, X Rn, la canasta x X donde x = (x1, ..., xn)Las preferencias de un agente economico sobre X

x % y x es al menos tan bueno como y x y x % y y % x, es decir, x es mejor que y x y x % y y % x

Definicion La relacion de preferencias % es racional si posee las dos caracteristicas. Completas: para todo x, y X, tenemos que x % y o y % x o ambos Transitivas: Para todo x, y, z X, si x % y y y % z entonces x % z

Definicion: Una funcion u : X R es una funcion de utilidad que representa las prefrencias % si, para todox, y X

x % y u(x) u(y)

Note que una funcion de utilidad que representa las prefrencias % no es unica. Para cualquier funcion deutilidad estrictamente creciente f : R R, v(x) = f(u(x)) es una nueva funcion de utilidad que representa lasmisma prefrencias ya que u() solamente ordena alternativas de menos a mas preferidas. Las propiedades dela funcion de utilidad que son invariantes ante transformaciones transformaciones estrictamente crecientes y sedenominan ordinales, Las cardinales son aquellas que no se preservan ante dichas transformaciones. La relacionde prefrencia asociada con la funcion de utilidad es una propiedad ordinal, mientras que los valors numericos quetoma la funcion de utilidad asociados a cada valor en X son cardinales, por tanto la medida de las diferenciasen el valor de utilidad entre alternativas son propiedades cardinales.

Proposicion: Una relacion de preferencias % puede ser representada por una funcion de utilidad solo si esracional.

Prueba: Para probar esta proposicion debemos mostrar que si existe una funcion de utilidad que represente laspreferencias % entonces % debe ser completa y transitiva.1) completitud: dado que u() es una funcion rel definida en X, debe ser que para cualquier x, y X, ou(x) u(y) o u(y) u(x). pero como u() es una funcion que representa %, esto implica que o x % y o y % x,entonces % debe ser completa.2) transitiva: suponga que x % y y y % z. Como u() representa %, nosotros debemos tener que u(x) u(y) yu(y) u(z). Dado que u() representa% entonces x % z. Entonces hemos probado que x % y y % z x % z la transitividad queda probada.

Antes de seguir definamos un par de conceptos imporantes para entender el apartado siguiente:

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1.2 Reglas de Eleccion

hasta el momento mostramos que el agente puede ordenar entre pares de alternativas contenidas en X, pero enla vida real el agente eligira entre un conjunto de mas de dos alternativas, como se relacionan sus prefrenciascon su eleccion? la eleccion viene inducida a partir de la preferencia de acuerdo con la siguiente definicion queresponde a la pregunta 1, planteada mas adelante.

Primero definamos los ingredientes de la estructura de eleccion

B es una familia (un conjunto) de subconjuntos no vacios de X. Cada elemento de B es un conjuntoB X. Llamamos a los elementos B B conjuntos presupuestarios. El conjunto presupuestario en Bdebe ser pensado como una lista exaustiva de todos los experimentos de eleccion que institucionalmente,fisicamente o por cualquier otra situacion social pueden plantearse al tomador de desicion.

C(): es una regla de eleccion (tecnicamente es una correspondencia) que asigna conjuntos no vaciosde elemento elegidos C(B) B para cualquier conjunto presupuestario B B, cuando C(B) contieneun unico elemento. ese elemento es la eleccion del consumidor de entre todas las alternativas en B, sinembargo ese conjunto puede contener mas de un elemento, cuando eso pasa los elementos de C(B) sonalternativas en B que el tomador de desisiones puede escoger, eso es, ellos son las altrnativas aceptables enB. En ese caso el conjunto C(B) puede ser pensado como conteniendo aquellas alternativas que nosotrosrealmente queremos escoger al tomador de desicion cuando repetidas veces enfrenta el problema de escogeralternativas en el conjunto B.

Ejemplo. Supongamos que X = {x, y, z} y B = {{x, y}, {x, y, z}} una posible estructura de eleccion es(B, C1()) donde la regla de eleccion C1() es: C1({x, y}) = {x} y C1({x, y, z}) = {x}, en este caso x esescogido sin importar el conjunto de desicion que enfrenta el consumidor.

Otra posible regla de eleccion es (B, C2()), donde la regla de eleccion C2() es: C2({x, y}) = {x} y C2({x, y, z}) ={x, y} en este caso x es escogido cuando el consumidor enfrenta la restriccion {x, y}, pero puede escoger o x oy cuendo enfrenta el conjunto {x, y, z}.Cuando se usa la estructura de eleccion para modelar el comportamiento del consumidor es necesario imponeralgunas restricciones razonables impodiendo que pasen casos poco razonables. Por ejemplo, si el consumidorelige la alternativa x y solo esa cuando tiene que elegir entre x y y, serie sorprendente si verlo escoger y cuandoen tenga que elegir entre x, y y z.

Definicion: La estructura de eleccion (B, C()) satisface el axioma debil de preferencia revelada (de Houthakker)si las siguientes propiedades se cumplen: Si para algun B B con x, y B tenemos x C(B) entonces paracualquier B B con x, y B con y C(B) se debe de tener tambien que x C(B)Definicion: Dada una estructura de elecion (B, C()) la relacion de preferencias revelada % se define como

x % y hay algun B B tal que x, y B x C(B)

Esto se lee x es revelado al menos tan bueno como y. Note que la relacion de preferencia revelada no necesitaser completa o transitiva. En particula para cualquier par de alternativas x y y a ser comparadas, esnecesarioque para algun B B tengamos x, y B y o x C(B) o y C(B) o ambos. Si tenemos que en un casox, y B y x C(B) y y / C(B) entonces decimos que x es revelado preferido a yEjemplo. En el ejemplo anterior la primera regla de eleccion satisface el axioma debil de preferencia revelada(B, C1()), sin embargo, el segundo (B, C2()) no lo hace, como C2({x, y, z}) = {x, y} se tiene ue y % x (asitambien x % y, x % z x % z) como C2({x, y}) = {x}, x es revelado preferido a y por tanto esta estructurade eleccion (B, C2()) viola el axioma debil.El axioma debil usado para restringir el comportamiento de elecciones es una manera paralela de usar elsupuesto de racionalidad para la relacion de preferencias. La relacion presisa entre estos dos conceptos seestudia a continuacion.

Vamos a responder dos preguntas fundamentales para aclarar el tema:

1) Si el tomador de desiciones tiene un orden de preferencias racionales %, hace sus desiciones cuando enfrentaelecciones frente aun conjunto resupuestario en B necesita generar una estructura de eleccion que satisfaga elaxioma debil? Para responder a esta pregunta veamos la siguiente definicion

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Definicion: Dada una relacion de prefrencias % definida sobre el conjunto X y un subconjunto no vacio B deX, el conjunto de alternativas aceptables de B segun % se define como

C (B;%) = {x B : @y B | y % x}

Aprobechemos aqui para aclarar algunas cosas. El consumidor queda satisfecho si elige una canasta que nopuede ser mejorada por otra que este al alcance, algunas implicaciones de esto son: 1) El conjunto C (B;%)es por definicion un subconjunto de B. dada nuestra interpretacion cualquier otra cosa no tendria sentido.2) el conjunto C (B;%) puede contener mas de un elemento, cuando esto pasa se interpreta como que alconsumidor le da igual elegir entre ellos. 3) en calgunos casos C (B;%) puede no tener elementos, por ejemplosi X = [0,+) con x X representando x cordobas, y suponga que B = {1, 2, ...} si siempre se prefiere masdinero a menos x % y siempre que x y, C (B;%) sera vacio, no importa cuanto dinero pueda optener siemprehabra una cantidad de dinero en B que sera mas grande y por tanto una laternativa mas deseada. Tambienpodemos ver lo anterior en un set B = [0, 10) es decir, B consiste en todas las cantidades de dinero hasta (perosin incluirlo) 10, como el dinero es divisible no existe una cantidad de dinero en B que no pueda ser superadapor otra. 4) en los ejemplos anteriores C (B;%) es vacio porque B es muy grande o (aunque esta no se havisto) si % se comporta mal, como por ejemplo si no cumple la transitividad.Regresando a la pregunta, los elementos del conjunto C (B;%) son las alternativas mas preferidas del tomadorde desiciones en el conjunto B, podremos tener C (B,%) = para algun B, pero si X es finito o si la condicionde continuidad se cumple, entonces C (B;%) sera no vacia, consideremos solamente el caso en el que dondelas preferencias % y la familia de conjuntos presupuestarios B que permiten que C (B;%) sea no vacio paratodo B B. Decimos que las relacioines de preferencias racionales sobre % genera una estructura de eleccionde la forma B, C (,%)Proposicion: Supongamos que % es una relacion de preferencia racional, entonces la estructura de elecciongenerada por %, (B, C (,%)) satisface el axioma debil.Prueba: Supongamos que para algun B B se tiene que x, y B y x C (B,%), por la definicion deC (B,%) implica que x % y. Para chequear que el accioma debil se cumple suponga que para algun B Bcon x, y B, se tiene que y C (B,%) esto implica que y % z z B, pero nosotros sabemos que x % y. por transicion x % z z B x C (B %), por tanto el axioma debil se cumple.Es decir la respuesta a esta primera pregunta es un rotundo SI

2) si un comportamiento de eleccion del individuo para la familia de conjuntos presupuestarios B es capturadapor la estructura de eleccion (B, C()) satisface el accioma debil, hay necesariamente una relacion de preferenciaracional que es consistente con esta estructura

Para responder a esta pregunta es necesario la siguiente definicion:

Definicion: Dada la estructura de eleccion (B, C()) decimos que la relacion de preferencia racional % racional-iza C() relativo a B si

C(B) = C (B,%)Para todo B B, eso es, si % genera la estructura de eleccion (B, C()). Es decir, La relacion de preferenciaracional % racionaliza la regla de eleccion C() en B si la eleccion optima generada por % (capturada porC (,%) coincide con C() para todos los conjuntos presupuestarios en B en un sentido preferencias explicancomportamiento. Podemos interpretar la eleccion del tomador de desicion como si ellas fueran una maximizacionde preferencias. Note que en general puede haber mas de una relacion de preferencia racionalizada para unaestructura de eleccion (B, C()).Ejemplo: Suponga queX = x, y, z,B = {{x, y}, {y, z}, {x, z}}, C({x, y}) = {x}, C({y, z}) = {y}, y C({x, z}) ={z}, esta estructura de eleccion satusface el accioma debil, sin embargo, no se pueden racionalizar las preferen-cias. Note que para racionalizar la eleccion {x, y} y {y, z} es ecesario tener x y y y z, luego por transitividadtendriamos x z que contradice la estructura de eleccion bajo {x, z} por tanto, nose puede racionalizar estarelacion de preferencias.

Note que entre mas conjuntos de restricciones hay en B mas el accioma debil restringe el comportamiento deelecion . Simplemente hay mas oportunidades para que las elecciones del tomador de desiciones se contradiganentre si. En este ejemplo el conjunto {x, y, z} no es un elemento de B. Como se mostrara en la proposicionsiguiente, si la familia de restricciones B contiene suficientes subconjuntos de X y si (B, C()) satisface el

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accioma debil entonces existe una relacion de preferencia racional que racionaliza C() relativo a B (probadopor Arrow en 1959).

Proposicion: si (B, C()) es una estructura de eleccion dado que Se satisface el accioma debil B incluye todos los subconjuntos de X de hasta tres elementos.

Entonces hay una relacion de preferencias % que racionaliza C() relativo aB, eso es C(B) = C(B,%) B Bademas, esta relacion de preferencias es la unica relacion de preferencia, que lo haga

Prueba: Mas Colell pag 13

1.3 Eleccion del Consumidor

Aqui se estudiara la demanda del consumidor en el contexto de una economia de mercado. Donde por economiade mercado se entiende el escenario en el que los bienes y servicios que el consumidor quiere adquirir estandisponibles a precios dados (o equivalentemente estan disponobles para ser intercambiados por otros bienes auna tasa conocida de cambio).

bienes: el Problema que enfrenta el tomador de decision en la economia de mercado es escoger el nivel deconsumo de varios vienes y servicios disponibles para ser comprados en el mercado. Asumimos que el numerode bienes es finito1 e igual a L (indexado por l = 1, 2, ...L). El vector de consumo (o canasta de consumo) esuna lista de cantidades de diferentes bienes x = (x1.x2, ..., xL) RL, (note que x esta transpuesto) es decir, esun punto en el espacio de los bienes RL.

Conjunto de Consumo: el conjunto de consumo esta tipicamente limitado por restricciones fisicas. Unejemplo claro es que es imposible para una persona consumir una cantidad negativa de un bien. Formalmente elconjunto de consumo es un subconjunto del espacion RL, donde sus elementos son las canastas de consumo queel individuo puede consumir dadas las restricciones fisicas, las restricciones tambien pueden ser institucionales,por ejemplo una ley que prohibe el consumo de algun bien o servicio. nos limitamos a trabajar en el conjuntomas simple de conjuntos de consumo.

X = RL = {x RL : xl para l = 1, ...L}Es decir el Conjunto de canastas de consumo no negativas. Una caracteristica especial de este conjunto esque es convexo, eso es para dos canastas de consumo x, x RL, la conbinacion convexa de ambas x =x + (1 )x R [0, 1]. Muchas de las conclusiones mas imporantes en microeconomia se basan enel supuesto de que se trabaja en un conjunto convexo y por tanto muchas de las conclusiones clasicamenteconocidas en microeconomia no sobreviven sin este supuesto.

Restriccion Presupuestaria:

Ademas de las retsricciones fisicas el consumidor tambien enfrenta una restriccion economica, puesto que solopuede consumir segun su capacidad economica. Para formaliar esto introducimos dos supuestos.

Todos los bienes son intercambiados en el mercado al precio en cordobas que todos los consumidoresconocen (este se llama principio de completitud), estos precios se representan en el vector de preciosp = (p1, ..., pL) RL. que da el costo en cordobas por cada unidad de cada uno de los L bienes. No haynada que impida que los precios sean negativos, pero por simplicidad siempre se asumira que pl >> 0

Asumimos que estos precios no pueden ser influenciados por el consumidor, este se llama el supuestodel cosumidor precio-aceptante. Este supuesto puede ser justificado argumentando quela demanda de unconsumidor es muy pequena como para afectar los precios del mercado.

El que el consumidor pueda alcanzar (comprar) una canasta depende de dos cosas: 1) los precios de mercadop = (p1, ..., pL) y el nivel de riqueza del individuo (en cordobas) w. La canasta de consumo x RL+ es alcanzablesi su costo total no excede la riqueza del individuo w

p x = p1x1 + p2x2+, ...,+pLxL w1En rigor los bienes en el mundo real son infinitos porque un bien hoy no es el mismo que ayer, razonamiento analogo se puede

hacer en periodos de tiempo mas cortos y con diferentes localidades

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Esta restriccion economica junto combinada con que las canastas con las que se trabajan viven en RL+, implicanque el conjunto de canastas de consumo alcanzables es el conjunto de los elementos en el conjunto {x RL+ :px w}, este es conocido como el conjunto presupuestario.Definicion: El conjunto presupuestario Bp,w = {x RL+ : px w} es el conjunto de todos las canastas deconsumo que son alcanzables para el considor al precio p y riqueza w.

Asumimos que w > 0 de otro modo el la unica canasta alcanzable sera trivialmente aquella que tenga cero decada bien. El conjunto {x RL+ : px = w} es llamada recta presupuestaria. Cuando L = 2 la pendiente de estarecta (p1/p2) captura la tasa de intercambio entre los dos bienes.

p1x1 + p2x2 = w

p2x2 = w p1x1x2 = w/p2 p1x1/p2

.

Grafico Conjunto Presupuestario y Efecto de Cambio en Precios

Fuente: A. Mas colell and Jerry R. Green. p

Si el precio del bien 2 decrece (manteniendo p1 y w constantes), mas canastas de consumo son alcazables porlo que el conjunto presupuestario crece. Otra manera de ver como la recta presupuestaria refleja los terminosrelativos de intercambio entre bienes biene de examinar la geometria relacionada con el vector de precio. Sidibujamos el vector de precios a partir de un punto x en la recta presupuestaria, este debe de ser ortogonal acualquier vector que empezando de x se mueva a lo largo de la recta presupuestaria.

Grafico Relacion geometrica entre p y la recta presupuestaria

Fuente: A. Mas colell and Jerry R. Green. p

Esto se debe a a que para cualquer x que estre en la recta presupuestaria xp = xp = w p x = 0 parax = (x x). Por ejemplo si tenemos p = (4, 2), x = (0, 5), x = (2.5, 0), entonces x = (2.5, 5) y px = 0.

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Note que el conjunto presupuestario Bp,w es convexo. Esto es, para dos canastas x y x ambas en Bp,w entonces

la canasta x = x + (1 )x Bp,w [0, 1]. Note que como x, x RL+ entonces x RL+, en segundolugar como px w y px w entonces tambien tenemos px = (px) + (1 )(px) w x Bp,w. Noteque la convexidad de Bp,w depende de la convexidad del conjunto de consumo RL+.

Funcion de Demanda y Estatica Comparativa:

La correspondencia de demanda Walrasiana del consumidor x(p, w) asigna un conjunto de canastas elegidasde consumo para cada par precio-riqueza (p, w). Esta correspondencia puede ser multivaluada, es decir, puedehaber mas de una canasta asignada a cada par (p, w), pero cuando x(p, w) esta real valorada, es decir, tienesolamente una imagen (es una funcion), nos referimos a ella como la funcion de demanda. Asumimos que lacorrespondencia de demanda Walrasiana cumple los supuestos de Homogeneidad de grado cero y que satisfacela ley de Walras.

Definicion: La correspondencia de demanda Walrasiana x(p, w) es homogenea de grado cero si x(p, w) =0x(p, w) = x(p, w), para cualquier p, w y > 0

Es decir si tanto, el ingreso como el precio cambian en la misma proporcion, la eleccion del consumo delconsumidor no cambia, note que cuando esto pasa la recta prusupuestaria no se mueve.

Definicion: La correspondencia de demanda Walrasiana satisface la ley de Walras. Esto es, para cualquierp >> 0 y w > 0 tenemos que xp = w, x x(p, w).Es decir, el consumidor gatara toda su riqueza. Este es un razonamiento razonable ya que este modelo debe serinterpretado como un modelo en el que las personas solo viven un periodo.

Una implicacion importante de la homogeneidad de grado cero de x(p, w) es que a pasar de que x(p, w) tieneL+ 1 argumentos (un precio por cada bien y la riqueza), se puede normalizar el nivel una de las L+ 1 variablesindependientes a nivel arbitrario, lo mas comun es la normalizacion pl = 1 para algun l, otra comun es w = 1,al decir esto nos referimos en el primer caso a multiplicar cada uno de los arguentos por 1/ll y en el segundopor 1/w, de ese modo el numero efectivo de argumentos de x(p, w) sera L. Asumiendo que trabajamos con lafuncion de demana (no con la correspondencia), podemos escribir la funcion x(p, w) en terminos de demandaspor bienes especificos.

x(p, w) =

x1(p, w)x2(p, w)

...xL(p, w)

Estatica comparativa

Estamos interezados como las elecciones de consumo varian ante cambios en la riqueza y en los precios. El analisisde estatica comparativa consiste en observar como cambian los resultados ante cambios en los parametros.

Efecto Ingreso

Manteniendo los precios fijos p la funcion de ingresos x(x,w), es llamada funcion de Engel de consumidor. suimagen en R, Ep = (x(x,w) : w > 0) se conoce como la senda de expansion de la riqueza.

Grafico: Senda de expansion de la Riqueza

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Fuente: A. Mas colell and Jerry R. Green. p

A cualquer (p, w), la derivada xl(p, w)/w se conoce como efecto ingreso para el l-esimo bien. Se dice queun bien es normal si el efecto ingreso para ese bien es xl(p, w)/w 0, se dice que un bien es inferior sixl(p, w)/w < 0, si cada bien es normal para todo (p, w) decimos que la demanda es normal. El supuesto dedemanda normal es razonable cuando se trabaja con datos agregados.

en notacion matricial el efecto ingreso se representa como

Dwx(p, w) =

x1(p, w)/wxw(p, w)/w

...xL(p, w)/w

RL+Efecto Precio

Ahora, como varia el nivel de consumo de cada bien ante cambios en los precios. Considerando el caso L = 2,supingamos w y p1, ante cambios en precios p2 se puede observar la funcion de demanda del bien 2 ante cambiosen su propio precio para varios niveles de precio del bien 1, con w constante.

Grafico: demanda del bien 2 en funcion de su propio precio y para varios niveles de p1

Fuente: A. Mas colell and Jerry R. Green. p

Otra forma util de representar la demanda del consumidor a diferentes precios es colocarlo en el pundo deman-dado en R2+ frente a todos los posibles valores de p2, esta se conoce como una curva de oferta.

Grafico: Curva de Oferta

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Fuente: A. Mas colell and Jerry R. Green. p

la derivada xl(p, w)/pk es conocida como el efecto precio de pk, el precio del bien k en la demanda del bienl. Es natural pensar que caidas del precio de un bien probocan incremento en su demanda, pero existen casosen los que esto no pasa, el bien l es llamado Giffen en (p, w) si xl(p, w)/pk > 0

Grafico: Bien Giffen

Fuente: A. Mas colell and Jerry R. Green. p

Los bienes con pocas cualidades para el consuidor pueden ser biens Giffen, Por ejemplo supongamos que unapersona pobre gasta mucho de sus ingresos en la compra de papa porque es barata y de esa manera puede evadirel hambre (y problemas de salud), si el precio de la papa cae y por tanto puede comprar la misma cantidad depara para evadir el hambre (y problemas de salud) con menos recursos, se liberaran recursos que podra usarpara consumir bienes mas deseables y una menor cantidad de papa sera necaria. el efecto presio se representaen una matriz de la forma:

Dpx(p, w) =

x1(p, w)/p1 x1(p, w)/pLx2(p, w)/p1 x2(p, w)/pL

. . .

xL(p, w)/p1 xL(p, w)/pL

Implicaciones de la Homogeneidad de grado cero y la ley de Walras, para el efecto precio eingreso

Tanto la homogeneidad de grado cero como la ley de Walras implican cierta cantidad de restricciones paracon la estatica comparativa de cambios en precios e ingresos. Consideremos en primer lugar los efectos de laHomogeneidad de grado cero, sabemos que x(p, w) = x(p, w) x(p, w)x(p, w) = 0 > 0, diferenciandola expresion con respecto a , Empecemos seleccionando un bien l, entonces

xl(p, w)

p1

p1

+xl(p, w)

p2

p2

+ ...+xl(p, w)

pL

pL

+xl(p, w)

w

w

w= 0

entonces

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xl(p, w)

p1p1 +

xl(p, w)

p2p2 + ...+

xl(p, w)

pLpL +

xl(p, w)

ww

Evaluando en = 1

Lk=1

xl(p, w)

pkpk +

xl(p, w)

ww = 0

Esta expresion se conoce como ecuacion de Euler, note que esta expresion es para un bien espcifico l que eselegido, por tanto, tendremos L exprsiones de este tipo, una para cada bien.

Lk=1

xl(p, w)

pkpk +

xl(p, w)

ww = 0 l = 1, ..., L (1)

Las L expresiones se pueden expresar en una matriz de la forma

Dpx(p, w)p+Dwx(p, w)w = 0

x1(p, w)/p1 x1(p, w)/pLx2(p, w)/p1 x2(p, w)/pL

. . .

xL(p, w)/p1 xL(p, w)/pL

p1p2...pL

+x1(p,w)

wx2(p,w)

w...

xL(p,w)w

w =

00...

0

Homogeneidad de grado cero implica que las derivadas de la demanda con respecto a los prios y la riquezapara algun bien l cuando es ponderado por p y w suma cero, esto pasa porque cuando incrementamos todoslos precios y los ingresos cada una de estas variables cambian en proporcion a sus niveles iniciales. Se puedereescribir la ecuacion (1) en terminos de elasticidades de la demanda con respecto al precio y riqueza, cada unadefinida como:

l,k(p, w) =xl(p, w)

pk

pkxl(p, w)

l,w(p, w) =xl(p, w)

w

w

xl(p, w)

estas elasticidades dan el porcentaje de cambio en la demanda por el bien l por un cambio porcentual (marginal)en el precio del bien k y w respectivamente. Note que la expresion para l,k(p, w) puede ser leida como(x/x)(w/w) Es asi que usando estas definiciones la ecuacion (1) puede escribirse como

Lk=1

l,k(p, w) + l,w(p, w) = 0 para l = 1, 2, ..., L

La ley de Walras tiene dos implicaciones para el efecto precio y el efecto sustitucion, Por la ley de Walrassabemos que px(p, w) = w (note que esta es la recta presupuestaria) para todo p y w. Tomando un pk paraalgun bien k y diferenciando con respecto a pk tenemos lo que se conoce como agregacion de Cournot.

p1x1pk

+ ...+ pkxkpk

+ xk(p, w) + ...+ pLxl(p, w)

pk= 0

Ll=1

plxl(p, w)

pk+ xk(p, w) = 0

Nuevamente note que esta expresion es para un pk especifico previamente seleccionado, por tanto, tenemos Lexpresiones de ese estilo, una para cada precio:

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Ll=1

plxl(p, w)

pk+ xk(p, w) = 0 k = 1, ..., L

En notacion matricial

pDps(p, w) + x(p, w)T = 0T

Por otro lado, si en lugar de hacer lo anterior diferenciamos con respecto a w tenemos lo que se conoce comoagregacion de Engel

p1x1(p, w)

w+ ...+ pL

xL(p, w)

w= 1

Lk=1

pkxk(p, w)

w= 1

En notacion matricialpDwx(p, w) = 1

Las dos agregaciones anteriores se pueden escribir en forma de elasticidades de las formas respectivas:

Ll=1

bl(p, w)l,k(p, w) + bk(p, w) = 0

Ll=1

bl(p, w)l,w(p, w) = 1

Conjunto presupuestrio desde la teoria de la eleccion

Antes de empezar en necesario aclarar que visto desde el punto de vista de las reglas de eleccion. La familiade los conjuntos presupuestarios es B = {Bp,w : p >> 0, w > 0}. Por otra parte, por homogeneidad de gradocero, x(p, w) depende solo de el conjunto prsupustario que el consumidor enfrenta. Por lo tanto, (B .x()) esuna estructura de eleccion, como se definio en la primera seccion. Note que la estructura de eleccion (B .x())no incluye todos los posibles subconjuntos de X (por ejemplo los subconjuntos de solo dos o tres elementos deX). Este hecho es muy importante para la relacion entre la aproximacion teorica a la demanda del consumidorbasada en las elecciones y aquella basada en las preferencias.

Axioma Debil de Preferencia Revelada y la Ley de la Demanda

Ahora veremos las implicaciones del axioma debil de preferncia revelada para la demanda del consumidor, alo largo del siguiente analisis seguiremos suponiendo que trabajamos con la funcion de demanda (no con lacorrespondencia), que es homogenea de grado cero y cumple la ley de walras.

Recuerde que el axioma debil de preferencia revelada fue introducido para darle consistencia de la aproximacionteorica basada en elecciones. Ahora exploraremos sus implicaciones para con el comportamiento de la demandadel consumidor. veremos que la demanda necesariamente debe satisfacer el axioma debil para que el modelofuncione bien. Asimismo, mas adelante cuando se desarolle la aproximacion al comportamiento del consumidorbasado en las preferencias veremos que ese enfoque necesita imponer mas estructura a la demanda del consumidorpara igualar los resultados que en este enfoque (de eleccion) unicamente el axioma debil produce.

Definicion: La demanda Walrariana satisface el axioma debil de preferencia revelada (WA) si se cumplen lassiguientes propiedades para cualquiera dos precios y riqueza (p, w) y (p, w):

Si px(p, w) w y x(p, w) 6= x(p, w) entonces px(p, w) > wEsta es la especificacion del axioma debil aplicado al contexto donde el conjunto presupuestario son Walrasianos yx(p, w) especifica una eleccion unica. La idea detras del axima es que cuando px(p, w) w y x(p, w) 6= x(p, w)sabemos que cuando se enfrenta precios p y riqueza w el consumidor elegira x(p, w) incluso si x(p, w) es

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alcanzable. Esta eleccion se puede interpretar como que la eleccion revelo preferio a x(p, w) sobre x(p, w). Esasi que esperamos que el consumidor elija siempre al promero sobre el segundo cuando ambos sean alcanzables.si x(p, w) no es alcanzable a los precios y riqueza (p, w) a los cuales el consumidor elige x(p, w), entonces comoel axioma requiere tenemos px(p, w) > w. Las restricciones en el comportamiento de la demanda impuestaspor el axioma debil cuando L = 2 es ilustrada en el grafico siguiente. cada grafica muestra dos conjuntosprsupuestarios y sus correspondientes demandas. el axioma debil nos dice que no podemos tener al mismotiempo px(p, w) w y px(p, w) w por tanto los subgraficos a) y c) cumplen WA, mientras que d) y e)lo violan.

Grafico: Restricciones sobre el comportamiento de la demanda Impuesta por WA

Fuente: A. Mas colell and Jerry R. Green. p

Implicaciones del WA

El axioma debil tiene fuerts implicaciones para con el efecto precio, sin embargo nos concetrraremos en uncaso especial de cambios de precios. Con la discucion anterior sobre los bienes Giffen sabemos que cambios enprcios afectan al consumidor de dos formas, 1) alteran los costos relativos de los bienes, 2) cambien el poder decompra del consumidor (cambien su riqueza real, es decir, cuanto pueden consumir en bienes). Para estudiarlas implicaciones del WA necesitamos aislar el primer efecto. Una manera de estabecer esto es imaginando uncaso en el que cambios de precios bienen acompanados por cambios en la riqueza que le permiten al consumidoralcazar su nivel inicial de consumo a los nuevos precios. Es decir, si el consumidor originalmente enfrentaba p yw y escogia x(p, w) luego cuando el precio cambia a p la riqueza del consumidor es ajustada a w = px(p, w), elajuste de la riqueza es w = px(p, w) donde p = (p p). Este tipo de ajuste se conoce como compensaciona la Slutsky. La siguiente figura muestra el cambio en el conjunto presupuestario cuando variaciones de losprecios de p1 a p

1 es acompanado por una compensacion a la Slutsky.

Grafico: Cambio compensado en precios a la Slutsky

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Fuente: A. Mas Colell and Jerry R. Green. p

Proposicion: Suponga que la funcion de demanda Walrasiana x(p, w) es homogenea de grado cero y satisfacela ley de Walras. Entonces x(p, x) satisface el WA sii se cumple la siguiente propiedad.

Para cualquier cambio compensado en precios desde una situacion inicial (p, w) a una (p, w) = (p, px(p, w)),tenemos que

(p p)[x(p, w) x(p, w)] 0 (2)

con desigualdad estricta cuando x(p, w) 6= x(p, w).Es fundamental entender esto, puesto que aqui se esta cumpliendo la famosa y coloquialmente llamada ley dela demanda, que bajo el enfoque de preferencias no se cumple necesariamente debido al caso especial de bienesGiffen.

Prueba:

(I) El WA implica desigualdad en la ecuacion (2) con estricta desigualdad si x(p, w) 6= x(p, w). El resultadoes inmediato si x(p, w) = x(p, w) dado que (p p)[x(p, w) x(p, w)] = 0. Asumamos que x(p, w) 6= x(p, w)en ese caso la parte izquierda de la ecuacion (2) se puede escribir como:

(p p)[x(p, w) x(p, w)] = p[x(p, w) x(p, w)] p[x(p, w) x(p, w)] (3)

concentrandonos en la parte izquierda de la ecuacion anterior (3) Dado que el cambio de precios de p a p escompensado, entonce sabemos que px(p, w) = w, asimismo, por la ley de Walras sabemos que px(p, w) = w

por tanto si reemplazamos tenemos

p[x(p, w) x(p, w)] = px(p, w) px(p, w) = px(p, w) w = w w = 0 (4)

Ahora consideremos el segundo termino de (3). Como px(p, w) = w, x(p, w) es alcanzable a los nuevos preciosy riqueza (p, w). El WA implica que x(p, w) no puede ser alcanzado cuando tenemos (p, w), por tanto tenemospx(p, w) > w, dado que por la ley de Walras tenemos que px(p, w) = w por tanto

p[x(pw) x(p, w)] = px(pw) px(p, w) > 0 (5)

Juntos (3), (4), y (5) dan el resultado.

(II) El axioma debil implica que (2) se cumple para todo cambio compensado en precio con estricta desigualdadsi x(p, w) 6= x(p, w). El argumento para esta direccion de la prueba sigue el siguiente hecho. El WA se cumplessi se cumple para todo cambio compensado en precios, es decir, el WA se cumple si para cualquier par (p, w)y (p, w), tenemos que px(p, w) > w siempre que px(p, w) = w y x(p, w) 6= x(p, w).Una vez que conocemos que el WA basta considerar solo cambios compensados en precios, el razonamientorestante es sencillo. Si el WA no se cumple entonces existe un cambio de precios de (p, w) a (p, w) tal quex(p, w) 6= x(p, w), px(p, w) = w y px(p, w) = w. Pero desde x(, ) satisfacen la ley de Walras, estas

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dos desigualdades implican que p[x(pw) x(p, w)] = 0 y p[x(pw) x(p, w)] 0, Entonces tendremos(p p)[x(pw) x(p, w)] 0 = y x(p, w) 6= x(p, w) que es una contradiscion con que (2) se cumple para todocambio compensado en prcios (con estricta desigualdad cuando x(p, w) 6= x(p, w)).Por tanto podemos concluir que la ley de la demanda se cumple para cambios compensados de precios por tantollamamos a este hecho ley de la demanda compensada.

El caso mas simple envuelve el efecto sobre la demanda de algun bien l de un cambio compensado en su propioprecio. Cuando solo este precio cambia, tenemos que p = (0, ..., 0,pl, 0, ..., 0). Dado que px = plxlla proposicion anterior nos dice que si pl > 0 tenemos que xl < 0, esto se ilustra en el siguiente grafico.Empezando en (p, w) un decrecimiento compensado en el precio del bien 1 hace que la recta presupuestaria rotealrededor de la canasta x(p, w). El WA deja que la demanda se mueva unicamente en la direccion en la queincrementa la demanda del bien 1.

Grafico: Demanda debe ser decreciente en su precio ante un cambio compensado en precios

Fuente: A. Mas Colell and Jerry R. Green. p

La siguiente figura busca persuadirnos que el WA, no es suficiente para producir la ley de la demanda paraambios en precios que no estan compensados. En la figura cambio de precio de p a p1 se optiene por una caidadel precio del bien 1. Pero el WA no impone restricciones sobre donde se establece la nueva canasta de consumo,como se muestra la demanda por el bien 1 cae.

Grafico: Demanda del bien 1 cae cuando su precio cae para un cambio no compensado en precios

Fuente: A. Mas Colell and Jerry R. Green. p

Cuando la demanda del cosnumidor x(p, w) es una funcion diferenciable de precios y riqueza la proposicionanterior tiene una emplicacion diferencia que es importante. Empezando en con (p, w) dados, un cambio difer-encia en el precio dp, imagine que hacemos este un cambio compensado dandole al consuidor una compensaciondw = x(p, w)dp (esto es solo el diferencial analogo de w = x(p, w)p. La proposicion anterior nos dice que

dpdx 0 (6)

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Esto es, el precio y la demanda se mieven en direcciones opuestas para cualquier compensacion de precios a laSlutsky. Note que dx no es mas que la rerivada total de x(p, w), esto es en notacion matricial.

dx = Dpx(p, w) L*L

dpL*1

+Dwx(p, w) L*1

dw1*1

Por tanto, tenemos la suma de dos matrices L 1. Note que como estamos tratando con una compensacion ala Slutsky, la variacion en la riqueza es

dw = x(p, w)T dp

Por tanto

dx = [Dpx(p, w) +Dwx(p, w)x(p, w)T ]dp

Por tanto la ecuacion (6) se convierte

dp[Dpx(p, w) L*L

+Dwx(p, w) L*1

x(p, w)T 1*L

]dp 0

hagamos S(p, w) Dpx(p, w) +Dwx(p, w)x(p, w)T . Lamamos S(p, w) la matriz de Slutsky o matriz de efectossustitucion. Note que estamos tratando con una compensacion a la Slutsky, esta es diferente a la matriz deSlutsky diferente a la que usualmente se estudia en cursos introductorios, recuerde que esa luego de la caida enel precio cuando se va de (p, w) a (p, w) la riqueza era ajustada de manera que el consumidor pudiera alcanzarel mismo nivel de utilidad que con x(p, w). Esto no implica que x(p, w) siga siendo alcanzable. Este tipo decambio es llamado compensacion de precios a la Hicks. Como se puede ver es diferente a la compensacionde cambios de precios a la Slutsky, El primero consiste en permitir que el consumidor este al mismo nivel deutilidad que antes, mientras que el segundo consiste en permitir que el consumidor compre el mismo paquetecomo antes. Tenga en cuenta que los efectos sustitucion son en general no observable.

S(p, w) =

S11(p, w) S1L(p, w)S21(p, w) S2L(p, w)

. . .

SL1(p, w) SLL(p, w)

donde l, k es decir, cada elemento de la matriz (llamados efectos sustitucion)

slk(p, w) =xl(p, w)

pk+xl(p, w)

wxk(p, w) (7)

slk(p, w) mide el cambio diferencial en el consumo del bien l (es decir, la sustitucion por otro bien) resultadode cambios diferenciales em el precio del bien k cuando la riqueza se ajusta de tal manera que la canastaoriginalmente seleccionada siga siendo alcanzable (es decir, se debe unicamente a un cambio en los preciosrelativos). Para ver esto note que el cambio en la demanda del bien l si la riqueza se deja sin cambioses (x1(p, w)/pk)dpk. Para que el consumidor sea capaz de alcanzar la canasta original su riqueza debevariar en la cantidad xk(p, w)dpk. El efecto del cambio en riqueza sobre la demanda por el bien l es entonces(x1(p, w)/w)[xk(p, w)dpk] la suma de estos dos efectos es exatamente slk(p, w)dpk

resumimos la derivacion de la ecuacion (6) y (7) en la siguiente proposicion.

Proposicion: Si la funcion de demanda Walrasiana x(p, w) es diferenciable, satisface la ley de Walras, eshomogenea de grado cero y satisface el WA, entonces a cualquier (p, w), la matriz de Slutsky S(p, w) satisfacevS(p, w)v 0 para cualquier v RLUna matriz que satisface la proposicion anterior es una matriz negativa semidefinida (es negativa definida sila desigualdad es estricta v 6= 0, Note que esto implica que sll(p, w) 0 (los elementos de la diagonal sonnegativos), es decir, el efecto sustitucion del bien l con respecto a su mismo precio es siempre no positivo, por

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lo que una implicacion directa de este resultado es que un bien puede ser Giffen en (p, w) solo si es inferior. Enparticular, dado que

sll = xl(p, w)/pl + [xl(p, w)/w]xl(p, w) 0

si xl(p, w)/pl > 0, debemos tener xl(p, w)/w < 0

Es importante resltar que la matriz S(p, w) no es necesariamente simetrica. Para L = 2 siempre lo sera peropara L > 2 dejara de serlo esto es porque con los supuestos hechos (homogeneidad de grado cero, cumplimientode la ley de Walras y WA) no son sufientes para hacerla simetrica, mas adelante se vera que la simetria deS(p, w) esta intimamente conectada con la posibilidad de generar demandas a partir de la maximizacion de laspreferencias racionales.

La proposicion anterior establece que la S(p, w) es neativa semidfinida como implicacion del axioma debil, perosi la matriz es semidefinida negativa implica que se cumple en WA, es decir, si tenemos una funcion de demandax(p, w) que satisface la ley de Walras y la homogenidad de grado cero, y tiene una matriz de de sustitucionsemidefinida negativa, entonces debe satisfacer el WA, esto no es cierto. La condicion sufiente que me podriagarantizar que esto fuera verdad es que v S(p, w)v < 0 siempre que v 6= pFinalmente, como una teora de la demanda del consumidor que se basa unicamente en los supuesto de ho-mogeneidad de grado cero, ley de Walras y la consistencia encarnado en el axioma debil compararse con unobasado en la maximizacion de la preferencias racionales.

Esperamos que la proposicion establecida en el apartado Reglas de Eleccion (para reordarla la planteamos abajonuevamente) implica que los dos son equivalentes, pero no podemos aplicar esa proposicion porque la familia deconjuntos presupuestrios no incluye cada posible presupuesto, en partiaular no incluye todos los presupuestosformados por canastas con solo dos o tres bienes. De hecho las dos teorias no son equivalentes Para la funcion dedemanda Walrasiana la teoria derivada del WA es mas debil que la teoria derivada de las preferencias racionales,en el sentido que se necesitan menos restricciones, esto se mostrara mas adelante que si la demanda es generadaa partir de preferencias o es capaz de ser as generada, entonces debe de tener una matriz de Slutsky simetricapara todo (p, w).

Proposicion: si (B, C()) es una estructura de eleccion dado que Se satisface el accioma debil B incluye todos los subconjuntos de X de hasta tres elementos.

1.4 Teoria Clasica de la Demanda

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