1

2

Objetivo

Desarrollar las capacidades analíticas y el pensamiento lógico a través del estudio

del álgebra. Asimilar o manejar con fluidez los principales conceptos del álgebra,

factores, ecuaciones lineales, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones.

El programa comienza con un repaso de los conceptos básicos y estructuras

algebraicas, necesarias para poder enunciar y desarrollar los fundamentos del

álgebra. Como consecuencia aparece la forma natural de resolver sistemas de

ecuaciones lineales y la conveniencia de introducir la función determinante de una

matriz cuadrada.

El alumno adquirirá cierta capacidad de abstracción y de formalización de las

ideas matemáticas, en un contexto donde los razonamientos lógicos encadenados son

sencillos. También le sirven para adquirir el conocimiento de conceptos y técnicas de

cálculo importantes, potentes y de amplia utilización en diferentes partes de las

matemáticas y de las ciencias, tanto puras como aplicadas.

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¿De dónde viene…?

“La palabra ÁLGEBRA proviene de ilm al-jabr wal muqabala, título en arábigo de un libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe al-Khwarizmi. Ese titulo se ha traducido como “Ciencia de la restauración y la reducción”, lo cual proviene de trasponer y combinar términos semejantes (de una ecuación) La transliteración latina de “al-jabr” originó el nombre de “algebra” para esta rama de las matemáticas, que paso al español como álgebra”. 1

ÁLGEBRA. Es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. En el álgebra se utilizan símbolos o letras, como a, b, c, d, w, x, y, z, para representar números. Esta naturaleza general del álgebra se ve en la gran cantidad de fórmulas que se emplean en la ciencia y en la industria.

Notación algebraica.

Los símbolos utilizados en álgebra para representar las cantidades son dos: las constantes (números) y las variables (letras). Constantes (números). Se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Variables (letras). Se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sea conocidas o desconocidas. -Cantidades conocidas. Se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d. -Cantidades desconocidas. Se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Recordemos … Conceptos básicos.

1. SWOKOWSKI, Earl W. (1988), Álgebra y trigonometría con geometría analítica, México D.F. pág. 3.

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Coeficiente.

Factor. Expresión algebraica que multiplica a una segunda expresión. En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor. El coeficiente indica una multiplicación es decir, las veces que se repite una expresión. Coeficiente numérico. En el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor “a” e indica que el factor “a” se toma como sumando tres veces (a+a+a). Coeficiente literal. En el producto ab el factor a es coeficiente del factor “b” e indica que el factor “b” se toma como sumando “a” veces, ab=b+b+b….... a veces.

Término.

Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + ó - . El grado de un término puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra. Grado absoluto de un término es la suma de todos los exponentes de sus factores literales. Así el término 4a es de primer grado porque el exponente del factor literal a es 1; el término ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 1+1=2; el término a²b es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2+1=3; 5a⁴b³c² es de noveno grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 4+3+2=9. El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así el término bx³ es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x; 4x²y ⁴ es de segundo grado con relación a x y de cuarto grado con relación a y.

Signo Grado o exponente

Literal

Coeficiente

Elementos de un término

25x

5

Clases de términos. •Término entero es cuando no tienen letras en el denominador. Ejemplos:

1)

2) 3)

•Término fraccionario es cuando tienen letras en el denominador Ejemplos:

1) 2)

3)

•Término racional es cuando no tienen ninguna letra bajo signo radical. Ejemplos:

1)

2) 3)

•Término irracional es cuando tienen letras bajo un signo radical. Ejemplos:

1) 2)

3)

•Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Ejemplo:

1)

2) Son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto.

•Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto. Ejemplo:

1) es de primer grado 2) es de segundo grado

d

ab

4

3

c

yax22

32

398

ba

cd

4

33ax

23x

xy25

d

ab

4

3

wz5

yax22

x5

mmn 3225

j

xy8

yx44

326 yx

514

532

a523a

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Expresión Algebraica.

Es la representación de un símbolo algebraico de una o más operaciones algebraicas. Ejemplos: 1)

2)

3)

4)

Exponente.

Indica potenciación, es decir las veces que se repite una expresión como factor. Ejemplo: 1) m²=m.m

2) a³= a.a.a

3) m³n²=(m) (m) (m) (n) (n)

4) (x+y)²= (x+y) (x+y)

Clasificación de expresiones algebraicas

•Monomio. Es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos:

1) -3x²

2) 6a²x³

•Binomio. Es una expresión algebraica que consta de dos términos. Ejemplos:

1) 8x+5 2) 5m³-3n²

x5

a4

cba

2

35

x

ayx

7

•Trinomio. Es una expresión algebraica que consta de tres términos. Ejemplos:

1) 2)

•Polinomio. Es una expresión algebraica que consta de más de tres términos. Ejemplos:

1) 2)

Clases de polinomios

•Polinomio entero. Cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal Ejemplo: •Polinomio fraccionario. Cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador. Ejemplo: •Polinomio racional. Cuando no contiene radicales. Ejemplo:

•Polinomio irracional. Cuando contiene radical. Ejemplo:

•Polinomio homogéneo. Cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto. Ejemplo:

•Polinomio heterogéneo. Cuando sus términos no son del mismo grado absoluto. Ejemplo:

1452 xx

143 yy

241052 xxx

aaaaa 12342025 234

25

7535

cdabxymn

axd

kxab 19

52

anaxam

2565242

axxa 1752

3223 654 babbaa

623 xbxx

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•Polinomio completo con relación a una letra. Es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra del polinomio. Ejemplo1.

Es completo respecto de la x (porque contiene todos los exponentes sucesivos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1).

Ejemplo2.

Es completo respecto de a y b

•Polinomio ordenado con respecto a una letra. Es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo. Ejemplo1. Es decir, está ordenado en orden descendente con relación a la letra ordenatriz x.

Ejemplo2.

En este caso, está ordenado en orden descendente con relación a la letra ordenatriz a y en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz b.

Términos semejantes.

Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal con iguales exponentes (difieren solamente en sus coeficientes numéricos). Ejemplos:

1)

2)

xxxxx 32345

54322245 3562 babbababaa

8524 234 xxxx

432234 babbabaa

2323 25 xaxa

2323

4

35.0 xaxa

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LEYES DE LOS EXPONENTES.

Producto de potencias de la misma base.

Recordemos que a³ significa a.a.a y que a⁴ significa a.a.a.a si deseamos multiplicar a³ por a⁴, tenemos:

a³. a⁴= (a.a.a) (a.a.a.a) = a³⁺⁴ = a⁷

Por lo tanto: Ejemplos: 1) mm³ = m¹⁺³ = m⁴ 2) x²x³x = x²⁺³⁺¹ = x⁶ 3) (-4y³) (-3y²) = 12y³⁺² = 12y⁵ 4) (a²b⁵c³) (-a³bc) =-a²⁺³b⁵⁺¹c³⁺¹ =-a⁵b⁶c⁴

Nota: Se deja la misma base y se suman los exponentes.

Potencia de una potencia.

Elevemos a² a la quinta potencia:

(a²)⁵ = (a²) (a²) (a²) (a²) (a²) = a²⁺²⁺²⁺²⁺² = a¹⁰

Por lo tanto: Ejemplos: 1) (2³)² = 2 ⁽³⁾⁽²⁾ = 2⁶ = 64 2) (a²)³ = a ⁽²⁾⁽³⁾ = a⁶ 3) (x³)⁴ = x ⁽³⁾⁽⁴⁾ = x¹² 4) (y⁴)⁵ = x ⁽⁴⁾⁽⁵⁾ = y²⁰

Nota: Se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

7 FACTORES

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Potencia de un producto.

Observa el desarrollo de la potencia del siguiente producto.

(ab)⁴ = (ab) (ab) (ab) (ab) = a⁴ b⁴

Por lo tanto: Ejemplos: 1) (xy⁴)² = x⁽¹⁾⁽²⁾ y⁽⁴⁾⁽²⁾ = x² y⁸ 2) (a² b³) ⁵ = a⁽²⁾⁽⁵⁾ b⁽³⁾ ⁽⁵⁾ = a¹⁰ b¹⁵ 3) (3x²y)³ = 3⁽¹⁾⁽³⁾ x⁽²⁾⁽³⁾ y⁽¹⁾ ⁽³⁾ = 3³ x⁶y³ = 27x⁶y³ Nota: Se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

Potencia de una fracción.

Elevemos a a la cuarta potencia. b Por lo tanto: Ejemplos: 1)

2)

3)

Nota: Para elevar una fracción a una potencia se eleva el numerador y el denominador a esa potencia.

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División de potencias de la misma base.

Hallar el cociente a⁶ , donde a ≠ 0. a⁴

Por lo tanto: si n > m Ejemplos: 1)

2) Nota: Se deja la misma base y se restan los exponentes.

Exponente negativo.

Si el exponente del numerador es menor que el exponente del denominador, se obtiene un cociente con exponente negativo. Ejemplo: Pero también: Entonces: a¯² = 1 a² Por lo tanto: a¯ⁿ = 1 aⁿ Nota: Todo número con exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es la unidad y cuyo denominador es la misma potencia pero con exponente positivo.

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Ejemplos: 1)

2) Por lo tanto:

Nota: Toda expresión con exponente negativo debe escribirse en el denominador con exponente positivo. Ejemplos: 1)

2)

Exponente cero. El exponente cero se obtiene al dividir potencias iguales de la misma base: Todo número elevado a la potencia cero equivale a 1 , a ⁰ = 1 Ejemplos: 1)

2) 3)

Nota: Toda expresión con exponente cero es igual a 1, por ser el cociente de dos potencias iguales.

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Exponentes fraccionarios.

Por definición se acepta que: Ejemplos: 1)

2) 3)

4)

Casos particulares. 1) que se expresa en forma radical; Ejemplos: a)

b)

c)

d)

e) Nota: La interpretación del exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice del radical es el denominador del exponente.

radical

radicando

raíz Índice del radical

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2)

Ejemplos: a)

b) 3)

Ejemplos:

a)

b)

c)

Nota: • El numerador de un exponente fraccionario indica una elevación a potencia. • El denominador de un exponente fraccionario equivale al índice de la raíz.

4)

Ejemplos:

a)

b)

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LEYES DE LOS SIGNOS.

Para realizar cualquier operación de números con signos, es necesario conocer las leyes de los signos, que se presentan a continuación. Recordemos… Números relativos: Números relativos o con signos (positivos y negativos). Los utilizamos para representar el resultado de magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de medir la longitud geográfica de una región determinada o; de expresar el grado de temperatura de un lugar dado. Los números relativos pueden se mayores 0, menores que 0, ó 0. Los números mayores que 0 se llaman positivos, los números positivos se escriben con signo + ó sin signo. Ejemplos: 1) 3 2) +2 3) +25

Los números menores que 0 se llaman negativos, (los números negativos se escriben con signo − , (el cero es el único número positivo y negativo; algunos autores lo consideran sin signo). Ejemplos: 1) -3 2) -8 3) -30

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En la suma o adición de números relativos podemos considerar cuatro casos: •Sumar dos números positivos. •Sumar dos números negativos. •Sumar un positivo con otro negativo. •Sumar el cero con el número positivo y negativo. •Si los números tienen el mismo signo positivo se procede a la suma aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo + . Ejemplo: 1) (+3) + (+5) = +8 •Si los números tienen el mismo signo negativo se procede a la suma aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo − . Ejemplo: 1) (−3) + (−5) = −8

•Si los números tienen distinto signo (positivo y negativo), se procede a la resta aritmética de los valores absolutos de ambos números y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto. Cuando los dos números tienen igual valor absoluto y signos distintos la suma es cero. Ejemplo: 1) (+6) + (−2) = +4 2) (− 6) + (+2) = −4 3) (− 6) + (+6) = 0 4) (+6) + (− 6) = 0

• La suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos dará el mismo número positivo o negativo. Ejemplo: 1) (+4) + 0 = +4 2) (− 4) + 0 = −4

Caso 1. Suma

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Llamamos opuesto de un número al mismo número con signo contrario. Así decimos que –m es opuesto de + m. La sustracción es una operación inversa de la suma que consiste en hallar un número x (llamado diferencia), tal que, sumando con un número dado m (sustraendo), dé un resultado igual a otro número n, de modo que se verifique:

x+m=n Como hemos visto que para hallar el opuesto de un número basta cambiarle el signo, podemos enunciar lo siguiente: Para hallar la diferencia entre dos números relativos se suma al minuendo el sustraendo, cambiándole el signo. Ejemplo: 1) (+ 8) − (+4) = (+8) + (−4) = + 4 2) (+ 8) − (−4) = (+8) + (+4) = +12 3) (− 8) − (+4) = (−8) + (− 4) = −12 4) (− 8) − (−4) = (−8) + (+ 4) = − 4

Caso 2. Resta

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El producto de dos números relativos se halla multiplicando los valores absolutos de ambos. •El producto hallado llevará signo positivo (+), si los signos de ambos factores son iguales. •El producto hallado llevará signo negativo (−), si los factores tienen signos distintos. •Si uno de los factores es 0 el producto será 0. Ejemplo: 1) (+ 2) (+3) = +6 2) (− 2) (−3) = +6 3) (+ 2) (−3) = −6 4) (− 2) (+3) = −6 5) ( 0 ) (+3) = 0 6) ( 0 ) (− 3) = 0 7) ( 0 ) ( 0 ) = 0 El siguiente cuadro es un medio de recordar fácilmente la ley de los signos en la multiplicación de los números relativos. NOTA: Cuando operamos con símbolos literales el producto es siempre indicado, bien en la forma a x b; bien en la forma a.b; y más usualmente ab.

Caso 3. Multiplicación

+ por + da + − por − da +

+ por − da − − por + da −

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La división es una operación inversa de la multiplicación que consiste en hallar uno de los factores , conocidos el otro factor y el producto. Es decir, dado el dividendo d y el divisor d´ hallar el cociente c, de modo que se verifique:

d´c=d. Donde: d es el Dividendo (producto de los factores d´ y c). d´ es el divisor (factor conocido). c es el cociente (factor desconocido). Para dividir un número cualquiera d por otro número distinto de cero d´, multiplicamos d por el recíproco d´ (1/d´ ). El cociente que resulte será positivo si los dos números son del mismo signo; y negativo, si son de signos contrarios. •La división que comprende dos números con signos iguales se relaciona con la multiplicación con signos iguales. Ejemplo: 3 (−4) = −12 Por lo tanto, −12 = +3 −4 −4 que está multiplicando a 3 pasa dividiendo a −12. Así pues tenemos que el cociente de dos números con signos iguales es positivo. •La división que comprende dos números con signos iguales se relaciona con la multiplicación con signos distintos. Ejemplo: 3 (−4) = −12 Por lo tanto, −12 = −4 3 3 que está multiplicando a −4 pasa dividiendo a −12. Así pues tenemos que el cociente de dos números con signos distintos es negativo. Con el siguiente cuadro podemos recordar la ley de los signos de la división con números relativos.

Caso 4. División

+ entre + da + − entre − da +

+ entre − da − − entre + da −