NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros negativos

Es un hecho indiscutible que los números forman parte de nuestra vida

cotidiana, como lo fue en un comienzo de la historia, donde los

primeros comerciantes los utilizaron para poder contabilizar su

mercadería. Han sido utilizados para expresar cantidades, como por

ejemplo, el ganado que poseían, las tierras y otros. Seguramente de la

necesidad de contar es que nace el primer conjunto de números, el necesidad de contar es que nace el primer conjunto de números, el

conjunto de los números naturales que se denota con la letra N y se escribe por extensión de la forman={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.

Pero ¿Cómo expresar con números la altura y la profundidad, las

riquezas y las deudas, las ganancias y las pérdidas, la temperatura

por encima o por debajo del punto de congelación del agua? ...

A los números negativos como el caso de las temperaturas bajas o de las profundidades en lo que se refiere al agua o a las perdidas en lo que s el dinero, los vamos a definir como el conjunto de los números enteros negativos. Dicho conjunto se simboliza con y se escribe por extensión de la forma

Ahora, observaremos la representación de dicho conjunto en una recta numéricarecta numérica

De ahora en adelante, a la unión de los números naturales con los números enteros negativos los llamaremos el conjunto de los números enteros, lo simbolizaremos con una Z Z Z Z y lo escribiremos por extensión de la forma

Z={... ,Z={... ,Z={... ,Z={... ,----5, 5, 5, 5, ----4, 4, 4, 4, ----3, 3, 3, 3, ----2, 2, 2, 2, ----1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.

A los números enterosnúmeros enterosnúmeros enterosnúmeros enteros los representamos mediante puntos sobre una recta, para ello debemos fijar la posición del punto 0 y la largura del segmento unidad, que será el segmento que llevaremos sobre la recta, sucesivas veces según el valor del número. Los números positivos los colocamos a la derecha y los negativos a la izquierda.

Cuando tengamos dos conjuntos no vacíos, tales que, todostodostodostodos los elementos de uno de estos conjuntos están contenidos en el otro conjunto, vamos a decir que dicho conjunto es subconjunto de ese otro conjunto.

VEÁMOSLOVEÁMOSLOVEÁMOSLOVEÁMOSLO ENENENEN UNUNUNUN DIAGRAMADIAGRAMADIAGRAMADIAGRAMA DEDEDEDE VENNVENNVENNVENN

Observando el diagrama, vemos claramente que todos los

elementos del conjunto de los números naturales están contenidos

en el conjunto de los números enteros, por lo que podremos

asegurar con certeza que el conjunto de los números naturales es

subconjunto del conjunto de los números enteros .

Observe la recta numérica y conteste a las siguientes preguntas:

¿Qué distancia separa el -3 del cero? __________________

¿Qué distancia separa el 5 del cero? __________________

¿Qué distancia separa el -6 del cero? __________________¿Qué distancia separa el -6 del cero? __________________

¿Qué distancia separa el 4 del cero? __________________

Se llama valor absoluto de un número entero a la distancia de dicho número al cero.

En general si “a” es un número entero, el valor absoluto de “a” se simboliza: | a |

Así Así Así Así que:que:que:que:

|–3| = 3 se lee: el valor absoluto de –3 es igual a 3 y se

interpreta que la distancia de –3 a cero es igual a 3.

|5| = 5 se lee: el valor absoluto de 5 es igual a 5 y se

interpreta que la distancia de 5 al cero es igual a 5.

|-6| = 6 se lee: el valor absoluto de –6 es igual a 6 y se

interpreta que la distancia de –6 al cero es igual a 6.

|-6| = 6 se lee: el valor absoluto de –6 es igual a 6 y se

interpreta que la distancia de –6 al cero es igual a 6.

|4| = 4 se lee: el valor absoluto de 4 es igual a 4 y se

interpreta que la distancia de 4 al cero es igual a 4.

Es evidente que:

Lo contrario de deber dinero es tener dinero.

Lo contrario de ir hacia la derecha es ir hacia la izquierda.

Lo contrario de bajar es subir.

En la recta numérica, podemos observar el lugar que ocupa el 3 y -3,

pues ambos números se encuentran a una misma distancia del cero, pues ambos números se encuentran a una misma distancia del cero,

pero en sentido contrario uno del otro, por lo que podemos decir que

dichos números son opuestos.

ANTECESOR Y SUCESORANTECESOR Y SUCESORANTECESOR Y SUCESORANTECESOR Y SUCESOR

Lea e interprete los conceptos que se presentan a continuación

para que luego realice la actividad que se le pide. Para

cualquier número entero, el antecesor es el número entero que se

ubica “inmediatamente” a la izquierda de dicho número sobre la

recta numérica y el sucesor es el entero que está

“inmediatamente” a la derecha del mismo.

a-Indique el antecesor y sucesor de cada uno de los números a-Indique el antecesor y sucesor de cada uno de los números

indicados sobre la recta.

a-El antecesor de 0 es___________

b-El sucesor de -4 es____________

c-El antecesor de 3 es___________

d-El sucesor de -5 es____________

Complete las siguientes conclusiones a partir de la actividad anterior.

a) Para determinar el sucesor de cualquier número entero, a dicho a) Para determinar el sucesor de cualquier número entero, a dicho

número hay que_______________________________

b) Para determinar el antecesor de cualquier número entero, a dicho

número hay que_______________________________

RELACIONES DE ORDENRELACIONES DE ORDENRELACIONES DE ORDENRELACIONES DE ORDEN

Comparar y ordenar los números positivos no es nuevo para usted, pero al trabajar con números enteros se presenta un nuevo desafío, que es comparar y ordenar números enteros negativos; así como también, números enteros negativos y positivos.

Situación 1.

Lea con atención la siguiente situación y complete lo que se pide a continuación.

Dos científicos recopilaron datos acerca de la temperatura del agua de un lago y la temperatura ambiente del mismo lugar y entregaron los siguientes datos en forma desordenada, sin indicar la profundidad ni la altura sobre el nivel del agua. Pero sí se sabía que los valores negativos correspondían a la temperatura del agua y los valores positivos a la temperatura ambiente: –4ºC; –8ºC; 5ºC; 2ºC; 4ºC; –6ºC, 3ºC, 7ºC

ResumiendoResumiendoResumiendoResumiendo::::

Para comparar números enteros, debemos tener en cuenta:

♦ Cualquier positivo es mayor que cualquier negativo.

♦ Cualquier negativo es menor que cero.

♦ Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; es decir, el que está más próximo a 0 en la recta numérica.♦ Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; es decir, el que está más próximo a 0 en la recta numérica.

Esto te puede ser muy útil. Una manera de saber cuándo utilizar el signo > (mayor) ó el < (menor) es notar que la parte ancha del signo siempre indica hacia el número mayor.

EJEMPLO:

13 es menor que 24 y se expresa 13 < 24.

Si alargáramos las líneas del signo, podemos imaginar que éste

encierra al número mayor.

45 es mayor que 30 y se expresa 45 > 30.

Nuevamente, al alargar las líneas del signo, observamos la misma

idea