1

NÚMEROS RACIONALES

INTRODUCCIÓN

El primer conocimiento acerca de las fracciones se da hacia el año 2000 A.C.

en Egipto. Aquella civilización creció alrededor del Río Nilo y cultivó sus orillas.

Cuando se producían inundaciones era difícil determinar la porción de tierra

que correspondía a cada uno. Así comenzaron a plantearse la existencia de los

números fraccionarios.

Pero quienes hicieron de los números racionales una filosofía de vida fueron

los griegos, que desarrollaron ampliamente el tema.

En la vida cotidiana, la necesidad de “repartir” desde temprana edad permite

ir incorporando con naturalidad la idea de número racional.

DEFINICIÓN

Las fracciones expresan un cociente entre dos números enteros.

Las fracciones se utilizan para expresar una parte de la unidad, por eso

resultan útiles en las mediciones.

El entero b es el denominador e indica en cuántas partes iguales se divide

la unidad .

El entero a es el numerador e indica cuántas partes iguales tomo de la

unidad .

Una fracción tiene dos formas de escribirse. La primera es colocando una

línea horizontal entre el numerador y el denominador. Por ejemplo

5 , 10 . 6 12

2

La otra forma es colocando una línea diagonal entre ambos números. Por

ejemplo: 9/5, 3/6, 10/8.

El numerador se lee con el nombre del número. El denominador se lee así:

� Si es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9 se lee: medios , tercios , cuartos , quintos ,

sextos , séptimos , octavos o novenos .

� Si es 10 se lee décimos y si es mayor que 10 se lee el número

añadiendo la terminación –avos . Por ejemplo 8/15 se lee ocho quinceavos.

REPRESENTACION GRÁFICA

Para poder representar gráficamente un número fraccionario tomo la unidad

que debo repartir y la divido en tantas partes como me piden. Una vez hecho

esto se toma la cantidad de partes como indican.

Sofía Andrés

▼ CÓMO HACER Expresamos en forma de fracción la parte sombreada de este rectángulo. El rectángulo se ha dividido en 7 partes iguales → denominador Tomamos 4 partes iguales → numerador La parte sombreada viene expresada por la fracción 4

7

3

PRÁCTICA DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES

1. Representa correctamente un medio en el círculo y un tercio en el

cuadrado.

2. Completa la tabla.

Representación Fracción Se lee

Un medio

_______________

4

1

_______________

_______________

3. Indica en cada caso la fracción que representa la parte negra:

¿En cuántas partes se divide la unidad en cada figura? ¿Cómo se llama?

¿Cómo se llaman las partes de negro en cada caso?

4

4. Escribe y representa la fracción que se indica en cada caso y escribe con

rojo el numerador y con azul el denominador.

a) Han aprobado los siete octavos de los alumnos del colegio.

b) En la fiesta se han consumido los cinco octavos de los bocadillos que

había.

c) Los dos tercios de los ordenadores del instituto están en perfectas

condiciones de uso.

5. Observa y luego completa. (Poner “rayita” a las fracciones)

Estrellas pintadas _____________ Cruces pintadas _____________

Estrellas en total _____________ Cruces en total _____________

Fracción de pintados Fracción de pintados Se lee _______________________ Se lee _______________________ Corazones pintadas _____________ Caritas pintadas _____________

Corazones en total _____________ Caritas en total _____________

Fracción de pintados Fracción de pintados Se lee _______________________ Se lee _______________________

5

6. Escribe la fracción que se representa cada conjunto.

REPRESENTACÍÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS EN LA RECTA

Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de

esta manera:

� Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo

llamas 0.

� Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas

ubicar varios números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la

derecha del 0, el 2 a la derecha del 1, etcétera.

� Para ubicar los números enteros negativos, utilizas la misma unidad pero

la ubicas hacia la izquierda del 0.

� Para ubicar fracciones, divides el entero (o los enteros) en tantas partes

como indica el denominador y tomas las que indica el numerador. Por

ejemplo:

6

0 1 2 3 -1 -2 -3

PRÁCTICA DE REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES EN LA RECT A

1. Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

2. Identifica a que fracción corresponde el lugar vacío en la siguiente recta:

3. En la siguiente recta numérica ubicá el y el

4. En la siguiente recta numérica ubicá el y el

5. En la siguiente recta numérica ubicá el y el

7

CLASIFICACIÓN

• Fracciones Propias: son aquellas en las que el numerador es menor que l

denominador. Representan un número menor que la unidad. Por ejemplo:

• Fracciones Aparentes: son aquellas en las que el numerador y el

denominador son iguales. Representan a la unidad. Por ejemplo:

• Fracciones Impropias: son aquellas en las que el numerador es mayor

que el denominador. Representan un número mayor que la unidad.

La fracción impropia 7/6 se puede expresar como ó .

El número recibe el nombre de número mixto .

Para escribir una fracción impropia en forma de número mixto se divide el

numerador entre el denominador.

▼ CÓMO HACER ¿Cómo podemos expresar la fracción impropia 8/6 med iante un número natural más una fracción propia?

1º Dividimos el numerador entre el denominador

2º El cociente es el número natural, el resto es el numerador de la fracción

propia, y el divisor el denominador.

8

▼ CÓMO HACER ¿Cómo convierto un número mixto en fracción impropi a? Muy sencillo, se multiplica el entero por el denominador y Al producto se le suma El numerador. El denominador es el mismo. Por ejemplo: 6 ½. En este caso, se realiza la operación: 6 x 2 + 1. Así quedaría la fracción 13 / 2.

PRACTICA DE CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES

1. Copia en tu cuaderno estas fracciones impropias y transfórmalas a número

mixto.

2. Completa:

4 48 9 7

8 =

8

13 = 13

225 820 15

=

36 = 22

36

8 4 6 18

=

6

= 12

4 2 6

10 =

20

9 =

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al

producto de medios, dicho producto se llama producto cruzado .

a y d son los extremos ; b y c los medios .

Calcula si son equivalentes las fracciones:

4 • 12 = 6 • 8

48 = 48

9

Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un

número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.

Al primer caso se le llama amplificación y al segundo simplificación . Ahora

veamos bien cada uno de ellos.

� Amplificación de fracciones: Si multiplicamos el numerador y el

denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero,

obtenemos una fracción equivalente a la fracción dada.

▼ CÓMO HACER Calculamos por amplificación fracciones equivalente s a 4/5

� Simplificación de fracciones: Para simplificar una fracción dividimos el

numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero y

obtenemos una fracción equivalente a la fracción dada.

▼ CÓMO HACER Calculamos por simplificación fracciones equivalent es a 56/32

10

FRACCIONES IRREDUCIBLES

Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto

sucede cuando el numerador y el denominador son números primos entre si, es

decir, no tienen divisores comunes.

PRACTICA DE FRACCIONES EQUIVALENTES, AMPLIFICACIÓN. SIMPLIFICACIÓN Y FRACCIONES IRREDUCIBLES

1. Amplifica o simplifica las fracciones dadas según se indica en cada caso y

forma pares de fracciones equivalentes:

Amplifica por 4 Simplifica por 6 Amplifica por 9 7 = 5 =

8 15 2 = 15 = 14 20 4 = 6 = 12 11

12 = 42 =

20 60 18 = 24 = 24 30 36 = 66 = 48 72

2 = 14 =

18 23 8 = 29 = 12 35 3 = 56 = 5 60

2. Asocia a la fracción de cada vela la llama que represente su fracción

equivalente.

3. Simplifica cada una de estas fracciones hasta llegar a su mínima expresión:

18 = 14 = 48 = 300 = 50 = 200 = 30 49 60 900 75 400

11

4. Halla la fracción irreducible de :

a) b) c)

PRODUCTO CRUZADO

El producto cruzado de dos fracciones es el resultado de multiplicar el

numerador de la primera por el denominador de la segunda, o viceversa.

Por ejemplo, los productos cruzados de 2/4 y 5/6 son: 2 • 6 = 12 y 5 • 4 = 20.

Los productos cruzados de dos fracciones son iguales. Por ejemplo, sabemos

que 2/4 y 4/8 son equivalentes porque 2 • 8 = 16 y 4 • 4 = 16.

FRACCIONES DECIMALES

Una fracción es decimal si puede hallarse una fracción equivalente a ella que

tenga como denominador una potencia de 10 (10, 100, 1000, etc.).

Por ejemplo, son fracciones decimales:

Ya que:

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Para comparar fracciones distinguiremos tres casos:

� Fracciones con el mismo denominador: cuando dos o más fracciones

tiene el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador.

▼ CÓMO HACER Comparamos las fracciones 3/5 y 2/5

9 185 4 1 24 7 9 10 10000 5 4 5 14 8

4 8 1 25 24 80 5

= 10 4

= 100 5

= 10

7 1 5 9 1125 14

= 2

= 10 8

= 1000

12

� Fracciones con el mismo numerador: cuando dos o más fracciones

tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador.

▼ CÓMO HACER Comparamos las fracciones 1/4 y 1/2

� Fracciones con distinto denominador y numerador: para comparar

fracciones con distinto denominador y numerador primero se reducen a

común denominador y después se comparar los numeradores.

▼ CÓMO HACER

Comparamos las fracciones , y

Reducimos a común denominador

1º Factorizamos los denominadores: 4, 9 y 12

4 = 22

9 = 32

12 = 22 • 3

m.c.m. (4,9,12) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36

El denominador de las nuevas fracciones es el m.c.m. de los denominadores:

36

2º Se calcula el numerador de cada fracción nueva: dividiendo el m.c.m. por el

denominador de cada fracción, y multiplicando el resultado por el numerador.

Para , el numerador es: ( 36 : 4 ) • 3 = 9 • 3 = 27

Para , el numerador es: ( 36 : 9 ) • 5 = 4 • 5 = 20

13

Para , el numerador es: ( 36 : 12 ) • 7 = 3 • 7 = 21

3º Ordenamos las fracciones equivalentes obtenidas:

PRACTICA DE COMPARACIÓN DE FRACCIONES

1. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:

2. Ordena de menor a mayor estas fracciones:

3. Indica con el signo mayor (>), menor (<) ó igual (=).

14

Otra forma de comparar fracciones es comparar sus expresiones decimales.

Por ejemplo, si comparamos 3/5 y 2/5 sabemos que

Para obtener la expresión decimal de un número racional escrito como

fracción se debe dividir el numerador por el denominador. Los números

decimales están formados por una parte entera y una parte decimal ,

separados por la coma .

COMA

Las unidades decimales son:

Décima Centésima Milésima Diezmilésima Cienmilésima Etc. 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 ...

Para leer un número decimal se dice primero la parte entera seguida de la

palabra unidades, luego el número que forman sus cifras decimales dándole el

nombre que corresponde a la unidad decimal del mismo orden que el que

ocupa la última cifra decimal de la derecha:

2: 2 unidades.

2.1: 2 unidades, una décima.

2.12: 2 unidades y 12 centésimas.

2.123: 2 unidades y ciento veintitrés milésimas.

2.1234: 2 unidades y mil doscientas treinta y cuatro diezmilésimas.

2.12345: 2 unidades y doce mil trescientas cuarenta y cinco cienmilésimas.

0,4 < 0,6

15

Las fracciones impropias están formadas por una parte entera y una parte

decimal. En cambio, las fracciones propias sólo tendrán parte decimal ya que

su parte entera es igual a cero

Los números decimales pueden ser exactos o no exactos .

� Un número decimal exacto es el que tiene en su parte decimal un

número limitado de cifras decimales.

0,256 → Parte decimal limitada. → Decimal exacto.

� Un número decimal no exacto es el que tiene en su parte decimal

infinitas cifras decimales. Los números decimales no exactos pueden ser

periódicos y no periódicos.

� Un número decimal periódico es el que tiene en su parte decimal

alguna cifra o grupo de cifras, denominado período , que se repite

indefinidamente.

5,1212... → Parte decimal ilimitada.→ Decimal no exacto→ Decimal

periódico (período 12).

Los números decimales periódicos pueden ser: periódicos puros y

periódicos mixtos.

� Decimos que un número es decimal periódico puro cuando las

cifras que componen el período comienzan inmediatamente

después de la coma.

� Un número es decimal periódico mixto cuando tiene cifras

decimales antes del período. A estas cifras se les llama

anteperíodo .

El período se simboliza con un pequeño arco sobre los números que

se repiten.

Veamos algunos ejemplos:

• 0,333... = → Periódico puro.

Período = 3.

• 27,34777... = → Periódico mixto.

Anteperíodo = 34.

Período = 7.

• 15,3434... = → Periódico puro.

Período = 34.

16

• 0,01222... = → Periódico mixto.

Anteperíodo = 01.

Período = 2.

� Un número decimal no periódico es aquel que tiene ilimitadas cifras

decimales, pero no hay ninguna cifra o grupo de cifras que se repita de

manera indefinida.

3,1415926... → Parte decimal ilimitada.→ Decimal no exacto.→ No se

repiten cifras.→ Decimal no periódico.

PRACTICA DE TIPOS DE DECIMALES

1. Clasificar, por el tipo, los números decimales correspondientes a las

fracciones:

2. Escribe como número decimal.

PARA RECORDAR

17

3. Escribe en forma de número decimal las siguientes fracciones. Señala si

es número decimal exacto o número decimal periódico, según corresponda.

4. Escribe en forma de número decimal las siguientes fracciones. Señala si

es periódico puro o periódico mixto, según corresponda.

18

5. Escribe en forma de número decimal las siguientes fracciones.

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES EN LA RECTA

NUMÉRICA

Cada número decimal tiene su lugar en la recta numérica. Para representar

las décimas dividimos la unidad en 10 partes.

·

Para representar las centésimas dividimos cada décima en 10 partes.

Para representar las milésimas dividimos cada centésima en 10 partes , y

así continuaríamos para las diez milésimas, cien milésimas, etc.

19

PRÁCTICA DE REPRESENTACIÓN DE DECIMALES EN LA RECTA

1. Escribí la expresión decimal de cada número fraccionario y represéntalos

con un punto en la recta numérica.

COMPARACIÓN DE NUMEROS DECIMALES

Para comparar números decimales:

� Primero nos fijamos en su parte entera. Si tienen distinta parte entera, es

mayor el número que tenga mayor parte entera.

� Si los dos números decimales tienen la misma parte entera, entonces los

escribimos con igual cantidad de cifras decimales, quitamos la coma

decimal y comparamos los números naturales resultantes.

PARA RECORDAR

Dados dos números decimales es menor :

1. El que tenga menor la parte entera.

2. Si tienen la misma parte entera , el que tenga la menor parte

decimal

20

PRÁCTICA DE COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

1. Ordena de menor a mayor estos números decimales:

a) 5,4

5,004

5,0004

5,04

4,4

4,98

5

5,024

b) 7,3

7,003

7,0003

7,03

6,5

6,87

7

7,037

2. Compara los siguientes pares de números decimales indicando <, > ó =.

a) 4,15 12,7 b) 5,25 5,8 c) 4,75 4,750 d) 2,015 2,12 e) 4,35 4,8

3. Señala los números que tienen igual valor:

3,4 3,04 3,40 0,34 3,400

PASAJE DE NÚMERO FRACCIONARIO A DECIMAL

En una fracción, al realizar la división entre el numerador y el denominador,

podemos obtener un número entero, un número decimal exacto o un número

decimal periódico.

21

Una fracción tiene como expresión decimal un número decimal exacto

cuando su denominador sólo tiene como factores primos los números 2 y/o

5. En caso contrario, su expresión es un número decimal periódico (puro o

mixto).

Observamos las fracciones siguientes:

PASAJE DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIONARIO

Los números decimales exactos y periódicos puros y mixtos se pueden

expresar en forma de fracción. A la fracción irreducible que representa a un

número decimal se le llama fracción generatriz .

� Paso de un decimal exacto a fracción: Para pasar un número decimal

exacto a fracción, ponemos en el numerador el número decimal sin la

coma, y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras

hay a la derecha de la coma.

� Paso de un decimal periódico puro a fracción: Para pasar un

número decimal periódico puro a fracción seguimos estos pasos:

1º Llamamos A al número que queremos expresar como fracción.

2º Multiplicamos esa igualdad por la unidad seguida de tantos ceros

como cifras tiene su parte periódica.

100 · A = 100 · 3,1414...

22

3º Restamos a ese resultado el número decimal periódico del

principio.

4º Despejamos A.

▼ CÓMO HACER Escribimos la fracción generatriz de estos números decimales exactos y

periódicos puros.

� Paso de un decimal periódico mixto a fracción: Para pasar un

número decimal periódico mixto a fracción seguimos estos pasos:

1º Llamamos A al número que queremos expresar como fracción.

2º Multiplicamos esa igualdad por la unidad seguida de tantos ceros

como cifras tiene su parte decimal periódica y no periódica.

10.000 · A = 10.000 · 0,2317317...

10.000 · A = 2.317,317317...

3º Multiplicamos la igualdad inicial por la unidad seguida de tantos

ceros como cifras tiene su parte decimal no periódica.

10 · A = 10 · 0,2317317

10 · A = 2,317317...

23

4º Restamos ambos resultados.

5º Despejamos A.

PRÁCTICA DE PASAJES DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN Y

VICEVERSA

1. Escribe los siguientes números en forma decimal:

2. Escribe los siguientes números en forma fracción:

PARA RECORDAR

24

3. Escribe en forma de número decimal las siguientes fracciones:

4. Primero escribe cada número decimal en forma de fracción decimal.

Después, halla la fracción irreducible de cada fracción decimal.

5. Transforma las siguientes fracciones a decimales, teniendo en cuenta los

períodos.

3 4 1 2 6 a) 8

b) 13

c) 6

d) 3

e) 9

APROXIMACIÓN DE DECIMALES

Cuando debemos utilizar números decimales se hace necesario aproximar .

Podemos aproximar un número decimal por otro que tenga menor número de

cifras decimales. Las aproximaciones pueden ser:

� Por defecto: cuando todas las cifras decimales que se toman son

exactas.

25

PARA RECORDAR

� Por exceso: cuando todas las cifras decimales que se toman son

exactas, salvo la última tomada que se aumenta en una unidad.

La aproximación podemos hacerla de dos formas distintas:

� Por Redondeo: Cuando redondeamos un número a una determinada

cifra, observamos la cifra que está a su derecha:

• Si esta es mayor o igual a 5 le sumamos 1 a la cifra anterior, es decir,

a la que está a su izquierda.

• Si esta es menor que 5, la cifra anterior no se altera.

En cada caso, consideramos iguales a cero todas las cifras que están a la

derecha de la redondeada.

Ejemplos:

� Al redondear 72,36 en décimos, nos queda 72,4 (porque al 3 le

sigue 6 que es mayor que 5)

� Al redondear 7,462 en centésimas, nos queda 7,46 (porque al 6 le

sigue 2 que es menor que 5)

� Al redondear 7,465 en centésimas, nos queda 7,46 (porque al 6 le

sigue un 5)

� Por Truncamiento: cuando truncamos un número en una cifra

determinada, consideramos iguales a cero a todas las cifras que le siguen

hacia la derecha.

Ejemplos:

� Al truncar 7,475 en décimas, nos queda 7,4.

� Al truncar 7,447 en décimas, nos queda 7,4.

Cuando hacemos una aproximación numérica por redondeo o truncamiento,

siempre existirá un error, porque los cálculos no son exactos. Por esto la

aproximación por redondeo minimiza el error con la regla (3), en acumulaciones

de operaciones.

Redondeado Truncado 3,475 3,48 3,47 3,45 3,4 3,4 3,85 3,8 3,8 3,86 3,9 3,8 3,75 3,8 3,7

Ayúdate con este

cuadro…

26

PRÁCTICA DE APROXIMACIÓN DE DECIMALES

1. En la compra de un supermercado se compraron los siguientes productos

con sus respectivos precios.

Cereal

Galletas

Leche

Atún

Jamón

$19.05

$ 9.35

$ 8.45

$ 3.85

$15.28

$55.98

Obtener el redondeo y truncamiento de cada uno de los productos a décimos.

2. Redondea a los centésimos los siguientes números:

a) 2,71828...

b) 67,1

c) 0,342

d) 7,5 3

e) 12,455

f) 3,14159...

3. Simplifica los números decimales, por truncamiento y por redondeo, al orden

indicado.

Números Truncado Redondeado

8.1943 a décimos

75.93847 a milésimos

29.3147 a centésimos

1.28 a décimos

15.286 a centésimos

27

4. Señala cuáles de las siguientes afirmaciones son FALSAS y cuáles son

VERDADERAS

El truncamiento y el redondeo del número 4.582 a centésimo es el mismo

Al redondear un número se localiza la cifra del orden al que se quiere redondear el número:

Al truncar el número 0.515 a centésimos obtenemos como resultado 0.52:

El redondeo del número 12.5746 a milésimos de cómo resultado 12.574:

OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS

� Suma y resta de fracciones

� Con el mismo denominador

Se suman o se restan numeradores y se mantiene el denominador.

▼CÓMO HACER

Calculamos la suma y la resta de fracciones con igu al denominador.

� Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador y

se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes

obtenidas.

28

▼CÓMO HACER Calculamos la suma y la resta de fracciones con dis tinto denominador.

Propiedades de la suma de números racionales

1. Interna:

a + b

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa:

a + b = b + a

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

a + (−a) = 0

29

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

� Multiplicación de fracciones

El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por

numerador el producto de los numeradores, y como denominador, el producto

de los denominadores de las fracciones.

EVITAR ERRORES Para multiplicar fracciones no hay que reducir las fracciones a común

denominador. Basta con multiplicar los numeradores, por una parte, y los

denominadores, por la otra.

Propiedades de la multiplicación de fracciones

1. Interna:

a · b

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa:

a · b = b · a

30

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

5. Elemento inverso:

6. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

▼CÓMO HACER ¿Cómo multiplicamos un número natural por una fracc ión?

1º Expresamos el número natural en forma de fracció n. Todo número

natural lo podemos expresar como una fracción, con numerador ese

mismo número, y denominador 1. Así, por ejemplo:

2º Efectuamos el producto. Si queremos calcular el producto

, procedemos así:

31

� División de fracciones

El cociente de dos fracciones es una fracción con:

� El numerador igual al producto del numerador del dividendo por el

denominador del divisor.

� El denominador igual al producto del denominador del dividendo por el

numerador del divisor.

Otra forma de realizar la división de fracciones es realizando la multiplicación

de la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.

▼CÓMO HACER

Calculamos los siguientes cocientes.

32

33

PRÁCTICA DE OPERACIONES CON FRACCIONES

1. Calcula las siguientes sumas de fracciones.

2. Calcula las siguientes restas de fracciones.

3. Calcula las siguientes sumas y restas combinadas.

34

4. Calcula las siguientes sumas de fracciones.

5. Calcula las siguientes restas de fracciones.

35

6. Calcula las siguientes sumas y restas combinadas.

7. Calcula los siguientes productos de fracciones.

8. Calcula.

36

9. Calcula las siguientes divisiones de fracciones.

10. Opera:

a)

b)

c)

d)

37

11. Efectúa las siguientes operaciones combinadas con fracciones, teniendo en

cuenta que no es , sino que son números mixtos: .

38

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

� Suma y resta de números decimales

Para sumar o restar números decimales procedemos del siguiente modo:

1. Colocamos los números en columna , haciendo corresponder los

distintos órdenes, tanto los de la parte entera como los de la parte

decimal, y se añaden los ceros necesarios para que todos tengan el

mismo número de cifras decimales.

2. Se suman o se restan como si fueran números naturales, poniendo la

coma en el resultado bajo la columna de las comas.

▼CÓMO HACER Calculamos sumas y restas con números decimales.

EVITAR ERRORES Para sumar o restar números decimales tenemos que c olocar los números con

las comas alineadas, y así, estarán las décimas con las décimas, las

centésimas con las centésimas...

39

� Multiplicación de número decimales

Para multiplicar dos números decimales:

1º Se multiplican como si fueran números naturales.

2º Se coloca la coma en el producto, contando de derecha a izquierda

tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores.

40

▼CÓMO HACER Calculamos multiplicaciones con números decimales.

a) 34,5 · 0,17

b) 6,815 · 3,08

Observamos, de nuevo, que no se ha realizado la mul tiplicación por 0.

Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros , se

desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la

unidad.

Se puede multiplicar un número por 0,1, 0,01, 0,001... directamente sin

necesidad de efectuar la multiplicación. Para multiplicar un número decimal por

0,1, 0,01, 0,001... se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como

ceros tenga el factor 0,1, 0,01, 0,001...

▼CÓMO HACER Multiplicamos números decimales

a) 102,33 · 10 = 1.023,3 → La coma se desplaza a la derecha un lugar.

b) 59,87 · 1.000 = 59.870 → La coma se desplaza a la derecha tres lugares

(añadimos un cero).

c) 12,39 · 0,1 = 1,239 → La coma se desplaza a la izquierda un lugar.

d) 8,17 · 0,01 = 0,0817 → La coma se desplaza a la izquierda dos lugares

(añadimos ceros).

e) 543,2 · 0,001 = 0,5432 → La coma se desplaza a la izquierda tres lugares.

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� División de números decimales

Al dividir números decimales nos podemos encontrar con tres casos.

� Un número decimal entre un número natural

Para dividir un número decimal entre un número natural:

1º Se realiza la división como si fueran números naturales.

2º Al bajar la primera cifra decimal se pone una coma en el cociente.

3º Se continúa la división.

� Un número natural entre un número decimal

Para dividir un número natural entre un número decimal:

1º Se multiplican dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos

ceros como cifras decimales hay en el divisor.

2º Se realiza la división resultante.

� Un número decimal entre un número decimal

Para dividir un número decimal entre un número decimal:

1º Se multiplican dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos

ceros como cifras decimales hay en el divisor.

2º Si en el dividendo siguen apareciendo decimales, se continúa la

división aplicando el procedimiento explicado para dividir un

número decimal entre un número natural.

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▼CÓMO HACER • Dividimos un número decimal entre un natural.

11,355 : 5

Observamos:

3 es la primera cifra decimal.

Al bajar el 3, para seguir dividiendo, se pone una coma en

el cociente y se continúa la división.

• Dividimos un número natural entre un decimal.

1.914 : 1,5 → Multiplicamos dividendo y divisor por 10. { 1.914 · 10 1 , 5 · 10 }

1.914 · 10 : 15

• Dividimos un número decimal entre un decimal.

� Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros,

desplazamos la coma a la izquierda tantos lugares como ceros haya tras

la unidad.

� Para dividir un número decimal por 0,1; 0,01; 0,001..., movemos la coma

hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el divisor.

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▼CÓMO HACER • Realizamos divisiones por la unidad seguida de cero s. 0,825 : 100 = 0,00825 3,0045 : 1.000 = 0,0030045 17,967 : 10 = 1,7967 135,999 : 10.000 = 0,0135999 • Realizamos divisiones por 0,1; 0,01; 0,001... 56,87 : 0,1 = 568,7 4,6 : 0,01 = 460 13.735 : 0,001=13.735.000

▼CÓMO HACER

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PRÁCTICA DE OPERACIONES CON DECIMALES

1. Calcula las siguientes sumas de números decimales.

2. Calcula las siguientes restas de números decimales.

3. Calcula.

45

4. Primero, escribe cada fracción decimal en forma de número decimal.

Después, resuelve.

5. Averigua cuáles de las siguientes expresiones son ciertas.

6. Calcula las siguientes multiplicaciones de números decimales.

46

7. Calcula.

8. Calcula.

9. Calcula.

47

10. Calcula las siguientes divisiones.

11. Calcula.

48

12. Calcula las siguientes divisiones.

13. Calcula.

49

14. Calcula las siguientes divisiones.

OPERACIONES COMBINADAS

Para realizar operaciones combinadas de fracciones, hay que respetar la

jerarquía de las mismas:

1º Pasar a fracción los números mixtos y decimales .

2º Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves .

3º Efectuar los productos y cocientes en el orden en que aparecen, de

izquierda a derecha.

4º Realizar las sumas y restas en el orden en que aparecen, de

izquierda a derecha.

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▼CÓMO HACER Realizamos las siguientes operaciones.

PRÁCTICA DE OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES Y

DECIMALES

1. Resuelve las siguientes sumas y restas:

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2. Resuelve