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CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
ANTONIO COLMENAREZMARIA CAROLINA
ESCALONAJOHANA ALEJO
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INTRODUCCIONA TRAVES DE ESTA EXPOSICION
ESTUDIAREMOS UN CRITERIO QUE T IENE EL MISMO OBJETIVO QUE EL DE ROUTH-HURWITZ , ES DECIR , LA ESTABIL IDAD
DEL S ISTEMA QUE SE ESTUDIA . EL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ SE RELACIONABA DIRECTAMENTE CON LAS RAÍCES DE LA
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DEL S ISTEMA. EN EL CRITERIO DE NYQUIST SE EMPLEA UN
PLANTEAMIENTO DISTINTO AL UTIL IZAR LOS CONCEPTOS DEL ESTADO PERMANENTE CENO EN TAL CORRESPONDIENTES A ESTE ESTUDIO. ORIGINALMENTE LO FORMULÓ EN 1932 HARRY
NYQUIST . ES IMPORTANTE OBSERVAR QUE SU UTIL IDAD EN LA PRÁCTICA SE RELACIONA CON EL HECHO DE QUE SE PUEDE APLICAR A
TRAVÉS DE MEDICIONES SENOIDALES DE RUTINA QUE ES POSIBLE EFECTUAR EN
EL LAB ORATORIO.
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ESTE CRITERIO DE ESTABILIDAD,
OBTENIDO POR H. NYQUIST, ES ÚTIL EN
LA INGENIERÍA DE CONTROL, DEBIDO A
QUE PERMITE DETERMINAR
GRÁFICAMENTE LA ESTABILIDAD
ABSOLUTA DEL SISTEMA EN LAZO
CERRADO A PARTIR DE LAS CURVAS DE
RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LAZO
ABIERTO, SIN QUE SEA NECESARIO
DETERMINAR LOS POLOS EN LAZO
CERRADO.
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EL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST RELACIONA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LAZO ABIERTO
G(JΩ)H(JΩ) CON EL NÚMERO DE CEROS Y POLOS DE 1+ G(S)H(S) QUE SE ENCUENTRAN EN EL SEMIPLANO
DERECHO DEL PLANO “S”.
EL CRITERIO DE NYQUIST SE BASA EN UN TEOREMA DE LA TEORÍA DE LA
VARIABLE COMPLEJA.
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SUPONDREMOS QUE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN LAZO ABIERTO
G(S)H(S)
SE REPRESENTA COMO UN COCIENTE DE POLINOMIOS EN“S”.
PARA UN SISTEMA QUE PUEDE MATERIALIZARSE, EL GRADO DEL POLINOMIO DEL DENOMINADOR DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN LAZO CERRADO,
DEBE SER MAYOR O IGUAL QUE EL DEL POLINOMIO DELNUMERADOR. POR LO TANTO
LIM G(S)H(S)=0
UNA CONSTANTE PARA CUALQUIER SISTEMA QUEPUEDA MATERIALIZARSE.
EJEMPLO
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CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PARA UNA TRAYECTORIA CERRADA
CONTINUA DETERMINADA EN EL PLANO “S” QUE NO PASA POR NINGÚN PUNTO
SINGULAR, LE CORRESPONDE UNA CURVA CERRADA EN EL PLANO F(S),
DONDE LA DIRECCIÓN Y EL NÚMERO DE ENCIERROS DEL ORIGEN DEL PLANO F(S) PARA LA CURVA CERRADA ESTA RELACIONADO CON LA ESTABILIDAD
DEL SISTEMA.
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SI F(S)=1+G(S)H(S)=0
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EN EL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PARA ANÁLISIS DE ESTABILIDAD,
SI LA TRAYECTORIA DE NYQUIST EN EL PLANO “S” ENCIERRA Z CEROS Y P POLOS DE 1+G(S)H(S) Y NO ATRAVIESA POLOS NI CEROS DE 1+G(S)H(S) CUANDO UN PUNTO
REPRESENTATIVO “S” SE DESPLAZA EN SENTIDO HORARIO A LO LARGO DE LA
TRAYECTORIA DE NYQUIST, ENTONCES LA TRAYECTORIA CORRESPONDIENTE EN EL PLANO G(S)H(S) RODEA AL PUNTO -1+J0,
N=Z-P VECES EN SENTIDO HORARIO. (VALORES NEGATIVOS DE N IMPLICAN
RODEOS ANTIHORARIOS).
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AL EXAMINAR LA ESTABILIDAD DE LOS SITEMAS DE CONTROL
LINEALES UTILIZANDO EL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST, SE PUEDEN PRESENTAR TRES POSIBILIDADES:
1.NO HAY RODEO DEL PUNTO -1+J0. ESTO IMPLICA QUE EL SISTEMA ES ESTABLE SI NO HAY POLOS DE G(S)H(S) EN EL SEMIPLANO DERECHO DEL PLANO “S”; EN CASO
CONTRARIO, EL SISTEMA ES INESTABLE.
2.HAY UN RODEO EN EL SENTIDO ANTIHORARIO O RODEOS DEL PUNTO -1+J0. EN ESTE CASO EL SISTEMA
ES ESTABLE SI LA CANTIDAD DE RODEOS ANTIHORARIOS ES LA MISMA QUE LA CANTIDAD DE POLOS DE G(S)H(S)EN EL SEMIPLANO DERECHO DEL
PLANO S; EN CASO CONTRARIO EL SISTEMA ES INESTABLE.
3.HAY UN RODEO O RODEOS DEL PUNTO -1+J0 EN SENTIDO HORARIO. EN ESTECASO, EL SISTEMA ES
INESTABLE.
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ASIGNACIONCRITERIO DE NYQUIST
DADO EL SIGUIENTE PLANTEAMIENTO, DETERMINE LA ESTABILIDAD DEL SISTEMA DE CONTROL UTILIZANDO EL DIAGRAMA DE NYQUIST
EXPLIQUE EN FUNCIÓN DE QUE O COMO SE DETERMINA SI EL SISTEMA ES ESTABLE.
CONSIDERE EL SISTEMA DE CONTROL DIGITAL QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA. DETERMINE LA ESTABILIDAD POR EL CRITERIO DE NYQUIST CONSIDERANDO K>0.
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UTILIZANDO LA TRANSFORMADA BILINEAL
Sustituyendo z en la ecuación nos queda:
Luego simplificamos:
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Cuyos ceros y polos son: ceros
polos
En lazo abierto
UTILIZANDO LA TRANSFORMADA BILINEAL
Resolviendo los paréntesis nos queda:
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Sustituimos con w=j v
UTILIZANDO LA TRANSFORMADA BILINEAL
Resolvemos:
Multiplicamos el numerador y denominador por:
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UTILIZANDO LA TRANSFORMADA BILINEAL
Nos queda:
Luego resolvemos la resta de v³ y aplicamos factor común en el denominador:
Simplificando tenemos:
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UTILIZANDO LA TRANSFORMADA BILINEAL
Nos queda:
Entonces:
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LA GRAFICA ES:
Como no hay polos en el semiplano derecho de 6(jv) -> P=0 -> No debe haber rodeos del punto -1+j0Asi -
1,5K > -1 K < 1/1,5
K < 0,67
Para que el sistema sea estable
UTILIZANDO LA TRANSFORMADA BILINEAL
Re
Im
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CONCLUSIONEL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST RELACIONA LA
RESPUESTA FRECUENCIAL A LAZO ABIERTO, CON LA ESTABILIDAD A LAZO CERRADO; BASADO EN UN TEOREMA DE LA VARIABLE COMPLEJA QUE SE FUNDAMENTA EN EL
MAPEO DE LOS CONTORNOS EN EL PLANO COMPLEJO
LA PRINCIPAL VENTAJA DEL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST ES QUE EN UNA SOLA GRÁFICA PODEMOS VER LA RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN SISTEMA EN EL RANGO
DE FRECUENCIAS COMPLETO
SU DESVENTAJA CONSISTE EN QUE LA TRAZA NO INDICA EN FORMA CLARA LA CONTRIBUCIÓN DE TODOS LOS
FACTORES INVIDIDUALES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.