NOTAS SOBRE CRECIMIENTO Y

CICLOS ECONOMICOS

Carlos Urrutia

Ilades-Georgetown University

Diciembre, 1996

Tabla de Contenidos

Contents

1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I Crecimiento 62 Ahorro, Inversi¶on y Crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 El Modelo de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Transici¶on y Convergencia Condicional . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 El Modelo de Crecimiento Neocl¶asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 El Modelo B¶asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Equilibrio General Competitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 El Problema del Plani¯cador Social . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Condiciones de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Estabilidad y Transici¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8 Un Ejemplo Ilustrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Extensiones del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico . . . . . . . . . . . . 224.1 Introducci¶on del Gobierno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Decisi¶on Trabajo-Ocio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Cambio Tecnol¶ogico y Crecimiento Ex¶ogeno . . . . . . . . . . . . 314.4 Un Modelo Simple de Crecimiento End¶ogeno . . . . . . . . . . . . 34

II Ciclos Econ¶omicos 375 Ciclos Econ¶omicos Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2 Representaci¶on de los Ciclos Econ¶omicos . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Un Modelo Simple de RBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.4 Calibraci¶on del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5 Simulaci¶on y Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Dinero y Ciclos Econ¶omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2 El Modelo de Cash-In-Advance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3 Estado Estacionario y Neutralidad del Dinero . . . . . . . . . . . 526.4 Ciclos Econ¶omicos Monetarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

III Referencias 55

IV Ap¶endices 58A Preguntas de Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.1 Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.2 Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

B Problemas y Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61B.1 Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61B.2 Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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1. Introducci¶on

El presente trabajo es una recopilaci¶on de algunas notas que utilic¶e para el dictadodel curso de Macroeconom¶³a I en el programa de post-grado de Ilades/GeorgetownUniversity (en Santiago de Chile), instituci¶on en donde permanec¶³ como profesorvisitante durante el segundo semestre de 1996. El objetivo del curso fue presen-tar de manera introductoria algunos de los avances recientes en macroeconom¶³adin¶amica, relacionados tanto con el comportamiento de largo plazo de la econom¶³a(crecimiento) como con sus °uctuaciones de corto plazo (ciclos econ¶omicos).

En el enfoque macroecon¶omico tradicional, predominante hasta los setenta,el crecimiento y los ciclos econ¶omicos eran temas tratados por separado. Losmodelos est¶aticos de corto plazo explicaban el nivel de actividad de la econom¶³a enun momento del tiempo tomando los stocks (capital, activos ¯nancieros o dinero)como dados. Se asum¶³a que la evoluci¶on de estos stocks en el tiempo no afectabalas decisiones presentes de consumo e inversi¶on, las cuales respond¶³an a reglasad-hoc sin mayor sustento microecon¶omico. Dicha evoluci¶on pod¶³a ser entoncesestudiada de manera independiente usando modelos din¶amicos de crecimiento.

Durante los setenta este enfoque pas¶o a ser seriamente cuestionado. Al re-tomar la hip¶otesis de expecativas racionales, diversos economistas mostraron quelos par¶ametros de las funciones consumo e inversi¶on no eran estructurales sino querespond¶³an a los cambios en el ambiente econ¶omico (especialmente en las pol¶³ticasseguidas por el gobierno)1. La alternativa propuesta fue volver a los fundamen-tos microecon¶omicos, modelando expl¶³citamente las decisiones de los agentes enun contexto din¶amico. Esto elimin¶o de hecho la separaci¶on arti¯cial entre cortoplazo y largo plazo, puesto que las expectativas sobre el futuro afectan las decionespresentes, y estas a su vez afectan las oportunidades futuras2.

1Estos argumentos est¶an condensados en la llamada Cr¶³tica de Lucas, presentada por primeravez en Lucas (1976).

2Los art¶³culos introductorios de Lucas (1980) y Mankiw (1990) muestran desde perspectivasdistintas varios de estos aspectos de la evoluci¶on de la macroeconom¶³a en las ¶ultimas d¶ecadas.

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Este enfoque alternativo est¶a a¶un en construcci¶on. Muchos de los avancesrecientes en esa direcci¶on est¶an asociados a los llamados nuevos cl¶asicos, formadosen el paradigma del equilibrio general. La piedra angular en esta literatura es elmodelo de crecimiento neocl¶asico, en sus versiones determin¶³stica y estoc¶astica.Este modelo, usado inicialmente para el an¶alisis del largo plazo, poco a poco seha ido imponiendo como un est¶andar para el estudio de los ciclos econ¶omicos.Esto se debe tanto a su disciplina, pues obliga a hacer expl¶³citos los supuestossobre el ambiente en que los agentes toman decisiones, como a su °exibilidad,ya que puede ser adaptado para incorporar distintas fuentes de °uctuaciones ymecanismos de transmisi¶on.

El objetivo de estas notas es entonces presentar con cierto detalle el modelode crecimiento neocl¶asico junto con algunas aplicaciones a temas de crecimientoy ciclos econ¶omicos, con el ¯n de proveer a los lectores de las t¶ecnicas requeridaspara entender el debate macroecon¶omico actual. En esa direcci¶on, los problemasinclu¶³dos en el Ap¶endice buscan reforzar el manejo de estas t¶ecnicas y mostrar suamplia gama de aplicabilidad a problemas concretos de distinto tipo.

Dado el car¶acter introductorio del curso, trat¶e de utilizar un m¶³nimo de her-ramientas matem¶aticas nuevas. As¶³, por ejemplo, prefer¶³ no introducir t¶ecnicas deoptimizaci¶on intertemporal tales como programaci¶on din¶amica o control ¶optimo,usadas extensivamente en la literatura reciente3. Alternativamente, segu¶³ un en-foque m¶as intuitivo (aunque no menos riguroso) basado en una extensi¶on simplede las condiciones de primer orden obtenidas de los problemas de optimizaci¶onest¶atica. Dicho enfoque fue su¯ciente para los efectos del curso, pero tiene al-gunas limitaciones en aplicaciones m¶as elaboradas (por ejemplo, para resolvernum¶ericamente y simular los modelos de ciclos econ¶omicos).

Aparte de las herramientas matem¶aticas ya mencionadas, algunos de los temasque tuve que dejar de lado por motivos de tiempo fueron los siguientes. En laparte de crecimiento, falt¶o una revisi¶on de los modelos de crecimiento end¶ogeno,especialmente aquellos con externalidades o capital humano4. Asimismo, no seanalizaron modelos con dos o m¶as sectores, importantes por ejemplo para tratar

3Estas t¶ecnicas pueden ser estudiadas a partir de libros de texto como el de Sargent (1987)y el de Barro y Xala-i-Martin (1995). Ambos textos constituyen adem¶as una buena referenciasobre le modelo de creciemiento neocl¶asico.

4Estos temas son tratados en detalle en el texto de Barro y Xala-i-Martin (1995).

4

el tema del comercio. Con respecto a los ciclos econ¶omicos, la omisi¶on m¶as im-portante es la de los modelos con competencia imperfecta y rigideces nominales(nuevos keynesianos), cuyas versiones m¶as recientes tratan de incorporar este tipode elementos dentro del modelo de crecimiento neocl¶asico5. Por ¶ultimo, falt¶o es-tudiar modelos con agentes heterog¶eneos, que permiten abordar temas como ladistribuci¶on del ingreso6.

Finalmente, debo agradecer a mis alumnos y colegas de Ilades/GeorgetownUniversity, quienes me alentaron a publicar estas notas y se~nalaron m¶as de unerrror en las versiones preliminares. Evidentemente, la responsabilidad por loserrores subsistentes es totalmente m¶³a.

Carlos Urrutia.

5V¶ease, por ejemplo, el art¶³culo de Rotemberg (1987)6Este y otros temas avanzados en la literatura de ciclos econ¶omicos est¶an inclu¶³dos en el libro

editado por Cooley (1995).

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Part I

Crecimiento

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2. Ahorro, Inversi¶on y Crecimiento

2.1. Introducci¶on

En la tradici¶on keynesiana, los modelos macroecon¶omicos predominantes hastalos setenta se caracterizan por analizar los determinantes del nivel de ingreso enun momento del tiempo. Es decir, se trata de modelos est¶aticos que no toman encuenta la evoluci¶on de la econom¶³a en el tiempo, ni como las decisiones presentesafectan las oportunidades en el futuro.

Esta limitaci¶on es especialmente importante para el tratamiento del ahorroy la inversi¶on. En los modelos est¶aticos, la inversi¶on es un componente m¶as dela demanda agregada, cuyas °uctuaciones afectan s¶olo el ingreso presente. Sinembargo, resulta evidente que la ¶unica manera de racionalizar el hecho que losagentes ahorren e inviertan, renunciando a consumir m¶as en el presente, es porqueesperan obtener un mayor ingreso y consumo futuro. Esta idea de sustituci¶onintertemporal del consumo es imposible de analizar en un modelo est¶atico.

El art¶³culo de Solow (1956) es uno de los primeros en los cuales se analiza desdeesta perspectiva la relaci¶on entre la tasa de ahorro de una econom¶³a y su nivel deingreso en el largo plazo. El resultado central es que pa¶³ses que ahorran una mayorproporci¶on de su producto acumulan un mayor nivel de capital por trabajador,luego alcanzan mayores niveles de ingreso per-c¶apita. La solidez emp¶³rica de esteresultado ha sido demostrada entre otros por Mankiw, Romer y Weil (1992).

2.2. El Modelo de Solow

Vamos a presentar una versi¶on del modelo de Solow en tiempo discreto, que nospermite mostrar sus principales resultados e introducir cierta notaci¶on que va aser ¶util m¶as adelante.

En esta econom¶³a existe un ¶unico bien, producido usando la funci¶on de pro-ducci¶on agregada con retornos a escala constantes:

Yt = F (Kt; Lt)

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en donde Kt es el stock de capital y Lt la fuerza laboral en la econom¶³a, que crecea la tasa constante n:

Lt+1 = (1 + n)Lt

Como es habitual, se asume que la funci¶on de producci¶on es c¶oncava, luegoFK; FN > 0, FKK; FNN < 0 y FKN > 0.

El producto total es usado para consumo e inversi¶on:

Yt = Ct + It

Por simplicidad, Solow asume que la tasa de ahorro (inversi¶on) es una constantes, luego:

It = sYt

Por ¶ultimo, la inversi¶on incrementa el stock de capital en el siguiente per¶³odo, deacuerdo a:

Kt+1 = (1 ¡ ±)Kt + It

en donde ± es una tasa constante de depreciaci¶on.

2.3. Estado Estacionario

Dividiendo todas las variables por Lt y aprovechando las propiedades de la funci¶onde producci¶on, podemos reescribir el modelo en forma intensiva como:

yt = f (kt) (2.1)yt = ct + it (2.2)it = syt (2.3)

(1 + n)kt+1 = (1 ¡ ±)kt + it (2.4)

en donde las variables en min¶usculas est¶an expresadas en unidades del ¶unico bienpor trabajador, y tenemos f (k) = F (KL ; 1), con f

0 > 0 y f 00 < 0.

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Un estado estacionario es una soluci¶on a (2.1) - (2.4) en la cual todas lasvariables por trabajador permanecen constantes. Claramente, el stock de capitalk¤ en estado estacionario debe satisfacer:

(1 + n)k¤ = (1 ¡ ±)k¤ + sf(k¤)o, simpli¯cando:

(n+ ±)k¤ = sf(k¤) (2.5)

A partir de (2.5), podemos mostrar que existe un ¶unico stock de capital portrabajador k¤ en estado estacionario y por lo tanto un ¶unico nivel de productopor trabajador y¤ = f (k¤). Podemos mostrar tambi¶en que un aumento ex¶ogenoen la tasa de crecimiento de la fuerza laboral n reduce k¤ y y¤, mientras que unaumento ex¶ogeno en la tasa de ahorro s incrementa k¤ y y¤.

2.4. Estabilidad

Queremos analizar si el modelo tiende en el largo plazo hacia el estado estacionario,es decir si dado cualquier k0 inicial, la trayectoria kt converge hacia k¤. S¶olo enese caso tiene sentido pensar en el estado estacionario como una predicci¶on delcomportamiento de largo plazo de la econom¶³a. De ser as¶³, decimos que el modeloes globalmente estable.

Para ello, combinamos (2.1), (2.3) y (2.4) para obtener:

(1 + n)kt+1 = (1¡ ±)kt + sf(kt)luego:

°k =kt+1 ¡ ktkt

=1

1 + n

"sf(kt)kt

¡ (± + n)#= ©(kt) (2.6)

es decir, la tasa de crecimiento del capital por trabajador °k depende del nivel dekt.

Usando (2.5), podemos veri¯car que (i) ©(k¤) = 0; (ii) ©(kt) > 0, 8kt < k¤; y(iii) ©(kt) < 0, 8kt > k¤. Por lo tanto, si el stock de capital por trabajador est¶a

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por debajo (encima) de k¤, este crecer¶a a una tasa positiva (negativa). Solo unavez llegado al estado estacionario, el stock de capital por trabajador se mantieneconstante.

En otras palabras, kt ! k¤ monot¶onicamente, independientemente del valorinicial k0, por lo que el modelo es globalmente estable. Similarmente, es facilmostrar que yt ! y¤ monot¶onicamente.

2.5. Transici¶on y Convergencia Condicional

La tasa de crecimiento de kt durante la transici¶on hacia k¤ est¶a dada por la funci¶on©(kt) en (2.6). Hallando su primera derivada:

©0(kt) =s

1 + n

"f(kt) ¡ f 0(kt)kt

(kt)2

#(2.7)

vemos que ©0(kt) < 0, 8kt. Por lo tanto, la tasa de crecimiento del capital portrabajador (en valor absoluto) disminuye conforme kt se acerca a k¤.

Del mismomodo, podemos mostrar que la tasa de crecimiento del producto portrabajador (°y) disminuye conforme yt se acerca a su nivel de estado estacionarioy¤.

En otras palabras, si tenemos dos econom¶³as con el mismo estado estacionariopero con distintos niveles iniciales de capital (y producto), la econom¶³a m¶as pobrecrecer¶a a una tasa mayor. Ahora bien, si dos econom¶³as tienen distintos esta-dos estacionarios (por ejemplo, porque tienen distintas tasas de ahorro), lo ¶unicoque podemos decir es que la econom¶³a que se encuentre m¶as lejos de su estadoestacionario ser¶a la que crecer¶a m¶as r¶apido. A esta propiedad se le conoce comoconvergencia condicional.

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3. El Modelo de Crecimiento Neocl¶asico

3.1. Introducci¶on

El modelo de crecimiento de Solow (1956) muestra que hay una relaci¶on positivaentre la tasa de ahorro de una econom¶³a y su nivel de ingreso en el largo plazo.Sin embargo, al asumir esta tasa como una constante ex¶ogenamente dada, est¶asujeto al igual que los modelos macroecon¶omicos tradicionales a la cr¶³tica de Lucas(1976). Di¯cilmente podemos creer que la tasa de ahorro sea un par¶ametro es-tructural, independiente de las expectativas de los agentes y las pol¶³ticas seguidaspor el gobierno.

El modelo de crecimiento neocl¶asico, desarrollado demanera independiente porRamsey, Cass y Koopmans, busca endogenizar la tasa de ahorro como el resultadode agentes competitivos resolviendo problemas de maximizaci¶on din¶amicos. En¶el, los ¶unicos par¶ametros estructurales son aquellos que describen las preferenciasde estos agentes y la tecnolog¶³a a la que tienen acceso. En ese sentido, es unprimer paso para reconstruir la teor¶³a macroecon¶omica a partir de fundamentosmicroecon¶omicos.

3.2. El Modelo B¶asico

Existen dos tipos de agentes en esta econom¶³a. En primer lugar, tenemos unn¶umero grande de familias id¶enticas, que viven un in¯nito n¶umero de per¶³odos yque podemos modelar como una ¶unica familia representativa. En segundo lugar,tenemos un n¶umero grande de ¯rmas id¶enticas que producen el ¶unico bien de laeconom¶³a, y que podemos modelar tambi¶en como una ¶unica ¯rma representativa.

La familia representativa (de tama~no Lt) tiene preferencias descritas por lafunci¶on de utilidad intertemporal:

U =1X

t=0¯tu

µCtLt

¶(3.1)

en donde u es una funci¶on de utilidad de un per¶³odo (con u0 > 0 y u00 < 0) y ¯ esun factor de descuento que asumimos constante.

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Esta familia pos¶ee todo el capital y trabajo en la econom¶³a, que renta a las¯rmas. Al mismo tiempo compra a estas ¯rmas el ¶unico bien, que puede ser usadotanto para consumo como inversi¶on. Pero la familia es tambi¶en due~na de la ¯rmarepresentativa (a trav¶es de acciones), por lo tanto recibe todos los bene¯cios que¶esta pueda generar.

La familia representativa enfrenta entonces la siguiente restricci¶on presupues-taria:

Ct + It = wtLt + rtKt + ¦t (3.2)

en donde los gastos en consumo e inversi¶on deben ser iguales a los ingresos (salariosmas renta del capital mas bene¯cios) en cada per¶³odo. N¶otese que estamos nor-malizando el precio del ¶unico bien para que sea igual a uno en cada per¶³odo, porlo tanto wt y rt son precios relativos expresados en unidades del ¶unico bien.

El stock de capital familiar crece de acuerdo a:

Kt+1 = (1 ¡ ±)Kt + It (3.3)

en donde ± es una tasa constante de depreciaci¶on, mientras que el n¶umeros detrabajadores (o el tama~no de la familia) crece a la tasa ex¶ogena n:

Lt+1 = (1 + n)Lt (3.4)

De otro lado est¶a la ¯rma representativa, que renta capital y trabajo de las fa-milias para producir el ¶unico bien en la econom¶³a, usando la funci¶on de producci¶onagregada con retornos a escala constantes:

Yt = F (Kt; Lt) (3.5)

en donde asumimos que FK; FN > 0, FKK; FNN < 0 y FKN > 0. El objetivo deesta ¯rma es maximizar bene¯cios ¦t en cada per¶³odo, en donde:

¦t = Yt ¡ wtLt ¡ rtKt (3.6)

normalizando nuevamente el precio del ¶unico bien para que sea uno en cadaper¶³odo. Podemos demostrar que con rendimientos a escala constantes los bene¯-cios van a ser siempre iguales a cero.

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Puesto que el tama~no de la poblaci¶on crece a una tasa constante, podemosreescribir el modelo en forma intensiva, en donde las variables ct, it, kt, yt est¶anexpresadas en unidades del ¶unico bien por trabajador. As¶³, por ejemplo:

uµCtLt

¶= u (ct)

Kt+1

Lt=Lt+1

LtKt+1

Lt+1= (1 + n) kt+1

y, usando la propiedad de retornos a escla constantes de la funci¶on de producci¶on:

yt =YtLt

= F (KtLt; 1) = f (kt)

con f 0 > 0 y f 00 < 0.

3.3. Equilibrio General Competitivo

Un Equilibrio General Competitivo (EGC) para esta econom¶³a es un conjunto desecuencias para las cantidades ct, it, yt y kt+1 y los precios wt y rt tales que:

i) Dados k0 > 0,wt y rt, las secuencias ct, it y kt+1 resuelven el problema:

max1X

t=0¯tu (ct) (3.7)

s:t: ct + it = wt + rtkt 8t(1 + n) kt+1 = (1¡ ±) kt + it 8t

ii) En cada per¶³odo t, dados wt y rt, los valores yt y kt resuelven el problema:

max yt ¡ wt ¡ rtkt (3.8)

s:t: yt = f (kt)

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iii) En cada per¶³odo t, hay igualdad entre oferta y demanda:

yt = ct + it (3.9)

N¶otese que estamos autom¶aticamente asumiendo que los mercados de trabajoy capital est¶an en equilibrio, y que los bene¯cios de la ¯rma son iguales a cero.

3.4. El Problema del Plani¯cador Social

Consideremos por un momento una econom¶³a como la descrita anteriormente,pero en la cual las decisiones son tomadas por un plani¯cador social o un dic-tador benevolente. Este plani¯cador busca maximizar la utilidad de las familiasrepresentada por (3.1), sujeto a las restricciones tecnol¶ogicas dadas por (3.3) y(3.5). Las cantidades resultantes de esta maximizaci¶on son Optimos de Pareto,en el sentido que no es posible aumentar la utilidad de alguna de las familias sinreducir la de otra.

Formalmente, un Optimo de Pareto (OP) para esta econom¶³a es un conjuntode secuencias para las cantidades ct, it y kt+1 que, dado k0 > 0, resuelven elproblema del plani¯cador social:

max1X

t=0¯tu (ct) (3.10)

s:t: ct + it = f (kt) 8t(1 + n)kt+1 = (1 ¡ ±) kt + it 8t

Podemos demostrar (m¶as adelante lo haremos) que si no existen distorsionestales como impuestos o externalidades, todo EGC es un OP y para cada OP existeun sistema de precios que lo hace un EGC. Esta equivalencia entre el problemadel plani¯cador social y los problemas de familias y ¯rmas competitivas es unaaplicaci¶on directa de los Teoremas del Bienestar. En la pr¶actica, nos permitehallar el EGC resolviendo primero el problema del plani¯cador social, que es massencillo, y luego encontrando los precios.

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3.5. Condiciones de Primer Orden

Para caracterizar la soluci¶on al problema del plani¯cador social, construimos lafunci¶on lagrangeana intertemporal:

L =1X

t=0

h¯tu (ct)¡ ¸1t (ct + it ¡ f (kt))¡ ¸2t ((1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ¡ it)

i

Maximizando L, las condiciones de primer orden para (3.10) est¶an dadas por:

@L@ct

= ¯tu0 (ct) ¡ ¸1t = 0 (3.11)

@L@it

= ¡¸1t + ¸2t = 0 (3.12)

@L@kt+1

= ¸1t+1f 0 (kt)¡ ¸2t(1 + n) + ¸2t+1(1 ¡ ±) = 0 (3.13)

@L@¸1t

= ct + it ¡ f (kt) = 0 (3.14)

@L@¸2t

= (1 + n)kt+1 ¡ (1¡ ±) kt ¡ it = 0 (3.15)

m¶as la condici¶on de transversalidad :

limt!1vtkt = 0 (3.16)

en donde vt =Q1j=t

¸2j¸2j+1

representa el valor de una unidad de capital. La condici¶onde transversalidad asegura que el valor del stock de capital sea cero al "¯nal" delproblema; en caso contrario, el plani¯cador quedar¶³a con recursos no utilizados.

Combinando (3.12) y (3.13), vemos que:

¸2t¸2t+1

= f0(kt+1) + (1¡ ±)

1 + n

y por lo tanto:

vt =1Y

j=t

f 0(kj+1) + (1¡ ±)1 + n

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es decir, vt es el producto de las tasas de retorno presente y futuros (por persona ynetos de depreciaci¶on) de invertir una unidad adicional de capital por un per¶³odo.

Ahora bien, combinando (3.11), (3.12) y (3.13) obtenemos la Ecuaci¶on deEuler :

u0(ct)¯u0(ct+1)

= f0(kt+1) + (1 ¡ ±)

1 + n(3.17)

que dice intuitivamente que la tasa marginal de sustituci¶on entre el consumopresente y el consumo en el siguiente per¶³odo, ajustada por el factor de descuento,debe ser igual a la tasa de retorno a la inversi¶on por un per¶³odo mencionadaanteriormente

De otro lado, combinando (3.14) y (3.15), obtenemos:

ct = f(kt) ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) kt (3.18)

que expresa el consumo como la diferencia entre la producci¶on total menos la in-versi¶on en nuevo capital. Las condiciones (3.17) y (3.18) forman un sistema no lin-eal de ecuaciones en diferencias en ct y kt, que puede ser resuelto num¶ericamente.Este sistema, junto a la condici¶on de transversalidad (3.16), caracterizan comple-tamente el Optimo de Pareto.

El siguiente paso es encontrar los precios para los cuales el OP anterior esun EGC. Para ello, resolvemos el problema de la ¯rma representativa (3.8), quepodemos reescribir como:

max f (kt)¡ wt ¡ rtkt

y cuya soluci¶on nos da los precios:

rt = f 0(kt) (3.19)wt = f (kt) ¡ f 0(kt)kt (3.20)

que junto a las cantidades descritas anteriormente constituyen un Equilibrio Gen-eral Competitivo. N¶otese que para hallar wt usamos la propiedad de que losbene¯cios son cero con rendimientos a escala constantes.

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S¶olo para veri¯car que efectivamente tenemos un EGC, podemos resolver elproblema de la familia (3.7), cuyo lagrangeano est¶a dado por:

L =1X

t=0

h¯tu (ct) ¡ ¸1t (ct + it ¡ wt ¡ rtkt) ¡ ¸2t ((1 + n) kt+1 ¡ (1¡ ±)kt ¡ it)

i

con condiciones de primer orden:@L@ct

= ¯tu0 (ct)¡ ¸1t = 0 (3.21)

@L@it

= ¡¸1t + ¸2t = 0 (3.22)

@L@kt+1

= ¸1t+1rt+1 ¡ ¸2t(1 + n) + ¸2t+1(1 ¡ ±) = 0 (3.23)

@L@¸1t

= ct + it ¡ wt ¡ rtkt = 0 (3.24)

@L@¸2t

= (1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ¡ it = 0 (3.25)

y condici¶on de transversalidad:

limt!1vtkt = 0 (3.26)

con vt =Q1j=t

¸2j¸2j+1

.

Al igual que en el OP, podemos colapsar estas condiciones en el sistema deecuaciones en diferencias compuesto por la Ecuaci¶on de Euler:

u0(ct)¯u0(ct+1)

=rt+1 + (1¡ ±)

1 + n(3.27)

y la condici¶on:

ct = wt + [rt + (1¡ ±)] kt ¡ (1 + n) kt+1 (3.28)

Comparando las ecuaciones (3.17) - (3.18) con (3.27) - (3.28), podemos verque estas son id¶enticas si se cumple que rt+1 = f 0(kt+1) y que wt + rtkt = f (kt).Pero esto est¶a garantizado por (3.19) y (3.20), que son condiciones de equilibrioobtenidas a partir del problema de la ¯rma representativa. Por lo tanto, veri¯-camos la equivalencia entre OP y EGC para este modelo en particular.

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3.6. Estado Estacionario

Un Estado Estacionario para esta econom¶³a es un Equilibrio General Competitivoen el cual todas las cantidades son constantes a lo largo del tiempo.

El estado estacionario es sencillo de caracterizar. Puesto que ct+1 = ct = c¤ ykt+1 = kt = k¤, tenemos usando (3.17) que:

f 0(k¤) =1 + n¯

¡ (1 ¡ ±) (3.29)

y puesto que f 0 es decreciente, podemos mostrar que existe un ¶unico stock de cap-ital por trabajador de estado estacionario k¤. Adicionalmente, podemos mostrarque un aumento en n o ± reduce el capital por trabajador (luego el ingreso percapita) en estado estacionario, mientras que un aumento en ¯ lo incrementa.

El consumo en estado estacionario puede hallarse usando (3.18):

c¤ = f(k¤) ¡ (n + ±)k¤

por lo que la tasa de ahorro (o inversi¶on) estar¶³a dada por:

s¤ =f(k¤) ¡ c¤f(k¤)

= (n + ±)k¤

f (k¤)(3.30)

N¶otese que (3.30) es la misma relaci¶on encontrada en el estado estacionario delmodelo de Solow, aunque en este caso s¤ es end¶ogena. Puesto que k

f(k) es unafunci¶on creciente de k, un aumento en ¯ incrementa la tasa de ahorro, pero elefecto de n y ± es ambiguo.

3.7. Estabilidad y Transici¶on

Es posible demostrar que el modelo que estamos analizando es globalmente es-table, es decir que si k0 > 0, el stock de capital por trabajador tiende a su valorde estado estacionario k¤. Por lo tanto, tiene sentido usar el estado estacionariocomo una aproximaci¶on al comportamiento de largo plazo de la econom¶³a. Lademostraci¶on es, sin embargo, m¶as complicada que en el modelo de Solow.

18

En general el an¶alisis de la transici¶on hacia el estado estacionario es dif¶³cil eneste tipo de modelos, dado el car¶acter no lineal del sistema de ecuaciones en difer-encias que lo describe. Por ello, estos modelos suelen resolverse num¶ericamente.Esto implica especi¯car formas funcionales, asignar valores para los par¶ametrosy obtener del computador una aproximaci¶on a las trayectorias para las variablesque nos interesen.

Un m¶etodo simple para computar la trayectoria de kt se obtiene combinandolas ecuaciones (3.17) y (3.18), de donde tenemos:

u0(f (kt)¡ (1 + n)kt+1 + (1¡ ±)kt)¯u0(f(kt+1)¡ (1 + n)kt+2 + (1¡ ±)kt+1)

=f 0(kt+1) + (1¡ ±)

1 + n

condici¶on que podemos reescribir como:

ª (kt; kt+1; kt+2) = 0

en donde la funci¶on ª depende de la forma de las funciones u y f m¶as lospar¶ametros ¯, ± y n (que debemos escoger previamente).

El algoritmo es el siguiente. Dado un k0 > 0, "adivinamos" un valor para k1y hallamos k2, k3, k4, ... resolviendo iterativamente:

ª (k0; k1; k2) = 0ª (k1; k2; k3) = 0ª (k2; k3; k4) = 0

y as¶³ sucesivamente hasta completar una secuencia lo su¯cientemente larga kt.Esta secuencia depende del valor inicial que asignamos a k1 (que puede ser correctoo no). Lo que hacemos es veri¯car si la trayectoria kt converge hacia el valor deestado estacionario k¤, que podemos calcular a partir de (3.29). Si no converge,cambiamos el valor de k1 y volvemos a recalcular la secuencia, hasta obtenerconvergencia.

N¶otese que una vez obtenida la secuencia de valores para kt podemos calcularlas trayectorias para ct, yt, wt, rt y cualquier otra variable de inter¶es.

19

3.8. Un Ejemplo Ilustrativo

A modo de ilustraci¶on, vamos a trabajar con un caso particular de la econom¶³adescrita anteriormente, en el cual

u(ct) = log ctf(kt) = k®t

donde la funci¶on de producci¶on en forma intensiva se deriva de una Cobb-Douglas,de la forma F (Kt; Lt) =K®t L1¡®t .

El equilibrio est¶a caracterizado por la ecuaci¶on de Euler:

ct+1¯ct

=®k®¡1t+1 + (1 ¡ ±)

1 + n

junto con la condici¶on:

ct = k®t ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) ktmas los precios:

rt = ®k®¡1t

wt = (1¡ ®)k®ty la condici¶on de transversalidad.

En estado estacionario, tenemos que:

® (k¤)®¡1 =1+ n¯

¡ (1 ¡ ±)

luego, el valor del stock de capital por trabajador en estado estacionario est¶a dadopor:

k¤ =

24 ®

1+n¯ ¡ (1¡ ±)

35

11¡®

de donde podemos veri¯car que un aumento en ® o ¯, o una disminuci¶on en n o±, aumenta k¤.

20

Tambi¶en sabemos que en estado estacionario:

s¤ = (n + ±) (k¤)1¡®

luego, la tasa de ahorro en estado estacionario est¶a dada por:

s¤ =(n + ±)®

1+n¯ ¡ (1 ¡ ±)

de donde podemos mostrar que un aumento en ®, ¯, n o ± aumenta s¤.

Finalmente, la funci¶on que utilizamos anteriormente para computar la trayec-toria de kt fuera del estado estacionario est¶a dada por:

ª(kt; kt+1; kt+2) =k®t+1 ¡ (1 + n) kt+2 + (1¡ ±) kt+1

¯ (k®t ¡ (1 + n) kt+1+ (1¡ ±) kt)¡ ®k

®¡1t+1 + (1¡ ±)

1 + n

que depende tan solo de los valores que escojamos para ®, ¯, n y ±.

21

4. Extensiones del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico

4.1. Introducci¶on del Gobierno

El Modelo de Crecimiento Neocl¶asico puede ser usado para evaluar los efectosdin¶amicos de distintas pol¶³ticas econ¶omicas. Para ello, debemos introducir unagente adicional, el gobierno, que ¯nancia sus gastos mediante la recaudaci¶onde impuestos y posiblemente emisi¶on de bonos. M¶as adelante veremos comointroducir dinero en esta econom¶³a.

Vamos a suponer que el gobierno tiene ¶unicamente una funci¶on redistributiva.Sus ingresos provienen de impuestos al ingreso, consumo e inversi¶on, pagados porlas familias. Sus gastos consisten ¶unicamente en transferencias lump-sum a lasmismas familias. El d¶e¯cit corriente generado es ¯nanciado mediante la emisi¶onde bonos, vendidos a las familias a un precio q.

La restricci¶on presupuestaria de las familias es entonces:

(1 + ¿c)ct + (1 + ¿ i)it + qtbt+1 = (1¡ ¿ y) [wt + rtkt] + bt + Tt (4.1)

en donde Tt representa el monto de la transferencia por trabajador, y bt el montode bonos comprados al gobierno en el per¶³do t¡ 1, tambi¶en por trabajador. Porsu parte, la restricci¶on presupuestaria del gobierno es:

Tt + bt = ¿ cct + ¿ iit + ¿ y [wt + rtkt] + qtbt+1 (4.2)

El resto del modelo permanece igual.

Un Equilibrio General Competitivo (EGC) para esta econom¶³a es un conjuntode secuencias para las cantidades ct, it, yt, kt+1, Tt y bt+1 y precios wt, rt y qt,junto con los n¶umeros ¿ c, ¿ i y ¿y, tales que:

22

i) Dados k0 > 0, b0 > 0, Tt, qt, wt y rt, las secuencias ct, it, kt+1 y bt+1 resuelvenel problema:

max1X

t=0¯tu (ct) (4.3)

s:t: (1 + ¿ c)ct + (1 + ¿ i)it + qtbt+1 = (1¡ ¿ y) [wt + rtkt] + bt + Tt(1 + n) kt+1 = (1¡ ±) kt + it 8t

ii) En cada per¶³odo t, dados wt y rt, los valores yt y kt resuelven el problema:

max yt ¡ wt ¡ rtkt (4.4)

s:t: yt = f (kt)

iii) En cada per¶³odo t, el gobierno satisface la restricci¶on presupuestaria:

Tt + bt = ¿ cct + ¿ iit + ¿ y [wt + rtkt] + qtbt+1 (4.5)

iv) En cada per¶³odo t, hay igualdad entre oferta y demanda:

yt = ct + it (4.6)

N¶otese que estamos autom¶aticamente asumiendo que los mercados de trabajo,capital y bonos del gobierno est¶an en equilibrio, y que los bene¯cios de la ¯rmason iguales a cero.

Puesto que el gobierno solo redistribuye recursos, la de¯nci¶on del Optimo dePareto (OP) para esta econom¶³a sigue siendo la misma: un conjunto de secuenciaspara las cantidades ct, it y kt+1 que, dado k0 > 0, resuelven el problema delplani¯cador social:

23

max1X

t=0¯tu (ct) (4.7)

s:t: ct + it = f (kt) 8t(1 + n)kt+1 = (1 ¡ ±) kt + it 8t

Dado que los impuestos introducen distorsiones en la econom¶³a, ya no existe unaequivalencia entre el EGC y el OP. Debemos resolver entonces directamente elEquilibrio Competitivo.

Empecemos resolviendo el problema de la familia representativa, cuyo la-grangeano est¶a dado por:

L =1X

t=0

h¯tu (ct) ¡ ¸1t ((1 + ¿ c)ct + (1 + ¿ i)it + qtbt+1 ¡ (1 ¡ ¿y) [wt + rtkt]

¡bt ¡ Tt) ¡ ¸2t ((1 + n) kt+1 ¡ (1¡ ±)kt ¡ it)]

con condiciones de primer orden:

@L@ct

= ¯tu0 (ct) ¡ ¸1t(1 + ¿ c) = 0 (4.8)

@L@it

= ¡¸1t(1 + ¿ i) + ¸2t = 0 (4.9)

@L@kt+1

= ¸1t+1(1¡ ¿ y)rt+1 ¡ ¸2t(1 + n) + ¸2t+1(1 ¡ ±) = 0 (4.10)

@L@bt+1

= ¡¸1tqt + ¸1t+1 = 0 (4.11)

@L@¸1t

= (1 + ¿ c)ct + (1 + ¿ i)it + qtbt+1 ¡ (1¡ ¿y) [wt + rtkt] ¡ bt ¡ Tt = 0(4.12)

@L@¸2t

= (1 + n) kt+1 ¡ (1¡ ±) kt ¡ it = 0 (4.13)

y condiciones de transversalidad:

24

limt!1vtkt = 0

limt!1 ztbt = 0

en donde zt =Q1j=t

1qj

representa el valor de un bono del gobierno.

Combinando (4.8) - (4.10), obtenemos la Ecuaci¶on de Euler:

u0(ct)¯u0(ct+1)

=(1¡¿y)rt+1

(1+¿i)+ (1 ¡ ±)

1 + n (4.14)

y de (4.12) y (4.13), la condici¶on:

(1 + ¿ c)ct = (1¡ ¿ y) [wt + rtkt] + [bt ¡ qtbt+1] + Tt¡(1 + ¿ i) [(1 + n) kt+1 ¡ (1¡ ±) kt] (4.15)

Adicionalmente, de (4.8) y (4.11) obtenemos:

qt =¯u0(ct+1)u0(ct)

(4.16)

que nos da el precio de los bonos del gobierno.

Del problema de la ¯rma obtenemos como es usual:

rt = f 0 (kt) (4.17)wt = f(kt) ¡ f 0 (kt) kt (4.18)

y combinando (4.14), (4.15), (4.17) y (4.18) mas la restricci¶on presupuestaria delgobierno (4.5), obtenemos ¯nalmente el sistema:

u0(ct)¯u0(ct+1)

=(1¡¿y)f0(kt)

(1+¿i)+ (1¡ ±)

1 + n(4.19)

ct = f(kt) ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) kt (4.20)

25

[qtbt+1 ¡ bt] = Tt ¡ (¿ c + ¿ y)f (kt)¡ (¿ i ¡ ¿ c) [(1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt] (4.21)

N¶otese que las dos primeras ecuaciones del sistema son similares a las que seobtendr¶³an resolviendo el OP (que es equivalente al EGC sin gobierno) con laexcepci¶on de que el producto marginal del capital en la ecuaci¶on de Euler est¶aajustado por los impuestos al ingreso y a la inversi¶on. Podemos ver tambi¶en queel impuesto al consumo y el monto de las transferencias no tienen efectos sobre elstock del capital, el ingreso ni el propio consumo, s¶olo sobre la cantidad de bonosemitidos.

En estado estacionario, tenemos de (4.19) que:

f 0(k¤) =1 + ¿ i1¡ ¿ y

"1 + n¯

¡ (1 ¡ ±)#

y puesto que f 0 es decreciente, podemos mostrar que un aumento en ¿ i o ¿ yreduce el stock de capital por trabajador k¤, luego el ingreso y consumo de estadoestacionario. Comparando con el OP, esta econom¶³a con distorsiones lleva a unstock de capital por debajo del nivel socialmente ¶optimo.

Por ultimo, a partir de (4.16) y (4.21) sabemos que en estado estacionarioq¤ = ¯, y adem¶as:

[¯b¤¡ b¤] = T ¤ ¡ (¿c + ¿ y) f (k¤) ¡ (¿ i ¡ ¿ c) (n + ±) k¤

de donde:

b¤ =T ¤¡ (¿ c + ¿y) f (k¤)¡ (¿ i ¡ ¿ c) (n + ±) k¤

¯ ¡ 1

lo que nos da la cantidad de bonos que el gobierno emite per¶³odo a per¶³odo para¯nanciar su d¶e¯cit en estado estacionario.

26

4.2. Decisi¶on Trabajo-Ocio

En el Modelo de Crecimiento Neocl¶asico b¶asico, la oferta de trabajo es ex¶ogenay en particular no responde a cambios en en salario real. Una extensi¶on natu-ral consiste en endogenizar la cantidad de horas destinadas al mercado laboral,introduciendo la decisi¶on trabajo-ocio.

Para ello, supongamos que las preferencias de la familia representativa est¶andescritas por la funci¶on de utilidad intertemporal:

U =1X

t=0¯tu

µCtLt;Lt ¡ LstLt

¶(4.22)

en donde Lst representa la oferta total de trabajo de la familia, luego Lt ¡ Lstrepresenta el tiempo de ocio. Asumimos que u1 > 0, u2 > 0, u11 < 0, u22 < 0 yu21 > 0.

Como es habitual, vamos a expresar el modelo en forma intensiva, dividiendotodas las variables por el tama~no Lt de la familia (no por la oferta de trabajo Lst).La funci¶on de utilidad de un per¶³odo queda como:

u (ct; 1 ¡ lt)

en donde lt es la oferta de trabajo de cada miembro de la familia. La restricci¶onpresupuestaria es entonces:

ct + it = wtlt + rtkt

asumiendo como siempre que los bene¯cios son cero, y la funci¶on de producci¶on:

yt =YtLt

= FµKtLt;LstLt

¶= F (kt; lt) (4.23)

Por lo dem¶as, el resto del modelo se mantiene igual.

Un Equilibrio General Competitivo (EGC) para esta econom¶³a es un conjuntode secuencias para las cantidades ct, it, lt, yt y kt+1 y los precios wt y rt tales que:

27

i) Dados k0 > 0,wt y rt, las secuencias ct, lt, it y kt+1 resuelven el problema:

max1X

t=0¯tu (ct; 1¡ lt) (4.24)

s:t: ct + it = wtlt + rtkt 8t(1 + n) kt+1 = (1¡ ±)kt + it 8t

ii) En cada per¶³odo t, dados wt y rt, los valores yt, kt y lt resuelven el problema:

max yt ¡ wtlt ¡ rtkt (4.25)

s:t: yt = F (kt; lt)

iii) En cada per¶³odo t, hay igualdad entre oferta y demanda:

yt = ct + it (4.26)

N¶otese que al igual que antes estamos autom¶aticamente asumiendo que losmercados de trabajo y capital est¶an en equilibrio, y que los bene¯cios de la ¯rmason iguales a cero.

De otro lado, un Optimo de Pareto (OP) para esta econom¶³a es un conjuntode secuencias para las cantidades ct, lt, it y kt+1 que, dado k0 > 0, resuelven elproblema del plani¯cador social:

max1X

t=0¯tu (ct; 1¡ lt) (4.27)

s:t: ct + it = F (kt; lt) 8t(1 + n) kt+1 = (1¡ ±) kt + it 8t

28

La funci¶on lagrangeana intertemporal para este problema est¶a dada por:

L =1X

t=0

h¯tu (ct; 1¡ lt)¡ ¸1t (ct + it ¡ F (kt; lt)) ¡ ¸2t ((1 + n) kt+1 ¡ (1¡ ±)kt ¡ it)

i

con condiciones de primer orden:

@L@ct

= ¯tu1 (ct; 1 ¡ lt) ¡ ¸1t = 0 (4.28)

@L@lt

= ¡¯tu2 (ct; 1¡ lt) + ¸1tFL (kt; lt) = 0 (4.29)

@L@it

= ¡¸1t + ¸2t = 0 (4.30)

@L@kt+1

= ¸1t+1FK (kt+1; lt+1) ¡ ¸2t(1 + n) + ¸2t+1(1¡ ±) = 0 (4.31)

@L@¸1t

= ct + it ¡ F (kt; lt) = 0 (4.32)

@L@¸2t

= (1 + n) kt+1 ¡ (1¡ ±) kt ¡ it = 0 (4.33)

m¶as la condici¶on de transversalidad habitual.

Combinando estas ecuaciones, obtenemos la Ecuaci¶on de Euler:

u1 (ct; 1 ¡ lt)¯u1 (ct+1; 1¡ lt+1)

=FK (kt+1; lt+1) + (1¡ ±)

1 + n(4.34)

y la condici¶on:ct = F (kt; lt) ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) kt (4.35)

m¶as una ecuaci¶on adicional, obtenida de (4.28) y (4.29):

u1 (ct; 1¡ lt) =u2 (ct; 1 ¡ lt)FL (kt; lt)

(4.36)

que dice que la utilidad marginal del consumo debe igualar a la utilidad marginaldel ocio, dividida por el costo de oprtunidad del ocio en unidades de consumo(dada por FL, que como veremos es igual al salario real). Esta relaci¶on nos de¯ne

29

impl¶³citamente una funci¶on de oferta de trabajo que depende positivamente delsalario real.

Los precios que convierten el OP anterior en un EGC se obtienen del problemade la ¯rma, de donde:

rt = FK (kt; lt) (4.37)wt = FL (kt; lt) (4.38)

El estado estacionario, en donde todas las variables por trabajador permanecenconstantes, est¶a caracterizado por el sistema:

1¯

= FK (k¤; l¤) + (1 ¡ ±)1 + n

(4.39)

c¤ = F (k¤; l¤) ¡ (n+ ±)k¤ (4.40)

u1 (c¤; 1¡ l¤) = u2 (c¤; 1¡ l¤)

FL (k¤; l¤)(4.41)

que podemos resolver para k¤, l¤ y c¤.

A modo de ilustraci¶on, consideremos un caso particular de la econom¶³a descritaanteriormente, en el cual:

u(ct) = log ct ¡l´t´

F (kt; lt) = k®t l1¡®t

Las ecuaciones (4.39) - (4.41) de estado estacionario se convierten en el sistema:

1¯

=®

³k¤l¤

´®¡1+ (1¡ ±)

1 + n

c¤ =Ãk¤

l¤

!®l¤ ¡ (n + ±) k¤

30

1c¤

=(l¤)´¡1

(1¡ ®)³k¤l¤

´®

Resolviendo el sistema anterior, obtenemos:

Ãk¤

l¤

!=

24 ®

1+n¯ ¡ (1¡ ±)

35

11¡®

(4.42)

de donde podemos expresar l¤ en funci¶on del ratio³k¤l¤

´:

l¤ =

264

(1 ¡ ®)1 ¡ (n + ±)

³k¤l¤

´1¡®

375

1´

(4.43)

y el resto de variables en funci¶on de l¤ y³k¤l¤

´:

k¤ =Ãk¤

l¤

!l¤ (4.44)

c¤ ="Ãk¤

l¤

!®¡ (n + ±)

Ãk¤

l¤

!#l¤ (4.45)

N¶otese que un aumento en el par¶ametro ´ (que representa el grado de utilidaddel ocio) reduce en estado estacionario la oferta de trabajo, el stock de capital yel consumo por miembro de la familia en la misma proporci¶on.

4.3. Cambio Tecnol¶ogico y Crecimiento Ex¶ogeno

El Modelo de Crecimiento Neocl¶asico b¶asico tiene como caracter¶³stica que enestado estacionario el producto por trabajador se mantiene constante. En otraspalabras, no hay "crecimiento" (en el sentido com¶unmente aceptado) en el largoplazo.

31

Una manera de introducir crecimiento de largo plazo es incorporando progresot¶ecnico en la funci¶on de producci¶on. Por conveniencia, asumimos que el cambiotecnol¶ogico es ex¶ogeno y afecta la productividad del trabajo. Rede¯nimos lafunci¶on de producci¶on como:

F (Kt; AtLt)

en donde At mide el nivel tecnol¶ogico, y evoluciona de acuerdo a:

At+1 = (1 + g)At

en donde g es la tasa (ex¶ogenamente dada) de progreso t¶ecnico. Por simplicidad,asumimos A0 = 1.

Para facilitar el an¶alisis, vamos a dividir todas las variables por AtLt de maneratal que queden expresadas en unidades del ¶unico bien por unidades efectivas detrabajo. Por ejemplo:

ct =CtAtLt

= ctAt

mide el consumo ya no por trabajador, sino por unidades efectivas de trabajo.

Con esta transformaci¶on, la funci¶on de producci¶on sigue siendo:

yt = f (kt) = Fµ KtAtLt

; 1¶

mientras que la restricci¶on presupuestaria de las familias es:

ct + it = wt + rtkt

en donde wt = wtAt

es el salario por unidad efectiva de trabajo, y el capital evolu-ciona de acuerdo a:

(1 + g) (1 + n) kt+1 = (1 ¡ ±) kt + it

La ¶unica complicaci¶on surge con la funci¶on de utilidad, que queremos expresarcomo una funci¶on del consumo por unidades efectivas de trabajo c. Si bien esposible hacer un an¶alisis m¶as general, vamos a especializar el modelo al caso:

32

u(ct) =c1¡¾t1¡ ¾

En este caso, tenemos entonces que:

1X

t=0¯tu(ct) =

1X

t=0¯t c

1¡¾t

1 ¡¾

=1X

t=0¯tA1¡¾t

c1¡¾t1¡ ¾

=1X

t=0

^tu(ct)

en donde ^ = ¯(1 + g)1¡¾.

De esta manera, hemos rede¯nido las variables del modelo de manera tal quesu estructura sea similar a la del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico b¶asico. Porlo tanto, la de¯nici¶on de equilibrio y las condiciones de primer orden ser¶an lasmismas. En particular, podemos obtener la ecuaci¶on de Euler:

u0(ct)^u0(ct+1)

= f0(kt) + (1¡ ±)(1 + n) (1 + g)

(4.46)

y la condici¶on:

ct = f(kt) ¡ (1 + n) (1 + g) kt+1 + (1 ¡ ±) kt (4.47)

Asimismo, sabemos que en largo plazo la econom¶³a converge hacia un estadoestacionario, en donde kt y ct permanecen constantes con niveles dados por:

f 0(k¤) = (1 + n) (1 + g)^ ¡ (1 ¡ ±)

=(1 + n) (1 + g)¾

¯¡ (1¡ ±) (4.48)

y adem¶as:

33

c¤ = f(k¤) ¡ (± + n + g + ng) k¤ (4.49)

N¶otese, sin embargo, que a diferencia del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico,en estado estacionario todas las variables por trabajador crecen a la misma tasaconstante g (senda de crecimiento balanceado). Es decir, hemos conseguido cre-cimiento de largo plazo, pero a una tasa que esta dada ex¶ogenamente por la tasade progreso t¶ecnico y que es independiente de otros par¶ametros (por ejemplo, devariables de pol¶³tica). Por ello, se trata de un modelo de Crecimiento Ex¶ogeno.

4.4. Un Modelo Simple de Crecimiento End¶ogeno

La literatura de Crecimiento End¶ogeno busca construir modelos en los cualesla tasa de crecimiento de las variables por trabajador sea un resultado de laoptimizaci¶on de los agentes, y por lo tanto pueda ser afectada por variables depol¶³tica.

El m¶as simple de estos modelos es conocido como el modelo Ak. Se tratade una versi¶on del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico b¶asico con la funci¶on deproducci¶on:

F (Kt; Lt) = AKt

que podemos reescribir en forma intensiva como:

f(kt) = Akt

N¶otese que esta funci¶on de producci¶on (i) ya no depende del trabajo, luego en equi-librio tendremos wt = 0; (ii) sigue exhibiendo rendimientos a escala constantes; y(iii) ya no presenta rendimientos decrecientes en el capital (en equilibrio, rt = A,independientemente de kt).

La de¯nici¶on de equilibrio y las condiciones de primer orden siguen siendo lasmismas. En particular, podemos obtener la ecuaci¶on de Euler:

u0(ct)¯u0(ct+1)

=A+ (1¡ ±)

1 + n(4.50)

34

y la condici¶on:

ct = Akt ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) kt (4.51)

La diferencia con el Modelo de Crecimiento Neocl¶asico b¶asico es que no existeen general un estado estacionario en donde kt y ct permanecen constantes, puesla ecuaci¶on (4.50) implicar¶³a que:

1¯= A+ (1¡ ±)

1 + n(4.52)

lo cual no tiene necesariamente que ser cierto (no hay ninguna variable que seajuste, solo par¶ametros).

Lo que s¶³ existe en este modelo es una senda de crecimiento balanceado, endonde kt y ct crecen a la misma tasa °. Esta tasa puede encontrarse a partir dela ecuaci¶on de Euler. Por ejemplo, en el caso en que:

u(ct) =c1¡¾t1¡ ¾

tenemos de (4.50) que:

1¯

Ãctct+1

!¡¾= (1 + °)¾

¯= A+ (1¡ ±)

1 + n(4.53)

y por lo tanto:

° ="¯A+ (1¡ ±)

1 + n

# 1¾

¡ 1 (4.54)

nos da la tasa de crecimiento de todas las variables por trabajador en el largoplazo, como una funci¶on de los par¶ametros del modelo.

De otro lado, a partir de (4.51) obtenemos que en la senda de crecimientobalanceado:

ct = [A ¡ (± + n + ° + n°)] kt (4.55)

35

de donde la tasa de ahorro es constante y dada por:

s =Akt ¡ ctAkt

=± + n + ° + n°

A(4.56)

Por ¶ultimo, podemos mostrar que en el modelo Ak la convergencia hacia lasenda de crecimiento balanceado es instant¶anea. Es decir, dado cualquier k0 > 0inicial, el valor de c0 en equilibrio ser¶a tal que inmediatamente se satisfagan (4.53)y (4.55). No existe por lo tanto un per¶³odo de transici¶on, como en el modelo concrecimiento ex¶ogeno.

Esto implica adem¶as que el modelo Ak no exhibe convergencia condicional,pues la tasa de crecimiento de una econom¶³a es independiente de sus condi-ciones iniciales. As¶³, por ejemplo, la brecha en ingreso por trabajador entre doseconom¶³as con los mismos par¶ametros pero distintos valores iniciales se man-tendr¶a en el largo plazo, pues ambas crecen a la misma tasa desde el per¶³odoinicial. N¶otese que esto no ocurre en el modelo con crecimiento ex¶ogeno, en dondeeconom¶³as con los mismos par¶ametros pero distintos valores iniciales convergen almismo nivel de ingreso por trabajador y la misma tasa de crecimiento.

36

Part II

Ciclos Econ¶omicos

37

5. Ciclos Econ¶omicos Reales

5.1. Introducci¶on

El estudio de los ciclos econ¶omicos, entendidos como las °uctuaciones de cortoplazo de la econom¶³a en torno a su senda de crecimiento de largo plazo, recobraimportancia a ¯nes de los setenta. Hasta entonces, la tradici¶on keynesiana expli-caba estas °uctuaciones a partir de cambios en la demanda agregada que generandesequilibrios temporales en la econom¶³a, usando modelos est¶aticos de corto plazocomplementados con mecanismos ad-hoc tales como la Curva de Phillips.

Por el contrario, los llamados "nuevos cl¶asicos" buscan entender los ciclosecon¶omicos dentro del paradigma del equilibrio general, usando modelos din¶amicoscon fundamentos microecon¶omicos. El punto de partida es el Modelo de Cre-cimiento Neocl¶asico, que como vimos anteriormente ofrece un marco consistentepara analizar el comportamiento de largo plazo de la econom¶³a. A este modelo sele incorporan shocks estoc¶asticos para que depliegue °uctuaciones de corto plazo,con lo cual el mismo modelo permite explicar tanto el crecimiento como los ciclosecon¶omicos.

Dentro de esta corriente, Kydland y Prescott (1982) construyen un modeloen el cual los impulsos de corto plazo est¶an dados por shocks tecnol¶ogicos, ymuestran que las caracter¶³sticas de las °uctuaciones generadas por su modelo(medidas a trav¶es de ciertos estad¶³sticos que re°ejan la variabilidad, persistenciay correlaciones de las principales variables) son similares a las de los datos deEstados Unidos en la post-guerra. Puesto que el modelo no incluye dinero, a ¶estey otros estudios que le siguen se les agrupa en la literatura de Ciclos Econ¶omicosReales (RBC).

La naturaleza de los shocks que generan los ciclos econ¶omicos es uno de lospuntos principales en la agenda de investigaci¶on actual. Diversos autores usan unametodolog¶³a similar para analizar fuentes alternativas de °uctuaciones, tales comoshocks monetarios, shocks internacionales e incluso shocks de demanda al estilokeynesiano. El debate no est¶a cerrado, pero existe cada vez un mayor consensoacerca de los t¶erminos en los cuales debe llevarse a cabo.

38

5.2. Representaci¶on de los Ciclos Econ¶omicos

Cualquier an¶alisis cuantitativo de los ciclos econ¶omicos debe partir por distinguirel crecimiento de largo plazo (tendencia) de las °uctuaciones de corto plazo (ciclos)en las variables econ¶omicas de inter¶es.

Dada una serie de observaciones de la variable Yt (t = 1; :::T), existen variosm¶etodos para separar la tendencia del ciclo. En ellos se asume normalmente quepodemos expresar Yt como el producto de un componente de tendencia Y gt y uncomponente c¶³clico Y ct :

Yt = Y gt £ Y cto, tomando logaritmos:

yt = ygt + yct

en donde las variables en min¶uscula representan el logaritmo de la variable origi-nal.

El m¶etodo m¶as usado en la literatura de RBC es el ltro de Hodrick-Prescott(HP), que consiste en hallar una serie ygt que minimice:

TX

t=1(yt ¡ ygt )2 + ¸

TX

t=1[(ygt+1 ¡ ygt ) ¡ (ygt ¡ ygt¡1)]2 (5.1)

El par¶ametro ¸ mide el peso que se le da en la minimizaci¶on a la suavidad de ygten relaci¶on a su cercan¶³a a la serie original yt . Si ¸ = 0 tenemos que ygt es iguala yt (no se le da ning¶un peso a la suavidad), mientras que cuando ¸ ! 1, ygttiende a una linea recta (todo el peso en la suavidad). Para datos trimestrales,se recomienda el valor ¸ = 1600. Una vez hallado ygt , el componente c¶³clico seencuentra usando yct = yt ¡ ygt .

El siguiente paso en la representaci¶on de los ciclos econ¶omicos consiste enencontrar regularidades en el comportamiento de los componentes c¶³clicos de lasprincipales variables macroecon¶omicas, tales como producto, consumo, inversi¶ony empleo. Para ello se suelen usar series trimestrales, ajustadas usando el ¯ltroHP. Estas regularidades constituyen los hechos estilizados que cualquier modeloque busque explicar los ciclos econ¶omicos debe satisfacer.

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Por ejemplo, para la econom¶³a de Estados Unidos se reconocen los siguienteshechos estilizados:

² El consumo, la inversi¶on y el empleo son proc¶³clicos (est¶an positivamentecorrelacionados con el producto);

² El consumo es menos volatil (tiene menor varianza) que el producto;

² La inversi¶on es m¶as volatil (tiene mayor varianza) que el producto; y

² El empleo tiene la misma variabilidad que el producto.

5.3. Un Modelo Simple de RBC

A ¯n de ilustrar la metodolog¶³a seguida en la literatura de RBC, vamos a trabajarcon una versi¶on simple del modelo de Kydland y Prescott (1982). Este es a su vezuna versi¶on del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico con cambio t¶ecnico ex¶ogenoy decisi¶on trabajo-ocio, al cual se le incorporan shocks tecnol¶ogicos que afectanla funci¶on de producci¶on. La naturaleza de estos shocks es estoc¶astica, luego susrealizaciones no son conocidas (aunque si predecidas) por los agentes.

La estructura del modelo, con todas las variables expresadas en unidades del¶unico bien por unidades de trabajo efectivo, es similar a la de los modelos vistosanteriormente. Las preferencias de las familias est¶an descritas por la funci¶on deutilidad intertemporal:

1X

t=0¯tu(ct;1¡ lt)

su restricci¶on presupuestaria para el periodo t es:

ct + it = wtlt + rtkt

y la regla de acumulaci¶on del capital:

(1 + n) (1 + °) kt+1 = (1¡ ±)kt + it

en donde n es la tasa de crecimiento de la poblaci¶on y ° la tasa de progresot¶ecnico, ambas ex¶ogenas.

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El ¶unico cambio se da en la funci¶on de producci¶on, que es ahora:

yt = eztF (kt; lt) (5.2)

en donde zt es un shock tecnol¶ogico que afecta la tasa de crecimiento de la pro-ductividad total de los factores, y que sigue el proceso autoregresivo:

zt+1 = ½zt + "t+1 (5.3)

en donde "t es un ruido blanco con varianza ¾2. Suponemos que zt es conocido acomienzos del per¶³odo t, antes de tomar cualquier decisi¶on en ese per¶³odo.

Antes de de¯nir un equilibrio para esta econom¶³a, es necesario introducir ciertanotaci¶on. Si zt corresponde al shock tecnol¶ogico ocurrido en el periodo t, el vectorzt = (z0; z1; :::; zt) denota la historia de todos los shocks ocurridos hasta el per¶³odot. Un plan contingente para la variable x, que denotamos x(zt), es una funci¶onen el conjunto de posibles historias. Es decir, x(zt) nos da el valor de x previstopara el periodo t en caso que ocurriese la historia de shocks zt.

Dado que las familias no conocen cuales ser¶an las realizaciones de zt en elfuturo (y por lo tanto no conocen los precios futuros), lo mejor que pueden haceres escoger planes contingentes para el consumo, la inversi¶on y la oferta de trabajoque maximizen su utilidad esperada.

Un Equilibrio General Competitivo Estoc¶astico (EGCE) para esta econom¶³a esun conjunto de planes contingentes para las cantidades c(zt), i(zt), l(zt), y(zt) yk(zt), junto con los precios contingentes w(zt) y r(zt), tales que:

i) Dados z0, k0 ´ k(z¡1) > 0, w(zt) y r(zt), los planes contingentes c(zt), l(zt),i(zt) y k(zt) resuelven el problema:

max E0

1X

t=0¯tu

³c(zt); 1¡ l(zt)

´(5.4)

s:t: c(zt) + i(zt) = w(zt)l(zt) + r(zt)k(zt¡1) 8zt; 8t(1 + n) (1 + °) k(zt) = (1 ¡ ±) k(zt¡1) + i(zt) 8zt; 8t

zt+1 = ½zt + "t+1 8ten donde "t es un ruido blanco con varianza ¾2.

41

ii) Para cada historia zt en cada periodo t, dados w(zt) y r(zt), los valoresy(zt), k(zt¡1) y l(zt) resuelven el problema:

max y(zt) ¡ w(zt)l(zt) ¡ y(zt)k(zt¡1) (5.5)

s:t: y(zt) = eztF³k(zt¡1); l(zt)

´

iii) Para cada historia zt en cada periodo t, hay igualdad entre oferta y de-manda:

y(zt) = c(zt) + i(zt) (5.6)

De manera similar, podemos de¯nir un Optimo de Pareto Estoc¶astico (OPE)para esta econom¶³a como un conjunto de planes contingentes para las cantidadesc(zt), i(zt), l(zt) y k(zt) que, dados z0 y k0 ´ k(z¡1) > 0, resuelven el problemadel plani¯cador social:

max E0

1X

t=0¯tu

³c(zt); 1¡ l(zt)

´(5.7)

s:t: c(zt) + i(zt) = eztF³k(zt¡1); l(zt)

´8zt; 8t

(1 + n) (1 + °) k(zt) = (1¡ ±)k(zt¡1) + i(zt) 8zt; 8tzt+1 = ½zt + "t+1 8t

en donde "t es un ruido blanco con varianza ¾2.

N¶otese que tanto el EGCE como el OPE nos dan planes contingentes paratodas las variables, que son funciones que dependen de las realizaciones de losshocks tecnol¶ogicos. Para cada secuencia de realizaciones de estos shocks, ten-dremos distintas trayectorias de las variables que nos interesan.

42

5.4. Calibraci¶on del Modelo

El modelo anterior es di¯cil de resolver anal¶³ticamente. La alternativa es usarm¶etodos num¶ericos, para lo cual se necesita especi¯car las formas funcionales ydar valores a los par¶ametros del modelo.

Las formas funcionales m¶as usadas en la literatura de RBC son la funci¶on deproducci¶on Cobb-Douglas:

F (k; l) = k®l1¡® (5.8)

y una funci¶on de utilidad de la forma:

u(c; 1¡ l) = (1 ¡ Á) log c + Á log(1 ¡ l) (5.9)

que es separable en consumo y ocio.

El siguiente paso es escoger valores para los par¶ametros del modelo, que son®, Á, ¯, ±, n y ° (m¶as adelante nos ocuparemos de ½ y ¾). Si bien nada impidela estimaci¶on econom¶etrica estructural (es decir, tomando en cuenta las restric-ciones impuestas por el modelo) de dichos par¶ametros, un m¶etodo sencillo usadoextensivamente en la literatura es el de la calibraci¶on.

La idea de la calibraci¶on es ajustar los par¶ametros del modelo de manera talque el estado estacionario (o la senda de crecimiento balanceado) de la partedetermin¶³stica (haciendo zt = 0, 8t) sea consistente con algunas observaciones delargo plazo para la econom¶³a que estamos analizando. Los pasos a seguir en estemodelo sencillo son los siguientes:

1. Obtener n como la tasa de crecimiento promedio de la poblaci¶on.

2. Obtener ° como la tasa de crecimiento promedio del producto per c¶apita(mejor si es del producto por trabajador).

3. Dados n y °, obtener ¯ usando informaci¶on sobre la tasa de inter¶es realpromedio i y la relaci¶on de estado estacionario:

(1 + n) (1 + °)¯

= r + (1¡ ±) ´ 1 + i (5.10)

43

4. Obtener ® usando informaci¶on sobre la participaci¶on del retorno al trabajo(salarios mas otro tipo de compensaciones) en el producto total, puesto que:

1 ¡® =wLY

(5.11)

5. Dados n, °, ® y ¯, obtener ± usando informaci¶on sobre la tasa de ahorros = 1 ¡ C

Y promedio y la relaci¶on de estado estacionario:

s = (± + n + ° + n°)ky= (± + n + ° + n°)

®r

= ®(± + n + ° + n°)Ã(1 + n) (1 + °)

¯¡ (1¡ ±)

!¡1(5.12)

6. Dado ®, obtener Á usando informaci¶on sobre la tasa de ahorro s y la pro-porci¶on del tiempo destinado al mercado de trabajo l (si no se encuentra,se suele asumir l = 0:3), junto con la relaci¶on de estado estacionario:

Á1¡ Á =

Ã1 ¡ lc

!w =

Ã1¡ ll

! Ãwly

! µ yc

¶

=Ã1¡ ll

!(1¡ ®)

µ 11¡ s

¶(5.13)

N¶otese que si los datos de largo plazo requeridos para la calibraci¶on son anuales,tambi¶en ser¶an anuales las tasas n, °, ± y ¯ que se encuentren. Por lo tanto, si elmodelo va a ser simulado para reproducir datos trimestrales, n, °, ± y ¯ deben sertransformados a una frecuencia trimestral. Por ejemplo, una tasa de crecimientode la poblaci¶on anual del 3% (o 0:03) implica una tasa de crecimiento trimestralde 0:75% (donde 1:0075 = (1:03)1=4).

Nos queda calibrar el proceso estoc¶astico para los shocks tecnol¶ogicos, es decirlos par¶ametros ½ y ¾. Sabemos que, dada su especi¯caci¶on autoregresiva, losprincipales momentos para zt est¶an dados por:

Ezt = 0 (5.14)

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Ez2t = ¾2

1 ¡ ½2 (5.15)

Eztzt¡1 =½¾2

1 ¡ ½2 (5.16)

Los shocks tecnol¶ogicos corresponden en el modelo al residuo de Solow, me-dido restando de la tasa de crecimiento del producto las partes explicadas por elcrecimiento de los distintos factores de producci¶on:

zt = log Yt ¡ ® logKt ¡ (1 ¡ ®) logLt (5.17)

Obteniendo series para el stock de capital y el empleo, podemos calcular una seriepara zt y observar su varianza y primera autocovarianza. Entonces, usando (5.15)y (5.16), podemos encontrar los valores de ½ y ¾ que sean consistentes con dichasobservaciones.

Siguiendo procedimientos similares a los descritos, y usando datos de largoplazo para la econom¶³a de Estados Unidos, se encuentran los siguientes valores(trimestrales) para los par¶ametros:

n = 0:003 ° = 0:004 ± = 0:012® = 0:3 ¯ = 0:99 Á = 0:64½ = 0:95 ¾ = 0:007

que son los usados en la literatura de RBC.

5.5. Simulaci¶on y Resultados

Una vez obtenidas las formas funcionales y los valores de los par¶ametros, se puedesimular las trayectorias de equilibrio para las variables de inter¶es. Los metodosnum¶ericos usados con mayor frecuencia son el de aproximaci¶on Linear-Cuadr¶atica(LQ) en torno al estado estacionario, y el de Elementos Finitos (FEM). Ambosson relativamente complejos, por lo que su exposici¶on queda pospuesta para m¶asadelante. En todo caso, una buena referencia es el art¶³culo de Hansen y Prescott(1995).

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Los resultados obtenidos simulando el modelo de RBC para la econom¶³a deEstados Unidos quedan resumidos en la siguiente tabla:

Modelo DatosS:D:(y) 0:0135 0:0172S:D:(c) 0:0033 0:0127S:D:(i) 0:0595 0:0824S:D:(l) 0:0077 0:0159Corr(y; c) 0:85 0:83Corr(y; i) 0:99 0:91Corr(y; l) 0:72 0:86

en donde todas las variables (tanto las observaciones como las obtenidas simulandoel modelo) han sido ajustadas mediante el ¯ltro HP para aislar el componentec¶³clico y est¶an expresadas en logaritmos.

Como se puede apreciar, el modelo simple de RBC con shocks tecnol¶ogicosreproduce las correlaciones entre las principales variables observadas en los datos.Asimismo, reproduce alrededor del 70% de la variabilidad observada en el pro-ducto. Sin embargo, genera menor variabilidad en el consumo y el empleo que laobservada. Con todo, el modelo parece consistente con los hechos estilizados delciclo econ¶omico: tanto el consumo, como la inversi¶on y el empleo son fuertementeproc¶³clicos, y la inversi¶on es m¶as volatil que el consumo y el empleo.

La intuici¶on detr¶as de estos resultados es la siguiente. Un shock tecnol¶ogicopositivo aumenta la productividad de los factores, luego el ingreso y el consumo.Al aumentar la rentabilidad del capital, los agentes incrementan fuertemente lainversi¶on (sustituci¶on intertemporal del consumo). Por ¶ultimo, al aumentar lossalarios, los agentes ofrecen mayor cantidad de horas de trabajo al mercado (susti-tuci¶on intertemporal del ocio). Estos efectos generan los patrones de correlaci¶onen las variables descritos anteriormente.

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N¶otese ¯nalmente que si la fuente de °uctuaciones en la econom¶³a fuese yano shocks tecnol¶ogicos, sino por ejemplo shocks en las preferencias, obtendr¶³amosresultados completamente distintos. Como un principio general, los patrones decorrelaci¶on entre las variables en este tipo de modelos depende del tipo de shocksque afectan a la econom¶³a, y no son por lo tanto invariantes ante intervencionesde pol¶³tica.

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6. Dinero y Ciclos Econ¶omicos

6.1. Introducci¶on

El enfoque de Ciclos Econ¶omicos Reales ha sido criticado por no incluir elementosmonetarios. Observaciones para la econom¶³a de Estados Unidos muestran que (i)la cantidad de dinero es fuertemente proc¶³clica; (ii) la velocidad de circulaci¶ones tambi¶en proc¶³clica; (iii) el nivel de precios es contrac¶³clico; pero (iv) la tasade in°aci¶on es proc¶³clica. Estos hechos estilizados no pueden ser capturados porlos modelos de RBC, y pueden ser potencialmente importantes para explicar losciclos econ¶omicos.

El estudio de estos fen¶omenos dentro de la metodolog¶³a de RBC pasa porresolver el problema de c¶omo introducir dinero en el Modelo de CrecimientoNeocl¶asico. La soluci¶on no es obvia, pues se necesita que los agentes escojanracionalmente el mantener un stock de dinero entre per¶³odos, renunciando a in-vertirlo en activos (tales como bonos o nuevo capital) que ofrecen un retornopositivo.

En la ¶ultima d¶ecada se han explorado diversas soluciones a este problema.La m¶as sencilla (y menos atractiva te¶oricamente) es introducir el dinero comoun argumento en la funci¶on de utilidad de las familias, de manera tal que estassiempre demanden un stock positivo del mismo. Una alternativa con la cual vamosa trabajar es el modelo de cash-in-advance, propuesto por Lucas y Stokey (1987),en el cual las familias demandan dinero por motivos transaccionales.

6.2. El Modelo de Cash-In-Advance

Vamos a trabajar con una versi¶on simple del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico, alcual le vamos a introducir un gobierno que ¯nancia sus gastos mediante la emisi¶onde nuevo circulante (no hay impuestos ni bonos). Su restricci¶on presupuestariaest¶a dada por:

ptgt = Mt+1 ¡Mt

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en donde el valor nominal de sus gastos debe ser igual a la cantidad de dinerocreada en el per¶³odo. Por simplicidad, vamos a asumir que el gobierno sigue laregla de pol¶³tica monetaria:

Mt+1 = (1 + ¹)Mt

en donde la cantidad de dinero crece a la tasa constante ¹.

Las familias, por su parte, utilizan su ingreso (salarios m¶as renta del capital)para adquirir bienes de consumo e inversi¶on. El punto es que los bienes de consumodeben ser adquiridos con dinero tra¶³do del periodo anterior, puesto que deben sercancelados antes de que las familias reciban su ingreso correspondiente al per¶³odo.Tenemos entonces la restricci¶on de cash-in-advance:

ptct =Mt

y la restricci¶on presupuestaria:

Mt+1 + ptit = wt + rtkt

de acuerdo a la cual las familias usan su ingreso nominal (en este contexto wt y rtson precios monetarios, no relativos) para adquirir bienes de inversi¶on y guardardinero para el siguiente per¶³odo.

Un Equilibrio General Competitivo (EGC) para esta econom¶³a es un conjuntode secuencias para las cantidades ct, it, yt, kt+1, gt y Mt+1, junto con los preciospt, wt y rt, tales que:

i) Dados k0 > 0, M0 > 0 y los precios pt, wt y rt, las secuencias ct, it, kt+1 yMt+1 resuelven el problema:

max1X

t=0¯tu (ct) (6.1)

s:t: Mt+1 + ptit = wt + rtkt 8tptct = Mt 8t

(1 + n) kt+1 = (1¡ ±) kt + it 8t

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ii) En cada per¶³odo t, dados pt, wt y rt, los valores yt y kt resuelven el problema:

max ptyt ¡ wt ¡ rtkt (6.2)

s:t: yt = f (kt)

iii) En cada per¶³odo t, el gobierno satisface la restricci¶on presupuestaria:

ptgt = Mt+1 ¡Mt (6.3)

y sigue la regla de pol¶³tica monetaria:

Mt+1 = (1 + ¹)Mt (6.4)

iv) En cada per¶³odo t, hay igualdad entre oferta y demanda:

yt = ct + it + gt (6.5)

Como veremos m¶as adelante, el gobierno introduce una distorsi¶on en la econom¶³aal emitir dinero para ¯nanciar sus gastos. Por lo tanto, no podemos usar los Teo-remas del Bienestar resolviendo el problema del plani¯cador social, y debemostrabajar directamente con el EGC.

Empecemos resolviendo el problema de la familia representativa, cuyo la-grangeano est¶a dado por:

L =1X

t=0

h¯tu (ct)¡ ¸1t (Mt+1 + ptit ¡ wt ¡ rtkt) ¡ ¸2t (ptct ¡Mt)

¡¸3t ((1 + n) kt+1 ¡ (1¡ ±)kt ¡ it)]

con condiciones de primer orden:

@L@ct

= ¯tu0 (ct) ¡ ¸2tpt = 0 (6.6)

@L@it

= ¡¸1tpt + ¸3t = 0 (6.7)

50

@L@kt+1

= ¸1t+1rt+1 ¡ ¸3t(1 + n) + ¸3t+1(1¡ ±) = 0 (6.8)

@L@Mt+1

= ¡¸1t + ¸2t+1 = 0 (6.9)

@L@¸1t

= Mt+1 + ptit ¡ wt ¡ rtkt = 0 (6.10)

@L@¸2t

= ptct ¡Mt (6.11)

@L@¸3t

= (1 + n) kt+1 ¡ (1¡ ±)kt ¡ it = 0 (6.12)

y las condiciones de transversalidad habituales.

De (6.6) - (6.9) podemos obtener la ecuaci¶on de Euler:

u0 (ct+1)¯u0 (ct+2)

=Ãpt+1

pt

! Ãpt+1pt+2

! rt+1pt+1

+ (1¡ ±)1 + n

(6.13)

que iguala la tasa marginal de sustituici¶on intertemporal al ratio de los rendimien-tos (medidos en unidades de consumo) de invertir una unidad monetaria en nuevocapital y de guardarla como dinero hasta el siguiente per¶³odo.

De la restricci¶on de cash-in-advance de las familias (6.11) tenemos:

ptyt =µytct

¶Mt (6.14)

una versi¶on simple de la ecuaci¶on cuantitativa del dinero, con velocidad de circu-laci¶on igual a

³ytct

´.

Por ¶ultimo, del problema de la ¯rma obtenemos como es usual:

rt = ptf 0 (kt) (6.15)wt = pt [f (kt)¡ f 0 (kt) kt] (6.16)

que reemplazando en (6.13) nos da:

u0 (ct+1)¯u0 (ct+2)

=Ãpt+1

pt

! Ãpt+1

pt+2

!f 0 (kt+1) + (1¡ ±)

1 + n(6.17)

51

6.3. Estado Estacionario y Neutralidad del Dinero

Vamos a analizar ahora el estado estacionario del modelo, en donde todas lascantidades por trabajador se mantienen constantes. De (6.14) podemos ver que,si el consumo por trabajador es constante, la tasa de in°aci¶on debe ser igual a latasa de crecimiento de la oferta monetaria ¹. Asimismo, de (6.15) y (6.16) vemosque los precios de los factores de producci¶on deben crecer a esa misma tasa ¹.

Usando la ecuaci¶on de Euler (6.17), tenemos que en estado estacionario:

1¯

= f0 (k¤) + (1¡ ±)

1 + n(6.18)

luego cambios en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria no afectan el nivelde capital por trabajador (ni el ingreso por trabajador) de estado estacionario.En ese sentido, el dinero es neutral en el largo plazo.

De la restricci¶on presupuestaria del gobierno (6.3), la regla de pol¶³tica mone-taria (6.4) y la ecuaci¶on cuantitativa (6.14), obtenemos en estado estacionario:

g¤ = ¹c¤ (6.19)

Reemplazando en la ecuaci¶on de cierre del mercado de bienes (6.5):

c¤ = f (k¤)¡ (n + ±)k¤

1 +¹(6.20)

vemos que un aumento en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria aumentael gasto de gobierno y reduce el consumo de las familias en la misma magnitud.

En res¶umen, en este modelo el gobierno puede expandir su gasto (o d¶e¯cit)¯nanci¶andolo mediante emisi¶on de dinero. En el largo plazo, esta pol¶³tica expan-siva no afectar¶a la inversi¶on ni el nivel de producto, pero s¶³ su composici¶on: elconsumo de las familias se ver¶a reducido en la misma magnitud que el aumentoen el d¶e¯cit ¯scal. El mecanismo mediante el cual el gobierno obliga a las familiasa reducir su consumo es mediante un aumento en los precios, que reduce el valorreal del stock de dinero. De esta manera, la emisi¶on en este modelo funciona comoun impuesto in°acionario al consumo.

52

6.4. Ciclos Econ¶omicos Monetarios

Cooley y Hansen (1995) analizan las °uctuaciones generadas por un modelo decash-in-advance sujeto tanto a shocks tecnol¶ogicos como shocks monetarios. Losprimeros afectan la funci¶on de producci¶on, al igual que en la literatura de RBC.Los shocks monetarios, por su parte, afectan la tasa de emisi¶on de dinero. Esdecir, ¹ sigue un proceso estoc¶astico descrito por:

¹t+1 = ´¹t + »t+1

que asumimos independiente al proceso seguido por los shocks tecnol¶ogicos.

El modelo es calibrado para los datos de largo plazo de la econom¶³a de EstadosUnidos, resuelto num¶ericamente y simulado para 150 trimestres. Los estad¶³sticosobtenidos de la simulaci¶on son comparados con los obtenidos en el modelo simplede RBC (sin shocks monetarios) y con los datos para la econom¶³a de EstadosUnidos en la post-guerra. Los principales resultados son:

² Las variables reales (producto, inversi¶on, consumo y empleo) tienen unavarianza similar en ambos modelos y reproducen los patrones de correlaci¶onobservado en los datos.

² En cuanto a las variables nominales, el nivel de precios y la in°aci¶on sonmucho m¶as variables en el modelo con shocks monetarios que en los datos.

² Adicionalmente, en el modelo con shocks monetarios se obtiene que el nivelde precios es contrac¶³clico y la velocidad de circulaci¶on proc¶³clica, tal comose observa. Sin embargo, se obtiene tambi¶en que la tasa de in°aci¶on escontrac¶³clica, lo cual no se observa.

Los primeros dos resultados muestran que la introducci¶on de shocks mone-tarios en el contexto de un modelo de cash-in-advance agrega muy poco a laexplicaci¶on de las °uctuaciones en las variables reales (que siguen siendo expli-cadas b¶asicamente por shocks tecnol¶ogicos) y genera al mismo tiempo demasiadavariabilidad en las variables nominales. Esto tiene que ver, por supuesto, conlas propiedades de neutralidad del dinero en este modelo, por lo cual los shocksmonetarios son acomodados principalmente por movimientos en precios y no encantidades.

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Un punto importante dentro del debate actual sobre los Ciclos Econ¶omicostiene que ver con la construcci¶on de modelos de econom¶³as con dinero en loscuales los shocks monetarios no generen una excesiva variabilidad en los precios.En ese sentido, los llamados "nuevos keynesianos" proponen la introducci¶on derigideces nominales (como contratos de largo plazo, costos de men¶u, etc.) queeviten el ajuste autom¶atico de los precios y, de paso, eliminen la propiedad deneutralidad del dinero.

En el mismo art¶³culo, Cooley y Hansen testean una alternativa de este tipo.Para ello, utilizan un modelo de cash-in-advance con rigideces en los salarios de-bidas a la existencia de contratos traslapados (como en Fisher (1977)). El intentono es del todo satisfactorio, sin embargo, pues si bien con esa modi¯caci¶on sereduce la variabilidad del nivel de precios y aumenta la del producto, algunospatrones de correlaci¶on entre las variables reales que se obtienen ya no son con-sistentes con los datos.

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Part III

Referencias

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References

[1] Barro, Robert y Xavier Sala-i-Martin. Economic Growth. New York:McGraw-Hill, 1995.

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[7] Kydland, Finn y Edward Prescott. "Time to Build and Aggregate Fluctua-tions". Econometrica, vol. 50, 1982.

[8] Lucas, Robert. "Econometric Policy Evaluation: a Critique". En: Brunner,Carl y Allan Meltzer, eds. The Phillips Curve and Labor Markets, Vol. 1 ofthe Carnegie-Rochester Series on Public Policy. Amsterdam: North Holland,1976.

[9] Lucas, Robert. "Methods and Problems in Business Cycle Theory". Journalof Money, Credit and Banking, vol. 12, 1980.

[10] Lucas, Robert y Nancy Stokey. "Money and Interest in a Cash-in-AdvanceEconomy". Econometrica, vol. 55, 1987.

[11] Mankiw, Gregory. "A Quick Refresher Course in Macroeconomics". Journalof Economic Literature, vol. 28, 1990.

[12] Mankiw, Gregory, David Romer y David Weil. "A Contribution to the Em-pirics of Economic Growth". Quarterly Journal of Economics, vol. 107, 1992.

56

[13] Prescott, Edward. "Theory Ahead of Business Cycle Measurement". FederalReserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, Fall 1986.

[14] Rotemberg, Julio. "The New Keynesian Microfoundations". NBER Macroe-conomics Annual, 1987.

[15] Sargent, Thomas. Dynamic Macroeconomic Theory. Cambridge: HarvardUniversity Press, 1987.

[16] Solow, Robert. "A Contribution to the Theory of Economic Growth". Quar-terly Journal of Economics, vol. 70, 1956.

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Part IV

Ap¶endices

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A. Preguntas de Repaso

A.1. Parte I

Pregunta 1

Considere el nivel de capital por trabajador de estado estacionario k¤ en elmodelo de crecimiento neocl¶asico sin distorsiones (obtenido resolviendo el prob-lema del plani¯cador social o el equilibrio competitivo). >Es k¤ el valor del stockde capital por trabajador que maximiza el consumo por trabajador en estadoestacionario?

Pregunta 2

Explique por qu¶e en el modelo de crecimiento neocl¶asico un impuesto al con-sumo no tiene efectos sobre el nivel de ingreso por trabajador. >Sigue siendo estaconclusi¶on cierta cuando se introduce la decisi¶on trabajo-ocio?

Pregunta 3

Analice los efectos de un impuesto a la inversi¶on sobre la tasa de crecimientodel ingreso por trabajador en el modelo Ak. >Qu¶e ocurre en el largo plazo con labrecha entre dos econom¶³as con los mismos par¶ametros pero distintos impuestosa la inversi¶on? >Es ¶esto consistente con la hip¶otesis de convergencia condicional?

A.2. Parte II

Pregunta 1

Analice los patrones de correlaci¶on entre las principales variables (producto,consumo, inversi¶on y empleo) que se obtendr¶³an en un modelo de RBC en el cualen vez de shocks tecnol¶ogicos se tiene shocks de preferencias que afectan el factor

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de descuento ¯. >Son estos patrones de correlaci¶on consistentes con los hechosestilizados para la econom¶³a de Estados Unidos?

Pregunta 2

En el modelo de cash-in-advance visto en clase el dinero es neutral, en elsentido que cambios en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria no afectan elnivel de ingreso por trabajador en el largo plazo. >Sigue siendo el dinero neutralsi tanto los bienes de consumo como los de inversi¶on deben ser adquiridos condinero tra¶³do del per¶³odo anterior?

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B. Problemas y Ejercicios

B.1. Parte I

Pregunta 1

Considere el Modelo de Crecimiento Neocl¶asico en su versi¶on m¶as simple, conlas siguientes formas funcionales:

u(ct) =c1¡¾t ¡ 11 ¡ ¾ f (kt) = k®t

en donde ¾ > 0 y ® < 1 son par¶ametros dados.

i) De¯na un Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.

ii) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo (halle la ecuaci¶on deEuler, etc.)

iii) Halle los valores en estado estacionario para k¤, c¤, y¤, r¤, w¤ y la tasa deahorro s¤.

iv) Dados los siguientes valores para los par¶ametros:

® = 0:3 ¯ = 0:95 ¾ = 1:5 ± = 0:06 n = 0:03

Utilizando el m¶etodo propuesto en la Secci¶on 3.7, y partiendo de k0 = 1:5, gra¯quela trayectoria de equilibrio para kt.

v) En base al resultado obtenido en (iv), gra¯que las trayectorias para ct, yt,rt, wt, la tasa de ahorro st y la tasa de crecimiento de yt >Existe convergenciacondicional en este modelo?

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Pregunta 2

Considere un modelo de crecimiento en el que existe intermediaci¶on ¯nanciera.Las ¯rmas son las due~nas del capital y toman las decisiones de inversi¶on. Lasfamilias ahorran depositando unidades del ¶unico bien (dt) en un banco por el cualganan una tasa de inter¶es pasiva rdt . El banco, por su parte, presta unidadesdel ¶unico bien (mt) a las ¯rmas, a una tasa de inter¶es activa rmt . La tecnolog¶³a¯nanciera est¶a descrita por:

mt = µdt

en donde 0 < µ < 1 es un par¶ametro que re°eja la e¯ciencia del sistema bancario(es decir (1 ¡ µ)dt re°eja los recursos perdidos en el proceso de intermediaci¶on).El mercado ¯nanciero es competitivo, luego los bene¯cios son cero. Las ¯rmasmaximizan el valor presente de sus bene¯cios, descontados de acuerdo a la tasade inter¶es activa. Puesto que el mercado de bienes es tambi¶en competitivo, dichovalor presente debe ser cero.

i) De¯na un Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.

ii) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo.

iii) Halle los valores en estado estacionario para k¤, c¤, y¤, r¤, w¤ , rd¤, rm¤.

Introduzcamos ahora un gobierno, que desea reducir el spread bancario (la difer-encia entre las tasas de inter¶es activa y pasiva). Para ello cuenta con dos alterna-tivas: (a) una reforma del sistema ¯nanciero que reduzca la ine¯ciencia del mismo(incrementando µ), y (b) un impuesto ¿ al inter¶es recibido por los bancos, cuyarecaudaci¶on es devuelta a los consumidores como una transferencia lump-sum Tt(es decir, Tt = ¿rmt mt).

iv) Analice los efectos de ambas alternativas sobre los valores de estado esta-cionario encontrados en (iii) y compare su e¯cacia en reducir el spread.

Pregunta 3

Considere el siguiente modelo de crecimiento, en donde el gasto del gobiernoentra en la funci¶on de producci¶on (en forma intensiva) de la siguiente manera:

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f(kt) = k®t g°t

con ® + ° < 1. Este gasto de gobierno (podemos pensarlo como construcci¶on decarreteras) es ¯nanciado mediante un impuesto a los retornos del capital:

gt = ¿rtkt

La funci¶on de utilidad tiene la forma usual:

u(ct) = log ct

y por simplicidad asuma que no hay crecimiento de la poblaci¶on ni progresot¶ecnico.

i) De¯na un Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.

ii) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo.

iii) Encuentre el valor de estado estacionario k¤ y graf¶³quelo como una funci¶ondel impuesto ¿.

iv) En base al resultado en (iii), muestre que existe un valor distinto de ceropara ¿ que maximiza k¤. Encuentre este valor y graf¶³quelo como una funci¶on delpar¶ametro °. Interprete estos resultados.

Pregunta 4

Considere el siguiente modelo de crecimiento, que incluye la decisi¶on trabajo-ocio e introduce de manera sencilla capital humano. Las familias deben dividirsu dotaci¶on de tiempo entre trabajo (lt), educaci¶on (et) y ocio (1¡ lt ¡ et). Eltiempo de ocio entra en la funci¶on de utilidad de la siguiente manera:

u(ct; lt; et) = log ct + log(1¡ lt ¡ et)

Las familias usan el tiempo de educaci¶on para acumular capital humano ht deacuerdo a:

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ht+1 = (1 ¡ ±)ht + ety rentan este capital (m¶as su trabajo no cali¯cado lt) a las ¯rmas. La funci¶on deproducci¶on (en forma intensiva) es:

f(ht; lt) = h®t l1¡®t

y como no existe capital f¶³sico ni inversi¶on, todo el producto va destinado al con-sumo. Por simplicidad, asuma nuevamente que no hay crecimiento de la poblaci¶onni progreso t¶ecnico.

i) De¯na un Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.

ii) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo

iii) Encuentre los valores de estado estacionario de h¤, l¤, c¤ y e¤.

Suponga ahora que existe un gobierno, el cual quiere fomentar la educaci¶on enesta econom¶³a. Para ello, ofrece un subsidio a las familias proporcional al tiempodedicado a educarse, subsidio que es ¯nanciado mediante un impuesto lump suma las mismas familias.

iv) Rede¯na el Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.

v) Caracterice lo mejor posible el nuevo Equilibrio Competitivo.

vi) Encuentre los nuevos valores de estado estacionario para h¤, l¤, c¤ y e¤.Compare sus resultados con los obtenidos en (iii) y eval¶ue la e¯cacia del subsidioeducativo.

Pregunta 5

Considere la siguiente versi¶on del modelo de crecimiento neocl¶asico con capitalhumano. La tecnolog¶³a est¶a dada por:

Yt = F (Kt; Ht) = K®t H1¡®t

64

en donde K es el stock de capital f¶³sico y H el stock de capital humano. Elproducto puede ser usado para consumo, inversi¶on en capital f¶³sico e inversi¶on encapital humano:

Yt = Ct + +IKt + IHt

Las familias maximizan una funci¶on de utilidad intertemporal:

1X

t=0¯t log

CtLt

sujetos a la restricci¶on presupuestaria:

Ct + IKt + IHt = rKt Kt + rHt Ht

y las leyes de acumulaci¶on para ambos tipos de capital:

Kt+1 = (1¡ ±)Kt + IKtHt+1 = (1¡ ±)Ht + IHt

N¶otese que el trabajo no cali¯cado (Lt) no entra ni en la funci¶on de producci¶onni en la restricci¶on presupuestaria de las familias.

Por simplicidad, asuma que el tama~no de la poblaci¶on es constante (n = 0) yque no hay gobierno ni cambio tecnol¶ogico.

i) De¯na un Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.

ii) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo.

iii) Muestre que no existe un estado estacionario en esta econom¶³a.

iv) Encuentre la tasa de crecimiento de todas las variables por trabajador enla senda de crecimiento balanceado.

65

B.2. Parte II

Pregunta 1

Considere la siguiente versi¶on estoc¶astica del modelo de cash-in-advance. Elgobierno ¯nancia sus gastos mediante emisi¶on de dinero. La oferta monetariacrece a una tasa ¹t, que sigue el proceso estoc¶astico:

¹t+1 = ¹¹+ ´¹t + ²t+1

en donde ²t es un ruido blanco con varianza ¾2².

Por su parte, las familias maximizan una funci¶on de utilidad intertemporalque depende ¶unicamente del consumo:

1X

t=0¯t log ct

sujeto a su restricci¶on presupuestaria y una restricci¶on de cash-in-advance, seg¶unla cual los bienes de consumo deben ser adquridos con dinero tra¶³do del per¶³odoanterior. La regla de acumulaci¶on del capital es la habitual, con tasa de depre-ciaci¶on ±.

Finalmente, las ¯rmas operan con una tecnolog¶³a descrita por la funci¶on deproducci¶on:

Yt = eztK®t L1¡®t

en donde zt es un shock tecnol¶ogico que sigue el proceso estoc¶astico:

zt+1 = ½zt + "t+1

y en donde "t es un ruido blanco con varianza ¾2" .

Por simplicidad, asuma que no hay crecimiento de la poblaci¶on ni cambiotecnol¶ogico ex¶ogeno.

i) De¯na un Equilibrio Competitivo estoc¶astico para esta econom¶³a.

66

ii) Caracterice lo mejor posible el estado estacionario para la versi¶on deter-min¶³stica del modelo (es decir, con ¹t = ¹¹ y zt = 0, 8t).

iii) Suponga que dispone ¶unicamente de la siguiente informaci¶on de largo plazo:

wLY

= 0:6KY

= 4GY

= 0:3CY

= 0:5

Usando las relaciones encontradas en (ii), calibre los par¶ametros ¯, ±, ® y ¹¹.

Pregunta 2

Considere el siguiente modelo de RBC con producci¶on en el hogar. Las pre-ferencias de las familias est¶an descritas por una funci¶on de utilidad intertemporalque depende del consumo y el ocio:

1X

t=0¯t

h° log cmt + (1 ¡ °) log cht + log

³1¡ lmt ¡ lht

´i

en donde cmt es el consumo de bienes adquiridos a las ¯rmas y cht es el consumo debienes producidos en el hogar. Asimismo, lmt representa la proporci¶on del tiempodestinada al mercado laboral y lht la proporci¶on del tiempo destinada a produciren el hogar.

Con el ingreso proveniente de rentar trabajo y capital a las ¯rmas, las familiascompran bienes de consumo e inversi¶on sujetas a la restricci¶on presupuestaria:

cmt + it = wtlmt + rtkt

Adicionalmente, las familias operan una tecnolog¶³a que les permite producir bienesde consumo en el hogar, descrita por la funci¶on de producci¶on:

cht = Álht

La regla de acumulaci¶on del capital es la habitual, con tasa de depreciaci¶on ±.

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Finalmente, las ¯rmas operan con una tecnolog¶³a descrita por la funci¶on deproducci¶on:

yt = ezt (kt)® (lmt )1¡®

en donde zt es un shock tecnol¶ogico que sigue el proceso estoc¶astico:

zt+1 = ½zt + "t+1

y en donde "t es un ruido blanco con varianza ¾2" .

N¶otese que todas las variables est¶an expresadas en unidades por trabajador.Por simplicidad, asuma que no hay crecimiento de la poblaci¶on ni cambio t¶ecnicoex¶ogeno.

i) De¯na un Equilibrio Competitivo estoc¶astico para esta econom¶³a.

ii) Caracterice lo mejor posible el estado estacionario para la versi¶on deter-min¶³stica del modelo (con zt = 0, 8t).

iii) Suponga que dispone ¶unicamente de la siguiente informaci¶on de largo plazo:

wlm

y = 0:6ky = 4

iy = 0:3 lm = 0:4 lh = 0:3

Usando las relaciones encontradas en (ii), calibre los par¶ametros ¯, ±, ®, ° y Á.

iv) Volviendo a la versi¶on estoc¶astica del modelo, suponga que ocurre un shocktecnol¶ogico positivo. >Qu¶e ocurre con la proporci¶on del tiempo destinada al mer-cado laboral, a la producci¶on en el hogar y al ocio? >Es la variaci¶on en las horasdestinadas al mercado laboral mayor o menor a la que se obtiene en el modelosimple de RBC, sin producci¶on en el hogar?

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